余弦定理(第一课时)

第一篇：余弦定理(第一课时)

余 弦 定 理（第一课时）-----杨金凤

一、教学内容分析

本节内容安排在《普通高中课程标准实验教科书·必修

（五）》（苏教版）第一章《解三角形》中《余弦定理》（第一课时）,其主要任务是利用向量的数量积方法推导余弦定理,正确理解其结构特征和表现形式.余弦定理揭示了任意三角形边角之间的客观规律,是初中勾股定理内容的直接延拓,是三角函数一般知识和平面向量知识在三角形中的交汇运用,是解可转化为三角形计算问题的其它数学问题及生产、生活实际问题的重要工具,因此具有广泛的应用价值.二、学情分析

学生已经学习了正弦定理有关内容,初步掌握了正弦定理的证明及应用,并明确了用正弦定理可以来解哪些类型的三角形.在对余弦定理教学时,考虑到它比正弦定理形式上更加复杂,教师可以有目的的提供一些供研究的素材,并作必要的启发和引导,让学生通过类比、联想、质疑、探究等步骤,辅以小组合作学习,建立猜想获得命题,再想方设法去证明.三、设计思路

本课按新课程要求,利用师生互动合作,提高学生的数学思维能力,使学生成为知识的“发现者”和“创造者”,把学生现有的知识经验作为新知识的生长点,引导学生从原有的知识经验中“生长”出新的知识经验,激发学生探究数学、应用数学知识的潜能.四、教学目标

掌握余弦定理的内容及证明余弦定理的向量方法,会用余弦定理解决基本的解三角形问题.通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识的联系,来理解事物间的普遍联系及辩证统一.五、教学重点与难点

教学重点是探究和证明余弦定理的过程;教学难点是用向量的数量积推导余弦定理的思路过程.六、教学方法：

复习回顾法、设疑导入法、启发法、互动探究、练习法、演示法

教学过程：

七、教学反思

本节课是从特殊到一般,采用问题串的形式引导学生进行探究活动,这符合学生的认知结构.让学生自己发现余弦定理,鼓励学生独立思考,积极发表自己的见解.本课紧紧围绕余弦定理课题,对教学内容做了一些整合和补充,运用联系的观点,将旧知与新知进行重组拟合及提高,让学生从不同角度去认识余弦定理,有利于学生思维的扩展,充分认识到数学知识的发生、发展过程以及探究问题的方法．

第二篇：(第一课时)1.1.2余弦定理

高二数学必修5导学案1.1.2 余弦定理(一)2012年8月10日

1.1.2余弦定理

（一）课前预习学案

一、预习目标：

1.了解向量知识应用，掌握余弦定理推导过程

2.在已有知识的基础上，探究发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量关系—余弦定理。

二、预习内容：

1.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.形式一：

a2＝______，b2＝_____，c2＝______.形式二：

cosA＝_______，cosB＝_____，cosC＝_____.特别地：

在余弦定理中，令C＝90°，这时，cosC＝0，所以c2＝a2＋b2，由此可知余弦定理是勾股定理的推广.课内探究学案

一、学习目标

1.掌握余弦定理的内容及余弦定理的证明方法； 2.掌握余弦定理，能初步运用余弦定理解一些斜三角形； 3.能够运用余弦定理解决某些与测量和几何有关的实际问题。

二、学习过程 ［例1］ 在△ABC中，已知a＝7，b＝8，c＝5，求A和sinB 的值。

变式训练一：

1．在ΔABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知A=,a=3,b=1，则c=（）

(A)1(B)2(C)－1(D)3

2.以4、5、6为边长的三角形一定是（）

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形 D.锐角或钝角三角形 3.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（）

