二倍角公开课教案

第一篇：二倍角公开课教案

《二倍角的正弦、余弦、正切公式》公开课教案

江门荷塘高中数学 授课人：李苑华 上课班级：高一（8）班 上课时间：2012-5-16，星期三 课题：二倍角的正弦、余弦、正切公式

（一）、教学目标

1.知识目标：能从两角和公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式； 2.技能目标： 通过公式的推导，培养学生的逻辑推理能力。

3.情感、态度与价值观：

引导学生发现数学规律，激发学生的学习兴趣，强化学生的参与意识，培养学生的综合分析能力。(二)、过程与方法: 1.由和角公式导出倍角公式，领会从一般化归为特殊的数学思想； 2.使学生通过综合运用公式，掌握技巧，提高解题的能力。

（三）、教学重点与难点：

重点：二倍角的正弦、余弦、正切公式推导。难点：二倍角公式的综合运用。

（四）教学过程 １、复习和角公式：

请同学们回顾两角和的正弦、余弦、正切公式：

cos()coscossinsin sin()sincoscossin

sin2,cos2,tan2的公式。令，推导过程为：

sin2sinsincoscossin2sincos cos2coscoscossinsin

cos2sin2

tantan2tan1tantan1tan2

即：sin22sincos tan2tan()cos2cos2sin2.tan22tan2tantan21tan2 注意1tan2 的定义域是

22k,kz，即4k,kz，2对于 cos2cos2sin2 可利用公式sin2cos21变形为：cos22cos2112sin2 因此，cos2还可以变形为下述表达形式：

cos2cos2sin22cos2112sin2

二倍角的含义：

“二倍角”是描述两个数量之间的相对关系，如2 是的二倍角， 是３、例题教学（公式正用）例1 已知sin=

5,<α<132的二倍角。2tan()tantan

1tantan,求sin2,cos2,tan2的值.2２、二倍角公式的推导

由一般的两角和，设问特殊情况？ 探究推导出

思路分析：求出cos,再用二倍角公式，表达形式多样，求答方法也多样 解:由

<α<,得α为第二象限角 2

又∵sin=5, 13５、练习深化：

3① 已知sin()=,求cos2的值。（方法：用诱导公式化简，再

5sin55122 ∴cos=1sina=1()2.，tancos121313512120

×()=;***方法

1、cos2= 1-2sin22=1-2×()2=；

***22方法

2、cos2cossin=()2()2=；

1313169sin2a120169120方法

1、切化弦：tan2==(-)×=.cos2a169119119

52()2tan12120 方法

2、用二倍角公式：tan251191tan21()212用二角公式求解）

1② 已知tan2=,，求tan

3于是sin2=2sincos=2×

6、高考接触：

已知函数f(x)=(cosx+sinx)(cosx-sinx),，求函数f(x)的最小正周期。（2012年广州二模文科）

7、感悟小结：

1、这节课你学到了什么知识，怎么获得这些知识？

2、你在推导和应用这些公式过程中，用到了什么基本的数学思想方法？

（1）、学到了由和角公式，探究推导出二倍角公式，再综合运用公式。思维小结：tan2可用切化弦，或先求tan，再用二倍角正切公式。技巧：从条件出发，顺着问题的线索，以展开公式的方法使用。４、例题教学（公式变形用）例2，求下列各式的值

（1）sin22°30′cos22°30′(2)sin2（（2）、由一般化归到特殊的数学思想：（）→

8、回顾反思：

）

把未知的元素变为已知元素的转化思想。cossin

8cos28

(3)

tan22.5 21tan22.5（1）二倍角公式变换形式多，技巧性强，有一定的难度，只要抓住关

键：角的关系，才能灵活运用。

（2）三角函数的应用，是高考的常考题，只要勤奋好学，熟能生巧，就能提高运用数学的能力。思路分析：仔细对照比较，设法转化到能应用公式。

12解:（1）sin22°30′cos22°30′=sin45°=

24两位伟大的数学家启迪我们——学习数学的重性和方法：

数学是知识的工具，也是其它知识工具的源泉，所有研究的科学均(2)sin28cos28=－（cos28sin8）cos42和数学有关。——笛卡儿

学习数学要多做习题，边做边思考，知其然，知其所以然。——苏步青

9、课后作业

课本第138面14、15题

优化方案（蓝色本）121面1-6题，优化方案（绿色本）65面1-4题(3)

111tan22.52tan22.5==tan45°= 2221tan22.521tan22.52技巧；观察式子的结构特点，对公式有一个整体的感知，将公式等价变形。

第二篇：二倍角--公开课

3.1.3二倍角的正弦.余弦.正切公式

一.教学目标：

1.通过和角公式得到二倍角公式，体会由一般到特殊思想。2.通过二倍角公式应用，学会简单求值.化简.恒等证明。3.通过学习，领悟数学规律，培养创新和探索精神。二.教学重点：二倍角公式推导及应用。

教学难点：灵活应用和.差.二倍角公式进行三角式化简.求值.证明。三.教学过程

1.复习两角和与差的三角函数公式（中间）cos(x-y)= cos(x+y)= sin(x+y)= sin(x-y)= tan(x+y)= tan(x-y)= 2.导入新课

