高数竞赛（本站推荐）

第一篇：高数竞赛（本站推荐）

高数

说明：请用A4纸大小的本来做下面的题目（阴影部分要学完积分之后才能做）

第一章 函数与极限

一、本章主要知识点概述

1、本章重点是函数、极限和连续性概念；函数是高等数学研究的主要对象，而极限是高等数学研究问题、解决问题的主要工具和方法。高等数学中的一些的重要概念，如连续、导数、定积分等，不外乎是不同形式的极限，作为一种思想方法，极限方法贯穿于高等数学的始终。

然而，极限又是一个难学、难懂、难用的概念，究其原因在于，极限集现代数学的两大矛盾于一身。（1）、动与静的矛盾：极限描述的是一个动态的过程，而人的认识能力本质上具有静态的特征。（2）无穷与有穷的矛盾：极限是一个无穷运算，而人的运算能力本质上具有有穷的特征。极限就是在这两大矛盾的运动中产生，这也是极限难学、难懂、难用之所在。

连续性是高等数学研究对象的一个基本性质，又往往作为讨论函数问题的一个先决条件，且与函数的可导性、可积性存在着不可分割的逻辑关系。

2、从2001年第一届天津市大学数学竞赛至今共八届竞赛试题分析，函数极限及其连续性在有的年份占了比较大的比重，连续性、极限与导数、积分等综合的题目也要引起足够的重视；从最近几年的考题也可以看出，有个别题目是研究生入学考试题目的原题，如2004年竞赛试题二为1997年研究生入学考试题目；2006年竞赛试题一为2002年研究生入学考试试题；2005年竞赛试题一为1997年研究生入学考试试题等，这也从侧面反映了部分试题难度系数。

