Excel条件格式公式应用四例

第一篇：Excel条件格式公式应用四例

Excel条件格式公式应用四例

(2009-05-11 15:50:32)转载 标签：

excel 条件格式 杂谈

－－－－－本文乃转载，纯作学习之用。

我们知道，Excel“条件格式”功能可以根据单元格内容有选择地自动应用格式，它为Excel增色不少的同时，还为我们带来很多方便。如果让“条件格式”和公式结合使用，则可以发挥更大的威力，下面提供几个在“条件格式”中使用公式的应用实例，希望能给读者朋友带来一些启发。

一、判别输入是否正确

在输入如身份证等有固定位数的号码，出现位数不正确的情形时，我们希望Excel能够给出提示。虽然可以使用“数据有效性”设置实现，但是当输入出错时，Excel总会弹出一个提示的对话框，有朋友可能觉得这样“唐突”的提醒有点影响心情，那就让“条件格式”来“温和”的提醒吧。

1、创建“条件格式”的公式

假设我们通过“条件格式”，把符合位数(15位或18位)的号码所在单元格的填充色设置为绿色，输入完成后，通过查看单元格的填充色是否变为绿色，就可以知道输入的正确性了。由于身份证号码数据是属于“文本”类型的，先选中需要存放身份证号码的A2:A52单元格区域，将它们的数字格式设置为“文本”。然后在A2:A52单元格区域处于被选中的状态下，选择菜单“格式→条件格式”命令，打开“条件格式”对话框，单击“条件1”下方的下拉箭头，在弹出的下拉列表中选择“公式”接着在其右边的文本框中输入公式“=OR(LEN(A2)=15,LEN(A2)=18)”，然后单击“格式”按钮，在打开的“单元格格式”对话框中选择“图案”选项卡，选择绿色作为符合条件的单元格的填充色，设置好后单击“确定”按钮，返回“条件格式”对话框，检查无误再次单击“确定”就完成了条件格式的设置，小提示：上面的操作，先选中了一个单元格范围A2:A52，然后为这个单元格范围设置条件格式的公式。在这种情况下，公式中应使用选择范围中左上单元格的引用，此例中为A2。公式输入完成后，可以查看一下这个范围中的其它单元格的条件格式公式，如A8单元格，为“=OR(LEN(A8)=15,LEN(A8)=18)”，这是由于上面的引用为相对应用，它会根据单元格的实际偏移量自动改变，从而得到适合其它单元格的公式。

2、实现的具体效果

现在来测试一下上面设置可以实现的效果，在A2：A52区域的单元格中输入一些身份证号码，当位数是18位或15位时，所在单元格的填充色自动变为“绿色”，而位数不对的身份证号码，所在单元格的填充色不发生任何改变，从是否变色我们就可以判断输入的正确性了，全部输入并确认正确后，如果需要删除单元格条件格式，则先选中A2:A52单元格区域，然后打开“条件格式”对话框，单击如图3中的“删除”按钮，在打开的“删除条件格式”对话框中勾选“条件1”复选框，单击确定即可。

二、找出销售额的前三名

如图6中的B2:B12单元格中存放着销售额数据，要找出其中的前三名，让它们以蓝色字体显示。

先选中B2:B12单元格，打开如图1所示的对话框，输入公式“=B2>LARGE($B$2:$B$12,4)”然后将符合条件的字体格式设置为蓝色即可。说明：虽然可以对“销售额”数据列排序找出前三名，但是，可能我们希望以日期为顺序排列，这时“条件格式”就可以做到“两全其美”了。

三、让符合特殊条件的日期突出显示

有时，我们可能希望符合特殊条件的日期所在的单元格突出显示，比如星期六或星期天。这时我们可以先选中日期所在的单元格，如图6中的A2:A12，然后打开如图1所示的单元格，输入公式“=OR(WEEKDAY(A2,2)=6,WEEKDAY(A2,2)=7)”，然后设置符合条件的单元格填充色为阴影即可。

小提示：函数WEEKDAY(serial_number,return_type)的功能为返回某日期为星期几，Serial_number??表示一个顺序的序列号，代表要查找的那一天的日期。当参数return_type为2时，函数返回数字 1（星期一）到数字 7（星期日）之间的整数。

四、让工作表间隔固定行显示阴影

当单元格数据行较多，我们为了让显示效果更加醒目，可以让工作表间隔固定行显示阴影。

上面的效果是使用了公式“=MOD(ROW(),2)=0”，如果要间隔两行显示阴影则用公式“=MOD(ROW(),3)=0”，其余依次类推。

小提示：函数MOD(number,divisor)返回两数相除的余数，其中Number为被除数，Divisor为除数。函数ROW(reference)返回引用的行号。其中Reference??为需要得到其行号的单元格或单元格区域，如果省略 reference，则假定是对函数 ROW 所在单元格的引用。

第二篇：泰勒公式及其应用

泰勒公式及其应用

数学学院 数学与应用数学专业 2009级 杨立

指导教师 吴春

摘要:泰勒公式以一种逼近的思想成为数学分析中的一个重要知识，在分析和研究数学问题中有着重要的作用。本文研究了利用泰勒公式证明微分中值定理，求函数的极限，进行近似计算，求函数的高阶导数和偏导数等方面的应用，恰当的运用泰勒公式能够给我们的解题带来极大的方便。

关键词：泰勒公式；微分中值定理；极限；高阶导数；偏导数

Abstract: Taylor formula is an important knowledge of mathematics analysis in an approximation of the thought, and it plays an important role in the analysis and study of mathematical problems.This paper studies the application of the Taylor formula in proving differential mean value theorem, the limit of function, approximate calculation, the application of high order derivative for function and partial derivative, and using Taylor formula appropriate can bring great convenience to our problem.Keywords: Taylor formula;approximate calculation;limit;higher derivative;partial derivative

引言

泰勒公式最早是以泰勒级数的形式出现在泰勒1715年出版的著作《增量及其逆》中，但在该书中却没有给出具体的证明，直到19世纪由柯西给出了现在的形式及其严格的证明。泰勒公式是一种逼近的思想，集中体现了逼近法的精髓，可以将有理分式函数﹑无理函数和初等超越函数等复杂函数用简单的多项式函

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数来近似代替，而误差又能满足要求。这种化复杂为简单的功能，使其成为分析和研究数学其他问题的有力工具。也对函数性态的研究和函数值的近似计算带来了极大的方便。本文主要是通过给出实际例子体现其应用，并对这些方法做了归纳和总结。泰勒公式及其证明

