1996年全国初中数学竞赛试题及答案

第一篇：1996年全国初中数学竞赛试题及答案

1996年全国初中数学联赛试题

A．M＞N

B．M=N

C．M＜N

D．不确定

A．有一组 B．有二组

C．多于二组

D．不存在

3．如图，A是半径为1的圆O外的一点，OA=2，AB是圆O的切线，B是切点，弦BC∥OA，连结AC，则阴影部分的面积等于 [

]

4．设x1、x2是二次方程x2+x3=0的两个根，那么x134x22+19的值等于 [

]

A．

4B．8

C．6

D．0

5．如果一个三角形的面积和周长都被一直线所平分，那么该直线必通过这个三角形的 [

]

A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心

6．如果20个点将某圆周20等分，那么顶点只能在这20个点中选取的正多边形的个数有 [

]

A．4个 B．8个

C．12个

D．24个

2．如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABN=∠MBC，BM=NM，BN=a，则点N到边BC的距离等于______．

3．设1995x3=1996y3=1997z3，xyz＞0，且

4．如图，将边长为1的正方形ABCD绕A点按逆时针方向旋转60°至AB＇C＇D＇的位置，则这两个正方形重叠部分的面积是______．

5.某校在向“希望工程”捐款活动中，甲班的m个男生和11个女生的捐款总数与乙班的9个男人和n个女生的捐款总数相等，都是(m·n+9m+11n+145)元，已知每人的捐款数相同，且都是整数元，求每人的捐款数．

6.设凸四边形ABCD的对角线AC、BD的交点为M，过点M作AD的平行线分别交AB、CD于点E、F，交BC的延长线于点O，P是以O为圆心OM为半径的圆上一点（位置如图所示），求证：∠OPF=∠OEP．

三、（本题满分25分）

已知a、b、c都是正整数，且抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个不同的交点A、B，若A、B到原点的距离都小于1，求a+b+c的最小值．

1996年全国初中数学联赛参考答案

第一试

一、选择题 1．B 2．A 3．B 4．D 5．A 6．C

二、填空题

一、据题意m+11=n+9，且整除mn+9m+11n+145mn+9m+11n+145=(m+11)(n+9)+46，故m+11，n+9都整除46，由此得

综上可知，每人捐款数为25元或47元．

二、作AD、BO的延长线相交于G，∵OE

而，三、据题意，方程ax2+bx+c=0有两个相异根，都在(1，0)中，故

经检验，符合题意，∴a+b+c=11最小．

第二篇：19届全国初中数学竞赛试题及答案

“《数学周报》杯”2019年全国初中数学竞赛试题

一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）

1．若，则的值为（）．

（A）

（B）

（C）

（D）

解：

由题设得．

2．若实数a，b满足，则a的取值范围是

（）．

（A）a≤

（B）a≥4

（C）a≤或

a≥4

（D）≤a≤4

解．C

因为b是实数，所以关于b的一元二次方程的判别式

≥0,解得a≤或

a≥4．

3．如图，在四边形ABCD中，∠B＝135°，∠C＝120°，AB=，BC=，CD＝，则AD边的长为（）．

（A）

（B）

（C）

（D）

（第3题）

解：D

如图，过点A，D分别作AE，DF垂直于直线BC，垂足分别为E，F．

由已知可得

（第3题）

BE=AE=，CF＝，DF＝2，于是

EF＝4＋．

过点A作AG⊥DF，垂足为G．在Rt△ADG中，根据勾股定理得

AD＝．

4．在一列数……中，已知，且当k≥2时，（取整符号表示不超过实数的最大整数，例如，），则等于（）．

(A)

(B)

(C)

(D)

解：B

由和可得，，，，……

因为2010=4×502+2，所以=2．

5．如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰梯形ABCD的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，－1），C（－2，－1），D（－1，1）．y轴上一点P（0，2）绕点A旋转180°得点P1，点P1绕点B旋转180°得点P2，点P2绕点C旋转180°得点P3，点P3绕点D旋转180°得点P4，……，重复操作依次得到点P1，P2，…，则点P2010的坐标是（）．

（A）（2010，2）

（B）（2010，）

（C）（2012，）

（D）（0，2）

解：B由已知可以得到，点，的坐标分别为（2，0），（2，）．

（第5题）

记，其中．

根据对称关系，依次可以求得：，，．

令，同样可以求得，点的坐标为（），即（），由于2010=4502+2，所以点的坐标为（2010，）．

二、填空题

6．已知a＝－1，则2a3＋7a2－2a－12的值等于

．

解：0

由已知得

(a＋1)2＝5，所以a2＋2a＝4，于是

2a3＋7a2－2a－12＝2a3＋4a2＋3a2－2a－12＝3a2＋6a－12＝0．

7．一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶．在某一时刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间．过了10分钟，小轿车追上了货车；又过了5分钟，小轿车追上了客车；再过t分钟，货车追上了客车，则t＝

