等差数列前n项和公式教学案例分析

第一篇：等差数列前n项和公式教学案例分析

《等差数列前n项和公式》教学案例分析

教学案例：

一、教学设计思想

本堂课的设计是以个性化教学思想为指导进行设计的。

本堂课的教学设计对教材部分内容进行了有意识的选择和改组，为了体现个性化教学的教学理念，在教法上，采用了以学生为主体，以问题为中心，以老师为引导，以小组的合作为主要学习方式。课堂结构个性化，让学生在探究中展现个性，在合作中促进学生的个性发展。

在教学中通过生动具体的现实问题，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感,体验在学习中获得成功。

二、学生情况与教材分析

1、学生通过上一节的学习，已经了解了等差数列的定义，基本上掌握了通项公式，会运用等差数列的通项公式进行解题，因此只要简单地回顾上一节课的知识就可引入新课；

2、几何能直观地启迪思路，帮助理解，特别是对于职中类学生，他们对知识的理解还是处于模糊阶段，因此，借助几何直观学习和理解数学，是数学学习中的重要方面。只有做到了直观上的理解，才是真正的理解。因此在教学中，要鼓励学生借助几何直观进行思考，揭示研究对象的性质和关系，从而渗透了数形结合的数学思想。

3、学习应该是学生积极主动的建构知识的过程，应该与学生熟悉的背景相联系。本课要求学生通过自主地观察、讨论、归纳、反思来参与学习，认识和理解数学知识，学会发现问题并尝试解决问题，在学习活动中进一步提升自己的能力。

三、教学目标

1、知识目标

（1）掌握等差数列前n项和公式,理解公式的推导方法；（2）能较熟练应用等差数列前n项和公式求和。

2、能力目标

经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思和逻辑推理的能力。

3、情感目标

通过生动具体的现实问题，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学心理体验，产生热爱数学的情感,体验在学习中获得成功。

四、教学重点、难点

1、等差数列前n项和公式是重点。

2、获得等差数列前n项和公式推导的思路是难点。

五、教学流程图

六、教学过程

1、引入新课（1）复习

师：上一节课中，我们学习了等差数列的定义及通项公式，知道了“公差d=，通项公式an=”（见黑板）生：（回答黑板上的问题）

（2）故事引入

师：那等差数列的前n项和怎样求？今天，我们主要探讨等差数列的前n项和公式。说起数列求和，我由地想起德国伟大的数学家高斯“神述求和”的故事。高斯在上小学四年级时，老师出了这样一道题“1+2+3、、、、、+99+100”（见课件）高斯稍微想了想就得出了答案。高斯到底用了什么巧妙的方法呢？下面给同学们一点时间来挑战高斯。

生：5050 师：看来我们班还是有不少高斯的。继续努力，说不定将来也成了数学家。下面请这位同学说一说是怎样算出来的。

生：（说明如何进行首尾配对进行求和的。）

师：根据等差数列的特点，首尾配对求和的确是一种巧妙的方法。不过，对于以下的题，“例：求等差数列8、5、2、、、、的前20项的和（见课件）”这种方法可就没那么方便了。因此我们非常迫切地需要推导出等差数列的前n项和公式。