1.1 带佩亚诺余项的泰勒公式

若f(x)在xx0点有直到n阶连续导数，那么就有：

f“(x0)f(x)f(x0)f(x0)(xx0)(xx0)2

2!'f(n)x0(xx0)nRn(x)(1.1)

n!n其中Rnxoxx0是余项，这就是fx在xx0点的带佩亚诺余项的泰勒公式[1]。说明：

①此公式对函数fx的展开要求较低，只要求其在xx0点处n阶可导即可，展开的形式也比较简单。

②这种泰勒公式的实质是局部增量公式的升华，即可以把此函数局部地用线性函数代替改为用多项式代替，当xx0时用多项式代替这个函数所产生的误差xx0n是一个无穷小量。

③它难以说明误差范围，因此不适合对余项作定量估算，只能是一个定性估目的。

④特别地当x00时，有：

f”(0)2f(n)(0)nf(x)f(0)f(0)xxxRn(x)(1.2)

2!n!'这种佩亚诺项的泰勒公式也被称为麦克劳林公式。

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1.2 带拉格朗日余项的泰勒公式

若函数fx在xa,b上有直到n阶连续导数，并且fn1x在区间a,b内存在，那么就有：

f"x02f(x)fx0fx0(xx0)xx0

2!'f(n)x0nxx0Rnx(1.3)

n!fn1其中Rnxxx0n1被称为余项，此时介于x与x0之间，这就是函数n1!fx在xx0点的带拉格朗日余项的泰勒公式。

[2]说明：

①它对函数fx的展开要求较高，因为它要求对任意的xa,b都要成立，其形式也相对复杂。

②这种泰勒公式的实质是对拉格朗日微分中值定理的升华，它是一个定量估计值。

③运用这种泰勒公式逼近fx时，可以确定其大致的误差范围，但其误差是由fx的n1阶导数决定的，若a越接近于b，即区间a,b越小，那么误差就会越小，这种泰勒公式适合处理fx在区间上的问题，特别是在不等式的证明中应用起来比较方便。1.3 简单的证明

我们知道f(x)f(x0)f(x0)(xx0)，根据拉格朗日中值定理导出的有限增量定理有：

x0limf(x0x)f(x0)f(x0)x，其中误差是在x0即xx0的前提下才趋向于0，所以在近似计算中往往不够精确，于是我们需要一个能够足够精确的且能估计出误差的多项式：

P(x)A0A1(xx0)A2(xx0)2An(xx0)n

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来近似地表示函数fx且要写出其误差fxPx的具体表达式。

设函数Px满足：

P(x0)f(x0),P(x0)f(x0),P(x0)f(x0),,Pn(x0)fn(x0).于是可以依次求出A0,A1,A2,,An.显然，P(x0)A0，所以A0P(x0);

P(x0)A1,A1P(x0)

P(x0)2!A2,A2P(x0)2!

Pn(x0)P(x0)n!An,An.n!n至此，多项的各项系数都已求出，得：

f(x0)fn(x0)2P(x)f(x0)f(x0)(xx0)(xx0)(xx0)n.2!n!接下来就要求误差的具体表达式了。

设RnxfxPx，于是有：

Rn(x0)f(x0)P(x0)0.n所以可以得出：Rn(x0)Rn(x0)Rn(x0)0.根据柯西中值定理可得：

Rn(x)Rn(x)Rn(x0)Rn(1)（其中：(xx0)n10），n1nn1(xx0)(n1)(x)(xx)0010这里1在x和x0之间； 继续使用柯西中值定理得：

n1x10Rn1Rnx0n10Rn2nn12x0n1，第4页（共12页）

这里2在1与x0之间； 连续使用n1次后得出：

Rnxxx0这里在x0和x之间。

n1Rnn1，n1!但Rnn1xfn1xPn1x，由于Pn1x(n1)!An1，(n1)!An1是一个常数，故Pn1x0，于是得Rnn1xfn1x。

fn1()综上可得，余项Rnx。n1(n1)!(xx0)一般来说展开函数时都是为了计算的需要，故x往往要取一个定值，此时也可把Rnx写为Rn。泰勒公式的应用

2.1 利用泰勒公式进行近似计算和误差估计

根据泰勒展开式的余项可以把握函数用泰勒公式近似的程度，但需要估计误差的范围，关键就在于对fn1值的估计。

如果存在M0，有fn1M，xx0,x0，那么我们就可以估计Rn(x)Mn1xx0，xx0,x0，从而当我们期望近似值的误差不超(n1)!Mn1xx0中解出n是多少就可以知道运用泰勒公

(n1)!过时，只需在不等式式应计算多少项即可，由此我们就可以近似地计算出某些复杂数的具体值。

例1 求exdx的近似值，精确到105。

012解 由于该被积函数的原函数不是初等函数，所以无法用牛顿-莱布尼茨公式来计算，因此我们要用泰勒公式来计算它的近似值。

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因为ex22nx4nx1x(1) 2!n!2将两边逐项积分，有

e01x2dx=1dxxdx00112102n1xx4dxdx

02!n!11111 =1(1)n32!5n!2n11111111 =131042216***0011.3105 75600121111110.746836。所以exdx1***60又因为总结：通过以上我们可以知道：只要给出一个数，知道它的误差范围，我们就可以利用泰勒公式较为简单的求出它的近似值。

例2 计算e的值，当n9时，误差不超过多少？ 解 在ex的麦克劳林展开式中，令x1可得：

11ee11,（01）

2!n!(n1)!330.000001 10!3628800111也就是说e11+2.718281，2!3!9!当n9时，有：R9(1)其误差不超过106。

总结：利用泰勒公式我们可以轻易地判断出一个函数公式的误差范围。2.2 利用泰勒公式证明中值问题

如果要证明的结论是至少存在一点ca,b，使得关于然后验证辅助函数满足a,b,f(a),f(b),c,f(c),f(c),,f(n)(c)代数式的证明。罗尔定理条件，由定理的结论即得命题的证明。

例2

设fx在a,b上三次可导，试证明：ca,b，使得：

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1ab3

(2.1)f(b)f(a)f(ba)f(c)(ba)242证明 设k为使得下式成立的实数：

1abf(b)f(a)f(ba)k(ba)30

(2.2)242此时，问题可变为证明：ca,b，使得kfc。

设

1axg(x)f(x)f(a)f(xa)k(xa)30

(2.3)242则g(x)g(b)0。

根据罗尔定理，a,b，使得g()0。由(2.3)式，即：

aa(a)k2f()ff(a)0

(2.4)8222这是关于k的方程，注意f()到在点

a处的泰勒公式： 22aa(a)1af()fff(c)0,ca,b

(2.5)

22222由(2.4)(2.5)两式可得：

k1a12(a)2fcf()(a)8228则有：kf(c)，命题得证。

总结：解此类题最重要的就是辅助函数的确定，上面的例题使用的是原函数法，即通过恒等变形将结论化为以消除导数符号的形式或易积分的形式，用观察法或积分法求出原函数，为简便积分常数取作零，移项使等式一边为零，则另一边将结论中的c换成x即为所需的辅助函数。

