初中一年级数学第二试试题及答案(竞赛)201305五篇范文

第一篇：初中一年级数学第二试试题及答案(竞赛)201305

初中一年级数学第二试试题及答案(竞赛）201305

初中一年级数学第二试试题及答案

一、选择题（每题1分，共5分）

以下每个题目里给出的A，B，C，D四个结论中有且仅有一个是正确的．请你在括号填上你认为是正确的那个结论的英文字母代号．

1．某工厂去年的生产总值比前年增长a%，则前年比去年少的百分数是 [ ] A．a%． B． 1+a %． C.D.2．甲杯中盛有2m毫升红墨水，乙杯中盛有m毫升蓝墨水，从甲杯倒出a毫升到乙杯里, 0＜a＜m，搅匀后，又从乙杯倒出a毫升到甲杯里，则这时 [ ] A．甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水少． B．甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水多． C．甲杯中混入的蓝墨水和乙杯中混入的红墨水相同．

D．甲杯中混入的蓝墨水与乙杯中混入的红墨水多少关系不定． 3.已知数x 100,则[ ] A．x是完全平方数．B． x－50 是完全平方数． C． x－25 是完全平方数．D． x+50 是完全平方数．

4．观察图1中的数轴：用字母a，b，c依次表示点A，B，C对应的数,则的大小关系是[ ] A.;B.;C.;D..5．x 9，y －4是二元二次方程2x2+5xy+3y2 30的一组整数解，这个方程的不同的整数解共有

[ ]

D．16组． A．2组． B．6组．C．12组．

二、填空题（每题1分，共5分）

1．方程|1990x－1990| 1990的根是______．

2．对于任意有理数x，y，定义一种运算*，规定x*y ax+by－cxy，其中的a，b，c表示已知数，等式右边是通常的加、减、乘运算．又知道1*2 3，2*3 4，x*m x（m≠0），则m的数值是______．

3．新上任的宿舍管理员拿到20把钥匙去开20个房间的门，他知道每把钥匙只能开其中的一个门，但不知道每把钥匙是开哪一个门的钥匙，现在要打开所有关闭着的20个房间，他最多要试开______次．

4．当m ______时，二元二次六项式6x2+mxy－4y2－x+17y－15可以分解为两个关于x，y的二元一次三项式的乘积．

5．三个连续自然数的平方和（填“是”或“不是”或“可能是”）______某个自然数的平方．

三、解答题（写出推理、运算的过程及最后结果．每题5分，共15分）1．两辆汽车从同一地点同时出发，沿同一方向同速直线行驶，每车最多只能带24桶汽油，途中不能用别的油，每桶油可使一辆车前进60公里，两车都必须返回出发地点，但是可以不同时返回，两车相互可借用对方的油．为了使其中一辆车尽可能地远离出发地点，另一辆车应当在离出发地点多少公里的地方返回？离出发地点最远的那辆车一共行驶了多少公里？ 2．如图2，纸上画了四个大小一样的圆，圆心分别是A，B，C，D，直线m通过A，B，直线n通过C，D，用S表示一个圆的面积，如果四个圆在纸上盖住的总面积是5 S－1，直线m，n之间被圆盖住的面积是8，阴影部分的面积S1，S2，S3满足关系式S3 S1 S2,求S．

3.求方程的正整数解.答案与提示

一、选择题 提示：

1．设前年的生产总值是m，则去年的生产总值是 前年比去年少

这个产值差占去年的应选D．

2．从甲杯倒出a毫升红墨水到乙杯中以后： 再从乙杯倒出a毫升混合墨水到甲杯中以后： 乙杯中含有的红墨水的数量是 ① 乙杯中减少的蓝墨水的数量是 ② ∵① ②∴选C． ∴x－25 10n+2+5 2 可知应当选C．

