2011高等数学模拟题专升本

第一篇：2011高等数学模拟题专升本

山东省专升本《高等数学》模拟试题

（一）一、填空题 1.函数yln(3x)|x|1x的定义域为_____________.x12.limxx____________.3.曲线y(x4)33x在点（2，6）处的切线方程为__________.二、选择题

1.设f(x)在点x0处可导，且f(x0)2,则lim(A).12f(x0h)f(x0)hh0()(B).2(C).12(D).2

2..当x0时, x2与sinx比较是().(A).较高阶的无穷小(B).较低阶的无穷小(C).同阶但不等价的无穷小(D).等价的无穷小

3.设曲线yx2x2在点M处的切线斜率为3,则点M的坐标为()(A).(1,0)(B).(1,0)(C).(2,4)(D).(-2,0)

(C).ycos(arcsinxC)(D).arcsinxC

三、计算题 1.计算limxarctanxln(1x)3

dzdtx02.设zuvsint,ue,vcost,求全导数3.求微分方程xyyxcosx的通解.t.4.求幂级数n1(1)n2n1x的收敛域.n山东省专升本《高等数学》模拟试题

（一）解析

一、填空题： 1.函数yln(3x)|x|1的定义域为_____________.分析 初等函数的定义域，就是使函数表达式有意义的那些点的全体.解 由3x0|x|10x知，定义域为x1x3或x1.x12.limxx__________x__.分析 属1型,套用第二个重要极限.x1解 limxx1lim1xxx(1)e1.3.曲线y(x4)33x在点（2，6）处的切线方程为__________.解 y33x(x4)313(3x)2,yx21，所求切线方程为:y6(x2),即yx8.二、选择题

1.设f(x)在点x0处可导，且f(x0)2,则lim(A).12f(x0h)f(x0)hh0()

(B).(C).12

(D).2

解 limf(x0h)f(x0)hh0limf(x0h)f(x0)hh0(1)f(x0)2.选(B).22..当x0时, x与sinx比较是（）.(A).较高阶的无穷小

(B).较低阶的无穷小

(C).同阶但不等价的无穷小

(D).等价的无穷小

分析 先求两个无穷小之比的极限,再做出正确选项.解 因lim2x2x0sinxlimxsinxx0x0,故选(A).3.设曲线yxx2在点M处的切线斜率为3,则点M的坐标为()

(A).1(,0)

(B).(1,0)

(C).2(,4)

(D).(-2,0)解 由y2x13知x1, 又y

三、计算题 1.计算limxarctanxln(1x)3x10,故选(A).分析 属00型未定式,利用等价无穷小代换,洛必达法则等求之.x0解 limxarctanxln(1x)x22x03limxarctanxx31limx011x23x2

x0limx03x(1x)2lim13(1x)2x013.dzdt2.设zuvsint,uet,vcost,求全导数解 dzdtzut.dudtzvdvdtzt

tveu(sint)coste(costsint)cost.3.求微分方程xyyxcosx的通解.分析 属一阶线性微分方程,先化成标准形,再套用通解公式.解 原方程化为: y通解为: yep(x)dx1xycosx,p(x)1x,q(x)cosx

11dxdxp(x)dxxxq(x)edxCecosxedxC 111xsinxcosxC.xcosxdxCxdsinxCxxx4.求幂级数n1(1)n2n1x的收敛域.n分析 先求收敛半径,收敛区间,再讨论端点处的敛散性,从而确定收敛区域.解 收敛半径:Rlimanan1n1nnlim(n1)n22n1, 收敛区间为(-1,1)在x1处,级数n1(1)n2(1)n11n2收敛;在x1处,级数n1(1)n2n1收敛,所以收敛域为:[-1,1].山东考试书店是山东最大的专升本专业书店，下设山大店和山师店。主营专升本教材、公共课真题（2005-2011）包含听力、专业课真题（2006-2011）专业课笔记、练习题、课件。赠送公共课课件、真题、练习题、资料。联系QQ：187211979

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第二篇：专升本高等数学(二)

成人高考（专升本）高等数学二

第一章极限和连续

第一节极限

[复习考试要求]

1.了解极限的概念（对极限定义等形式的描述不作要求）。会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。2.了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。

3.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。会进行无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等价）。会运用等价无穷小量代换求极限。

4.熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。

第二节函数的连续性

[复习考试要求]

1.理解函数在一点处连续与间断的概念，理解函数在一点处连续与极限存在之间的关系，掌握判断函数（含分段函数）在一点处连续性的方法。2.会求函数的间断点。

3.掌握在闭区间上连续函数的性质会用它们证明一些简单命题。

4.理解初等函数在其定义区间上的连续性，会利用函数连续性求极限。

第二章一元函数微分学 第一节导数与微分

[复习考试要求]

1.理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，会用定义求函数在一点处的导数。

2.会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。

3.熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法。4.掌握隐函数的求导法与对数求导法。会求分段函数的导数。5.了解高阶导数的概念。会求简单函数的高阶导数。

6.理解微分的概念，掌握微分法则，了解可微和可导的关系，会求函数的一阶微分。

第二节导数的应用

[复习考试要求]

1.熟练掌握用洛必达法则求“0·∞”、“∞-∞”型未定式的极限的方法。

2.掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法。会利用函数的单调性证明简单的不等式。

3.理解函数极值的概念，掌握求函数的驻点、极值点、极值、最大值与最小值的方法，会解简单的应用题。

4.会判断曲线的凹凸性，会求曲线的拐点。5.会求曲线的水平渐近线与铅直渐近线

第三章一元函数积分学

第一节不定积分

[复习考试要求]

