2等差数列及其前n项和（推荐阅读）

第一篇：2等差数列及其前n项和

二、等差数列及其前n项和

答案：第23项与第24项

：

1.等差数列的定义

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示，义的表达式为.2.等差数列的通项公式

如果等差数列{an}的首项是a1，公差是d，那么通项公式为an＝.[思考探究1]

已知等差数列{an}的第m项为am，公差为d，则其第n项an能否用am与d表示？

提示：可以.an＝am＋(n－m)d.3.等差中项

如果三个数a，A，b成等差数列，则三数的关系是A＝.思考探究2]

三数成等差数列时，一般设为a－d，a，a＋d；四数成等差数列呢？ 提示：可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d.考点一：等差数列的判定与证明

1.证明一个数列{an}为等差数列的基本方法有两种：(1)利用等差数列的定义证明，即证明an＋1－and(n∈N*)(2)利用等差中项证明，即证明an＋2＋an＝2an＋1(n∈N*).2.解选择题、填空题时，可用通项或前n项和直接判断：

(1)通项法：若数列{an}的通项公式为n的一次函数，即an ＝An＋B，则{an}是等差数列；

(2)前n项和法：若数列{an}的前n项和Sn是Sn＝An2＋Bn的形式(A，B是常数)，则{an}为等差数列.[特别警示] 若说明一个数列不是等差数列，则只需找到其中连续三项不是等差数列即可.[例1]已知数列{an}中，a1＝

5，an＝2－

1an

1(n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足bn＝

1an1

(n∈N*).(1)求证：数列{bn}是等差数列；

(2)求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由.[思路点拨]

1.已知{an}是等差数列，a10＝10，其前10项和S10＝70，则其公差d＝()A.－

3B.

C.13

D.23

[课堂笔记](1)证明：∵an＝2－

1an1

1an1

1an11

答案：D

2.已知{an}为等差数列，a2＋a8＝12，则a5等于()

A.4B.5C.6D.7 答案：C

3.设{an}是等差数列，若a2＝3，a7＝13，则数列 {an}前8 项的和为()A.128B.80C.64D.56 答案：C

4.已知等差数列共10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为答案：3

5.数列{an}中，a1＝15,3an＋1＝3an－2(n∈N*)，则该数列中乘积是负值的相邻两项为.(n≥2，n∈N*)，bn＝

1an1

.∴n≥2时，bn－b

n－1＝

－＝

＝

∴数列{bn}是以－

2＝1.又b1＝，为首项，以1为公差的等差数列.(2)由(1)知，bn＝n－

72，则an＝1＋

1bn

＝1＋，设函数f(x)＝1＋，(2)＝

－6，因为t是奇数，.令2m－3＝t，∈N，所以t可取的值为±1.易知f(x)在区间(－∞，)和（72，＋∞)内为减函数，∴当n＝3时，an取得最小值－1；当n＝4时，an取得最大值3.考点二：等差数列的基本运算

1.等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d及前n项和公式Sn＝

n(a1an)

当t＝1，m＝2时，t＋ －6＝3，2×5－7＝3是数列{an}中的项；

t＝－1，m＝1 时，t＋ －6＝－15，2数列{an}中的最小项是－5不符合.n(n1)

所以满足条件的正整数m＝2.＝na1＋d，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两

22222

[变式]若将“a2a3a4a5，S7＝7”改为“S10＝30，S20＝50”，求通项an和

个，体现了用方程的思想解决问题.S30的值.2.数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差

数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.[特别警示] 因为

snn

＝

d2

n＋a1－

d2，故数列{

snn

}是等差数列.解：由题意得 ∴an＝a1＋(n－1)d＝－

解之得n＋

7120

[例2](2009·江苏高考)设{an}是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，满足

a2a3a4a5，S7＝7.amam1am2

(1)求数列{an}的通项公式及前n项和Sn；(2)试求所有的正整数m，使得[思路点拨]

为数列{an}中的项.[课堂笔记](1)设{an}通项公式an＝a1＋(n－1)d，d≠0，则 由性质得，－3d(a4＋a3)＝d(a4＋a3)，因为d≠0，所以a4＋a3＝0，即2a1＋5d＝0.① 又由S7＝7得7a1＋

d＝7.②

S30＝30a1＋d＝60.考点三：等差数列的性质 1.等差数列的单调性：

等差数列公差为d，若d＞0，则数列递增.若d<0，则数列递减.若d＝0，则数列为常数列.2.等差数列的简单性质：

已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和..(1)若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq.特别：若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap.(2)am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差数列，公差为kd.(3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列.(4)S2n－1＝(2n－1)an.(5)若n为偶数，则S偶－S奇＝

n2

联立①②解得a1＝－5，d＝2.所以{an}的通项公式为an＝2n－7，前n项和Sn＝n2－6n.d.若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项).(6)数列{c·an}，{c＋an}，{pan＋qbn}也是等差数列(其中c、p、q均为常数，{an}，{bn}是等差数列).[例3](2009·宁夏、海南高考改编)等差数列{an}的前n项和为Sn.已知am－1＋am

