等差数列的前n项和(推荐五篇)

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第一篇:等差数列的前n项和

努力奋斗

等差数列前n项和

一.选择题:

1.已知等差数列{an}中,a1=1,d=1,则该数列前9项和S9等于()A.55B.45C.35D.25

2.已知等差数列{an}的公差为正数,且a3·a7=-12,a4+a6=-4,则S20为()

A.180B.-180C.90D.-90 3.等差数列{an}的通项公式是an=1-2n,其前n项和为Sn,则数列{A.-45B.-50C.-55D.-66 4.已知等差数列{an}中,a2+a8=8,则该数列前9项和S9等于()

A.18B.27C.36D.45二.填空题:

5.等差数列an的前n项和Snn23n.则此数列的公差d. 6.数列{an},{bn}满足anbn=1, an=n+3n+2,则{bn}的前10项之和为7.若an是首项为1,公差为2的等差数列,bn=. 三.解答题:

8.设{an}为等差数列,Sn为{an}的前n项和,S7=7,S15=75,已知Tn为数列{}的前n项数,求Tn.

9.已知数列an是等差数列,其前n项和为Sn,a36,S312.(1)求数列an的通项公式;(2)求.已知数列an的前n项和为Sn,且满足an2SnSn10(n2),a11(1)求证:是等差数列;(2)求an的表达式.

Sn

Snn

}的前11项和为()

1anan1,则数列bn的前n项和Tn

Sn

n

1S1

1S2



1Sn

.,

第二篇:等差数列前n项和教案

等差数列前n项和教案

一、教材分析

1、教材内容:等差数列前n项求和过程以及等差数列前n项和公式。

2.教材所处的地位和作用:本节课的教学内容是等差数列前n项和,与前面学过

的等差数列的定义、性质等内容有着密切的联系,又能为后面等比数列前n

项和以及数列求和做铺垫。

3、教学目标

(1)知识与技能:掌握等差数列前n项和公式,理解公式的推导方法。同时能

熟练、灵活地应用等差数列前n项和公式解决问题。

(2)过程与方法:经历公式的推导过程,体验倒序相加进行求和的过程,学会

观察、归纳、反思。体验从特殊到一般的研究方法。

(3)情感、态度、价值观:通过具体、生动的现实问题的引入,激发学生探

究求和方法的兴趣,树立学生求知意识,产生热爱数学的情感,逐步养

成科学、严谨的学习态度,提高一般公式推理的能力。

4、重点与难点

重点:等差数列前n项和公式的掌握与应用。

难点:等差数列前n项和公式的推导以及其中蕴含的数学思想的掌握。

二、学情分析

学生前几节已经学过一些数列的概念及简单表示法,还学了等差数列的定

义以及性质,对等差数列已经有了一定程度的认识。这些知识也为这节的等差数列前n项和公式做准备,让学生能更容易理解等差数列前n项和公式的推导过程。同时也为后面的等比数列前n项和公式做铺垫。但由于数列形式多样,因此仅仅掌握等差数列前n项和公式还是不够的,更应该学会灵活应用。

三、教学方法:启发引导,探索发现

四、教学过程

1.教学环节:创设情境

教学过程:200多年前,高斯的算术老师提出了下面的问题: 123100?。据说,当其他同学忙于把100个数逐项相加时,10岁的高斯迅速得出5050这个答案。让同学思考并讨论高斯是怎么算的。

设计意图:由著名的德国数学家高斯的例子引发同学们的思考,为下面引入倒序相加法求和做准备。2.教学环节:介绍倒序相加法

教学过程:请同学将自己的计算方法在课上发表,老师接着介绍倒序相加

法。记S123100981S10099,从而发现每一列相加都得101。

则2S(1100)(299)(398)(1001)101*100

S101*10025050

类似地,用同样的方法计算1,2,3,,n,的前n项和,可以得到 123n(n1)n。2 设计意图:介绍倒序相加法,并用这个方法计算1,2,3,,n,的前n 项和,从而为下面推导等差数列前n项和公式做铺垫。

3.教学环节:推导公式

教学过程:首先介绍数列an的前n项和,用Sn来表示,即

Sna1a2a3an。对于公差为d的等差数列,我们用两种方法表示Sn。Sna1(a1d)(a12d)[a1(n1)d]Snan(and)(an2d)[an(n1)d]

则两式相加得:

2Sn(a1an)(a1an)(a1an)(a1an)n(a1an)

n个n(a1an),将等差数列的通项公2n(n1)d。式ana1(n1)d代入,得到公式Snna12 推导出等差数列前n项和的公式为Sn 设计意图:用倒序相加法推导得到等差数列前n项和公式,由于有前面的铺垫让学生更容易理解等差数列前n项和公式的推导过程,对后面的应用也有帮助。

4、教学环节:例题讲解

教学过程:例1:用等差数列前n项和的公式计算1+3+5++99的值。

例2:a11,a86,求这个等差数列的前8项和S8以及公

差d。例3:已知数列an的前n项和Snn2n,求这个数列 的通项公式。这个数列是等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别是什么?

