第一篇：八年级U4英语课外知识拓展
八年级U4英语课外知识拓展
Part 1单词拓展
Symbol（1、symbol of sth象征White has always been a symbol of purity in Western cultures在西方文化中，白色一向象征纯洁。）
（2、symbol for sth符号；代号；记号What is the chemical symbol for copper？铜的化学符号是什么）
（3、symbolicadj.symbolic of sth 使用象征的；作为象征的；象征性的The dove is symbolic of peace.鸽子是和平的象征）
Thought（1、thought of sth/of doing sth 想法；看法；主意；记忆 I do not like the thought of you walking home alone 我不喜欢你一个人步行回家）
（2、have second thoughts经考虑后改变想法）
（3、on second thoughts【表示已改变想法，经一想，又改变想法】I will wait here.No，on second thoughts，I’ll come with you我就在这等。不，再一想，我还是跟你一起走。）
（4、without a second thought立即 ；马上；不假思索）
（5、词汇拓展：thoughtful沉思的；思考的thoughtless 粗心大意的；欠考虑的；轻率的thought-provoking发人深省的；引人深思的）
Record可作n.或v.（1、record of sth记录 记载You should keep a record of your expenses 你应该记下你的各项开支）
（2、record-breaker打破记录者recorder录音机；录影机recording录制的音像；录音；录像recordist录音员；录音师）
Effect 【C.N】（1、effect on sb/sth 效应；影响；效果Her
criticisms had the effect of discouraging him completely 她批评的结果使他完全丧失了信心。）
2、（短语积累：bring/put sth into effect 使生效 实行 ；实施come into effect 生效；开始实施in effect实际上；事实上take effect开始起作用；见效）
3、（effective 产生预期效果的；有效的 efficient效率高的；有能力的）
Basic（1、basic to sth基本的；基础的Drums are basic to African music 鼓是非洲音乐的基本乐器）
（2、base sb/sth/yourself in… 以…为据点 They decided to base the new company in York.）
（3、be based on 以…为基础；以…为根据）
Pleasant（1、be pleasant to sbPlease try to be pleasant to our guests）
Match（1、匹敌者 a match for sbI was no match for him at tennis.打网球我根本不是他的对手)
（2、match sth against sth 拿…与…比较：对照New
information is matched against existing data in the computer.新的资料和电脑中已有的数据作了比较。）
（3、match up【to sb/sth】相称；相当；配得上This trip failed to match up to her expectations.这次旅行令她很失望。）
（4、match up 【with sth】 和sth相同相似The suspects‘ stories just do not match up.各嫌疑犯交代的内容不一致。）
Part2短语积累
1、speech bubble2、thought bubble3、to one’s surprise4、be determined to do 下定决心去做
5、need doing/require doing=need/require to be done 需要被做
6、base sth on sth把sth 基于sth=sth be based on7、chat with sb.8、score：
1、keep the score计分
2、know the score了解情况
9、be supposed to do 应该去做sth10、It’s said that（据说）it’s reported that(据报道)It’s believed that（人们相信）It’s well known that（众所周知）
11、go abroad 出国留学at home在国内
第二篇：课外拓展英语
There be句型小结
大家好，我是there be句型，我的中文名字是“有”，表示某处存在某(物)人。基本结构为“There be +某物(某人)+某地(某时)”。其中there是引导词，没有词义;主语是be后面的名词，be是谓语动词，在一般现在时中be只有is和are两种形式。我常见的结构有两种：
1.There is +单数名词(不可数名词)+介词短语 2.There are +复数名词+介词短语 下面的口诀可以帮你更好的了解我：
(1)there be句型有特点，主语跟在be后面;地时放句末，强调置前头。如： There is a pen on the desk.有时为了强调地点，也可把介词短语放在句后。如： On the desk there is a pen.(2)Be动词，有三个，am is还有are，“there be真特别，不留am只留俩，is还有are。要用is还是are ,须看后面的名词是单数还是复数。若是单数或不可数名词用is ,否则就用are.。如：
