第一篇：1999年全国初中数学竞赛试题及答案
1999年全国初中数学竞赛试卷
一、选择题（本题共6小题，每小题5分，满分30分．每小题均给出了代号为A，B，C，D的四个结论，其中只有一个是正确的．请将正确答案的代号填在题后的括号里）
1．一个凸n边形的内角和小于1999°，那么n的最大值是（）．
A．11 B．12 C．13 D．14
2．某城市按以下规定收取每月煤气费：用煤气如果不超过60立方米，按每立方米0.8元收费；如果超过60立方米，超过部分按每立方米1.2元收费．已知某用户4月份的煤气费平均每立方米0.88元，那么4月份该用户应交煤气费（）．
A．60元 B．66元 C．75元 D．78元
3．已知，那么代数式的值为（）．
A． B．－ C．－ D．
4．在三角形ABC中，D是边BC上的一点，已知AC=5，AD=6，BD=10，CD=5，那么三角形ABC的面积是（）．
A．30 B．36 C．72 D．125
5．如果抛物线
与x轴的交点为A，B，项点为C，那么三角形ABC的面积的最小值是（）．
A．1 B．2 C．3 D．4
6．在正五边形ABCDE所在的平面内能找到点P，使得△PCD与△BCD的面积相等，并且△ABP为等腰三角形，这样的不同的点P的个数为（）．
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题（本题共6小题，每小题5分，满分30分）
7．已知，那么x + y的值为
．
28．如图1，正方形ABCD的边长为10cm，点E在边CB的延长线上，且EB=10cm，点
2P在边DC上运动，EP与AB的交点为F．设DP=xcm，△EFB与四边形AFPD的面积和为ycm，那么，y与x之间的函数关系式是
（0＜x＜10）．
9．已知ab≠0，a + ab－2b = 0，那么的值为
．
10．如图2，已知边长为1的正方形OABC在直角坐标系中，A，B两点在第Ⅰ象限内，OA与x轴的夹角为30°，那么点B的坐标是
．
11．设有一个边长为1的正三角形，记作A1（如图3），将A1的每条边三等分，在中间的线段上向形外作正三角形，去掉中间的线段后所得到的图形记作A2（如图4）；将A2的每条边三等分，并重复上述过程，所得到的图形记作A3（如图5）；再将A3的每条边三等分，并重复上述过程，所得到的图形记作A4，那么A4的周长是
． 22
12．江堤边一洼地发生了管涌，江水不断地涌出，假定每分钟涌出的水量相等．如果用两
台抽水机抽水，40分钟可抽完；如果用4台抽水机抽水，16分钟可抽完．如果要在10分钟内抽完水，那么至少需要抽水机
台．
三、解答题（本题共3小题，每小题20分，满分60分）
13．设实数s，t分别满足19s + 99s + 1 = 0，t + 99t + 19 = 0，并且st≠1，求的值．
14．如图6，已知四边形ABCD内接于直径为3的圆O，对角线AC是直径，对角线AC和BD的交点是P，AB=BD，且PC=0.6，求四边形ABCD的周长．
15．有人编了一个程序：从1开始，交错地做加法或乘法（第一次可以是加法，也可以是乘法）每次加法，将上次的运算结果加2或加3；每次乘法，将上次的运算结果乘2或乘3．例如，30可以这样得到：
．
（1）（10分）证明：可以得到22；
10097
（2）（10分）证明：可以得到2 + 2－2．
1999年全国初中数学竞赛答案
一、1．C 2．B 3．D 4．B 5．A 6．D
二、7．10 8．y = 5x + 50 9． 10． 11． 12．6
三、13．解：∵s≠0，∴第一个等式可以变形为：
又∵st≠1，．
∴，t是一元二次方程x + 99x + 19 = 0的两个不同的实根，于是，有
．
即st + 1 =－99s，t = 19s．
∴．
14．解：设圆心为O，连接BO并延长交AD于H．
∵AB=BD，O是圆心，∴BH⊥AD． 又∵∠ADC=90°，∴BH∥CD．
从而△OPB∽△CPD．
∴CD=1．
于是AD=
又OH=CD=，于是
．，2
AB=
BC=
所以，四边形ABCD的周长为
15．证明：
（1），．
．
．
也可以倒过来考虑：
．
（或者
（2
．））
．
或倒过来考虑：
．
注意：加法与乘法必须是交错的，否则不能得分．
第二篇：1996年全国初中数学竞赛试题及答案
