等差数列的定义与通项公式教案（模版）

第一篇：等差数列的定义与通项公式教案（模版）

等差数列的定义与通项公式

一．教学目标

（1）知识与技能：

正确理解等差数列的概念；初步掌握等差数列的通项公式，并会简单应用。

（2）过程与方法

通过对等差数列概念和通项公式的探究，培养学生观察、归纳、类比、猜想、推理等发现规律的一般方法，通过阶梯性练习，提高学生的分析问题和解决问题的能力。

（3）情感、态度与价值观

通过对等差数列概念和通项公式的探究，培养学生严谨求实的学习作风和锲而不舍的学习精神，养成细心观察、认真分析、善于总结的良好学习习惯。

(4)教学重点: 等差数列的定义、通项公式的探究

(5)教学难点

通项公式的推导、理解和灵活应用

二．知识复习

1.数列有几种表示方法？

2.数列的项与项数有什么关系？ 3函数与数列之间有什么关系？

三．教学过程

上两节课我们学习了数列的定义及给出数列和表示的数列的几种方法——列举法、通项公式、递推公式、图象法和前n项和公式这些方法从不同的角度反映数列的特点.1.创设情景

活动（1）：

请你将课前准备好的火柴摆成如图所的正方形，并将所用火柴的数目写成数列，并观察所得数列有何规律？

①②③n 规律：4，7，10，13，16，……

结论：从第2项起，每一项与前一项的差都等于4 活动（2）：

请你将课前准备好的棋子摆“上”字，并将所用棋子的数目写成数列，并观察所得数列有何规律？并说出得出的两个数列有什么共同点？

2.等差数列的定义



规律：6，10，14，18，…

结论：从第2项起，每一项与前一项的差都等于4 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母d”表示）⑴公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；（2）用递推公式如何表示？

anan1d(n2)或an1and(n1)

练习：请同学们判断下列数列是不是等差数列，若是，请求出公差

（1）4，5，6，7，8，10，11.（2）1，4，7，10，13，16，（3）7x，3x，-x，-5x，-9x，…（4）2，0，-2，-4，-6，…（5）5，5，5，5，5，5，…

3.等差数列的通项公式

（1）设台阶第一级高度为a1，每一级的高度为d，找出第n级an与n，a1，d之间的关系？

a2a1da3a2d(a1d)da12da4a3d(a12d)da13dLL ana1(n1)d这是不完全归纳法得到等差数列的通项公式（2）迭加法：

a2a1d，a3a2d，a4a3d

…

anan1d

将上面n-1个式子相加得：

ana1(n1)d

（3）迭代法：

留给同学们小组合作解决

4.例题互析：

例1:求等差数列8，5，2，…的通项公式与第20项。

例2: 等差数列－5，－9，－13，…第几项是－401？

例3 小明、小明的爸爸和小明的爷爷三个人在年龄恰好构成一个等差数列,他们三人的年龄之和为120岁,爷爷的年龄比小明年龄的4倍还多5岁,求他们祖孙三人的年龄.5.探究等差数列与一次函数的关系

分别在直角坐标内描出数列的图像

（1）数列：-2，0，2，4，6，8，10，…

（2）数列：7，4，1，-2，…

（3）数列：4，4，4，4，4，4，4，…

总结：等差数列的图象为相应直线上的点。6.达标检测：

（1）求等差数列1，4，7，10，…的第10项。

（2）在等差数列{an}中，已知a1=1，a20=－37，求公差 d。

（3）在等差数列{an}中，已知a1=1，公差 d= －2 ,则－397是该数列的第几项？

（4）在等差数列{an}中，已知d=－2，a12=－21，求a1 7.知识小结

一个定义： an+1-an=d（d是常数，n∈N+）

一个公式：an=a1+(n-1)d 三种思想：方程思想

函数思想

数形结合思想 三种方法：迭加法

迭代法

不完全归纳法

8.课后作业：

（1）课本练习题A组第1、2题

（2）选做题B组3、4

（3）寻找生活中等差数列的实例.