2、探究等差数列前n项和公式一

师：下面我们从一个稍稍简单一点的等差数列来推导探讨等差数列的前n项和公式。（学生观察幻灯片上以等差数列逐层排列的一堆钢管。）

师：如何求？

生：利用刚才的方法.(略)师：想一想，除了刚才的首尾配对求和的方法外，还有没有其他的方法呢？

（课件演示：引导学生设想，如果将钢管倒置，能得到什么启示）

生：每一层都和上一层是一样多的。一共有8层，所以为8×（4+11），但一共有两堆，所以为

师：那如果如下图所示共有n层，第一层为a1，第n层为an，请大家来猜想一下这个呈等差数列排列的钢管的总和sn等于多少？ 生：

师：这个猜想对不对呢？下面我们用所学过的知识一起来证明一下。

板书：把上式的次序反过来又可以写成

两式相加：

所以

看来，我们的猜想是正确的。下面我们做几道练习来熟悉一下公式。

3、学生合作学习，运用公式一解题，并从练习中探索得到求和公式二。学生练习一：

1、在等差数列｛an｝中，已知a1=1，a10=8，求s10

2、求正整数列是前1000个数的和； 学生小组合作练习，分组进行交流。

师：看来，大家对公式的掌握还是不错的。下面，我们再来看一道练习。

学生练习二：在等差数列｛an｝中，已知a1=1，d=-2，求s10；

学生思考，并讨论解答。

学生讲解如何进行求解这题。

师：刚才那道题给出了a1，d和n=10，a10没有给出，但我们一样可以将s10求出，那我们能不能直接由a1，d和n，得到an呢？

学生根据求和公式一和通项公式导出公式二：

学生练习三：求正整数中前500个偶数的和（用多种方法求解）学生讨论解答此题，并请学生上台讲解。

4、总结

师：今天，大家学得不错。下面我们再来回顾一下本堂课的内容。今天我们主要倒序相加的方法推导了等差数列前n项和公式一，并结合等差数列通项公式二推导出等差数列前n项和公式二，希望同学们在今后的解题要灵活运用这两个公式。

【教学反思】：

综观本节课，存在有特点主要有以下几点：

1、合理地对教材进行了个性化处理，挖掘了教材中可探究的因素，促使学生探究、推导。例如：等差数列前n项和的公式一，是通过具体的例子，引到一般的情况，激励学生进行猜想，再进行论证得出；而第二个公式并不象书本上那样直接给出，而是让学生从习题中进行归纳总结得到的。这样处理教材，使学生的思维得到了很大的锻炼。

2、本节课主要采用观察法、归纳法等教学方法，同时采用设计变式题的教学手段进行教学，通过具体问题的引入，使学生体会数学源于生活，创设情境，重在启发引导，使学生由浅到深，由易到难分层次对本节课内容进行掌握。学生在学习的过程中体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思和逻辑推理的能力。

第二篇：等差数列前n项和公式说课稿

大家好！今天我说课的题目是《等差数列的前n项和》，所选用的教材为中等职业教育规划教材。

一、教材分析：

1、教材的地位和作用

《等差数列的前n项和》是第一册第五章第二节的内容，本节内容在日常生活中有着广泛的应用，同时与函数、三角、不等式等内容有着密切的联系。它既是等差数列的概念的延续，又为后续研究等差数列的应用提供理论依据。鉴于这种认识，我认为，本节课对于进一步探索、研究等比数列无论在知识上，还是方法上都有很强的启发与示范作用。

2、学情分析

学生在认知方面基本掌握等差数列的通项公式，初步具备运用所学知识解决问题的能力，但数形结合的意识和思维的深刻性需要进一步加强培养，多数学生有积极的学习态度，能主动参与探究，少数学生的主动性，还需要通过营造一定的学习氛围带动。

3、教学重难点

根据以上对教材的地位与作用，以及学情的分析，结合本节内容的特点，我将本节课的重点确定为：等差数列前n项和公式的理解、推导与应用；

难点确定为：获得等差数列前n项和公式推导的思路及公式的简单应用。

二、教学目标分析

在教学中应以知识与技能为主线，渗透情感态度价值观，并把前两者充分体现在过程与方法中。借此，我将三维目标进行整合，确定本节课的教学目标为：

1.掌握等差数列求和公式，能较熟练应用等差数列前n项和公式； 2.经历公式的推导，体会数形结合的思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思；

3.通过合作交流、主动探究，体会数学的合理性和严谨性，使学生养成积极思考、独立思考的习惯，培养学生团队合作的精神。

三、教学方法分析

学生是学习的主体，教师是学习的组织者，教学的一切活动都必须围绕学生展开。根据这一教学理念，本节课我采用引导发现法、问题驱动教学法，以问题的提出及解决为主线，倡导学生主动参与教学实践活动，以独立思考和相互交流的形式分析和解决问题，从真正意义上完成对知识的自我建构。

