《高等数学（本）》教学大纲

《高等数学（本）》教学大纲

课程名称：高等数学（本）

适应专业：2017级专升本各专业

教材名称：《高等数学》（本）李刚主编

中国传媒出版社

一、本课程的地位、任务和作用

高等数学是人们在从事高新技术及知识创新中必不可少的工具，它的内容、思想、方法和语言已广泛渗入自然科学和社会科学，成为现代文化的重要组成部分。21世纪是信息时代，它不仅给人类生活带来日新月异的变化，也给“高等数学”课程的教学增添了新的内涵。“高等数学”是高等院校的一门重要的基础课，通过学习使学生受到必要的高等数学教育,使其具有一定的数学素养，为后续课程学习及今后的应用打下良好的数学基础。

二、本课程的相关课程

本课程的先修课程是《初等数学》

三、本课程的基本内容及要求

第一章

函数与极限

（一）基本内容

函数的概念及表示法,函数的有界性、单调性、周期性、奇偶性，复合函数，反函数，隐函数，基本初等函数的性质及其图形，初等函数，应用问题的函数关系的建立，数列极限与函数极限的定义及性质，函数的左、右极限，无穷小与无穷大的概念，无穷小的性质及其比较，极限的四则运算，极限存在的两个准则，两个重要极限

函数连续的概念，间断点的类型，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质。

（二）基本要求

1．理解函数的概念，掌握表示法。

2．了解函数的有界性，单调性，周期性，奇偶性。

3．掌握简单初等函数的性质及其图形。

4．会建立简单应用问题的函数关系式。

5．理解数列极限与函数极限的概念。理解函数的左、右极限概念及极限存在与左、右极限存在的关系。

7．掌握极限的性质、极限的四则运算法则。

第二章

一元函数微分学

（一）基本内容

导数和微分的概念，导数的几何意义和物理意义，函数的可导性与连续性之间的关系，平面曲线的切线和法线，基本初等函数的导数，导数和微分的四则运算，复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法，高阶导数的概念，某些简单函数n阶导数，一阶微分形式的不变性，微分在近似计算中的应用。

（二）基本要求

1．理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述简单物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系。

2．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数求导公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分，初步了解微分在近似计算中的应用。

3．会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。

4．掌握用“洛比达“法则求未定式极限的方法。

第三章

一元函数积分学

（一）基本内容

原函数和不定积分的概念，不定积分的基本性质，不定积分和定积分的换元积分与分部积分方法，有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分。

（二）基本要求

1．理解原函数、不定积分的概念。

2．掌握不定积分的基本公式，理解不定积分的性质，掌握不定积分的换元法和分部积分法。

4．理解定积分的概念。

5．掌握牛顿——莱布尼茨公式。

6．掌握用定积分表达和计算一些几何量（平面图形的面积、旋转体的体积、平面截面面积为已知的立体体积、平面曲线的弧长）。

笫四章

向量代数与空间解析几何

（一）基本内容

向量的概念，向量的线性运算，向量的数量积和向量积的概念及运算，两向量垂直、平行的条件，两向量的夹角，向量的坐标表达式及其运算，单位向量，方向数与方向余弦，曲面方程和空间曲线方程的概念，平面方程、直线方程，平面与平面、平面与直线、直线与直线的平行、垂直的条件和夹角，点到平面和点到直线的距离，球面，母线平行于坐标轴的柱面，旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程，常用的二次曲面方程及其图形，空间曲线的参数方程和一般方程，空间曲线在坐标面上的投影曲线方程。

（二）基本要求

1．理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。

2．掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积），掌握两个向量垂直、平行的条件。

3．掌握单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算的方法。

4．掌握平面方程和直线方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题。

5．理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。

笫五章

多元函数微分法及其应用

（一）基本内容

多元函数的概念，二元函数的几何意义，二元函数极限和连续的概念，有界闭区域多元连续函数的性质，多元函数偏导数和全微分的概念，全微分存在的必要条件和充分条件，全微分在近似计算中的应用，多元复合函数、隐函数的求导法，二阶偏导数，方向导数和梯度的概念及其计算，空间曲线的切线和法平面，曲面的切平面和法线，二元函数的最大值、最小值及其简单应用。