第二篇：等差数列的前n项和公式教案

2.3等差数列的前n项和公式（教案）

一．教学目标：

1.知识与技能目标

了解等差数列前n项和公式，理解等差数列前n项和公式的几何意义，并且能够灵活运用其求和。2.过程与方法目标

学生经历公式的推导过程，体验从特殊到一般的研究方法。

3.情感态度与价值观目标

学生获得发现的成就感，优化思维品质，提高代数的推导能力。

二．教学重难点：

1.重点：等差数列前n项和公式的推导，掌握及灵活运用。2.难点：诱导学生用“倒序相加法”求等差数列前n项和。

三．教法与学法分析：

1.教法分析：采用“诱导启发，自主探究式”学法为主，讲练结合为辅的教学方法。

2.学法分析：采用“自主探究式学习法”和“主动学习法”。

四．课时安排：

1个课时 五．教学过程

（一）导入

我们已经学过等差数列的定义an+1-an=d(n属于正整数)，等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d，等差数列的等差中项2an=an-1+an+1，还有：若m+n=p+q,则am+an=ap+aq.我们应该怎样求a1+a2+„+an,其中{an}为等差数列，记Sn=a1+a2+„+an

我们知道200多年前高斯的老师给他们出了一道题目，让他们计算1+2+就算出来了„+100=？当时10岁的高斯很快。高斯是怎样做出来的呢？他使用了什么简单高明的方法？

1+2+„+100=(1+100)+（2+99）+„+(50+51)=50*101,所以1+2+„+100=5050，这就是著名的高斯算法，到后来，人们就从高斯算法中得到启发，求出了等差数列1+2+„+n的前n项和的算法

（二）探究新知，发现规律

从高斯算法中，人们怎样求出首项为1，公差为1的等差数列1+2+3+„+n的和? 首先1+2+„+n(1)n+(n-1)+„+1（2）

2Sn=(n+1)+(n+1)+„+(n+1)(n个（n+1）)所以 1+2+„+n=n*(n+1)/2 我们把上面的方法称为“倒序相加法”，也就是说高斯当时用的就是“倒序相加法”算出了1+2+„+100的和

然而这个方法可以推广到等差数列的前n项和 定义：一般地，我们把a1+a2+„+an叫做等差数列的前n项和，用Sn表示

即Sn=a1+a2+„+an

从高斯算法中得到的启示，对于一般的等差数列，其中a1是首项，d是公差，我们可以用两种方法来表示

Sn=a1+a2+„+an

=a1+(a1+d)+„++[ a1+(n-1)d](3)Sn=an+ an-1+„+a1

=an+(an-d)+„+[an-(n-1)d](4)两式相加得2Sn=(a1+an)+(a1+an)+„+(a1+an),有n个(a1+an）所以Sn=n(a1+an)/2(5)将an=a1+(n-1)d带入Sn=n(a1+an)/2中即可得到Sn=na1+n(n-1)d/2(6)(5)与(6)区别：第一个公式反映了等差数列的首项与末项之和跟第n项与倒数第n项之和是相等的；第二个公式反映了等差数列的首项与公差d之间的关系，而且是关于n的“二次函数”，可以与二次函数作比较。

联系：将an=a1+(n-1)d带入Sn=n(a1+an)/2中即可得到 Sn=na1+n(n-1)d/2

（三）知识应用，反思，提高强化知识

例1：已知等差数列{an}的通项公式an=2n+3,求Sn 解:因为an=2n+3

所以a1=5, 即Sn=n(a1+an)/2

=n^2+4n 例2：已知等差数列前10项的和是310，前20项的和是1220，求前n项和公式Sn 解：因为S10=10* a1+10*9*d/2=310

S20=20* a1+20*19*d/2=1220 所以Sn=n* a1+n(n-1)d/2

=4n+n(n-1)*6/2 =3n^2+n习题1：设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S9=72，求a2+a4+ a9=？