1.There is a girl in the classroom.2.There is some water in the bottle.3.There are some bananas in the box.(3)注意：如果“be”后的主语是由and连接的两个或两个以上的名词，那么be的形式要遵循“远亲不如近邻”的原则。也就是说，“be”的形式是由与它最近的那个名次来决定的。若那个名词是单数或不可数名词要用is，是复数就用are。如.There is a teacher and forty students in the classroom.2.There are forty students and a teacher in the classroom.英语听力中的十大类标志词
据研究各类英语考试中有90%以上的考点都是由标志词引导和提示的，因此在语段听力中听到下列标志词时要引起高度的重视，集中注意力听清标志词前后的句子。
1．最高级标志词
形容词、副词最高级、most / chief / primary / main / leading / „„ 2．唯一级标志词
only / unique / prefer / every / one / of all / perfect / „„ 3．因果项标志词
cause / lead to / contribute to / thanks to / owing to / question / answer / why / reason / 其他形式的问句 / „„
4．转则项关键词
despite / in spite of / instead / while / from to / although（yet）/ not only but also / „„
5．序数项标志词
所有的序数词（first , second）/ another / the other / next / last / in addition / on the other hand / „„
6．时间项标志词
when / how / today / as / before / after / since / then / until / „„ 7．解释项标志词
or / namely / in other words / that is / that is to say / „„ 8．目的项标志词 to / for / „„ 9．总结项标志词
all in all / in brief / to conclude / at last / in summary / in short / „„ 10．强调项标志词
副词：especially / particularly / almost / always / usually / „„ 动词：show / remember / note / notice / say / pronounce / „„
The Real Meaning of Peace There once was a king who offered a prize to the artist who would paint the best picture of peace.Many artists tried.The king looked at all the pictures.But there were only two he really liked, and he had to choose between them.One picture was of a calm lake.The lake was a perfect mirror for peaceful towering mountains all around it.Overhead was a blue sky with fluffy white clouds.All who saw this picture thought that it was a perfect picture of peace.The other picture had mountains, too.But these were rugged and bare.Above was an angry sky, from which rain fell and in which lightning played.Down the side of the mountain tumbled a foaming waterfall.This did not look peaceful at all.But when the king looked closely, he saw behind the waterfall a tiny bush growing in a crack in the rock.In the bush a mother bird had built her nest.There, in the midst of the rush of angry water, sat the mother bird on her nest — in perfect peace.Which picture do you think won the prize? The king chose the second picture.Do you know why? “Because,” explained the king, “peace does not mean to be in a place where there is no noise, trouble, or hard work.Peace means to be in the midst of all those things and still be calm in your heart.That is the real meaning of peace.”