已知求的值。特殊地当时，得到二倍角公式（左推）sin2x= cos2x= cos2x= cos2x= tan2x= 注意：

1.倍角专指二倍角，三倍角、四倍角中三、四不可省略。2.二倍角的相对性：sin()=2sin()cos(), cos()=cos2()-sin2()3.定义域问题：

例1：化简

1.sin3xcos3x=

3.(2tan40o)/(1-tan240o)=

5.cos2 2x-sin22x=

例2：化简

1.2sin15ocos15o=

3.2cos222.5o-1=

5.tan22.5o/(1-tan222.5o)=

2.4sin(x/4)cos(x/4)= 4.tan(x/2)= 6.1-2sin2(x/3)=

2.cos222.5o-sin2 22.5o =

4.1-2sin215o=

6.2cos222.5o= 2

例3：

已知sinx=0.6,x(90o,180o).求sin2x.cos2x.tan2x的值.练1：化简

1.(sinx+cosx)2

3.sinxcosxcos2x

例4：

1.已知sinx+cosx=0.5, 求sin2x.2.cos4x-sin4x 4.tanx+cotx

2.已知six+siny=0.5, cosx+cosy=1/3,求cos(x-y)

练2：

已知tanx=2, 求sin2x+cos2x的值.四.课堂小结： 1.本节课学习了：

2.本节课学会了：

五.作业：

1.必做题：习题3.1A组15.16.17题

2.选做题：（1）.已知sin10o=a,求sin70o的值.（2）.已知sinx+siny+sinz=0,cosx+cosy+cosz=0,求cos(y-z)的值.4.思考题：（1）.求sin10osin30osin50osin70o的值.（2）.求f(x)=sinx+sinxcosx+cosx的值域.

第三篇：二倍角公式教学设计方案

“二倍角的正弦、余弦、正切”教学设计

江门市荷塘职业技术学校 李苑华

教学内容：《数学》（普通高中课程标准实验教科书，高教版），3.1.3节 设计理念：

我们是职业学校，学生上进心很强。不仅要掌握职业技能，还要参加高考，继续深造。他们比一般学生要求更高。然而他们的基础较低，教、学都要付出多倍努力。我所用的教学方法和手段符合学生的认知能力，效果很好。

在和角公式基础上，探讨研究特殊情况：两个角相等，得到“二倍角”公式。例题教学体现了把未知变为已知的转化数学思想。公式的运用，体现了由感性认识上升到理性认识的规律。

学生的求学，好比响鼓，还需重锤敲，特别引用名言勉励学子上进。(一)、教学目标：

1.知识目标：从两角和公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式； 2.技能目标： 通过公式的推导，培养学生的逻辑推理能力。3.情感、态度与价值观：强化参与意识，培养学生的综合分析能力。

设计意图：让学生在求学路上有得学，听得懂，学得到，用得上。

(二)、过程与方法:

1.过程：推导公式，再综合运用公式。2.方法：用讲授法和探究式教学。

设计意图：运用从普遍性到特殊性的认知规律提，高解题的能力。

（三）、学情分析：

师生都很刻苦教、学，常常进行练习、检测，经过反复的强化、记忆，学生对知识掌握较好，学习相当感兴趣，他们是渴求学习的。

（四）、教材分析：

由和角公式，通过联想，设问特殊况：两个角相等，得出二倍角公式，学生知道和角公式与二倍角公式的联系，由此及彼，由浅入深。

设计意图：培养学生严谨的治学态度，勇于探索新知识的进取精神。

（五）、教学重点与难点分析：

重点：掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式推导过程。难点：二倍角公式的综合运用。

设计意图： 职业班学生在他们的专业课中，更多地应用二倍角的知识，发挥本节内容对所学专业起的促进作用

（六）、教学过程

一、复习和角公式：

1、（学生回答）（1分钟）

2、探究设问：当时，公式的变化。（８分钟）

教师推导

二、例题教学 例1 已知sin=5,<α<132,求sin2,cos2,tan2的值.（８分钟）

2设计意图：引导学生开拓思路，找到解题突破口。

方法：先观察题目，找出二倍角关系。

过程：求出cos, cos2和tan2用两种方法求出来。

预期目标：公式学以致用，优选方法，采用计算量最小，最准确的一种。技巧归纳：从条件出发，顺着问题的线索，展开公式的方法。

例2，求下列各式的值（５分钟）

tan22.5（1）sin22°30′cos22°30′(2)sincos

(3)2881tan22.522选题意图：根据本班学生的知识水平，有必要加强公式运用。解题入手：观察系数，符号变化，对比公式。思路点拨：仔细对照比较，设法转化到能应用公式。

预期目标：对公式的正用、逆用，变形用都能举一反三，应用自如。技巧归纳：根据式子结构特点，对公式有一个整体的感知，进行等价变形。

三、练习固巩：（6分钟）

① 已知sin()=,求cos2的值。② 已知tan2=,，求tan

③ 高考接触：（9分钟）（2012年广州二模文科）已知函数f(x)=(cosx+sinx)(cosx-sinx),，(1)求函数f(x)的最小正周期。(2)若023513，02，且f(2)12,f(),求sin()的值323

