二倍角正余弦及正切教案111

第一篇：二倍角正余弦及正切教案111

3.2二倍角的正、余弦和正切

一.教学目标：

1.知识与技能

（1）能够由和角公式而导出倍角公式。

（2）能较熟练地运用公式进行化简、求值、证明，增强学生灵活运用数学知识和逻辑推理能力。

（3）揭示知识背景，引发学生学习兴趣，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识，并培养学生综合分析能力。

2.过程与方法

让学生自己把两角和与差的正弦、余弦、正切公式当中二角取相等二角时得到新的公式，领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣；通过例题讲解，总结方法.通过做练习,巩固所学知识。

二.教学重、难点

重点: 记住二倍角公式，运用二倍角公式进行求值、化简和证明。难点: 在运用当中如何正确恰当运用二倍角公式。

三.教学过程

1、复习引入

前一段时间，我们共同探讨了和角公式、差角公式，现在我们首先复习一下两角和与差的正弦、余弦、正切公式：

sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ（Sα＋β）cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ

（Cα＋β）tan(α＋β)＝(tanα＋tanβ)/(1－tanαtanβ)α、β、α＋β ≠ kπ ＋π/2（Tα＋β）

2、公式推导：

在和角公式Sα＋β、Cα＋β、Tα＋β中，当时，就可以得到二倍角的三角函数公式：

sin2sinsincossincos2sincoscos2coscossin22222cos112sin2tan1tan2

tan2tantantan1tan2

3、二倍角的正弦、余弦、正切公式： sin22sincos S2

2222cos2coscossin2cos112sintan22tan1tan

2C2

 T2

公式S 2α、C2α、T2α统称为二倍角的三角函数公式，简称为二倍角公式。

注意：

(1)在一般情况下，sin2α≠2sinα，例如：sinπ/3 ≠2sinπ/6 ＝1；只有在一些特殊的情况下，才有可能成立,当且仅当α＝kπ(k∈Z)时，sin2α＝2sinα＝0成立。

同样在一般情况下cos2α≠2cosα，tan2α≠2tanα。

(2)公式S2α、C2α中，角α可以是任意角，没有限制，但公式T2α只有当α≠ kπ＋π/2且α≠π/4 ＋kπ/2(k∈Z)时才成立，否则不成立(因为当α＝π/2 ＋kπ，k∈Z时，tanα的值不存在；当α＝π/4 ＋kπ/2，k∈Z时tan2α的值不存在).(3)二倍角是相对的，任何角都是它的半角的二倍，如将4α作为 2α 的2倍，α作为α/2的2倍，α/2作为α/4的2倍，3α作为 3α/2 的2倍，α＋β是(α＋β)/2的二倍等。

下面我们通过一些具体的实例，体会这些公式的运用。

4、公式运用

例1.已知tanα =解：

tan22tan1tan212，求tan2α的值。

35例2.设是第二象限角，已知cos,，求sin2，cos2，tan2的值。

解：

∵因为是第二象限角，所以sin0,tan0 又 cos315235

故 sin1cos245

可得sin2 = 2sincos =2243 55254

73 cos2 = 2cos2121

255sin2cos2242425 77252 tan2 = 练习，已知sin2x 解：

2513,2x(2,)，求sin4x，cos4 x，tan4 x的值。

因为2x,所以cos2x0513, 又 sin2x

2故 cos2x1sin

由公式：

52x11321213

Sin4x = 2sin2 x cos2 x = 212012 -131316925 cos4x = 12sin21195 2x1213169120119120 /169169119 tan4 x = sin4xcos4x下面我们再看一下二倍角的三角函数在几何中的应用。例

3、在ABC中，已知ABAC2BC,求角A的正弦值。

解：

作ADBC于D，设BAD,那么A2,因为BD12BC14AB, 所以 sinBDAB14

2因为02，所以0于是 cos1sin2，所以 cos0

2114154

故 sinAsin22sincos214154158

四、学习小结

（1）公式的特点要熟记：尤其是“倍角”的意义是相对的，如

4是

8的2倍角。

（2）二倍角公式是两角和公式的特例，会正确运用二倍角的正弦、余弦、正切公式，进行简单的三角函数的化简、求值以及恒等式证明。

五、思考：（利用倍角公式）

（1）二倍角公式的常用变形有哪些？（2）sin3? cos3?

