09年全国初中数学联赛试题及答案

第一篇：09年全国初中数学联赛试题及答案

09年全国初中数学联赛试题及答案

时间：2009-6-3 14:33:52 点击：15833 2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案

第一试

一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1.设，则

.D.（）

.A.24.B.25.C.2．在△ABC中，最大角∠A是最小角∠C的两倍，且AB＝7，AC＝8，则BC＝（）A.3．用表示不大于的最大整数，则方程的解的个数.B..C..D..为（）

A.1.B.2.C.3.D.4.4．设正方形ABCD的中心为点O，在以五个点A、B、C、D、O为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为（）

A..B..C..D..5．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，以BC为直径在矩形内作半圆，自点A作半圆的切线AE，则

CBE＝（D）

A..B..C..D..1

6．设是大于1909的正整数，使得A.3.B.4.C.5.D.6.为完全平方数的的个数是（）

二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1．已知是实数，若则

是关于的一元二次方程的两个非负实根，的最小值是____________.2．设D是△ABC的边AB上的一点，作DE//BC交AC于点E，作DF//AC交BC于点F，已知△ADE、△DBF的面积分别为3．如果实数满足条件，和，则四边形DECF的面积为______.，则

______.4．已知_____对.是正整数，且满足是整数，则这样的有序数对共有第一试答案： ACCBDB；－3，第二试（A）

一．（本题满分20分）已知二次函数别为A、B，与，－1，－7 的图象与轴的交点分轴的交点为C.设△ABC的外接圆的圆心为点P.轴的另一个交点为定点.，求和的值.，设，则，.（1）证明：⊙P与（2）如果AB恰好为⊙P的直径且解:（1）易求得点设⊙P与的坐标为轴的另一个交点为D，由于AB、CD是⊙P的两条相交弦，它们的交点为点O，所以OA×OB＝OC×OD，则因为，所以点

在轴的负半轴上，从而点D在.轴的正半轴上，所以点D为定点，它的坐标为(0,1).（2）因为AB⊥CD，如果AB恰好为⊙P的直径，则C、D关于点O对称，所以点的坐标为即.，又，所以，解得.、分别是二．（本题满分25分）设CD是直角三角形ABC的斜边AD上的高，△ADC、△BDC的内心，AC＝3，BC＝4，求解作E⊥AB于E，F⊥AB于F...在直角三角形ABC中，AC＝3，BC＝4，又CD⊥AB，由射影定理可得，故，.因为连接DDA＝∠E为直角三角形ACD的内切圆的半径，所以、D，则D、D

＝.DC＝∠

D，分别是∠ADC和∠BDC的平分线，所以∠

＝90°，所以DC＝∠DB＝45°，故∠D⊥

.同理，可求得，.所以＝.三．（本题满分25分）已知为正数，满足如下两个条件：

①

②

证明：以为三边长可构成一个直角三角形.证法1 将①②两式相乘，得，即，即，即，即，即，即，即，即所以.因此，以

或，或，即

或

为三边长可构成一个直角三角形.证法2 结合①式，由②式可得，变形，得又由①式得，即

③，代入③式，得.，即 4，所以或

或或

.或

.结合①式可得因此，以

为三边长可构成一个直角三角形.第二试（B）

一．（本题满分20分）题目和解答与（A）卷第一题相同.二．（本题满分25分）已知△ABC中，∠ACB＝90°，AB边上的高线CH与△ABC的两条内角平分线 AM、BN分别交于P、Q两点.PM、QN的中点分别为E、F.求证：EF∥AB.解因为BN是∠ABC的平分线，所以又因为CH⊥AB，所以，因此.，因此C、F、H、B

.又F是QN的中点，所以CF⊥QN，所以四点共圆.又，所以FC＝FH，故点F在CH的中垂线上.同理可证，点E在CH的中垂线上.因此EF⊥CH.又AB⊥CH，所以EF∥AB.三．（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第三题相同.第二试（C）

