与正切有关的公式及应用（五篇材料）

第一篇：与正切有关的公式及应用

与正切有关的公式及应用 与正切有关的公式及应用

一、公式：

1、tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)；tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)；其可以变形为：tanα+tanβ= tan(α+β)(1-tanαtanβ)；tanαtanβ=1-(tanα+tanβ)/ tan(α+β)

2、tan(α/2)=±√[(1-cosα)/(1+cosα)]=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα

3、sec²α=1+tan²α

4、tanα=sinα/cosα

5、sin2x=2tanx/(1+tan²x)，cos2x=(1-tan²x)/(1+tan²x)

注意：tan45°=1及sin²α+cos²α=1的运用；及分子分母同时除以cosnα的运用

二、应用范围或思维方式：

1、给定了有关tanα的值或求tanα的值

例

一、已知(1+tanα/(1-tanα)=5+2√6,求：(1-sin2α)/cos2α的值 解：思维一：(1-sin2α)/cos2α能否化成tanα的形式呢？

(1-sin2α)/cos2α=(sin²α+cos²α-2sinαcosα)/(cos²α-sin²α)=(cosα-sinα)²/[(cosα-sinα)(cosα+sinα)]=(cosα-sinα)/(cosα+sinα)=(1-tanα)/(1+tanα)=1/(5+2√6)= 5-2√6 思维二：由(1+tanα/(1-tanα)容易想到(tan45°+tanα/(1-tan45°tanα)=tan(45°+α)即：tan(45°+α)= 5+2√6,那么(1-sin2α)/cos2α否化成tan(45°+α)的形式呢？

(1-sin2α)/cos2α=[1+cos(90°+2α)]/sin(90°+2α)=1/ tan(45°+α)=1/(5+2√6)= 5-2√6

例

二、已知tanθ=1/2，求(sinθcosθ-1)/(2-sin²θ)和3sin²θ-4cos²θ+5 sinθcosθ的值

解：(sinθcosθ-1)/(2-sin²θ)和3sin²θ-4cos²θ能否化成tanθ的形式呢？(sinθcosθ-1)/(2-sin²θ)=(sinθcosθ-sin²θ-cos²θ)/(2sin²θ+2cos²θ-sin²θ)=(sinθcosθ-sin²θ-cos²θ)/(sin²θ+2cos²θ)=(tanθ-tan²θ-1)/(tan²θ+2)3sin²θ-4cos²θ+5 sinθcosθ=(3sin²θ-4cos²θ+5 sinθcosθ)/(sin²θ+cos²θ)=(3 tan²θ-4+5tanθ)/(tan²θ+1)练习：已知tanx=a，求：（3sinx+sin3x）/(3cosx+cos3x)的值

2、看见了(asinx+bcosx)/(asinx-bcosx)形式

例

一、已知非零实数a、b满足(asinπ/5+bcosπ/5)/(acosπ/5-bsinπ/5)=tan8π/15，求b/a的值 解：分子、分母同时除以cosπ/5：(atanπ/5+b)/(a-btanπ/5)=tan8π/15 故：atanπ/5+b=(a-btanπ/5)tan8π/15 故：b+btanπ/5 tan8π/15=a tan8π/15-atanπ/5 故：b/a=(tan8π/15-tanπ/5)/(1+tanπ/5 tan8π/15)=tanπ/3=√3 例

二、求（cos15°-sin15°）/(cos15°+sin15°)的值

解：（cos15°-sin15°）/(cos15°+sin15°)=（1-tan15°）/(1+tan15°)=（tan45°-tan15°）/(1+ tan45°tan15°)=tan30°=√3/3 练习：化简：(sin7°+cos15°sin8°)/(cos7°-sin15°sin8°)

3、看见了或隐含tanα±tanβ、tanαtanβ之类

例一：求（1+tan1°）(1+tan2°)(1+tan3°)…(1+tan44°)解：（1+tan1°）(1+tan44°)= 1+tan1°+tan44°+tan1°tan44° 又：tan45°=(tan1°+tan44°)/(1-tan1°tan44°)=1 即：tan1°+tan44°+tan1°tan44°=1