另外，在教学过程中，我采用多媒体辅助教学，以直观呈现教学素材，从而更好地激发学生的学习兴趣，增大教学容量，提高教学效率。

在学法方面，主要采用联系学习法，探究式学习法，自主性学习，真正体现学生为主体的教学理念。

四、教学过程分析

为有序、有效地进行教学，本节课我主要安排以下教学环节：(一）创设情境，提出问题

给出历史上有名的实例，提出问题，学生进行观察分析，进入思考状态。设计意图：以问题的形式创设情境，激发学生探究新知的欲望，为学习新内容做好准备。

（通过这一环节，学生已经产生强烈的求知欲望，此时将学生带入下一个环节。）

(二)探究讨论，发现问题（本节课的重点）

首先给出探索发现1，在教师的启发引导下，学生通过合作交流的方式，逐步明确解决问题的方法和思路。

设计意图：通过这一环节，让学生体会数形结合的数学思想，同时培养学生的探究及归纳能力。

接着给出探索发现2，由学生通过主动探究和合作交流的方式解决问题2，从而归纳整理出求和公式1。

设计意图：学生通过探索1的解决，已经积累了解决此类问题的经验，此时给出探索2，充分发掘学生的兴趣点，同时顺利解决问题。

最后给出探索发现3，此时提出问题3，学生结合前两个问题的解决方法，从而归纳出求和公式一和二。

设计意图：在本环节中采用问题驱动的教学方法，以循序渐进、层层深入的方式，运用特殊到一般的研究方法，降低了知识的梯度，从而突出重点。（通过前面的学习，学生已经基本把握了本节课所学习的内容，此时他们急于展示自我，体验成功，于是我把学生带入第三个阶段。）

（三）公式应用，加深理解

本环节主要是等差数列求和公式的应用，是本节课的难点。解决引入时候设置的问题，处理方法是引导学生从首项、末项及项数出发，使用公式

（一）求和；(2)引导学生从首项、项数及公差出发，使用公式

（二）求和。通过两种方法的比较，提示学生应根据信息选择合适的公式。

设计意图：反馈体验，解决引入时候设置的问题，使得学生体会到等差数列前n项和的实用性，突破本节课的难点。

（五）小结归纳，感知深化

为发挥学生的主体作用，从学习的知识、方法、体验三个方面进行归纳，我设计了三个问题。

设计意图：通过三个问题的处理，让学生从整体上把握课堂结构，从而优化认知结构，充分发挥学生的主体作用。

（六）布置作业，拓展升华

以作业的巩固性和发展性为出发点，设计了A和B两种题目，作业A是对本节课内容的一个反馈，作业B是对本节知识的一个延伸。总的设计意图是反馈教学，巩固提高。

板书设计：这样安排版面，使得本节课内容重难点突出，层次分明。

五、教学评价：

这节课的设计体现了以学生为主体，教师为指导的理念，以上几个环节环环相扣，层层深入，充分体现教师与学生的互动，在教师的整体调控下，学生通过动脑思考，对知识的理解逐步深入，使课堂学习效果最优化。

第三篇：等差数列的前n项和公式教案

2.3等差数列的前n项和公式（教案）

一．教学目标：

1.知识与技能目标

了解等差数列前n项和公式，理解等差数列前n项和公式的几何意义，并且能够灵活运用其求和。2.过程与方法目标

学生经历公式的推导过程，体验从特殊到一般的研究方法。

3.情感态度与价值观目标

学生获得发现的成就感，优化思维品质，提高代数的推导能力。

二．教学重难点：

1.重点：等差数列前n项和公式的推导，掌握及灵活运用。2.难点：诱导学生用“倒序相加法”求等差数列前n项和。

三．教法与学法分析：

1.教法分析：采用“诱导启发，自主探究式”学法为主，讲练结合为辅的教学方法。

2.学法分析：采用“自主探究式学习法”和“主动学习法”。

四．课时安排：

1个课时 五．教学过程

（一）导入

我们已经学过等差数列的定义an+1-an=d(n属于正整数)，等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d，等差数列的等差中项2an=an-1+an+1，还有：若m+n=p+q,则am+an=ap+aq.我们应该怎样求a1+a2+„+an,其中{an}为等差数列，记Sn=a1+a2+„+an

我们知道200多年前高斯的老师给他们出了一道题目，让他们计算1+2+就算出来了„+100=？当时10岁的高斯很快。高斯是怎样做出来的呢？他使用了什么简单高明的方法？