1996年全国初中数学联赛试题
A．M＞N
B．M=N
C．M＜N
D．不确定
A．有一组 B．有二组
C．多于二组
D．不存在
3．如图，A是半径为1的圆O外的一点，OA=2，AB是圆O的切线，B是切点，弦BC∥OA，连结AC，则阴影部分的面积等于 [
]
4．设x1、x2是二次方程x2+x3=0的两个根，那么x134x22+19的值等于 [
]
A．
4B．8
C．6
D．0
5．如果一个三角形的面积和周长都被一直线所平分，那么该直线必通过这个三角形的 [
]
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
6．如果20个点将某圆周20等分，那么顶点只能在这20个点中选取的正多边形的个数有 [
]
A．4个 B．8个
C．12个
D．24个
2．如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABN=∠MBC，BM=NM，BN=a，则点N到边BC的距离等于______．
3．设1995x3=1996y3=1997z3，xyz＞0，且
4．如图，将边长为1的正方形ABCD绕A点按逆时针方向旋转60°至AB＇C＇D＇的位置，则这两个正方形重叠部分的面积是______．
5.某校在向“希望工程”捐款活动中，甲班的m个男生和11个女生的捐款总数与乙班的9个男人和n个女生的捐款总数相等，都是(m·n+9m+11n+145)元，已知每人的捐款数相同，且都是整数元，求每人的捐款数．
6.设凸四边形ABCD的对角线AC、BD的交点为M，过点M作AD的平行线分别交AB、CD于点E、F，交BC的延长线于点O，P是以O为圆心OM为半径的圆上一点（位置如图所示），求证：∠OPF=∠OEP．
三、（本题满分25分）
已知a、b、c都是正整数，且抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个不同的交点A、B，若A、B到原点的距离都小于1，求a+b+c的最小值．
1996年全国初中数学联赛参考答案
第一试
一、选择题 1．B 2．A 3．B 4．D 5．A 6．C
二、填空题
一、据题意m+11=n+9，且整除mn+9m+11n+145mn+9m+11n+145=(m+11)(n+9)+46，故m+11，n+9都整除46，由此得
综上可知，每人捐款数为25元或47元．
二、作AD、BO的延长线相交于G，∵OE
而，三、据题意，方程ax2+bx+c=0有两个相异根，都在(1，0)中，故
经检验，符合题意，∴a+b+c=11最小．
第三篇：19届全国初中数学竞赛试题及答案
“《数学周报》杯”2019年全国初中数学竞赛试题
一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）
1．若，则的值为（）．
（A）
（B）
（C）
（D）
解：
由题设得．
2．若实数a，b满足，则a的取值范围是
（）．
（A）a≤
（B）a≥4
（C）a≤或
a≥4
（D）≤a≤4
解．C
因为b是实数，所以关于b的一元二次方程的判别式
≥0,解得a≤或
a≥4．
3．如图，在四边形ABCD中，∠B＝135°，∠C＝120°，AB=，BC=，CD＝，则AD边的长为（）．
（A）
（B）
（C）
（D）
（第3题）
解：D
如图，过点A，D分别作AE，DF垂直于直线BC，垂足分别为E，F．
由已知可得
（第3题）
BE=AE=，CF＝，DF＝2，于是
EF＝4＋．
过点A作AG⊥DF，垂足为G．在Rt△ADG中，根据勾股定理得
AD＝．
4．在一列数……中，已知，且当k≥2时，（取整符号表示不超过实数的最大整数，例如，），则等于（）．
(A)
(B)
(C)
(D)
解：B
由和可得，，，，……
因为2010=4×502+2，所以=2．
5．如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰梯形ABCD的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，－1），C（－2，－1），D（－1，1）．y轴上一点P（0，2）绕点A旋转180°得点P1，点P1绕点B旋转180°得点P2，点P2绕点C旋转180°得点P3，点P3绕点D旋转180°得点P4，……，重复操作依次得到点P1，P2，…，则点P2010的坐标是（）．