解：因为S9=9a1+8*9*d/2=9a1+36d=9(a1+4d)=72

所以a1+4d=8

又因为a2+a4+a9=a1+d+a1+2d+a1+8d

=3a1+12d =3(a1+4d)=3*8 =24

（四）归纳总结

对Sn=n(a1+an)/2 与 Sn=na1+n(n-1)d/2两个公式的熟练运用：注：已知条件不同时，公式的选择要依据已知条件，有利于很快的解决问题。

（五）作业布置

P45,1，2

第三篇：等比数列的通项公式(教案)

等比数列的通项公式（教案）

一、教学目标

1、掌握等比数列的通项公式，并能够用公式解决一些相关问题。

2、掌握由等比数列的通项公式推导出的相关结论。

二、教学重点、难点

各种结论的推导、理解、应用。

三、教学过程

1、导入

复习

等比数列的定义：

an1q nN* an*

通项公式：ana1qn1 nN

用归纳猜测的方法得到，用累积法证明



2、新知探索

例1 在等比数列an中，（1）已知a13,q2,求a6；

（2）已知a320,a6160,求an.，分析（1）根据等比数列的通项公式，得 a6a1q596（2）可以根据等比数列的通项公式列出一个二元一次方程组

2a15a3a1q20n1n

1解得

所以 aaq52n15q2a6a1q160问：上面的第（2）题中，可以不求a1而只需求得q就得到an吗? 分析 在归纳猜测等比数列的通项公式时，有这样一系列式子：

a2a1q,a3a2qa1q2,a4a3qa2q2a1q3，anan1qan2q2an3q3...a2qn2a1qn1

注意观察等式右边各项的下标与q的次方的和，可以发现，an的表达式中，始终满足

*anamqnm

n,mN

结论1

数列an是等比数列，则有anamqnm*

n,mN。

再来看一下例1中（2）的另一种解法：a6a3q3，所以q=2，所以ana1qn152n1习题2.3（1）P492、在等比数列an中，（1）已知a44,a9972,求an；

（2）已知a26,a6分析

（1）可以根据定义和结论1给出两种解法。

3a4a1q4方法一  8a9a1q97232,求an.27方法二 a9a4q5，所以q=3，所以ana4qn443n4。（2）a6a2q4，所以q2 322当q时,ana2qn26()n233

22当q时,ana2qn26()n233例2 在243和3中间插入3个数，使这5个数成等比数列。

分析

设此三个数为a2，a3，a4，公比为q，则由题意得243，a2，a3，a4，3成等比数列；

13243q4，所以得q

31当q时，a281，a327，a493

1当q时，a281，a327，a493故插入的三个数为81，27，9或-81，27，-9.问：观察一下例2中，当q时，这5个数分别为243，-81，27，-9，3，可以发现什么规律？

