余弦定理定义及公式

第一篇：余弦定理定义及公式

余弦定理定义及公式 余弦定理，是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理。是勾股定理在一般三角形情形下的推广。a²=b²+c²-2bccosA

余弦定理证明

如上图所示，△ABC，在c上做高，根据射影定理，可得到：

将等式同乘以c得到：

运用同样的方式可以得到：

将两式相加：

向量证明

正弦定理和余弦定理 正弦定理

a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（1）已知三角形的两角与一边，解三角形

（2）已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形

（3）运用a：b：c=sinA：sinB：sinC解决角之间的转换关系 直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦。

余弦定理

是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。

直角三角形的一个锐角的邻边和斜边的比值叫这个锐角的余弦值 正弦定理的变形 1、2、（条件同上）

在一个三角形中，各边与其所对角的正弦的比相等，且该比值都等于该三角形外接圆的直径。已知三角形是确定的，利用正弦定理解三角形时，其解是唯一的；已知三角形的两边和其中一边的对角，由于该三角形具有不稳定性，所以其解不确定，可结合平面几何作图的方法及“大边对大角，大角对大边”定理和三角形内角和定理去考虑解决问题

3、相关结论:

正弦定理的证明 显然，只需证明任意三角形内，任一角的边与它所对应的正弦之比值为该三角形外接圆直径即可。

现将△ABC，做其外接圆，设圆心为O。我们考虑∠C及其对边AB。设AB长度为c。

若∠C为直角，则AB就是⊙O的直径，即c = 2R。

若∠C为锐角或钝角，过B作直径BD交⊙O于D，连接DA，显然BD=2R。∵在同圆或等圆中直径所对的圆周角是直角。∴∠DAB是直角。

若∠C为锐角，则D与C落于AB的同侧，此时 ∵在同圆或等圆中同弧所对的圆周角相等。

若∠C为钝角，则D与C落于AB的异侧，此时∠D=180°-∠C，亦可推出

在△DAB中，应用正弦函数定义，知

因此，对任意三角形的任一角及其对边，均有上述结论。

考虑同一个三角形内的三个角及三条边，应用上述结果。可得

故对任意三角形，定理得证。

正弦定理意义

正弦定理指出了任意三角形中三条边与对应角的正弦值之间的一个关系式。由正弦定理在区间上的单调性可知，正弦定理非常好地描述了任意三角形中边与角的一种数量关系。

一般地，把三角形的三个角A、B、C和它们的对边a、b、c叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。

第二篇：余弦定理公式的含义及其证明

余弦定理公式的含义及其证明

少三(2)宋伊辰

在做参考书的时候，我有时会遇到“已知一个一般三角形的两边长及其夹角的度数，要求第三边长度”的情况。与直角三角形不同，这时直接求第三边长显得有些困难，往往要花很大力气。那么，有没有什么方法可以直接求解呢？ 我向爸爸提出了我的疑问。“可以用余弦定理求啊。”他回答道。

“余弦定理是什么？”怀着满腹的疑问，我开始上网搜寻答案。余弦定理，是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理，是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题。

如左图所示，在△ABC中，余弦定理可表示为：

同理，也可描述为：

那么，我们又如何证明余弦定理的成立呢？我又对此展开了探究。法一（代数证明）： 如右图所示，△ABC，在c上做高，将c边写作：

将等式两边同乘以c得到：

同理，① ②

①+②得： 法二（运用相交弦定理证明）：

如图，在三角形ABC中，∠A=α，AB=a，BC=b，AC=c以B 为圆心，以长边AB为半径做圆（这里要用长边的道理在于，这样能保证C点在圆内）。

延长BC，交⊙B于点D和E

∴DC=a-b，CE=a+b，AC=c ∵AG=2acosα ∴CG=2acosα-c。

∵DC×CE=AC×CG

∴(a-b)(a+b)=c(2acosα-c)

化简得：b2a2c22ac(cosα)，法三（平面几何）：

在△ABC中，已知AC=b，BC=a，∠C=γ，求c。过点A作AD⊥BC于D，∴AD=AC·sinγ=b·sinγ，CD=AC·cosγ=b·cosγ ∴BD=BC-CD=a-b·cosγ 在Rt△ABD中，∠ADB=90°