（A）（2010，2）
（B）（2010，）
（C）（2012，）
（D）（0，2）
解：B由已知可以得到，点，的坐标分别为（2，0），（2，）．
（第5题）
记，其中．
根据对称关系，依次可以求得：，，．
令，同样可以求得，点的坐标为（），即（），由于2010=4502+2，所以点的坐标为（2010，）．
二、填空题
6．已知a＝－1，则2a3＋7a2－2a－12的值等于
．
解：0
由已知得
(a＋1)2＝5，所以a2＋2a＝4，于是
2a3＋7a2－2a－12＝2a3＋4a2＋3a2－2a－12＝3a2＋6a－12＝0．
7．一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶．在某一时刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间．过了10分钟，小轿车追上了货车；又过了5分钟，小轿车追上了客车；再过t分钟，货车追上了客车，则t＝
．
解：15
设在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离均为S千米，小轿车、货车、客车的速度分别为
（千米/分），并设货车经x分钟追上客车，由题意得，①，②
．
③
由①②，得，所以，x=30．
故
（分）．
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）．若直线l经过点M（2，3），且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，则直线l的函数表达式是
．
（第8题
（第8题）
解：
如图，延长BC交x轴于点F；连接OB，AFCE，DF，且相交于点N．
由已知得点M（2，3）是OB，AF的中点，即点M为矩形ABFO的中心，所以直线把矩形ABFO分成面积相等的两部分．又因为点N（5，2）是矩形CDEF的中心，所以，过点N（5，2）的直线把矩形CDEF分成面积相等的两部分．
于是，直线即为所求的直线．
设直线的函数表达式为，则
解得,故所求直线的函数表达式为．
9．如图，射线AM，BN都垂直于线段AB，点E为AM上一点，过点A作BE的垂线AC分别交BE，BN于点F，C，过点C作AM的垂线CD，垂足为D．若CD＝CF，则
．
（第9题）
解：
见题图，设．
因为Rt△AFB∽Rt△ABC，所以
．
又因为
FC＝DC＝AB，所以
即，解得，或（舍去）．
又Rt△∽Rt△，所以，即=．
10．对于i=2，3，…，k，正整数n除以i所得的余数为i－1．若的最小值满足，则正整数的最小值为
．
解：
因为为的倍数，所以的最小值满足，其中表示的最小公倍数．
由于，因此满足的正整数的最小值为．
三、解答题（共4题，每题20分，共80分）
11．如图，△ABC为等腰三角形，AP是底边BC上的高，点D是线段PC上的一点，BE和CF分别是△ABD和△ACD的外接圆直径，连接EF.求证：
（第12A题）
．
（第12B题）
（第11题）
（第12B题）
证明：如图，连接ED，FD.因为BE和CF都是直径，所以
ED⊥BC，FD⊥BC，因此D，E，F三点共线.…………（5分）
连接AE，AF，则，所以，△ABC∽△AEF.…………（10分）
（第11题）
作AH⊥EF，垂足为H，则AH=PD.由△ABC∽△AEF可得，从而，所以
.…………（20分）
12．如图，抛物线（a0）与双曲线相交于点A，B.已知点A的坐标为（1，4），点B在第三象限内，且△AOB的面积为3（O为坐标原点）.（1）求实数a，b，k的值；
（2）过抛物线上点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C，求
所有满足△EOC∽△AOB的点E的坐标.解：（1）因为点A（1，4）在双曲线上，所以k=4.故双曲线的函数表达式为.（第12题）
设点B（t，），AB所在直线的函数表达式为，则有
解得，.于是，直线AB与y轴的交点坐标为，故，整理得，解得，或t＝（舍去）．所以点B的坐标为（，）．
因为点A，B都在抛物线（a0）上，所以
解得
…（10分）