A.5

B.3

C.3D.7

4．在△ABC中，若a7,b8,cosC

14，则最大角的余弦是（）A．1B．1C．1D．15

678

［例2］已知△ABC中，a＝8，b＝7，B＝60°，求c及S△ABC.c= 3或

5变式训练二：

在△ABC中，若a7,b3,c8，请判断三角形的形状并求其面积6√3

【当堂检测】

1．在ABC中，已知b3，c3，B30，则a___________．3或6

2.a=4,b=3,∠C=60°,求 c=.√13

3．在△ABC中，若(ac)(ac)b(bc)，则A1200

4．若三条线段的长分别为5，6，7，则用这三条线段能组成（）三角形。A.锐角B.钝角C.直角D.等腰

课后练习与提高

1、已知在△ABC中，b=8,c=3,A=600,则a=()

A2B4C7D 92、在△ABC中，若a=+1,b=3-1,c=,则△ABC的最大角的度数为（）

A 1200

B 900

C 60

D 15003、在△ABC中，a:b:c=1::2,则A：B：C=（）

A 1：2：3B 2：3：1C 1：3：2D 3：1：2

★

4、在不等边△ABC中，a是最大的边，若a2

5、三角形ABC的顶点为A（6，5），B（-2，8）和C（4，1），求cosA的值。2√365/3656、在△ABC中，若A=60o，AC=16，且此三角形的面积为2203，求边BC的长。497、已知△ABC中，AB=4，AC=23，AD为BC边上的中线，且∠BAD=30o

。求BC的长。2√21

A

C

第7题图

B

反思：

第三篇：B01--1.1 正弦定理和余弦定理(3课时)

高中数学新课标必修⑤课时计划城厢中学高一备课组 授课时间: 2011年 月日(星期)第节 总第课时 第一课时1.1.1正弦定理

教学要求：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题.教学重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用.教学难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数.教学过程：

一、复习准备：

1.讨论：在直角三角形中，边角关系有哪些？（三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数）如何解直角三角形？那么斜三角形怎么办？

2.由已知的边和角求出未知的边和角，称为解三角形.已学习过任意三角形的哪些边角关系？（内角和、大边对大角）是否可以把边、角关系准确量化？ →引入课题：正弦定理

二、讲授新课：

1.教学正弦定理的推导：

abcab①特殊情况：直角三角形中的正弦定理： sinA=sinB= sinC=1 即c=.ccsinAsinBsinC

② 能否推广到斜三角形？（先研究锐角三角形，再探究钝角三角形）

当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据三角函数的定义，有CDasinBbsinA,acabcab.同理，（思考如何作高？），从而.sinAsinCsinAsinBsinCsinAsinB

111③*其它证法：证明一：（等积法）在任意斜△ABC当中S△ABC=absinCacsinBbcsinA.22

21abc 两边同除以abc即得：==.2sinAsinBsinC

aa证明二：（外接圆法）如图所示，∠A＝∠D，∴CD2R，sinAsinDbc同理 =2R，＝2R.sinBsinC证明三：（向量法）过A作单位向量j垂直于AC，由AC+CB=AB边同乘以单位向量j 得…..则

④ 正弦定理的文字语言、符号语言，及基本应用：已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边；已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值.2.教学例题：

① 出示例1：在ABC中，已知A450，B600，a42cm，解三角形.分析已知条件 → 讨论如何利用边角关系 → 示范格式 → 小结：已知两角一边

② 出示例

2：ABC中，cA450,a2,求b和B,C.分析已知条件 → 讨论如何利用边角关系 → 示范格式 → 小结：已知两边及一边对角 ③

练习：ABC中，bB600,c1,求a和A,C.在ABC中，已知a10cm，b14cm，A400，解三角形（角度精确到10，边长精确到1cm）④ 讨论：已知两边和其中一边的对角解三角形时，如何判断解的数量？

3.小结：正弦定理的探索过程；正弦定理的两类应用；已知两边及一边对角的讨论.三、巩固练习：

1.已知ABC中，A=60

°，a，求

2.作业：教材P5 练习1(2)，2题.教学后记：板书设计： abc.sinAsinBsinC

第二课时1.1.2余弦定理

（一）教学要求：掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.教学重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用.教学难点：向量方法证明余弦定理.教学过程：