＋

1－am＝0，S2m－1＝38，求m的值.[思路点拨]

[课堂笔记] 由条件得2am＝am－1＋am＋1＝a，从而有am＝0或2.又由S2m－1＝

×(2m－1)＝38且2am＝a1＋a2m－1得(2m－1)am＝38，故am≠0，[自主体验]

已知数列{an}满足2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，它的前n项和为Sn，且a3＝10，S6＝72.若bn＝

2an－30，求数列{bn}的前n项和的最小值.解：∵2an＋1＝an＋an＋2，∴{an}为等差数列，设{an}的首项为a1，公差为d，{bn}前n项和为Tn.由a3＝10，S6＝72，得则bn＝

则有2m－1＝19，m＝10.[变式]若将“am－1＋am＋1－am＝0，S2m－1＝38”改为“S6＝72”，如何求a3＋a4.解：∵数列{an}为等差数列，∴S6＝∴a3＋a4＝

3∴

得

∴an＝4n－2，≤n≤

.an－30＝2n－31.由

＝3(a1＋a6)＝3(a3＋a4)，S6＝

∵n∈N*，∴n＝15.∴{bn}前15项为负值，∴T15最小，可知b1＝－29，d＝2，∴T15＝

＝－225.×72＝2

4高考对等差数列的常规考法为：（1）在解答题中考查等差数列的判断或证明；（2）

在选择题、填空题或解答题中考查等差数列的基本性质以及an，a1,d,n,Sn中的“知三求二”问题.09年安徽高考以选择题的形式考查了等差数列前n项和的最值问题，是高考命题的一个新方向.[考题印证](2009·安徽高考)已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99.又Sn表示{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是()A.21B.20C.19D.18 【解析】 ∵{an}为等差数列，∴a1＋a3＋a5＝105，a3＝35，a2＋a4＋a6＝99⇒a4＝33，d＝a4－a3＝33－35＝－2，∴{an}是递减数列.an＝a3＋(n－3)d＝35＋(n－3)×(－2)＝－2n＋41，an≥0，－2n＋41≥0，n≤，∴当n≤20时，an>0，n≥21时，an<0，∴n＝20时，Sn最大.【答案】 B

1.(2009·辽宁高考){an}为等差数列，且a7－2a4＝－1，a3 ＝0，则公差d＝()A.－2B.－

C.12

D.2

答案：B

2.设Sn是等差数列{an}的前n项和.已知a2＝3，a6＝11，则S7等于()A.13B.35C.49D.63 答案：C

3.已知等差数列{an}中，|a3|＝|a9|，公差d＜0，则使前n项和Sn取得最大值的正整数n的值是()

A.4或5B.5或6C.6或7D.8或9 答案：B 4.(2009·山东高考)在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝.答案：13

5.已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若a2∶a4＝7∶6，则S7∶S3等于.答案：2∶1

6.(文)(2010·惠州模拟)等差数列{an}前n项和为Sn，已知对任意n∈N*，点(n，Sn)在二次函数f(x)＝x2＋c的图象上.(1)求c，an；

(2)若kn＝

an2

n，求数列{kn}的前n项和Tn.∵

是与n无关的常数，则

故存在实数λ＝－1.使得数列＝0，得λ＝－1.要使

解：(1)点(n，Sn)在二次函数f(x)＝x2＋c的图象上，∴Sn＝n2＋c

a＝S＝1＋c，a＝S－S＝(4＋c)－(1＋c)＝3，为等差数列.11221a3＝S3－S2＝5，又∵{an}为等差数列，∴6＋c＝6，c＝0，d＝3－1＝2，an＝1＋2(n－1)＝2n－1.(2)kn＝，Tn＝

①

②

①－②得Tn＝

(理)已知数列{an}满足an＝2an－1＋2n－1(n≥2)，且a1＝5.(1)若存在一个实数λ，使得数

an

2列为等差数列，请求出λ的值；n



(2)在(1)的条件下，求出数列{an}的前n项和Sn.解：(1)假设存在实数λ符合题意，则

必为与n无关的常数，(2)由(1)可得＝1，∴d＝1，且首项为 ＝2，∴

＝2＋(n－1)＝n＋1，∴an＝(n＋1)2n＋1(n∈N*).令b n ＝(n ＋1)2n且前n

项和为Tn，∴Tn＝2×2＋3×22＋4×23＋…＋(n＋1)2n，2Tn＝2×22＋3×23＋…＋n×2n＋(n＋1)2n＋1，①－②得－Tn＝4＋22＋23＋…＋2n－(n＋1)2n＋1