（2）如图，因为AC∥x轴，所以C（，4），于是CO＝4.又BO=2，所以.设抛物线（a0）与x轴负半轴相交于点D，则点D的坐标为（，0）.（第12题）
因为∠COD＝∠BOD＝，所以∠COB=.（i）将△绕点O顺时针旋转，得到△.这时，点(，2)是CO的中点，点的坐标为（4，）.延长到点，使得=，这时点（8，）是符合条件的点.（ii）作△关于x轴的对称图形△，得到点（1，）；延长到点，使得＝，这时点E２（2，）是符合条件的点．
所以，点的坐标是（8，），或（2，）.…………（20分）
13．求满足的所有素数p和正整数m.解：由题设得，所以，由于p是素数，故，或.……（5分）
（1）若，令，k是正整数，于是，故，从而.所以解得
…………（10分）
（2）若，令，k是正整数.当时，有，故，从而，或2.由于是奇数，所以，从而.于是
这不可能.当时，；当，无正整数解；当时，无正整数解.综上所述，所求素数p=5，正整数m=9.…………（20分）
14．从1，2，…，2010这2010个正整数中，最多可以取出多少个数，使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除？
解：首先，如下61个数：11，，…，（即1991）满足题设条件.（5分）
另一方面，设是从1，2，…，2010中取出的满足题设条件的数，对于这n个数中的任意4个数，因为，所以
.因此，所取的数中任意两数之差都是33的倍数.…………（10分）
设，i=1，2，3，…，n.由，得，所以，即≥11.…………（15分）
≤，故≤60.所以，n≤61.综上所述，n的最大值为61.…………（20分）
第四篇：全国初中数学竞赛试题及答案(1995年)
中国数学教育网
http://www.xiexiebang.com
1995年全国初中数学联赛试题
第一试
一、选择题
1．已知a＝355,b＝444,c＝533,则有［
]
A．a＜b＜c B．c＜b＜a
C．c＜a＜b
D．a＜c＜b
A．1 B．2
C．3
D．4 3．如果方程(x－1)(x2－2x－m)＝0的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m的取值范围是
4．如果边长顺次为25、39、52与60的四边形内接于一圆，那么此圆的周长为 ［
]
A．62π B．63π C．64π D．65π 5．设AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O的直径，且与弦AB相交，记M＝｜S△CAB－S△DAB｜，N＝2S△OAB，则 [
]
A．M＞N
B．M＝N
C．M＜N D．M、N的大小关系不确定 6．设实数a、b满足不等式｜｜a｜－(a＋b)｜＜｜a－|a＋b｜｜，则[
]
A．a＞0且b＞0 B．a＜0且b＞0 C．a＞0且b＜0 D．a＜0且b＜0
二、填空题
1．在12，22，32…，952这95个数中，十位数字为奇数的数共有____个。
4．以线段AB为直径作一个半圆，圆心为O，C是半圆周上的点，且OC2＝AC·BC，则∠CAB＝______．
第 1 页 http://www.xiexiebang.com
第二试
一、已知∠ACE＝∠CDE＝90°，点B在CE上，CA＝CB＝CD，经A、C、D三点的圆交AB于F（如图）求证F为△CDE的内心。
二、在坐标平面上，纵坐标与横坐标都是整数
理由。
三、试证：每个大于6的自然数n，都可以表示为两个大于1且互质的自然数之和。
第 2 页 http://www.xiexiebang.com
1995年全国初中数学联赛参考答案
第一试
一、选择题
1．讲解：这类指数幂的比较大小问题，通常是化为同底然后比较指数，或化为同指数然后比较底数，本题是化为同指数，有
c＝(53)11＝12511 ＜24311＝(35)11＝a
＜25611＝(44)11＝b。选C。
利用lg2＝0.3010，lg3＝0.4771计算lga、lgb、lgc也可以，但没有优越性。
2．讲解：这类方程是熟知的。先由第二个方程确定z＝1,进而可求出两个解：(2，21，1)、(20，3，1)．也可以不解方程组
直接判断：因为x≠y(否则不是正整数)，故方程组①或无解或有两个解，对照选择支，选B。