．

解：15

设在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离均为S千米，小轿车、货车、客车的速度分别为

（千米/分），并设货车经x分钟追上客车，由题意得，①，②

．

③

由①②，得，所以，x=30．

故

（分）．

8．如图，在平面直角坐标系xOy中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）．若直线l经过点M（2，3），且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，则直线l的函数表达式是

．

（第8题

（第8题）

解：

如图，延长BC交x轴于点F；连接OB，AFCE，DF，且相交于点N．

由已知得点M（2，3）是OB，AF的中点，即点M为矩形ABFO的中心，所以直线把矩形ABFO分成面积相等的两部分．又因为点N（5，2）是矩形CDEF的中心，所以，过点N（5，2）的直线把矩形CDEF分成面积相等的两部分．

于是，直线即为所求的直线．

设直线的函数表达式为，则

解得,故所求直线的函数表达式为．

9．如图，射线AM，BN都垂直于线段AB，点E为AM上一点，过点A作BE的垂线AC分别交BE，BN于点F，C，过点C作AM的垂线CD，垂足为D．若CD＝CF，则

．

（第9题）

解：

见题图，设．

因为Rt△AFB∽Rt△ABC，所以

．

又因为

FC＝DC＝AB，所以

即，解得，或（舍去）．

又Rt△∽Rt△，所以，即=．

10．对于i=2，3，…，k，正整数n除以i所得的余数为i－1．若的最小值满足，则正整数的最小值为

．

解：

因为为的倍数，所以的最小值满足，其中表示的最小公倍数．

由于，因此满足的正整数的最小值为．

三、解答题（共4题，每题20分，共80分）

11．如图，△ABC为等腰三角形，AP是底边BC上的高，点D是线段PC上的一点，BE和CF分别是△ABD和△ACD的外接圆直径，连接EF.求证：

（第12A题）

．

（第12B题）

（第11题）

（第12B题）

证明：如图，连接ED，FD.因为BE和CF都是直径，所以

ED⊥BC，FD⊥BC，因此D，E，F三点共线.…………（5分）

连接AE，AF，则，所以，△ABC∽△AEF.…………（10分）

（第11题）

作AH⊥EF，垂足为H，则AH=PD.由△ABC∽△AEF可得，从而，所以

.…………（20分）

12．如图，抛物线（a0）与双曲线相交于点A，B.已知点A的坐标为（1，4），点B在第三象限内，且△AOB的面积为3（O为坐标原点）.（1）求实数a，b，k的值；

（2）过抛物线上点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C，求

所有满足△EOC∽△AOB的点E的坐标.解：（1）因为点A（1，4）在双曲线上，所以k=4.故双曲线的函数表达式为.（第12题）

设点B（t，），AB所在直线的函数表达式为，则有

解得，.于是，直线AB与y轴的交点坐标为，故，整理得，解得，或t＝（舍去）．所以点B的坐标为（，）．

因为点A，B都在抛物线（a0）上，所以

解得

…（10分）

（2）如图，因为AC∥x轴，所以C（，4），于是CO＝4.又BO=2，所以.设抛物线（a0）与x轴负半轴相交于点D，则点D的坐标为（，0）.（第12题）

因为∠COD＝∠BOD＝，所以∠COB=.（i）将△绕点O顺时针旋转，得到△.这时，点(，2)是CO的中点，点的坐标为（4，）.延长到点，使得=，这时点（8，）是符合条件的点.（ii）作△关于x轴的对称图形△，得到点（1，）；延长到点，使得＝，这时点E２（2，）是符合条件的点．

所以，点的坐标是（8，），或（2，）.…………（20分）

13．求满足的所有素数p和正整数m.解：由题设得，所以，由于p是素数，故，或.……（5分）

（1）若，令，k是正整数，于是，故，从而.所以解得

…………（10分）

（2）若，令，k是正整数.当时，有，故，从而，或2.由于是奇数，所以，从而.于是

这不可能.当时，；当，无正整数解；当时，无正整数解.综上所述，所求素数p=5，正整数m=9.…………（20分）

14．从1，2，…，2010这2010个正整数中，最多可以取出多少个数，使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除？