∴AB2AD2BD2（b·sinγ)2+（a-b·cosγ)

2﹦ab2abcosγ

法四(解析几何)：

以点C为原点O，AC为x轴，建立如右图所示的平面直角坐标系。

在△ABC中，AC=b，CB=a，AB=c，则A，B，C点的坐标分别为A(b，0)，B(acosC，asinC)，C(0，0)． |AB|2(acosCb)2(asinC0)2

222 acos2C2abcosCbasin2C

22A B D C

ab2abcosC 即cab2abcosC

经过一番思考和尝试，我成功地运用多种方法证明了余弦定理公式。那么，这个公式在实际的题目当中有什么应用呢？ 网上的资料给了我答案。

余弦定理可应用于以下两种需求：

1、当已知三角形的两边及其夹角，可由余弦定理得出已知角的对边。

2、当已知三角形的三边，可以由余弦定理得到三角形的三个内角。余弦定理还可以变换成以下形式： 22222b2c2a2 abc2bccosA

cosA2bc22c2a2b2 bca2accosB

cosB2ca22a2b2c2 cab2abcosC

cosC2ab22由此看来，余弦定理是一个简洁却实用的公式。它是勾股定理在一般三角形情形下的推广，应用也更广泛。余弦定理是高中数学中的一条基本定理，但它却在平面几何，立体几何，平面三角形解析等领域中发挥着巨大的作用。

第三篇：余弦定理说课稿

1.1.2 余弦定理说课

尊敬的各位评委、老师，大家好！

今天我说课的题目是：余弦定理，下面我将从教材分析，教学目标，教学重难点，教法学法、教学过程、教学反思等方面对本课题进行分析说明。

一、教材分析

1、教材的地位和作用

余弦定理是人教版普通高中课程标准实验教科书第一章第一节的内容，在此之前学生已经学习过了勾股定理、平面向量、正弦定理等相关知识，这为过渡到本节内容的学习起着铺垫作用。本节内容实质是学生已经学习的勾股定理的延伸和推广，它描述了三角形重要的边角关系，将三角形的“边”与“角”有机的联系起来，实现边角关系的互化，为解决斜三角形中的边角求解问题提供了一个重要的工具，同时也为在日后学习中判断三角形形状，证明三角形有关的等式与不等式提供了重要的依据.二、学情分析

基于高二学生的理解能力、思维特征和生理特征，在课堂教学中，一方面要充分利用多媒体，引发学生的兴趣，使他们的注意力始终集中在课堂上；另一方面要创造条件和机会，让学生发表见解，发挥学生学习的主动性。

三、教学目标

基于以上对教材的认识，考虑到学生已有的认知结构和心理特征，我认为本节课的教学目标有：

1.知识与技能：熟练掌握余弦定理的内容及公式，能初步应用余弦定理解决一些有关三角形边角计算的问题；

2.过程与方法:掌握余弦定理的两种证明方法，通过探究余弦定理的过程学会分析问题从特殊到一般的过程与方法，提高运用已有知识分析、解决问题的能力；

3.情感态度与价值观：在探究余弦定理的过程中培养学生探索精神和创新意识，形成严谨的数学思维方式，培养用数学观点解决问题的能力和意识.四、教学重难点

1、教学重点：余弦定理的内容和公式的掌握，余弦定理在三角形边角计算中的运用；

2、教学难点：余弦定理的发现及证明；

五、教学过程

为达到本节课的教学目标、突出重点、突破难点，在教材分析、确定教学目标和合理选择教法与学法的基础上，我把教学过程设计为以下四个阶段：创设情境、引入课题；探索研究、构建新知；例题讲解、巩固练习；课堂小结，布置作业。具体过程如下：

1.创设情境，引入课题 利用多媒体引出如下问题：

A地和B地之间隔着一个水塘（如图所示）现选择一地点C，可以测得∠C的大小及BC=，AC=，求 A、B两地之间的距离c.【设计意图】由于学生刚学过正弦定理，一定会采用刚学的知识解题，但 由于无法找到一组已知的边及其所对角，从而产生疑惑，激发学生探索欲望.2.探索研究、构建新知