设计意图：教会学生运用转化的数学思想。

① 运用诱导公式，先把角进行化简，就可应用二倍角公式，② 先用平方差公式，就可应用二倍角公式，求出周期。③

把未知的元素变为已知的元素。

预期目标：加深巩固二倍角公式运用，培养学生思维的灵活性。

让学生接触高考题型，扩大知识面，解题融会贯通。

7、感悟小结：（1）、这节课你学到了什么知识，怎么获得这些知识？

（2）、你在推导和应用公式中，用了什么数学思想方法？

设计意图：（1）、让学生懂得归纳本节课的的收获，获取知识的途径。

（2）、让学生总结领悟：好好学习，天天进步。

8、回顾反思的

二倍角公式，技巧性强，只要勤奋好学，熟能生巧。

设计意图：教师时常反省教学，及时反馈，力求不断完善，不断提高。

数学家启迪我们学习的方法：

学习数学要多做习题，边做边思考，知其然，知其所以然。——苏步青

设计意图：应用名人名句激励学生，增强士气。

9、课后作业的设计意图

检查学习质量，查漏补缺，巩固学习成果。

分层次布置作业，让一般能力的学生，完成基本的练习，有余力的学生，拓展创新，达到分槽喂马的目的。

第四篇：《二倍角公式》教学反思

《二倍角的正弦、余弦、正切公式》教学反思

根据上级教育主管部门关于高效课堂走进职业教育的安排，我校近期组织相关教师开展了高效课堂在文化基础课、专业课上的尝试，作为高效课堂我校职业教育课堂的开始，我根据高效课堂教学模式的相关理论，在本班数学教学中展开了积极的实践和探索。本节《二倍角的正弦、余弦、正切公式》新授课，正是对高效课堂的实践和探索。

通过近期的教育教学实践，我认识到高效课堂下的数学教学是否有效，并不是指教师有没有教完内容或教得认真不认真，而是指学生有没有学到什么或学生学得好不好。如果学生不想学或者学了没有收获，即使教师教得很辛苦也是无效教学。这就要求教师注重课堂这个冲锋陷阵的主阵地，它不只是看你备课、上课的认真程度，更关注一个教师对课堂结构的把握，节奏的安排，时间的掌控以及对学生学习方法等等多方面的考虑。以下是我的一点体会：

一、课堂教学模式应简单实用

教学中都是采用的“合作-探究”的教学模式。在教学中，老师引导，小组合作，共同探究，然后再做全班展示汇报。做汇报的学生要讲出思路、讲出方法、讲步骤„„，汇报展示之后，台下的学生如果谁有疑问，谁就可以随时站起来进行质疑，主讲学生能释疑的就进行讲解，而老师则适时作出补充。这样的课很有效率，教师讲得很少，真正把课堂还给了学生，把时间还给了学生，把教师的“一言堂”变成了“群言堂”，为了让学生真正成为课堂的主人，在数学教学过程中,对于学生的提问,教师不必作直接的详尽的解答,只对学生作适当的启发提示,让学生自己去动手动脑,找出答案,以便逐步培养学生自主学习的能力,养成他们良好的自学习惯。课上教师应该做到三“不”：学生能自己说出来的，教师不说；学生能自己学会的，教师不讲；学生能自己做到的，教师不教。尽可能地提供多种机会让学生自己去理解、感悟、体验，从而提高学生的数学认识，激发学生的数学情感，促进学生数学水平的提高。这样的教学模式真正达到了“低耗时高效率”的教学目的，老师教得不累、教得轻松，学生学得快乐、学得扎实，并且效果相当好。同时也体现了以教师为主导，以学生为主体的教学思想。

二、其次教师要转变教育教学的方式。

要注重学生实际，从学生的学习、生活实际出发，从学生的学习爱好、生活乐趣着手。新的课堂是不可能单纯地依靠知识的传承、讲授、灌输来形成的，必须改变教学策略和改进教学方法，改变学生的学习方式，把学什么变成怎么学，把被动地学转为主动地去学。

三、在课堂教学上突出了精讲巧练，做到堂上批改辅导和及时的反馈。

由于人数较多，学生的数学层次参差不齐，有针对性的辅导还不完善。另外学生学习的参与度还可以提高，体现在小组讨论、新知识的举例交流等合作学习，本班学生的学习方法比较单一，可加强学法的指导。

四、在数学教学过程中，讨论是情感交流和沟通的重要方法。教师与学生的讨论，学生与学生的讨论是学生参与数学教学过程，主动探索知识的一种行之有效的方法。高效课堂要求教学要依照教学目标组织学生充分讨论，并以积极的心态互相评价、相互反馈、互相激励，只有这样才能有利于发挥集体智慧，开展合作学习，从而获得好的教学效果。我认为高效课堂下教师高超的教学艺术之一就在于调动学生的积极情感，使之由客体变为主体，使之积极地、目的明确地、主动热情地参与到教学活动中来。