4．由所给出的数轴表示（如图3）： 可以看出

∴①＜②＜③，∴选C．

5．方程2x2+5xy+3y2 30可以变形为 2x+3y x+y 1??2??3??5 ∵x，y是整数，∴2x+3y，x+y也是整数． 由下面的表

可以知道共有16个二元一次方程组，每组的解都是整数，所以有16组整数组，应选D．

二、填空题 提示：

1．原方程可以变形为|x－1| 1，即x-1 1或-1，∴x 2或0． 2．由题设的等式x*y ax+by-cxy 及x*m x m≠0 得a??0+bm-c??0??m 0，∴bm 0． ∵m≠0，∴b 0． ∴等式改为x*y ax-cxy． ∵1*2 3，2*3 4，解得a 5，c 1．

∴题设的等式即x*y 5x-xy．

在这个等式中，令x 1，y m，得5-m 1，∴m 4． 3．∵打开所有关闭着的20个房间，∴最多要试开

4．利用“十字相乘法”分解二次三项式的知识，可以判定给出的二元二次六项式 6x2+mxy-4y2-x+17y-15 中划波浪线的三项应当这样分解： 3x-5 2x +3 现在要考虑y，只须先改写作

然后根据-4y2，17y这两项式，即可断定是：

由于 3x+4y-5 2x-y+3 6x2+5xy-4y2-x+17y-15就是原六项式，所以m 5． 5．设三个连续自然数是a-1，a，a+1，则它们的平方和是 a-1 2+a2+ a+1 2 3a2+2，显然，这个和被3除时必得余数2．

另一方面，自然数被3除时，余数只能是0或1或2，于是它们可以表示成 3b，3b+1，3b+2（b是自然数）中的一个，但是它们的平方 3b 2 9b2 3b+1 2 9b2+6b+1，3b+2 2 9b2+12b+4 9b2+12b+3 +1 被3除时，余数要么是0，要么是1，不能是2，所以三个连续自然数平方和不是某个自然数的平方．

三、解答题

1．设两辆汽车一为甲一为乙，并且甲用了x升汽油时即回返，留下返程需的x桶汽油，将多余的 24-2x 桶汽油给乙．让乙继续前行，这时，乙有 24-2x + 24-x 48-3x桶汽油，依题意，应当有48-3x≤24，∴x≥8． 甲、乙分手后，乙继续前行的路程是

这个结果中的代数式30 48-4x 表明，当x的值愈小时，代数式的值愈大，因为x≥8，所以当x 8时，得最大值30 48-4??8 480（公里），因此，乙车行驶的路程一共是2 60??8+480 1920（公里）． 2．由题设可得 即2S-5S3 8……② ∴x，y，z都＞1，因此，当1＜x≤y≤z时，解

x，y，z 共 2，4，12，2，6，6，3，3，6，3，4，4 四组．

由于x，y，z在方程中地位平等．所以可得如下表所列的15组解．

第二篇：第二学期一年级数学竞赛试题

名姓级班校学 2008-2009学第二学期一年级数学竞赛试卷 ②2、11、2、10、2、（）、（）、8

一、填空（每空2分，共40分）

二、计算（每小题4分，共24分）（1）☆＋20－20＝35，这道数学题中的☆＝（）96－34－36＝87－32＋45＝100－27－38＝ 93－69＋25＝98－89＋72＝（2）张50元钱可以换（）张20元和（）张10元。2＋4＋6＋8＋10＋12＋14＋16＋18＋20＝（3）50以内个位上是8的两位数有：

三、解决问题（每小题12分，共36分）（4）60连续减8，60、、、。

1、小明今年17岁，小杰14岁，多少年后小明和小杰的年龄一（5）3、5、8能组成（）个两位数，把它们按从小到大的顺序排共有49岁？ 列：（）（6）人跳绳，小青比小红多跳13下，小花比小红多跳9下，小青比

2、哥哥给了弟弟6支铅笔后还剩15支，这时两人的铅笔一样多，小花多跳（）下。弟弟原来有铅笔多少支？（7）77少20的数是（）；69和71中间的数是（）；（）比36多20；28比（）少10。（8）位数字和个位数字相加，和是11的两位数有（）个。