一．（本题满分20分）题目和解答与（A）卷第一题相同.二．（本题满分25分）题目和解答与（B）卷第二题相同.三．（本题满分25分）已知

为正数，满足如下两个条件：

①

②

是否存在以

为三边长的三角形？如果存在，求出三角形的最大内角.解法1 将①②两式相乘，得，即，即，即，即，即，即，即，即，所以.因此，以

或或，即或或

为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90°.解法2 结合①式，由②式可得，变形，得又由①式得，即

③，代入③式，得.，即所以或或或

.或

.结合①式可得因此，以下载附件：

为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90°.中国教育学会中学数学教学专业委员会

“《数学周报》杯”2010年全国初中数学竞赛试题参考答案

一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．若，则的值为（）．

（A）（B）（C）（D）

解：由题设得．

2．若实数a，b满足，则a的取值范围是（）．

（A）a≤（B）a≥4（C）a≤ 或 a≥4（D）≤a≤4 解．C 因为b是实数，所以关于b的一元二次方程的判别式 ≥0,解得a≤ 或 a≥4．

3．如图，在四边形ABCD中，∠B＝135°，∠C＝120°，AB=，BC=，CD＝，则AD边的长为（）．（A）（B）

（第3题）

（C）（D）

解：D 如图，过点A，D分别作AE，DF垂直于直线BC，垂足分别为E，F．由已知可得（第3题）

BE=AE=，CF＝，DF＝2，于是 EF＝4＋．

过点A作AG⊥DF，垂足为G．在Rt△ADG中，根据勾股定理得

AD ＝．

4．在一列数 „„中，已知，且当k≥2时，（取整符号表示不超过实数的最大整数，例如，），则等于（(A)1(B)2(C)3(D)4 解：B 由和可得，，，，）．

„„

因为2010=4×502+2，所以 =2．

5．如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰梯形ABCD的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，－1），C（－2，－1），D（－1，1）．y轴上一点P（0，2）绕点A旋转180°得点P1，点P1绕点B旋转180°得点P2，点P2绕点C旋转180°得点P3，点P3绕点D旋转180°得点P4，„„，重复操作依次得到点P1，P2，„，则点P2010的坐标是（）．（第5题）

（A）（2010，2）（B）（2010，）

（C）（2012，）（D）（0，2）

解：B由已知可以得到，点，的坐标分别为（2，0），（2，）．记，其中．

根据对称关系，依次可以求得：，，．

令，同样可以求得，点的坐标为（），即（），由于2010=4 502+2，所以点的坐标为（2010，）．

二、填空题

6．已知a＝－1，则2a3＋7a2－2a－12 的值等于．

解：0 由已知得(a＋1)2＝5，所以a2＋2a＝4，于是

2a3＋7a2－2a－12＝2a3＋4a2＋3a2－2a－12＝3a2＋6a－12＝0．

7．一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶．在某一时刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间．过了10分钟，小轿车追上了货车；又过了5分钟，小轿车追上了客车；再过t分钟，货车追上了客车，则t＝．解：15

设在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离均为S千米，小轿车、货车、客车的速度分别为（千米/分），并设货车经x分钟追上客车，由题意得，①，② ． ③ 由①②，得，所以，x=30．故（分）．（第8题

8．如图，在平面直角坐标系xOy中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）．若直线l经过点M（2，3），且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，则直线l的函数表达式是．

（第8题）

解：

如图，延长BC交x轴于点F；连接OB，AF CE，DF，且相交于点N．

由已知得点M（2，3）是OB，AF的中点，即点M为矩形ABFO的中心，所以直线把矩形ABFO分成面积相等的两部分．又因为点N（5，2）是矩形CDEF的中心，所以，过点N（5，2）的直线把矩形CDEF分成面积相等的两部分．于是，直线即为所求的直线．

