高等数学教学大纲

第一篇：高等数学教学大纲

一、课程的性质、目的和任务

数学是研究客观世界数量关系和空间形式的科学。《高等数学》是医学院校各专业的一门重要的基础课程,为其它学科提供有效的工具及思维方法。其固有的特点就是高度的抽象性、严密的逻辑性和广泛的应用性。学习数学的过程就是思维训练的过程。通过各个教学环节的学习,逐步培养抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和自学能力，同时,还培养具有综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力。

学习《高等数学》首先是理解概念。数学中有很多概念。概念反映的是事物的本质,弄清楚了它是如何定义的、有什么性质，才能真正地理解一个概念；其次，掌握定理。除了要掌握它的条件和结论以外，还要搞清它的适用范围，做到有的放矢；第三,在每次新的内容学习后须独立地做适量的习题；第四，理清脉络。要对所学的知识有个整体的把握，及时总结知识体系。

通过本课程的学习，要使学生获得：1.函数与极限；2.一元函数微积分学；3.向量代数和空间解析几何；4.多元函数微积分学；5.无穷级数(包括傅立叶级数)；6.常微分方程等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获取数学知识奠定必要的数学基础。

二、总学时与学分高等数学

本大纲适用于医学类七年制本科学生，教学总时数为144学时，全部为理论课,本课程安排分为高等数学(一)、(二)两学期授课。

三、课程教学的基本要求及基本内容

说明：教学要求较高的内容用“理解”、“掌握”、“熟悉”等词表述，要求较低的内容用“了解”、“会”等词表述。

(二)五、向量代数与空间解析几何

1.会计算二阶、三阶行列式。

2.理解空间直角坐标系。

3.理解向量的概念及其表示，掌握向量的运算(线性运算、数量积、向量积、混合积)，掌握两个向量垂直、平行的条件。

4.掌握单位向量、方向余弦、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算的方法。

5.掌握平面的方程和直线的方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系解决有关问题。

6.理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，了解以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。

7.了解空间曲线的参数方程和一般方程。

8.了解曲面的交线在坐标平面上的投影。

六、多元函数微分学

1.理解多元函数的概念。

2.了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。

3.理解偏导数和全微分的概念，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解一阶全微分形式的不变性。

4.了解方向导数与梯度的概念及其计算方法。

5.掌握复合函数一阶偏导数的求法，会求复合函数的二阶偏导数。

6.会求隐函数(包括由两个方程组成的方程组确定的隐函数)的偏导数。

7.了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线，并会求它们的方程。

8.了解多元函数极值和条件极值的概念，会求二元函数的极值。了解求条件极值的拉格朗日乘数法，会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。

七、多元函数积分学

1.理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质。

2.掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标)，了解三重积分的计算方法(直角坐标、柱面坐标、球面坐标)。

3.理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。

4.会计算两类曲线积分。

5.掌握格林(Green)公式，会使用平面曲线积分与路径无关的条件。

6.了解两类曲面积分的概念及高斯(Guass)、斯托克斯(Stokes)公式并会计算两类曲面积分。

7.了解散度、旋度的计算公式。

8.会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量(如体积、曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、引力、功等)。

八、无穷级数

1.理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数基本性质及收敛的必要条件。

2.掌握几何级数和p-级数的收敛性。

3.了解正项级数的比较审敛法，掌握正项级数的比值审敛法。

4.了解交错级数的莱布尼兹定理，会估计交错级数的截断误差。

5.了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系。

6.了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。

7.掌握比较简单的幂级数收敛区间的求法(区间端点的收敛性可不作要求)。

8.了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质。

9.了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。

10.会利用和的马克劳林(Maclaurin)展开式将一些简单的函数间接展开成幂级数。

11.了解幂级数在近似计算上的简单应用。

12.了解函数展开为傅里叶(Fourier)级数的狄利克雷(Dirichlet)条件，会将定义在数，并会将定义在

和上的函数展开为傅里叶级

上的函数展开为正弦或余弦级数。

第二篇：高等数学(A)教学大纲

高等数学（A）教学大纲

（课程编号 07011201。学分--学时--上机：10 –192--12）

东南大学数学系

一、课程的性质与目的本课程是工科类各专业的一门重要的基础理论课程。本课程的教学目的，是使学生系统地获得微积分与常微分方程的基本知识（基本概念、必要的基础理论和常用的运算方法），培养学生具有比较熟练的运算能力、抽象思维和形象思维能力、逻辑推理能力、自学能力以及一定的数学建模能力，正确领会一些重要的数学思想方法，以提高抽象概括问题的能力和应用数学知识解决实际问题的能力，同时为学习后继课程和知识的自我更新奠定必要的基础。

二、课程内容的教学要求

1．高等数学I

（1）极限与连续：理解数列极限和函数极限的概念，理解函数左、右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系，会利用极限定义证明某些简单的极限；掌握极限的性质及四则运算法则；掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握用两个重要极限求极限的方法，知道Cauchy收敛准则；理解无穷小、无穷大及无穷小的阶的概念，会用等价无穷小代换求极限；理解函数在一点处连续和间断的概念，知道函数的一致连续性概念；了解初等函数的连续性，掌握讨论连续性的方法，会判别间断点的类型；了解闭区间上连续函数的性质（有界性定理、最值定理和介值定理），会用介值定理讨论方程根的存在性。

（2）一元函数微分学：理解导数和微分的概念及其几何意义，了解函数的可导性和连续性的关系，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数作为函数变化率的实际意义，会用导数表达科学技术中一些量的变化率，了解微分概念中所包含的局部线性化的思想；熟练掌握导数与微分的运算法则及基本公式，了解一阶微分形式的不变性；熟练掌握初等函数的一阶、二阶导数的计算，会求分段函数的导数，会计算常用简单函数的n阶导数，会求函数的微分；会求隐函数和参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数；理解并掌握Rolle定理、Lagrange中值定理，了解Cauchy中值定理；理解函数的极值概念，熟练掌握利用导数求函数极值，判断函数增减性、凸性、求曲线拐点及函数作图（包括求渐近线）的方法，会解决应用题中简单的最大值和最小值问题；熟练掌握利用L′Hospital法则求未定式极限的方法；理解并掌握Taylor定理，掌握ex、sinx、cosx、ln(1+x)及(1+x)的Maclaurin公式，了解Taylor定理中用多项式逼近函数的思想；了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径；知道求方程近似根的二分法和切线法的思想。

（3）一元函数积分学：理解原函数、不定积分和定积分的概念及性质，了解定积分中值定理；理解变上限的定积分作为其上限的函数及其求导定理，掌握Newton-Leibniz公式；熟练掌握不定积分的基本公式，不定积分和定积分的换元和分部积分法；会求简单有理函数、简单三角函数有理式及简单无理函数的积分；熟练掌握用微元法建立一些常见的几何量和物理量的定积分表达式，从而求出这些量的方法，会求函数的平均值；了解梯形法和抛物线法求定积分的近似值的基本思想；理解两类反常积分的概念，会计算一些简单的反常积分。

（4）常微分方程：理解微分方程的阶及其解、通解、初始条件和特解等基本概念；熟练掌握一阶变量可分离方程和线性方程的解法；掌握一阶齐次型方程和Bernoulli方程的识别和解法，从中领会用变量代换求解微分方程的思想；会识别及解全微分方程；掌握用降阶法求解某些特殊类型的二阶方程；理解线性微分方程解的性质及解的结构定理；熟练掌握二阶常系数线性齐次方程及具有某些特殊自由项的非齐次方程的解法，知道高阶常系数线性齐次方程的解法；了解用常数变易法解二阶常系数线性非齐次微分方程的思想；会识别及求解Euler方程；知道简单的常系数线性微分方程组的解法；会用微分方程或方程组解决一些简单的应用问题；知道微分方程的幂级数解法。

（5）数学实验：了解数学软件Mathematica的基本知识和主要功能，会利用数学软件进行观察数列极限、绘制一元函数图形及考察其性态、Taylor公式与函数逼近、定积分近似计算等实验。

2．高等数学II

（1）多元函数微分学：理解点集、邻域、区域及多元函数的概念；了解二元函数的极限和连续的概念，知道有界闭区域上连续函数的性质；理解偏导数和全微分的概念，了解全微分存在的充分条件和必要条件，了解全微分形式的不变性，会求全微分；理解和掌握方向导数和梯度的概念和求法；熟练掌握复合函数和隐函数的求导法则，掌握求高阶偏导数的方法；知道二元函数的Taylor公式；掌握空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的求法；理解多元函数的极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件并会求极值，会用Lagrange乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值并会解决一些简单的应用问题。

（2）多元函数积分学：理解二重积分、三重积分、两类曲线积分及两类曲面积分的概念和性质；熟练掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）和三重积分的计算方法（直角坐标、柱面坐标和球面坐标）；知道重积分的一般换元法则，会用一般换元法则计算一些简单的二重积分和三重积分；熟练掌握两类曲线积分和两类曲面积分的计算法，了解两类曲线积分、两类曲面积分之间的区别和联系；掌握Green公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数；掌握Gauss公式并会利用它计算曲面积分，了解Stokes公式，并能利用它计算某些曲线积分；会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量；了解场的基本概念和某些特殊场，了解散度、旋度的概念及计算。

（3）无穷级数：理解级数的收敛、发散及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质；掌握几何级数和p级数的收敛性；掌握正项级数的比较审敛法及其极限形式和根值审敛法，熟练掌握正项级数的比值审敛法，知道正项级数的积分审敛法；知道反常积分的审敛法（比较法和极限法）；掌握交错级数的Leibniz定理，并会估计符合Leibniz定理条件的交错级

数的截断误差；理解无穷级数的绝对收敛和条件收敛的概念，知道任意项级数的审敛步骤；理解函数项级数收敛域及和函数的概念，知道一致收敛概念和优级数判别法，知道一致收敛级数的性质；熟练掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法，了解幂级数在其收敛区间内的基本性质，会求一些幂级数的和函数，并会由此求出某些数项级数的和；了解函数展开为Taylor级数的充分必要条件，熟练掌握ex,sinx,cosx,ln(1x)和(1x)的Maclaurin展开式，会用间接法将一些简单函数展成幂级数，了解利用幂级数进行近似计算的思想；了解用三角级数逼近周期函数的思想，理解Fourier级数的概念，了解函数展开为Fourier级数的Dirichlet收敛定理，会将定义在[-l,l]上的函数展开为Fourier级数，会将[0，l]上的函数展开为正弦级数或余弦级数，知道Fourier级数的复数形式。