故：（1+tan1°）(1+tan44°)= 1+tan1°+tan44°+tan1°tan44°=2 故：（1+tan1°）(1+tan2°)(1+tan3°)…(1+tan44°)=2²² 例

二、求tan10°tan20°+tan10°tan60°+tan20tan60°的值 解：tan10°tan20°+tan10°tan60°+tan20°tan60° = tan10°tan20°+√3(tan10°+tan20°)

又：tan30°=(tan10°+tan20°)/(1-tan10°tan20°)= √3/3 故：tan10°+tan20°=√3/3-√3/3 tan10°tan20°

故：tan10°tan20°+tan10°tan60°+tan20°tan60°=√3/3 练习：

1、化简tanxtan2x+tan2xtan3x+…+tan(n-1)xtannx

2、在△ABC中，求证：tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2=1

3、已知△ABC三个内角A、B、C成等差数列，求tanA/2+tanC/2+√3 tanA/2tanC/2的值

4、化简：(√3-tan18°)/(1+√3tan18°)

4、求tanα/tanβ之类：

例一：若sin(α+β)=1/2，sin(α-β)=1/10，求tanα/tanβ 解：tanα/tanβ=sinαcosβ/sinβcosα 又：sin(α+β)/ sin(α-β)=5 故：sinαcosβ+cosαsinβ=5(sinαcosβ-cosαsinβ)展开后，不难了。

5、注意代换：如：β=(α+β)-α；2α-β=(α-β)+ α等

1、已知tan(α-β)=1/2,tanβ=-1/7, α、β∈（π/2,3π/2），求2α-β的值

2、已知3sinβ=sin(α+β)，求证：tan(α+β)=2tanα

3、已知sinβ=cos(α+β)sin，求证：tanβ=tanα/(1+2tan²α)

4、已知sin(α-β/2)=4/5，cos(α/2-β)=-12/13，且α-β/2和α/2-β分别为第二、第三象限角。求tan(α+β)/2的值

6、倍角或半角公式的灵活运用

1、求tanπ/8+cotπ/12

第二篇：两角和与差的正弦、余弦、正切公式教案

两角和与差的余弦、正弦、正切

教学目标

知识目标：两角和的正切公式；两角差的正切公式 能力目标：掌握T（α＋β），T（α－β)的推导及特征；能用它们进行有关求值、化简

情感态度：提高学生简单的推理能力；培养学生的应用意识；提高学生的数学素质 教学重点

两角和与差的正切公式的推导及特征 教学难点

灵活应用公式进行化简、求值.教学过程

Ⅰ.复习回顾

首先，我们来回顾一下前面所推导两角和与差的余弦、正弦公式.(学生作答，老师板书)sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ（S（α＋β））sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ（S（α－β））cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ（C（α＋β））cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ（C（α－β））

要准确把握上述各公式的结构特征.Ⅱ.讲授新课

一、推导公式

［师］上述公式结合同角三角函数的基本关系式，我们不难得出： 当cos（α＋β）≠0时

tan（α＋β）＝sin()sincoscossin cos()coscossinasin如果cosαcosβ≠0，即cosα≠0且cosβ≠0，我们可以 将分子、分母都除以cosαcosβ，从而得到： tan（α＋β）＝tantan

1tantan不难发现，这一式子描述了两角α与β的和的正切与这两角的正切的关系.同理可得：tan（α－β）＝tantan

1tantan或将上式中的β用－β代替，也可得到此式.这一式子又描述了两角α与β的差的正切与这两角的正切的关系.所以，我们将这两式分别称为两角和的正切公式、两角差的正切公式，简记为T（α＋β），T（α－β）.但要注意：运用公式T（α±β）时必须限定α、β、α±β都不等于因为tan（＋kπ）不存在.2＋kπ（k∈Z）.2二、例题讲解