(1)由于初中接触的是解直角三角形的问题，所以我将先带领学生从特殊情况△ABC为直角三角形（∠C=90°）时考虑。此时使用勾股定理，得c2=a2+b2.(2)从直角三角形这一特殊情况出发，引导学生在一般三角形中构造直角即作BC边的高AD，从而在构造的直角三角形中利用勾股定理列出边之间的等式关系.(3)考虑到我们所作的图为锐角三角形，讨论上述结论能否推广到△AB为钝角三角形（∠C>90°）中.通过解决问题可以得到在任意三角形中都有c2=a2+b2-2ab cosC，之后让同学们类比出a2、b2.这样我就完成了对余弦定理的引入，之后总结给出余弦定理的内容及公式表示.【设计意图】通过创设情景、引导学生探究出余弦定理这一数学体验，既可以培养学生分析问题的能力，也可以加深学生对余弦定理的认识.在学生已学习了向量的基础上，考虑到新课改中要求使用新工具、新方法，我会引导同学类比向量法证明正弦定理的过程尝试使用向量的方法证明余弦定理.之后引导学生对余弦定理公式进行变形，用三边值来表示角的余弦值，给出余弦定理的第二种表示形式，这样就完成了新知的构建.根据余弦定理的两种形式，我们可以利用余弦定理解决以下两类解斜三角形的问题：(1)已知三边，求三个角；

(2)已知三角形两边及其夹角，求第三边和其他两个角.3.例题讲解、巩固练习

本阶段的教学主要是通过对例题和练习的思考交流、分析讲解以及反思小结，使学生初步掌握使用余弦定理解决问题的方法。其中例题先以学生自己思考解题为主，教师点评后再规范解题步骤及板书，课堂练习请同学们自主完成，并请同学上黑板板书，从而巩固余弦定理的运用.例题讲解：

例1 在中，(1)已知b=3,c=1,A=60°,求a;(2)已知a=4,b=5,c=6，求A.【设计意图】例题1分别是通过已知三角形两边及其夹角求第三边，已知三角形三边求其夹角，这样余弦定理的两个形式分别得到了运用，进而巩固了学生对余弦定理的运用.例2 对于例题1(2)，求,BC的大小.【设计意图】已经求出了A的度数，学生可能会有两种解法：运用正弦定理或运用余弦定理，比较正弦定理和余弦定理，发现使用余弦定理求解角的问题可以避免解的取舍问题.例3 使用余弦定理证明：在中，当C为锐角时，a2+b2>c2；当C为钝角时，a2+b2

练习1 在中，(1)已知b=4,c=7,A=60°,求a;(2)已知a=7,b=5,c=3，求A.【设计意图】检验学生是否掌握余弦定理的两个形式，巩固学生对余弦定理的运用.练习2 若三条线段长分别为5，6，7，则用这三条线段（）.A．能组成直角三角形

B.能组成锐角三角形

C.能组成钝角三角形

D.不能组成三角形

【设计意图】与例题3相呼应.练习3 在 △ABC中，a2+b2+ab=c2，试求C的大小.【设计意图】要求灵活使用公式，对公式进行变形.4．课堂小结，布置作业

先请同学对本节课所学内容进行小结，教师再对以下三个方面进行总结：

(1)余弦定理的内容和公式；

(2)余弦定理实质上是勾股定理的推广；

(3)余弦定理的可以解决的两类解斜三角形的问题.通过师生的共同小结，发挥学生的主体作用，有利于学生巩固所学知识，也能培养学生的归纳和概括能力.布置作业

必做题：习题1.2 1、2、3、5、6； 选做题：习题1.2 12、13.【设计意图】作业分为必做题和选做题.针对学生素质的差异进行分层训练，既使学生掌握基础知识，又使学有余力的学生有所提高.各位老师，以上所说只是我预设的一种方案，但课堂是千变万化的，会随着学生和教师的临时发挥而随机生成.预设效果如何，最终还有待于课堂教学实践的检验.本说课一定存在诸多不足，恳请老师提出宝贵意见，谢谢.