（二）基本要求

1．理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义。

2．了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。

3．理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性，了解全微分在近似计算中的应用。

4．理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。

5．掌握多元复合函数偏导数的求法。

6．会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。

7．了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们方程。

8．理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。

第六章

无穷级数

（一）基本内容

常数项级数的收敛与发散的概念，收敛级数的和的概念，级数的基本性质与收敛的必要条件，几何级数与级数以及它们的收敛性，正项级数的比较审敛法、比值审敛法、根值审敛法，交错级数与莱布尼茨定理，任意项级数的绝对收敛与条件收敛，函数项级数的收敛域与和函数的概念，幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）和收敛域，幂级数的和函数，幂级数在其收敛区间内的基本性质，简单幂级数的和函数的求法，函数可展开为泰勒级数的充分必要条件，常见函数如，，等的麦克劳林展开式，幂级数在近似计算中的应用。

（二）基本要求

1．理解常数项级数的收敛、发散以及收敛级数的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。

2．掌握几何级数与级数的收敛与发散的条件。

3．掌握正项级数的比较审敛法和比值审敛法，会用根值审敛法。

4．了解函数项级数收敛域与和函数的概念。

5．掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛区域的求法。

6．了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质，会求一些幂级数在其收敛区间内的和函数，并会由此求某些数项级数的和。

7．了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。

8．掌握常见函数如，，等的麦克劳林展开式，并会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。

9．了解幂级数在近似计算上的简单应用。

第七章

微分方程

（一）基本内容

微分方程的概念，微分方程的解、阶、通解、初始条件和特解，变量可分离的方程，齐次方程，一阶线性方程，伯努利（Benoulli）方程，全微分方程，可用简单的变量代换求解的某些微分方程，可降阶的高阶微分方程，线性微分方程解的性质及解的结构定理，二阶常系数齐次线性微分方程，高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程，简单的二阶常系数非齐次线性微分方程，微分方程的幂级数解法，微分方程的简单应用问题。

（二）基本要求

1．了解微分方程及其解、通解、初始条件和特解等概念

2．掌握可分离变量方程及一阶线性方程的解法

3．会求解齐次方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换求解某些微分方程。

4．理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。

5．掌握二阶常数齐次线性微分方程的解法，并会求解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。

第八章

行列式与矩阵

1．理解线性方程组的相关概念；

2．掌握初等变换求解线性方程组；

3．理解矩阵概念；

4．熟悉单位阵、对角阵、对称阵等的性质；

5．熟练掌握矩阵的线性运算，乘法运算；

6．理解逆矩阵概念及其性质；

7．掌握矩阵求逆的方法；

8．掌握方阵的行列式的概念及其运算规律；

9．掌握行列式的性质；

10．掌握克莱姆法则。

四、教学方式与考核方式

教学方式：面授辅导、平时作业

考核方式：考勤、作业和考试

五、参考书目

1．同济大学应用数学系．高等数学（五版）（上、下）．北京：高等教育出版社，2002

2．殷锡鸣等．高等数学．上海：

华东理工大学出版社，2003

3．马知恩．工科数学分析基础（第二版）．北京：高等教育出版社，2006

4．萧树铁．大学数学．北京：高等教育出版社，2005

5．安徽大学数学系．高等数学．合肥：安徽大学出版社，2002

《高等数学（本）》复习范围

1.数列极限的定义：

2.极限运算法则

3.求极限的常用方法：

利用定义：利用函数的连续性；利用等价无穷小；利用洛必导法则。

4.导数定义：

5.求导法则

常用导数

6.不定积分和定积分。

基本基本表和微积分基本公式

7.典型例题。

l

求极限

1)、；

2）、；

3)、利用洛必导法则得到。

4)、利用函数的连续性得到；

5)、；

l

求导数

6)、设，求。

解：利用复合函数求导法则得到

7)、解：利用隐函数求导法则

8)、设，求的导数。

解：利用导数的求导法则

得到

9)、设，求的微分。

解：由微分的定义得到

10)、计算。

解：

11)、计算。

解：

12)、计算。

解：

13)、计算。

解：

14）、计算。

解：由定积分的几何意义可知此积分为四分之一的单位圆的面积，所以

15）、求两条抛物线和所围成的图形的面积。

解：由定积分的定义可知其为曲边梯形的面积

所以面积A＝。

16）、已知：。

求证：的极限存在，并求其极限。

证明：

17）、证明：

18）常用函数的麦克劳林公式