3．讲解：显然，方程的一个根为1，另两根之和为x1＋x2＝2＞1。三根能作为一个三角形的三边，须且只须｜x1－x2｜＜1又
第 3 页 http://www.xiexiebang.com
有0≤4－4m＜1．
4．讲解：四个选择支表明，圆的周长存在且唯一，从而直径也存在且唯一．又由
AB2＋AD2 ＝252＋602
＝52×（52＋122）＝52×132
＝(32＋42)×132 ＝392＋522 ＝BC2＋CD2
故可取BD＝65为直径，得周长为65π，选D．
5．讲解：此题的得分率最高，但并不表明此题最容易，因为有些考生的理由是错误的．比如有的考生取AB为直径，则M＝N＝0，于是就选B．其实，这只能排除A、C，不能排除D．
不失一般性，设CE≥ED，在CE上取CF＝ED，则有OF＝OE，且S△第 4 页 http://www.xiexiebang.com
ACE－S△ADE＝S△AEF＝2S△AOE．同理，S△BCE－S△BDE＝2S△BOE．相加，得S△ABC－S△DAB＝2S△OAB，即M＝N．选B．
若过C、D、O分别作AB的垂线（图3），CE⊥AB、DF⊥AB、OL⊥AB，垂足分别为E、F、L．连CF、DE，可得梯形CEDF．又由垂径分弦定理，知L是EF的中点．根据课本上做过的一道作业：梯形对角线中点的连线平行底边，并且等于两底差的一半，有
｜CE－DF｜＝2OL．
即M＝N．选B．
6．讲解：取a＝-
1、b＝2可否定A、C、D，选B．一般地，对已知不等式平方，有
｜a｜(a＋b)＞a｜a＋b｜．
显然｜a｜｜(a＋b)｜＞0（若等于0，则与上式矛盾），有
两边都只能取1或-1，故只有1＞-1，即
有a＜0且a＋b＞0，从而b＞-a＞0．选B．
二、填空题
1．讲解：本题虽然以计算为载体，但首先要有试验观察的能力．经计算12，22，…，102，知十位数字为奇数的只有42＝16，62＝36．然后，对两位数10a＋b，有
（10a＋b）2＝20a（5a＋b)＋b2．
其十位数字为b2的十位数字加上一个偶数，故两位数的平方中，也中有b＝4或6时，其十位数字才会为奇数，问题转化为，在1，2，…，95中个位数出现了几次4或6，有2×9＋1＝19．
2.讲解：这类问题一般都先化简后代值，直接把a
第 5 页 http://www.xiexiebang.com
学生在这道题上的错误主要是化简的方向不明确，最后又不会将a2＋a作为整体代入．这里关键是整体代入，抓住这一点，计算可以灵活．比如，由①有
由②－①，得
由③－②并将④代入，得
还可由①得
⑥÷⑤即得所求．
3．讲解：这个题目是将二次函数y＝x2－x与反比例函数
第 6 页 http://www.xiexiebang.com
因而x＝1时，y有最小值1．
4．讲解：此题由笔者提供，原题是求sin
∠CAB，让初中生用代数、几何相结合的方法求特殊角的三角函数值sin75°、sin15°．解法如下：
与AB2＝AB2＋AC2 ② 联立，可推出
而式①、③表明，AB、AC是二次方程
改为求∠CAB之后，思路更宽一些．如，由
第 7 页 http://www.xiexiebang.com
第二试
一、讲解：首先指出，本题有IMO29-5（1989年）的背景，该题是：在直角△ABC中，斜边BC上的高，过△ABD的内心与△ACD的内心的直线分别交边AB和AC于K和L，△ABC和△AKL的面积分别记为S和T．求证S≥2T．
在这个题目的证明中，要用到AK ＝AL＝AD．
今年的初中联赛题相当于反过来，先给出AK＝AL＝AD(斜边上的高)，再求证KL通过△ABD、△ADC的内心（图7）．
其次指出，本题的证法很多，但思路主要有两个：其一，连FC、FD、FE，然后证其中两个为相应的角平分线；其二是过F作三边的垂线，然后证明其中两条垂线段相等．下面是几个有代表性的证法．
证法1：如图6，连DF，则由已知，有
连BD、CF，由CD＝CB，知 ∠FBD＝∠CBD－45° ＝∠CDB－45°＝∠FDB，得FB＝FD，即F到B、D和距离相等，F在线段BD的垂直平分线上，从而也在等腰三角形CBD的顶角平分线上，CF是∠ECD的平分线．
第 8 页 http://www.xiexiebang.com