例4设函数fx在闭区间1,1上具有三阶连续导数，且f(1)1，f(1)1，f(0)0，证明：在开区间1,1内至少存在一点，使得f()3

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证明 由于函数f(x)在闭区间1,1上具有三阶连续导数，因此可以写出f(x)的二阶泰勒公式：

f(0)2f(x)x 2!3!f(0)2f(x)x(0 1)

f(0)2!3!f(x)f(0)f(0)x将x1,x1分别带入得：

f(1)f(0)f(0)f(1)f(0)f(2)，f(1)f(0) 2626其中01,21 两式相减可得：

f(1)f(1)f(1)f(2)

6由于fx在闭区间1,1上连续，由闭区间上连续函数的介值定理可知，在区间2,11,1内至少存在一点使得f(1)f(2)2f()，代入等式1f(1)f(2)f()1可得，即f()3。

63总结：例4用泰勒公式进行证明的优势是显而易见的，条件中函数为三阶可导的抽象函数，如果不用泰勒公式，条件和结论似乎风牛马不相及，证明难度可想而知。

2.3 泰勒公式在求函数极限中的应用

excosx2例５ 求lim的极限.x0x42分析：当x0时为求

型函数的极限，满足洛必达法则，若直接用洛必达法则求极限我们发现会有多次求导且计算过程也十分复杂，稍不注意就会出错。我们可以先用泰勒公式将分子展开，再求极限，这样就会简单许多。

解 在x00处，由佩亚诺余项的泰勒公式展开得：

x4e1xo(x4)

2!x22第8页（共12页）

x2x4cosx1o(x4)

2!4!因此 excosx2故 274xo(x4)12744xo(x)ecosx2lim lim1244x0x0xx7



12x21例6 求limxx2Inx

xx分析：当x时，此函数为型未定式。虽然可以通过变换把其化为

001型，再用洛必达法则，但计算量较大。所以我们先将Inx展开，再求其极

x限。

2121111解 因为ln1o

xxx2x1所以limxx2lnx

xx111212

limo

xxx2x1 2通过以上两个例子，我们不难发现，在求一些未定型的极限时，如果用洛必达法则求导次数较多或化简过程较复杂时，不妨利用泰勒公式来求。在使用泰勒公式求极限时并不需要把各函数展开到n阶，那么函数到底应该展开到几阶，就成为了求解极限的关键。回顾上面两个例子我们可以发现：

当极限为分式时，若分子或分母中只需要展开一个，那么只需要将其展到另一个的同阶无穷小的阶数；若分子和分母都需要展开，可分别展到其同阶无穷小的阶数，即合并后的首个非零项的幂次的次数。

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当极限不为分式时，展开的阶数应与函数最高次幂相同。2.4 泰勒公式在高阶导数方面的应用

例7 已知f(x)x3ln(1x)，求fn(0)(n4)。

解 ln(1x)的n3阶泰勒公式为：

n3x2n2xln(1x)x(1)o(xn2)

(2.6)2n3则

nx5n2xf(x)x(1)o(xn).(2.7)2n34由于fx的n阶泰勒公式为：

f(0)2f(0)nf(x)f(0)f(0)xxxo(xn)

(2.8)

2!n!nf(0)(1)n2比较(2.7)(2.8)两式可知，n!n3n所以

fnn!(1)n2(n4)0n3例8 设函数f(x)在上,有三阶导数，并且f(x)和f(x)在,上有界，证明：f(x)和f(x)在,上也有界。

证明 设M0,M3R,f(x)M0，f(x)M3，则由泰勒公式可得：

f(x)f(1),1x,x1 26f(x)f(2)f(x1)f(x)f(x),1x,x1

26f(x1)f(x)f(x)两式相加得：

f(x1)f(x1)2f(x)f(x)f(1)f(2)

6第10页（共12页）

故有f(x)4M0两式相减得： M3,x, 3f(1)f(2)

6f(x1)f(x1)2f(x)故有f(x)M0M3,x,。6综上可知，f(x)和f(x)在,上也有界。总结

对于泰勒公式，我们已经非常熟悉，它的应用在当今数学研究发展的过程中起到了重要的作用。通过以上几个方面的研究，让我们知道泰勒公式是函数展开的一种形式，使我们对泰勒公式及其应用有了一个总体上得认识，也使我们在特定的题设条件下形成特定的解题思路，使解题达到事半功倍的效果，只有了解了这些知识，并在此基础上不断加强训练，不断行进总结，才能使我们牢固掌握泰勒公式，进而才能善于熟练运用。可以说这样的学习能使我们养成良好的数学思维习惯，灵活的从不同角度寻找解题途径，进而形成独特的解题技巧。在数学研究中，泰勒公式几乎是开辟计算捷径道路的基础，同时，也为今后进行泰勒公式的深入研究打下基础。泰勒公式在数学中的应用多种多样，恰当的运用泰勒公式能给我们解题带来很大的方便，想要掌握好泰勒公式的应用，需要综合各方面的知识，从题设和结论出发，找出能应用泰勒公式的条件，这样才能好的运用泰勒公式解决数学和生活中的问题，发挥它的优越性。

通过几个月的努力，我的论文基本完成了。在此，特别向吴老师表示崇高的敬意和衷心的感谢，是您不厌其烦的帮助我纠正和改进论文，才使我的论文得以完成，吴老师您严谨细致和一丝不苟的作风是我以后学习工作的榜样，您无私的教导给予了我无尽的启迪，您的鼓励和宽容让我拥有了面对挫折的信心，为我以后的学习工作埋下了一笔巨大的财富。感谢我的同学借电脑给我使用，还帮我找了不少素材。也感谢帮我修改英文翻译的同学。最后，在此感谢给我帮助和鼓励

第11页（共12页）的老师﹑朋友﹑同学，正是有了你们的帮助和鼓励，才使得我的大学生活画上了一个圆满的句号，才有了如今我的成就。

参考文献：

[1] 裘姚泰,王承国,章仰文.数学分析学习指导[M].北京:科学出版社,2004.[2] 赵焕光,林长胜.数学分析(上册)[M].四川大学出版社,2006.[3] 胡国专.泰勒公式在微分学中的应用[J].赤峰学院学报.2012.8，28(8):12-13.[4] 牛旭.泰勒公式在求函数极限中的应用[J].大众科技.2011，146(10):69-70.[5] 杜道渊.泰勒公式在高等数学中的若干应用.北京电力高等专科学校学报[J].2012.11，383.[6] 赵中，张秀全.泰勒公式在高阶导数和高阶偏导数方面的应用[J].天中学刊.2011.4，26(2):81-82.[7] 张智云.浅析泰勒公式的应用[J].课例研究.2011,10(5):79-80.[8] 杨镛.泰勒公式的应用[J].学科研究.2012.8.18:143.第12页（共12页）

