“《数学周报》杯”2019年全国初中数学竞赛试题
一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）
1．若，则的值为（）．
（A）
（B）
（C）
（D）
解：
由题设得．
2．若实数a，b满足，则a的取值范围是
（）．
（A）a≤
（B）a≥4
（C）a≤或
a≥4
（D）≤a≤4
解．C
因为b是实数，所以关于b的一元二次方程的判别式
≥0,解得a≤或
a≥4．
3．如图，在四边形ABCD中，∠B＝135°，∠C＝120°，AB=，BC=，CD＝，则AD边的长为（）．
（A）
（B）
（C）
（D）
（第3题）
解：D
如图，过点A，D分别作AE，DF垂直于直线BC，垂足分别为E，F．
由已知可得
（第3题）
BE=AE=，CF＝，DF＝2，于是
EF＝4＋．
过点A作AG⊥DF，垂足为G．在Rt△ADG中，根据勾股定理得
AD＝．
4．在一列数……中，已知，且当k≥2时，（取整符号表示不超过实数的最大整数，例如，），则等于（）．
(A)
(B)
(C)
(D)
解：B
由和可得，，，，……
因为2010=4×502+2，所以=2．
5．如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰梯形ABCD的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，－1），C（－2，－1），D（－1，1）．y轴上一点P（0，2）绕点A旋转180°得点P1，点P1绕点B旋转180°得点P2，点P2绕点C旋转180°得点P3，点P3绕点D旋转180°得点P4，……，重复操作依次得到点P1，P2，…，则点P2010的坐标是（）．
（A）（2010，2）
（B）（2010，）
（C）（2012，）
（D）（0，2）
解：B由已知可以得到，点，的坐标分别为（2，0），（2，）．
（第5题）
记，其中．
根据对称关系，依次可以求得：，，．
令，同样可以求得，点的坐标为（），即（），由于2010=4502+2，所以点的坐标为（2010，）．
二、填空题
6．已知a＝－1，则2a3＋7a2－2a－12的值等于
．
解：0
由已知得
(a＋1)2＝5，所以a2＋2a＝4，于是
2a3＋7a2－2a－12＝2a3＋4a2＋3a2－2a－12＝3a2＋6a－12＝0．
7．一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶．在某一时刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间．过了10分钟，小轿车追上了货车；又过了5分钟，小轿车追上了客车；再过t分钟，货车追上了客车，则t＝
．
解：15
设在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离均为S千米，小轿车、货车、客车的速度分别为
（千米/分），并设货车经x分钟追上客车，由题意得，①，②
．
③
由①②，得，所以，x=30．
故
（分）．
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）．若直线l经过点M（2，3），且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，则直线l的函数表达式是
．
（第8题
（第8题）
解：
如图，延长BC交x轴于点F；连接OB，AFCE，DF，且相交于点N．
由已知得点M（2，3）是OB，AF的中点，即点M为矩形ABFO的中心，所以直线把矩形ABFO分成面积相等的两部分．又因为点N（5，2）是矩形CDEF的中心，所以，过点N（5，2）的直线把矩形CDEF分成面积相等的两部分．
于是，直线即为所求的直线．
设直线的函数表达式为，则
解得,故所求直线的函数表达式为．
9．如图，射线AM，BN都垂直于线段AB，点E为AM上一点，过点A作BE的垂线AC分别交BE，BN于点F，C，过点C作AM的垂线CD，垂足为D．若CD＝CF，则
．
（第9题）
解：
见题图，设．
因为Rt△AFB∽Rt△ABC，所以
．
又因为
FC＝DC＝AB，所以
即，解得，或（舍去）．
又Rt△∽Rt△，所以，即=．
10．对于i=2，3，…，k，正整数n除以i所得的余数为i－1．若的最小值满足，则正整数的最小值为
．
解：
因为为的倍数，所以的最小值满足，其中表示的最小公倍数．
由于，因此满足的正整数的最小值为．
三、解答题（共4题，每题20分，共80分）
11．如图，△ABC为等腰三角形，AP是底边BC上的高，点D是线段PC上的一点，BE和CF分别是△ABD和△ACD的外接圆直径，连接EF.求证：
（第12A题）
．
（第12B题）
（第11题）
（第12B题）
证明：如图，连接ED，FD.因为BE和CF都是直径，所以
ED⊥BC，FD⊥BC，因此D，E，F三点共线.…………（5分）
连接AE，AF，则，所以，△ABC∽△AEF.…………（10分）
（第11题）
作AH⊥EF，垂足为H，则AH=PD.由△ABC∽△AEF可得，从而，所以
.…………（20分）
12．如图，抛物线（a0）与双曲线相交于点A，B.已知点A的坐标为（1，4），点B在第三象限内，且△AOB的面积为3（O为坐标原点）.（1）求实数a，b，k的值；
（2）过抛物线上点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C，求
所有满足△EOC∽△AOB的点E的坐标.解：（1）因为点A（1，4）在双曲线上，所以k=4.故双曲线的函数表达式为.（第12题）
设点B（t，），AB所在直线的函数表达式为，则有
解得，.于是，直线AB与y轴的交点坐标为，故，整理得，解得，或t＝（舍去）．所以点B的坐标为（，）．
因为点A，B都在抛物线（a0）上，所以
解得
…（10分）
（2）如图，因为AC∥x轴，所以C（，4），于是CO＝4.又BO=2，所以.设抛物线（a0）与x轴负半轴相交于点D，则点D的坐标为（，0）.（第12题）
因为∠COD＝∠BOD＝，所以∠COB=.（i）将△绕点O顺时针旋转，得到△.这时，点(，2)是CO的中点，点的坐标为（4，）.延长到点，使得=，这时点（8，）是符合条件的点.（ii）作△关于x轴的对称图形△，得到点（1，）；延长到点，使得＝，这时点E２（2，）是符合条件的点．
所以，点的坐标是（8，），或（2，）.…………（20分）
13．求满足的所有素数p和正整数m.解：由题设得，所以，由于p是素数，故，或.……（5分）
（1）若，令，k是正整数，于是，故，从而.所以解得
…………（10分）
（2）若，令，k是正整数.当时，有，故，从而，或2.由于是奇数，所以，从而.于是
这不可能.当时，；当，无正整数解；当时，无正整数解.综上所述，所求素数p=5，正整数m=9.…………（20分）
14．从1，2，…，2010这2010个正整数中，最多可以取出多少个数，使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除？
解：首先，如下61个数：11，，…，（即1991）满足题设条件.（5分）
另一方面，设是从1，2，…，2010中取出的满足题设条件的数，对于这n个数中的任意4个数，因为，所以
.因此，所取的数中任意两数之差都是33的倍数.…………（10分）
设，i=1，2，3，…，n.由，得，所以，即≥11.…………（15分）
≤，故≤60.所以，n≤61.综上所述，n的最大值为61.…………（20分）
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