1.理解原函数与不定积分的概念及其关系，掌握不定积分的性质。2.熟练掌握不定积分的基本公式。

3.熟练掌握不定积分第一换元法，掌握第二换元法（仅限三角代换与简单的根式代换）。

4.熟练掌握不定积分的分部积分法。5.掌握简单有理函数不定积分的计算。

第二节定积分及其应用

[复习考试要求]

1.理解定积分的概念及其几何意义，了解函数可积的条件 2.掌握定积分的基本性质

3.理解变上限积分是变上限的函数，掌握对变上限积分求导数的方法。4.熟练掌握牛顿—莱布尼茨公式。

5.掌握定积分的换元积分法与分部积分法。

6.理解无穷区间的广义积分的概念，掌握其计算方法。

7.掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积以及平面图形绕坐标轴旋转所生成的旋转体的体积。

第四章多元函数微分学

[复习考试要求]

1.了解多元函数的概念，会求二元函数的定义域。了解二元函数的几何意义。2.了解二元函数的极限与连续的概念。

3.理解二元函数一阶偏导数和全微分的概念，掌握二元函数的一阶偏导数的求法。掌握二元函数的二阶偏导数的求法，掌握二元函数的全微分的求法。4.掌握复合函数与隐函数的一阶偏导数的求法。5.会求二元函数的无条件极值和条件极值。

6.会用二元函数的无条件极值及条件极值解简单的实际问题。

第五章概率论初步

[复习考试要求]

1.了解随机现象、随机试验的基本特点；理解基本事件、样本空间、随机事件的概念。

2.掌握事件之间的关系：包含关系、相等关系、互不相容关系及对立关系。3.理解事件之间并（和）、交（积）、差运算的意义，掌握其运算规律。4.理解概率的古典型意义，掌握事件概率的基本性质及事件概率的计算。5.会求事件的条件概率；掌握概率的乘法公式及事件的独立性。

6.了解随机变量的概念及其分布函数。

7.理解离散性随机变量的意义及其概率分布掌握概率分布的计算方法。8.会求离散性随机变量的数学期望、方差和标准差。

第一章极限和连续

第一节极限

[复习考试要求]

1.了解极限的概念（对极限定义等形式的描述不作要求）。会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。2.了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。

3.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。会进行无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等价）。会运用等价无穷小量代换求极限。

4.熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。[主要知识内容]

（一）数列的极限 1.数列

定义按一定顺序排列的无穷多个数

称为无穷数列，简称数列，记作{xn}，数列中每一个数称为数列的项，第n项xn为数列的一般项或通项，例如

（1）1，3，5，„，（2n-1），„（等差数列）（2）（3）（等比数列）（递增数列），„（震荡数列）（4）1，0，1，0，„都是数列。它们的一般项分别为（2n-1）,。

对于每一个正整数n，都有一个xn与之对应，所以说数列{xn}可看作自变量n的函数xn=f（n），它的定义域是全体正整数，当自变量n依次取1,2,3„一切正整

数时，对应的函数值就排列成数列。

在几何上，数列{xn}可看作数轴上的一个动点，它依次取数轴上的点x1,x2,x3,...xn,„。2.数列的极限

定义对于数列{xn}，如果当n→∞时，xn无限地趋于一个确定的常数A，则称当n趋于无穷大时，数列{xn}以常数A为极限，或称数列收敛于A，记作

比如：

无限的趋向0，无限的趋向1 否则，对于数列{xn}，如果当n→∞时，xn不是无限地趋于一个确定的常数，称数列{xn}没有极限，如果数列没有极限，就称数列是发散的。比如：1，3，5，„，（2n-1），„ 1，0，1，0，„

依次用数轴上的点表示，若数数列极限的几何意义：将常数A及数列的项列{xn}以A为极限，就表示当n趋于无穷大时，点xn可以无限靠近点A，即点xn与点A之间的距离|xn-A|趋于0。比如：

无限的趋向0 无限的趋向1

（二）数列极限的性质与运算法则 1.数列极限的性质

定理1.1（惟一性）若数列{xn}收敛，则其极限值必定惟一。

定理1.2（有界性）若数列{xn}收敛，则它必定有界。

注意：这个定理反过来不成立，也就是说，有界数列不一定收敛。比如： 1，0，1，0，„

有界：0，1 2.数列极限的存在准则

定理1.3（两面夹准则）若数列{xn},{yn},{zn}满足以下条件：（1）（2），则，定理1.4若数列{xn}单调有界，则它必有极限。3.数列极限的四则运算定理。定理1.5