译文：
宁静的真谛
从前有个国王，悬赏能画出最好的宁静的画的画家。很多画家都试过了。国王看了所有的作品，但他真正喜欢的只有两幅。一幅画中是一片宁静的湖泊，四周群山环绕，而湖泊就是一面完美的镜子。蓝色的天空中白云飘飘，每个看到这幅画的人都认为这真是一幅表现宁静的完美作品。
另一幅画也有山脉，但却崎岖不平，而且光秃秃的。上面是乌云密布的天空，而且狂风骤雨、闪电雷鸣，一条白色的瀑布从山的一侧倾泻下来。这看起来一点都不宁静。
然而当国王仔细地看了看，他看到在岩石的裂隙中长着一颗小小的灌木。在汹涌的水流中间，鸟妈妈安坐在她的巢穴中——如此和谐。
你认为哪幅画能得到国王的赞赏呢？国王选择了第二幅。你知道为什么吗？
国王说：“这是因为，宁静并不是指在这个地方没有噪音，没有烦扰，没有艰难的劳动。宁静意味着所有这些因素都存在于你的周围，而你的心中依然能保持安宁。这才是宁静的真谛。”
英语名言警句
1.It is at our mother’s knee that we acquire our noblest and truest and highest , but there is seldom any money in them.(Mark Twain , American writer)
就是在我们母亲的膝上，我们获得了我们的最高尚、最真诚和最远大的理想，但是里面很少有任何金钱。(美国作家 马克•吐温)2.Living without an aim is like sailing without a compass.(Davy de La Pailleterie, French Writer)
生活没有目标就像航海没有指南针。(法国作家 大仲马.A.)3.The ideals which have lighted my way , and time after time have given me new courage to face life cheerfully 19 have been kindness , beauty and truth.(Albert Einstein , American scientist)
有些理想曾为我们引过道路，并不断给我新的勇气以欣然面对人生，那些理想就是——真、善、美。(美国科学家 爱因斯坦.A.)4.The important thing in life is to have a great aim , and the determination to attain it.(Johan Wolfgang von Goethe , German Poet and dramatist)
人生重要的事情就是确定一个伟大的目标，并决心实现它。(德国诗人、戏剧家 歌德.J.M.)5.The man with a new idea is a crank until the idea succeeds.(Mark Twain , American writer)
具有新想法的人在其想法实现之前是个怪人。(美国作家 马克•吐温)
6.The only limit to our realization of tomorrow will be our doubts of today.(Franklin Roosevelt , American president)
实现明天理想的唯一障碍是今天的疑虑。(美国总统 罗斯福.F.)
7.When an end is lawful and obligatory, the indispensable means to is are also lawful and obligatory.(Abraham Lincoln , American statesman)
如果一个目的是正当而必须做的，则达到这个目的的必要手段也是正当而必须采取的。(美国政治家 林肯.A.)
The Fruit Trial Three men who were lost in the forest were captured by cannibals.The cannibal king told the prisoners that they could live if they pass a trial.The first step of the trial was to go to the forest and get ten pieces of the same kind of fruit.So all three men went separate ways to gather fruits.The first one came back and said to the king, “I brought ten apples.”The king then explained the trial to him.“You have to shove the fruits up your butt without any expression on your face or you'll be eaten.”
The first apple went in...but on the second one he winced out in pain, so he was killed.The second one arrived and showed the king ten berries.When the king explained the trial to him he thought to himself that this should be easy.So he proceeded: 1...2...3...4...5...6...7...8...and on the 9th berry he burst out in laughter and was killed immediately.Weeks later, the first guy and the second guy met in heaven.The first one asked, “Why did you laugh, you almost got away with it?”
“I couldn't help it, I saw the third guy coming with pineapples.” 中文译文： 水果游戏
三个在森林迷路的人被食人族抓住了。食人族首领对他们说，如果他们能通过一项游戏，他们就能活命。
测验的第一关是，去森林里采摘属于同一品种的10个水果。所以，这三个人分散开来去采摘水果。
第一个人回来对食人族首领说：“我带回来了10个苹果。”首领然后向他说明了游戏规则：“你必须要把这10个苹果塞进你的屁眼里，同时脸上不能有任何表情，否则就吃了你。
第一个苹果被塞进去了„.到第二个的时候，因为疼痛他躲开了，所以，他被吃掉了。第二个人带着10个葡萄回来了。当首领向他说明游戏规则后，他想，对他来说这应该很容易。
他开始了，一个，两个，三个，„„.当到第九个葡萄的时候，他大笑了起来，所以，他马上被吃了。
几星期过去了，第一个人和第二个人在天堂碰面了。第一个人问第二个人：“你当时干嘛笑啊，你都快成功了？”
第二个人回答说：“我忍不住啊，我看见第三个人拿着10个菠萝回来了。”
第三篇：英语课外拓展4
英语课外拓展4
I 英文潮词
职场冷暴力emotional office abuse
赞助费sponsorship fee
抚恤金financial compensation，compensation payment
草莓族Strawberry generation
母校alma mater
非难a kick in the pants
黑马dark horse
挥金如土spend money like water
意外怀孕 unplanned pregnancy
跳槽jump ship
闪婚flash marriage
闪电约会speeddating
闪电恋爱whirlwind romance
人渣scouring
II实用又时髦英文俚语
Stand on line
尽管大多数的美国人都会stand in line，纽约人会说，stand on line。如果你想要融入纽约的文化中，那你也可以这么做！
Hero
在纽约，你该到饭店去点一份hero。别担心，服务生不会当你是疯子。只要你不期待一个勇敢令人惊奇的男人到你的餐桌前就没有问题了。hero是纽约人叫大个的意大利潜水艇三明治。
Out in left field
不，这并是指在左区的棒球选手。你可以说某人是out in left field如果你觉得他们很古怪或是莫名其妙。“Look at that strange guy!He's really out in left field!”