五、课堂上教师可以采用“小组合作学习”的教学形式，以小组成员合作性活动为主体。学生在小组内相互讨论、评价、倾听、激励，加强学生之间的合作与交流，充分发挥学生群体磨合后的智慧，必将大大拓展学生思维的空间，提高学生的自学能力。另外，教师从讲台上走下来，参与到学生中间，及时了解到、反馈到学生目前学习的最新进展情况。学生出现了问题，没关系，这正是教学的切入点，是教师“点”和“导”的最佳时机。通过学生的合作学习和教师的引导、启发、帮助，学生必将成为课堂的真正主人。

六、在课堂教学过程中，真诚交流意味着教师对学生的殷切的期望和由衷的赞美。

期望每一个学生都能学好，由衷地赞美学生的成功。我认为，作为教师，应该在数学教学过程的始终，都要对学生寄予一种热烈的期望，并且要让学生时时感受到这种期望，进而使学生为实现这种期望而做出艰苦努力。教师在数学教学过程中以肯定和赞美的态度对待学生,善于发现并培养学生的特长,对学生已经取得或正在取得的进步和成绩给予及时、充分的肯定评价,从而激发学生的自信心、自尊心和进取心,不断将教师的外在要求内化为学生自己更高的内在要求,实现学生在已有基础上的不断发展。

七、高效课堂教学模式下要求教师在数学教学过程中充分理解和信任学生。

理解是教育的前提。在教学中教师要了解学生的内心世界，体会他们的切身感受，理解他们的处境。尊重学生，理解学生，热爱学生，只要你对学生充满爱心，相信学生会向着健康、上进的方向发展的

八、改变单纯以成绩高低评价学生的学习状况的传统评价手段，逐步实施多元化的评价手段与形式。

既关注学生知识与技能的理解与掌握，又关注学生情感与态度的形成与发展；既关注学生的学习结果，又关注他们在学习过程中的变化与发展。我所教班的学生生性好动任性，自制的能力比较差，学习基础薄弱，为此，我在反复教育的基础上，注意发掘他们的闪光点，并给予及时的表扬与激励，增强他们的自信心。如孟文磊同学身有残疾，平时不按时上交作业，但是该生课堂反应及时准确，我及时在班中表扬了他，使其感到不小的惊喜，并在之后的学习中更加积极。有好几个学生如杨邦栋、景瞳、姜妍数学基础较差，接受能力较弱，我反复强调会与不会只是迟与早的问题，只要你肯学。同时，我加强课外的辅导，想办法让他们体验学习成功的喜悦。经过高效课堂的实施，我深感在教学的理念上、教师与学生在教与学的角色上、教学的方式方法上、师生的评价体系上都发生了根本的转变，这都给教师提出了新的挑战，因此，只有在教学的实施中，不断地总结与反思，才能适应新的教学形势的发展。

事实证明，小组互助学习在培养学生合作与交流能力的同时，调动了每一个学生的参与意识和学习积极性。不仅有助于学生的交流，而且对于后进生的转化，尖子生的培养都是一种有利的形式。

九、我认为高效课堂的教学模式对传统教学方式做出了以下五方面的重要和深刻的改革：

（一）、课堂教学模式的改革：改教师讲学生听的教学模式为学生先自主学习、教师据学情施教的模式。

（二）、教师工作方式的改革：改备课、上课、批作业为编制学案、查研学情、设计导引。

（三）、学生学习方式的改革：改学生先听讲后做练习的方式为学生先自主学习，再与教师互动交流的方式。

（四）、改革教案作业要求方式：改教案编写为学案编写，改作业为课堂过关检测。

（五）、改革课堂布局模式：改过去人人面向黑板的座次布局为以六至八人为一组的小组同学围坐布局，实施有助于小组互助学习的课堂布局。

总之面对高效课堂，教师要在数学教学过程中要转变角色，掌握方法，适应高效课堂的教学模式的要求，把握高效课堂的教学模式的规律，认真总结并汲取正反两方面的经验教训，学会关爱、学会理解、学会激励、学会合作，这样我们在高效课堂下的数学教学会更加流畅、更加有效，教师和学生都会有成功和快乐的体验。

第五篇：二倍角公式的运用

学科：数学

教学内容：导数的应用

（一）【学习目标】

利用导数研究函数的切线、单调性、极大（小）值、函数在连续区间［a，b］上的最大（小）值，培养数学思维能力．

【高考试题剖析】

91．曲线y＝x在点（3，3）处的切线倾斜角α＝__________．

92923【解析】∵y′＝－x，∴y′|x＝3＝－x|x＝3＝－1，∴α＝4π．

3【答案】4π

x－x2．函数f（x）＝e＋e在（0，＋∞）上的单调性是___________． 【解析】∵f′（x）＝ex－e－x＝e－x（e2x－1），当x∈（0，＋∞）时，f′（x）>0． ∴f（x）在（0，＋∞）上是增函数． 【答案】增函数

3．函数y＝1＋3x－x3有（）A．极小值－1，极大值1

B．极小值－2，极大值3 C．极小值－2，极大值2

D．极小值－1，极大值3

2【解析】∵f′（x）＝3－3x＝0，∴x＝±1 ∴f（1）＝3，f（－1）＝－1． 【答案】D 324．函数y＝2x－3x－12x＋5在［0，3］上最大、小值是（）A．5，－15