（1）（2）（3）当时，（三）函数极限的概念 1.当x→x0时函数f（x）的极限（1）当x→x0时f（x）的极限

定义对于函数y=f（x），如果当x无限地趋于x0时，函数f（x）无限地趋于一个常数A，则称当x→x0时，函数f（x）的极限是A，记作

或f（x）→A（当x→x0时）

例y=f（x）=2x+1 x→1,f（x）→? x<1x→1

x>1x→1

（2）左极限

当x→x0时f（x）的左极限

定义对于函数y=f（x），如果当x从x0的左边无限地趋于x0时，函数f（x）无限地趋于一个常数A，则称当x→x0时，函数f（x）的左极限是A，记作

或f（x0-0）=A（3）右极限

当x→x0时，f（x）的右极限

定义对于函数y=f（x），如果当x从x0的右边无限地趋于x0时，函数f（x）无限地趋于一个常数A，则称当x→x0时，函数f（x）的右极限是A，记作

或f（x0+0）=A 例子：分段函数，求，解：当x从0的左边无限地趋于0时f（x）无限地趋于一个常数1。我们称当x→0时，f（x）的左极限是1，即有

当x从0的右边无限地趋于0时，f（x）无限地趋于一个常数-1。我们称当x→0时，f（x）的右极限是-1，即有

显然，函数的左极限系：

定理1.6当x→x0时，函数f（x）的极限等于A的必要充分条件是

反之，如果左、右极限都等于A，则必有

x→1时f(x)→? x≠1x→1f(x)→2

对于函数，当x→1时，f（x）的左极限是2，右极限也是2。

右极限

与函数的极限

之间有以下关

2.当x→∞时，函数f（x）的极限（1）当x→∞时，函数f（x）的极限 y=f(x)x→∞f(x)→? y=f(x)=1+ x→∞f(x)=1+→1

定义对于函数y=f（x），如果当x→∞时，f（x）无限地趋于一个常数A，则称

当x→∞时，函数f（x）的极限是A，记作

或f（x）→A（当x→∞时）

（2）当x→+∞时，函数f（x）的极限

定义对于函数y=f（x），如果当x→+∞时，f（x）无限地趋于一个常数A，则称当x→+∞时，函数f（x）的极限是A，记作

这个定义与数列极限的定义基本上一样，数列极限的定义中n→+∞的n是正整数；而在这个定义中，则要明确写出x→+∞，且其中的x不一定是正整数，而为任意实数。

y=f(x)x→+∞f(x)x→？

x→+∞，f(x)=2+→2

例：函数f（x）=2+e-x，当x→+∞时，f（x）→？ 解：f（x）=2+e-x=2+，x→+∞，f（x）=2+→2 所以

（3）当x→-∞时，函数f（x）的极限

定义对于函数y=f（x），如果当x→-∞时，f（x）无限地趋于一个常数A，则称当x→-∞时，f（x）的极限是A，记作

x→-∞f(x)→？ 则f(x)=2+(x＜0)x→-∞,-x→+∞

f(x)=2+→2

例：函数，当x→-∞时，f（x）→？

解：当x→-∞时，-x→+∞

→2，即有

由上述x→∞，x→+∞，x→-∞时，函数f（x）极限的定义，不难看出：x→∞时f（x）的极限是A充分必要条件是当x→+∞以及x→-∞时，函数f（x）有相同的极限A。例如函数，当x→-∞时，f（x）无限地趋于常数1，当x→+∞时，f（x）的极限是1，记作 也无限地趋于同一个常数1，因此称当x→∞时

其几何意义如图3所示。

f(x)=1+

y=arctanx

不存在。

但是对函数y=arctanx来讲，因为有

即虽然当x→-∞时，f（x）的极限存在，当x→+∞时，f（x）的极限也存在，但这两个极限不相同，我们只能说，当x→∞时，y=arctanx的极限不存在。x)=1+

y=arctanx

不存在。

但是对函数y=arctanx来讲，因为有

即虽然当x→-∞时，f（x）的极限存在，当x→+∞时，f（x）的极限也存在，但这两个极限不相同，我们只能说，当x→∞时，y=arctanx的极限不存在。

（四）函数极限的定理

定理1.7（惟一性定理）如果存在，则极限值必定惟一。定理1.8（两面夹定理）设函数满足条件：（1），（2）

在点的某个邻域内（可除外）则有。

注意：上述定理1.7及定理1.8对也成立。下面我们给出函数极限的四则运算定理 定理1.9如果（1）（2）

则

（3）当时，时，上述运算法则可推广到有限多个函数的代数和及乘积的情形，有以下推论：

（1）（2）

（3）

用极限的运算法则求极限时，必须注意：这些法则要求每个参与运算的函数的极限存在，且求商的极限时，还要求分母的极限不能为零。另外，上述极限的运算法则对于的情形也都成立。