解：首先，如下61个数：11，，…，（即1991）满足题设条件.（5分）

另一方面，设是从1，2，…，2010中取出的满足题设条件的数，对于这n个数中的任意4个数，因为，所以

.因此，所取的数中任意两数之差都是33的倍数.…………（10分）

设，i=1，2，3，…，n.由，得，所以，即≥11.…………（15分）

≤，故≤60.所以，n≤61.综上所述，n的最大值为61.…………（20分）

第三篇：全国初中数学竞赛试题及答案(1995年)

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1995年全国初中数学联赛试题

第一试

一、选择题

1．已知a＝355,b＝444,c＝533,则有［

]

A．a＜b＜c B．c＜b＜a

C．c＜a＜b

D．a＜c＜b

A．1 B．2

C．3

D．4 3．如果方程(x－1)(x2－2x－m)＝0的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m的取值范围是

4．如果边长顺次为25、39、52与60的四边形内接于一圆，那么此圆的周长为 ［

]

A．62π B．63π C．64π D．65π 5．设AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O的直径，且与弦AB相交，记M＝｜S△CAB－S△DAB｜，N＝2S△OAB，则 [

]

A．M＞N

B．M＝N

C．M＜N D．M、N的大小关系不确定 6．设实数a、b满足不等式｜｜a｜－(a＋b)｜＜｜a－|a＋b｜｜，则[

]

A．a＞0且b＞0 B．a＜0且b＞0 C．a＞0且b＜0 D．a＜0且b＜0

二、填空题

1．在12，22，32…，952这95个数中，十位数字为奇数的数共有____个。

4．以线段AB为直径作一个半圆，圆心为O，C是半圆周上的点，且OC2＝AC·BC，则∠CAB＝______．

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第二试

一、已知∠ACE＝∠CDE＝90°，点B在CE上，CA＝CB＝CD，经A、C、D三点的圆交AB于F（如图）求证F为△CDE的内心。

二、在坐标平面上，纵坐标与横坐标都是整数

理由。

三、试证：每个大于6的自然数n，都可以表示为两个大于1且互质的自然数之和。

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1995年全国初中数学联赛参考答案

第一试

一、选择题

1．讲解：这类指数幂的比较大小问题，通常是化为同底然后比较指数，或化为同指数然后比较底数，本题是化为同指数，有

c＝(53)11＝12511 ＜24311＝(35)11＝a

＜25611＝(44)11＝b。选C。

利用lg2＝0.3010，lg3＝0.4771计算lga、lgb、lgc也可以，但没有优越性。

2．讲解：这类方程是熟知的。先由第二个方程确定z＝1,进而可求出两个解：(2，21，1)、(20，3，1)．也可以不解方程组

直接判断：因为x≠y(否则不是正整数)，故方程组①或无解或有两个解，对照选择支，选B。

3．讲解：显然，方程的一个根为1，另两根之和为x1＋x2＝2＞1。三根能作为一个三角形的三边，须且只须｜x1－x2｜＜1又

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有0≤4－4m＜1．

4．讲解：四个选择支表明，圆的周长存在且唯一，从而直径也存在且唯一．又由

AB2＋AD2 ＝252＋602

＝52×（52＋122）＝52×132

＝(32＋42)×132 ＝392＋522 ＝BC2＋CD2

故可取BD＝65为直径，得周长为65π，选D．

5．讲解：此题的得分率最高，但并不表明此题最容易，因为有些考生的理由是错误的．比如有的考生取AB为直径，则M＝N＝0，于是就选B．其实，这只能排除A、C，不能排除D．

不失一般性，设CE≥ED，在CE上取CF＝ED，则有OF＝OE，且S△第 4 页 http://www.xiexiebang.com

ACE－S△ADE＝S△AEF＝2S△AOE．同理，S△BCE－S△BDE＝2S△BOE．相加，得S△ABC－S△DAB＝2S△OAB，即M＝N．选B．

若过C、D、O分别作AB的垂线（图3），CE⊥AB、DF⊥AB、OL⊥AB，垂足分别为E、F、L．连CF、DE，可得梯形CEDF．又由垂径分弦定理，知L是EF的中点．根据课本上做过的一道作业：梯形对角线中点的连线平行底边，并且等于两底差的一半，有