B．5，4

C．－4，－15 D．5，－16 2【解析】y′＝6x－6x－12＝6（x－2）（x＋1）令y′＝0，得：x＝2或x＝－1（舍）检验知，当x＝2时，y极小＝－15．

又f（0）＝5，f（3）＝2×27－3×9－12×3＋5＝－4 ∴y最大值＝5，y最小值＝－15 【答案】A 5．下面说法正确的是（）

A．函数在闭区间上的极大值一定比极小值大 B．函数在闭区间上的最大值一定是极大值

C．对于f（x）＝x3＋px2＋2x＋1，若|p|<6，则f（x）无极值 D．函数f（x）在区间（a，b）上一定存在最值

【解析】极值是函数的局部性质，最值是函数的整体性质，因此，极大值不一定是最大值，A错．由于函数的最值可能在端点取得，因此最大值不一定是极值，B错．

22对于C，∵f′（x）＝3x＋2px＋2，方程3x＋2px＋2＝0，当|p|<6时无实根，而f（x）在R内可导，因此f（x）无极值．

【答案】C 【典型例题精讲】

1［例1］研究函数f（x）＝ax3＋bx2－ax＋1的单调性，其中a≠0．

1【解】∵f′（x）＝3ax＋2bx－a

2b当a＞0时，f′（x）＞0，则x＜

2b33a或

22xbb33a，2bf′（x）＜0时，b33a2xbb33ab32，(,所以f（x）在在[bb3a2b2b33a],[b3a,)上单调递增，3,bb3a3]上单调递减．

[当a＜0时，同样可得f（x）在bb3bb3,]3a3a上单调递增，b3222bb323a3a在（－∞，＋∞）上单调递减．

432［例2］偶函数f（x）＝ax＋bx＋cx＋dx＋e的图象过点P（0，1），且在x＝1处的切线方程为y＝x－2，（1）求y＝f（x）的解析式；（2）求y＝f（x）的极值．

【解】（1）∵f（x）是偶函数，∴b＝d＝0．又图象过点P（0，1），则e＝1，此时f（x）42＝ax＋cx＋1 ∴y′＝4ax3＋2cx，∴y′|x＝1＝4a＋2c＝1

① 又切线的切点（1，－1）在曲线上，∴a＋c＋1＝－1 ②

由①②得,],[ba52,c92，∴

f(x)52x4923x12

（2）f′（x）＝10x3－9x＝0，∴x＝0或x＝±10． 通过列表可知：

341当x＝±10时，f（x）极小＝－40

当x＝0时，f（x）极大＝1 1［例3］曲线y＝3x6上哪一个点的法线在y轴上截距最小?（所谓法线是指：过曲线上一点与以此点为切点的切线垂直的直线）

1【解】在曲线y＝3x6上任取一点（x，y），过该点切线的斜率为k＝2x5

1∴法线的斜率为－2x．

51∴法线的方程为Y－y＝－2x（z－x）

5Yy令z＝0，得法线在y轴上的截距：

12x4x6312x

4xx则

令Y′＝0，得x＝±1 当x＜－1时，Y′＜0，则Y单调减小； 当－1＜x＜0时，Y′＞0，则Y单调增加； 当0＜x＜1时，Y′＜0，则Y单调减小； 当x＞1时，Y′＞0，则Y单调增加； Y2x5252(x1051)51从而当x＝±1时，Y取得最小值为6，此时点（±1，3）为所求．

32［例4］已知f（x）＝ax＋bx＋cx（a≠0）在x＝±1时取得极值，且f（1）＝－1，（1）试求常数a、b、c的值；

（2）试判断x＝±1是函数的极大值还是极小值，并说明理由．

【分析】考查函数f（x）是实数域上的可导函数，可先求导确定可能的极值点，再通过极值点与导数的关系，即极值点必为f′（x）＝0的根建立起由极值点x＝±1所确定的相关等式，运用待定系数法确定a、b、c的值．

2（1）【解法一】f′（x）＝3ax＋2bx＋c，∵x＝±1是函数的极值点

2∴x＝±1是方程3ax＋2bx＋c＝0的两根． 由根与系数的关系知：

又f（1）＝－1，∴a＋b＋c＝－1

③ 由①、②、③解，得：【解法二】由f′（1）＝f′（－1）＝0，得：3a＋2b＋c＝0 ① 3a－2b＋c＝0

② 又f（1）＝－1，∴a＋b＋c＝－1

③

2．1333233f(x)xxx(x1)(x1)22，∴f′（x）＝222（2）

当x<－1或x>1时f′（x）>0，当－1

【注】本题从逆向思维的角度出发，根据题设结构进行逆向联想，合理地实现了问题的转化，使抽象的问题具体化，在转化的过程中充分运用了已知条件确定了解题的大方向．

［例5］证明方程sinx＝2x只有一个实根：x＝0．

【证明】构造函数f（x）＝2x－sinx，x∈（－∞，＋∞）．

∵f′（x）＝2－cosx>0，∴f（x）在（－∞，＋∞）上是增函数． 由①、②、③解得：

a1,b0,c3a12,b0,c3又当x＝0时，f（x）＝0，∴方程2x＝sinx有惟一实根x＝0． 【注】本题体现了函数思想的应用．

【达标训练】

1．函数y＝（x2－1）3＋1在x＝－1处（）A．有极大值

B．有极小值 C．无极值

D．无法确定极值情况

22【解析】∵y′＝3（x－1）·2x，令y′＝0，得：x＝0或x＝1或x＝－1，但当x∈（－∞，－1）时，y′<0，当x∈（－1，0）时，y′<0，因此当x＝－1时无极值．