一、复习准备：

1.提问：正弦定理的文字语言？ 符号语言？基本应用？

2.练习：在△ABC中，已知c10，A=45，C=30，解此三角形.→变式

3.讨论：已知两边及夹角，如何求出此角的对边？

二、讲授新课：

1.教学余弦定理的推导：

① 如图在ABC中，AB、BC、CA的长分别为c、a、b. ∵ACABBC，∴ACAC(ABBC)(ABBC)AB2ABBCBC 2222AB2|AB||BC|cos(180B)BCc22accosBa2.即b2c2a22accosB，→

② 试证：a2b2c22bccosA，c2a2b22abcosC.③ 提出余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.用符号语言表示a2b2c22bccosA，…等；→ 基本应用：已知两边及夹角

④ 讨论：已知三边，如何求三角？

b2c2a

2→ 余弦定理的推论：cosA，…等.2bc

⑤ 思考：勾股定理与余弦定理之间的关系？

2.教学例题：

① 出示例1：在ABC

中，已知a

cB600，求b及A.分析已知条件 → 讨论如何利用边角关系 → 示范求b

→ 讨论：如何求A？（两种方法）

（答案：bA600）

→ 小结：已知两边及夹角

②在ABC中，已知a13cm，b8cm，c16cm，解三角形.分析已知条件 → 讨论如何利用边角关系 → 分三组练习→ 小结：已知两角一边

3.练习：

① 在ΔABC中，已知a＝7，b＝10，c＝6，求A、B和C.② 在ΔABC中，已知a＝2，b＝3，C＝82°，解这个三角形.4.小结：余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例； 余弦定理的应用范围：①已知三边求三角；②已知两边及它们的夹角，求第三边.三、巩固练习：

1.在ABC中，若a2b2c2bc，求角A.（答案：A=1200）

2.三角形ABC中，A＝120°，b＝3，c＝5，解三角形.→ 变式：求sinBsinC；sinB＋sinC.3.作业：教材P8 练习1、2（1）题.第三课时1.1正弦定理和余弦定理（练习）

教学要求：进一步熟悉正、余弦定理内容，能熟练运用余弦定理、正弦定理解答有关问题，如判断三角形的形状，证明三角形中的三角恒等式.教学重点：熟练运用定理.教学难点：应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化.教学过程：

一、复习准备：

1.写出正弦定理、余弦定理及推论等公式.2.讨论各公式所求解的三角形类型.二、讲授新课：

1.教学三角形的解的讨论：

① 出示例1：在△ABC中，已知下列条件，解三角形.(i)A＝

6，a＝25，b＝

(ii)A＝，a

6，a＝

b＝

； ，b＝

(iiii)A＝，a＝50，b＝

.66

分两组练习→ 讨论：解的个数情况为何会发生变化？

② 用如下图示分析解的情况.（A为锐角时）

(iii)A＝

已知边a,b和A

a

无解a=CH=bsinA

仅有一个解

CH=bsinA

32.教学正弦定理与余弦定理的活用：

① 出示例2：在△ABC中，已知sinA∶sinB∶sinC=6∶5∶4，求最大角的余弦.分析：已知条件可以如何转化？→ 引入参数k，设三边后利用余弦定理求角.② 出示例3：在ΔABC中，已知a＝7，b＝10，c＝6，判断三角形的类型.分析：由三角形的什么知识可以判别？ → 求最大角余弦，由符号进行判断

a2b2c2A是直角ABC是直角三角形

结论：活用余弦定理，得到：a2b2c2A是钝角ABC是钝角三角形 a2b2c2AABC是锐角三角形

③ 出示例4：已知△ABC中，bcosCccosB，试判断△ABC的形状.分析：如何将边角关系中的边化为角？→ 再思考：又如何将角化为边？

3.小结：三角形解的情况的讨论；判断三角形类型；边角关系如何互化.三、巩固练习：

1.已知a、b为△ABC的边，A、B分别是a、b的对角，且sinA2ab的值 ，求sinB3b

2.在△ABC中，sinA:sinB:sinC＝4:5:6，则cosA:cosB:cosC＝.3.作业：教材P11 B组1、2题.