3、小红有12本书，小青有4本书，小红要给小青多少本书后，（9）规律填数： 两个人的书同样多？ ①3、7、11、15、（）、（）

第三篇：第二十一届“五羊杯”初中数学竞赛初一试题+答案

第二十一届“五羊杯”初中数学竞赛初一试题

（考试时间90分钟，满分100分）

一、选择题（4选1型，共10小题，每小题选对得5分，否则得O分．本题满分50分）． 1．某公司属下有4家工厂，其中A工厂的产值（按2008计算，下同）占全公司产值的产值是A工厂的4，B工厂的1354，C工厂的产值是A、B两厂产值的，D工厂比C工厂的产值多4000万元，则公司2008611年的产值是__________亿元．

A.15.6； B.15.8；

C.16.2；

D.15.4.2．在999—9999中，有____个数是完全立方数，但不是完全平方数．

A．10； B．11；

C．12；

D．13.2009200823．的负倒数为_______． 2009200722009200922 A.1； B.1/2；

C.-2；

D.-1/2.4．一块稻田里有一只害虫，-只青蛙距离害虫6米，青蛙要跳过去把害虫吃掉，但每次只能跳0.5米或l米，那么一共有____种跳法．

A.377； B.235；

C.234；

D.233.5．某公司总共有50间办公室，新上任的管理员拿50把钥匙去开门，他知道每把钥匙只能打开其中一扇门，但不知哪扇门与哪把钥匙配套，问：他最多要试________次才能打开这50扇关闭的门．

A.1250； B.900；

C.2500；

D.1225.6．小明身上有n(n＞7)元钱，他去商店买了若干个3元和5元的雪糕，则在下列说法中，正确的是_____．

A．无论n多大，总有买法使得钱没有剩余； B．无论怎样买，总会有余钱；

C.无论怎样买，有没有余钱依赖于n的值； 7．图l中共有____个四边形．

A．15； B．19；

C．20；

D．23．

D．无论怎样买，都不会有余钱．

8．图2是由大、小两个正方形组成的组合图形，其中大正方形的面积是50平方厘米，则阴影部分的面积是____平方厘米，A.20； B.25；

C.27；

D.30.9．现有1ml，2ml，5ml，10ml四个量筒和一个足够大的容器，若每次允许最多使用两个量筒，那么可以量出______种不同体积的水？

A．11； B．12；

C．13；

D．14.10．已知M200820082008，则M除以21的余数为__________．

2008个2008 A．1； B．13； C．14； D．0．

二、填空题（共10小题，每小题答对得5分，否则得O分，本题满分50分）． 11111.已知|a|，则|a|的值是__________。

aa212．在13,23,33,,20093每个数的前面任意添加“+"或“-”，它们的代数和是______数．（填“奇”或“偶”）13．五羊中学2008，2009级的学生人数都是完全平方数，且2009级的学生人数比2008级多148人，则该校2009级的学生人数是________人．

14.数101112131415„9899100，如果去掉其中100个数字，使得剩下的新数最大，则这个新数的前12位数字分别为____．

15.使得关于x的方程2(3xk)kx2有正整数解的整数k为_______________.16．方程xy10的整数解组是____________． xy17．为建设奥运主会场“鸟巢”，计划用25辆大卡车在规定时间内搬运3000根大钢棵．全部卡车搬运了4次后，由于机械故障，有5台卡车不能工作了．但由于每辆卡车每次比原来多搬运了l根钢樑，结果恰好能及时完工，问：原先每辆卡车每次运__________根钢樑．

18．在l，2，3，„，2009这2009个自然数中，能被7整除的完全平方数有____个．

19．有两个失准的时钟，一昼夜第一个钟快8分钟，第二个钟慢4分钟．当两个时钟都指向中午12点时，经过T个昼夜之后，它们又同时指向中午12点钟，则T的最小值为________个昼夜．