第三篇：均值不等式公式总结及应用

均值不等式应用

a2b21.(1)若a,bR，则ab2ab(2)若a,bR，则ab

2ab**2.(1)若a,bR，则ab(2)若a,bR，则ab2ab 222（当且仅当a（当且仅当ab时取“=”）b时取“=”）

ab(当且仅当ab时取“=”(3)若a,bR，则ab）2*2

3.若x0，则x12(当且仅当x1时取“=”）x

1若x0，则x2(当且仅当x1时取“=”）x

若x0，则x12即x12或x1-2(当且仅当ab时取“=”）xxx

ab）2(当且仅当ab时取“=”ba4.若ab0，则

若ab0，则ababab）2即2或-2(当且仅当ab时取“=”bababa

ab2a2b25.若a,bR，则(（当且仅当ab时取“=”）)22

『ps.(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所

谓“积定和最小，和定积最大”．

(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”

(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用』 应用一：求最值

例1：求下列函数的值域

（1）y＝3x 2＋

12x1（2）y＝x＋2x

解：(1)y＝3x 2＋≥22x 2113x 2· 2＝2x

1x·＝2； x6∴值域为[6，+∞）1(2)当x＞0时，y＝x＋≥2x

11当x＜0时，y＝x＋= －（－ x－）≤－2xx

∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）

1x·=－2 x

解题技巧

技巧一：凑项

例已知x

54，求函数y4x

2

1的最大值。4x5

解：因4x50，所以首先要“调整”符号，又(4x2)

不是常数，所以对4x2要进行拆、凑项，4x

5511x,54x0，y4x254x3231 44x554x

当且仅当54x

，即x1时，上式等号成立，故当x1时，ymax1。

54x

评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。技巧二：凑系数 例1.当解析：由

时，求知，yx(82x)的最大值。，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但

其和不是定值。注意到2x(82x)8为定值，故只需将yx(82x)凑上一个系数即可。

当，即x＝2时取等号当x＝2时，y

x(82x)的最大值为8。

评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。变式：设0

x，求函数y4x(32x)的最大值。

232x32x9解：∵0x∴32x0∴y4x(32x)22x(32x)2 222

当且仅当2x技巧三： 分离

32x,即x

33

0,时等号成立。42

x27x10

(x1)的值域。例3.求y

x

1解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离。

当,即

时,y59（当且仅当x＝1时取“＝”号）。技巧四：换元

解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。

(t1)27(t1）+10t25t44y=t5

ttt

当,即t=时,y59（当t=2即x＝1时取“＝”号）。

评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为

A

B(A0,B0)，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。ymg(x)

例：求函数y

2的值域。

t(t



2)，则y

1

t(t2)

t11

0,t1，但t解得t1不在区间2,，故等号不成立，考虑单调性。

tt15

因为yt在区间1,单调递增，所以在其子区间2,为单调递增函数，故y。

t2

因t

所以，所求函数的值域为

5,。2

练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值.11x23x1,x(0,),x3(3)y2sinx,(x0)（2）y2x（1）y

sinxx3x

2．已知0条件求最值 1.若实数满足a

x

1，求函数y.；3．0x，求函数y

3.b2，则3a3b的最小值是.a

分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且3解： 当3

a

3b定值，因此考虑利用均值定理求最小值，3a和3b都是正数，3a3b≥23a3b3ab6

3b时等号成立，由ab2及3a3b得ab1即当ab1时，3a3b的最小值是6．

11变式：若log4xlog4y2，求的最小值.并求x,y的值

xy

技巧六：整体代换

多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。2：已知x0,y错解：．．

0，且1，求xy的最小值。

xy

1919x0,y0，且1，xy

xy12故 xymin12。xyxy

在19yxy，错因：解法中两次连用均值不等式，在x

xy19

xy

即

y9x,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用均值不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步

骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。

正解：x0,y

19y9x19

0,1，xyxy1061016

xyxyxy

当且仅当

19y9x

1，可得x4,y12时，xymin16。时，上式等号成立，又xyxy

变式：（1）若

x,yR且2xy1，求11的最小值

x

y

(2)已知a,b,x,技巧七

yR且ab

x

y

1，求x

y的最小值

已知x，y为正实数，且x 2y 2

＝1，求x1＋y 2 的最大值.分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab≤

a 2＋b 2。

同时还应化简1＋y 2 中y2前面的系数为

12，x1＋y 2 ＝x

1＋y 2

2· ＝x·

＋

y 2

下面将x，12

＋

y 2

分别看成两个因式：

x·

＋

y 2

x 2＋（12

≤

y 2

＋)222

x 2＋＝

y 21

＋222

＝即x

1＋y 2 ＝2 ·x

＋

y 2≤ 2

4技巧八：

已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝的最小值.ab

分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。

－2 b 2＋30b

法一：a＝，ab＝·b＝

b＋1b＋1b＋1由a＞0得，0＜b＜15 令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝

118

－2t 2＋34t－31

＝－2（t＋

16）＋34∵t＋

16≥2

30－2b

30－2b

ttt

t·

t

＝8

∴ ab≤18∴ y≥当且仅当t＝4，即b＝3，a＝6时，等号成立。ab∴ 30－ab≥22 ≤u≤3ab

法二：由已知得：30－ab＝a＋2b∵ a＋2b≥2令u＝

ab则u2＋22 u－30≤0，－5

∴ab≤32，ab≤18，∴y≥

点评：①本题考查不等式

ab

（a,bR）的应用、不等式的解法及运算能力；②如何由已知不等式

2的范围，关键是寻找到

aba2b30出发求得ab（a,bR）

ab与ab之间的关系，由此想到不等式

ab

ab（a,bR），这样将已知条件转换为含ab的不等式，进而解得ab的范围.2

变式：1.已知a>0，b>0，ab－(a＋b)＝1，求a＋b的最小值。2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。技巧

九、取平方

5、已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，求函数W＝

3x ＋

2y 的最值.解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，a＋b

≤

a 2＋b

2，本题很简单

3x ＋2y≤2（3x）2＋（2y）2 ＝2 3x＋2y ＝2

5解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。W＞0，W2＝3x＋2y＋2

∴ W≤＝

3x ·

2y ＝10＋2

3x ·

2y ≤10＋（3x)2·（2y)2 ＝10＋(3x＋2y)＝20

变式

: 求函数y

解析：注意到2x

1与5

2x的和为定值。

x)的最大值。

y2244(2x1)(5

2x)8

又

y0，所以0y

时取等号。故ymax 2

当且仅当2x1=52x，即x

评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。

总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用均值不等式。

应用二：利用均值不等式证明不等式

1．已知

a,b,c为两两不相等的实数，求证：a2b2c2abbcca

111

1。求证：1118

abc

11abc，1aaa1）正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc 例6：已知a、b、cR，且abc