（五）无穷小量和无穷大量 1.无穷小量（简称无穷小）定义对于函数常用希腊字母定理1.10函数，如果自变量x在某个变化过程中，函数

为无穷小量，一般记作，„来表示无穷小量。以A为极限的必要充分条件是： 的极限为零，则称在该变化过程中，可表示为A与一个无穷小量之和。

注意：（1）无穷小量是变量，它不是表示量的大小，而是表示变量的变化趋势无限趋于为零。

（2）要把无穷小量与很小的数严格区分开，一个很小的数，无论它多么小也不是无穷小量。

（3）一个变量是否为无穷小量是与自变量的变化趋势紧密相关的。在不同的变化过程中，同一个变量可以有不同的变化趋势，因此结论也不尽相同。例如：

振荡型发散

（4）越变越小的变量也不一定是无穷小量，例如当x越变越大时，就越变越小，但它不是无穷小量。

（5）无穷小量不是一个常数，但数“0”是无穷小量中惟一的一个数，这是因为。

2.无穷大量（简称无穷大）定义；如果当自变量（或∞）时，的绝对值可以变得充分大（也即无。

或

。限地增大），则称在该变化过程中，为无穷大量。记作注意：无穷大（∞）不是一个数值，“∞”是一个记号，绝不能写成3.无穷小量与无穷大量的关系

无穷小量与无穷大量之间有一种简单的关系，见以下的定理。

定理1.11在同一变化过程中，如果如果当当为无穷小量，且无穷大 无穷小 为无穷小，则

为无穷大量，则为无穷大量。

为无穷小量；反之，无穷大

4.无穷小量的基本性质

性质1有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量；

性质2有界函数（变量）与无穷小量的乘积是无穷小量；特别地，常量与无穷小量的乘积是无穷小量。

性质3有限个无穷小量的乘积是无穷小量。

性质4无穷小量除以极限不为零的变量所得的商是无穷小量。5.无穷小量的比较 定义设（1）如果（2）如果（3）如果（4）如果是同一变化过程中的无穷小量，即则称

是比较高阶的无穷小量，记作

。；

则称与为同阶的无穷小量； 则称与则称

为等价无穷小量，记为是比较低价的无穷小量。当

；

等价无穷小量代换定理：

如果当时存在，则又有。

均为无穷小

均为无穷小量，又有且

这个性质常常使用在极限运算中，它能起到简化运算的作用。但是必须注意：等价无穷小量代换可以在极限的乘除运算中使用。常用的等价无穷小量代换有： 当时，sinx～x;tan～x;arctanx～x;arcsinx～x;

（六）两个重要极限 1.重要极限Ⅰ

重要极限Ⅰ是指下面的求极限公式

令

这个公式很重要，应用它可以计算三角函数的其结构式为：

型的极限问题。

2.重要极限Ⅱ

重要极限Ⅱ是指下面的公式：

其中e是个常数（银行家常数），叫自然对数的底，它的值为 e=2.7***045„„ 其结构式为：

重要极限Ⅰ是属于型的未定型式，重要极限Ⅱ是属于“”型的未定式时，这两个重要极限在极限计算中起很重要的作用，熟练掌握它们是非常必要的。

（七）求极限的方法：

1.利用极限的四则运算法则求极限； 2.利用两个重要极限求极限； 3.利用无穷小量的性质求极限； 4.利用函数的连续性求极限；

5.利用洛必达法则求未定式的极限； 6.利用等价无穷小代换定理求极限。基本极限公式

（2）（3）

（4）例1.无穷小量的有关概念

（1）[9601]下列变量在给定变化过程中为无穷小量的是 A.C.A.B.D.发散

[答]C

D.（2）[0202]当时，与x比较是 A.高阶的无穷小量B.等价的无穷小量

C.非等价的同阶无穷小量D.低阶的无穷小量 [答]B 解:当,与x是

极限的运算： [0611]解：[答案]-1 例2.型因式分解约分求极限（1）[0208]解:

[答]

（2）[0621]计算解: 例3.型有理化约分求极限（1）[0316]计算解:

[答]

[答]

（2）[9516]解:

[答]

例4.当时求

型的极限 [答]

（1）[0308]

一般地，有

例5.用重要极限Ⅰ求极限

（1）[9603]下列极限中，成立的是A.B.C.D.[答]B（2）[0006]解:

例6.用重要极限Ⅱ求极限

（1）[0416]计算 [答]

[解析]解一：令

答]

[

解二：

[0306][0601]（2）[0118]计算

[答]

解:

例7.用函数的连续性求极限 [0407]解:，[答]0

例8.用等价无穷小代换定理求极限 [0317]解:当 [答]0

例9.求分段函数在分段点处的极限（1）[0307]设则在的左极限[答]1 [解析]

（2）[0406]设[解析] ,则

[答]1

例10.求极限的反问题（1）已知[解析]解法一：解法二：令得，解得.解法三：（洛必达法则）

即（2）若[解析]型未定式.当时，令 于是即所以[0402][0017][解析]，得

.则常数

，即，得，.求a,b的值..，得，..，则k=_____.（答:ln2）

前面我们讲的内容：

极限的概念；极限的性质；极限的运算法则；两个重要极限；无穷小量、无穷大量的概念；无穷小量的性质以及无穷小量阶的比较。

第二节函数的连续性

[复习考试要求]

1.理解函数在一点处连续与间断的概念，理解函数在一点处连续与极限存在之间的关系，掌握判断函数（含分段函数）在一点处连续性的方法。2.会求函数的间断点。

3.掌握在闭区间上连续函数的性质会用它们证明一些简单命题。

4.理解初等函数在其定义区间上的连续性，会利用函数连续性求极限。[主要知识内容]

（一）函数连续的概念 1.函数在点x0处连续

定义1设函数y=f（x）在点x0的某个邻域内有定义，如果当自变量的改变量△x（初值为x0）趋近于0时，相应的函数的改变量△y也趋近于0，即

则称函数y=f（x）在点x0处连续。

函数y=f（x）在点x0连续也可作如下定义：

定义2设函数y=f（x）在点x0的某个邻域内有定义，如果当x→x0时，函数y=f（x）的极限值存在，且等于x0处的函数值f（x0），即

定义3设函数y=f（x），如果，则称函数f（x）在点x0处左连续；如果，则称函数f（x）在点x0处右连续。由上述定义2可知如果函数y=f（x）在点x0处连续，则f（x）在点x0处左连续也右连续。2.函数在区间[a，b]上连续

定义如果函数f（x）在闭区间[a，b]上的每一点X处都连续，则称f（x）在闭区间[a，b]上连续，并称f（x）为[a，b]上的连续函数。这里，f（x）在左端点a连续，是指满足关系：，在右端点b连续，是指满足关系：，即f（x）在左端点a处是右连续，在右端点b处是左连续。