设直线的函数表达式为，则解得 ,故所求直线的函数表达式为．（第9题）

9．如图，射线AM，BN都垂直于线段AB，点E为AM上一点，过点A作BE的垂线AC分别交BE，BN于点F，C，过点C作AM的垂线CD，垂足为D．若CD＝CF，则．

解：见题图，设．

因为Rt△AFB∽Rt△ABC，所以．又因为 FC＝DC＝AB，所以即，解得，或（舍去）．

又Rt△ ∽Rt△，所以，即 = ．

10．对于i=2，3，„，k，正整数n除以i所得的余数为i－1．若的最小值满足，则正整数的最小值为．解：因为为的倍数，所以的最小值满足，其中表示的最小公倍数．由于，因此满足的正整数的最小值为．

三、解答题（共4题，每题20分，共80分）

11．如图，△ABC为等腰三角形，AP是底边BC上的高，点D是线段PC上的一点，BE和CF分别是△ABD和△ACD的外接圆直径，连接EF.求证：

（第12A题）．

（第12B题）

（第11题）

（第12B题）

证明：如图，连接ED，FD.因为BE和CF都是直径，所以

ED⊥BC，FD⊥BC，因此D，E，F三点共线.„„„„（5分）连接AE，AF，则（第11题），所以，△ABC∽△AEF.„„„„（10分）

作AH⊥EF，垂足为H，则AH=PD.由△ABC∽△AEF可得，从而，所以.„„„„（20分）

12．如图，抛物线（a 0）与双曲线相交于点A，B.已知点A的坐标为（1，4），点B在第三象限内，且△AOB的面积为3（O为坐标原点）.（1）求实数a，b，k的值；

（2）过抛物线上点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C，求所有满足△EOC∽△AOB的点E的坐标.（第12题）

解：（1）因为点A（1，4）在双曲线上，所以k=4.故双曲线的函数表达式为.设点B（t，），AB所在直线的函数表达式为，则有

解得，.于是，直线AB与y轴的交点坐标为，故，整理得，解得，或t＝（舍去）．所以点B的坐标为（，）．

因为点A，B都在抛物线（a 0）上，所以解得 „„„„（10分）（2）如图，因为AC∥x轴，所以C（，4），于是CO＝4.又BO=2，所以.13

（第12题）

设抛物线（a 0）与x轴负半轴相交于点D，则点D的坐标为（，0）.因为∠COD＝∠BOD＝，所以∠COB=.（i）将△ 绕点O顺时针旋转，得到△.这时，点(，2)是CO的中点，点的坐标为（4，）.延长到点，使得 =，这时点（8，）是符合条件的点.（ii）作△ 关于x轴的对称图形△，得到点（1，）；延长到点，使得＝，这时点E２（2，）是符合条件的点．

所以，点的坐标是（8，），或（2，）.„„„„（20分）

13．求满足的所有素数p和正整数m.．解：由题设得，所以，由于p是素数，故，或.„„（5分）

（1）若，令，k是正整数，于是，故，从而.所以解得 „„„„（10分）（2）若，令，k是正整数.当时，有，故，从而，或2.由于是奇数，所以，从而.于是

这不可能.当时，；当，无正整数解；当时，无正整数解.综上所述，所求素数p=5，正整数m=9.„„„„（20分）

14．从1，2，„，2010这2010个正整数中，最多可以取出多少个数，使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除？

解：首先，如下61个数：11，，„，（即1991）满足题设条件.„„„„（5分）

另一方面，设是从1，2，„，2010中取出的满足题设条件的数，对于这n个数中的任意4个数，因为，所以.因此，所取的数中任意两数之差都是33的倍数.„„„„（10分）设，i=1，2，3，„，n.由，得，所以，即 ≥11.„„„„（15分）

≤，故 ≤60.所以，n≤61.综上所述，n的最大值为61.„„„„（20分）

第二篇：95-08全国初中数学联赛试题

２００１年全国初中数学联合竞赛试题及答案

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２００５年全国初中数学联合竞赛决赛试题及答案

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答案：

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