设计意图:巩固等差数列前n项和公式,加深学生对该公式的印象。6.教学环节:回顾总结

教学过程:

1、倒序相加法进行求和的思想

2、复习等差数列前n项和公式Sn Snna1n(a1an)和 2n(n1)强调要根据条件选用适当的公式进 d,行求解。以及公式的适用范围。7.教学环节:布置作业

七、板书设计

1、问题的提出

2、倒序相加法

3、等差数列前n项和公式

4、例题

5、回顾总结

6、布置作业

第三篇:课时30 等差数列及其前n项和

提升训练30等差数列及其前n项和

一、选择题

1.等差数列{an}的前n项和为Sn,且S7=7,则a2+a6=().

7911A.2B.C.D.224

2.等差数列{an}的前n项和为Sn(n=1,2,3,„),若当首项a1和公差d变化时,a5+a8+a11是一个定值,则下列选项中为定值的是().

A.S17B.S18C.S15D.S14

→→→3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若OB=a2OA+a2 009OC,且A,B,C三点共线(该直

线不过原点O),则S2 010=().010- 2010A.2 010B.1 005C.2D.2

4.等差数列{an}中,Sn是其前n项和,a1=-2 0112,则S2 011的值为(). 2 0092 007

A.-2 010B.2 010C.-2 011D.2 011

5.《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为().

674737A.1升B.升C.升D.升 664433

anan+1+126.等差数列{an}中,a1=a3+a7-2a4=4,则2的值为整数时n的个数为(). n+3n

A.4B.3C.2D.1

7.已知函数f(x)=cos x,x∈(0,2π)有两个不同的零点x1,x2,且方程f(x)=m有两个不同的实根x3,x4,若把这四个数按从小到大排列构成等差数列,则实数m=().

1133A.BC.D.-2222

二、填空题

18.已知{an}为等差数列,Sn为其前n项和,若a1=S2=a3,则a2=__________,Sn=2

__________.S2 009S2 007an+2an+11,则a6-a5的值为__________. an+1an

10.等差数列的前n项和为Sn,若S7-S3=8,则S10=__________;一般地,若Sn-Sm=a(n>m),则Sn+m=__________.9.已知{an}满足a1=a2=1,三、解答题

n11.已知数列{an}满足:a1=1,an+1=2an+m·2(m是与n无关的常数且m≠0).

(1)设bn=n,证明数列{bn}是等差数列,并求an; 2

(2)若数列{an}是单调递减数列,求m的取值范围.

212.a2,a5是方程x-12x+27=0的两根,数列{an}是公差为正的等差数列,数列{bn}的前

1n项和为Tn,且Tn=1-bn(n∈N*). 2

(1)求数列{an},{bn}的通项公式;

(2)记cn=anbn,求数列{cn}的前n项和 Sn.an

第 1 页

第四篇:等比数列等差数列前n项和习题。(精选)

一.选择题

1.若等比数列an的前n项和Sn3na则a等于()A.3B.1C.0D.1

2.等比数列an的首项为1,公比为q,前n项和为S,则数列()

A.1S

1的前n项之和为na

B.SC.Sq

n1

D.1q

n1

S

3.等比数列an中,S27,S691,则S4等于()A.28B.28或21C.21D.49 4.已知an是公比为

12的等比数列,若a1a4a7a97100,则

a3a6a9a99的值是()

A.25B.50C.75D.125

二.填空题

1.等比数列an中,a1a310,a4a6

则a4,S5。

2.等比数列an中,S42,S86,则a17a18a19a20。3.等比数列an中,a11,S10S5

3132

则公比q。

n

4.一个数列的通项为an22n1,那么它的前9项的和S9。

三.解答题

n

1.已知等比数列an和等差数列bn,且an2,bn3n2,设数列an、bn中

共同项由小到大排列组成数列cn。

(1)求cn的通项公式(2)求出cn的前2001项的和S2001 2.数列an满足a11,an

an11(n2)

(1)若bnan2,求证:bn为等比数列(2)求an的通项公式

第五篇:2等差数列及其前n项和

二、等差数列及其前n项和

答案:第23项与第24项

1.等差数列的定义

如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d表示,义的表达式为.2.等差数列的通项公式

如果等差数列{an}的首项是a1,公差是d,那么通项公式为an=.[思考探究1]

已知等差数列{an}的第m项为am,公差为d,则其第n项an能否用am与d表示?