由于F是△CDE上两条角平分线的交点，因而就是△CDE的内心． 证法2：同证法1，得出∠CDF＝45°＝90°－45°＝∠FDE之后，由于∠ABC=∠FDE，故有B、E、D、F四点共圆．连EF，在证得
∠FBD=∠FDB之后，立即有∠FED＝∠FBD＝∠FDB＝∠FEB，即EF是∠CED的平分线．
本来，点E的信息很少，证EF为角平分线应该是比较难的，但四点共圆把许多已知信息集中并转移到E上来了，因而证法2并不比证法1复杂．
由这个证明可知，F是△DCB的外心．
证法4：如图8，只证CF为∠DCE的平分线．由∠AGC＝∠GBA＋∠GAB＝45°＋∠2，∠AGC=∠ADC=∠CAD=∠CAB+∠1
=45°+∠1 得∠1＝∠2．
从而∠DCF＝∠GCF，得CF为∠DCE的平分线．
证法5：首先DF是∠CDE的平分线，故 △CDE的外心I在直线DF上．
现以CA为y轴、CB为x轴建立坐标系，并记CA＝CB＝CD＝d,则直线AB是一次函数
y＝-x＋d ①
第 9 页 http://www.xiexiebang.com 的图象（图9）．若记内心I的坐标为（x1，y1），则 x1＋y1＝CH＋IH
＝CH＋HB＝CB＝d
满足①，即I在直线AB上，但I在DF上，故I是AB与DF的交点．由交点的唯一性知I就是F，从而证得F为Rt△CDE的内心．
还可延长ED交⊙O于P1，而CP为直径来证．
二、讲解：此题的原型由笔者提供．题目是：
于第一象限内，纵坐标小于横坐标的格点．
这个题目的实质是解不等式
求正整数解．直接解，数字较繁．但有巧法，由
及1≤y＜x，知1＋2＋…＋(x－1)＜1995＜1＋2＋…＋x．
但1953＝1＋2＋…＋62＜1995＜1＋2＋…＋62＋63＝2016，得x＝63，从而y＝21，所求的格点为(21，63)．
经过命题组的修改之后，数据更整齐且便于直接计算．
有x2－x＋18≤10｜x｜．
当x≥0时，有x2－11x＋18≤0，得2≤x≤9，代入二次函数，得合乎条件的4个整点：(2,2),(4,3),(7,6),(9,9);
当x＜0时，有 x2＋9x＋18≤0，得-6≤x≤-3，代入二次函数，得合乎条件的2个整点：
(-6,6),(-3,3)．
对x≥0，取x＝2,4,7,9,12,14,…顺次代入，得(2，2)、(4，3)、(7，6)、(9，9)，且当x＞9时，由
第 10 页 http://www.xiexiebang.com
对x<0，取x＝-1,-3,-6,-8,…顺次代入，得(-3，3)、(-6，6)，且当x<-6时，由
知y>-x，再无满足y≤｜x｜的解． 故一共有6个整点，图示略．
解法3：先找满足条件y＝｜x｜的整点，即分别解方程 x2－11x＋18＝0 ① x2＋9x＋18＝0 ②
可得(2，2)、(9，9)、(-6，6)、(-3，3)．
再找满足y＜｜x｜的整点，这时 2＜x＜9或-6＜x＜-3，依次检验得(4，3)、(7，6)．故共有6个整点．
三、讲解：直观上可以这样看，当n＞6时，在2，3，…，n－2中，必有一个数A与n互质(2≤A≤n－2)，记
B＝n－A≥2，有n＝A＋B．
此时，A与B必互质，否则A与B有公约数d＞1，则d也是n的约数，从而A与n有大于1的公约数，与A、n互质矛盾．
但是，对于初中生来说，这个A的存在性有点抽象，下面分情况，把它具体找出来．
(1)当n为奇数时，有 n＝2＋(n－2)，(2)当n为偶数，但不是4的倍数时，有
第 11 页 http://www.xiexiebang.com
(3)当n为偶数，且又是4的倍数时，有
第 12 页 http://www.xiexiebang.com
http://www.xiexiebang.com共 12 页
第五篇：2018全国初中应用物理竞赛试题及答案
2018年全国初中应用物理竞赛试题及答案
注意事项： 1.请在密封线内填写所在地区、学校、姓名和考号。2.用蓝色或黑色钢笔、圆珠笔书写。3.本试卷共有六个大题，满分100分。
―、本题共10小题，每小题2分，共20分。以下各小题给出的四个选项中只有一个是正确的，把正确选项前面的字母填在题后的括号内。1.如图1所示为伦敦四大地标性摩天大楼：“对讲机”、“小黄瓜”、“奶酷刨”、“碎片大厦”。其中座大楼的设计考虑不周，曾经由于玻璃反光将停放在附近的小轿车某些部件“烤”熔化了，你认为这座大楼最可能是（）