分析：不等式右边数字8，使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“

2”连乘，又可由此变形入手。

解：a、b、cR，ab

c



1。

11ab

c1aaa。同理

1b，11

c

述三个不等式两边均为正，分别相乘，得

1111abc。当且仅当时取等号。11183abcabc

应用三：均值不等式与恒成立问题 例：已知x0,y

0且1，求使不等式xym恒成立的实数m的取值范围。

xy

19xy9x9y10y9x1，1.1 xykxkykkxky

解：令xyk,x0,y0,1

2。k16，m,16 kk

1ab

(lgalgb),Rlg()，则P,Q,R的大小关系是.22

应用四：均值定理在比较大小中的应用： 例：若a

b1,Palgb,Q

分析：∵ab1 ∴lga0,lgb0

Q

（lgalgb)lgalgbp 2

ab1Rlg()lgablgabQ∴R>Q>P。

第四篇：泰勒公式的应用论文

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目 录

引言..................................................................................................................................................2 1．泰勒公式.....................................................................................................................................3

1.1 泰勒多项式.......................................................................................................................3 1.2 两种类型的泰勒公式.......................................................................................................4 2．泰勒公式的应用.........................................................................................................................6

2.1 利用泰勒公式求极限.......................................................................................................6 2.2 利用泰勒公式证明不等式.............................................................................................11 2.3 利用泰勒公式进行近似计算和误差估计.....................................................................15 结束语............................................................................................................................................17 参考文献.........................................................................................................................................17 致 谢...........................................................................................................................................18

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泰勒公式及其应用

理学院

数学082

陈培贤

指导教师：卢晓忠

摘要：泰勒公式是数学分析中重要的内容，它的理论方法已经成为研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓。运用泰勒公式可以有效地解决某些问题，在微积分的各个方面都有重要的应用。本文将介绍泰勒公式及其在求极限、不等式的证明、近似计算三方面的应用，从而能够对泰勒公式有更深入的了解，认识到泰勒公式的重要性。关键词：泰勒公式;佩亚诺余项;拉格朗日余项;应用

引言

不论是进行近似计算还是理论分析，我们总希望用一些简单的函数来近似表示比较复杂的函数。多项式是比较简单的一种函数，它只包含加、乘两种运算，最适于使用计算机计算。因此，我们常用多项式来近似表示函数。泰勒公式是18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒，在微积分学中将函数展开成无穷级数而定义出来的，泰勒将函数展开成级数从而得到泰勒公式。

泰勒公式是数学分析中一个非常重要的内容，微分学理论中最一般的情形是泰勒公式。它的理论方法已经成为研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓。它建立了函数的增量，自变量增量与一阶及高阶导数的关系，将一些复杂的函数近似地表示为简单的多项式函数，在近似计算上有着独特的优势，利用它可以将非线性问题化为线性问题，并能满足很高的精确度要求，在微积分的各个方面都有重要的应用。这种化繁为简的功能，使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆。

用泰勒公式可以很好的解决某些问题，如求极限、不等式证明、近似计算、判断函数极值、求高阶导数在某些点的数值、判断广义积分收敛性等方面。比如在求某一初等函数的定积分时，由于此函数的原函数无法用初等函数表示，考虑到一般初等函数都可以近似地用泰勒公式表示，故可运用泰勒公式进行近似计算，并能满足一定的精确度。因此泰勒公式在数学实际应用中是一种重要的应用工具，用泰勒公式这一有力的工具能解决更多的数学实际问题。

在高等数学教材中，一般只讲泰勒公式及几个常用函数的麦克劳林公式，对其在解题中的应用介绍很少。但泰勒公式在解决一些问题中确实有十分重要的作用，因此在泰勒公式

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及其应用方面我们有必要进行归纳总结，并且有很大的空间。本文将从求极限、不等式的证明、近似计算三个方面介绍泰勒公式的应用。

1．泰勒公式

1.1 泰勒多项式

当f(x0)0，并且x很小时，有如下的近似等式

ydyf(x0)x

或

f(x)f(x0)f(x0)(xx0)

上式就是用一次多项式来近似表达一个函数.在xx0处，这个一次多项式及其导数的值分别等于被近似表达的函数及其导数的值.但是，这种近似表达式存在不足之处.它所产生的误差仅是关于(xx0)的高阶无穷小，精确度不高.为了提高近似程度，其可能的途径是提高多项式的次数.因此，可设想用高次多项式来近似表达函数.于是提出如下的问题：设函数f(x)在含有x0的开区间内具有直到n阶的导数，试找出一个关于(xx0)的n次多项式

2n

(1)P(x)aa(xx)a(xx)a(xx)n01020n0

用它来近似表达f(x)，要求它与f(x)之差是关于(xx0)n高阶的无穷小.为了使求得的近似多项式与f(x)在数值与性质方面吻合得更好，如函数的单调性、凹凸性等.于是可进一步要求Pn(x)在x0处的函数值以及它的直到n阶的导数值与f(x)在x0处的函数值以及它的直到n阶的导数值分别相等，即要求

Pn(k)(x0)f(k)(x0)

(k0，1，，n)

(2)

按此要求，可求得(1)式中多项式的各个系数为

a0f(x0),a1f(x0),a2于是

11f(x0),,anf(n)(x0)2!n!3

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Pn(x)f(x0)f(x0)(xx0)11f(x0)(xx0)2f2!n!(n)(x)(xx0)n

(3)

(3)式中的Pn(x)称为f(x)在x0处的泰勒多项式.那么Pn(x)与f(x)的吻合程度如何？是否是我们要找的多项式呢？即是否有

f(x)Pn(x)o((xx0)n)成立，这将从下文给出证明.1.2 两种类型的泰勒公式

1.2.1 带有佩亚诺型余项的泰勒公式

定理1.1 若函数f在点x0存在直至n阶导数，则有f(x)Pn(x)o((xx0)n)，即

f(x)f(x0)f(x0)(xx0)

1f(x0)(xx0)2 2!1(n)f(x0)(xx0)no((xx0)n)

(4)n!证明： 设 Rn(x)f(x)Pn(x)，Qn(x)(xx0)n，现在只要证

limRn(x)0

xx0Q(x)n(n)(x0)Rn 由关系式(2)可知

Rn(x0)Rn(x0)0

(n1)(n)(x0)Qn并易知

Qn(x0)Qn(x0)0，Qn(x0)n!