＝2＋(2＋…＋2n)－(n＋1)2n＋1

＝2n＋1－(n＋1)2n＋1 ＝－n·2n＋1，∴Tn＝n·2n＋1，∴Sn＝n·2n＋1＋n.①

②

第二篇：等差数列前n项和教案

等差数列前n项和教案

一、教材分析

1、教材内容：等差数列前n项求和过程以及等差数列前n项和公式。

2.教材所处的地位和作用：本节课的教学内容是等差数列前n项和，与前面学过

的等差数列的定义、性质等内容有着密切的联系，又能为后面等比数列前n

项和以及数列求和做铺垫。

3、教学目标

（1）知识与技能：掌握等差数列前n项和公式，理解公式的推导方法。同时能

熟练、灵活地应用等差数列前n项和公式解决问题。

（2）过程与方法：经历公式的推导过程，体验倒序相加进行求和的过程，学会

观察、归纳、反思。体验从特殊到一般的研究方法。

（3）情感、态度、价值观：通过具体、生动的现实问题的引入，激发学生探

究求和方法的兴趣，树立学生求知意识，产生热爱数学的情感，逐步养

成科学、严谨的学习态度，提高一般公式推理的能力。

4、重点与难点

重点：等差数列前n项和公式的掌握与应用。

难点：等差数列前n项和公式的推导以及其中蕴含的数学思想的掌握。

二、学情分析

学生前几节已经学过一些数列的概念及简单表示法，还学了等差数列的定

义以及性质，对等差数列已经有了一定程度的认识。这些知识也为这节的等差数列前n项和公式做准备，让学生能更容易理解等差数列前n项和公式的推导过程。同时也为后面的等比数列前n项和公式做铺垫。但由于数列形式多样，因此仅仅掌握等差数列前n项和公式还是不够的，更应该学会灵活应用。

三、教学方法：启发引导，探索发现

四、教学过程

1．教学环节：创设情境

教学过程：200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题： 123100？。据说，当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯迅速得出5050这个答案。让同学思考并讨论高斯是怎么算的。

设计意图：由著名的德国数学家高斯的例子引发同学们的思考，为下面引入倒序相加法求和做准备。2．教学环节：介绍倒序相加法

教学过程：请同学将自己的计算方法在课上发表，老师接着介绍倒序相加

法。记S123100981S10099，从而发现每一列相加都得101。

则2S(1100)(299)(398)(1001)101*100

S101*10025050

类似地，用同样的方法计算1,2,3，，n，的前n项和，可以得到 123n(n1)n。2 设计意图：介绍倒序相加法，并用这个方法计算1,2,3，，n，的前n 项和，从而为下面推导等差数列前n项和公式做铺垫。

3.教学环节：推导公式

教学过程：首先介绍数列an的前n项和，用Sn来表示，即

Sna1a2a3an。对于公差为d的等差数列，我们用两种方法表示Sn。Sna1(a1d)(a12d)[a1(n1)d]Snan(and)(an2d)[an(n1)d]

则两式相加得：

2Sn(a1an)(a1an)(a1an)(a1an)n(a1an)

n个n(a1an)，将等差数列的通项公2n(n1)d。式ana1(n1)d代入，得到公式Snna12 推导出等差数列前n项和的公式为Sn 设计意图：用倒序相加法推导得到等差数列前n项和公式，由于有前面的铺垫让学生更容易理解等差数列前n项和公式的推导过程，对后面的应用也有帮助。

4、教学环节：例题讲解

教学过程：例1：用等差数列前n项和的公式计算1+3+5++99的值。

例2：a11,a86，求这个等差数列的前8项和S8以及公

差d。例3：已知数列an的前n项和Snn2n，求这个数列 的通项公式。这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？

设计意图：巩固等差数列前n项和公式，加深学生对该公式的印象。6．教学环节：回顾总结

教学过程：

1、倒序相加法进行求和的思想

2、复习等差数列前n项和公式Sn Snna1n(a1an)和 2n(n1)强调要根据条件选用适当的公式进 d，行求解。以及公式的适用范围。7．教学环节：布置作业

七、板书设计

1、问题的提出

2、倒序相加法

3、等差数列前n项和公式

4、例题

5、回顾总结

6、布置作业

第三篇：课时30 等差数列及其前n项和

提升训练30等差数列及其前n项和

一、选择题

1．等差数列{an}的前n项和为Sn，且S7＝7，则a2＋a6＝()．

7911A．2B.C.D.224

2．等差数列{an}的前n项和为Sn(n＝1,2,3，„)，若当首项a1和公差d变化时，a5＋a8＋a11是一个定值，则下列选项中为定值的是()．

A．S17B．S18C．S15D．S14

→→→3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若OB＝a2OA＋a2 009OC，且A，B，C三点共线(该直

