2011年全国高中数学联合竞赛一试试题(A卷)
考试时间:2011年10月16日
8:00—9:20
一、填空题:本大题共8小题,每小题8分,共64分。
把答案填在横线上.1.设集合,若中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为,则集合.
2.函数的值域为
.
3.设为正实数,,则
.
4.如果,那么的取值范围是
.
5.现安排7名同学去参加5个运动项目,要求甲、乙两同学不能参加同一个项目,每个项目都有人参加,每人只参加一个项目,则满足上述要求的不同安排方案数为
.(用数字作答)
6.在四面体中,已知,,则四面体的外接球的半径为
.
7.直线与抛物线交于两点,为抛物线上的一点,则点的坐标为
.
8.已知C,则数列中整数项的个数为
.
二、解答题:本大题共3小题,共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
9.(本小题满分16分)设函数,实数满足,求的值.
10.(本小题满分20分)已知数列满足:R且,N.
(1)求数列的通项公式;
(2)若,试比较与的大小.
y
x
O
P
A
B
11.(本小题满分20分)作斜率为的直线与椭圆:交于两点(如图所示),且在直线的左上方.
(1)证明:△的内切圆的圆心在一条定直线上;
(2)若,求△的面积.
2011年全国高中数学联合竞赛加试试题(A卷)
考试时间:2011年10月16日
9:40—12:10
一、(本题满分40分)如图,分别是圆内接四边形的对角线的中点.若,证明:.
A
B
C
D
Q
P
二、(本题满分40分)证明:对任意整数,存在一个次多项式
具有如下性质:
(1)均为正整数;
(2)对任意正整数,及任意个互不相同的正整数,均有
.
三、(本题满分50分)设是给定的正实数,.对任意正实数,满足的三元数组的个数记为.
证明:.
四、(本题满分50分)设A是一个的方格表,在每一个小方格内各填一个正整数.称A中的一个方格表为“好矩形”,若它的所有数的和为10的倍数.称A中的一个的小方格为“坏格”,若它不包含于任何一个“好矩形”.求A中“坏格”个数的最大值.