1+2+„+100=(1+100)+（2+99）+„+(50+51)=50*101,所以1+2+„+100=5050，这就是著名的高斯算法，到后来，人们就从高斯算法中得到启发，求出了等差数列1+2+„+n的前n项和的算法

（二）探究新知，发现规律

从高斯算法中，人们怎样求出首项为1，公差为1的等差数列1+2+3+„+n的和? 首先1+2+„+n(1)n+(n-1)+„+1（2）

2Sn=(n+1)+(n+1)+„+(n+1)(n个（n+1）)所以 1+2+„+n=n*(n+1)/2 我们把上面的方法称为“倒序相加法”，也就是说高斯当时用的就是“倒序相加法”算出了1+2+„+100的和

然而这个方法可以推广到等差数列的前n项和 定义：一般地，我们把a1+a2+„+an叫做等差数列的前n项和，用Sn表示

即Sn=a1+a2+„+an

从高斯算法中得到的启示，对于一般的等差数列，其中a1是首项，d是公差，我们可以用两种方法来表示

Sn=a1+a2+„+an

=a1+(a1+d)+„++[ a1+(n-1)d](3)Sn=an+ an-1+„+a1

=an+(an-d)+„+[an-(n-1)d](4)两式相加得2Sn=(a1+an)+(a1+an)+„+(a1+an),有n个(a1+an）所以Sn=n(a1+an)/2(5)将an=a1+(n-1)d带入Sn=n(a1+an)/2中即可得到Sn=na1+n(n-1)d/2(6)(5)与(6)区别：第一个公式反映了等差数列的首项与末项之和跟第n项与倒数第n项之和是相等的；第二个公式反映了等差数列的首项与公差d之间的关系，而且是关于n的“二次函数”，可以与二次函数作比较。

联系：将an=a1+(n-1)d带入Sn=n(a1+an)/2中即可得到 Sn=na1+n(n-1)d/2

（三）知识应用，反思，提高强化知识

例1：已知等差数列{an}的通项公式an=2n+3,求Sn 解:因为an=2n+3

所以a1=5, 即Sn=n(a1+an)/2

=n^2+4n 例2：已知等差数列前10项的和是310，前20项的和是1220，求前n项和公式Sn 解：因为S10=10* a1+10*9*d/2=310

S20=20* a1+20*19*d/2=1220 所以Sn=n* a1+n(n-1)d/2

=4n+n(n-1)*6/2 =3n^2+n习题1：设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S9=72，求a2+a4+ a9=？

解：因为S9=9a1+8*9*d/2=9a1+36d=9(a1+4d)=72

所以a1+4d=8

又因为a2+a4+a9=a1+d+a1+2d+a1+8d

=3a1+12d =3(a1+4d)=3*8 =24

（四）归纳总结

对Sn=n(a1+an)/2 与 Sn=na1+n(n-1)d/2两个公式的熟练运用：注：已知条件不同时，公式的选择要依据已知条件，有利于很快的解决问题。

（五）作业布置

P45,1，2

第四篇：yuanhong 《等差数列的前n项和公式》教学设计

《等差数列的前n项和》教学设计

教材分析: 《等差数列的前n项和》是人教实验版必修5第二章第3节的内容，是学生学习了等差数列的定义、通项公式后，对等差数列知识的进一步学习。学情分析：

学生通过对等差数列基本概念和通项公式的学习，对等差数列有了一定的了解。但是由于学生是第一次接触到数列的求和,缺乏相关经验,因此，需要借助几何直观学习和理解。教学目标 ：

1、情感态度与价值观

（1）获得发现的成就感，逐步养成科学严谨的学习态度，提高代数推理的能力。

（2）注重在学习过程中师生情感交流，鼓励学生自主发现，激发学生的学习热情，培养学生的探索精神与创新意识。

2、过程与方法

（1）通过公式的探索、发现，在知识发生、发展以及形成过程中培养学生观察、联想、归纳、分析、综合和逻辑推理的能力；（2）利用以退求进的思维策略，遵循从特殊到一般的认知规律，让学生在实践中通过观察、尝试、分析、类比的方法导出等差数列的求和公式，培养学生类比思维能力。