【答案】C 2．设y＝（2x＋a）2，且y′（2）＝20，则a等于（）A．－1 B．1

C．0

D．任意实数 【解析】∵y′＝4（2x＋a），∵y′|x＝2＝20，∴a＝1． 【答案】B 3．函数y＝sin2x－x，x∈

[,22上的最大值是___________，最小值是_________．

32]【解析】∵y′＝2cos2x－1＝0，∴x＝±6

f(而端点6)326,f(6)6 ,f(2),f()222

所以y的最大值是2，最小值是－2．

【答案】2 －2

4．如果函数f（x）＝ax3－x2＋x－５在（－∞，＋∞）上单调递增，则a__________． 【解析】∵y′＝3ax2－2x＋1＞0

1∴a＞0且Δ＝4－12a＜0，即a＞3．

1【答案】＞3

5．求证：当|x|≤2时，|3x－x3|≤2． 【证明】设f（x）＝3x－x3

22f′（x）＝3－3x＝3（1－x）当x＝±1时，f′（x）＝0 当x＜－1时，f′（x）＜0 当－1

16．设f（x）＝x－2x－2x＋５

（1）求函数f（x）的单调递增、递减区间；

（2）当x∈［－1，2］时，f（x）＜m恒成立，求实数m的取值范围．

322【解析】（1）令f′（x）＝3x2－x－2＞0，得x＜－3或x＞1．

22∴函数的单调增区间为（－∞，－3）、（1，＋∞），单调减区间为（－3，1）（2）原命题等价于f（x）在［－1，2］上的最大值小于m．

2由f′（x）＝0，得x＝－3或1，2327又f（2）＝7 ∴m＞［f（x）］max＝7．

27．求函数y＝xlnx的极值． f(1)11,f(2)522,f(1)72，1【解析】定义域D：（0，＋∞），y′＝2xlnx＋x·x＝x（2lnx＋1）．

212121212令y′＝0，得：x＝e时，y′>0，12，当0e∴y在（e12，＋∞）上是增函数．

1211∴x＝e时，y有极小值（e）2（－2）＝－2e．

【解题指导】

掌握求给定函数的单调区间、极值、最值的一般方法，会求已知曲线在指定点处的切线的斜率．

【拓展练习】 备选题

1．求y＝excosx的极值．

【解】y′＝ex（cosx－sinx），令y′＝0，即cosx－sinx＝0，得x＝2kπ＋4或x＝52kπ＋4π，k∈Z．

35当x∈（2kπ＋4，2kπ＋4π）（k∈Z）时，y′<0，f（x）为减函数；当x∈（2kπ－4π，2kπ＋4），k∈Z时，y′>0，f（x）为增函数，因此，当x＝2kπ＋4（k2∈Z）时，y有极大值2·e2k4（k∈Z）．

52当x＝2kπ＋4π（k∈Z）时，y有极小值－2·e（k∈Z）．

322．已知f（x）＝2x－6x＋m（m为常数），在［－2，2］上有最大值3，那么此函数在［－2，2］上的最小值为（）

A．－37

B．－29 C．－5

D．－11

2【解析】∵f′（x）＝6x－12x＝6x（x－2），由f′（x）＝0，得x＝0或2．

∵f（0）＝m，f（2）＝－8＋m，f（－2）＝－40＋m，有f（0）>f（2）>f（－2）∴m＝3，最小值为f（－2）＝－37． 【答案】A 3．函数y＝3x2－2lnx的单调增区间为_____；减区间为_____． 【解析】函数的定义域为：（0，＋∞）

42k52300，得x>3，∴单调增区间为（3，＋∞），由y′<0，得

3∴单调减区间为（0，3）．

33【答案】（3，＋∞）（0，3）

4．求曲线y＝4－x2（x>0）上与定点P（0，2）距离最近的点． 【解】设曲线y＝4－x2上任意一点为Q（x，y），则

4|PQ|＝

2423设f（x）＝|PQ|＝x－3x＋4，则f′（x）＝4x－6x＝2x（2x2－3）(x0)(y2)22x2(2x)22x43x23令f′（x）＝0，∵x>0，∴x＝