20．在上，下行的轨道上，两列火车相向开行，甲列车的车身长235米，速度为108公里／小时乙列车的车身长260米，速度为90公里／小时．这两列火车从车头相遇到车尾离开需要时间__________秒.参考答案

一、选择题 1．A．

解：因为(4/13+4/13×5/6)×4/11=8/39，即C工厂的产值占全公司的8/39.又因为1-(4/13+ 10/39)(1+4/11)=l-10/13=3/13．，即D工厂的产值占全公司的3/13.又0.4÷(3/13-8/39)=0.4×39=1.56(亿元)． 2．B．

解：因为在999~9999中，完全立方数有101000,11,12,,219251，而2210648，其中只有163是完全平方数，故满足条件的数共有21-10+1-1=11（个）．

333333．C

a2解：令a= 20082007，则原式(a1)2(a1)22(a22a1)(a22a1)21故其负倒数为-2． 24．D．

解：本题可转化为上台阶问题：有一个n级台阶，每次只能上1级或2级，从底到顶有多少种上法？设f(n）为上到n级台阶的方法数，则f(n）=f(n-1)+ f(n-2)，n≥3．由题意可知f(l)=1，f(2)=2，f(3)=3，f(4）=5，f(5）=8，f(6）= 13，f(7)=21，f(8)=34，f(9)=55，f(10)=89，f(11)=144，f(12)=233，故共233种上法． 5．D．

解：利用极端原理，考虑最差情况是开第一扇门需要试49次，开第二扇门要试48次，依次可得，开第49扇门要试1次，最后一扇门就不用试了，因为最后就剩下一把钥匙一扇门故最多需要试4948 32150491225 26．A 解：令n =3×a+b，其中n为正整数，b=0，l，2．当b=0时，显然可以买a条3元的雪糕，没有余钱剩下；当b=l时，n可以写成n=（a-3）×3+3×3+1=（a-3)×3+5 x2，其中a≥3；当b=2时，n可以写成n=（a-l）×3+3+2=（a-l)×3+5，其中a≥1．所以不管n取何值，总有一种买法，使得余钱为0，故选A． 7．C 解：图中共有10个点，其中包含A，B，C，D，E五个点中的四个的四边形有5个；包含 A，B，C，D，E中三个相邻点的四边形有5个（不相邻的三点构成三角形面，不是四边形）；包含其中相邻两点的四边形有5个（不相邻的两点不能构成四边形）；包含其中一个顶点的四边形有5个；不含A，B，C，D，E的四边形不存在，总共20个，故选C 8．B．

解：连接CG，则阴影部分面积为三角形ACG，AGF，CGF的面积，令AD =a，GF =b，所以S=（a-b）×a÷2+(a-b)×b÷2+b×b÷2=a×a÷2，即恰好为大正方形面积的一半25平方厘米．

9．C．

解：每次只使用一个量筒可量出1ml，2ml，5ml，10ml；每次使用两个量筒，第一种水量相加可得：3ml，6ml，7ml，llml，12ml，15ml；第二种水量相减可得：lml，3ml，4ml，5ml，8ml，9ml.除去重复的，总共有13种． 10．B 解：因为200820082008200810001000100010001，记00010001为N，由于100010001是

2007个00012007个000121的倍数，并且中共有2008个l，即有669个100010001000连写，最后还剩下一个l，也就是说被21除余数为l，而2008被21除余数为13，故被21除余数为l×13=13.二、填空题 11．17/2

解：因为1/a1/2|a|0，可知a＞0，故1/a|a|12．奇数.解：因为整数a与an（n为正整数）的奇偶性相同，故原题等价于“在数l，2，3，2009的每个数的前面任意添加“+”或“-”，求其代数和”，又因为两个整数之和与这两个整数之差的奇偶性相同，所以在数1，2，3，2009前面添上“+”或“-”不改变其奇偶性，而1232009为奇数． 13.1444．