可以证明：初等函数在其定义的区间内都连续。3.函数的间断点

定义如果函数f（x）在点x0处不连续则称点x0为f（x）一个间断点。由函数在某点连续的定义可知，若f（x）在点x0处有下列三种情况之一：（1）在点x0处，f（x）没有定义；

（2）在点x0处，f（x）的极限不存在；（3）虽然在点x0处f（x）有定义，且，则点x0是f（x）一个间断点。

存在，但，则f（x）在

A.x=0,x=1处都间断B.x=0,x=1处都连续 C.x=0处间断，x=1处连续 D.x=0处连续，x=1处间断

解：x=0处，f（0）=0

∵f（0-0）≠f（0+0）x=0为f（x）的间断点 x=1处，f（1）=1

f（1-0）=f（1+0）=f（1）∴f（x）在x=1处连续 ［答案］C [9703]设A.0 B.C.D.2 分析：f（0）=k，在x=0处连续，则k等于

［答案］B 例3[0209]设解：f（0）=e0=1

在x=0处连续，则a=

∵f（0）=f（0-0）=f（0+0）∴a=1 ［答案］1

（二）函数在一点处连续的性质

由于函数的连续性是通过极限来定义的，因而由极限的运算法则，可以得到下列连续函数的性质。

定理1.12（四则运算）设函数f（x），g（x）在x0处均连续，则（1）f（x）±g（x）在x0处连续（2）f（x）·g（x）在x0处连续（3）若g（x0）≠0，则在x0处连续。

定理1.13（复合函数的连续性）设函数u=g（x）在x=x0处连续，y=f（u）在u0=g（x0）处连续，则复合函数y=f[g（x）]在x=x0处连续。

在求复合函数的极限时，如果u=g（x），在x0处极限存在，又y=f（u）在对应的

定理1.14（反函数的连续性）设函数y=f（x）在某区间上连续，且严格单调增加（或严格单调减少），则它的反函数x=f-1（y）也在对应区间上连续，且严格单调增加（或严格单调减少）。

（三）闭区间上连续函数的性质

在闭区间[a，b]上连续的函数f（x），有以下几个基本性质，这些性质以后都要用到。

定理1.15（有界性定理）如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，则f（x）必在[a，b]上有界。

定理1.16（最大值和最小值定理）如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，则在这个区间上一定存在最大值和最小值。

定理1.17（介值定理）如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，且其最大值和最小值分别为M和m，则对于介于m和M之间的任何实数C，在[a，b]上至少存

处连续，则极限符号可以与函数符号交换。即

在一个ξ，使得

推论（零点定理）如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，且f（a）与f（b）异号，则在[a，b]内至少存在一个点ξ，使得 f（ξ）=0

（四）初等函数的连续性

由函数在一点处连续的定理知，连续函数经过有限次四则运算或复合运算而得的函数在其定义的区间内是连续函数。又由于基本初等函数在其定义区间内是连续的，可以得到下列重要结论。

定理1.18初等函数在其定义的区间内连续。

利用初等函数连续性的结论可知：如果f（x）是初等函数，且x0是定义区间内的点，则

f（x）在x0处连续

也就是说，求初等函数在定义区间内某点处的极限值，只要算出函数在该点的函数值即可。［0407］

[0611]

例1.证明三次代数方程x3-5x+1=0在区间（0,1）内至少有一个实根.证：设f（x）=x3-5x+1 f（x）在［0，1］上连续 f（0）=1 f（1）=-3 由零点定理可知，至少存在一点ξ∈（0，1）使得f（ξ）=0，ξ3-5ξ+1=0 即方程在（0，1）内至少有一个实根。本章小结

函数、极限与连续是微积分中最基本、最重要的概念之一，而极限运算又是微积分的三大运算中最基本的运算之一，必须熟练掌握，这会为以后的学习打下良好的基础。

这一章的内容在考试中约占15%，约为22分左右。现将本章的主要内容总结归纳如下：

一、概念部分

重点：极限概念，无穷小量与等价无穷小量的概念，连续的概念。

极限概念应该明确极限是描述在给定变化过程中函数变化的性态，极限值是一个确定的常数。

函数在一点连续性的三个基本要素：（1）f（x）在点x0有定义。（2）（3）存在。

常用的是f（x0-0）=f（x0+0）=f（x0）。

二、运算部分

重点：求极限，函数的点连续性的判定。1.求函数极限的常用方法主要有：（1）利用极限的四则运算法则求极限；

对于“”型不定式，可考虑用因式分解或有理化消去零因子法。（2）利用两个重要极限求极限；

（3）利用无穷小量的性质求极限；（4）利用函数的连续性求极限； 若f（x）在x0处连续，则。

（5）利用等价无穷小代换定理求极限；（6）会求分段函数在分段点处的极限；（7）利用洛必达法则求未定式的极限。

2.判定函数的连续性，利用闭区间上连续函数的零点定理证明方程的根的存在性。

第三篇：高等数学专升本考试大纲

湖南工学院“专升本”基础课考试大纲

《高等数学》考试大纲

总

要

求

考生应按本大纲的要求，了解或理解“高等数学”中函数、极限和连续、一元函数微分学、一元函数积分学、无穷级数、常微分方程的基本概念与基本理论；学会、掌握或熟练掌握上述各部分的基本方法。应注意各部分知识的结构及知识的内在联系；应具有一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力、空间想象能力；有运用基本概念、基本理论和基本方法正确地推理证明，准确地计算；能综合运用所学知识分析并解决简单的实际问题。