2.当今，世界性的能源危机断地加深，节约能源义不容辞。下面四种符号中，为中国节能标志的是（）
3.在炎热的夏天，当我们吃冰棒的时候，常常看到在冰棒的周围有“白气”冒出，关于这个“白气”，下列说法中正确的是（）
A.“白气”是冰棒上的冰升华的结果，“白气”应该上升 B.“白气”是冰棒上的冰升华的结果，“白气”应该下降 C.“白气”是空气中的水蒸气液化的结果，“白气”应该上升 D.“白气”是空气中的水蒸气液化的结果，“白气”应该下降 4.如图3所示为双线并绕的螺线管，a、b、c、d为四个接线柱，其中a、b之间连接一根较细的导线；c、d之间连接一根较粗的导线。如用两端电压恒定的同一个电源供电，下列连接方式中磁性最强的方法是（）
A.将bc相连，然后a、d分别接电源两极 B.将cd相连，然后a、b分别接电源两极
C.将ab相连、cd相连，然后分别接电源两极 D.将ad相连、bc相连，然后分别接电源两极
5.5号电池因其体积小、容量适中，因此在小功率电器产品中广泛使用。某种市售5号电池包装上写有“1.5 V 2000 mAH”字祥。对该电池，下列说法中正确的是（）
A.它能提供的电能约10.8 kJ B.它正常工作时的电流是2 A C.它提供的最大电功率为3 W D.它在电路中是提供电荷的装置
6.在平缓的海滩上经常可以看到如图4所示的情景：不论远处的海浪沿什么方向冲向海岸，到达岸边时总是大约沿着垂直于岸的方向。发生这个现象的原因可能是（）
A.在海岸边，风的方向总是与海岸线垂直 B.在海岸边，风的方向总是与海岸线平行
C.水波在浅水中传播时，水越浅传播得越快 D.水波在浅水中传播时，水越浅传播得越慢
7.小明在宠物店买了淡水热带鱼，为方便带回家，商家将鱼放在装有水的轻薄的塑料袋里。如果小明将装着魚且没有打开的塑料袋直接放入家里的淡水鱼缸中，则图5中最有可能发生的情况是()
8.微波在传播过程中，如果遇到金属会被反射，遇到陶瓷或玻璃则几乎不被吸收的透射，而遇到类似于水、酸等极性分子构成的物质则会被吸收导致这些物质的温度升高。如图6所示为家用微波炉工作过程的示意图。根据这些信息，你认为以下关于微波炉的说法不正确．．．的是（）
A.炉的内壁要使用金属材料 B.炉内盛放食物的容器的材质可以是玻璃或陶瓷
C.炉内转盘的主要作用是为了从不同侧面看到食物被加热的情况 D.微波炉的玻璃门上有一层金属膜或金属网
9.静止、密闭的客车上有一个系在座椅上的氦气球，一个悬挂在车顶的小球。若客车突然启动向左驶出，图7中氦气球与悬挂小球最可能出现的相对位置变化是（）10.纸是我国古代四大发明之一，造纸术的发明，引起了书写材料的一场革命，直至今日仍为信息传递和保存的重要方式之一。如图8甲所示是平放于水平桌面上的一包印纸，热爱物理的小远同学注意到打印纸的包装上有如图8乙所示的一些信息，他还用毫米刻度尺测量了这包纸的厚度，记录了一个数据5.00，但忘了写单位，以下对这包纸的估算最符合实际情况的是（）
A.这种纸单张纸张的厚度约是50μm B.这包纸的质量约为2.5 kg C.这种纸的密度大于水的密度 D.这包纸对水平桌面的压强约为40 Pa
二、简答下列各题（每题6分，共30分）1.炎热的夏天，小明想用冰袋给如图9所示的罐装饮料降温。他想到了两种方法：一种方法是将冰袋放在罐装饮料的上方，另-种方法是将冰袋放在罐装饮料的下方。假定液体饮料充满整个容器且饮料的末温不低于4℃，则哪种方法可以使罐装饮料降温更快，为什么？
2.将新打开盖子的饮料盒中的果汁倒入杯中时，有时会出现果汁流出断断续续、时远时近（同时发出咕咚声）的现象，果汁也很容易溅出杯子外面。为避免这种情况发生，在打开饮料盒的盖子后，应采用图10甲还是图10乙的方式倒果汁，请运用物理知识说明图10甲、乙两种方式倒果汁效果不同的原因。
3.拧开水龙头，让水流平稳地流出，形成如图11所示形状的水柱。请看图回答:(1）简述水龙头把手的作用；(2）为什么流出的水柱呈上粗下细的形状？
4.中国科技馆“探索与发现”展厅有一个展品名为：“伸缩的线圈’它是一个用软线在一根塑料管上绕成的软螺线管，软螺线管导线的两端可通过开关与电源相联。如图12所示分别是该展品中软螺线管通电或不通电的两种状态，请回答以下几个问题：(1）哪幅图是软螺线管通电的状态？(2）如果将软螺线管通电的电流反向，可以看到什么现象？(3）解释软螺线管通电或不通电的两种状态的原因。