（4）复变函数：理解复数的概念、掌握复数的计算及其表示法；理解复变函数、映射、极限与连续等概念；理解复变函数的导数、解析概念，掌握并能运用Cauchy-Riemann条件；了解指数函数、对数函数、幂函数及三角函数的定义和主要性质；掌握解析函数与调和函数的关系，并会由已知实部和虚部求出相应的解析函数f(z)；理解复变函数积分的概念，掌握Cauchy-Goursat基本定理、复合闭路定理及Cauchy积分公式、高阶导数公式；了解复级数收敛、发散与绝对收敛等概念，知道幂级数的收敛范围是圆域，会用间接法将某些简单的解析函数展成Taylor级数；能将某些在圆环域内解析的函数展成Laurent级数；理解孤立奇点的概念，知道孤立奇点的分类；理解留数的概念，掌握留数定理，会计算留数，并会利用留数定理计算复积分和某些定积分。

（5）数学实验：会利用数学软件进行空间曲线与曲面的绘制、无穷级数与函数逼近、最小二乘法等实验；会进行简单编程。

三、上机实验要求

通过上机实习学会使用软件和进行数学实验。利用数学软件进行观察数列极限、绘制函数图形及考察其性态、积分近似计算、函数逼近等实验。

四、能力培养的要求

1．抽象思维能力的培养：主要通过对基本概念、主要定理和典型例题的讲授及学生通过证明题的练习，培养学生的逻辑推理、分析论证、演绎归纳、空间想象等抽象思维能力。

2．计算能力的培养：要求学生通过本课程的学习，具有熟练进行微积分基本运算的能力。

3．自学能力的培养：通过本课程的教学，培养和提高学生对所学知识进行整理、概括、消化吸收的能力，以及围绕教学内容，阅读参考资料，自我扩充知识领域的能力。

4．表达能力的培养：主要通过作业和习题课与课堂讨论，培养学生通过书面或口头清晰、简洁地表达自己理解问题和解决问题的思路和步骤的能力。

5．创新能力的培养：通过作业和数学实验，培养学生独立思考、深入钻研问题的习惯以及一题多解、举一反三的能力，应用数学的意识以及运用所学数学知识分析问题、解决问题的能力。

五、建议学时分配

六、考核方式

总评成绩＝平时成绩+数学实验成绩＋期中考试成绩＋期末考试成绩

平时成绩占5%，数学实验5%，期中考试成绩占25%，期末考试成绩占65%

七、教材及参考书

1．高等数学教研室编。高等数学（上册、下册）.高等教育出版社，2007、2008。

2．董梅芳、黄骏主编.高等数学（上册、下册）.东南大学出版社，2002。

3.董梅芳、周后型、张华富编.高等数学习题课教程.高等教育出版社，2000。

4.宋柏生、罗庆来主编.高等数学（上册、下册）.高等教育出版社，2000。

第三篇：《高等数学》教学大纲

《高等数学》教学大纲

课程名称：高等数学Ⅰ

课程代号：

学时数：

学分数:

适用专业：专升本

一、本课程的地位、任务和作用

高等数学是人们在从事高新技术及知识创新中必不可少的工具，它的内容、思想、方法和语言已广泛渗入自然科学和社会科学，成为现代文化的重要组成部分。21世纪是信息时代，它不仅给人类生活带来日新月异的变化，也给“高等数学”课程的教学增添了新的内涵。

“高等数学”是高等院校的一门重要的基础课，通过学习使学生受到必要的高等数学教育，使其具有一定的数学素养，为后续课程学习及今后的应用打下良好的数学基础。

二、本课程的基本内容及要求

第一章

函数

（一）基本内容

函数的概念及表示法,函数的有界性、单调性、周期性、奇偶性，复合函数，反函数，隐函数，基本初等函数的性质及其图形。掌握常用的不等式和等式以及极坐标。

（二）基本要求

1．理解函数的概念，掌握表示法。

2．了解函数的有界性，单调性，周期性，奇偶性。

3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数，隐函数概念。

4．掌握简单初等函数的性质及其图形。

5．掌握常用的不等式和等式以及极坐标。

第二章

极限与连续

（一）基本内容

熟练掌握数列极限与函数极限的定义及性质，函数的左、右极限，无穷小与无穷大的概念，无穷小的性质及其比较，极限的四则运算，极限存在的两个准则，两个重要极限

函数连续的概念，间断点的类型，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质。

（二）基本要求

1．理解数列极限与函数极限的概念。

理解函数的左、右极限概念及极限存在与左、右极限存在的关系。

2．掌握极限的性质、极限的四则运算法则。

3．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，基本掌握利用“两个重要极限”求极限的方法。

4．理解无穷小与无穷大的概念，掌握无穷小比较方法，会用等价无穷小求极限。

5．理解函数连续的概念，会判别函数间断点的类型。

6．了解连续函数的性质，初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质并会利用这些性质。

第三章

一元函数微分学

（一）基本内容

导数和微分的概念，导数的几何意义和物理意义，函数的可导性与连续性之间的关系，平面曲线的切线和法线，基本初等函数的导数，导数和微分的四则运算，复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法，高阶导数的概念，某些简单函数n阶导数，一阶微分形式的不变性，微分在近似计算中的应用。

（二）基本要求

1．理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述简单物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系。

2．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数求导公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分，初步了解微分在近似计算中的应用。

3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数。

4．会求分段函数的导数。

5．会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。

第四章

一元函数微分学的应用

（一）基本内容

罗尔（Rolle）定理，拉格朗日（Lagrange）中值定理，柯西定理（Cauchy）中值定理，泰勒（Taylor）中值定理，洛比达（L＇Hospital）法则，函数的极值及其求法，函数单调性，函数图形的凹凸性、拐点及渐近线，函数图形的描绘，函数最大值和最小值的及其简单应用，弧微分，曲率半径。

（二）基本要求

1．理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理，初步了解泰勒定理。了解柯西中值定理。

2．掌握用“洛比达“法则求未定式极限的方法。

3．理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。

4．会利用导数判断函数图形的凹凸性和拐点，会求函数图形的水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。

5．了解弧微分的概念及其计算公式，了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。

第五章

一元函数积分学

（一）基本内容

原函数和不定积分的概念，不定积分的基本性质，不定积分和定积分的换元积分与分部积分方法，有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分。

（二）基本要求

1．理解原函数、不定积分的概念。

2．掌握不定积分的基本公式，理解不定积分的性质，掌握不定积分的换元法和分部积分法。

3．会求有理函数、三角函数有理式及简单无理函数的积分。

第六章

一元函数积分学的应用

（一）基本内容

定积分的元素法，用定积分计算面积、体积、弧长，用定积分计算功、水压力、引力。

（二）基本要求

1．掌握用定积分表达和计算一些几何量（平面图形的面积、旋转体的体积、平面截面面积为已知的立体体积、平面曲线的弧长）。

2．掌握用定积分表达和计算一些物理量（变力沿直线所做的功、水压力和引力）。

笫七章

常微分方程

（一）基本内容

微分方程的概念，微分方程的解、阶、通解、初始条件和特解，变量可分离的方程，齐次方程，一阶线性方程，伯努利（Benoulli）方程，全微分方程，可用简单的变量代换求解的某些微分方程，可降阶的高阶微分方程，线性微分方程解的性质及解的结构定理，二阶常系数齐次线性微分方程，高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程，简单的二阶常系数非齐次线性微分方程，欧拉（Euler）方程，微分方程的幂级数解法，微分方程的简单应用问题。

（二）基本要求

1．了解微分方程及其解、通解、初始条件和特解等概念

2．掌握可分离变量方程及一阶线性方程的解法

3．会求解齐次方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换求解某些微分方程。

4．会用降阶法求解方程：。

5．理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。

6．掌握二阶常数齐次线性微分方程的解法，并会求解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。

7．会求自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解。

8．了解微分方程的幂级数解法，会求解欧拉方程。

9．会用微分方程解决一些简单的应用问题。

笫八章

向量代数与空间解析几何

（一）基本内容

向量的概念，向量的线性运算，向量的数量积和向量积的概念及运算，两向量垂直、平行的条件，两向量的夹角，向量的坐标表达式及其运算，单位向量，方向数与方向余弦，曲面方程和空间曲线方程的概念，平面方程、直线方程，平面与平面、平面与直线、直线与直线的平行、垂直的条件和夹角，点到平面和点到直线的距离，球面，母线平行于坐标轴的柱面，旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程，常用的二次曲面方程及其图形，空间曲线的参数方程和一般方程，空间曲线在坐标面上的投影曲线方程。

（二）基本要求

1．理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。

2．掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积），掌握两个向量垂直、平行的条件。

3．掌握单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算的方法。

4．掌握平面方程和直线方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题。

5．理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。

6．了解空间曲线的参数方程和一般方程。

7．了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程。

第九章

多元函数微分学

（一）基本内容

多元函数的概念，二元函数的几何意义，二元函数极限和连续的概念，有界闭区域多元连续函数的性质，多元函数偏导数和全微分的概念，全微分存在的必要条件和充分条件，全微分在近似计算中的应用，多元复合函数、隐函数的求导法，二阶偏导数，方向导数和梯度的概念及其计算，空间曲线的切线和法平面，曲面的切平面和法线，二元函数的最大值、最小值及其简单应用。