All right already!
这个短语是用于愤怒中！这是另一种方式表示，“够了！停止吧！”例如，“All right already!I'll do you a solid.Just stop bothering me!”yingwen.911usa.com.cn
Fuhhgeddaboutit
这是纽约人如何发“Forget about it!”的音。本质上讲，这是“没有可能”的另一种方法。“You want me to do you a solid? Fuhhgeddaboutit!”yingwen.911usa.com.cn
Don't jerk my chain
作为一名游客，如果你认为有人在捉弄或是欺骗你的话，你就可以这么说！Don't jerk my chain!意思是别想欺骗我！
III秋裤英文原味来袭
口语里long johns就是秋衣秋裤的意思，动词用wear。blistering的本意是起泡，可以形容极度热也可以形容极度寒冷。北方的冬天是有暖气的，但我见过很多南方的朋友冬天也不穿秋裤，甚是佩服。hoodie是指篮球运动员很常穿的帽衫
It's chilly, bring a hoodie。
chilly是那种微凉的天气，这个时候需要穿一些薄一点的外套，hoodie是指篮球运动员很常穿的帽衫。down jacket就是我们平时冬天穿的羽绒服
It's freezing, get a down jacket。
freezing比chilly要冷得多，不过比blistering cold要暖和一些，down jacket就是我们平时冬天穿的羽绒
服，一般是鸭绒填充的，仅次于军大衣的保暖装备！
风衣的另一种说法是trench coat
It's cooler in September, grab a windbreaker with you.九月份天气凉爽下来，出去的时候记得带件风衣，在时尚圈，风衣的另一种说法是trench coat，在美剧里windbreaker可以理解为那种普通的外套。
III复古流行词儿英文版
study hard and move forward every day 好好学习，天天向上
food coupon 粮票
This allowed people to get certain food supplies under the planned economy.Low agricultural production meant insufficient food supplies and a quota system and the coupons were a means of distribution.The quota system lasted to the early 90s.The tickets are now the stuff of collectors。
计划经济体制下，粮票是人们购买某些粮食的必备凭证。较低的农业产出导致了食物供给的短缺和定额分配制度，而粮票恰恰解决了这一分配问题。这种定额分配制度一直持续到90年代早期。如今，它们已经成了收藏者们的挚爱。
educated youth 知青
From the mid-1960s to the late-1970s, about 17 million urban middle school grads answered Mao's call and flocked to the countryside.They were encouraged to pay respect to and learn from the peasants.By 1979, most educated youth were heading back to the cities but they had a hard time adapting to the changed world.60年代中期到70年代末，约1700万城市中学毕业生响应毛主席的号召来到农村。他们被告诫要尊敬农民，向农民学习。到了1979年，大多数知青返回城市。但是他们很难适应新的社会。
pull string 走后门
Literally, entering through the back door.It originated under the planned economy when people used connections to get goods from the back door of a state-owned shop.This string-pulling reached a sort of climax in the late 1970s when the educated youth tried everything possible to get back to the cities.走后门可直译为entering through the back door。该词源自计划经济下人们利用自己的关系从国营商店的后门获取商品这一行为。这种现象在70年代末知青绞尽脑汁返回城市时达到了高潮。