二、证明极限存在及求极限的常用方法

1、用定义证明极限；

2、利用极限的四则运算法则；

3、利用数学公式及其变形求极限；（如分子或分母有理化等）

4、利用极限的夹逼准则求极限；

5、利用等价无穷小的代换求极限；

6、利用变量代换与两个重要极限求极限（也常结合幂指函数极限运算公式求极限）；（2）利用洛必达法则求极限；

7、利用中值定理（主要包括泰勒公式）求极限；

8、利用函数的连续性求极限；

9、利用导数的定义求极限；

10、利用定积分的定义求某些和式的极限；11先证明数列极限的存在（常用到“单调有界数列必有极限”的准则，再利用递归关系求极限）

12、数列极限转化为函数极限等。当然，这些方法之间也不是孤立的，如在利用洛必达法则时经常用到变量代换与等价无穷小的代换，这大大简化计算。

对于定积分的定义，要熟悉其定义形式，如

（二）高数

极限的运算

要灵活运用极限的运算方法，如初等变形，不仅是求极限的基本方法之一，也是微分、积分运算中经常使用的方法，常用的有分子或分母有理化、分式通分、三角变换、求和等。

高数

高数

高数

（四）连续函数的性质及有关的证明、极限与导数、积分等结合的综合性题目。

16、（2006年数学一）

（五）无穷小的比较与无穷小的阶的确定常用工具——洛必达法则与泰勒公式。

高数

（六）由极限值确定函数式中的参数

求极限式中的常数，主要根据极限存在这一前提条件，利用初等数学变形、等价无穷小、必

达法则、泰勒公式等来求解。

高数

四、练习题

高数

高数

高数

高数

五、历届竞赛试题

2001年天津市理工类大学数学竞赛

2002年天津市理工类大学数学竞赛

2003年天津市理工类大学数学竞赛

高数

高数

2004年天津市理工类大学数学竞赛

2005年天津市理工类大学数学竞赛

高数

2007年天津市理工类大学数学竞赛

高数

2010年天津市大学数学竞赛一元函数微分学部分试题

一、填空

注：本题为第十届（1998年）北京市大学数学竞赛试题

二、选择

三、计算

四、证明

高数

首届中国大学生数学竞赛赛区赛（初赛）试题2009年

一、填空

二、计算

第二篇：高数竞赛策划书

河南科技大学

2011级“高等数学”竞赛策划书

大学的荣誉，不在于它的校舍和人数，而在于它一代又

一代人的质量。我想这句话真正的注解了一个学校的内涵，今天我们是一个学院人，以我们学院的荣誉为骄傲。而明天，我们应该让学院因曾经有过我们而感到欣慰。我院决定面向2011级全体学生进行开展“高等数学竞赛”活动。具体策划方案如下：

一、主题

“高等数学”竞赛

二、主办单位

材料学院

三、目的和意义

1.通过竞赛可以激发广大学生学习高等数学的兴趣和热情。

2.我院多数专业的专业课程中涉及较多的数学知识，对学生

更好的学习专业知识有很大的帮助。

3.通过竞赛，使学生加深学习数学知识和数学思想，有利于

学生提高逻辑思维能力，提升解决实际问题的素质。

4.通过学院竞赛，可以宣传与扩大我院在学校中的知名度。

四、竞赛方式与创新点

1.竞赛以考试的形式进行。

2.本次竞赛将增加学生以专业为背景，为以后设计数学建模

并解决问题题奠定基础。

五、竞赛工作安排

1.张贴宣传海报

张贴时间:4月15日

2.场地申请

3.邀请老师配合出题

4.试卷批改

学习委员监考并批阅

批阅时间4月26日（周四）下午5:40

5.赛后卫生打扫

六、竞赛办法

1.竞赛对象

材料学院2011级学生，每班5—10名

2.竞赛报名

各班学生报名到班级学习委员，然后上报年级学习委员

3.竞赛内容

高等数学第六版上册1/3，下册2/3。（难易适中）

4.竞赛时间

2012年4月26日（周四）下午3：00---5:00

5.竞赛地点

开元校区教学楼五区416

6.竞赛奖励

一等奖1名：德育分30分+50元奖品+奖状

二等奖3名：德育分20分+30元奖品+奖状

三等奖6名：德育分10分+20元奖品+奖状 赛后公示

以板报或院报的形式公布

七、竞赛要求

遵守考试秩序，诚信答卷，杜绝作弊。

材料学院

2012年4月10日

第三篇：2012高数竞赛24111报名表

中国地质大学（武汉）2012高数竞赛报名表

所在学院:资源学院学院负责人:

总计人数:

10负责人联系电话：***

第四篇：极限连续-高数竞赛超好

高数竞赛例题

第一讲 函数、极限、连续

例1.例2.例3.例4.例5.例6.例7.例8.例9.lim1nn(1n2nn).lim135(2n1)246(2n)n

limx0x35x，其中[]为取整函数

lim1cosxx2x0

lim(cosnn)n2

lim(xxaxa)2x1e，求常数a.lim(sinx2xcos1x)x

lim[(nnn32n21)en1n]

6limln(13x)(e2x3x01)sinx2 例10.例11.例12.lim1tanx1sinx2x0xln(1x)x

limln(12)ln(1xx3x)

limsinxxcosxsinx3x0

例13.已知f(x)在x0的某邻域内有连续导数，且lim(sin2xx0f(x)xx)2，求 f(0),f(0).例14.例15.例16.lim(nnn12nn222nnn22)

2nsinsinsinnnnlimn11n1nn2n

xlim[xx1(axb)]0，求常数a,b.2例17.设f(x)nlim

x2n1axbxx2n21为连续函数，求a,b.例18.设f(x)在(,)上连续，且f(f(x))x，证明至少，使得f().....................................................................................................................极 限