｜CE－DF｜＝2OL．

即M＝N．选B．

6．讲解：取a＝-

1、b＝2可否定A、C、D，选B．一般地，对已知不等式平方，有

｜a｜(a＋b)＞a｜a＋b｜．

显然｜a｜｜(a＋b)｜＞0（若等于0，则与上式矛盾），有

两边都只能取1或-1，故只有1＞-1，即

有a＜0且a＋b＞0，从而b＞-a＞0．选B．

二、填空题

1．讲解：本题虽然以计算为载体，但首先要有试验观察的能力．经计算12，22，…，102，知十位数字为奇数的只有42＝16，62＝36．然后，对两位数10a＋b，有

（10a＋b）2＝20a（5a＋b)＋b2．

其十位数字为b2的十位数字加上一个偶数，故两位数的平方中，也中有b＝4或6时，其十位数字才会为奇数，问题转化为，在1，2，…，95中个位数出现了几次4或6，有2×9＋1＝19．

2.讲解：这类问题一般都先化简后代值，直接把a

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学生在这道题上的错误主要是化简的方向不明确，最后又不会将a2＋a作为整体代入．这里关键是整体代入，抓住这一点，计算可以灵活．比如，由①有

由②－①，得

由③－②并将④代入，得

还可由①得

⑥÷⑤即得所求．

3．讲解：这个题目是将二次函数y＝x2－x与反比例函数

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因而x＝1时，y有最小值1．

4．讲解：此题由笔者提供，原题是求sin

∠CAB，让初中生用代数、几何相结合的方法求特殊角的三角函数值sin75°、sin15°．解法如下：

与AB2＝AB2＋AC2 ② 联立，可推出

而式①、③表明，AB、AC是二次方程

改为求∠CAB之后，思路更宽一些．如，由

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第二试

一、讲解：首先指出，本题有IMO29-5（1989年）的背景，该题是：在直角△ABC中，斜边BC上的高，过△ABD的内心与△ACD的内心的直线分别交边AB和AC于K和L，△ABC和△AKL的面积分别记为S和T．求证S≥2T．

在这个题目的证明中，要用到AK ＝AL＝AD．

今年的初中联赛题相当于反过来，先给出AK＝AL＝AD(斜边上的高)，再求证KL通过△ABD、△ADC的内心（图7）．

其次指出，本题的证法很多，但思路主要有两个：其一，连FC、FD、FE，然后证其中两个为相应的角平分线；其二是过F作三边的垂线，然后证明其中两条垂线段相等．下面是几个有代表性的证法．

证法1：如图6，连DF，则由已知，有

连BD、CF，由CD＝CB，知 ∠FBD＝∠CBD－45° ＝∠CDB－45°＝∠FDB，得FB＝FD，即F到B、D和距离相等，F在线段BD的垂直平分线上，从而也在等腰三角形CBD的顶角平分线上，CF是∠ECD的平分线．

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由于F是△CDE上两条角平分线的交点，因而就是△CDE的内心． 证法2：同证法1，得出∠CDF＝45°＝90°－45°＝∠FDE之后，由于∠ABC=∠FDE，故有B、E、D、F四点共圆．连EF，在证得

∠FBD=∠FDB之后，立即有∠FED＝∠FBD＝∠FDB＝∠FEB，即EF是∠CED的平分线．

本来，点E的信息很少，证EF为角平分线应该是比较难的，但四点共圆把许多已知信息集中并转移到E上来了，因而证法2并不比证法1复杂．

由这个证明可知，F是△DCB的外心．

证法4：如图8，只证CF为∠DCE的平分线．由∠AGC＝∠GBA＋∠GAB＝45°＋∠2，∠AGC=∠ADC=∠CAD=∠CAB+∠1

=45°+∠1 得∠1＝∠2．

从而∠DCF＝∠GCF，得CF为∠DCE的平分线．

证法5：首先DF是∠CDE的平分线，故 △CDE的外心I在直线DF上．

现以CA为y轴、CB为x轴建立坐标系，并记CA＝CB＝CD＝d,则直线AB是一次函数

y＝-x＋d ①

第 9 页 http://www.xiexiebang.com 的图象（图9）．若记内心I的坐标为（x1，y1），则 x1＋y1＝CH＋IH

＝CH＋HB＝CB＝d

满足①，即I在直线AB上，但I在DF上，故I是AB与DF的交点．由交点的唯一性知I就是F，从而证得F为Rt△CDE的内心．

还可延长ED交⊙O于P1，而CP为直径来证．

二、讲解：此题的原型由笔者提供．题目是：

于第一象限内，纵坐标小于横坐标的格点．

这个题目的实质是解不等式

求正整数解．直接解，数字较繁．但有巧法，由

及1≤y＜x，知1＋2＋…＋(x－1)＜1995＜1＋2＋…＋x．

但1953＝1＋2＋…＋62＜1995＜1＋2＋…＋62＋63＝2016，得x＝63，从而y＝21，所求的格点为(21，63)．

经过命题组的修改之后，数据更整齐且便于直接计算．

有x2－x＋18≤10｜x｜．

当x≥0时，有x2－11x＋18≤0，得2≤x≤9，代入二次函数，得合乎条件的4个整点：(2,2),(4,3),(7,6),(9,9);