（二）基本要求

1．理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义。

2．了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。

3．理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性，了解全微分在近似计算中的应用。

4．理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。

5．掌握多元复合函数偏导数的求法。

6．会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。

7．了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们方程。

8．理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。

第十章

重积分

（一）基本内容

二重积分、三重积分的概念及性质，二重积分与三重积分的计算和应用。

（二）基本要求

1．理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质。

2．掌握二重积分（直角坐标系、极坐标系）的计算方法，会计算三重积分（直角坐标系、柱面坐标、球面坐标）。

3．会用重积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、引力等）。

第十一、十二章

曲线积分与曲面积分

（一）基本内容

两类曲线积分的概念、性质及计算，两类曲线积分的关系，格林（Green）公式，平面曲线积分与路径无关的条件，已知全微分求原函数，两类曲面积分的概念、性质及计算，两类曲面积分的关系，高斯（Gauss）公式，斯托克斯（Stokes）公式，散度、旋度的概念及计算，曲线积分和曲面积分的应用。

（二）基本要求

1．理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。

2．掌握计算两类曲线积分的方法。

3．掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数。

4．了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法，了解高斯公式、斯托克斯公式，会用高斯公式计算曲面积分。

7．了解散度与旋度的概念，并会计算。

8．会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、引力、功及流量等）。

第十三章

无穷级数

（一）基本内容

常数项级数的收敛与发散的概念，收敛级数的和的概念，级数的基本性质与收敛的必要条件，几何级数与级数以及它们的收敛性，正项级数的比较审敛法、比值审敛法、根值审敛法，交错级数与莱布尼茨定理，任意项级数的绝对收敛与条件收敛，函数项级数的收敛域与和函数的概念，幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）和收敛域，幂级数的和函数，幂级数在其收敛区间内的基本性质，简单幂级数的和函数的求法，函数可展开为泰勒级数的充分必要条件，常见函数如，，等的麦克劳林展开式，幂级数在近似计算中的应用，函数的傅里叶级数，Dirichlet收敛定理，函数在和上的傅里叶级数，函数在和上的正弦级数和余弦级数。

（二）基本要求

1．理解常数项级数的收敛、发散以及收敛级数的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。

2．掌握几何级数与级数的收敛与发散的条件。

3．掌握正项级数的比较审敛法和比值审敛法，会用根值审敛法。

4．掌握交错级数的莱布尼茨定理。

5．理解任意项级数的绝对收敛与条件收敛的概念，了解绝对收敛与条件收敛的关系。

6．了解函数项级数收敛域与和函数的概念。

7．掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛区域的求法。

8．了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质，会求一些幂级数在其收敛区间内的和函数，并会由此求某些数项级数的和。

9．了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。

10．掌握常见函数如，，等的麦克劳林展开式，并会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。

11．了解幂级数在近似计算上的简单应用。

12．了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会将定义在和上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在和上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式。

三、习题数量与要求

（一）数量：以网上作业为主，教师作业为辅。

（二）要求：覆盖基本理论、基本方法、基本计算。

四、教学方式与考核方式

教学方式：面授辅导、平时作业

考核方式：考勤、作业和考试

五、几点说明：

（一）推荐教材

朱士信

唐烁等。高等数学（上、下）。高等教育出版社

（二）参考书目

1．同济大学应用数学系．高等数学（五版）（上、下）．北京：高等教育出版社，2002

2．殷锡鸣等．高等数学．上海：

华东理工大学出版社，2003

3．马知恩．工科数学分析基础（第二版）．北京：高等教育出版社，2006

4．萧树铁．大学数学．北京：高等教育出版社，2005

5．安徽大学数学系．高等数学．合肥：安徽大学出版社，2002

第四篇：高等数学教学大纲

高等数学教学大纲

高等数学A—物理计算机类专业

一、说明

（一）课程性质

高等数学A是非数学理工科本科各专业学生的一门必修的重要基础理论课，它是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量专门人才服务的。它内容丰富，学时较多，既要为理工类专业后继课程提供基本的数学工具，为学生进一步学好其它数学奠定基础；又具有培养学生应用数学知识解决本专业实际问题的意识与能力的任务，因此可以说《高等数学》是基础中的基础。

本大纲适应物理类、计算机类专业2006级学生，在大学一年级开设 开课单位：数理与信息科学学院数学系

（二）教学目的及要求

通过本课程的学习，要使学生获得：函数、极限、连续、一元函数微积分学及其应用，常微分方程，向量代数与空间解极几何，多元函数微积分学及其应用，无穷级数等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能。

通过各个教学环节逐步培养学生以下几方面的能力：比较熟练的基本运算能力、综合运用所学知识分析和解决实际问题的能力、数学建模及使用计算机求解数学模型的能力、初步抽象概括问题的能力、自主学习的能力以及一定的逻辑推理能力。使学生在掌握数学知识的同时，尽量多地理解数学思想、明晰数学方法、建立数学思维。为学习后继课程和进一步获取数学知识奠定必要的数学基础。

（三）教学内容

1.函数与极限；2.一元函数微积分学；3.向量代数和空间解析几何；4.多元函数微积分学；5.无穷级数(包括傅立叶级数)；6.常微分方程等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能。

（四）教学时数及学分

总学时:180学时，分两学期授课，每学期各90学时；总学分:2×5学分=10学分

（五）教学方式

（1）用“案例教学法”引入数学概念

在微积分的教学过程中,对于极限、导数、微分、不定积分、定积分、微分方程、向量、偏导数、全微分、重积分、级数、极值与最值等重要数学概念都通过不同的实例引入，以增加学生的学习兴趣和学习动力，为学生利用所学知识解决类似的实际问题奠定基础。

（2）用“讨论法”展开习题课的教学

在高等数学习题课的教学过程中，提出问题，并引导大家讨论问题，不但可以达到释难解疑的目的，而且还能培养锻炼学生的表达能力，激发学生学习热情。（3）用“对比法”引入新的数学概念与运算

在高等数学课程的教学过程中，根据教学内容的需要，适时采用对比法引入新的数学概念与运算。这样，有利于学生消化吸收新的数学概念与运算，达到事半功倍的教学效果。（4）适时地利用直观性教学原则处理抽象的数学概念

在高等数学课程的教学过程中，适时地利用直观性教学原则处理抽象的数学概念是非常重要的.直观性教学法不但可以帮助学生理解抽象的数学概念,而且还可以帮助学生记忆,培养学生形象思维能力。

（5）《高等数学》教学内容的系统性和严谨性是必要的，但在教学上不能过分形式化。在讲授传统内容时，应注意运用现代数学的观点、概念、方法以及术语等符号，加强与其它不同分支之间的相互渗透，不同内容之间的相互联系。淡

化运算技巧训练。

二、本文

高等数学A(一)

一

函数、极限、连续（16学时）

教学要点：

集合的概念，函数的概念与运算性质、函数作图，几类特殊函数；函数的几何特性；极限的概念及其性质、计算；无穷小的比较；函数的连续与间断；初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质及其应用。

教学内容：

1）函数的概念及函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。

2）复合函数和反函数的概念。3）基本初等函数的性质及其图形。4）建立简单实际问题中的函数关系式。

5）极限的概念(对极限的-N、-定义可在学习过程中逐步加深理解，对于给出求N或不作过高的要求。)，极限四则运算法则及换元法则。

6）极限存在的夹逼准则，了解单调有界准则，会用两个重要极限求极限。7）无穷小、无穷大以及无穷小的阶的概念。等价无穷小求极限。

8）函数在一点连续和在一个区间上连续的概念，间断点的概念，判别间断点的类型。9）初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质(介值定理和最大、最小值定理)。

二 一元函数微分学（28学时）

教学要点：

导数和微分的概念，导数的四则运算及其复合运算，初等函数的导数计算，一阶微分形式不变性；五个微分中值定理；洛必达(L’Hospital)法则，用导数判断函数的单调性、极值与最值、凹凸性与拐点、曲率；函数作图。

教学内容：

1）导数和微分的概念，导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系。用导数描述一些物理量。2）导数的四则运算法则和复合函数的求导法，掌握基本初等函数、双曲函数的导数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性。

3）高阶导数的概念与计算。4）初等函数一阶、二阶导数的求法。

5）隐函数和参数式所确定的函数的一阶、二阶导数；反函数的导数。

6）罗尔(Rolle)定理和拉格朗日(Lagrange)定理，柯西(Cauchy)定理和泰勒(Taylor)定理。7）洛必达(L’Hospital)法则求不定式的极限。

8）函数的极值概念，用导数判断函数的单调性和求极值的方法。较简单的最大值和最小值的应用问题。9）用导数判断函数图形的凹凸性，拐点，函数的图形(包括水平和铅直渐进线)。10）有向弧与弧微分的概念。曲率和曲率半径的概念并会计算曲率和曲率半径。11）求方程近似解的二分法和切线法。

三 一元函数积分学（30学时）

教学要点：

原函数与不定积分的概念及性质，不定积分的基本公式、换元法和分部积分法。定积分的概念及性质，可积条件，牛顿(Newton)-莱布尼兹(Leibniz)公式与定积分的计算。定积分的物理应用与几何应用。

教学内容：

1）原函数与不定积分的概念及性质。不定积分的基本公式、换元法和分部积分法。

2)定积分的概念及性质，可积条件。有理函数的积分。

3)变上限的积分作为其上限的函数及其求导定理，牛顿(Newton)-莱布尼兹(Leibniz)公式。4)定积分的换元法和分部积分法。

5)广义积分的概念以及广义积分的换元法和分部积分法。6)定积分的近似计算法(矩形法、梯形法和抛物线法)。

7)用定积分表达一些几何量与物理量(如面积、体积、弧长、功、引力等)的方法。

四 向量代数与空间解析几何(16学时)教学要点：

向量的概念及其表，向量的运算；平面的方程和直线的方程及其求法，曲面方程。

教学内容：

1）空间直角坐标系。

2）向量的概念及其表示，向量的运算(线性运算、数量积、向量积、混合积)，两个向量垂直、平行的条件。3）单位向量、方向余弦、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算的方法。4）平面的方程和直线的方程及其求法，利用平面、直线的相互关系解决有关问题。

5）曲面方程的概念，常用二次曲面的方程及其图形，以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。

6)空间曲线的参数方程和一般方程。7)曲面的交线在坐标平面上的投影。

高等数学A(二)五 多元函数微分学(18学时)教学要点：

多元函数的概念，极限与连续性的概念；偏导数和全微分的概念及其与连续的关系，计算；链式法则；高阶导数；隐函数的导数，微分法的几何应用；多云函数极值的概念及其计算。

教学内容：

1）多元函数的概念。

2）二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。

3）偏导数和全微分的概念，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解一阶全微分形式的不变性。4）方向导数与梯度的概念及其计算方法。