第四篇：余弦定理说课稿

1.1.2 余弦定理说课

尊敬的各位评委、老师，大家好！

今天我说课的题目是：余弦定理，下面我将从教材分析，教学目标，教学重难点，教法学法、教学过程、教学反思等方面对本课题进行分析说明。

一、教材分析

1、教材的地位和作用

余弦定理是人教版普通高中课程标准实验教科书第一章第一节的内容，在此之前学生已经学习过了勾股定理、平面向量、正弦定理等相关知识，这为过渡到本节内容的学习起着铺垫作用。本节内容实质是学生已经学习的勾股定理的延伸和推广，它描述了三角形重要的边角关系，将三角形的“边”与“角”有机的联系起来，实现边角关系的互化，为解决斜三角形中的边角求解问题提供了一个重要的工具，同时也为在日后学习中判断三角形形状，证明三角形有关的等式与不等式提供了重要的依据.二、学情分析

基于高二学生的理解能力、思维特征和生理特征，在课堂教学中，一方面要充分利用多媒体，引发学生的兴趣，使他们的注意力始终集中在课堂上；另一方面要创造条件和机会，让学生发表见解，发挥学生学习的主动性。

三、教学目标

基于以上对教材的认识，考虑到学生已有的认知结构和心理特征，我认为本节课的教学目标有：

1.知识与技能：熟练掌握余弦定理的内容及公式，能初步应用余弦定理解决一些有关三角形边角计算的问题；

2.过程与方法:掌握余弦定理的两种证明方法，通过探究余弦定理的过程学会分析问题从特殊到一般的过程与方法，提高运用已有知识分析、解决问题的能力；

3.情感态度与价值观：在探究余弦定理的过程中培养学生探索精神和创新意识，形成严谨的数学思维方式，培养用数学观点解决问题的能力和意识.四、教学重难点

1、教学重点：余弦定理的内容和公式的掌握，余弦定理在三角形边角计算中的运用；

2、教学难点：余弦定理的发现及证明；

五、教学过程

为达到本节课的教学目标、突出重点、突破难点，在教材分析、确定教学目标和合理选择教法与学法的基础上，我把教学过程设计为以下四个阶段：创设情境、引入课题；探索研究、构建新知；例题讲解、巩固练习；课堂小结，布置作业。具体过程如下：

1.创设情境，引入课题 利用多媒体引出如下问题：

A地和B地之间隔着一个水塘（如图所示）现选择一地点C，可以测得∠C的大小及BC=，AC=，求 A、B两地之间的距离c.【设计意图】由于学生刚学过正弦定理，一定会采用刚学的知识解题，但 由于无法找到一组已知的边及其所对角，从而产生疑惑，激发学生探索欲望.2.探索研究、构建新知

(1)由于初中接触的是解直角三角形的问题，所以我将先带领学生从特殊情况△ABC为直角三角形（∠C=90°）时考虑。此时使用勾股定理，得c2=a2+b2.(2)从直角三角形这一特殊情况出发，引导学生在一般三角形中构造直角即作BC边的高AD，从而在构造的直角三角形中利用勾股定理列出边之间的等式关系.(3)考虑到我们所作的图为锐角三角形，讨论上述结论能否推广到△AB为钝角三角形（∠C>90°）中.通过解决问题可以得到在任意三角形中都有c2=a2+b2-2ab cosC，之后让同学们类比出a2、b2.这样我就完成了对余弦定理的引入，之后总结给出余弦定理的内容及公式表示.【设计意图】通过创设情景、引导学生探究出余弦定理这一数学体验，既可以培养学生分析问题的能力，也可以加深学生对余弦定理的认识.在学生已学习了向量的基础上，考虑到新课改中要求使用新工具、新方法，我会引导同学类比向量法证明正弦定理的过程尝试使用向量的方法证明余弦定理.之后引导学生对余弦定理公式进行变形，用三边值来表示角的余弦值，给出余弦定理的第二种表示形式，这样就完成了新知的构建.根据余弦定理的两种形式，我们可以利用余弦定理解决以下两类解斜三角形的问题：(1)已知三边，求三个角；