第四篇：余弦定理说课稿（范文模版）

余弦定理说课稿

教材分析：（说教材）。

<<正弦定理、余弦定理>>是全日制普通高级中学教科书（必修）数学第一册(下)中第五章平面向量第二部分解斜三角形的一个重要定理。这堂课，我并不是将余弦定理全盘呈现给学生，而是从实际问题的求解困难，造成学生认知上的冲突，从而激发学生探索新知识的强烈欲望。

另外，本节与教材其他课文共性是，都要掌握定理内容及证明方法，会解决相关的问题。

下面说一说我的教学思路。

教学目的：通过对教材的分析钻研制定了教学目的：

1．掌握余弦定理的内容及证明余弦定理的向量方法，会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。2.培养学生在方程思想指导下解三角形问题的运算能力。3.培养学生合情推理探索数学规律的思维能力。

4.通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识的联系理解事物之间普遍联系与辩证统一。

教学重点：余弦定理揭示了任意三角形边角之间的客观规律，是解三角形的重要工具。余弦定理是初中学习的勾股定理同角的拓广，也是前阶段学习的三角函数知识与平面向量知识在三角形中的交汇应用。本节课的重点内容是余弦定理的发现和证明过程及基本应用，其中发现余弦定理的过程是检验和训练学生思维品质的重要素材。教学难点：

余弦定理是勾股定理的推广形式，勾股定理是余弦定理的特殊情形，勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中，起到奠基作用，因此分析勾股定理的结构特征是突破发现余弦定理这个难点的关键。教学方法：

在确定教学方法之前，首先分析一下学生：我所教的是课改一年级的学生。他们的基础比正常高中的学生要差许多，拿其中一班学生来说：数学入学成绩及格的占50%左右，相对来说教材难度较大，要求教师吃透教材，选择恰当的教学方法和教学手段把知识传授给学生。

根据教材和学生实际，本节主要采用“启发式教学”、“讲授法”、“演示法”，并采用电教手段使用多媒体辅助教学。

1.启发式教学：

利用一个工程问题创设情景，启发学生对问题进行思考。在研究过程中，激发学生探索新知识的强烈欲望。2.练习法：通过练习题的训练，让学生从多角度对所学定理进行认识，反复的练习，体现学生的主体作用。3.讲授法：充分发挥主导作用，引导学生学习。

这节课准备的器材有：计算机、大屏幕。教学程序：

1.复习正弦定理（2分钟）：安排一名同学上黑板写正弦定理。

2.设计精彩的新课导入（5分钟）：利用大屏幕演示一座山，先展示，后出现B、C，再连成虚线，并闪动几下，闪动边AB、AC几下，再闪动角A的阴影几下，可测得AC、AB的长及∠A大小.问你知道工程技术人员是怎样计算出来的吗？

一下子，学生的注意力全被调动起来，学生一定会采用正弦定理，但很快发现∠B、∠C不能确定，陷入困境当中。

3.探索研究，合理猜想。

当AB=c,AC=b一定,∠A变化时,a可以认为是A的函数,a=f(A),A∈(0,∏)

比较三种情况,学生会很快找到其中规律.-2ab的系数-1、0、1与A=0、∏/

2、∏之间存在对应关系.教师指导学生由特殊到一般，经比较分析特例，概括出余弦定理，这种促使学生主动参与知识形成过程的教学方法，既符合学生学习的认知规律，又突出了学生的主体地位。“授人以鱼”，不如“授人以渔”，引导学生发现问题，探究知识，建构知识，对学生来说，既是对数学研究活动的一种体验，又是掌握一种终身受用的治学方法。4.证明猜想，建构新知

接下来就是水到渠成，现在余弦定理还需要进一步证明，要符合数学的严密逻辑推理，锻炼学生自己写出定理证明的已知条件和结论，请一位学生到黑板写出来，并请同学们自己进行证明。教师在课中进行指导，针对出现的问题，结合大屏幕打出的正确过程进行讲解。

在大屏幕打出余弦定理，为了促进学生记忆，在黑板上让学生背着写出定理，也是当堂巩固定理的方法。5.操作演练，巩固提高。

定理的应用是本节的重点之一。我分析题目，请同学们进行解答，在难点处进行点拨。以第二题为例，在求A的过程中学生会产生分歧，一部分采用正弦定理，一部分采用余弦定理，其实两种做法都可得到正确答案，形成解法一和解法二。在这道例题中进行发散思维的训练，（在上例中，能否既不使用余弦定理，也不使用正弦定理，求出∠A？）