例1.例2.nlim(n1nn122nn22nnnn2)

limnk1knk122

先两边夹，再用定积分定义 例3.例4.例5.设limx0 例6.例7.1x2lim(n1)nnn1nsin1n

limee2xsinx2x0x[ln(1xx)ln(1xx)]

ln(1)f(x)tanx5，求limx2x021xf(x).12(3sinttcos)dt0tlimxx0(1cosx)ln(1t)dtx0

xlimln(2e2xx1)xxsinx1

例8.例9.limexx0100

xlim(xxxx)

1例10.xxxlima1a2anx，其中，ax0.n1,a2,an均为正数

例11.已知2nf(x)limxe(1x)nxene(1x)nx2n1，求0f(x)dx.例12.设10ab，求limanbnnn

例13.设f(x)在(,)内可导，且limf(x)ex，xlim的值.xclim[f(x)f(x1)]，求cxxcx

例14.设f(x)在x0的某邻域内二阶可导，且f(0)0，x又已知)dtlim0f(tx0xsinx0,求,.例15.当x1时，lim(1x)(1x2)(1x4)n(1x2)n

例16.当x0时，求limxncosx2cosx4cos2n

例17.lim(11(11n22)(1132)n2)

例18.lim1nnnn(n1)(2n1)

limf(x)x0x0，连 续

例1.求f(x)lim

例2.设g(x)在x0的某邻域内连续，且lim1g(x2t)dt102x1f(x)2abcosx2xx0x0x01x1x2n的间断点，并判断其类型

ng(x)1xn0a，已知

在x0处连续，求a,b的值.例3.证方程ln实根.例4.f(x)在[a,b]上连续，且acdb，证：在(a,b)内至少存在xxe01cos2xdx在区间(0,)内有且仅有两个不同，使得pf(c)qf(d)(pq)f()，其中p,q为任意正常数.例5.设f(x)在(a,b)内连续，且x1,x2,,xn(a,b)，试证：(a,b)，使

例6.试证方程xasin且它不超过ba.例7.设f(x),g(x)在(,)上连续，且g(x)0,利用闭区间上连续函数的性质，证明存在一点[a,b]，使abf()1n[f(x1)f(x2)f(xn)].xb，其中a0,b0，至少存在一个正根，并

f(x)g(x)dxf()g(x)dx

ab

第五篇：高数竞赛练习题答案(函数、极限、连续)

函数、极限、连续

1.f(x),g(x)C[a,b]，在(a,b)内二阶可导且存在相等的最大值，又f(a)g(a),f(b)g(b),证明：(1)(a,b),使f()g()

(2)(a,b),使f()g()证明：设f(x),g(x)分别在xc,xd处取得最大值M，不妨设cd(此时acdb)，作辅助函数F(x)f(x)g(x),往证(a,b),使F()0

令F(x)f(x)g(x),则F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)二阶可导，且F(a)F(b)0，① 当cd，由于 F(c)f(c)g(c)Mg(c)0F(d)f(d)g(d)f(d)M0由“闭.连.”零点定理，[c,d](a,b),使f()g()② 当cd，由于F(c)f(c)g(c)f(c)g(d)MM0即(a,b),使f()g()

对F(x)分别在[a,],[,b]上用罗尔定理，1(a,),2(,b)，使

在[1,2]上对F(x)在用罗尔定理，F(1)F(2)0，(1,2)(a,b)，使F()0，(a,b),使f()g().2.设数列{xn}满足0x1,xn1sinxn,n1,2,

xn存在，并求该极限(1)证明limn

xn1x1n(2)计算lim()nxn

分析：(1)确定{xn}为单调减少有下界即可

1xn，用洛必达法则.(2)利用(1)确定的limn

解：易得0xn1(n2,3,)，所以xn1sinxnxn,n(2,3,)，即{xn}为

xn存在，并记为limxna,则a[0,1]，单调减少有下界的数列，所以 lim nn

对等式xn1sinxnxn,两边令n取极限，得asina,a[0,1]，所以

a0,即limxn0.n

lim((2)n



xn1sinxn)lim()

nxnxn

2xn

2xn

令txn

lim（t0

sint)et0t

tlim

ln()t

t

2由于

lim

t0

t

ln(sin)ttsint

ln[1(sin1)]1-1t2sintt洛cost11tt2

limlimlimlimlim t0t0t0t0t03t2t2t2t33t26

xn1xn1

所以lim()e.nxn

3.已知f(x)在[0,1]连续，在(0,1)可导，且f(0)0,f(1)1，证明：(1)(0,1),使f()1，(2)存在两个不同点,(0,1),使f()f()1