5）复合函数一阶偏导数的求法，复合函数的二阶偏导数。6）隐函数(包括由两个方程组成的方程组确定的隐函数)的偏导数。7）曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线 方程的求法。

8）多元函数极值和条件极值的概念，二元函数的极值。

条件极值的拉格朗日乘数法，一些较简单的最大值和最小值的应用问题。

六

多元函数积分学（32学时）

教学要点：

二重积分、三重积分的概念及其性质；二重积分、三重积分的计算；曲线积分与曲面积分的概念、性质与计算；格林(Green)公式、高斯(Guass)、斯托克斯(Stokes)公式。各类积分的几何应用与物理应用。

教学内容：

1）二重积分、三重积分的概念，重积分的性质。

2）二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标)，三重积分的计算方法(直角坐标、柱面坐标、球面坐标)。3）两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。4）会计算两类曲线积分。

5）格林(Green)公式，平面曲线积分与路径无关的条件。

6）两类曲面积分的概念及高斯(Guass)、斯托克斯(Stokes)公式并会计算两类曲面积分。7）散度、旋度的计算公式。

8）重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量(如体积、曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、引力、功等)。

七 无穷级数（22学时）

教学要点：

无穷级数收敛、发散以及和的概念，无穷级数基本性质；正项级数的审敛法；条件收敛与绝对收敛的概念及其判别；幂级数的概念与性质、和函数的性质；初等函数的幂级数展开；近似计算；付利叶级数的概念、性质，函数的三角级数展开。

教学内容：

1）无穷级数收敛、发散以及和的概念，无穷级数基本性质及收敛的必要条件。

2）几何级数和p-级数的收敛性。

3）正项级数的比较审敛法，正项级数的比值审敛法。4）交错级数的莱布尼兹定理，交错级数的截断误差的估计。5）无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系。6）函数项级数的收敛域及和函数的概念。

7）比较简单的幂级数收敛区间的求法(区间端点的收敛性可不作要求)。8）幂级数在其收敛区间内的一些基本性质。9）函数展开为泰勒级数的充分必要条件。

10）e，sinx，cosx，ln(1x)和(1x)的马克劳林(Maclaurin)展开式，一些简单函数的幂级数展开。11）幂级数在近似计算上的简单应用。

12）函数展开为傅里叶(Fourier)级数的狄利克雷(Dirichlet)条件，定义在(，)和(l，l)上函数的傅里叶级展开，x定义在(0，l)上函数展开为正弦或余弦级数。

八 常微分方程（18学时）

教学要点：

微分方程、解、阶、通解、初始条件和特解等概念，一阶微分方程的求解；二阶线性微分方程解的结构，二阶常系数齐次线性微分方程的通解与特解的求解。应用。

教学内容：

1）微分方程、解、阶、通解、初始条件和特解等概念。

2）变量可分离的方程及一阶线性方程的解法。齐次方程和伯努利(Bernoulli)方程，用变量代换求方程的思想。3）解全微分方程。4）用降阶法解下列方程：y(n)f(x)，yf(x,y)和yf(y,y)。

5）二阶线性微分方程解的结构。

6）二阶常系数齐次线性微分方程的解法，高阶常系数齐次线性微分方程的解法。

xxP(x)e7）自由项形如(n)、e(AcosxBsinx)二阶常系数非齐次线性微分方程的特解。

8）微分方程解一些简单的几何和物理问题。

三、参考教材

1、《高等数学》(第五版)上、下册，同济大学应用数学系主编，高等教育出版社

2、《微积分》上、下册，同济大学应用数学系编，高等教育出版社

3、《工科数学分析基础》上、下册，马知恩

王绵森主编，高等教育出版社

4、《数学分析》上、下册，复旦大学陈传璋等编，高等教育出版社

5、《高等数学例题与习题》同济大学高等数学教研室编，同济大学出版社

线 性 代 数—物理计算机类专业

一、说明

（一）课程性质

线性代数在高等理工科类各专业的教学计划中是一门必修的基础理论课，它是以讨论有限维空间线性理论为主，具有较强的抽象性与逻辑性，特别是在计算机日益普及的今天，使求解大型线性方程组成为可能，因此本课程所介绍的方法，广泛地应用与各个学科。

本大纲适应物理类、计算机类专业2006级学生，在大学一年级第一学期开设 开课单位：数理与信息科学学院数学系

（二）教学目的及要求

通过教学，使学生掌握该课程的理论与方法，培养解决实际问题的能力，并为学习相关课程及进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。

（三）教学内容

1、行列式；

2、矩阵；

3、向量；

4、线性方程组；

5、矩阵的特征值与特征向量；

6、二次型.（四）教学时数及学分 学时：54学时，学分：3分。

（五）教学方式

讲授与讨论相结合，同时注重基本理论和实际问题的密切结合．

二、本文

一 行列式（8学时）

教学要点：

二阶、三阶行列式的概念与计算，n阶行列式的概念与性质、展开定理，克来姆法则

教学内容：

1)行列式的概念，行列式的定义与性质。

2)应用行列式的性质和行列式的展开定理计算行列式。3)克来姆法则。

4)应用克来姆法则解二、三元线性方程组。重点：利用性质、展开法则计算行列式

难点：计算行列式

二 矩阵（8学时）

教学要点：

矩阵的概念、性质、运算，几种特殊的矩阵，逆矩阵，矩阵的秩，矩阵的初等变换

教学内容：

1）矩阵概念，单位矩阵、对角阵、对称阵等性质； 2）矩阵的线性运算、乘法、转置及其运算规律；

3）逆阵的概念，逆矩阵存在的条件与矩阵求逆的方法；

4）矩阵的初等变换，满秩矩阵定义和性质，矩阵秩的概念及其求法，分块矩阵及其运算。重点：矩阵与矩阵的乘法、逆矩阵存在的条件及其求法、矩阵的秩。

三 向量（10学时）

教学要点：

向量的概念及其相关运算；线性相关、线性无关，向量组的最大无关组和向量组的秩。n维向量空间、子空间、基底，维数与坐标等概念

教学内容：

1）n维向量的概念，向量组线性相关、线性无关的定义，向量组线性相关、线性无关的重要结论； 2）向量组的最大无关组与向量组秩的概念，3）n维向量空间、子空间、基底，维数与坐标等概念

重点：线性相关、线性无关，向量组的最大无关组和向量组的秩。难点：线性相关、线性无关，向量组的最大无关组和向量组的秩。

四 线性方程组（8学时）

教学要点：

线性方程组的概念、解的解构，基础解系、通解与特解。

教学内容：

1）齐次线性方程组有非零解的充要条件及齐次线性方程组有解的充要条件。2）齐次线性方程组的基础解系通解等概念及解的结构。3）用行初等变换求线性方程组通解的方法。

重点：掌握求解方程组解的方法、齐次线性方程组有非零解的充要条件及基础解系、非齐次线性方程组有解的充要条件。

五 矩阵的特征值与特征向量（10学时）

教学要点：

矩阵的特征值与特征向量的概念及其求法，矩阵对角化的充要条件，向量组正交化。

教学内容：

1）矩阵的特征值与特征向量的概念及其求法。

2）相似矩阵的概念和性质及矩阵对角化的充要条件，实对称矩阵的相似对角阵。3）线性无关的向量组正交规范化的方法。4）正交变换与正交矩阵的概念和性质。

重点：矩阵的特征值、特征向量及其求法，矩阵对角化及其求法。难点：矩阵对角化及其求法。

六 二次型（10学时）

教学要点：

二次型及矩阵表示；化二次型为标准形，二次型的正定性及其判别法。

教学内容：

1）二次型及矩阵表示，正交变换法化二次型为标准形；

2）惯性定理、二次型的秩和二次型的正定性及其判别法。

重点：利用正交变换把二次型化为标准型。

难点：利用正交变换把二次型化为标准型。

三、参考教材

《线性代数》同济大学数学教研室 《线性代数》（第三版）同济大学出版社

《线性代数》 金一明

中国物资出版社

《线性代数》同济大学数学教研室 《线性代数》（第四版）高等教育出版社

高等数学B—生化专业

一、说明

（一）课程性质

高等数学B是理工科本科对数学要求较低的专业(如生化专业)的一门必修的基础理论课，它是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量专门人才服务的。它内容丰富，学时较多，既要为理工类专业后继课程提供基本的数学工具，为学生进一步学好其它数学奠定基础；又具有培养学生应用数学知识解决本专业实际问题的意识与能力的任务，因此可以说《高等数学》是基础中的基础。

本大纲适应生化学院各专业2006级学生，在大学一年级开设 开课单位：数理与信息科学学院数学系

（二）教学目的及要求

通过本课程的学习，要使学生获得：函数、极限、连续、一元函数微积分学及其应用，常微分方程，向量代数与空间解极几何，多元函数微积分学及其应用等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能。

通过各个教学环节逐步培养学生以下几方面的能力：比较熟练的基本运算能力、综合运用所学知识分析和解决实际问题的能力、数学建模及使用计算机求解数学模型的能力、初步抽象概括问题的能力、自主学习的能力以及一定的逻辑推理能力。使学生在掌握数学知识的同时，尽量多地理解数学思想、明晰数学方法、建立数学思维。为学习后继课程和进一步获取数学知识奠定必要的数学基础。

（三）教学内容

1.函数与极限；2.一元函数微积分学；3.常微分方程4.向量代数和空间解析几何； 5.多元函数微积分学等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能。

（四）教学时数及学分

总学时: 108学时，分两学期授课，总学分:6学分； 部分专业72学时在第一学期开设，总学分： 4学分。

（五）教学方式

以讲授为主。在微积分的教学过程中,对于极限、导数、微分、不定积分、定积分、微分方程、向量、偏导数、全微分、重积分、级数、极值与最值等重要数学概念都通过不同的实例引入，以增加学生的学习兴趣和学习动力，为学生利用所学知识解决类似的实际问题奠定基础。

