余弦定理〔1〕
●作业导航
掌握余弦定理，理解余弦定理与勾股定理的关系，知道利用余弦定理的变形式求边与角，会解两边和它们的夹角或三边的三角形问题．
一、选择题(本大题共5小题，每题3分，共15分)
1．在△ABC中，b＝4，c＝2，∠A＝120°，那么a等于()
A．2
B．6
C．2或6
D．2
2．在△ABC中，三边a、b、c满足(a＋b＋c)(a＋b-c)＝3ab，那么∠C等于()
A．15°
B．30°
C．45°
D．60°
3．在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝3∶5∶7，那么这个三角形的最大角是()
A．135°
B．90°
C．120°
D．150°
4．在△ABC中，假设c4-2(a2＋b2)c2＋a4＋a2b2＋b4＝0，那么∠C等于()
A．90°
B．120°
C．60°
D．120°或60°
5．A、B、C是△ABC的三个内角，那么在以下各结论中，不正确的为()
A．sin2A＝sin2B＋sin2C＋2sinBsinCcos(B＋C)
B．sin2B＝sin2A＋sin2C＋2sinAsinCcos(A＋C)
C．sin2C＝sin2A＋sin2B-2sinAsinBcosC
D．sin2(A＋B)＝sin2A＋sin2B-2sinBsinCcos(A＋B)
二、填空题(本大题共5小题，每题3分，共15分)
1．△ABC中，A＝60°，最大边和最小边是方程x2-9x＋8＝0的两个正实数根，那么BC边长是________．
2．在△ABC中，a＝7，b＝8，cosC＝，那么最大角的余弦值是________．
3．假设△ABC中，∠C＝60°，a＋b＝1，那么面积S的取值范围是________．
4．在△ABC中，∠C＝60°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，那么＝________．
5．在△ABC中，假设AB＝，AC＝5，且cosC＝，那么BC＝________．
三、解答题(本大题共5小题，每题6分，共30分)
1．a＝3，c＝2，B＝150°，求边b的长及S△．
2．a，b，c为△ABC的三边，其面积S△ABC＝12，bc＝48，b-c＝2，求a．
3．在△ABC中，a，b，c分别是三内角A、B、C的对边，且，a2＋b2＝c2＋ab，求A．
4．△ABC的三边长a、b、c和面积S满足S＝a2-(b-c)2，且b＋c＝8，求S的最大值．
5．a、b、c为△ABC的三边，且a2-a-2b-2c＝0，a＋2b-2c＋3＝0，求这个三角形的最大内角．
参考答案
一、选择题(本大题共5小题，每题3分，共15分)
1．A 分析：由余弦定理得:a2＝b2＋c2-2bccosA＝48＋12-2×4×2×(-)＝84，∴ a＝2．
2．D 分析：由(a＋b＋c)(a＋b-c)＝3ab，得a2＋2ab＋b2-c2＝3ab
∴，∴ cosC＝60°[来源:Z。xx。k.Com]
3．C 分析：由sinA∶sinB∶sinC＝3∶5∶7知三角形的三边之比为a∶b∶c＝3∶5∶7，最大的边为c，∴ 最大的角为∠C．由余弦定理得
cosC＝，∴ ∠C＝120°．
4．D 分析：由c4-2(a2＋b2)c2＋a4＋a2b2＋b4＝0，得(a2＋b2)2-2(a2＋b2)c2＋c4＝a2b2，∴(a2＋b2-c2)2＝a2b2，∴ a2＋b2-c2＝±ab，∴ cosC＝，∴ ∠C＝120°或∠C＝60°．
5．D 分析：∵ sin2A＝()2，sin2B＝()2，sin2C＝()2
∴ 四个选项分别可化为:a2＝b2＋c2-2bccosA
b2＝a2＋c2-2accosB
c2＝a2＋b2-2abcosC
c2＝a2＋b2＋2abcosC
显然c2＝a2＋b2＋2abcosC不对．
二、填空题(本大题共5小题，每题3分，共15分)
1． 分析：∵ A＝60°，∴ 最大边和最小边所夹的角为A，AB、AC为x2-9x＋8＝0的两个正实数根，那么AB＋AC＝9，AB×AC＝8
∴ BC2＝AB2＋AC2-2×AC×AB×cosA
＝(AB＋AC)2-2×AC×AB×(1＋cosA)
＝92-2×8×＝57
2．-分析：先由c2＝a2＋b2-2abcosC求出c＝3，∴ 最大边为b，最大角为B，∴ cosB＝．
3．(0，分析：S△ABC＝absinC＝ab＝
(0 4．1 分析：∵ ∠C＝60°，∴ cosC＝，∴ a2＋b2＝c2＋ab，∴ a2＋ac＋b2＋bc＝c2＋ab＋ac＋bc[来源:学§科§网Z§X§X§K] ∴ a(a＋c)＋b(b＋c)＝c(c＋a)＋b(a＋c) ∴ a(a＋c)＋b(b＋c)＝(c＋a)(b＋c) ∴ ＝1 5．4或5 分析：设BC＝x，那么5＝x2＋25-2·5·x·，即x2-9x＋20＝0，解得x＝4或x＝5． 三、解答题(本大题共5小题，每题6分，共30分) 1．解：b2＝a2＋c2-2accosB＝(3)2＋22-2·2·2·(-)＝49． ∴ b＝7，S△＝acsinB＝×3×2×＝． 2．解：由S△ABC＝bcsinA，得 12＝×48×sinA ∴ sinA＝ ∴ A＝60°或A＝120° a2＝b2＋c2-2bccosA ＝(b-c)2＋2bc(1-cosA) ＝4＋2×48×(1-cosA) 当A＝60°时，a2＝52，a＝2[来源:学.科.网] 当A＝120°时，a2＝148，a＝2 3．解：∵ a2＋b2＝c2＋ab ∴ ∴ cosC＝ ∴ C＝45° 由正弦定理可得 ∴ sinBcosC＝2sinAcosB-sinCcosB ∴ sinBcosC＋sinCcosB＝2sinAcosB ∴ sin(B＋C)＝2sinAcosB ∴ sinA＝2sinAcosB ∵ sinA≠0[来源:Zxxk.Com] ∴ cosB＝ ∴ B＝60°，∴ A＝180°-45°-60°＝75° 4．解：∵ S＝a2-(b-c)2 又S＝bcsinA ∴ bcsinA＝a2-(b-c)2 ∴(4-sinA) ∴ cosA＝(4-sinA) ∴ sinA＝4(1-cosA) ∴ 2sin ∴ tan ∴ sinA＝ ∴ c＝b＝4时，S最大为 5．解：∵ a2-a-2b-2c＝0，a＋2b-2c＋3＝0 由上述两式相加，相减可得 c＝(a2＋3)，b＝(a-3)(a＋1) ∴ c-b＝(a＋3) ∵ a＋3＞0，∴ c＞b c-a＝(a2＋3)-a＝(a2-4a＋3)＝(a-3)(a-1) ∵ b＝(a-3)(a＋1)＞0，∴ a＞3[来源:Zxxk.Com] ∴(a-3)(a-1)＞0 ∴ c＞a ∴ c边最大，C为最大角 ∴ cosC＝ ∴ △ABC的最大角C为120°
点击咨询