六、作业：P123练习：

1、(1)(2)(3)(6),2,3题。

第二篇：《二倍角的正弦、余弦、正切公式》教案

《二倍角的正弦、余弦、正切公式》教学设计

高一A组

韩慧芳

年级：高一

科目：数学

内容：二倍角的正弦、余弦、正切公式

课型：新课

一、教学目标

1、知识目标：

（1）在理解两角和的正弦、余弦和正切公式的基础上，能够推导二倍角的正弦、余弦和正切公式，并能运用这些公式解决简单的三角函数问题。

（2）通过公式的应用（正用、逆用、变形用），使学生掌握有关化简技巧，提高分析、解决问题的能力。

2、能力目标：通过二倍角公式的推导，了解知识之间的内在联系，完善知识结构，培养逻辑推理能力。

3、情感目标：通过二倍角公式的推导，感受二倍角公式是和角公式的特例，进一步体会从一般化归为特殊的基本数学思想。在运用二倍角公式的过程中体会换元的数学思想。

二、教学重难点、关键

1、教学重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角的正弦、余弦和正切公式

2、教学难点：二倍角的理解及其正用、逆用、变形用。

3、关键：二倍角的理解

三、学法指导

学法：研讨式教学

四、教学设想：

1、问题情境

复习回顾两角和的正弦、余弦、正切公式

sinsincoscossin；

coscoscossinsin；

tantantan。

1tantan1

思考：在这些和角公式中，如果令，会有怎样的结果呢？

2、建构数学

公式推导：

sin2sinsincoscossin2sincos；

cos2coscoscossinsincos2sin2；

思考：把上述关于cos2的式子能否变成只含有sin或cos的式子呢？

cos2cos2sin21sin2sin212sin2； cos2cos2sin2cos2(1cos2)2cos21．

以上这些公式都叫做倍角公式，从形式上看，倍角公式给出了与2的三角函数之间的关系。既公式中等号左边的角是右边角的2倍。所以，确切地说，这组公式是二倍角的正弦、余弦、正切公式，这正是本节课要研究的内容。二倍角的正弦、余弦、正切公式有时简称二倍角公式。

3、知识运用

例

1、（公式的正用）

（1）已知sin3,,求sin2,cos2,tan2的值． 523,,求sin4,cos4,tan4的值． 542（2）已知sin2

说明：

1.运用二倍角公式不仅局限于2是倍， 是

的2倍，还适用于4是2的2倍，是的2242的2倍等情况，这里蕴含了换元的数学思想。

2、类比二倍角公式，你能用

的三角函数表示sin,cos,tan，用的三角函数表24示sin2,cos2,tan吗？

sinsin costan

练习：

1、已知cos

例

2、（公式的逆用）求下列各式的值：

（1）sin22（2）2cos22cos2tan24（P135 1），812，求sin,cos,tan的值。8544430cos2230 1 8（3）sin212cos212

2tan30（4）

21tan30

例

3、（公式的变形运用）化简

（1）cos42sin42

（2）11 1tan1tan（3）8sin

48cos48cos24cos12

4、课堂小结

1、二倍角公式是两角和公式的特例，体现将一般化归为特殊的基本数学思想方法。

2、公式的正用、逆用、变形运用。

5、作业

P138 A 组15,19 思考题

cos36cos72?

第三篇：“二倍角的正弦、余弦、正切”教学设计

“二倍角的正弦、余弦、正切”教学设计

王金城叶志良

设计理念：根据皮亚杰的认知发展理论，在个体从出生到成熟的发展过程中，智力发展可以分为具有不同的质的四个主要阶段：激活原有认知结构、构建新的认知结构、尝试新的认知结构、发展新的认知结构。发展的各个阶段顺序是一致的，前一阶段总是达到后一阶段的前提。阶段的发展不是间断性的跳跃，而是逐渐、持续的变化。皮亚杰的认知发展阶段论为发展性辅导中学生智力发展水平的评估和诊断，提供了重要的理论依据。

教学内容：《普通高中课程标准实验教科书（数学）》必修4（人教A版），第三章、第一节、第145－148页。

“二倍角的正弦、余弦、正切”是在研究了两角和与差的三角函数的基础上研究具有“二倍角”关系的正弦、余弦、正切公式，它既是两角和的正弦、余弦、正切公式的特殊化，又为以后求三角函数值、化简和证明提供了非常有用的理论工具，通过对二倍角公式的推导知道：二倍角公式的内涵是“揭示具有倍数关系的两个角的三角函数的运算规律”，通过推导还让学生了解高中数学中由“一般”到“特殊”的化归数学思想，因此这节课也是培养学生运算和逻辑推理能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力都有重要意义。

教学目标：根据新课程标准的要求、本节教材的特点和学生对三角函数的认知特点，我们把本节课的教学目标确定为：

1、能从两角和的正弦、余弦、正切公式出发推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，理解它们的内在联系，从中体会数学的化归思想和数学规律的发现过程。

2、掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，通过对二倍角公式的正用、逆用、变形使用，提高三角变形的能力，以及应用转化、化归、换元等数学思想方法解决问题的能力。