(2)已知三角形两边及其夹角，求第三边和其他两个角.3.例题讲解、巩固练习

本阶段的教学主要是通过对例题和练习的思考交流、分析讲解以及反思小结，使学生初步掌握使用余弦定理解决问题的方法。其中例题先以学生自己思考解题为主，教师点评后再规范解题步骤及板书，课堂练习请同学们自主完成，并请同学上黑板板书，从而巩固余弦定理的运用.例题讲解：

例1 在中，(1)已知b=3,c=1,A=60°,求a;(2)已知a=4,b=5,c=6，求A.【设计意图】例题1分别是通过已知三角形两边及其夹角求第三边，已知三角形三边求其夹角，这样余弦定理的两个形式分别得到了运用，进而巩固了学生对余弦定理的运用.例2 对于例题1(2)，求,BC的大小.【设计意图】已经求出了A的度数，学生可能会有两种解法：运用正弦定理或运用余弦定理，比较正弦定理和余弦定理，发现使用余弦定理求解角的问题可以避免解的取舍问题.例3 使用余弦定理证明：在中，当C为锐角时，a2+b2>c2；当C为钝角时，a2+b2

练习1 在中，(1)已知b=4,c=7,A=60°,求a;(2)已知a=7,b=5,c=3，求A.【设计意图】检验学生是否掌握余弦定理的两个形式，巩固学生对余弦定理的运用.练习2 若三条线段长分别为5，6，7，则用这三条线段（）.A．能组成直角三角形

B.能组成锐角三角形

C.能组成钝角三角形

D.不能组成三角形

【设计意图】与例题3相呼应.练习3 在 △ABC中，a2+b2+ab=c2，试求C的大小.【设计意图】要求灵活使用公式，对公式进行变形.4．课堂小结，布置作业

先请同学对本节课所学内容进行小结，教师再对以下三个方面进行总结：

(1)余弦定理的内容和公式；

(2)余弦定理实质上是勾股定理的推广；

(3)余弦定理的可以解决的两类解斜三角形的问题.通过师生的共同小结，发挥学生的主体作用，有利于学生巩固所学知识，也能培养学生的归纳和概括能力.布置作业

必做题：习题1.2 1、2、3、5、6； 选做题：习题1.2 12、13.【设计意图】作业分为必做题和选做题.针对学生素质的差异进行分层训练，既使学生掌握基础知识，又使学有余力的学生有所提高.各位老师，以上所说只是我预设的一种方案，但课堂是千变万化的，会随着学生和教师的临时发挥而随机生成.预设效果如何，最终还有待于课堂教学实践的检验.本说课一定存在诸多不足，恳请老师提出宝贵意见，谢谢.

第五篇：余弦定理说课稿（范文模版）

余弦定理说课稿

教材分析：（说教材）。

<<正弦定理、余弦定理>>是全日制普通高级中学教科书（必修）数学第一册(下)中第五章平面向量第二部分解斜三角形的一个重要定理。这堂课，我并不是将余弦定理全盘呈现给学生，而是从实际问题的求解困难，造成学生认知上的冲突，从而激发学生探索新知识的强烈欲望。

另外，本节与教材其他课文共性是，都要掌握定理内容及证明方法，会解决相关的问题。

下面说一说我的教学思路。

教学目的：通过对教材的分析钻研制定了教学目的：

1．掌握余弦定理的内容及证明余弦定理的向量方法，会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。2.培养学生在方程思想指导下解三角形问题的运算能力。3.培养学生合情推理探索数学规律的思维能力。