答：在等比数列中，当公比小于零时，数列中的奇数项同号，偶数项同号。习题2.3（1）P49

6、在等比数列an中，a10，a2a42a3a5a4a625，求a3a5的值。分析

13a3a4得a32a2a4，同理得a52a4a6 a2a3a10a30,a50a3a5022a2a42a3a5a4a6a32a3a5a5(a3a5)225

a3a55例3 已知等比数列an的通项公式为an32n，求首项和公比q.分析 a1326,a23212q2a22 a

1在例3中，等比数列的通项公式为an32n，是一个常数与指数式的乘积，因为数列是特殊的函数，故表示这个数列的各点(n,an)均在函数y32x的图像上。

问：如果一个数列an的通项公式为anaqn，其中a，q都是不为零的常数，那么这个数列一定是等比数列吗？

an1aqn分析

a1aq0，n1q，所以是等比数列。

anaq一般可以看作是等比数列通项公式的变形，ana1qn1a1na

qaqn，其中a1 qq结论2 等比数列an的通项公式均可写成anaqn（a，q为不等于零的常数）的形式。反之成立。

习题2.3（1）P495、在等比数列an中，22（1）a5a1a9是否成立？a5a3a7是否成立？ 2（2）anan2an2（n>2）是否成立？

（3）你能得到更一般的结论吗？

2分析

（1）a1a9a1a1q8(a1q4)2a5 2，所以成立。a3a7a1q2a1q6(a1q4)2a52（2）an2an2a1qn3a1qn1(a1qn1)2an，所以成立。

（3）从（1）（2）可以看出，等式两边各项的下表和相等，左边是同一项的平方，如果把左边换成两个不同项的乘积呢？

同时，类比等差数列中的一个结论：在等差数列an中，当m+n=p+q(m,n,p,q都是正整数)时，有amanapaq，可以猜测：在等比数列an中，当m+n=p+q(m,n,p,q都是正整数)时，有amanapaq.12证

amana1qm1a1qna1qmn2，apaqa1qp1a1qq1a12qpq2

所以amanapaq.结论3 在等比数列an中，当m+n=p+q(m,n,p,q都是正整数)时，有amanapaq.习题

在等比数列an中，a1，a99是方程x10x160的两个实根，求a40a60.2分析 可以利用结论3.因为a1，a99是方程x10x160的两个实根，所以可得a1a99=16，所以a40a60=a1a99=16.在结论3中，当m=n或p=q时，可以发现此项总是处于另两项的中间。结论

4若a，G，b成等比数列，则称G为a和b的等比中项，且Gab。习题2.3（1）P49

7、（1）求45和80的等比中项；

（2）已知两个数k+9和6-k的等比中项是2k，求k.分析

（1）设此等比中项是G，则G=4580=3600，所以G=60.（2）(2k)2(k9)(6k)，化简，得5k3k540，所以k222218或k3

5四、归纳总结

本节课的主要内容是由等比数列的通项公式引深而得到的几个结论，要求学生能牢记并灵活运用。

五、布置作业

做与本节课内容相关的练习册。

六、教学反思

本节课的内容都是由等比数列的通项公式推导而得到。在上课的时候，我先是把等比数列的通项公式推导一遍，再由相关的例题或习题引出相关的结论，在讲解中引导学生思考，充分发挥学生的主体作用，使学生能够与我产生互动，调节课堂气氛，使学生积极思考。在上课的过程中，有些地方因缺乏经验不能很好地连贯在一起，这在以后的讲课中要注意。

第四篇：等差数列前n项和公式说课稿

大家好！今天我说课的题目是《等差数列的前n项和》，所选用的教材为中等职业教育规划教材。

一、教材分析：

1、教材的地位和作用

《等差数列的前n项和》是第一册第五章第二节的内容，本节内容在日常生活中有着广泛的应用，同时与函数、三角、不等式等内容有着密切的联系。它既是等差数列的概念的延续，又为后续研究等差数列的应用提供理论依据。鉴于这种认识，我认为，本节课对于进一步探索、研究等比数列无论在知识上，还是方法上都有很强的启发与示范作用。

2、学情分析

学生在认知方面基本掌握等差数列的通项公式，初步具备运用所学知识解决问题的能力，但数形结合的意识和思维的深刻性需要进一步加强培养，多数学生有积极的学习态度，能主动参与探究，少数学生的主动性，还需要通过营造一定的学习氛围带动。

3、教学重难点

根据以上对教材的地位与作用，以及学情的分析，结合本节内容的特点，我将本节课的重点确定为：等差数列前n项和公式的理解、推导与应用；

难点确定为：获得等差数列前n项和公式推导的思路及公式的简单应用。

二、教学目标分析

在教学中应以知识与技能为主线，渗透情感态度价值观，并把前两者充分体现在过程与方法中。借此，我将三维目标进行整合，确定本节课的教学目标为：

1.掌握等差数列求和公式，能较熟练应用等差数列前n项和公式； 2.经历公式的推导，体会数形结合的思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思；