32，又当0

32时取极小值，因为f（x）只有一个极3当x>2时，f′（x）>0，∴f（x）在x＝

35,值点，因此该极小值也是最小值，相应地|PQ|也取得最小值，这时Q点坐标为（22），35,22）即与点P（0，2）最近的点是Q（．

注：如果函数f（x）在给定区间内只有一个极值点（单峰函数），那么极小值即为最小值，极大值即为最大值．

学科：数学 教学内容：导数的应用

（二）【学习目标】

利用导数求解一些实际问题的最大值和最小值，培养学生分析问题、解决问题的能力．

【高考试题剖析】

x1）的单调性是______________．

lgelgex2(1xx)(1)222xx11x 【解析】y′＝xx1lge021x，所以f（x）在R上是增函数． 1．函数f（x）＝lg（x＋【答案】增函数

212．已知一直线切曲线y＝10x于x＝2，且交此曲线于另一点，则此点坐标___________．

313【解析】∵k＝y′｜x＝2＝（10x）′｜x＝2＝1.2 又切点为（2，0.8），切线方程为6x－5y－8＝0

x2x4,联立解得y0.8y6.4 所以另一交点为（－4，－6.4）． 【答案】（－4，－6.4）

3．等边三角形当高为8 cm时，其面积对高的改变率是__________． 13xy106x5y801【解析】∵S＝162163h2，∴S′＝3h ∴S′|h＝8＝3

【答案】3

4．函数y＝x3＋3x2－24x＋12的极小值是_____．

【解析】∵y′＝3x2＋6x－24＝3（x2＋2x－8）＝3（x＋4）（x－2）令y′＝0，得x＝－4或x＝2，检验知：当x＝2时，y取极小值－16． 【答案】－16

【典型例题精讲】

1［例1］当x＞0时，证明ln（1＋x）＞x－2x．

21【证明】设f（x）＝ln（1＋x）＋2x2－x，其定义域为（－1，＋∞），1x1f′（x）＝x1

∴f（x）在（－1，＋∞）上是增函数

由增函数定义知：当x＞0时，f（x）＞f（0）＝0 1即ln（1＋x）＋2x2－x＞0 x1x201所以当x＞0时，ln（1＋x）＞x－2x．

［例2］设f（x）＝ax3＋x恰有三个单调区间，试确定实数a的取值范围，并求出这三个单调区间．

2【解】∵f′（x）＝3ax＋1，若a>0，则f′（x）>0，x∈（－∞，＋∞），此时f（x）只有一个单调区间，矛盾；若a＝0，则f′（x）＝1>0，此时f（x）仍只有一个单调区间．

2(x若a<0，f′（x）＝3a·

13a)(x113a，综上可知a<0时，f（x）恰有

113a，＋∞），增区间为（－

3a)三个单调区间，其中减区间为（－∞，－

3a）和（，13a）．

［例3］用总长14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制容器的底面的一边比另一边长0.5 m，那么高为多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积? 【解】设容器底面短边长为x m，则另一边长为（x＋0.5）m，高为（3.2－2x）m，由3.2－2x＞0，x＞0，得0＜x＜1.6 设容器的容积为y m3，则有y＝x（x＋0.5）（3.2－2x）（0＜x＜1.6)

整理y＝－2x3＋2.2x2＋1.6x ∴y′＝－6x2＋4.4x＋1.6

4令y′＝0 ∴x1＝1，x2＝－15（舍去）．

从而，在定义域（0，1.6）内只有在x＝1处使y′＝0，由题意，若x过小（接近0）或过大（接近1.6）时，y值很小（接近0），因此，当x＝1时，ymax＝1.8，此时高1.2 m．

3【答】容器的高为1.2 m时容积最大，最大容积为1.8 m． ［例4］一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为每小时10公里时燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问此轮船以何种速度航行时，能使行驶每公里的费用总和最小？

33【解】设船速为x（x>0）公里/小时，燃料费是Q元，则Q＝kx，由6＝k·10得：k3＝500，331∴Q＝500x3，总费用y＝（500x2＋96）·x3500x2966x，∵y′＝500x96x，2令

y′＝0，得x＝20，由于该函数在（0，＋∞）内有惟一的极值点是极小值点，所以该极小值是最小值．因此，当船速为20公里/小时时，航行每公里的费用总和最小．

［例5］直线y＝a与函数f（x）＝x3－3x的图象有相异三个交点，求a的取值范围．

2【解】∵f′（x）＝3x－3＝3（x－1）（x＋1），由f′（x）>0得单调增区间为（－∞，－1），（1，＋∞），由 f′（x）<0得单调减区间为（－1，＋1），检验知x＝1时，f（1）＝－2是极小值，当x＝－1时，f（－1）＝2是极大值，结合图象知：

当－2

【达标训练】

1．证明双曲线xy＝a2上任意一点的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为定值．

a2【证明】设y＝x上任一点为Q（x0，y0），则

ky|xx0ax22|xx0a22x0，∴切a22线方程为：y－y0＝－x0（x－x0）

令y＝0，则xx0y0x0a22x0ax0a2222x0

yy0令x＝0，则

a2x02

x0y0ax02a2x0

1∴S＝2|x|·|y|＝2a（定值）

22．当0

【证明】令f（x）＝x－sinx，则当0＜x＜2时，f′（x）＝1－cosx＞0 ∴f（x）在（0，2）上单调增加，而f（0）＝0，∴当0＜x＜2时，f（x）＞0，即x＞sinx