当x＜0时，有 x2＋9x＋18≤0，得-6≤x≤-3，代入二次函数，得合乎条件的2个整点：

(-6,6),(-3,3)．

对x≥0，取x＝2,4,7,9,12,14,…顺次代入，得(2，2)、(4，3)、(7，6)、(9，9)，且当x＞9时，由

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对x<0，取x＝-1,-3,-6,-8,…顺次代入，得(-3，3)、(-6，6)，且当x<-6时，由

知y>-x，再无满足y≤｜x｜的解． 故一共有6个整点，图示略．

解法3：先找满足条件y＝｜x｜的整点，即分别解方程 x2－11x＋18＝0 ① x2＋9x＋18＝0 ②

可得(2，2)、(9，9)、(-6，6)、(-3，3)．

再找满足y＜｜x｜的整点，这时 2＜x＜9或-6＜x＜-3，依次检验得(4，3)、(7，6)．故共有6个整点．

三、讲解：直观上可以这样看，当n＞6时，在2，3，…，n－2中，必有一个数A与n互质(2≤A≤n－2)，记

B＝n－A≥2，有n＝A＋B．

此时，A与B必互质，否则A与B有公约数d＞1，则d也是n的约数，从而A与n有大于1的公约数，与A、n互质矛盾．

但是，对于初中生来说，这个A的存在性有点抽象，下面分情况，把它具体找出来．

(1)当n为奇数时，有 n＝2＋(n－2)，(2)当n为偶数，但不是4的倍数时，有

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(3)当n为偶数，且又是4的倍数时，有

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第四篇：1999年全国初中数学竞赛试题及答案

1999年全国初中数学竞赛试卷

一、选择题（本题共6小题，每小题5分，满分30分．每小题均给出了代号为A，B，C，D的四个结论，其中只有一个是正确的．请将正确答案的代号填在题后的括号里）

1．一个凸n边形的内角和小于1999°，那么n的最大值是（）．

A．11 B．12 C．13 D．14

2．某城市按以下规定收取每月煤气费：用煤气如果不超过60立方米，按每立方米0.8元收费；如果超过60立方米，超过部分按每立方米1.2元收费．已知某用户4月份的煤气费平均每立方米0.88元，那么4月份该用户应交煤气费（）．

A．60元 B．66元 C．75元 D．78元

3．已知，那么代数式的值为（）．

A． B．－ C．－ D．

4．在三角形ABC中，D是边BC上的一点，已知AC=5，AD=6，BD=10，CD=5，那么三角形ABC的面积是（）．

A．30 B．36 C．72 D．125

5．如果抛物线

与x轴的交点为A，B，项点为C，那么三角形ABC的面积的最小值是（）．

A．1 B．2 C．3 D．4

6．在正五边形ABCDE所在的平面内能找到点P，使得△PCD与△BCD的面积相等，并且△ABP为等腰三角形，这样的不同的点P的个数为（）．

A．2 B．3 C．4 D．5

二、填空题（本题共6小题，每小题5分，满分30分）

7．已知，那么x + y的值为

．

28．如图1，正方形ABCD的边长为10cm，点E在边CB的延长线上，且EB=10cm，点

2P在边DC上运动，EP与AB的交点为F．设DP=xcm，△EFB与四边形AFPD的面积和为ycm，那么，y与x之间的函数关系式是

（0＜x＜10）．

9．已知ab≠0，a + ab－2b = 0，那么的值为

．

10．如图2，已知边长为1的正方形OABC在直角坐标系中，A，B两点在第Ⅰ象限内，OA与x轴的夹角为30°，那么点B的坐标是

．

11．设有一个边长为1的正三角形，记作A1（如图3），将A1的每条边三等分，在中间的线段上向形外作正三角形，去掉中间的线段后所得到的图形记作A2（如图4）；将A2的每条边三等分，并重复上述过程，所得到的图形记作A3（如图5）；再将A3的每条边三等分，并重复上述过程，所得到的图形记作A4，那么A4的周长是