证：(1)令F(x)f(x)x1，则F(x)在[0,1]上连续，且

F(0)10,F(1)10，由“闭.连.”零点定理，(0,1),使F()0,即f()1

(2)f(x)在[0,],[,1]上都满足拉格朗日中值定理，所以

(0,),(,1)，使

f()f(0)f()(0),f(1)f()f()(1)，即

f()f()

f()





1



1f()1(1)

111

f()f()

1







1

1

4.设方程xnnx10，其中n为正整数，证明此方程存在唯一的正



实根xn，并证明当1时，级数xn收敛.n1

证：令f(x)xnnx1,则f(x)在(0,)上连续，且

f(0)10,f()()n0

nn

所以由连续函数的零点定理，所给方程在(0,)内有根，又由f(x)n(xn11)0,即f(x)在(0,)内单调递增，所以所给方程(0,)内只有唯一的根，在(，)上无根，即所给方程存在唯一的正实根xn.

由上述知，对n1,2,，有0xn,有0xn



1n

1n1n

1n

1n1，n

此外，由1知，级数

收敛，所以由正项级数比较审敛法，知

n1n

x收敛.nn1



5.求lim(cosx)

x0

1ln(1x)

x0ln(1x)

解：lim(cosx)

x0

1ln(1x)

=e

lim

lncosx，其中limln(1x

x0

lncosx)

lim

x0

ln[1(cosx1)]ln(1x)

lim

x0

x22x



(cosx)所以，limx0

ln(1x)

e



6.f(x)在x0的某邻域内具有一阶连续导数，且f(0)0,f(0)0,若

af(h)bf(2h)f(0)在h0时是比h高阶的无穷小，试确定a,b的值.解1：（利用导数定义）

0lim

af(h)bf(2h)f(0)af(h)af(0)af(0)bf(2h)bf(0)bf(0)f(0)

lim

h0h0hhaf(h)af(0)bf(2h)bf(0)[(ab)1]f(0)[(ab)1]f(0)limlimlim(ab)f(0)limh0h0h0h0hhhh

ab1

由f(0)0,f(0)0,得,即a2,b1

a2b0

解2：按解1，只要假定f(x)在x0处可导即可，但在题中“f(x)在x0的某邻域内具有一阶连续导数”的假定下，有以下解法：由lim

h0

h0

af(h)bf(2h)f(0)

0得 limaf(h)bf(2h)f(0)=0

h0h

即0limaf(h)bf(2h)f(0)(ab1)f(0)，由f(0)0,得ab1（1）

af(h)bf(2h)f(0)洛

limaf(h)2bf(2h)(a2b)f(0)且f(0)0,又由0lim

h0h0h

所以 a2b0（2）

由（1）、（2）得a2,b1.2esinx

.7.求lim4x0x1e

解：

2eesinx2esinx

1 limlim44x0x0xx1ee12esinx2esinx

1 limlim44x0xx01ex1e

所以 原式 = 1

8.求lim

x0

143

xx2

.2

x

解1：（泰勒公式）因

xx2[1

1111

xx2o(x2)][1xx2o(x2)]22828(x0)

x2o(x2)~x2

所以

1x2

xx21limlimx0x0x2x24

解2：（洛必达法则）



xx2洛必达limlimx0x0x22x1xx1

limlim x0xx4x0x

12x1lim.4x0x(xx)4