3、通过一题多解、一题多变，激发学生的学习兴趣，培养学生的发散性思维、创新意识和数学情感，提高数学素养。

学情分析：我们的学生从认知角度上看，已经比较熟练的掌握了两角和与差的三角函数的基础上。从学习情感方面看，大部分学生愿意主动学习。从能力上看，学生主动学习能力、探究的能力、较弱。

教材分析：对公式的引入改变了教材中直接填结果的做法，而是通过提出问题，设置情景对和角公式中的角、的关系特殊情形

时的简化，让学生探讨发现、推证得出二倍角公式，这样学生会感到自然，好接受，并可清晰知道和角的三角函数与二倍角公式的联系，同时让学生学会怎样发现数学规律，并体会到化归（这里是将一般化归到特殊）这一基本数学思想在发现中所起的作用，对教材的例题则有所增减，处理方式也有适当改变。

教学重点、难点

重点：使学生在掌握了和角、差角公式后如何将和角公式化为二倍角公式，以及公式的两种变形和公式成立的条件；如何学会去发现数学规律，并体会化归、转化等基本数学思想在发现中所起的作用，能正确应用这些公式进行三角化简、求值、证明等。

难点：灵活应用二倍角公式变形的态式，熟练解三角综合题。

教学过程

一、复习启发、设置情景、引出正题

1、（复习性提问）：请同学回顾两角和的公式

（学生回答，教师板书）

2、（探索性提问）当上述公式中角、具有特殊化关系

时，公式变为什么形式？请一名学生到黑板上演示简化，其他同学在座位上做。

学生板书：

3、集体订正后，引导学生观察其结构，并指名回答观察结果

（学生回答：左边角均为

4、引入正题

师：肯定学生观察结论准确，并加以说明公式中蕴含着“对称”、“和谐”之美

教师板书（放幻灯片），右边角均为，具有“二倍”关系）

二倍角公式简记为

即为我们今天要学习的二倍角公式

【设计意图：复习已学公式，对其特殊化。让学生学会从“一般”到“特殊”的化归方法，从而达到“温故知新”的教学目的】

二、引导探究、深化认识

1、回忆推导过程，让学生明确二倍角公式是和角公式的特殊情形。知道二者之间的联系

2、（探索性提问）对

中的平方联想到，有无其他变式？

：

（学生探索、总结得出两种变式：

3、（深化性提问）：有了这组二倍角公式，我们是否可以放心大胆的应用呢？

（学生：不能，要注意公式成立的条件）

引导学生联想和角公式的条件，利用类比的方法，探索出二倍角公式的条件）

指出：尤其注意

【设计意图：引导学生应用联想、类比的教学思想、得出公式成立的条件】

成立的条件

4、（探索性提问）在存在，但左边的

中，当左边的求

时，虽然右边的？该怎样求？

不存在，能否用引导学生：改用诱导公式：

【设计意图：引导学生对特殊情形，另辟蹊径，寻找求解依据，培养学生细致、灵活的探索习惯】

5、二倍角公式中的倍数关系是相对的，为深化对二倍角公式的理解，出示一组填空题（放幻灯片）

（1）填角

（2）（填

一般情况下：

【设计意图：通过填空，让学生灵活理解“二倍角”的含义，根据学生易混点，类比公式，展开训练，达到“跨越障碍、突破难点”之目的】

三、巩固公式，学习应用

出示四道例题，学生分组训练，每组一题，做完后组内交流，订正答案，最后教师引导学生小结方法、技巧、要点、解题规范等。————放幻灯片

（第一组学生做）例

1、不查表,求下列函数值

号）

【设计意图：通过直接应用公式、间接应用公式、一题多解,巩固二倍角公式】

(第二组学生做)例

2、已知

讲评：此题目中对角，求的值。

有范围限制,做题中应注意什么?仅知道

值时,要灵活应用

值,欲求二倍角正三种等价形式,弦、余弦、正切,先需要知道什么?„ „在求并注意在求解过程中要尽量使用已知的原始数据,减少错误的可能性

【设计意图：由浅入深,巩固公式,培养学生规范、科学解题的能力,教给学生小结解题经验,做后反思】

(第三组学生做)例

3、证明

讲评：证法1：等价证：

证法2：等价证：

证法3：巧妙应用“1”，即用“

”代换，后略。

【设计意图：让学生学会等价证明、转化证题及一题多证，以培养学生数学思维的灵活性、散发性及创造性思维，加深巩固二倍角公式和综合应用已学过的技巧证题】

(第四组学生做)例

4、利用三角公式化简

讲评：此题技巧是：先将“切化弦”，然后用已学过的知识和二倍角公式化简

【设计意图：复习应用所学知识解简单三角综合问题，培养学生综合解题应用能力】

四、提炼总结——放幻灯片

（1）在两角和的三角函数公式角的三角函数公式

（2）

中角

没有条件限制，而

中，只有

中，当

时，就可得到二倍

。说明：后者是前者的特例。

时才成立。

（3）二倍角公式不仅限于是的二倍形式，其他如是的二倍，是的二倍，是的二倍等等都适用，要熟悉这些多形式的两个角的倍数关系，才能熟练地应用好二倍角公式，这是灵活应用公式的关键。