． 22

12．江堤边一洼地发生了管涌，江水不断地涌出，假定每分钟涌出的水量相等．如果用两

台抽水机抽水，40分钟可抽完；如果用4台抽水机抽水，16分钟可抽完．如果要在10分钟内抽完水，那么至少需要抽水机

台．

三、解答题（本题共3小题，每小题20分，满分60分）

13．设实数s，t分别满足19s + 99s + 1 = 0，t + 99t + 19 = 0，并且st≠1，求的值．

14．如图6，已知四边形ABCD内接于直径为3的圆O，对角线AC是直径，对角线AC和BD的交点是P，AB=BD，且PC=0.6，求四边形ABCD的周长．

15．有人编了一个程序：从1开始，交错地做加法或乘法（第一次可以是加法，也可以是乘法）每次加法，将上次的运算结果加2或加3；每次乘法，将上次的运算结果乘2或乘3．例如，30可以这样得到：

．

（1）（10分）证明：可以得到22；

10097

（2）（10分）证明：可以得到2 + 2－2．

1999年全国初中数学竞赛答案

一、1．C 2．B 3．D 4．B 5．A 6．D

二、7．10 8．y = 5x + 50 9． 10． 11． 12．6

三、13．解：∵s≠0，∴第一个等式可以变形为：

又∵st≠1，．

∴，t是一元二次方程x + 99x + 19 = 0的两个不同的实根，于是，有

．

即st + 1 =－99s，t = 19s．

∴．

14．解：设圆心为O，连接BO并延长交AD于H．

∵AB=BD，O是圆心，∴BH⊥AD． 又∵∠ADC=90°，∴BH∥CD．

从而△OPB∽△CPD．

∴CD=1．

于是AD=

又OH=CD=，于是

．，2

AB=

BC=

所以，四边形ABCD的周长为

15．证明：

（1），．

．

．

也可以倒过来考虑：

．

（或者

（2

．））

．

或倒过来考虑：

．

注意：加法与乘法必须是交错的，否则不能得分．

第五篇：09年全国初中数学联赛试题及答案

09年全国初中数学联赛试题及答案

时间：2009-6-3 14:33:52 点击：15833 2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案

第一试

一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1.设，则

.D.（）

.A.24.B.25.C.2．在△ABC中，最大角∠A是最小角∠C的两倍，且AB＝7，AC＝8，则BC＝（）A.3．用表示不大于的最大整数，则方程的解的个数.B..C..D..为（）

A.1.B.2.C.3.D.4.4．设正方形ABCD的中心为点O，在以五个点A、B、C、D、O为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为（）

A..B..C..D..5．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，以BC为直径在矩形内作半圆，自点A作半圆的切线AE，则

CBE＝（D）

A..B..C..D..1

6．设是大于1909的正整数，使得A.3.B.4.C.5.D.6.为完全平方数的的个数是（）

二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1．已知是实数，若则

是关于的一元二次方程的两个非负实根，的最小值是____________.2． 设D是△ABC的边AB上的一点，作DE//BC交AC于点E，作DF//AC交BC于点F，已知△ADE、△DBF的面积分别为3．如果实数满足条件，和，则四边形DECF的面积为______.，则

______.4．已知_____对.是正整数，且满足是整数，则这样的有序数对共有第一试答案： ACCBDB；－3，第二试（A）

一．（本题满分20分）已知二次函数别为A、B，与，－1，－7 的图象与轴的交点分轴的交点为C.设△ABC的外接圆的圆心为点P.轴的另一个交点为定点.，求和的值.，设，则，.（1）证明：⊙P与（2）如果AB恰好为⊙P的直径且解:（1）易求得点设⊙P与的坐标为轴的另一个交点为D，由于AB、CD是⊙P的两条相交弦，它们的交点为点O，所以OA×OB＝OC×OD，则因为，所以点

在轴的负半轴上，从而点D在.轴的正半轴上，所以点D为定点，它的坐标为(0,1).（2）因为AB⊥CD，如果AB恰好为⊙P的直径，则C、D关于点O对称，所以点的坐标为即.，又，所以，解得.、分别是二．（本题满分25分）设CD是直角三角形ABC的斜边AD上的高，△ADC、△BDC的内心，AC＝3，BC＝4，求解 作E⊥AB于E，F⊥AB于F...在直角三角形ABC中，AC＝3，BC＝4，又CD⊥AB，由射影定理可得，故，.因为连接DDA＝∠E为直角三角形ACD的内切圆的半径，所以、D，则D、D