laowai老外
“老外”直译就是old foreigner。“老外”这一新词出现在70年代末，改革开放后，大批外国人涌入中国。起初，该词含有一种戏弄的口气。如今，该词多用为一种友好的昵称。比如大山这种在中国居住、工作或学习时间较久，精通中国文化的外国人常被称作an old China hand（中国通）。
iron rice bowl 铁饭碗
A secure, lifetime job assigned by the government.Where was no fear of losing the job.By the 1980s, with the new market economy, there was a competitive model of employment.And the cherished iron rice bowl was gone after more than 30 years.“铁饭碗”指由政府提供的有保证的终生制工作。因此，这些人永远不愁失去工作。然而，到了80年代，在新的市场经济体制下，就业竞争机制出现。存在了30多年之后，备受人们喜爱的“铁饭碗”退出了历史舞台。
all-round good student 三好学生
Literally, thrice-good, given to students who were virtuous, talented, and good at P.E.;first used in the 1950s by Mao to encourage young people to keep fit, study well, and work hard.“三好学生”直译为thrice-good，指在德、智、体三方面都很优秀的学生。该词最早在50年代由毛主席提出，旨在鼓励年轻人强身健体、努力学习、勤奋工作。
第四篇：英语课外拓展5
英语课外拓展5
I英文潮词
卡奴card slave
二奶kept woman
另类offbeat
菜鸟rookie
驴友tour pal
团购group buying
开博to open a blog
炫富flaunt wealth
上市list share
桑拿天sauna weather
自杀Dutch act
入园难 kindergarten crunch
生态补偿ecological compensation
金砖四国BRIC countries
暗淡前景bleak prospects
文艺爱情片 chick flick
II狗狗英文活学活用
to lead a dog's life 形容人过着贫困潦倒、惨不忍睹的生活
dog eat dog 残酷、竞争激烈
work like a dog 指一个人努力、卖命地工作
dog-tired 筋疲力尽
sick as a dog 病得严重
Every dog has its days.每个人都有属于自己的运气/每个人都有时来运转的一天 You can never teach an old dog new tricks.老古董学不会新东西
meaner than a junkyard dog 冷漠，不友好
His bark is worse than his bite.刀子嘴、豆腐心
let sleeping dogs lie 不要自找麻烦、自讨苦吃 the dog days of summer 一年中最热的三伏天
III英文一语双关幽默句
One should love animals.They are so tasty.每个人都应该热爱动物，因为它们很好吃。
Love the neighbor.But don't get caught.要用心去爱你的邻居，不过不要让她的老公知道。
Behind every successful man, there is a woman.And behind every unsuccessful man, there are two or more.每个成功男人的背后，都有一个女人。每个不成功男人的背后，都有两个或更多。Every man should marry.After all, happiness is not the only thing in life.再快乐的单身汉迟早也会结婚，毕竟幸福不是永久的嘛。
Success is a relative term.It brings so many relatives.成功是一个相关名词，它会给你带来很多不相关的亲戚。