本大纲对内容的要求由低到高，对概念和理论分为“了解”和“理解”两个层次；对方法和运算分为“会”、“掌握”和“熟练掌握”三个层次。

内

容

一、函数、极限和连续

（一）函数 1.考试范围

（1）函数的概念：函数的定义

函数的表示法

分段函数（2）函数的简单性质：单调性

奇偶性

有界性

周期性（3）反函数：反函数的定义

反函数的图象（4）函数的四则运算与复合运算

（5）基本初等函数：幂函数 指数函数 对数函数 三角函数

反三角函数（6）初等函数 2.要求

（1）理解函数的概念，会求函数的定义域、表达式及函数值。会求分段函数的定义域、函数值，并会作出简单的分段函数图像。

（2）理解和掌握函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性，会判断所给函数的类别。

（3）了解函数y=ƒ（x）与其反函数y=ƒ-1（x）之间的关系（定义域、值域、图象），会求单调函数的反函数。

（4）理解和掌握函数的四则运算与复合运算，熟练掌握复合函数的复合过程。（5）掌握基本初等函数的简单性质及其图象。（6）了解初等函数的概念。

（7）会建立简单实际问题的函数关系式。

（二）极限 1.考试范围

（1）数列极限的概念：数列

数列极限的定义

（2）数列极限的性质：唯一性

有界性

四则运算定理

夹逼定理

单调 1 有界数列

极限存在定理

（3）函数极限的概念

函数在一点处极限的定义

左、右极限及其与极限的关系

x趋于无穷（x→∞，x→+∞，x→-∞）时函数的极限

函数极限的几何意义

（4）函数极限的定理：唯一性定理

夹逼定理

四则运算定理（5）无穷小量和无穷大量

无穷小量与无穷大量的定义

无穷小量与无穷大量的关系

无穷小量与无穷大量的性质

两个无穷小量阶的比较

（6）两个重要极限

limsinxxx0lim（1x1x）e

x2.要求

（1）理解极限的概念（对极限定义中“ε-N”、“ε-δ”、“ε-M”的描述不作要求），能根据极限概念分析函数的变化趋势。会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。

（2）了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。

（3）理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。会进行无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等阶）。会运用等价无穷小量代换求极限。

（4）熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。

（三）连续 1.考试范围

（1）函数连续的概念

函数在一点连续的定义 左连续和右连续

函数在一点连续的充分必要条件

函数的间断点及其分类

（2）函数在一点处连续的性质

连续函数的四则运算

复合函数的连续性

反函数的连续性（3）闭区间上连续函数的性质

有界性定理 最大值和最小值定理

介值定理（包括零点定理）（4）初等函数的连续性 2.要求

（1）理解函数在一点连续与间断的概念，掌握判断简单函数（含分段函数）在一点的连续性，理解函数在一点连续与极限存在的关系。

（2）会求函数的间断点及确定其类型。

（3）掌握在闭区间上连续函数的性质，会运用介值定理推证一些简单命题。（4）理解初等函数在其定义区间上连续，并会利用连续性求极限。二、一元函数微分学

（一）导数与微分 1.考试范围（1）导数概念

导数的定义

左导数与右导数

导数的几何意义与物理意义

可导与连续的关系

（2）求导法则与导数的基本公式

导数的四则运算

反函数的导数

导数的基本公式（3）求导方法

复合函数的求导法

隐函数的求导法

对数求导法

由参数方程确定的函数的求导法

求分段函数的导数

（4）高阶导数的概念：高阶导数的定义

高阶导数的计算

（5）微分：微分的定义

微分与导数的关系

微分法则

一阶微分形式不变性

2.要求

（1）理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，会用定义求函数在一点处的导数。

（2）会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。

（3）熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法，会求反函数的导数。

（4）掌握隐函数的求导法、对数求导法以及由参数方程所确定的函数的求导方法，会求分段函数的导数。

（5）理解高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数。

（6）理解函数的微分概念，掌握微分法则，了解可微与可导的关系，会求函数的一阶微分。

（二）中值定理及导数的应用 1.考试范围

（1）中值定理：罗尔（Rolle）中值定理

拉格朗日（Lagrange）中值定理（2）洛必达（L’Hospital）法则（3）函数增减性的判定法

（4）函数极值与极值点

最大值与最小值（5）曲线的凹凸性、拐点

（6）曲线的水平渐近线与垂直渐近线 2.要求

（1）了解罗尔中值定理、拉格朗日中值定理及它们的几何意义。会用罗尔中值定理证明方程根的存在性。会用拉格朗日中值定理证明简单的不等式。

（2）熟练掌握洛必达法则求“0/0”、“∞/ ∞”、“0•∞”、“∞-∞”、“1∞”、“00”和“∞”型未定式的极限方法。

（3）掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法，会利用函数的增减性证明简单的不等式。

（4）理解函数极值的概念，掌握求函数的极值和最大（小）值的方法，并且会解简单的应用问题。0（5）会判定曲线的凹凸性，会求曲线的拐点。（6）会求曲线的水平渐近线与垂直渐近线。（7）会作出简单函数的图形。三、一元函数积分学