解：设2008年，2009年学生的人数分别是m2和n2，则n-m148，即(nm)(nm)148．而n+m与n-m的奇偶性相同，故只有148=2×74.由14.999996666665.解：由位值原则，前面的数字越大则这个数就越大，所以第一个数字为9，去掉前面19个数字，第二个数

mn74，解得n= 38，m=36.求得3821444

nm222(1/a|a|)241/4417/2.2010200910052009 字为9，去掉两个9之前的19个数；依次类推„„；当前面5个数字都为9时已经去掉95个数，这时，接下去的数字为60616263646566，而0，l，2，3，4都比6小，所以把6留下去掉这5个数字剩下的数为最大，即为***7„99100，其前12位数字为999996666665.15.4或5． 解：化简原方程得x2k22(k6)146k6k21414为正整数，那么为大于等于3的整数，由于k6k6k为整数，所以k只能为4或5．

16.(11，110)，(110，11)，(12，60)，(60，12)，(14，35)，(35，14)，(15，30)，(30，15)，(20，20).解：方程xy10等价于(x-10)(y-10)=100．从而得（x-10）(y-10)=100×l=50×2=25×4=20×5 =10 xy×10．解方程并由对称性得到所求． 17.4．

解：故障后，每辆卡车每次多搬运1根，则每次共多搬运20根，恰好等于故障的那五台卡车每次的工作量，故每辆卡车每次运20÷5 =4（根）． 18.6．

解：因为7是质数，能被7整除的完全平方数应同时被49整除．2009÷49=41，即在l至2009这2009个自然数中，有41个能被49整除．而在l至41这41个自然数中，只有1，4，9，16，25，36是平方数，他们与49的乘积构成能被7整除的完全平方数． 19.360．

解：一个昼夜两只时钟所指时间的差增加12分钟，所以经过24×60÷12=120个昼夜，两只时钟所指时间相等，然后再经过240个昼夜，360个昼夜，„„所指时间又相等．设120n个昼夜后，两个时钟又指示同．个时间中午12点，此时，第一个时钟超前了120×8n分钟，即16n小时，为了这时所指的时间是精确时间，必须16n被24整除，为此，最小的合适的正整数是n=3，即经过120×3=360个昼夜，两个时钟又指示同一时间中午12点． 20.9．

解：依题意，甲列车的速度是v1108000/360030m/s．乙列车的速度是v290000/360025m/s．两车相遇时，两车车尾的距离：235+260=495(m).两车车头相遇到车尾离开所需时间t

4959（秒）．

30255

第四篇：1996年全国初中数学竞赛试题及答案

1996年全国初中数学联赛试题

A．M＞N

B．M=N

C．M＜N

D．不确定

A．有一组 B．有二组

C．多于二组

D．不存在

3．如图，A是半径为1的圆O外的一点，OA=2，AB是圆O的切线，B是切点，弦BC∥OA，连结AC，则阴影部分的面积等于 [

]

4．设x1、x2是二次方程x2+x3=0的两个根，那么x134x22+19的值等于 [

]

A．

4B．8

C．6

D．0

5．如果一个三角形的面积和周长都被一直线所平分，那么该直线必通过这个三角形的 [

]

A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心

6．如果20个点将某圆周20等分，那么顶点只能在这20个点中选取的正多边形的个数有 [

]

A．4个 B．8个

C．12个

D．24个

2．如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABN=∠MBC，BM=NM，BN=a，则点N到边BC的距离等于______．

3．设1995x3=1996y3=1997z3，xyz＞0，且

4．如图，将边长为1的正方形ABCD绕A点按逆时针方向旋转60°至AB＇C＇D＇的位置，则这两个正方形重叠部分的面积是______．

5.某校在向“希望工程”捐款活动中，甲班的m个男生和11个女生的捐款总数与乙班的9个男人和n个女生的捐款总数相等，都是(m·n+9m+11n+145)元，已知每人的捐款数相同，且都是整数元，求每人的捐款数．