＝.DC＝∠

D，分别是∠ADC和∠BDC的平分线，所以∠

D

＝90°，所以DC＝∠DB＝45°，故∠D⊥

.同理，可求得，.所以＝.三．（本题满分25分）已知为正数，满足如下两个条件：

①

②

证明：以为三边长可构成一个直角三角形.证法1 将①②两式相乘，得，即，即，即，即，即，即，即，即所以.因此，以

或，或，即

或

或

为三边长可构成一个直角三角形.证法2 结合①式，由②式可得，变形，得又由①式得，即

③，代入③式，得.，即 4，所以或

或或

.或

.结合①式可得因此，以

为三边长可构成一个直角三角形.第二试（B）

一．（本题满分20分）题目和解答与（A）卷第一题相同.二．（本题满分25分）已知△ABC中，∠ACB＝90°，AB边上的高线CH与△ABC的两条内角平分线 AM、BN分别交于P、Q两点.PM、QN的中点分别为E、F.求证：EF∥AB.解 因为BN是∠ABC的平分线，所以又因为CH⊥AB，所以，因此.，因此C、F、H、B

.又F是QN的中点，所以CF⊥QN，所以四点共圆.又，所以FC＝FH，故点F在CH的中垂线上.同理可证，点E在CH的中垂线上.因此EF⊥CH.又AB⊥CH，所以EF∥AB.三．（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第三题相同.第二试（C）

一．（本题满分20分）题目和解答与（A）卷第一题相同.二．（本题满分25分）题目和解答与（B）卷第二题相同.三．（本题满分25分）已知

为正数，满足如下两个条件：

①

②

是否存在以

为三边长的三角形？如果存在，求出三角形的最大内角.解法1 将①②两式相乘，得，即，即，即，即，即，即，即，即，所以.因此，以

或或，即或或

为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90°.解法2 结合①式，由②式可得，变形，得又由①式得，即

③，代入③式，得.，即所以或或或

.或

.结合①式可得因此，以下载附件：

为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90°.中国教育学会中学数学教学专业委员会

“《数学周报》杯”2010年全国初中数学竞赛试题参考答案

一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．若，则 的值为（）．

（A）（B）（C）（D）

解： 由题设得 ．

2．若实数a，b满足，则a的取值范围是（）．

（A）a≤（B）a≥4（C）a≤ 或 a≥4（D）≤a≤4 解．C 因为b是实数，所以关于b的一元二次方程 的判别式 ≥0,解得a≤ 或 a≥4．

3．如图，在四边形ABCD中，∠B＝135°，∠C＝120°，AB=，BC=，CD＝，则AD边的长为（）．（A）（B）

（第3题）

（C）（D）

解：D 如图，过点A，D分别作AE，DF垂直于直线BC，垂足分别为E，F． 由已知可得（第3题）

BE=AE=，CF＝，DF＝2，于是 EF＝4＋ ．

过点A作AG⊥DF，垂足为G．在Rt△ADG中，根据勾股定理得

AD ＝ ．

4．在一列数 „„中，已知，且当k≥2时，（取整符号 表示不超过实数 的最大整数，例如，），则 等于（(A)1(B)2(C)3(D)4 解：B 由 和 可得，，，，）．

„„

因为2010=4×502+2，所以 =2．

5．如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰梯形ABCD的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，－1），C（－2，－1），D（－1，1）．y轴上一点P（0，2）绕点A旋转180°得点P1，点P1绕点B旋转180°得点P2，点P2绕点C旋转180°得点P3，点P3绕点D旋转180°得点P4，„„，重复操作依次得到点P1，P2，„，则点P2010的坐标是（）．（第5题）

（A）（2010，2）（B）（2010，）

（C）（2012，）（D）（0，2）

解：B由已知可以得到，点，的坐标分别为（2，0），（2，）． 记，其中 ．

根据对称关系，依次可以求得：，，．

令，同样可以求得，点 的坐标为（），即（），由于2010=4 502+2，所以点 的坐标为（2010，）．

二、填空题

6．已知a＝ －1，则2a3＋7a2－2a－12 的值等于 ．

解：0 由已知得(a＋1)2＝5，所以a2＋2a＝4，于是

2a3＋7a2－2a－12＝2a3＋4a2＋3a2－2a－12＝3a2＋6a－12＝0．

7．一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶．在某一时刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间．过了10分钟，小轿车追上了货车；又过了5分钟，小轿车追上了客车；再过t分钟，货车追上了客车，则t＝ ． 解：15

设在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离均为S千米，小轿车、货车、客车的速度分别为（千米/分），并设货车经x分钟追上客车，由题意得，①，② ． ③ 由①②，得，所以，x=30． 故（分）．（第8题