（一）不定积分 1.考试范围

（1）不定积分的概念：原函数与不定积分的定义

原函数存在定理

不定积分的性质

（2）基本积分公式

（3）换元积分法：第一换元法（凑微分法）

第二换元法（4）分部积分法

（5）一些简单有理函数的积分 2.要求

（1）理解原函数与不定积分概念及其关系，掌握不定积分性质，了解原函数存在定理。

（2）熟练掌握不定积分的基本公式。

（3）熟练掌握不定积分第一换元法，掌握第二换元法（限于三角代换与简单的根式代换）。

（4）熟练掌握不定积分的分部积分法。（5）会求简单有理函数的不定积分。

（二）定积分 1.考试范围

（1）定积分的概念：定积分的定义及其几何意义

可积条件（2）定积分的性质（3）定积分的计算

变上限的定积分

牛顿一莱布尼茨（Newton-Leibniz）公式

换元积分法

分部积分法

（4）无穷区间的广义积分

（5）定积分的应用：平面图形的面积

旋转体的体积

2.要求

（1）理解定积分的概念与几何意义，了解可积的条件。（2）掌握定积分的基本性质。

（3）理解变上限的定积分是变上限的函数，掌握对变上限定积分求导数的方法。

（4）掌握牛顿—莱布尼茨公式。

（5）掌握定积分的换元积分法与分部积分法。

（6）理解无穷区间广义积分的概念，掌握其计算方法。

（7）掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积以及平面图形绕坐标轴旋转所生成的旋转体体积。

四、多元函数的微积分学及应用

（一）多元函数的微分学 1.考试范围

（1）多元函数的概念 二元函数的几何意义 二元函数的极限与连续的概念（2）多元函数偏导数的概念与几何意义 全微分的概念（3）全微分存在的必要条件和充分条件

（4）多元复合函数 隐函数的求导方法 二阶偏导数

2.要求

（1）理解多元函数的概念；了解二元函数的几何意义； 了解二元函数的极限的连续的概念。

（2）理解多元函数偏导数和全微分的概念，知道全微分存在的必要条件和充分条件。（3）掌握偏导数与微分的四则运算法则，掌握复合函数的求导法则法，会求一些函数的二阶偏导数。

（二）多元函数的微分学的应用 1.考试范围

（1）多元函数极值和条件极值的概念

（2）多元函数极值的必要条件 二元函数极值的充分条件（3）多元函数极值和最值的求法及简单应用 2.要求

（1）了解多元函数极值和条件极值的概念，知道多元函数极值存在的必要条件。（2）了解二元参数极值存在的必要条件和充分条件。

（3）掌握二元函数极值、最值问题的求法，会解简单应用问题。

（三）二重积分 1．考试范围

（1）二重积分的概念和性质（2）二重积分的计算和应用 2．要求

（1）了解二重积分的概念与性质，了解二重积分的中值定理。（2）掌握二重积分的计算方法，会用二重积分求一些简单几何量。

五、常微分方程

（一）一阶微分方程 1.考试范围

（1）微分方程的概念：微分方程的定义

阶

解

通解

初始条件

特解（2）可分离变量的方程（3）一阶线性方程 2.要求

（1）理解微分方程的定义，理解微分方程的阶、解、通解、初始条件和特解。（2）掌握可分离变量方程的解法。（3）掌握一阶线性方程的解法。

（二）可降价方程 1.考试范围

（1）y（n）= ƒ（x）型方程

（2）y″= ƒ（x，y′）型方程 2.要求

（1）会用降价法解（1）y

（三）二阶线性微分方程 1.考试范围

（1）二阶线性微分方程解的结构（2）二阶常系数齐次线性微分方程（3）二阶常系数非齐交线性微分方程 2.要求

（1）了解二阶线性微分方程解的结构。

（2）掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法。

（3）掌握二阶常系数非齐次线性微分方程的解法（自由项限定为ƒ（x）=Pn（x）eax，其中Pn（x）为x的n次多项式。α为实常数）.（n）

= ƒ（x）型方程

（2）会用降价法解y″= ƒ（x，y′）型方程

试 卷 结 构

试卷总分：100分 考试时间：120分钟 试卷题型比例：

选择题

约15% 填空题

约25% 计算题

约40% 综合题

约20% 试题难易比例：

容易题

约40% 中等难度题

约50% 较难题

约10% 章节比例：

一、函数、极限和连续

约25% 二、一元函数微分学

约25% 三、一元函数积分学

约25%

四、多元函数的微积分学及应用

约15%

五、常微分方程

约10% 指定教材：

《高等数学》（上、下册）第五版，同济大学应用数学系编 《高等数学》 王国政主编 復旦大学出版社

《高等数学学习指导》（上）黎国玲主编 復旦大学出版社

《高等数学学习指导》（下 练习册）湖南工学院数学教研室编 復旦大学出版社

第四篇：2008年成考专升本高等数学

海原县甘城中学关于2011年秋季“八项”

工作自检的报告

我校按照市、县教育局有关开学工作的部署，结合本校实际情况，并根据海教发【2011】89号文件认真做好了2011秋季开学工作。现将具体情况汇报如下：

一、学校管理及师生到校

1、师生到校

我校8月26日召开了校委会议，专门就开学“八项”工作和开学其他工作作了安排。8月27、28日完成了学生的报名注册工作，8月29日开始正式上课。8月27日，召开了全校教职工大会，提出了本学期的工作目标，并部署各项具体工作。目前，我校在校教职工43人，其中专任教师38人，现在岗教师38人。

2、学校管理

学校各部门认真制定新学期工作计划及安排，特别德育组对《中小学文明礼仪教育指导纲要》（海教转发【2011】37号）各项工作进行部署和安排。教务处协助教研组制定了教师培训计划安排，成立“国培计划”管理制度，并安排专人负责。教务处严格执行学生学籍管理流程，按照义务教育阶段学生学籍编码规则完善了学籍档案。校长办公室制定教师考核制度，一开学对教师严格考勤。