Never put off the work till tomorrow what you can put off today.不要等明天交不上差再找借口，今天就要找好。
Children in backseats cause accidents.Accidents in backseats cause children.后座上的小孩会生出意外，后座上的意外会生出小孩。
There should be a better way to start a day than waking up every morning.应该有更好的方式开始新的一天，而不是千篇一律地在每个上午都醒来。
Hard work never killed any body.But why take the risk？
努力工作不会导致死亡。但为什么要冒险呢？
God made relatives;Thank God we can choose our friends.神决定了谁是你的亲戚,幸运的是在选择朋友方面他给了你留了余地。
A dress is like a barbed fence.It protects the premises without restricting the view.服饰就象铁丝网,它阻止你冒然行动但并不妨碍你尽情的观看。
IV女人发飙常用英文句
1、Do you know what day is today？(你知道今天是什么日子吗？)
Birthday, one week, one month, one year anniversary…engagement anniversary, wedding anniversary, international women’s day，some women celebrate anything and everything they can tie a significant meaning to.If you forget the anniversary, you are screwed.She will forgive you, but she won’t forget it。
She: Do you remember what day is today？
He: How could I forget it It’s Friday。
She: It’s our anniversary
He: Oops, I’m just a guy!You know how bad my memory is
生日、认识一周、一个月、一周年订婚一周年、结婚一周年、国际妇女节一些女人庆祝所有其可以附加重要意义的日子。如果你忘记了周年纪念，那么你就麻烦了。只要她不忘记，她是不会原谅你的。yingwen.911usa.com.cn
她：你记得今天是什么日子吗？
他：我怎么会忘记呢？今天是星期五。
她：今天是我们的周年纪念
他：喔，我可真是个糊涂蛋，你知道我的记性很不好
2、You are not wearing THAT, are you？你烦不烦？
3、Listen to me!Are you listening？听我说！你在听吗？
V 英文人生谚语
A friend in need is a friend indeed.患难朋友才是真正的朋友。
Actions speak louder than words.事实胜于雄辩
All is not gold that glitters.闪光的不一定都是金子
An idle youth，a needy age.少壮不努力，老大徒伤悲
Bitter pills may have wholesome effects.良药苦口
Do wrong once and youll never hear the end of it.一失足成千古恨
Honesty is the best policy.诚实至上
Let bygones be bygone.既往不究
Man proposes，God disposes.谋事在人，成事在天
Money talks.金钱万能
Practice makes perfect.熟能生巧
Silence is golden.献丑不如藏拙
第五篇：课外拓展
课外拓展
进货次数问题探讨
题目 某公司某年需要某种计算机元件8000个，在一年内连续作业组装成整机卖出（每天需同样多的元件用手组装，并随时运出整机至市场），该元件向外购买进货，每次（不论购买多少件）须花手续费500元，如一次进货，可少花手续费，但8000个元件的保管费很可观，如果多次进货，手续费多了，但可节省保管费，请你帮该公司出个主意，每年进货几次为宜，该公司的库存保管费可按下述方法计算：每个元件每年2元，并可按比例折算成更短的时间：如每个元件保管一天的费用为件的买价、运输费及其他费用假设为一常数．