8．如图，在平面直角坐标系xOy中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）．若直线l经过点M（2，3），且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，则直线l的函数表达式是 ．

（第8题）

解：

如图，延长BC交x轴于点F；连接OB，AF CE，DF，且相交于点N．

由已知得点M（2，3）是OB，AF的中点，即点M为矩形ABFO的中心，所以直线 把矩形ABFO分成面积相等的两部分．又因为点N（5，2）是矩形CDEF的中心，所以，过点N（5，2）的直线把矩形CDEF分成面积相等的两部分． 于是，直线 即为所求的直线 ．

设直线 的函数表达式为，则 解得 ,故所求直线 的函数表达式为 ．（第9题）

9．如图，射线AM，BN都垂直于线段AB，点E为AM上一点，过点A作BE的垂线AC分别交BE，BN于点F，C，过点C作AM的垂线CD，垂足为D．若CD＝CF，则 ．

解： 见题图，设 ．

因为Rt△AFB∽Rt△ABC，所以 ． 又因为 FC＝DC＝AB，所以 即，解得，或（舍去）．

又Rt△ ∽Rt△，所以，即 = ．

10．对于i=2，3，„，k，正整数n除以i所得的余数为i－1．若 的最小值 满足，则正整数 的最小值为 ． 解： 因为 为 的倍数，所以 的最小值 满足，其中 表示 的最小公倍数． 由于，因此满足 的正整数 的最小值为 ．

三、解答题（共4题，每题20分，共80分）

11．如图，△ABC为等腰三角形，AP是底边BC上的高，点D是线段PC上的一点，BE和CF分别是△ABD和△ACD的外接圆直径，连接EF.求证：

（第12A题）．

（第12B题）

（第11题）

（第12B题）

证明：如图，连接ED，FD.因为BE和CF都是直径，所以

ED⊥BC，FD⊥BC，因此D，E，F三点共线.„„„„（5分）连接AE，AF，则（第11题），所以，△ABC∽△AEF.„„„„（10分）

作AH⊥EF，垂足为H，则AH=PD.由△ABC∽△AEF可得，从而，所以.„„„„（20分）

12．如图，抛物线（a 0）与双曲线 相交于点A，B.已知点A的坐标为（1，4），点B在第三象限内，且△AOB的面积为3（O为坐标原点）.（1）求实数a，b，k的值；

（2）过抛物线上点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C，求所有满足△EOC∽△AOB的点E的坐标.（第12题）

解：（1）因为点A（1，4）在双曲线 上，所以k=4.故双曲线的函数表达式为.设点B（t，），AB所在直线的函数表达式为，则有

解得，.于是，直线AB与y轴的交点坐标为，故，整理得，解得，或t＝（舍去）．所以点B的坐标为（，）．

因为点A，B都在抛物线（a 0）上，所以 解得 „„„„（10分）（2）如图，因为AC∥x轴，所以C（，4），于是CO＝4.又BO=2，所以.13

（第12题）

设抛物线（a 0）与x轴负半轴相交于点D，则点D的坐标为（，0）.因为∠COD＝∠BOD＝，所以∠COB=.（i）将△ 绕点O顺时针旋转，得到△.这时，点(，2)是CO的中点，点 的坐标为（4，）.延长 到点，使得 =，这时点（8，）是符合条件的点.（ii）作△ 关于x轴的对称图形△，得到点（1，）；延长 到点，使得 ＝，这时点E２（2，）是符合条件的点．

所以，点 的坐标是（8，），或（2，）.„„„„（20分）

13．求满足 的所有素数p和正整数m.．解：由题设得，所以，由于p是素数，故，或.„„（5分）

（1）若，令，k是正整数，于是，故，从而.所以 解得 „„„„（10分）（2）若，令，k是正整数.当 时，有，故，从而，或2.由于 是奇数，所以，从而.于是

这不可能.当 时，；当，无正整数解；当 时，无正整数解.综上所述，所求素数p=5，正整数m=9.„„„„（20分）

14．从1，2，„，2010这2010个正整数中，最多可以取出多少个数，使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除？

解：首先，如下61个数：11，，„，（即1991）满足题设条件.„„„„（5分）

另一方面，设 是从1，2，„，2010中取出的满足题设条件的数，对于这n个数中的任意4个数，因为，所以.因此，所取的数中任意两数之差都是33的倍数.„„„„（10分）设，i=1，2，3，„，n.由，得，所以，即 ≥11.„„„„（15分）

≤，故 ≤60.所以，n≤61.综上所述，n的最大值为61.„„„„（20分）