开学初，学校组织安全领导小组成员对宿舍、课室及其他场室的教育教学设施设备进行了一次具体、彻底的检查，未发现有安全隐患的情况。并组织相关人员对食堂、小卖部的安全进行了检查，食堂卫生和公共卫生进行了清理并消毒，确保师生的饮食安全和身体健康。

二、规范办学行为

学校按照部颁标准，开足课程、开齐课时，课程表编排科学合理，没有擅自增加或减少课程或课时现象；认真实行新课程改革，没有设置任何形式的重点班和实验班。学生的教学用书和辅导材料严格按照教育厅规定的范围征订，不存在向学生推销生活用品、学习用品及教辅资料的现象。我校在每学期初都坚持开展义务教育法律法规的宣

传，在上学期期末总结大会上专门强调了关于教师在节假日不能给学生进行有偿补课的事情，在本学期开学后对本校教师进行了摸底调查，未发现有违反规定利用节假日进行有偿家教的现象。

三、收费情况

我校严格执行上级有关规定，严格按县物价局、教育局、财政局核定的标准、项目收费，把县教育局统一做好的收费公示栏放置于学校公开栏处，做好公示。学校按规定使用财政统一印制的票据，按县教育局下发的收费工作细则要求填写票据。不存在年级、班级、教师的个人收费行为。

四、落实经费保障体制政策和资助家庭经济困难学生

我校成立以校长为组长，其他校委会成员及班主任为组员的义务教育经费保障机制领导机构，制定具体可行的方案，落实了“两免一补”、“营养早餐行动”等惠民政策。教务处完善免费教科书、循环教科书的使用管理办法，通过班主任或者直接将免费教科书、循环教科书按时发放到学生手中。并对各班进行摸底，清查是否按要求义务教育阶段要求不收班费、订阅除《学习之友》外其他辅导资料。摸底清查过程中未发现乱收费的情况。

二、学校安全工作情况

1、本学期安全隐患排查及整改情况

开学初，学校组织安全领导小组成员对宿舍、课室及其他场室的教育教学设施设备进行了一次具体、彻底的检查，未发现有安全隐患的情况。

2、学校安全工作的主要措施

a、学校建立健全了安全工作机构，在第一周与年级主任、班主任签订安全责任书。

b、班主任认真上好第一堂安全教育主题班会课。校内保卫人员做到24小时护校，并做到一日三巡。

c、学校在开学前，d、开学后，学校将继续定期对各教育教学设施设备进行检查，确保了在教学期间的师生的安全。

3、疾病预防工作。我校认真贯彻落实各个部门有关做好秋季疾病防控工作的要求，根据疾病传染的特点、趋势和实际情况，做好预防措施。

四、执行教育法律法规情况

五、推进“教育创强”工作情况

我校按照县创强办《落实创建教育强镇工作规划意见》，结合我校实际，一面加强学校硬件设施的建设和完善，一面加紧有关档案资料的收集和整理，在推进教育强镇工作上取得了的进展。

六、校园美化、绿化、净化情况

开学前，学校就开始组织人员清除杂草、维修学生宿舍设施和学生板凳、桌椅。开学第一天，各班组织学生进行了全面、彻底的大扫除，给广大师生、家长创造了一个整洁、美丽的校园环境。校园卫生实行清洁区包干制度，每月评比制度等，坚持每天三小扫，每周一大扫。每学期开学，我校还通过开展班容内务评比活动，进一步促进校园美化、净化工作。

八、仪器室、实验室等功能室的管理使用情况

我校始终以“强化管理促使运用，确保发挥功能室效益”为宗旨，充分利用现有教育资源，提高教师素质和教学质量，服务学校、教师和学生。为加强各功能室的管理，学校与各室负责人明确工作职责，制订了具体的管理制度。

九、存在问题及努力方向

面对日趋增加的人口输出，学生就学率逐年减少，学校硬件条件还需改善等问题，我们将进一步深化课程改革，注重师资建设，有与时俱进的教师学习型群体；坚持三个面向，全面推进素质教育，提升校园文化品味，优化育人环境；落实硬件配套，有现代化的硬件办学设施；学校管理逐步走向科学化、制度化、规范化、民主化的轨道，使条件上档次、管理上水平、质量上台阶、学校上等级，向海原县示范性学校行列迈进。

海原县甘城中学 2011年9月5日

第五篇：专升本高等数学复习题15

数学分析3试卷（2）

一、（12%）判别下列级数的敛散性：



（1）

n1(n!)2(2n)!（2）

n1nnn(2n1)

二、（20%）证明

11xsinysinyx（1）f(x,y)

0xy0xy0(x,y)在原点(0,(0,0)的 极限是0.（2）g(x,y)xy

xy22在原点(0,0)不存在极限.xy

三、（10%）证明函数f(x,y)0xy0xy0在(0,0)存在两个偏导数，但是在(0,0)

不可微.四、（10%）求复合函数f(x,y),x2(st),yst的二阶偏导数.五、（12%）验证方程x3y3z32xyz6在点(1,1,2)的邻域存在以x,y为自变量的隐函数并求z

x与z

y.六、（10%）求函数z3x3y6xy的极值.七、（10%）求曲面zxy1在点(1,1,1)的切平面方程与法线的方程.2233

八、（10%）.设f(x)1nn1

42x4x2(n0)（1）判定级数

n1x1nx的一致收敛性.（2）证明和函数f(x)在(0,)连续.