因为f(n)(x0)存在，所以在点x0的某邻域U(x0)内f(x)存在n1阶导函数.于是

当xU(x0)且xx0时，允许接连使用洛必达法则n1次，得到

(n1)(x)Rn(x)RnRn(x)

lim limlim(n1)xx0Q(x)xx0Q(x)xx0Q(x)nnnf(n1)(x)f(x1)(x0)f(n)(x0)(xx0)limxx0n(n1)2(xx0)f(n1)(x)f(n1)(x0)1f(n)(x0) limn!xx0xx00证毕.丽水学院2012届学生毕业论文

定理所证的(4)式称为函数f(x)在点x0处的泰勒公式，Rn(x)f(x)Pn(x)称为泰勒公式的余项，形如o((xx0)n)的余项称为佩亚诺型余项.所以(4)式又称为带有佩亚诺型余项的泰勒公式.泰勒公式(4)在x00时的特殊形式：

f(0)2f(n)(0)nf(x)f(0)f(0)xxxo(xn).称为（带有佩亚诺余项

2!n!的）麦克劳林公式.1.2.2 带有拉格朗日型余项的泰勒公式

上面我们从微分近似出发，推广得到用n次多项式逼近函数的泰勒公式(4).它的佩亚诺型余项只是定性地告诉我们：当xx0时，逼近误差是较(xx0)n高阶无穷小.现在将泰勒公式构造一个定量形式的余项，以便于对逼近误差进行具体的计算或估计.定理1.2（泰勒中值定理）

若函数f(x)在a，b上存在直至n阶的连续导函数，在a，b内存在(n1)阶导函数，则对任意给定的x，x0a，b，至少存在一点ξa，b，使得

f(x)f(x0)f(x0)(xx0)f(x0)(xx0)2 2!f(n)(x0)f(n1)(ξ)n (xx0)(xx0)n(5)

n!(n1)!证明： 作辅助函数

f(n)(t)F(t)f(x)f(t)f(t)(xt)(xt)n，G(t)(xt)n1.n!所要证明的(5)式即为

F(x0)f(n1)(f(n1)(ξ)ξ)

F(x0)G(x0)或（n1）!G(x0)(n1)!

不妨设x0＜x，则F(t)与G(t)在x0，x上连续，在x0，x内可导，且

f(n1)(t)F(t)(xt)n

n!5

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G(t)(n1)(xt)n0

又因F(x)G(x)0，所以由柯西中值定理证得

F(x0)F(x0)F(x)F(ξ)f(n1)(ξ)G(x0)G(x0)G(x)G(ξ)(n1)!其中ξx0，xa，b 证毕.(5)式同样称为泰勒公式，它的余项为

f(n1)(ξ)

Rn(x)f(x)Pn(x)(xx0)n1，ξx0(xx0)0＜＜1

(n1)!

称为拉格朗日型余项.所以(5)式又称为带有拉格朗日型余项的泰勒公式.注意到n0时，(5)式即为拉格朗日种植公式

f(x)f(x0)f(ξ)(xx0)

所以，泰勒中值定理可以看作拉格朗日中值定理的推广

当x00时，得到泰勒公式

f(0)2f(n)(0)nf(n1)(x)n1f(x)f(0)f(0)xxxx 0＜＜1(6)

2!n!(n1)!(6)式也称为（带有拉格朗日余项的）麦克劳林公式

2．泰勒公式的应用

2.1 利用泰勒公式求极限

极限是微积分的基础，极限运算是学习微积分的基本功。求极限有许多方法，其中用等价无穷小量替换求极限是一种常用、方便、有效的方法。但寻求等价无穷小量并非易事，在替换过程中也容易出错。对于未定式的极限问题，一般可以采用洛必达法则来求。但是，对于一些求导比较繁琐，特别是要多次使用洛必达法则的情况，泰勒公式往往是比洛必达法则更为有效的求极限工具。利用泰勒公式求极限，一般用麦克劳林公式形式，并采用佩亚诺型余项。当极限式为分式时，一般要求分子分母展成同一阶的麦克劳林公式，通过比较求出极限

2.1.1用泰勒公式寻求等价无穷小量及用等价无穷小量替换求极限

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命题：f(x)P(x)o((xx0)n)，P(x)f(x0)f(x0)(xx0)1f(x0)(xx0)2 2!1fn!(n)(x0)(xx0)n，若f(i)(x0)(i1，2，，n)不全为零，且当xx0时，f(x)0.则当xx0时，P(x)与f(x)为等价无穷小.证明：因为f(i)(x0)(i1，2，，n)不全为零，设f(k)(x0)0，且f(j)(x0)0

o((xx0)n)(j1，2，，k1)，则有limxx0P(x)limxx0o((xx0)n)1(k)11f(x0)(xx0)kf(k1)(x0)(xx0)k1f(n)(x0)(xx0)nk!(k1)!n!o((xx0)n)(xx0)k1(k)11f(x0)f(k1)(x0)(xx0)f(n)(x0)(xx0)nkk!(k1)!n!

limxx00，所以

P(x)o((xx0)n)o((xx0)n)f(x)limlimlim(1)1.因此，当xx0时，xx0P(x)xx0xx0P(x)P(x)P(x)与f(x)为等价无穷小.证毕.由此命题可以看出，可以用泰勒公式求某一无穷小量，从而利用等价无穷小量替换求极限

例1 试说明求极限limx0tanxsinx时，为什么不能用tanx与sinx的等价无穷小xx3分别替换它们？

解： 我们用三阶的带有佩亚诺余项的麦克劳林公式分别将tanx与sinx表示为

x3x33tanxxo(x)，sinxxo(x3)

33!x3x3x33o(x)，这说明函数tanxsinx与于是tanxsinx是等价无穷小（即是 222x3tanxsinx的主要部分）.因此只能用来替代tanxsinx，而不能用(xx)来替代它.2例

2利用带有佩亚诺余项的麦克劳林公式，求极限lim2cosxln(1x)x

x0x2解： 因为分式函数的分母是x，我们只需将分子中的cosx与ln(1x)分别用二阶的

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麦克劳林公式表示：cosx1121xo(x2)，ln(1x)xx2o(x2)于是 2!211cosxln(1x)x1x2o(x2)xx2o(x2)x

22!对上式作运算是把所有比x2高阶的无穷小的代数和仍记为o(x2)，就得

121xo(x2)xx2o(x2)故 221x2cosxln(1x)x12 limlim22x0x02xxarcsin2x2arcsinx 例3 求极限lim

x0x39535 解： arcsin2x2arcsinx的泰勒展开式为xxo(x)

49x3x54则原式lim1 3x0x cosxln(1x)xx2.1.2 泰勒公式代换求极限应至少取到第几项

在高等数学中，有时求极限,用带佩亚诺余项的泰勒公式代换的方法求，许多高等教学教材中都有例子，但都没有说明取到哪一项才合适。因此，这一点必须弄清楚，否则在解题 过程中可能会出现错误以及一些不必要的麻烦，故给出以下定理。定理2.1 设12及是xx0时的无穷小量，2f(x0)f(x0)(xx0)

f(n)(x0)(xx0)no((xx0)n)Pn(x)o((xx0)n).如果lim

xx(xx)kn!00c0（c是常数，k是正整数），limxx01Pn(x)Pn(x)2存在，则lim1 lim1xxxx00的充要条件是n≥k.证明：必要性 若limxx0Pn(x)21Pn(x)12，则lim1lim1lim

xxxxxx0002Pn(x)故2Pn(x)o()，即o((xx0)n)o().因lim0，xx0(xx0)k，故与(xx0)k是同阶无穷小(xx0)，所以n≥k.c0（c是常数）充分性 因与(xx0)k是同阶无穷小(xx0)，故当n≥k时，可以得到