启发一:a视为B与C两点间的距离，利用B、C的坐标构造含A的等式

启发二：利用平移，用两种方法求出C’点的坐标，构造等式。使学生的思维活跃，渐入新的境界。每次启发，或是针对一般原则的提示，或是在学生出现思维盲点处点拨，或是学生“简单一跳未摘到果子”时的及时提醒。

6．课堂小结：

告诉学生余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例。

7.布置作业：书面作业 3道题

作业中注重余弦定理的应用，重点培养解决问题的能力。

第五篇：余弦定理学案

1.1正弦定理和余弦定理 

探究案

Ⅰ.质疑探究——质疑解惑、合作探究

探究一：课本中余弦定理是用（）法证明的，也就是说，在△ABC中，已知BC=a，AC=b及边BC，AC的夹角C，则=（），所以BA2=（）=（），即c=（）

探究二：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角

形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？

【归纳总结】

1.熟悉余弦定理的（），注意（）,（），（）等。

2.余弦定理是（）的推广，（）是余弦定理的特例.3.变形：（），（），（）。

3.余弦定理及其推论的基本作用为：

（1）

（2）

例1． 在△ABC中，已知a2，c62，B45，求b及A。

【规律方法总结】

1.当已知三角形的两边及其夹角三角形时，可选用（）求解。

2.在解三角形时，如果（）与（）均可选用时，那么 求边时（），求角是最好（）原因是（）

例2．（1）在△ABC中，已知a42,b4,c2(62)，解三角形。

（2）在△ABC中，已知a:b:c2::31，求△ABC的各角。

【拓展提升】 在△ABC中，已知sinA:sinB:sinC3:2:4，判断△ABC 的形状。

2例3．在ABC中，a、b、c分别是A，B，C的对边长。已知bac，且2

a2c2acbc，求A的大小及bsinB的值。c

课后作业

基础巩固-----------把简单的事情做好就叫不简单！

1.在△ABC中，已知a2,b2,c31，则A等于（）

A．30B.135C.45D.120

2.在△ABC中，已知abcbc，则A为（）

A．22222B.C.D.或 3336

33.若三条线段的长分别为5、6、7，则用这三条线段（）

A．能组成直角三角形B.能组成锐角三角形C.能组成钝角三角形

D．不能组成三角形

4.已知△ABC中，a=6 ,b=3 ,C=2，c=

35.(2012,福建理)已知△ABC的三边长分别是2x,2x,22x（x>0）,则其最大角的余弦值

6.（2012，北京理）在△ABC中，若a2,bc7,cosB

综合应用--------------挑战高手，我能行！

7.在不等边三角形ABC中，a是最大边，若acb，则A的取值范（）

A．90A180B.45A90C.60A90 B.0A90

8.在△ABC中,已知a+b+c=2c(a+b),则角C=

9.若△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足(ab)c4且C=

值为

拓展探究题------------战胜自我，成就自我10.在△ABC中，已知a=2，b=2,（a+b+c）(b+c-a)=(22)bc，解三角形。

11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，tanC

（1）求cosC； 224442221,则b=4222，则ab的35CA，且ab9，求c．（2）若CB

2课后检测案

1.△ABC中，若AB5，AC3，BC7，则A 的大小为（）

A．150 B．120C．60D．30

22.在△ABC中，若c

A.60°a2b2ab，则∠C=（）C.150°D.120°B.90°

3.在△ABC中,若a=7,b=8,cosC=13/14,则最大角的余弦为()1111B.C.D. 5678

4.边长为5,7,8的三角形的最大角的余弦是（）.A.A．11111B．C．D．714147

ab，cosBcosA5.在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若

则ABC的形状一定是（）

A．等腰三角形B．直角三角形

C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形

6.已知ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且a2,b3,cosB则sinA 的值为． 4，512,13cosA7.已知△ABC的面积是30，内角A、B、C所对边分别为a、b、c，若cb1，则a的值是.8.在△ABC中,若(a+c-b)tanB = 3ac,则角B的值为。2229.在ABC中，若cosBb cosC2ac

（1）求角B的大小

（2）若bac4，求ABC的面积

10.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC3acosBccosB.（1）求cosB的值；

（2）若2，且b22，求a和c的值.