3、情感态度与价值观

（1）获得发现的成就感，逐步养成科学严谨的学习态度，提高代数

推理的能力。

（2）注重在学习过程中师生情感交流，鼓励学生自主发现，激发学生的学习热情，培养学生的探索精神与创新意识。教学重点、难点 ：

1、等差数列前n项和公式是重点。

2、获得等差数列前n项和公式推导的思路是难点。设计理念 ：

在教学中通过生动具体的现实问题，激发学生探究的兴趣和欲望，由浅入深，层层深入，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感,体验在学习中获得成功。教学资源：

现代教育多媒体技术 教学过程：

(一)创设问题情境

1.故事引入：德国伟大的数学家高斯“神述求和”的故事。高斯在上小学四年级时，老师出了这样一道题“1+2+3„„+99+100”高斯稍微想了想就得出了答案。高斯到底用了什么巧妙的方法呢？下面给同学们一点时间来挑战高斯。

高斯的方法：

首项与末项的和：1+100=101 第2项与倒数第2项的和：2+99=101

第3项与倒数第3项的和：3+98=101 ……

第50项与倒数第50项的和：50+51=101 ∴前100个正整数的和为：101×50=5050 2.故事引入：泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层，奢靡之程度，可见一斑。你知道这个图案一共花了多少宝石吗？图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？

在知道了高斯算法之后，同学们很容易把本题与高斯算法联系起来，也就是联想到“首尾配对”摆出几何图形，将两个三角形拼成平行四边形.让学生初步形成数形结合的思想,这是在高中数学学习中非常重要的思想方法.借助图形理解逆序相加,也为后面公式的推导

打下基础.因此在教学中，要鼓励学生借助几何直观进行思考，揭示研究对象的性质和关系，从而渗透了数形结合的数学思想。上述故事归结为 1．这是求等差数列1，2，3，„，100前100项和

2.求等差数列1，2，3，„，21前21项和

（二）等差数列求和公式

一般地，称用表示，即

为等差数列的前n项的和，1、思考：受高斯的启示，我们这里可以用什么方法去求和呢？思考后知道，也可以用“倒序相加法”进行求和。

我们用两种方法表示

：

① ②

由①+②，得

由此得到等差数列的前n项和的公式

对于这个公式，我们知道：只要知道等差数列首项、尾项和项数就可以求等差数列前n项和了。

2、除此之外，等差数列还有其他方法吗？当然，对于等差数列求和公式的推导，也可以有其他的推导途径。例如：

===

=

代入

这两个公式是可以相互转化的。把中，就可以得到

引导学生思考这两个公式的结构特征得到：第一个公式反映了等差数列的任意的第k项与倒数第k项的和等于首项与末项的和这个内在性质。第二个公式反映了等差数列的前n项和与它的首项、公差之间的关系，这两个公式的共同点都有四个量，都有三求一”，不同点是第一个公式还需知道

和n，都可以“知，而第二个公式是要知道d，解题时还需要根据已知条件决定选用哪个公式。

（三）公式运用，变式训练 例1.求和： 1、101+100+99+98+97； 2、2+2+4+6+8+„„+2n；（结果用n表示）3、2+4+6+8+„„+（2n+4）；（结果用n表示）

例2、2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的通知》.某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年时间，在全市中小学建成不同标准的校园网.据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元.为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元.那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？

如果开始时有1.275亿元可以支配，那么按照上面的方法划拨经费，可以再持续多少年？

例3．根据下列各题的条件,求相应等差数列的未知数（1）a1=3，an=2n+1，sn=195，求d，n；（2）a2+a6=16，s6=39，求d，an 例4．已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，由此可以确定求其前n项和的公式吗？