《高等数学》教学内容的系统性和严谨性是必要的，但在教学上不能过分形式化。在讲授传统内容时，应注意运用现代数学的观点、概念、方法以及术语等符号，加强与其它不同分支之间的相互渗透，不同内容之间的相互联系。淡化运算技巧训练。

二、本文

一

函数、极限、连续（15学时）

教学要点：

集合的概念，函数的概念与运算性质、函数作图，几类特殊函数；函数的几何特性；极限的概念及其性质、计算；无穷小的比较；函数的连续与间断；初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质及其应用。

教学内容：

1）函数的概念及函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。

2）复合函数和反函数的概念。3）基本初等函数的性质及其图形。4）建立简单实际问题中的函数关系式。

5）极限的概念(对极限的-N、-定义可在学习过程中逐步加深理解，对于给出求N或不作过高的要求。)，极限四则运算法则及换元法则。

6）极限存在的夹逼准则，了解单调有界准则，会用两个重要极限求极限。7）无穷小、无穷大以及无穷小的阶的概念。等价无穷小求极限。

8）函数在一点连续和在一个区间上连续的概念，间断点的概念，判别间断点的类型。9）初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质(介值定理和最大、最小值定理)。

二 一元函数微分学（21学时）

教学要点：

导数和微分的概念，导数的四则运算及其复合运算，初等函数的导数计算，一阶微分形式不变性；五个微分中值定理；洛必达(L’Hospital)法则，用导数判断函数的单调性、极值与最值、凹凸性与拐点、曲率；函数作图。

教学内容：

1）导数和微分的概念，导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系。用导数描述一些物理量。2）导数的四则运算法则和复合函数的求导法，掌握基本初等函数、双曲函数的导数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性。

3）高阶导数的概念与计算。4）初等函数一阶、二阶导数的求法。

5）隐函数和参数式所确定的函数的一阶、二阶导数；反函数的导数。

6）罗尔(Rolle)定理和拉格朗日(Lagrange)定理，柯西(Cauchy)定理和泰勒(Taylor)定理。7）洛必达(L’Hospital)法则求不定式的极限。

8）函数的极值概念，用导数判断函数的单调性和求极值的方法。较简单的最大值和最小值的应用问题。9）用导数判断函数图形的凹凸性，会求拐点，函数图形的描绘(包括水平和铅直渐进线)。10）有向弧与弧微分的概念。曲率和曲率半径的概念，曲率和曲率半径。11）方程近似解的二分法和切线法。

三 一元函数积分学（24学时）

教学要点：

原函数与不定积分的概念及性质，不定积分的基本公式、换元法和分部积分法。定积分的概念及性质，可积条件，牛顿(Newton)-莱布尼兹(Leibniz)公式与定积分的计算。定积分的物理应用与几何应用。

教学内容：

1）原函数与不定积分的概念及性质。不定积分的基本公式、换元法和分部积分法。

2)定积分的概念及性质，了解可积条件。会求简单的有理函数的积分。

3)变上限的积分作为其上限的函数及其求导定理，牛顿(Newton)-莱布尼兹(Leibniz)公式。4)定积分的换元法和分部积分法。

5)广义积分的概念以及广义积分的换元法和分部积分法。

6)定积分的近似计算法(矩形法、梯形法和抛物线法)。

7)用定积分表达一些几何量与物理量(如面积、体积、弧长、功、引力等)的方法。

四 常微分方程（14学时）

教学要点：

微分方程、解、阶、通解、初始条件和特解等概念，一阶微分方程的求解；二阶线性微分方程解的结构，二阶常系数齐次线性微分方程的通解与特解的求解。应用。

教学内容：

1）微分方程、解、阶、通解、初始条件和特解等概念。

2）变量可分离的方程及一阶线性方程的解法。齐次方程和伯努利(Bernoulli)方程，用变量代换求方程的思想。3）解全微分方程。4）用降阶法解下列方程：y(n)f(x)，yf(x,y)和yf(y,y)。

5）二阶线性微分方程解的结构。

6）二阶常系数齐次线性微分方程的解法，高阶常系数齐次线性微分方程的解法。

xxP(x)e7）自由项形如(n)、e(AcosxBsinx)二阶常系数非齐次线性微分方程的特解。

8）微分方程解一些简单的几何和物理问题。

五 向量代数与空间解析几何(12学时)教学要点：

向量的概念及其表，向量的运算；平面的方程和直线的方程及其求法，曲面方程。

教学内容：

1）空间直角坐标系。

2）向量的概念及其表示，向量的运算(线性运算、数量积、向量积、混合积)，两个向量垂直、平行的条件。3）单位向量、方向余弦、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算的方法。4）平面的方程和直线的方程及其求法，利用平面、直线的相互关系解决有关问题。

5）曲面方程的概念，常用二次曲面的方程及其图形，以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。

6)空间曲线的参数方程和一般方程。7)曲面的交线在坐标平面上的投影。

六 多元函数微分学(12学时)教学要点：

多元函数的概念，极限与连续性的概念；偏导数和全微分的概念及其与连续的关系，计算；链式法则；高阶导数；隐函数的导数，微分法的几何应用；多云函数极值的概念及其计算。

教学内容：

1）多元函数的概念。

2）二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。

3）偏导数和全微分的概念，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解一阶全微分形式的不变性。4）方向导数与梯度的概念及其计算方法。

5）复合函数一阶偏导数的求法，复合函数的二阶偏导数。6）隐函数(包括由两个方程组成的方程组确定的隐函数)的偏导数。7）曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线 方程的求法。

8）多元函数极值和条件极值的概念，二元函数的极值。

条件极值的拉格朗日乘数法，一些较简单的最大值和最

小值的应用问题。

七

多元函数积分学（10学时）

教学要点：

二重积分、三重积分的概念及其性质；二重积分、三重积分的计算；重积分的几何应用与物理应用。

教学内容：

1）二重积分、三重积分的概念，重积分的性质。

三、参考教材

1．《高等数学(少学时类型)》上、下册，同济大学应用数学系编

高等教育出版社 2.《高等数学释疑解难》，工科数学课程教学指导委员会编

高教出版社 3.《高等数学例题与习题》，同济大学数学教研组主编

同济出版社

2）二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标)，三重积分的计算方法(直角坐标、柱面坐标、球面坐标)。3）利用重积分求一些几何量与物理量(如体积、曲面面积、质量、重心、转动惯量、引力、功等)。

概率论与数理统计

一、说明

（一）课程性质

《概率论与数理统计》非数学专业理工类本科生开设的，制订大纲的原则是使具有一定数学基础的学生对该领域的基础知识、背景有所了解，为进一步学习更深的理论打下基础。

（二）教学目的和要求

通过本课程的学习，使学生较好地掌握概率特有的分析概念，并在一定程度上掌握概率论认识问题、解决问题的方法，对数理统计基本概念和结果有一定的了解，并能运用其手法解决实际生产中的简单课题。

本大纲适用于本科专业的教学。概率论与数理统计是一门比较抽象的数学学科，在高等学校非数学理工科类各专业教学计划中是一门重要的基础理论课。通过本课程的教学，使学生掌握概率论与数理统计的基本概念，了解其基本理论和方法，从而使学生初步掌握基本思想和方法，培养学生运用概率论与数理统计方法分析和解决实际问题的能力。

（三）教学内容

本课程介绍概率论的基本概念．随机变量及其概率分布、二项分布、泊松分布及正态分布，随机向量及其分布，数理统计常用的几个分布，数理统计的基本概念，统计推断，应用简介等内容。

重点：详尽讲解基本概念和基本方法。

难点：概率论特有的思考方法是该课的难点，讲解时尽可能将主要概念的产生背景及概念之间的内在联系加以介绍（例如为什么要研究随机理论，数理统计在实际应用中的经济效益）并配合举一些说明问题的例子。

本课程涉及到微积分、代数、解析几何等知识，因而在开设本课程之前需为学生开设预备课程：数学分析、高等代数、解析几何。

（四）教学时数及学分

总学时:54学时 ；总学分:3学分。

（五）教学方式

以讲授为主，在条件允许的情况下，可辅助于实验教学。

在教学中应该注重对学科精神的领会；体现以‘人为本’的教育理念；采用引导式教学模式，即在在传授知识的同时，开阔学生的数学视野，认识数学的科学价值和人文价值，崇尚数学的理性精神，形成审慎思维的良好习惯，从而激

活学生的创新潜能、激发他们的创新欲望、增长他们的创新能力。

二、本文

一 概率论的基本概念(8学时)教学要点：

本部分介绍随机试验、事件、概率及一些简单性质,古典概型,条件概率,事件的独立性,贝叶斯公式,全概率公式。

教学内容：

1）概率论的研究对象。

2）概率、基本事件、独立性等定义。3）概率的主要性质及运算规则。

4）用贝叶斯公式、全概率公式进行证明与计算。

重点、难点：概率的概念及运算，全概率公式，贝叶斯公式。

二

随机变量及其分布(8学时)教学要点：

本部分介绍随机变量、离散分布、连续分布及分布函数等内容。

教学内容：

1）概率分布的类型（离散型、连续型）。2）随机变量的分布函数的定义、性质。3）随机变量函数的分布的求解。

重点、难点：学会对不同类型的随机变量用适当的概率方式描述。

三

多维随机变量及其分布(8学时)教学要点：

本部分介绍二维随机变量的联合分布、边缘分布、条件分布等概念，随机变量独立性概念，及两个随机变量函数的分布的求解。

教学内容：

1）二维随机变量的相关分布。

２）随机变量独立性概念。

３）解简单的两个随机变量函数的分布。

重点、难点：多维随机变量的描述方法、两个随机变量函数的分布的求解。

四

随机变量的数字特征(10学时)教学要点：

本部分介绍数学期望、方差、协方差、相关系数及矩的概念。

教学内容：

１）各种数字特征的定义及运算性质。

２）几种重要的随机变量的期望及方差。

重点、难点：各种数字特征的概念及算法。

五

大数定律及中心极限定理(2学时)