222令ｇ（x）＝sinx－x，∴ｇ′（x）＝cosx－

当0＜x＜arccos时，ｇ′（x）＞0，则ｇ（x）单调增加；

2＝0

当arccos＜x＜2时，ｇ′（x）＜0，则ｇ（x）单调减小，而f（0）＝f（2）2∴当0＜x＜2时，ｇ（x）＞0，即sinx＞x．

2综上，当0＜x＜2时，x＜sinx＜x．

3．如图11—1，扇形AOB中，半径OA＝1，∠AOB＝2，在OA的延长线上有一动点C，过C作CD与相切于点E，且与过点B所作的OB的垂线交于点D，当点C在什么位置时，直角梯形OCDB面积最小？

【解】设OC＝x（x＞0），过D作DF⊥OA于F，可知OE＝DF △OEC≌△DFC

22∴DC＝OC＝x，∴x＝1＋（x－BD）∴BD＝x－

x1

1221∴S＝2（BD＋OC）·OB＝2（2x－x1）

x2∴S′＝1－2x1＝0，∴x＝23

2所以当OC＝3时，直角梯形OCDB面积最小．

4．如图11—2，两个工厂A、B相距0.6 km，变电站C距A、B都是0.5 km．计划铺设动力线，先求C沿AB的垂线至D，再与A、B相连，D点选在何处时，动力线最短？

【解】设CD⊥AB，垂足为E，DE的长为x km．

由AB＝0.6，AC＝BC＝0.5得CE＝0.50.3＝0.4，CD＝0.4－x AD＝BD＝x0.3动力线总长l＝22222x0.3＋0.4－x

2x222212x2x0.3x0.3222l′＝（2x0.3＋0.4－x）′＝2·2x0.33．

令l′＝0，得x＝10≈0.17，由于该函数只有这一个极值点．因此它是最小值点． 【答】D点选在距AB0.17 km处时，动力线最短．

【解题指导】

应用导数解决实际问题，关键是要建立恰当的数学模型（函数关系）．如果函数在区间内只有一个点使f′（x）＝0的情形，此时函数在此点有极大（小）值，那么不与端点比较，也可以知道这就是最大（小）值．

【拓展练习】 备选题

1．已知x、y为正实数，且满足关系式x2－2x＋4y2＝0，求x·y的最大值．

1【解法一】4y＝2x－x，∵y>0，∴y＝2

222xx2

x02x2xx2xx0∴xy＝2，由得0

122xx(32x)2(2xxx)22222xx22xx∵f′（x）＝

312令f′（x）＝0，得x＝2或x＝0（舍）

3333333检验知x＝2是极大值点，由极值点是惟一的，知当x＝2时，函数f（x）的最大值为f（2）＝8，即x·y的最大值为8．

2222【解法二】由x－2x＋4y＝0，得（x－1）＋4y＝1（x>0，y>0）

1设x－1＝cosα，y＝2sinα（0<α<π）

111111333∴xy＝2sinα（1＋cosα），设f（α）＝ 2sinα（1＋cosα）

则f′（α）＝ 2［sinα（－sinα）＋cosα（1＋cosα）］＝2（2cos2α＋cosα－1）＝（cosα＋1）·（cosα－2），令f′（α）＝0，得：cosα＝－1或cosα＝2

3338333∵0<α<π，∴α＝3，此时x＝2，y＝4，∴［f（α）］max＝8，即当x＝2，y＝4时［x·y］max＝8． 2．如图，一条河宽1千米，相距4千米（直线距离）的两座城市A和B分别位于河的两岸（城市A、B与岸边的距离忽略不计），现需铺设一条电缆连通城市A与B，已知地下电缆的修建费为2万元／千米，水下电缆的修建费为4万元／千米．假设两岸是平行直线，问应如何铺设电缆可使总费用最省?（153.813,f()3331.732，精确到百米、百元）

【解】过B作对岸所在直线的垂线，垂足记为O，设在到O距离为x km的点C，分别铺设BC、CA间的水下、地下电缆可使费用最省．则BC＝x1千米，AC＝AO－OC＝（15－x）千米，总费用为y，则y＝2（15－x）＋41x（0≤x≤15）

4x求导y′＝1x21－2，令y′＝0，∴x＝

1所以当x＝3＝0.6千米时，费用最省． x23．过曲线4＋y2＝1（x≥0，y≥0）上一点引切线分别与x轴正半轴和y轴正半轴交于A、B两点，求当线段|AB|最小时的切点坐标．

【解】设|AB|＝l，切点为P（x0，y0），则所求切线方程为：x0x＋4y0y－4＝0（x0>0，y0>0），1614122x0y0x0y02切线在x轴、y轴上的截距分别为、，∴l＝，∵P（x0，y0）在曲线上，∵y＝1x24，∴

y|xx0x04y0x02∴y02＝1－4，16422x04x02∴l＝（0

16令Y＝l＝2x0244x0232x（0

2226当Y′＝0时，有x0＝得极小值，也是最小值．

3，在（0，2）内Y只有一个极值点，检验知，在这点Y取26∴当x0＝

3时，l2取得最小值9，∴l的最小值为3，此时，y0＝3，切点为326（3,33）．