（五）随堂练习

1、求等差数列13，15，17，„81的各项和

2、已知等差数列, a1=3 且满足 an+1=an+2 ,求的前n项和。

（六）课后小结

1．经历了等差数列前n项和公式推倒的过程 2．学习了等差数列的前n项和公式：

snn(a1an)n(n1)与snna1d用推导的两个公式灵活解题。2

2（七）课外作业 P49：13、、15、1417

第五篇：说课—《等差数列前n项和的公式》

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说课—《等差数列前n项和的公式》

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说课-《等差数列前n项和的公式》 教学目标

A、知识目标：

掌握等差数列前n项和公式的推导方法；掌握公式的运用

B、能力目标：

（1）通过公式的探索、发现

在知识发生、发展以及形成过程中培养学生观察、联想、归纳、分析、综合和逻辑推理的能力

（2）利用以退求进的思维策略 遵循从特殊到一般的认知规律

让学生在实践中通过观察、尝试、分析、类比的方法导出等差数列的求和公式

培养学生类比思维能力

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（3）通过对公式从不同角度、不同侧面的剖析 培养学生思维的灵活性

提高学生分析问题和解决问题的能力

C、情感目标：（数学文化价值）

（1）公式的发现反映了普遍性寓于特殊性之中 从而使学生受到辩证唯物主义思想的熏陶

（2）通过公式的运用 树立学生“大众教学”的思想意识

（3）通过生动具体的现实问题 令人着迷的数学史 激发学生探究的兴趣和欲望 树立学生求真的勇气和自信心 增强学生学好数学的心理体验 产生热爱数学的情感

教学重点：等差数列前n项和的公式

教学难点：等差数列前n项和的公式的灵活运用

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教学方法：启发、讨论、引导式

教具：现代教育多媒体技术

教学过程

一、创设情景 导入新课

师：上几节

我们已经掌握了等差数列的概念、通项公式及其有关性质 今天要进一步研究等差数列的前n项和公式 提起数列求和

我们自然会想到德国伟大的数学家高斯“神速求和”的故事 小高斯上小学四年级时

一次教师布置了一道数学习题：“把从1到100的自然数加起来 和是多少？”年仅10岁的小高斯略一思索就得到答案5050 这使教师非常吃惊

那么高斯是采用了什么方法来巧妙地计算出来的呢？如果大家也懂得那样巧妙计算

那你们就是二十世纪末的新高斯（教师观察学生的表情反映 然后将此问题缩小十倍）

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我们来看这样一道一例题

例1 计算：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10.这道题除了累加计算以外

还有没有其他有趣的解法呢？小组讨论后 让学生自行发言解答

生1:因为1+10=2+9=3+8=4+7=5+6 所以可凑成5个11 得到55

生2：可设S=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 根据加法交换律

又可写成S=10+9+8+7+6+5+4+3+2+1

上面两式相加得2S=11+10+......+11=10×11=110

10个

所以我们得到S=55

即1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55

师：高斯神速计算出1到100所有自然数的各的方法

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和上述两位同学的方法相类似

理由是：1+100=2+99=3+98=......=50+51=101 有50个101 所以1+2+3+......+100=50×101=5050 请同学们想一下

上面的方法用到等差数列的哪一个性质呢？

生3：数列{an}是等差数列 若m+n=p+q 则am+an=ap+aq.二、教授新课（尝试推导）

师：如果已知等差数列的首项a1 项数为n 第n项an 根据等差数列的性质

如何来导出它的前n项和Sn计算公式呢？根据上面的例子同学们自己完成推导 并请一位学生板演

生4：Sn=a1+a2+......an-1+an也可写成 Sn=an+an-1+......a2+a1

两式相加得2Sn=（a1+an)+(a2+an-1)+......(an+a1)

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n个

=n(a1+an)

所以Sn=(I)

师：好！如果已知等差数列的首项为a1 公差为d 项数为n 则an=a1+(n-1)d代入公式(1)得 Sn=na1+ d(II)

上面（I）、（II）两个式子称为等差数列的前n项和公式 公式（I）是基本的 我们可以发现

它可与梯形面积公式（上底+下底）×高÷2相类比 这里的上底是等差数列的首项a1 下底是第n项an 高是项数n 引导学生总结：这些公式中出现了几个量？（a1 d n an Sn）

它们由哪几个关系联系？[an=a1+(n-1)d Sn==na1+ d]；这些量中有几个可自由变化？（三个）从而了解到：只

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要知道其中任意三个就可以求另外两个了 下面我们举例说明公式（I）和（II）的一些应用

三、公式的应用（通过实例演练 形成技能）

1、直接代公式（让学生迅速熟悉公式 即用基本量观点认识公式）例

2、计算：

（1）1+2+3+......+n

（2）1+3+5+......+(2n-1)