教学要点：

本部分介绍两个极限定理。

教学内容：

１）大数定律及中心极限定理的主要内容。

２）用中心极限定理近似计算。

重点、难点：理解依概率收敛的概念。

六

样本及抽样分布(2学时)教学要点：

本部分介绍数理统计的基本概念几个常用分布。

教学内容：

１）几个基本概念：总体、样本、样本特征及其数值计算。

２）х分布、t分布、F分布这三个常用分布。

３）几个常用的抽样分布。

重点、难点：抽样分布的概念。

2七 参数估计(8学时)教学要点：

本部分介绍估计量及其好坏标准，求估计量的方法，置信区间等内容。

教学内容：

１）参数估计的基本提法。

２）参数估计的两种方法：点估计法和区间估计法。

重点、难点：矩估计法、极大似然估计法、置信区间及单侧置信区间。

八 假设检验(8学时)教学要点：

本部分介绍假设检验的基本内容。

教学内容：

１）假设检验的原理：小概率事件原理。

２）最小二乘原理并会做一元线性回归。

重点、难点：方差分析及回归分析的原理及方法。

三、参考教材

1、《概率论与数理统计》浙江大学数学系盛骤等编著，高等教育出版社。2．《概率论与数理统计》（第二版）华中科技大学数学系，高教出版社 3．《概率论与数理统计教程》周概容著，高等教育出版社。4．《概率论基础及其应用》王梓坤著，科学出版社。

5、《概率论与数理统计教程》（第四版）沈恒范编，高等教育出版社，2003.6、《概率论与数理统计学习辅导与习题全解》华中科技大学数学系，高教出版社，2003.7、《概率论与数理统计教程》茆诗松等编著，高等教育出版社，2004.8、《概率论与数理统计》陈希孺编著，科学出版社，中国科学技术大学出版社，2000.9、《概率论与数理统计教程》 魏宗舒编，概高等教育出版社，1983.10、《概率论基础及其应用》 王梓坤编，高等教育出版社，1996.微积分—经济类专业

一、说明

（一）课程性质

微积分是经济与现代科学管理科学中的一种基本分析工具，是经济类专业本科生的数学基础课,是必修的重要理论基础课程。

本大纲从经济系经济类各专业2004级本科生开始执行，在大学一年级开设。

开课单位：数理与信息科学学院数学系

（二）教学目标及要求

课程以极限理论为基础，研究微分和积分的理论和应用,也就是更深入地研究函数的连续性、可微性和可积性等问题。学习此课程的目的是获得微积分的基本概念、基本理论、基本方法和运算技能，培养学生抽象思维能力，提高学生数学思想和解决问题能力方面的基本素质，为今后学习各类后继课程和进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。数学课是大学生入学后分量较重的一门课，本课程还应有这样的作用，使他们尽快地适应大学阶段的学习特点。

（三）教学内容

微积分课程要用两个学期，要求学生学习一元函数微积分(导数，不定积分与定积分的概念、计算)，多元函数微积分(空间解析几何简介，偏导数与多重积分计算)，无穷级数（数项级数的概念和审敛法；函数项级数的概念、求和函数和函数展开成幂级数），常微分方程和差分方程。以及它们在经济函数中的应用。这些应涵盖考研数学三中的微积分部分所要求的内容。

（四）、课程总学时学分要求

总课时为136学时，总学分 7学分。在大学一年级分两学期开设。

微积分Ⅰ：64学时，3学分；微积分Ⅱ：72学时，4学分。

（五）教学方式

以讲授为主，在条件允许的情况下，可辅助于实验教学。

在教学中应该注重对学科精神的领会；体现以‘人为本’的教育理念；采用引导式教学模式，即在在传授知识的同时，开阔学生的数学视野，认识数学的科学价值和人文价值，崇尚数学的理性精神，形成审慎思维的良好习惯，从而激活学生的创新潜能、激发他们的创新欲望、增长他们的创新能力。

二、本文

微积分Ⅰ

一

函数（6课时）

教学要点：

预备知识，函数概念，函数的几何特征，反函数，复合函数，初等函数，简单函数关系的建立。

教学内容：

1）实数与实数绝对值的概念，解简单绝对值不等式的方法。2)函数、函数的定义域和值域等概念，函数的表示法。3)函数的几何特性及其各几何特性的图形特征。

4）反函数的概念；函数与其反函数的图形关系；简单函数的反函数。

5）复合函数的概念；两个（或多个）函数能构成复合函数的条件；求简单函数复合运算的方法；将一个复合函数分解为较简单函数的方法。

6）基本初等函数及其定义域、值域等概念；基本初等函数的基本性质。7）初等函数的概念；分段函数的概念。

8）成本、收益、利润、需求、供给等经济函数及其性质；会建立简单应用问题的函数关系。

注：本章内容带有复习性质，凡中学已经学过的有关函数的知识，只需加以总结，不必再作详细讲解。

二

极限与连续（16学时）

教学要点：

数列极限；函数极限，函数极限的性质及运算法则，无穷大量与无穷小量；函数的连续性，闭区间上连续函数的性

质

教学内容：

1）数列、数列的收敛和发散、数列极限等概念；数列极限的四则运算性质和夹逼定理；单调数列、有界数列的概念；

n收敛数列的简单性质和数列{(11的极限。（数列极限的分析定义以及与之相关的性质证明不作要求）n)}2）函数的极限过程概念；函数在某一过程下的收敛、发散、极限等概念；单侧极限的概念；利用函数的图形认识函数极限；利用函数值的变化趋势认识函数极限。

3）函数极限的局部有界性和保号性；函数极限的夹逼定理、四则运算法则和复合函数的极限；利用四则运算和变量替换求极限的方法。（函数极限的分析定义以及与之相关的性质证明不作要求）

4）无穷小量和无穷大量的概念和基本性质；无穷小量阶的比较以及常见的等价无穷小量；无穷小量与无穷大量之间的关系；等价无穷小量在求极限中的应用。

5）函数连续、左连续、右连续以及函数间断的概念；函数间断点的分类。

6）函数在连续点的局部性质、四则运算性质；复合函数的连续性，初等函数在其定义区间内必连续的结论；函数的连续性在求函数极限中的应用。

7）函数的零点概念；闭区间上连续函数的性质及其应用。（闭区间上连续函数的性质不作证明，只介绍其应用）

三

导数与微分（12学时）

教学要点：

导数概念，导数运算与导数公式，复合函数求导法则，微分及其计算，高阶导数与高阶微分，导数与微分在经济学中的简单应用

教学内容：

1）导数的概念；导数的几何意义与经济意义；函数在可导点的局部性质。2）基本初等函数的导数公式。3）导数的四则运算公式。

4）反函数的导数公式（反函数求导公式的证明不作要求）。5）复合函数导数的链式法则（证明不作要求）。6）对数求导法与隐函数求导法。

7）微分的概念；可导与可微的关系；求函数微分的方法和运算法则；微分在近似计算中的应用和一次微分的形式不变性。

8）高阶导数的概念和记号；求二阶、三阶导数及某些简单函数的n阶导数的方法；高阶微分的概念和记号。9）边际与弹性的概念；边际收益和需求价格弹性之间的关系。

四

中值定理与导数的应用（18学时）

教学要点：

微分中值定理；泰勒公式，洛必达法则；函数的单调性与凹凸性，函数的极值与最大（小）值，函数作图

教学内容：

1）函数极值的定义；费马定理、罗尔定理、拉格朗日定理和柯西定理及其证明；这些定理的应用以及它们之间的关系

2）泰勒定理及其在求函数极限中的应用。

3）洛必达法则和各种未定式的定值方法。（只证明

0型不等式的洛必达法则，型未定式的洛必达法则的证明不0作要求）

4）函数单调性和凹凸性的判别方法；曲线拐点；函数单调性和凹凸性的应用。

5）函数的极值与最值；函数极值与最值的关系与区别；某些简单经济应用问题中的极值。6）简单函数的渐近线；函数作图的基本步骤和方法；某些简单函数的图形。

五

不定积分（12学时）

教学要点：

原函数与不定积分的概念；基本积分公式；换元积分法；分部积分法。

教学内容：

1）原函数与不定积分的概念，不定积分的基本性质。2）基本积分表。

3）计算不定积分的二种换元积分法和分部积分法。

4）三种简单的分式的不定积分：

AAMxN2dx，dxxa(xa)mx2pxqdx(p-4q0)。

微积分Ⅱ

六

定积分（16学时）

教学要点：

定积分的概念与性质；微积分基本定理；定积分的换元积分法和分部积分法；定积分的应用 ；反常积分初步。

教学内容：

1）定积分的概念和基本性质，积分中值定理。2）牛顿－莱布尼兹公式；变限积分的导数。3）定积分的换元积分法和分部积分法。

4）求总量的微元法；利用定积分计算平面图形的面积和旋转体的体积；利用定积分求解一些简单的经济应用问题。5）反常积分收敛与发散的概念；计算收敛的反常积分的方法；反常积分数和函数的概念、基本性质以及递推公式。

1111dx的敛散性条件；dx与 函pp0xx

七

多元函数微积分学（24学时）

教学要点：

预备知识，多元函数的概念；方向导数、偏导数与全微分；多元复合函数与隐函数微分法；高阶偏导数与高阶全微分；多元函数的极值。

教学内容：

1）空间坐标系的有关概念，空间两点之间的距离；向量的概念和坐标表示；向量的平行和垂直的坐标表示；平面和空间中常见的二次曲面的方程；平面上点的邻域、区域及其边界、闭区域等概念。2）多元函数的概念；二元函数的定义与表示法。3）二元函数的极限与连续性的概念。

4）二元函数的方向导数、偏导数、全微分的概念；多元函数的偏导数与全微分的概念；求偏导数与全微分的方法；函数的梯度概念。

5）多元复合函数偏导数的链式法则；多元函数的一次微分形式不变性；隐函数的微分法。6）二元函数的高阶偏导数和高阶全微分的表示及其求法。

7）二元函数极值与条件极值的概念；二元函数极值存在的必要条件与充分条件；二元函数的极值；用拉格朗日乘数法求简单二元函数的条件极值。

8）二重积分的概念、几何意义与基本性质；在直角坐标系与极坐标系下计算二重积分的常用方法；一些简单的二重积分的计算；无界区域上的反常二重积分概念、记号。

八

无穷级数（14学时）

教学要点：

常数项级数的概念和性质，正项级数，任意项级数，幂级数。

教学内容：

1）无穷级数及其一般项、部分和、收敛与发散，以及收敛级数的和等基本概念。2）几何级数与P级数的敛散性判别条件；调和级数的敛散性。3）级数收敛的必要条件，以及收敛级数的基本性质。