6.设凸四边形ABCD的对角线AC、BD的交点为M，过点M作AD的平行线分别交AB、CD于点E、F，交BC的延长线于点O，P是以O为圆心OM为半径的圆上一点（位置如图所示），求证：∠OPF=∠OEP．

三、（本题满分25分）

已知a、b、c都是正整数，且抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个不同的交点A、B，若A、B到原点的距离都小于1，求a+b+c的最小值．

1996年全国初中数学联赛参考答案

第一试

一、选择题 1．B 2．A 3．B 4．D 5．A 6．C

二、填空题

一、据题意m+11=n+9，且整除mn+9m+11n+145mn+9m+11n+145=(m+11)(n+9)+46，故m+11，n+9都整除46，由此得

综上可知，每人捐款数为25元或47元．

二、作AD、BO的延长线相交于G，∵OE

而，三、据题意，方程ax2+bx+c=0有两个相异根，都在(1，0)中，故

经检验，符合题意，∴a+b+c=11最小．

第五篇：19届全国初中数学竞赛试题及答案

“《数学周报》杯”2019年全国初中数学竞赛试题

一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）

1．若，则的值为（）．

（A）

（B）

（C）

（D）

解：

由题设得．

2．若实数a，b满足，则a的取值范围是

（）．

（A）a≤

（B）a≥4

（C）a≤或

a≥4

（D）≤a≤4

解．C

因为b是实数，所以关于b的一元二次方程的判别式

≥0,解得a≤或

a≥4．

3．如图，在四边形ABCD中，∠B＝135°，∠C＝120°，AB=，BC=，CD＝，则AD边的长为（）．

（A）

（B）

（C）

（D）

（第3题）

解：D

如图，过点A，D分别作AE，DF垂直于直线BC，垂足分别为E，F．

由已知可得

（第3题）

BE=AE=，CF＝，DF＝2，于是

EF＝4＋．

过点A作AG⊥DF，垂足为G．在Rt△ADG中，根据勾股定理得

AD＝．

4．在一列数……中，已知，且当k≥2时，（取整符号表示不超过实数的最大整数，例如，），则等于（）．

(A)

(B)

(C)

(D)

解：B

由和可得，，，，……

因为2010=4×502+2，所以=2．

5．如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰梯形ABCD的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，－1），C（－2，－1），D（－1，1）．y轴上一点P（0，2）绕点A旋转180°得点P1，点P1绕点B旋转180°得点P2，点P2绕点C旋转180°得点P3，点P3绕点D旋转180°得点P4，……，重复操作依次得到点P1，P2，…，则点P2010的坐标是（）．

（A）（2010，2）

（B）（2010，）

（C）（2012，）

（D）（0，2）

解：B由已知可以得到，点，的坐标分别为（2，0），（2，）．

（第5题）

记，其中．

根据对称关系，依次可以求得：，，．

令，同样可以求得，点的坐标为（），即（），由于2010=4502+2，所以点的坐标为（2010，）．

二、填空题

6．已知a＝－1，则2a3＋7a2－2a－12的值等于

．

解：0

由已知得

(a＋1)2＝5，所以a2＋2a＝4，于是

2a3＋7a2－2a－12＝2a3＋4a2＋3a2－2a－12＝3a2＋6a－12＝0．

7．一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶．在某一时刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间．过了10分钟，小轿车追上了货车；又过了5分钟，小轿车追上了客车；再过t分钟，货车追上了客车，则t＝

．

解：15

设在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离均为S千米，小轿车、货车、客车的速度分别为

（千米/分），并设货车经x分钟追上客车，由题意得，①，②

．

③

由①②，得，所以，x=30．

故

（分）．

8．如图，在平面直角坐标系xOy中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）．若直线l经过点M（2，3），且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，则直线l的函数表达式是

．

（第8题

（第8题）

解：

如图，延长BC交x轴于点F；连接OB，AFCE，DF，且相交于点N．

由已知得点M（2，3）是OB，AF的中点，即点M为矩形ABFO的中心，所以直线把矩形ABFO分成面积相等的两部分．又因为点N（5，2）是矩形CDEF的中心，所以，过点N（5，2）的直线把矩形CDEF分成面积相等的两部分．