有三种形式：件灵活应用公式，另外逆用此公式时更要注重结构形式。

【设计意图：使学生对本节课所学知识的结构有一个清晰的认识，抓住重点、难点，关键进行课后复习巩固】

五、作业布置：

必做：教科书P150习题3.1A组14、1

5【设计意图：培养学生自觉学习的习惯，检查学习效果，及时反馈，插漏补缺】

选做：

。要依据条

（1）用、表示、（即推导三倍角公式）

（2）已知：。

【设计意图：对学有余力的学生留出自我发展的空间，尝试能力，拓展创新】

设计思路：

1、本节公式比较多，首先要搞清楚各公式之间的内在联系，也就是要很好地理解上面的知识结构图，其次理解如何由和角公式推导倍角公式，然后明确倍角的含义，熟练地运用倍角公式进行求值、化简等三角运算及恒等变形。

2、在三角式的运算及恒等变形过程中，除了倍角公式外，也离不开前面所学的同角三角函数关系、诱导公式以及和角公式等，它们是一个有机整体。在解题过程中要求学生先分析条件与求解目标之间的差异，选择恰当的公式进行转化沟通，然后明确解题思路，设计解题步骤，完善解答过程，培养逻辑思维能力。

3、我们通过一题多解，使我们学会数学思考与推理，训练发散性思维，培养创造新意识，提高数学素养。

4、以公式特殊情形

为主线

板书设计：

以学生发展能力为目的

化简为切入点

以学生探索、推导、应用

第四篇：二倍角的正弦余弦正切说课稿

二倍角的正弦、余弦、正切说课稿

一．教材分析

1.教材地位和作用：二倍角的正弦、余弦、正切是三角函数的重要公式，应用这些公式也是本章的重点内容。同时，本节是学生在已经学习了两角和（差）的正弦、余弦和正切公式的基础上的进一步延伸，也是研究三角函数的图像及性质的基础。因此，本节课有着奠定基础，承上启下的作用。2.教学目标：本节课的设计以新课程标准所反映的新概念为依据，坚持以学生为主体注重学生探究能力的培养，拓展学生的创造性思维。因此，本节课的教学目标分为了知识目标，能力目标，情感目标。

（1）知识目标：理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式；

能够熟练地正用，逆用及变形用改组公式。

（2）能力目标：提高学生的分析，化归，比较，概括，猜想，实际探索等数学能力

（3）情感目标：在平等的教学氛围中，通过学生间、师生间的交流，合作与评价，实现共同探究的教学情境，激发学生学习兴趣，培养学生勇于探索，创新的精神。

3.教学重点：二倍角的正弦、余弦、正切的推导及二倍角的余弦公式的两种变形及应用。

4.教学难点：倍角公式与以前学过的同角三角函数的基本关系式，诱导公式，和（差）角公式的综合运用。

二．说教法

根据本节课的教学内容，教学任务及面临的教学对象，我所采用的教学方法是（1）引导发现法，充分调动学生的主动性和积极性，培养他们的创新能力。（2）从一般到特殊的化归思想方法，二倍角公式其实就是和角公式的特殊情况。从一般到特殊的化归思想，有利于培养学生对知识进行主动构建，也有利于发挥学生的创造性和发现数学规律。（3）巩固练习法，本节课设计了三道例题和几道练习题，以学生自己解决为主，这样更能突破难点，使学生的能力得到进一步提高。

三．说学法

教给学生学习的方法远比教给学生的知识更重要。本节课在学生的学法指导上注重调动学生的积极思考，主动探索。真正让学生成为教学的主体，让学生们利用观察分析法通过旧公式得出新结论，及寻找出新旧公式的内在联系。

四．说教学过程

1.创设情景，激发兴趣。（1）复习上节课的两角和的正弦、余弦、正切公式。（2）假设公式中α=β，则公式变成怎样的形式，由学生自己推导。用这种方式引入课题，激发学生的学习兴趣。从而轻松完成重点的突出，获得二倍角公式后，自然引入课题。

2.合作交流，探索新知。对二倍角的余弦公式，可提示学生得出它的另两种形式，然后稍加变形，得出半角公式。3.运用新知，体验成功。本节设计了三道例题，层层深入，以学生作答为主，另加几道练习，达到巩固加深的作用，进而肯定他们的能力。4.归纳小结，探究作业。让学生在小结中进一步体会到本节课的重点和难点，作业体现出层次分明。5.板书设计。

第五篇：(二倍角的正弦·余弦·正切公式)教学设计