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o((xx0)n)o()，又2Pn(x)o((xx0)n)，所以limxx012lim xx01[Pn(x)o((xx0)n)]Pn(x)Pn(x)o()lim1limlim1 xxxxxx000 证毕.推论1 设1及12是xx0时的无穷小量，2Pn(x)o((xx0)n)，如果

xx0lim(xx0)k（c是常数），limc0，xx01Pn(x)存在且不等于零，则lim12xx0

limxx01Pn(x)的充要条件是n≥k.证明：由定理2.1知limxx0Pn(x)12lim1的充要条件n≥k，也就是xx01xx0lim12xx0lim1的充要条件.即lim的充要条limxx0xx0P(x)1Pn(x)121n件.证毕.定理2.2 设1，2，均为xx0时的无穷小量，2Pn(x)o((xx0)n)，xx0lim1Pn(x)1Pn(x)12存在，如果lim（是常数），则 c0limlimckxxxxxx(xx0)000的充分条件是n≥k 证明：因limxx0(xx0)kc0，故与(xx0)k是同阶无穷小.当n≥k1时，o((xx0)n)O()(xx0).即有界.又2Pn(x)o((xx0)n)，所以limxx012 1[Pn(x)o((xx0)n)]1Pn(x)o((xx0)n)1limlimlim，又1是无穷小量，xxxxxx000所以limxx0o((xx0)n)10，即limxx0P(x)12.证毕.lim1nxx0推论2 ，1，2均为xx0时的无穷小量，2Pn(x)o((xx0)n)，如果

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xx0lim(xx0)k，limc0（c是常数）

1Pn(x)xx0存在且不等于零，则limxx0lim 12xx01Pn(x)的充分条件是n≥k1.证明：由定理2.2知，limxx0P(x)12lim1n的充分条件是n≥k1.也就是 xx01xx0lim12xx0lim1的充分条件.即lim的充分条件.limxx0xx0P(x)1Pn(x)121n1(x1)3x1sin(x1)例1 求lim6

x1tan5(x1)解：这里x01，11(x1)3x1，2sin(x1)，tan5(x1).因为 6tan5(x1)即k5.故由定理2.1知sin(x1)的带有佩亚诺余项的泰勒公式lim10，5x1(x1)只要取到含(x1)5项即可.所以取

sin(x1)(x1)11(x1)3(x1)5o((x1)5)即 3!5!11Pn(x)(x1)(x1)3(x1)5 因此,原式

3!5!1111Pn(x)(x1)3x1x1(x1)3(x1)5(x1)3x163!5!6limlim 55x1x1tan(x1)(x1)1(x1)51lim5! x1(x1)5120(ex1x)lnx例2 求lim

x1sin3(x1)解：这里x01，1lnx，2ex1sin3(x1)x，sin(x1).由于limx1(x1)3310，即k3.故由定理2.2知ex1的泰勒公式取到含(x1)31(x1)2项即可.取

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Pn(x)1(x1)1(x1)2，所以原式 2!1211(x1)(x1)xlnx3(x1)2lnx1lnx(x1)2!2!limlimlim33x1x1x12(x1)sin(x1)sin(x1)sin(x1)12

2.2 利用泰勒公式证明不等式

关于不等式的证明，我们以前学过了多种方法，如利用拉格朗日中值定理来证明不等式，利用函数的凹凸性来证明不等式，以及通过讨论导数的符号来得到函数的单调性，从而证明不等式的方法.下面我们举例说明，泰勒公式也是证明不等式的一个重要方法.定理2.3 设函数yf(x)在x0点附近二阶可导，则

(1)若f(x)＞0，则有f(x)≥f(x0)f(x0)(xx0)

(2)若f(x)＜0，则有f(x)≤f(x0)f(x0)(xx0)等号当xx0是成立.2.2.1 证明代数不等式

例1 证明设nN，则nnnnnnnn≤2nn，n≥2

1证明：设f(x)x x＞0，则f(x)xnn1nn11n，f(x)xnn12nn＜0

由定理3.3得 f(nnn)≤f(n)f(n)(nn)，f(nnn)≤f(n)f(n)(nn)两式相加即得结论.例2 设xiR，i1，2，，n.xi1nia，≥2,求证

x3xnx1x2a1≥ 2ax1ax2ax3axn(n1)nxx1(ax)x证明：作函数f(x)，0＜x＜a，则f(x) 2ax(ax)f(x)(1)x2(ax)22x1(ax)2x(ax)2.注意到0＜x＜a，则

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nx1x2xna，因为xia，有x0，则可f(x)＞0.利用定理2.3，取x0nni1得

aaaf(x1)≥ffx1

nnnaaaf(x2)≥ffx2

nnn

aaaf(xn)≥ffxn

nnnn式相加得f(x1)f(x2)f(xn)≥nffx1x2xna

ax3xnx1x2a1n即≥n 2a(n1)nax1ax2ax3axnan原结论得证.2.2.2 证明含导函数不等式

ananp1x1p2x2pnxnf0b内二阶可导，例3 设f(x)在区间a，且f(x)≥，则p1p2pn≤

 p1f(x1)p2f(x2)pnf(xn)，其中p1，p2，，pn均为正数，x1，x2，，p1p2pnxna，b.证明： 记x0p1x1p2x2pnxn，则x0a，b，由于f(x)在a，b内

p1p2pnf(ξ)2！二阶可导，故f(x)在点x0处一阶泰勒公式成立.f(x)f(x0)f(x0)(xx0)(xx0)2，ξ在x0与x之间.因为f(x)≥0，xa，b，所以f(x)≥f(x0)

f(x0)(xx0).分别取xx1，x2，，xn，则有

f(x1)≥f(x0)f(x0)(x1x0)

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f(x2)≥f(x0)f(x0)(x2x0)



f(xn)≥f(x0)f(x0)(xnx0)

以上各不等式分别乘以p1，p2，，pn得

p1f(x1)≥p1f(x0)p1f(x0)(x1x0)p2f(x2)≥p2f(x0)p2f(x0)(x2x0)



pnf(xn)≥pnf(x0)pnf(x0)(xnx0)

将上面n个不等式相加得

p1f(x1)p2f(x2)pnf(xn)≥(p1p2pn)f(x0)

f(x0)[p1x1p2x2pnxn(p1p2pn)x0] 因为x0p1x1p2x2pnxn，所以

p1p2pnp1f(x1)p2f(x2)pnf(xn)≥(p1p2pn)f(x0)则

f(x0)≤p1f(x1)p2f(x2)pnf(xn)，从而得

p1p2pnp1f(x1)p2f(x2)pnf(xn).结论得证.≤p1p2pnp1x1p2x2pnxnfp1p2pn例4 若函数f(x)在区间a，b上具有二阶导数，且f(a)f(b)0，则在a，b 内至少存在一点，使f()≥