5.图13所示为低压电路中常用的油浸自冷式变压器。变版器内部的铁芯、线圈浸没于变压器油（一种矿物油，也称导热油）中。变压器工作时，铁芯、线圈会发热，热量就在导热油流经变压器外部那一根根金属管道的过程中导出并散发到空气中，从而使铁芯、线圈的温度不会升髙太多，以确保变压器的安全运行。请回答：(1）变压器外部的散热器做成竖直方向上的管道状，这样做的目的是什么？(2）变压器的上部有个油箱，其侧面有一个油量表，如图13所示，油量表的主要部件是一根外置的玻璃管。请简述如何判断油箱的油量，依据的主要物理知识是什么，并解释正常情况下，变压器油箱中的导热油为什么不允许装满？(3）变压器附近要设置防触电的警示标志，请解释原因。
三、（11分）海洋打捞技术中常用浮筒打捞海底沉船。充满海水的浮筒靠自重下沉，向沉入水中的浮筒内充气，将浮筒内海水排出，浮筒即产生上举力。浮筒为钢制的空心圆柱体，其圆柱面的外半径r=5m，圆柱体高度L=12m，其质量为2×l05kg。某海域有一艘失事沉船，打捞人员需先用声呐（一种发射声波的仪器）探测沉船的深度，在沉船正上方的海面上向沉船发射声波，测得声波从发出至接收到反射波的时间是0.1s，海水中的声速为1500m/s。已知海面大气压p0=1.0×l05Pa，海水的密度是ρ=1.03×103kg/m3。(1）求给浮筒充气的气体压强至少应是多大？(2）若用浮筒打捞沉船时，需用6个这样的浮筒。若用其他方式打捞这艘沉船，大约需要多大的力才能将沉船打捞起来？
四、（12分）如图14甲所示为手动压力机，厂家己标出部分尺寸，其他相关尺寸可根据图甲估测获得。压力机手柄拆卸下来的结构如图14乙所示，手柄总长度为30 cm，手柄连接的齿轮直径为2 cm。向下压手柄右端时通过齿轮带动齿条向下运动，可对放在台面上的物体施加巨大压力。若此压力机的规格是可产生5000N的压力，总质量为9 kg。请通过估算说明：根据该压力机的设计规格，若手柄转到任何方位时都能正常工作，在将该压力机放在水平桌面上使用时，是否需要用螺栓将其固定在工作台上？（g取10N/kg)
五、（13分）某学校新装的饮水机既能提供温度为100℃的幵水，也能提供温度为35℃的可直接饮用的温开水。研究性学习小组的同学査阅了相关资料，画出了饮水机内部结构简图如图15所示。他们发现从自来水管流入饮水机的20℃生水并不是直接进入加热器，而是先进入换热器，与已经加热到100℃的开水进行热交换，这样开水就变成了35℃的温开水，生水也被加热到85℃然后进入加热器。若饮水机加热器的额定功率为3 kW，饮水机内水箱容量45L，已知C水=4.2×103J/（kg·℃）。请回答下列问题：(1)写出A、B、C、D四个位置的水温。(2）相同功率的只能提供开水的饮水机，一天供应8小时开水，最多能供应多少L?(3）统计结果显示，学校学生一天所需的开水和温开水的质量之比是1:4，使用该型号饮水机，每天正常工作8小时，最多能供应多少L可饮用水？(4)请简述这种饮水机有哪些优点？
六、（14分）为了研究“从静止开始滴落的水滴，在不同时间段的平均速度随时间变化的规律”，小林将这个问题简化为“研究水滴分别在0～0.2 s、0.2 s～0.4 s、0.4 s～0.6 s…的平均速度与时间有什么关系”？他使用医用输液系统、刻度尺、电子秒表展幵了研究。使用如图16所示的输液系统吋以保持一段时间内滴出水滴的时间间隔相同。(1）调节流速调节器，改变滴出水滴的时间间隔。不增加器材，请设计实验研究：当滴出水滴时间间隔长短改变时，每个水滴的质量是否发生变化？写出实验少骤、预测可以观察到的现象，并说明可得出的结论；(2）小林从第1个水滴离开针头开始计时，到第31个水滴离开针头按下秒表停止计时，读出秒表的示数为调整水滴滴出时间间隔，使t1= 6 s。保持滴出时间间隔不变，然后他在针头正下方放置接水盘，调整接水盘底部到针头滴水口的高度h1，使耳朵刚好听到前一个水滴滴在盘中的声音同时，下一水滴刚好开始下落。用刻度尺测量出h1 = 0.20 m，求此过程水滴下落的平均速度V1;(3）假如第（1)问实验结果证明：当水滴滴出时间间隔较长时，改变水滴滴出时间间隔，滴出水滴的质量几乎不变。请设计实验研究“水滴分别在0～0.2 s、0.2 s～0.4 s、……的平均速度，与时间有什么关系”，写出实验步骤和平均速度的计算公式。
点击咨询 