（3）2+4+6+......+2n

（4）1-2+3-4+5-6+......+(2n-1)-2n

请同学们先完成（1）-（3）并请一位同学回答

生5：直接利用等差数列求和公式（I）得

（1）1+2+3+......+n=

（2）1+3+5+......+(2n-1)=

（3）2+4+6+......+2n==n(n+1)

师：第（4）小题数列共有几项？是否为等差数列？能否直接运用Sn公式求解？若不能

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那应如何解答？小组讨论后 让学生发言解答

生6：（4）中的数列共有2n项 不是等差数列 但把正项和负项分开 可看成两个等差数列 所以

原式=[1+3+5+......+(2n-1)]-(2+4+6+......+2n)

=n2-n(n+1)=-n

生7：上题虽然不是等差数列 但有一个规律 两项结合都为-1 故可得另一解法：

原式=-1-1-......-1=-n

n个

师：很好！在解题时我们应仔细观察 寻找规律

往往会寻找到好的方法 注意在运用Sn公式时 要看清等差数列的项数 否则会引起错解

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例

3、（1）数列{an}是公差d=-2的等差数列 如果a1+a2+a3=12 a8+a9+a10=75 求a1 d S10

生8：（1）由a1+a2+a3=12得3a1+3d=12 即a1+d=4

又∵d=-2 ∴a1=6

∴S12=12 a1+66×（-2）=-60

生9：（2）由a1+a2+a3=12 a1+d=4

a8+a9+a10=75 a1+8d=25

解得a1=1 d=3 ∴S10=10a1+=145

师：通过上面例题我们掌握了等差数列前n项和的公式 在Sn公式有5个变量 已知三个变量

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可利用构造方程或方程组求另外两个变量（知三求二）请同学们根据例3自己编题 作为本节的课外练习题 以便下节课交流

师：（继续引导学生 将第（2）小题改编）

①数列{an}等差数列 若a1+a2+a3=12 a8+a9+a10=75 且Sn=145 求a1 d n

②若此题不求a1 d而只求S10时 是否一定非来求得a1 d不可呢？引导学生运用等差数列性质 用整体思想考虑求a1+a10的值

2、用整体观点认识Sn公式

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例4 在等差数列{an}（1）已知a2+a5+a12+a15=36 求S16；（2）已知a6=20 求S11（教师启发学生解）

师：来看第（1）小题

写出的计算公式S16==8(a1+a6)与已知相比较 你发现了什么？

生10：根据等差数列的性质 有a1+a16=a2+a15=a5+a12=18 所以S16=8×18=144

师：对！（简单小结）这个题目根据已知等式是不能直接求出a1 a16和d的

但由等差数列的性质可求a1与an的和 于是这个问题就得到解决 这是整体思想在解数学问题的体现

师：由于时间关系

我们对等差数列前n项和公式Sn的运用一一剖析 引导学生观察当d≠0时

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Sn是n的二次函数

那么从二次（或一次）的函数的观点如何来认识Sn公式后 这留给同学们课外继续思考

最后请大家课外思考Sn公式（1）的逆命题：

已知数列{an}的前n项和为Sn 若对于所有自然数n 都有Sn= 数列{an}是否为等差数列 并说明理由

四、小结与作业

师：接下来请同学们一起来小结本节课所讲的内容

生11：

1、用倒序相加法推导等差数列前n项和公式

2、用所推导的两个公式解决有关例题 熟悉对Sn公式的运用

生12：

1、运用Sn公式要注意此等差数列的项数n的值

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2、具体用Sn公式时

要根据已知灵活选择公式（I）或（II）掌握知三求二的解题通法

3、当已知条件不足以求此项a1和公差d时 要认真观察

灵活应用等差数列的有关性质 看能否用整体思想的方法求a1+an的值

师：通过以上几例 说明在解题中灵活应用所学性质

要纠正那种不明理由盲目套用公式的学习方法 同时希望大家在学习中做一个有心人 去发现更多的性质 主动积极地去学习

本节所渗透的数学方法；观察、尝试、分析、归纳、类比、特定系数等

数学思想：类比思想、整体思想、方程思想、函数思想等

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