4f(b)f(a)(ba)2成立.证明：因为f(x)在a，b上具有二阶导数，所以f(x)在x0处一阶泰勒公式成立

f(ξ)(xx0)2(1)2！ab其中ξ在x与x0之间，x0a，b，在(1)式中取x0a，x，则有

2f(x)f(x0)f(x0)(xx0)13

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ξ1)abababf(f()f(a)f(a)aa，因为f(a)0，所以 22！22abf(ξ1)baab(2)f()f(a)，a＜ξ1＜222！2在(2)式中取x0b，x22ab，又因为f(b)0，所以 22abf(ξ2)baab＜ξ2＜b(3)f()f(b)，222！2(3)式减去(2)式并取绝对值得

11f(b)f(a)(ba)2f(ξ2)f(ξ1)≤(ba)2f(ξ2)f(ξ1)

88取f()Maxf(ξ1)，f(ξ2)，a，b，则

f(b)f(a)≤(ba)22f()即f()≥

181(ba)2f()44f(b)f(a)(ba)2

证毕.2.2.3 证明含定积分不等式

例5 设函数f(x)在区间a，b上二阶连续可导，且fab0，证明 2baM(ba)3f(x)dx≤，其中Mmaxf(x).axb24ab处展开，得 2f(ξ)f(x)f(x0)f(x0)(xx0)(xx0)2，其中ξ是x0与x之间的某个值.2！证明： 将f(x)在x0因为ff(ξ)abf(x)f(x)(xx)(xx0)2，所以有0002！2上式在a，b作定积分，然后取绝对值

baf(x)dxf(ξ)2f(x)(xx)(xx)dx 000a2!b12baf(ξ)(xx0)2dx≤

M2ba(xx0)2dxM(ba)3 2414

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即baM(ba)3f(x)dx≤ 证毕.242.3 利用泰勒公式进行近似计算和误差估计

根据泰勒展开式的余项可以具体地估计出用泰勒公式近似地表示一个函数所产生的误

f(n1)(ξ)差.由拉格朗日型余项Rn(x)(xx0)n1，如果f(n1)(x)≤M，M为一定数，(n1)!则其余项不会超过Mxx0(n1)!n1.由此可以近似地计算某些数值并估计它们的误差.正弦函数及其近似多项式Pn(x)(n1，3，，19)通过计算机作出的图象如下图所示，可以看到sinx与其近似多项式Pn(x)的图形随着n的增大而变得贴近起来，也就是说，误差Rn(x)随着n的增大而变小.特别当x偏离原点较远时，选取阶数较高的麦克劳林多项式Pn(x)来近似表示sinx时，其精度就较高.例1 求101的近似值 解： 10110011011 100711135由1x1xx2x(1x)2x4，0＜＜1

281612815

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可得到101101111111 10.049875625232100810016100此时误差R10R35113.90625105 ＜104128100100由此可见，精确度很高.例2 求定积分sinx0xdx的近似值.1解： 该被积函数的原函数不是初等函数，故用牛顿—莱布尼茨公式是无法求出其精确解的.考虑sinx的泰勒展开，能方便地求出其近似数.1315cosx7xxx，0＜＜1 3!5!7!sinx11cosx61x2x4x，0＜＜1 则 x3!5!7!11sinx1cosx1135dx(xxx)x6dx 所以000x33!55!7!1sinx11dx10.9461 可得0x33!55!sinxx此时误差RR6(x)0xdx1111cosx665xdx310≤＜.xdx07!07!77!1例3(1)计算e的值，使其误差不超过10；

6(2)证明数e为无理数.111e解：(1)当x1时有e11 0＜＜1.()

2!3!n!(n1)!e3故Rn(1)＜，当n9时，便有

(n1)!(n1)!R9(1)＜

336＜10.10!3628800从而略去R9(1)而求得e的近似值为 e111112.718285.2!3!9!(2)由()式得

en!e(n!n!34nn1).n116

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倘若ep（p，q为正整数），则当n＞q时，n!e为正整数，从而上式左边为整数.因qee3为＜＜，所以当n≥2时右边为非整数，矛盾.从而e只能是无理数.n1n1n1

结束语

本文主要介绍了泰勒公式在求极限、不等式的证明、近似计算三方面的应用。在求极限方面，用泰勒公式求等价无穷小量并且讨论了替换求极限时应取到哪一项。不等式证明主要从三类不等式入手，用典型的例题加以阐述泰勒公式在这方面的应用。近似计算应该是泰勒公式最贴近实际的应用了，并能满足很高的精确度。但并不是所有的近似问题都可以用泰勒公式，它的限制条件比较多，必须是n阶连续可微函数，如果近似的阶数越小，则求出的误差也就会越大。

由于自己的水平能力有限，虽然已经学习了一些有关方面的知识，但在写论文的过程中还是碰到了许许多多的困难，所写的论文难免有不足之处。正是有了这些困难，才给自己解决问题的机会，才能锻炼自己的思维，培养自己的能力。

参考文献

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Faculty of science

Mathematics 082

Chen pei-xian

Director: Lu xiao-zhong

Abstract: The Taylor formula is important in mathematical analysis , the theory has become an indispensable mathematical tool by the research function limits and estimation error , embodies the essence of the calculus “approximation method”.Use the Taylor formula can effectively solve some problems , have important applications in various aspects of the calculus.This article will introduce Taylor formula and its applications in three aspects of asks the limit，proof of inequalities and approximate calculation , allowing a deeper understanding in the Taylor formula , understanding the importance of the Taylor formula.Keyword: Taylor formula Peano remainder Lagrange remainder applications

致 谢

本论文自始至终在指导教师卢晓忠老师的亲切关怀和悉心指导下完成的，卢老师严谨的学习与工作态度使我受益匪浅，也感染着每一位他所指导的学生。在本论文的撰写过程中给与我大量的指导和帮助。真挚地感谢卢晓忠老师对本论文的精心指导。

同时也感谢家人和同学在学习生活中对我的关怀和支持。

第五篇：泰勒公式及其应用的提纲

目录

1.1泰勒公式的背景............（1）

1.2泰勒公式的意义...........（2）

1.3 不同类型的泰勒公式的余项的作用..........（5）

2.泰勒公式.......................（5）

2.1 带有皮亚诺余项的泰勒公式...............（6）

2.2带有拉格朗日型余项的泰勒公式...............（6）

3.二元函数的泰勒公式.................（8）

4.泰勒公式的应用................（10）

4.1 泰勒公式对于某些函数的应用................（10）

4.2用泰勒公式求极限...................（11）

4.3用泰勒公式求高阶导数...............（11）

4.4泰勒公式在证明不等式中的应用.........（12）