3.通过合作交流、主动探究，体会数学的合理性和严谨性，使学生养成积极思考、独立思考的习惯，培养学生团队合作的精神。

三、教学方法分析

学生是学习的主体，教师是学习的组织者，教学的一切活动都必须围绕学生展开。根据这一教学理念，本节课我采用引导发现法、问题驱动教学法，以问题的提出及解决为主线，倡导学生主动参与教学实践活动，以独立思考和相互交流的形式分析和解决问题，从真正意义上完成对知识的自我建构。

另外，在教学过程中，我采用多媒体辅助教学，以直观呈现教学素材，从而更好地激发学生的学习兴趣，增大教学容量，提高教学效率。

在学法方面，主要采用联系学习法，探究式学习法，自主性学习，真正体现学生为主体的教学理念。

四、教学过程分析

为有序、有效地进行教学，本节课我主要安排以下教学环节：(一）创设情境，提出问题

给出历史上有名的实例，提出问题，学生进行观察分析，进入思考状态。设计意图：以问题的形式创设情境，激发学生探究新知的欲望，为学习新内容做好准备。

（通过这一环节，学生已经产生强烈的求知欲望，此时将学生带入下一个环节。）

(二)探究讨论，发现问题（本节课的重点）

首先给出探索发现1，在教师的启发引导下，学生通过合作交流的方式，逐步明确解决问题的方法和思路。

设计意图：通过这一环节，让学生体会数形结合的数学思想，同时培养学生的探究及归纳能力。

接着给出探索发现2，由学生通过主动探究和合作交流的方式解决问题2，从而归纳整理出求和公式1。

设计意图：学生通过探索1的解决，已经积累了解决此类问题的经验，此时给出探索2，充分发掘学生的兴趣点，同时顺利解决问题。

最后给出探索发现3，此时提出问题3，学生结合前两个问题的解决方法，从而归纳出求和公式一和二。

设计意图：在本环节中采用问题驱动的教学方法，以循序渐进、层层深入的方式，运用特殊到一般的研究方法，降低了知识的梯度，从而突出重点。（通过前面的学习，学生已经基本把握了本节课所学习的内容，此时他们急于展示自我，体验成功，于是我把学生带入第三个阶段。）

（三）公式应用，加深理解

本环节主要是等差数列求和公式的应用，是本节课的难点。解决引入时候设置的问题，处理方法是引导学生从首项、末项及项数出发，使用公式

（一）求和；(2)引导学生从首项、项数及公差出发，使用公式

（二）求和。通过两种方法的比较，提示学生应根据信息选择合适的公式。

设计意图：反馈体验，解决引入时候设置的问题，使得学生体会到等差数列前n项和的实用性，突破本节课的难点。

（五）小结归纳，感知深化

为发挥学生的主体作用，从学习的知识、方法、体验三个方面进行归纳，我设计了三个问题。

设计意图：通过三个问题的处理，让学生从整体上把握课堂结构，从而优化认知结构，充分发挥学生的主体作用。

（六）布置作业，拓展升华

以作业的巩固性和发展性为出发点，设计了A和B两种题目，作业A是对本节课内容的一个反馈，作业B是对本节知识的一个延伸。总的设计意图是反馈教学，巩固提高。

板书设计：这样安排版面，使得本节课内容重难点突出，层次分明。

五、教学评价：

这节课的设计体现了以学生为主体，教师为指导的理念，以上几个环节环环相扣，层层深入，充分体现教师与学生的互动，在教师的整体调控下，学生通过动脑思考，对知识的理解逐步深入，使课堂学习效果最优化。