4.通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识的联系理解事物之间普遍联系与辩证统一。

教学重点：余弦定理揭示了任意三角形边角之间的客观规律，是解三角形的重要工具。余弦定理是初中学习的勾股定理同角的拓广，也是前阶段学习的三角函数知识与平面向量知识在三角形中的交汇应用。本节课的重点内容是余弦定理的发现和证明过程及基本应用，其中发现余弦定理的过程是检验和训练学生思维品质的重要素材。教学难点：

余弦定理是勾股定理的推广形式，勾股定理是余弦定理的特殊情形，勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中，起到奠基作用，因此分析勾股定理的结构特征是突破发现余弦定理这个难点的关键。教学方法：

在确定教学方法之前，首先分析一下学生：我所教的是课改一年级的学生。他们的基础比正常高中的学生要差许多，拿其中一班学生来说：数学入学成绩及格的占50%左右，相对来说教材难度较大，要求教师吃透教材，选择恰当的教学方法和教学手段把知识传授给学生。

根据教材和学生实际，本节主要采用“启发式教学”、“讲授法”、“演示法”，并采用电教手段使用多媒体辅助教学。

1.启发式教学：

利用一个工程问题创设情景，启发学生对问题进行思考。在研究过程中，激发学生探索新知识的强烈欲望。2.练习法：通过练习题的训练，让学生从多角度对所学定理进行认识，反复的练习，体现学生的主体作用。3.讲授法：充分发挥主导作用，引导学生学习。

这节课准备的器材有：计算机、大屏幕。教学程序：

1.复习正弦定理（2分钟）：安排一名同学上黑板写正弦定理。

2.设计精彩的新课导入（5分钟）：利用大屏幕演示一座山，先展示，后出现B、C，再连成虚线，并闪动几下，闪动边AB、AC几下，再闪动角A的阴影几下，可测得AC、AB的长及∠A大小.问你知道工程技术人员是怎样计算出来的吗？

一下子，学生的注意力全被调动起来，学生一定会采用正弦定理，但很快发现∠B、∠C不能确定，陷入困境当中。

3.探索研究，合理猜想。

当AB=c,AC=b一定,∠A变化时,a可以认为是A的函数,a=f(A),A∈(0,∏)

比较三种情况,学生会很快找到其中规律.-2ab的系数-1、0、1与A=0、∏/

2、∏之间存在对应关系.教师指导学生由特殊到一般，经比较分析特例，概括出余弦定理，这种促使学生主动参与知识形成过程的教学方法，既符合学生学习的认知规律，又突出了学生的主体地位。“授人以鱼”，不如“授人以渔”，引导学生发现问题，探究知识，建构知识，对学生来说，既是对数学研究活动的一种体验，又是掌握一种终身受用的治学方法。4.证明猜想，建构新知

接下来就是水到渠成，现在余弦定理还需要进一步证明，要符合数学的严密逻辑推理，锻炼学生自己写出定理证明的已知条件和结论，请一位学生到黑板写出来，并请同学们自己进行证明。教师在课中进行指导，针对出现的问题，结合大屏幕打出的正确过程进行讲解。

在大屏幕打出余弦定理，为了促进学生记忆，在黑板上让学生背着写出定理，也是当堂巩固定理的方法。5.操作演练，巩固提高。

定理的应用是本节的重点之一。我分析题目，请同学们进行解答，在难点处进行点拨。以第二题为例，在求A的过程中学生会产生分歧，一部分采用正弦定理，一部分采用余弦定理，其实两种做法都可得到正确答案，形成解法一和解法二。在这道例题中进行发散思维的训练，（在上例中，能否既不使用余弦定理，也不使用正弦定理，求出∠A？）

启发一:a视为B与C两点间的距离，利用B、C的坐标构造含A的等式

启发二：利用平移，用两种方法求出C’点的坐标，构造等式。使学生的思维活跃，渐入新的境界。每次启发，或是针对一般原则的提示，或是在学生出现思维盲点处点拨，或是学生“简单一跳未摘到果子”时的及时提醒。

6．课堂小结：

告诉学生余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例。

7.布置作业：书面作业 3道题

作业中注重余弦定理的应用，重点培养解决问题的能力。