提示:可以.an=am+(n-m)d.3.等差中项

如果三个数a,A,b成等差数列,则三数的关系是A=.思考探究2]

三数成等差数列时,一般设为a-d,a,a+d;四数成等差数列呢? 提示:可设为a-3d,a-d,a+d,a+3d.考点一:等差数列的判定与证明

1.证明一个数列{an}为等差数列的基本方法有两种:(1)利用等差数列的定义证明,即证明an+1-and(n∈N*)(2)利用等差中项证明,即证明an+2+an=2an+1(n∈N*).2.解选择题、填空题时,可用通项或前n项和直接判断:

(1)通项法:若数列{an}的通项公式为n的一次函数,即an =An+B,则{an}是等差数列;

(2)前n项和法:若数列{an}的前n项和Sn是Sn=An2+Bn的形式(A,B是常数),则{an}为等差数列.[特别警示] 若说明一个数列不是等差数列,则只需找到其中连续三项不是等差数列即可.[例1]已知数列{an}中,a1=

5,an=2-

1an

1(n≥2,n∈N*),数列{bn}满足bn=

1an1

(n∈N*).(1)求证:数列{bn}是等差数列;

(2)求数列{an}中的最大项和最小项,并说明理由.[思路点拨]

1.已知{an}是等差数列,a10=10,其前10项和S10=70,则其公差d=()A.-

3B.

C.13

D.23

[课堂笔记](1)证明:∵an=2-

1an1

1an1

1an11

答案:D

2.已知{an}为等差数列,a2+a8=12,则a5等于()

A.4B.5C.6D.7 答案:C

3.设{an}是等差数列,若a2=3,a7=13,则数列 {an}前8 项的和为()A.128B.80C.64D.56 答案:C

4.已知等差数列共10项,其中奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差为答案:3

5.数列{an}中,a1=15,3an+1=3an-2(n∈N*),则该数列中乘积是负值的相邻两项为.(n≥2,n∈N*),bn=

1an1

.∴n≥2时,bn-b

n-1=

-=

∴数列{bn}是以-

2=1.又b1=,为首项,以1为公差的等差数列.(2)由(1)知,bn=n-

72,则an=1+

1bn

=1+,设函数f(x)=1+,(2)=

-6,因为t是奇数,.令2m-3=t,∈N,所以t可取的值为±1.易知f(x)在区间(-∞,)和(72,+∞)内为减函数,∴当n=3时,an取得最小值-1;当n=4时,an取得最大值3.考点二:等差数列的基本运算

1.等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d及前n项和公式Sn=

n(a1an)

当t=1,m=2时,t+ -6=3,2×5-7=3是数列{an}中的项;

t=-1,m=1 时,t+ -6=-15,2数列{an}中的最小项是-5不符合.n(n1)

所以满足条件的正整数m=2.=na1+d,共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,知其中三个就能求另外两

22222

[变式]若将“a2a3a4a5,S7=7”改为“S10=30,S20=50”,求通项an和

个,体现了用方程的思想解决问题.S30的值.2.数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用,而a1和d是等差

数列的两个基本量,用它们表示已知和未知是常用方法.[特别警示] 因为

snn

d2

n+a1-

d2,故数列{

snn

}是等差数列.解:由题意得 ∴an=a1+(n-1)d=-

解之得n+

7120

[例2](2009·江苏高考)设{an}是公差不为零的等差数列,Sn为其前n项和,满足

a2a3a4a5,S7=7.amam1am2

(1)求数列{an}的通项公式及前n项和Sn;(2)试求所有的正整数m,使得[思路点拨]

为数列{an}中的项.[课堂笔记](1)设{an}通项公式an=a1+(n-1)d,d≠0,则 由性质得,-3d(a4+a3)=d(a4+a3),因为d≠0,所以a4+a3=0,即2a1+5d=0.① 又由S7=7得7a1+

d=7.②

S30=30a1+d=60.考点三:等差数列的性质 1.等差数列的单调性:

等差数列公差为d,若d>0,则数列递增.若d<0,则数列递减.若d=0,则数列为常数列.2.等差数列的简单性质:

已知数列{an}是等差数列,Sn是其前n项和..(1)若m+n=p+q,则am+an=ap+aq.特别:若m+n=2p,则am+an=2ap.(2)am,am+k,am+2k,am+3k,…仍是等差数列,公差为kd.(3)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也是等差数列.(4)S2n-1=(2n-1)an.(5)若n为偶数,则S偶-S奇=

n2

联立①②解得a1=-5,d=2.所以{an}的通项公式为an=2n-7,前n项和Sn=n2-6n.d.若n为奇数,则S奇-S偶=a中(中间项).(6)数列{c·an},{c+an},{pan+qbn}也是等差数列(其中c、p、q均为常数,{an},{bn}是等差数列).[例3](2009·宁夏、海南高考改编)等差数列{an}的前n项和为Sn.已知am-1+am