于是，直线即为所求的直线．

设直线的函数表达式为，则

解得,故所求直线的函数表达式为．

9．如图，射线AM，BN都垂直于线段AB，点E为AM上一点，过点A作BE的垂线AC分别交BE，BN于点F，C，过点C作AM的垂线CD，垂足为D．若CD＝CF，则

．

（第9题）

解：

见题图，设．

因为Rt△AFB∽Rt△ABC，所以

．

又因为

FC＝DC＝AB，所以

即，解得，或（舍去）．

又Rt△∽Rt△，所以，即=．

10．对于i=2，3，…，k，正整数n除以i所得的余数为i－1．若的最小值满足，则正整数的最小值为

．

解：

因为为的倍数，所以的最小值满足，其中表示的最小公倍数．

由于，因此满足的正整数的最小值为．

三、解答题（共4题，每题20分，共80分）

11．如图，△ABC为等腰三角形，AP是底边BC上的高，点D是线段PC上的一点，BE和CF分别是△ABD和△ACD的外接圆直径，连接EF.求证：

（第12A题）

．

（第12B题）

（第11题）

（第12B题）

证明：如图，连接ED，FD.因为BE和CF都是直径，所以

ED⊥BC，FD⊥BC，因此D，E，F三点共线.…………（5分）

连接AE，AF，则，所以，△ABC∽△AEF.…………（10分）

（第11题）

作AH⊥EF，垂足为H，则AH=PD.由△ABC∽△AEF可得，从而，所以

.…………（20分）

12．如图，抛物线（a0）与双曲线相交于点A，B.已知点A的坐标为（1，4），点B在第三象限内，且△AOB的面积为3（O为坐标原点）.（1）求实数a，b，k的值；

（2）过抛物线上点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C，求

所有满足△EOC∽△AOB的点E的坐标.解：（1）因为点A（1，4）在双曲线上，所以k=4.故双曲线的函数表达式为.（第12题）

设点B（t，），AB所在直线的函数表达式为，则有

解得，.于是，直线AB与y轴的交点坐标为，故，整理得，解得，或t＝（舍去）．所以点B的坐标为（，）．

因为点A，B都在抛物线（a0）上，所以

解得

…（10分）

（2）如图，因为AC∥x轴，所以C（，4），于是CO＝4.又BO=2，所以.设抛物线（a0）与x轴负半轴相交于点D，则点D的坐标为（，0）.（第12题）

因为∠COD＝∠BOD＝，所以∠COB=.（i）将△绕点O顺时针旋转，得到△.这时，点(，2)是CO的中点，点的坐标为（4，）.延长到点，使得=，这时点（8，）是符合条件的点.（ii）作△关于x轴的对称图形△，得到点（1，）；延长到点，使得＝，这时点E２（2，）是符合条件的点．

所以，点的坐标是（8，），或（2，）.…………（20分）

13．求满足的所有素数p和正整数m.解：由题设得，所以，由于p是素数，故，或.……（5分）

（1）若，令，k是正整数，于是，故，从而.所以解得

…………（10分）

（2）若，令，k是正整数.当时，有，故，从而，或2.由于是奇数，所以，从而.于是

这不可能.当时，；当，无正整数解；当时，无正整数解.综上所述，所求素数p=5，正整数m=9.…………（20分）

14．从1，2，…，2010这2010个正整数中，最多可以取出多少个数，使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除？

解：首先，如下61个数：11，，…，（即1991）满足题设条件.（5分）

另一方面，设是从1，2，…，2010中取出的满足题设条件的数，对于这n个数中的任意4个数，因为，所以

.因此，所取的数中任意两数之差都是33的倍数.…………（10分）

设，i=1，2，3，…，n.由，得，所以，即≥11.…………（15分）

≤，故≤60.所以，n≤61.综上所述，n的最大值为61.…………（20分）