4）正项级数的比较判别法、比值判别法、根值判别法，正项级数的积分判别法。5）交错级数的莱布尼兹判别法。

6）任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念；绝对收敛与条件收敛的判别方法。

7）函数项级数的收敛点、收敛域、和函数等基本概念；幂级数的阿贝尔定理；幂级数的收敛点、收敛半径、收敛区间、收敛域、和函数概念；幂级数收敛半径、收敛区间的求法；幂级数收敛域的求法；幂级数在收敛区间内的连续性、逐项求导公式、逐项求积公式；幂级数在收敛区间内的性质求简单幂级数的和函数及简单数项级数的和。

8）函数的泰勒级数、麦克劳林级数；基本初等函数的麦克劳林展开式；间接展开法求一些简单函数的幂级数展开式。

九

微分方程初步（10学时）

教学要点：

微分方程的基本概念；一阶微分方程；二阶常系数线性微分方程；微分方程在经济学中的应用

教学内容：

1）微分方程的阶、通解与特解等概念。

2）可分离变量方程、齐次方程和一阶线性微分方程的解法。

3）二阶常系数齐次和非齐次线性微分方程解的结构；二阶常系数齐次线性微分方程的解法；二阶常系数非齐次线性微分方程特解和通解的求法。

4）一些简单的经济应用题。

十 差分方程（8学时）

教学要点：

差分方程的基本概念；一阶常系数线性差分方程；二阶常系数线性差分方程；差分方程在经济学中的简单应用。

教学内容：

1）差分与差分方程，差分方程的阶与解（通解与特征）等概念。2）一阶与二阶常系数齐次线性差分方程的解法。

3）某些特殊的一阶与二阶常系数非齐次线性差分方程的特解与通解。4）一些简单经济应用题。

三、教材与参考教材

教材：《微积分》（第二版）朱来义主编 高等教育出版社2004.3第二版 参考书： 《高等数学》（第五版）同济大学应用数学系主编 高等教育出版社2002年7月出版 《微积分与数学模型》贾晓峰主编 高等教育出版社

《微积分学习与考试指导》赵树螈 胡显佑 陆启良 中国人民大学出版社 《经济数学基础教材辅导》(微积分)北大数学科学学院 田勇 主编

双博士数学课题组 编写 机械工业出版社2002 《微积分学习指导》 韩云瑞 等编 清华大学出版社

《微积分全程学习指导》第二版 王丽燕 秦禹春 编著 大连理工大学出版社

线 性 代 数—经济类专业

一、说明

（一）课程性质

本课程是高等经济类各专业的一门必修的基础理论课，它是以讨论有限维空间线性理论为主，具有较强的抽象性与逻辑性，特别是在计算机日益普及的今天，使求解大型线性方程组成为可能，因此本课程所介绍的方法，广泛地应用与各个学科。

本大纲适应经济类专业2006级学生，在大学一年级第一学期开设 开课单位：数理与信息科学学院数学系

（二）教学目的及要求

通过教学，使学生掌握该课程的理论与方法，培养解决实际问题的能力，并为学习相关课程及进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。

（三）教学内容

1、矩阵；

2、线性方程组；

3、线性空间与线性变换

4、矩阵的特征值与特征向量；

5、二次型.（四）教学时数及学分 学时：54学时，学分：3分。

（五）教学方式

讲授与讨论相结合，同时注重基本理论和实际问题的密切结合．

一 矩阵（16学时）

教学要点：

矩阵的概念，矩阵的运算，方阵的行列式，矩阵的分块，可逆矩阵，矩阵的初等变换，矩阵的秩，矩阵应用的两个例子。

教学内容：

1）2）3）4）5）6）

矩阵的加法、乘法、数乘和转置的定义及其运算法则，矩阵的经济背景。方阵的行列式定义，行列式的性质。

矩阵分块的概念；分块矩阵的运算及其运算法则。可逆矩阵的概念及其性质，用伴随矩阵求矩阵的逆。

矩阵初等变换的概念及其与初等矩阵的关系，用行初等变换的方法求矩阵的逆。矩阵的秩的概念。

二 线性方程组（20学时）

教学要点：

线性方程组，向量及其线性运算，向量间的线性关系，向量组的秩，线性方程组解的结构，Rn的标准正交基

教学内容：

1）克拉默法则的条件和结论；线性方程组有解的判别定理。2）n维向量的概念；向量的加法和数乘运算及其运算法则。

3）向量的线性组合的概念； 向量组线性相关和线性无关的概念； 向量组的极大线性无关组的概念； 向量组的秩和矩阵的秩的关系。向量组的极大无关组和秩。

4）齐次线性方程组的基础解系的概念；线性方程组解的性质和解的结构；用行初等变换的方法求线性方程组的一般解，由此求出方程组的全部解。

5）Rn的基的概念；向量内积的定义及其运算性质；向量正交的定义和正交向量组的概念；掌握施密特正交化方法； Rn的标准正交基的概念；正交矩阵的定义与性质。

三 线性空间与线性变换（8学时）

教学要点：

线性空间，线性变换，欧几里得空间简介

教学内容：

1）线性空间的概念，知道线性空间的维数、基与坐标，基变换与坐标变换的矩阵表示。2）线性变换的定义及简单性质，线性变换在一组基下的矩阵，线性变换与矩阵的对应关系。

3）欧几里得空间中的内积、向量长度、向量的夹角、向量正交等概念。标准正交基以及求标准正交基的施密特正交化方法。正交矩阵与正交变换的概念。

四 矩阵的特征值和特征向量（12学时）

教学要点：

矩阵的特征值和特征向量，相似矩阵与矩阵可对角化的条件，实对称矩阵的特征值和特征向量，矩阵级数，应用(一)，应用(二)——投入产出分析简介

教学内容：

1）矩阵特征值和特征向量的概念；特征值和特征向量的性质；求矩阵特征值和特征向量的方法。2）矩阵相似的定义和相似矩阵的性质；一般的n阶矩阵与对角形矩阵相似的条件。3）实对称矩阵的特征值和特征向量的性质；将实对称矩阵化为对角阵的方法。

五 二次型（14学时）

教学要点：

基本概念，二次型的标准形与规范形，二次型和对称矩阵的有定性，正定矩阵的应用

教学内容：

1）二次型的定义；二次型的矩阵表示方法。

2）可逆线性替换的概念；矩阵合同的定义与合同矩阵的性质。

3）用配方法化二次型为标准形；用正交变换法和初等变换法（合同变换法）化二次型为标准形的方法。4）惯性定理；正定二次型与正定矩阵的定义和正定的几个充分必要条件。

三、教材与参考教材 1.《线性代数》，卢刚主编，高等教育出版社。

2、《线性代数》，赵树嫄.北京：人民大学出版社 2001年8月第三版第九次印刷

3、《线性代数》，丁雨丰、籍明文.天津：南开大学出版社

4、《Linear Algebra And Its Application》,David C.Lay.5、《线性代数》，同济大学.北京：高等教育出版社

概率论与数理统计—经济类专业

一、说明

（一）课程性质

《概率论与数理统计》是高等经济类各专业的一门必修的基础理论课，制订大纲的原则是使具有一定数学基础的学生对该领域的基础知识、背景有所了解，为进一步学习更深的理论打下基础。

（二）教学目的和要求

通过本课程的学习，使学生了解概率论与数理统计的基本概念，掌握概率论与数理统计的基本理论，从而使学生初步掌握处理随机现象的基本思想和方法，培养学生运用概率统计方法解决实际问题的能力。

本大纲适用于本科专业的教学。概率论与数理统计是一门比较抽象的数学学科，在高等学校非数学理工科类各专业教学计划中是一门重要的基础理论课。通过本课程的教学，使学生掌握概率论与数理统计的基本概念，了解其基本理论和方法，从而使学生初步掌握基本思想和方法，培养学生运用概率论与数理统计方法分析和解决实际问题的能力。

（三）教学内容

本课程介绍概率论的基本概念．随机变量及其概率分布、二项分布、泊松分布及正态分布，随机向量及其分布，数理统计常用的几个分布，数理统计的基本概念，统计推断，应用简介等内容。

重点：详尽讲解基本概念和基本方法。

难点：概率论特有的思考方法是该课的难点，讲解时尽可能将主要概念的产生背景及概念之间的内在联系加以介绍（例如为什么要研究随机理论，数理统计在实际应用中的经济效益）并配合举一些说明问题的例子。

本课程涉及到微积分、代数、解析几何等知识，因而在开设本课程之前需为学生开设预备课程：数学分析、高等代数、解析几何。

（四）教学时数及学分

总学时:72学时 ；总学分:4学分。

（五）教学方式

以讲授为主，在条件允许的情况下，可辅助于实验教学。

在教学中应该注重对学科精神的领会；体现以‘人为本’的教育理念；采用引导式教学模式，即在在传授知识的同时，开阔学生的数学视野，认识数学的科学价值和人文价值，崇尚数学的理性精神，形成审慎思维的良好习惯，从而激活学生的创新潜能、激发他们的创新欲望、增长他们的创新能力。