1-am=0,S2m-1=38,求m的值.[思路点拨]

[课堂笔记] 由条件得2am=am-1+am+1=a,从而有am=0或2.又由S2m-1=

×(2m-1)=38且2am=a1+a2m-1得(2m-1)am=38,故am≠0,[自主体验]

已知数列{an}满足2an+1=an+an+2(n∈N*),它的前n项和为Sn,且a3=10,S6=72.若bn=

2an-30,求数列{bn}的前n项和的最小值.解:∵2an+1=an+an+2,∴{an}为等差数列,设{an}的首项为a1,公差为d,{bn}前n项和为Tn.由a3=10,S6=72,得则bn=

则有2m-1=19,m=10.[变式]若将“am-1+am+1-am=0,S2m-1=38”改为“S6=72”,如何求a3+a4.解:∵数列{an}为等差数列,∴S6=∴a3+a4=

3∴

∴an=4n-2,≤n≤

.an-30=2n-31.由

=3(a1+a6)=3(a3+a4),S6=

∵n∈N*,∴n=15.∴{bn}前15项为负值,∴T15最小,可知b1=-29,d=2,∴T15=

=-225.×72=2

4高考对等差数列的常规考法为:(1)在解答题中考查等差数列的判断或证明;(2)

在选择题、填空题或解答题中考查等差数列的基本性质以及an,a1,d,n,Sn中的“知三求二”问题.09年安徽高考以选择题的形式考查了等差数列前n项和的最值问题,是高考命题的一个新方向.[考题印证](2009·安徽高考)已知{an}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99.又Sn表示{an}的前n项和,则使得Sn达到最大值的n是()A.21B.20C.19D.18 【解析】 ∵{an}为等差数列,∴a1+a3+a5=105,a3=35,a2+a4+a6=99⇒a4=33,d=a4-a3=33-35=-2,∴{an}是递减数列.an=a3+(n-3)d=35+(n-3)×(-2)=-2n+41,an≥0,-2n+41≥0,n≤,∴当n≤20时,an>0,n≥21时,an<0,∴n=20时,Sn最大.【答案】 B

1.(2009·辽宁高考){an}为等差数列,且a7-2a4=-1,a3 =0,则公差d=()A.-2B.-

C.12

D.2

答案:B

2.设Sn是等差数列{an}的前n项和.已知a2=3,a6=11,则S7等于()A.13B.35C.49D.63 答案:C

3.已知等差数列{an}中,|a3|=|a9|,公差d<0,则使前n项和Sn取得最大值的正整数n的值是()

A.4或5B.5或6C.6或7D.8或9 答案:B 4.(2009·山东高考)在等差数列{an}中,a3=7,a5=a2+6,则a6=.答案:13

5.已知Sn为等差数列{an}的前n项和,若a2∶a4=7∶6,则S7∶S3等于.答案:2∶1

6.(文)(2010·惠州模拟)等差数列{an}前n项和为Sn,已知对任意n∈N*,点(n,Sn)在二次函数f(x)=x2+c的图象上.(1)求c,an;

(2)若kn=

an2

n,求数列{kn}的前n项和Tn.∵

是与n无关的常数,则

故存在实数λ=-1.使得数列=0,得λ=-1.要使

解:(1)点(n,Sn)在二次函数f(x)=x2+c的图象上,∴Sn=n2+c

a=S=1+c,a=S-S=(4+c)-(1+c)=3,为等差数列.11221a3=S3-S2=5,又∵{an}为等差数列,∴6+c=6,c=0,d=3-1=2,an=1+2(n-1)=2n-1.(2)kn=,Tn=

①-②得Tn=

(理)已知数列{an}满足an=2an-1+2n-1(n≥2),且a1=5.(1)若存在一个实数λ,使得数

an

2列为等差数列,请求出λ的值;n

(2)在(1)的条件下,求出数列{an}的前n项和Sn.解:(1)假设存在实数λ符合题意,则

必为与n无关的常数,(2)由(1)可得=1,∴d=1,且首项为 =2,∴

=2+(n-1)=n+1,∴an=(n+1)2n+1(n∈N*).令b n =(n +1)2n且前n

项和为Tn,∴Tn=2×2+3×22+4×23+…+(n+1)2n,2Tn=2×22+3×23+…+n×2n+(n+1)2n+1,①-②得-Tn=4+22+23+…+2n-(n+1)2n+1

=2+(2+…+2n)-(n+1)2n+1

=2n+1-(n+1)2n+1 =-n·2n+1,∴Tn=n·2n+1,∴Sn=n·2n+1+n.①

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