第五篇：数列、数列的通项公式教案

目的：

要求学生理解数列的概念及其几何表示，理解什么叫数列的通项公式，给出一些数列能够写出其通项公式，已知通项公式能够求数列的项。

重点：

1数列的概念。

按一定次序排列的一列数叫做数列。数列中的每一个数叫做数列的项，数列的第n项an叫做数列的通项（或一般项）。由数列定义知：数列中的数是有序的，数列中的数可以重复出现，这与数集中的数的无序性、互异性是不同的。

2．数列的通项公式，如果数列{an}的通项an可以用一个关于n的公式来表示，这个公式就叫做数列的通项公式。

从映射、函数的观点看，数列可以看成是定义域为正整数集N*（或宽的有限子集）的函数。当自变量顺次从小到大依次取值时对自学成才的一列函数值，而数列的通项公式则是相应的解析式。由于数列的项是函数值，序号是自变量，所以以序号为横坐标，相应的项为纵坐标画出的图像是一些孤立的点。

难点：

根据数列前几项的特点，以现规律后写出数列的通项公式。给出数列的前若干项求数列的通项公式，一般比较困难，且有的数列不一定有通项公式，如果有通项公式也不一定唯一。给出数列的前若干项要确定其一个通项公式，解决这个问题的关键是找出已知的每一项与其序号之间的对应关系，然后抽象成一般形式。

过程：

一、从实例引入（P110）

1． 堆放的钢管 4,5,6,7,8,9,102． 正整数的倒数 3． 4．-1的正整数次幂：-1,1,-1,1,…5． 无穷多个数排成一列数：1,1,1,1,…

二、提出课题：

数列

1．数列的定义：

按一定次序排列的一列数（数列的有序性）

2． 名称：

项，序号，一般公式，表示法

3． 通项公式：

与 之间的函数关系式如 数列1： 数列2： 数列4：

4． 分类：

递增数列、递减数列；常数列；摆动数列； 有穷数列、无穷数列。

5． 实质：

从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集 N*（或它的有限子集{1，2，…，n}）的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，通项公式即相应的函数解析式。

6． 用图象表示：

— 是一群孤立的点 例一（P111 例一 略）

三、关于数列的通项公式

1． 不是每一个数列都能写出其通项公式（如数列3）

2． 数列的通项公式不唯一 如： 数列4可写成 和

3． 已知通项公式可写出数列的任一项，因此通项公式十分重要例二（P111 例二）略

四、补充例题：

写出下面数列的一个通项公式，使它的前 项分别是下列各数：1．1，0，1，0． 2．，，3．7，77，777，7777 4．-1，7，-13，19，-25，31 5．，，五、小结：

1．数列的有关概念

2．观察法求数列的通项公式

六、作业：

练习P112习题 3．1（P114）

1、2七、练习：

1．观察下面数列的特点，用适当的数填空，关写出每个数列的一个通项公式；（1），，（），…（2），（），，…

2．写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：（1）

1、、、；（2）、、、；（3）、、、；（4）、、、3．求数列1，2，2，4，3，8，4，16，5，…的一个通项公式

4．已知数列an的前4项为0，0，则下列各式 ①an= ②an= ③an= 其中可作为数列{an}通项公式的是A ① B ①② C ②③ D ①②③

5．已知数列1，，3，…，…，则 是这个数列的（）A． 第10项 B.第11项 C.第12项 D.第21项

6．在数列{an}中a1=2,a17=66,通项公式或序号n的一次函数，求通项公式。

7．设函数（），数列{an}满足

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）判断数列{an}的单调性。

8．在数列{an}中，an=

（1）求证：数列{an}先递增后递减；

（2）求数列{an}的最大项。

答案：

1.（1），an=（2），an=

2．（1）an=（2）an=（3）an=（4）an=

3．an= 或an= 这里借助了数列1，0，1，0，1，0…的通项公式an=。

4．D

5.B

6.an=4n-2

7．（1）an=(2)<1又an<0, ∴ 是递增数列