线不过原点O)，则S2 010＝()．010－ 2010A．2 010B．1 005C．2D．2

4．等差数列{an}中，Sn是其前n项和，a1＝－2 0112，则S2 011的值为()． 2 0092 007

A．－2 010B．2 010C．－2 011D．2 011

5．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为()．

674737A．1升B．升C．升D．升 664433

anan＋1＋126．等差数列{an}中，a1＝a3＋a7－2a4＝4，则2的值为整数时n的个数为()． n＋3n

A．4B．3C．2D．1

7．已知函数f(x)＝cos x，x∈(0,2π)有两个不同的零点x1，x2，且方程f(x)＝m有两个不同的实根x3，x4，若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m＝()．

1133A．BC．D．－2222

二、填空题

18．已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和，若a1＝S2＝a3，则a2＝__________，Sn＝2

__________.S2 009S2 007an＋2an＋11，则a6－a5的值为__________． an＋1an

10．等差数列的前n项和为Sn，若S7－S3＝8，则S10＝__________；一般地，若Sn－Sm＝a(n＞m)，则Sn＋m＝__________.9．已知{an}满足a1＝a2＝1，三、解答题

n11．已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝2an＋m·2(m是与n无关的常数且m≠0)．

(1)设bn＝n，证明数列{bn}是等差数列，并求an； 2

(2)若数列{an}是单调递减数列，求m的取值范围．

212.a2，a5是方程x－12x＋27＝0的两根，数列{an}是公差为正的等差数列，数列{bn}的前

1n项和为Tn，且Tn＝1－bn(n∈N*)． 2

(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；

(2)记cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和 Sn.an

第 1 页

第四篇：等比数列等差数列前n项和习题。（精选）

一.选择题

1.若等比数列an的前n项和Sn3na则a等于（）A.3B.1C.0D.1

2.等比数列an的首项为1，公比为q，前n项和为S，则数列（）

A.1S

1的前n项之和为na

B.SC.Sq

n1

D.1q

n1

S

3.等比数列an中，S27，S691，则S4等于（）A.28B.28或21C.21D.49 4.已知an是公比为

12的等比数列，若a1a4a7a97100，则

a3a6a9a99的值是（）

A.25B.50C.75D.125

二.填空题

1.等比数列an中，a1a310，a4a6

则a4，S5。

2.等比数列an中，S42，S86，则a17a18a19a20。3.等比数列an中，a11，S10S5

3132

则公比q。

n

4.一个数列的通项为an22n1，那么它的前9项的和S9。

三.解答题

n

1.已知等比数列an和等差数列bn，且an2，bn3n2，设数列an、bn中

共同项由小到大排列组成数列cn。

（1）求cn的通项公式（2）求出cn的前2001项的和S2001 2.数列an满足a11，an

an11（n2）

（1）若bnan2，求证：bn为等比数列（2）求an的通项公式

第五篇：等差数列的前n项和

努力奋斗

等差数列前n项和

一．选择题：

1．已知等差数列{an}中，a１＝１，d=1，则该数列前9项和S9等于（）A.55B.45C.35D.25

2．已知等差数列{an}的公差为正数，且a3·a7=－12，a4+a6=－4，则S20为（）

A．180B．－180C．90D．－90 3.等差数列{an}的通项公式是an=1-2n,其前n项和为Sn,则数列{A.-45B.-50C.-55D.-66 4．已知等差数列{an}中,a2+a8=8,则该数列前9项和S9等于()

A.18B.27C.36D.45二．填空题：

5．等差数列an的前n项和Snn23n．则此数列的公差d． 6.数列｛an｝，｛bn｝满足anbn=1, an＝n＋3n＋2，则｛bn｝的前10项之和为7．若an是首项为1，公差为2的等差数列，bn=． 三．解答题：

8.设｛an｝为等差数列，Sn为｛an｝的前n项和，S7＝7，S15＝75，已知Tn为数列｛｝的前n项数，求Tn．

9．已知数列an是等差数列，其前n项和为Sn，a36,S312．（１）求数列an的通项公式；（２）求．已知数列an的前n项和为Sn，且满足an2SnSn10(n2),a11（1）求证：是等差数列；（2）求an的表达式．

Sn

Snn

}的前11项和为（）

1anan1，则数列bn的前n项和Tn

Sn

n

1S1



1S2



1Sn

．，