［例1］不查表求tan75°，tan15°的值.解：tan75°＝tan（45°＋30°）＝tan45tan30

1tan45tan30 313＝=2+3 313tan15°＝tan（45°－30°）

3tan45tan30323 ＝＝1tan45tan303131［例2］求下列各式的值（1）tan71tan26

1tan71tan261tan275（2）

tan75(1)分析：观察题目结构，联想学过的公式，不难看出可用两角差的正切公式.解：tan71tan26

1tan71tan26＝tan（71°－26°）＝tan45°＝1(2)分析：虽不可直接使用两角和的正切公式，但经过变形可使用之求解.解：由tan150°＝tan（75°＋75°）＝1tan2751tan275得：＝2²

tan752tan752tan75

1tan275＝2²1＝2cot150° tan150＝2cot（180°－30°）＝－2cot30°＝－23 ［例3］利用和角公式计算1tan15的值.1tan15tan45tan15

1tan45tan15分析：因为tan45°＝1，所以原式可看成这样,我们可以运用正切的和角公式，把原式化为tan（45°＋15°）,从而求得原式的值.解：∵tan45°＝1 ∴1tan15tan45tan15

1tan151tan45tan15＝tan（45°＋15°)＝tan60° ＝3

课后作业

课本P41习题4.6 4，6

第三篇：均值不等式公式总结及应用

均值不等式应用

a2b21.(1)若a,bR，则ab2ab(2)若a,bR，则ab

2ab**2.(1)若a,bR，则ab(2)若a,bR，则ab2ab 222（当且仅当a（当且仅当ab时取“=”）b时取“=”）

ab(当且仅当ab时取“=”(3)若a,bR，则ab）2*2

3.若x0，则x12(当且仅当x1时取“=”）x

1若x0，则x2(当且仅当x1时取“=”）x

若x0，则x12即x12或x1-2(当且仅当ab时取“=”）xxx

ab）2(当且仅当ab时取“=”ba4.若ab0，则

若ab0，则ababab）2即2或-2(当且仅当ab时取“=”bababa

ab2a2b25.若a,bR，则(（当且仅当ab时取“=”）)22

『ps.(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所

谓“积定和最小，和定积最大”．

(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”

(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用』 应用一：求最值

例1：求下列函数的值域

（1）y＝3x 2＋

12x1（2）y＝x＋2x

解：(1)y＝3x 2＋≥22x 2113x 2· 2＝2x

1x·＝2； x6∴值域为[6，+∞）1(2)当x＞0时，y＝x＋≥2x

11当x＜0时，y＝x＋= －（－ x－）≤－2xx

∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）

1x·=－2 x

解题技巧

技巧一：凑项

例已知x

54，求函数y4x

2

1的最大值。4x5

解：因4x50，所以首先要“调整”符号，又(4x2)

不是常数，所以对4x2要进行拆、凑项，4x

5511x,54x0，y4x254x3231 44x554x

当且仅当54x

，即x1时，上式等号成立，故当x1时，ymax1。

54x

评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。技巧二：凑系数 例1.当解析：由

时，求知，yx(82x)的最大值。，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但

其和不是定值。注意到2x(82x)8为定值，故只需将yx(82x)凑上一个系数即可。

当，即x＝2时取等号当x＝2时，y

x(82x)的最大值为8。

评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。变式：设0

x，求函数y4x(32x)的最大值。

232x32x9解：∵0x∴32x0∴y4x(32x)22x(32x)2 222

当且仅当2x技巧三： 分离

32x,即x

33

0,时等号成立。42

x27x10

(x1)的值域。例3.求y

x

1解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离。

当,即

时,y59（当且仅当x＝1时取“＝”号）。技巧四：换元

解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。

(t1)27(t1）+10t25t44y=t5

ttt

当,即t=时,y59（当t=2即x＝1时取“＝”号）。

评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为

A

B(A0,B0)，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。ymg(x)

例：求函数y

2的值域。

t(t



2)，则y

1

t(t2)

t11

0,t1，但t解得t1不在区间2,，故等号不成立，考虑单调性。

tt15

因为yt在区间1,单调递增，所以在其子区间2,为单调递增函数，故y。

t2

因t

所以，所求函数的值域为

5,。2

练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值.11x23x1,x(0,),x3(3)y2sinx,(x0)（2）y2x（1）y

sinxx3x

2．已知0条件求最值 1.若实数满足a

x

1，求函数y.；3．0x，求函数y

3.b2，则3a3b的最小值是.a

分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且3解： 当3

a

3b定值，因此考虑利用均值定理求最小值，3a和3b都是正数，3a3b≥23a3b3ab6

3b时等号成立，由ab2及3a3b得ab1即当ab1时，3a3b的最小值是6．

11变式：若log4xlog4y2，求的最小值.并求x,y的值

xy

技巧六：整体代换

多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。2：已知x0,y错解：．．

0，且1，求xy的最小值。

xy

1919x0,y0，且1，xy

xy12故 xymin12。xyxy

在19yxy，错因：解法中两次连用均值不等式，在x

xy19

xy

即

y9x,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用均值不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步

骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。

正解：x0,y

19y9x19

0,1，xyxy1061016

xyxyxy

当且仅当

19y9x

1，可得x4,y12时，xymin16。时，上式等号成立，又xyxy

变式：（1）若

x,yR且2xy1，求11的最小值

x

y

(2)已知a,b,x,技巧七

yR且ab

x

y

1，求x

y的最小值

已知x，y为正实数，且x 2y 2

＝1，求x1＋y 2 的最大值.分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab≤

a 2＋b 2。

同时还应化简1＋y 2 中y2前面的系数为

12，x1＋y 2 ＝x

1＋y 2

2· ＝x·

＋

y 2

下面将x，12

＋

y 2

分别看成两个因式：

x·

＋

y 2

x 2＋（12

≤

y 2

＋)222

x 2＋＝

y 21

＋222

＝即x

1＋y 2 ＝2 ·x

＋

y 2≤ 2

4技巧八：

已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝的最小值.ab

分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。

－2 b 2＋30b

法一：a＝，ab＝·b＝

b＋1b＋1b＋1由a＞0得，0＜b＜15 令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝

118

－2t 2＋34t－31

＝－2（t＋

16）＋34∵t＋

16≥2

30－2b

30－2b

ttt

t·

t

＝8

∴ ab≤18∴ y≥当且仅当t＝4，即b＝3，a＝6时，等号成立。ab∴ 30－ab≥22 ≤u≤3ab

法二：由已知得：30－ab＝a＋2b∵ a＋2b≥2令u＝

ab则u2＋22 u－30≤0，－5

∴ab≤32，ab≤18，∴y≥

点评：①本题考查不等式

ab

（a,bR）的应用、不等式的解法及运算能力；②如何由已知不等式

2的范围，关键是寻找到

aba2b30出发求得ab（a,bR）

ab与ab之间的关系，由此想到不等式

ab

ab（a,bR），这样将已知条件转换为含ab的不等式，进而解得ab的范围.2

变式：1.已知a>0，b>0，ab－(a＋b)＝1，求a＋b的最小值。2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。技巧

九、取平方

5、已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，求函数W＝

3x ＋

2y 的最值.解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，a＋b

≤

a 2＋b

2，本题很简单

3x ＋2y≤2（3x）2＋（2y）2 ＝2 3x＋2y ＝2

5解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。W＞0，W2＝3x＋2y＋2

∴ W≤＝

3x ·

2y ＝10＋2

3x ·

2y ≤10＋（3x)2·（2y)2 ＝10＋(3x＋2y)＝20

变式

: 求函数y

解析：注意到2x

1与5

2x的和为定值。

x)的最大值。

y2244(2x1)(5

2x)8

又

y0，所以0y

时取等号。故ymax 2

当且仅当2x1=52x，即x

评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。

总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用均值不等式。

应用二：利用均值不等式证明不等式

1．已知

a,b,c为两两不相等的实数，求证：a2b2c2abbcca

111

1。求证：1118

abc

11abc，1aaa1）正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc 例6：已知a、b、cR，且abc