二、本文

一

随机事件与概率（10学时）

教学要点：

随机事件，随机事件的概率，古典概型与几何概型，条件概率，事件的独立性

教学内容：

1）随机事件、随机事件的频数、频率、概率等概念。

2）随机事件的关系与运算，随机事件的运算律，概率的基本性质。3）古典概型与几何概型的概念，较简单的古典概型和几何概型问题。

4）条件概率的概念，乘法公式，全概率公式和贝叶斯公式，及有关问题的求解。5）事件的独立性概念，伯努利概型。

二

随机变量的分布与数字特征（12学时）

教学要点：

随机变量及其分布，随机变量的数字特征，常用的离散型分布，常用的连续型分布，随机变量函数的分布。

教学内容：

1）随机变量的概念；离散型随机变量的概率分布、连续型随机变量的概率密度、随机变量的分布函数等概念及其性质。

2）随机变量的期望和方差的定义与性质；利用随机变量的分布，求其期望与方差。切比雪夫不等式。

3）几种常用的离散型和连续型随机变量的分布以及它们的期望与方差。标准正态分布函数表。4）简单随机变量函数的分布。

三

随机向量（12学时）

教学要点：

随机向量的分布，条件分布与随机变量的独立性，随机向量的函数的分布与数学期望，随机向量的数字特征，大数定律与中心极限定理

教学内容：

1）2）3）4）5）6）二维随机向量的联合分布与边缘分布的概念。

已知联合分布会求边缘分布； 条件分布的概念； 随机变量的独立性。随机变量的期望和方差的进一步性质。

协方差、协差阵和相关系数等概念 协方差的性质，协方差、协差阵和相关系数的求法。

二维随机向量的函数的分布。

二维正态分布的密度函数。

大数定律的含义，中心极限定理。

四

数理统计的基础知识（6学时）

教学要点：

总体与样本，统计量，常用的统计分布，抽样分布。

教学内容：

1）总体，样本，样本容量及样本分布的概念。

2）统计量和枢轴量的概念；分位数的概念；常用统计量的定义，χ2分布表，t分布表和F分布表；正态总体的样本分布的主要结论。

五

参数估计与假设检验（12学时）

教学要点：

点估计概述，参数的最大似然估计与矩估计，置信区间，假设检验概述，单正态总体的参数假设检验，双正态总体的参数假设检验，一般总体的参数假设检验，拟合优度χ2检验与独立性检验。

教学内容：

1）参数点估计的两种方法：最大似然估计法与矩估计法；评价估计量的标准：无偏性和有效性，相合性（一致性）的概念。

2）置信区间的概念；求正态总体参数的置信区间的方法；在大样本下，求概率p的置信区间。假设检验的概念和基本思想。

3）正态总体的未知参数的各种假设检验方法（单个正态总体的均值，方差的检验及两个正态总体的均值差，方差比的检验）。

4）关于分布的假设检验方法（拟合优度χ2检验与独立性检验）。

六

方差分析（10学时）

教学要点：

方差分析概述，单因素方差分析，双因素方差分析。

教学内容：

1）方差分析的统计思想，明确要做什么。

2）单因素方差分析的数学模型，建立原假设，方差分析表，正确分析检验结果。3）双因素方差分析的数学模型，建立原假设，方差分析表，正确分析检验结果。

七

回归分析（10学时）

教学要点：

一元线性回归模型及其参数估计，一元线性回归模型的检验，一元线性回归的残差分析，一元线性回归的预测和控制，一元非线性问题的线性化，多元线性回归分析。

教学内容：

`1）回归分析的基本概念和统计思想，与统计相关的概念。

2）一元线性回归的数学模型，对模型种的未知参数进行LS估计，建立变量间的统计相关关系的定量表达式――回归方程；线性回归模型中的相关性加上进行显著性检验，点估计和区间估计。

3）多元线性回归的数学模型，未知参LS估计的矩阵表达法以及对线性回归模型的相关性假设进行显著性检验。在确认存在线性相关关系的条件下，对回归参数的假设进行检验。

4）回归的基本思想和步骤。

三、教材与教学参考书

1、《概率论与数理统计》,龙永红编 高等教育出版社,2004年4月,第二版.2、《概率论与数理统计》（第二版）华中科技大学数学系，高教出版社，2003.3、《概率论与数理统计学习辅导与习题全解》华中科技大学数学系，高教出版社，2003.4、《概率论与数理统计教程》茆诗松等编著，高等教育出版社，2004.5、《概率论与数理统计》陈希孺编著，科学出版社，中国科学技术大学出版社，2000.6、《概率论与数理统计教程》 魏宗舒编，概高等教育出版社，1983.7、《概率论基础及其应用》 王梓坤编，高等教育出版社，1996.8、《概率论基础》 李贤平编，高等教育出版社，1997.

第五篇：《高等数学(一)》教学大纲

《高等数学

（一）》教学大纲 Advanced Mathematics(1)

课程编码：09A00010

学分：5.0

课程类别：专业基础课

计划学时：80

其中讲课：80

实验或实践：0

上机：0 适用专业：材料与工程学院，化学化工学院，机械工程学院，历史与文化产业学院，商学院，生物科学与技术学院，土木建筑学院，物理科学与技术学院，信息科学与工程学院，医学与生命科学学院，资源与环境学院，自动化与电气工程学院。

推荐教材：同济大学数学系编，《高等数学》第七版（上册），高等教育出版社，2014年8月。参考书目：

1、齐民友主编，高等数学（上册），高等教育出版社，2009年8月；

2、同济大学数学系编，高等数学习题全解指南（上册），第七版，高等教育出版社，2014年7月。

课程的教学目的与任务

高等数学

（一）是工科院校的一门极其重要的专业基础课。通过本课程的学习，能使学生获得一元函数微积分和常微分方程的基本知识，基本理论和基本运算技能，逐步增加学生自学能力，比较熟练的运算能力，抽象思维和空间想象能力。同时强调分析问题和解决问题的实际能力。使学生在得到思维训练和提高数学素养的同时，为后继课程的学习和进一步扩大数学知识面打下必要的数学基础。

课程的基本要求

通过本课程的学习，使学生熟练掌握极限的计算、导数的概念和计算，理解中值定理和掌握导数的应用；掌握不定积分、定积分的计算，理解二者之间的关系，了解定积分的应用；掌握几类微分方程的解法，了解微分方程的应用。

各章节授课内容、教学方法及学时分配建议（含课内实验）

第一章 函数与极限

建议学时：20

[教学目的与要求] 理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系；了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念；掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。了解数列极限和函数极限(包括左极限与右极限)的概念。了解极限的性质与极限存在的两个准则，掌握极限的四则运算法则，掌握利用两个重要极限求极限的方法。理解无穷小量的概念和基本性质，掌握无穷小量的比较方法；了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。理解函数连续性的概念(含左连续与右连续)，会判别函数间断点的类型；了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并会应用这些性质。

[教学重点与难点] 连续的概念，极限的计算。

[授 课 方 法] 以课堂多媒体讲授为主，课堂讨论和课堂练习为辅。[授 课 内 容]

第一节 映射与函数 第二节 数列的极限 第三节 函数的极限 第四节 无穷小与无穷大 第五节 极限运算法则

第六节 极限存在准则 两个重要极限 第七节 无穷小的比较 第八节 函数的连续性与间断点

第九节 连续函数的运算与初等函数连续性 第十节 闭区间上连续函数的性质

第二章 导数与微分

建议学时：10

[教学目的与要求] 理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系，了解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程。掌握基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则及复合函数的求导法则；会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数。了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。了解微分的概念、导数与微分之间的关系以及一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。

[教学重点与难点] 导数、微分的概念及其计算。

[授 课 方 法] 以课堂多媒体讲授为主，课堂讨论和课堂练习为辅。[授 课 内 容] 第一节 导数概念 第二节 函数的求导法则 第三节 高阶导数

第四节 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率 第五节 函数的微分

第三章 微分中值定理与导数的应用 建议学时：12

[教学目的与要求] 理解罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理，了解泰勒(Taylor)定理、柯西(Cauchy)中值定理，掌握这四个定理的简单应用。会用洛必达法则求极限。掌握函数单调性的判别方法，了解函数极值的概念，掌握函数极值、最大值和最小值的求法及其应用。会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点和渐近线；会描述简单函数的图形。了解弧微分公式。[教学重点与难点] 中值定理及其应用，导数的应用。

[授 课 方 法] 以课堂多媒体讲授为主，课堂讨论和课堂练习为辅。[授 课 内 容] 第一节 微分中值定理 第二节 洛必达法则 第三节 泰勒公式

第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性 第五节 函数的极值与最大最小值

第六节 函数图形的描绘 第七节 曲率

第四章 不定积分

建议学时：12

[教学目的与要求] 理解原函数的概念，理解不定积分的概念。掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分的性质，掌握不定积分的换元积分法与分部积分法。会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的不定积分。

[教学重点与难点] 不定积分的计算。

[授 课 方 法] 以课堂多媒体讲授为主，课堂讨论和课堂练习为辅。[授 课 内 容]

第一节 不定积分的概念与性质 第二节 换元积分法 第三节 分部积分法 第四节 有理函数的积分

第五章 定积分

建议学时：6

[教学目的与要求] 理解定积分的概念；理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿-莱布尼茨公式。掌握定积分的换元积分法与分部积分法。了解反常积分的概念，会计算反常积分。[教学重点与难点] 定积分的计算。

[授 课 方 法] 以课堂多媒体讲授为主，课堂讨论和课堂练习为辅。[授 课 内 容] 第一节 定积分的概念与性质 第二节 微积分基本公式

第三节 定积分的换元法和分部积分法 第四节 反常积分

第六章 定积分的应用

建议学时：6

[教学目的与要求] 掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心、形心等）。[教学重点与难点] 元素法。

[授 课 方 法] 以课堂多媒体讲授为主，课堂讨论和课堂练习为辅。[授 课 内 容] 第一节 定积分的元素法 第二节 定积分在几何学上的应用 第三节 定积分在物理学上的应用

第七章 微分方程

建议学时：14

[教学目的与要求] 了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念。掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法；会解简单的齐次微分方程。掌握几种可降阶的微分方程的解法。理解线性微分方程解的性质及解的结构，掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程；会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常

系数非齐次线性微分方程。

[教学重点与难点] 微分方程的解法。

[授 课 方 法] 以课堂多媒体讲授为主，课堂讨论和课堂练习为辅。[授 课 内 容] 第一节 微分方程的基本概念 第二节 可分离变量的微分方程 第三节 齐次方程 第四节 一阶线性微分方程 第五节 可降阶的高阶微分方程 第六节 高阶线性微分方程 第七节 常系数齐次线性微分方程 第八节 常系数非齐次线性微分方程

撰稿人：杨殿武

审核人：王纪辉