分析：不等式右边数字8，使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“

2”连乘，又可由此变形入手。

解：a、b、cR，ab

c



1。

11ab

c1aaa。同理

1b，11

c

述三个不等式两边均为正，分别相乘，得

1111abc。当且仅当时取等号。11183abcabc

应用三：均值不等式与恒成立问题 例：已知x0,y

0且1，求使不等式xym恒成立的实数m的取值范围。

xy

19xy9x9y10y9x1，1.1 xykxkykkxky

解：令xyk,x0,y0,1

2。k16，m,16 kk

1ab

(lgalgb),Rlg()，则P,Q,R的大小关系是.22

应用四：均值定理在比较大小中的应用： 例：若a

b1,Palgb,Q

分析：∵ab1 ∴lga0,lgb0

Q

（lgalgb)lgalgbp 2

ab1Rlg()lgablgabQ∴R>Q>P。

第四篇：Taylor公式的证明及应用

Taylor公式的证明及应用

数学与信息科学学院数学与应用数学专业

指导教师李文明

作者张彦莉

摘要:文章简要介绍了泰勒公式的证明方法及几个常见函数的展开式,针对泰

勒公式的应用讨论了九个问题,即应用泰勒公式求极限,证明不等式,判断级数的敛散性,证明根的唯一存在性,判断函数的极值,求初等幂级数展开式,进行近似计算,求高阶导数在某些点的数值求行列式的值.关键词: 泰勒公式;极限;不等式;级数;根的唯一存在性;极值;展开式;近似计算;行

列式.一、

第五篇：《二倍角的正弦、余弦、正切公式》教案

《二倍角的正弦、余弦、正切公式》教学设计

高一A组

韩慧芳

年级：高一

科目：数学

内容：二倍角的正弦、余弦、正切公式

课型：新课

一、教学目标

1、知识目标：

（1）在理解两角和的正弦、余弦和正切公式的基础上，能够推导二倍角的正弦、余弦和正切公式，并能运用这些公式解决简单的三角函数问题。

（2）通过公式的应用（正用、逆用、变形用），使学生掌握有关化简技巧，提高分析、解决问题的能力。

2、能力目标：通过二倍角公式的推导，了解知识之间的内在联系，完善知识结构，培养逻辑推理能力。

3、情感目标：通过二倍角公式的推导，感受二倍角公式是和角公式的特例，进一步体会从一般化归为特殊的基本数学思想。在运用二倍角公式的过程中体会换元的数学思想。

二、教学重难点、关键

1、教学重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角的正弦、余弦和正切公式

2、教学难点：二倍角的理解及其正用、逆用、变形用。

3、关键：二倍角的理解

三、学法指导

学法：研讨式教学

四、教学设想：

1、问题情境

复习回顾两角和的正弦、余弦、正切公式

sinsincoscossin；

coscoscossinsin；

tantantan。

1tantan1

思考：在这些和角公式中，如果令，会有怎样的结果呢？

2、建构数学

公式推导：

sin2sinsincoscossin2sincos；

cos2coscoscossinsincos2sin2；

思考：把上述关于cos2的式子能否变成只含有sin或cos的式子呢？

cos2cos2sin21sin2sin212sin2； cos2cos2sin2cos2(1cos2)2cos21．

以上这些公式都叫做倍角公式，从形式上看，倍角公式给出了与2的三角函数之间的关系。既公式中等号左边的角是右边角的2倍。所以，确切地说，这组公式是二倍角的正弦、余弦、正切公式，这正是本节课要研究的内容。二倍角的正弦、余弦、正切公式有时简称二倍角公式。

3、知识运用

例

1、（公式的正用）

（1）已知sin3,,求sin2,cos2,tan2的值． 523,,求sin4,cos4,tan4的值． 542（2）已知sin2

说明：

1.运用二倍角公式不仅局限于2是倍， 是

的2倍，还适用于4是2的2倍，是的2242的2倍等情况，这里蕴含了换元的数学思想。

2、类比二倍角公式，你能用

的三角函数表示sin,cos,tan，用的三角函数表24示sin2,cos2,tan吗？

sinsin costan

练习：

1、已知cos

例

2、（公式的逆用）求下列各式的值：

（1）sin22（2）2cos22cos2tan24（P135 1），812，求sin,cos,tan的值。8544430cos2230 1 8（3）sin212cos212

2tan30（4）

21tan30

例

3、（公式的变形运用）化简

（1）cos42sin42

（2）11 1tan1tan（3）8sin

48cos48cos24cos12

4、课堂小结

1、二倍角公式是两角和公式的特例，体现将一般化归为特殊的基本数学思想方法。

2、公式的正用、逆用、变形运用。

5、作业

P138 A 组15,19 思考题

cos36cos72?