元（一年按360天计算）．每个元解： 设购进8000个元件的总费用为F，一年总保管费为E，手续费为H，元件买价、运输费及其他费用为C（C为常数），则 F=E＋H＋C.如果每年进货n次，则每次进货个，用完这些元件的时间是年．进货后，因连续作业组装，一年后保管数量只有（－a）个（a为一天所需元件），两天后只有（－2a）个，……，因此年中个元件的保管费可按平均数计算，即相当于个保管了年，每个元件保管年须元，在这年中个元件的保管费为.每进货一次，花保管费En元，一共n次，故
当且仅当为宜．
=n·500，即n=4时，总费用最少，故以每年进货4次说明： 这道寻求最佳进货次数的问题，是北京市首届“方正杯”中学生数学知识应用竞赛初赛试题（1993.11），求解的关键数学知识是“的极小值是”.周知识概述
本周学习第六章不等式的性质和算术平均数与几何平均数两部分内容，前一部分中，主要用于讲述实数运算性质和大小顺序之间的关系，从而掌握比较两个实数大小关系的方法；在此基础上，给出了不等式的性质，一共讲了五个定理和三个推论，并给出了证明．不等式的其他性质都可由它们推导出来．第二部分中课本首先证明了一个重要的不等式a＋b≥2ab，通过这一公式，得出了两个正数的算术平均数与几何平均数的定理．利用均值不等式求函数的最值问题，这是均值不等式的一个重要应用。最后通过例题，说明此定理在解决数学问题和实际问题中的应用.二、重难点知识选讲
1、实数的运算性质与大小顺序之间的关系
不等式的等价性：两个实数、b比较大小，有大于、等于、小于之别，且有，（1）＞b －b＞0；（2）=b
－b=0；（3）＜b
－b＜0.2
2等价符号左边不等式反映的是实数的大小顺序，右边不等式反映的则是实数的运算性质，合起来就成为实数的运算性质与大小顺序之间的关系，它是不等式这一章的理论基础，是不等式性质的证明，证明不等式以及解不等式的主要依据.本周学习的另一重点是用作差法比较两实数的大小.用作差法比较两实数的大小，其步骤为①作差；②变形；③判断差的正负．在解题中应加强化归意识，把比较大小与实数减法运算联系起来，利用实数的运算性质解决比较大小的问题.例
1、已知，b∈R+ ,求证：[分析与解答] 分析：
比较两个实数的大小，常根据实数的运算性质与大小顺序的关系，归结为判断它们的差的符号来确定.证明此题要注意分类讨论。证明：nn
＋b≥
nn-
1b＋b
n-1
．（nN）
＋b －(nn-1b＋b)=(n-1n-1
－b)－b（n-1n-1
－b)=(－b)（n-1n-1
－b)
n-1 若＞b
若=b(－b)(n-1－b)=0.若＜bn-1
综上,≥O,即
n
＋b
－(n-1b＋b n-1)≥O∴
nn
＋b ≥
nn-1
b＋b ．
n-1小结： 比较大小常用作差法，一般步骤是作差——变形——判断符号．变形常用的手段是分解因式和配方，前者将“差”变为“积”，后者将“差”化为一个或几个完全平方式的“和”，也可两者并用.2、不等式的性质、推论及证明
不等式的五个性质和三个推论是不等式这一章的理论依据。
（1）＞b
（3）＞bb＜；（反身性）
（2）＞b，b＞c
＞c；（传递性）
＋c＞b＋c；（两边同加数号不变）；推论：移项法则.（4）；（两边同乘正数号不变）；
（5）；（两边同乘负数号改变）；推论：去系数法则.（6）；（同向相加）（7）；（异向相减）
（8）；（同向相乘）
（9）；（异向相除）
（10）＞b（倒数关系）
（11）＞b＞0n＞b n（nN+）；（不等式的幂）
（12）＞b＞0
2（nN+）；（不等式的方根）
例
2、已知f(x)=px－q，且－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围.[分析与解答] 分析：
本题可考虑将f(3)写成f(1)，f(2)的线性组合，即f(3)=mf(1)＋nf(2)的形式，然后用不等式的运算性质推算f(3)的取值范围.解答：依题意，有
点评：
（1）这种类型题目常见的错误是：
由，加减消元得0≤p≤3，1≤q≤7，从而得－7≤f(3)＝9p－q≤26，事实上，f(3)不可能取到[－7，26]上的一切值.p，q是两个相互联系，相互制约的量，在得出0≤p≤3，1≤q≤7后，并不意味着p、q可以独立地取得区间[0，3]及[1，7]上的一切值，例如p=0，q=7时，p－q=－7已不满足－4≤p－q≤－1.（2）依不等式的性质求变量的范围是一种常见的题型，变形不等式时要防止扩大了变量的范围.例
3、（1）已知30 [分析与解答] 分析：（1）同向不等式不能相除，应先求出的取值范围.（2）注意运用取倒法则，优化解题过程.解： （1） （2）． 小结：不等式的性质中讲了加法和乘法运算，对于减法和除法必须转化为加法和乘法来运算，千万不能把等式的减、除法运算平移到不等式的运算中来.3、算术平均数与几何平均数 若a、b∈R，那么a＋b≥2ab（当且仅当a=b时取等号）通常称为重要不等式．两正数a，b的算术平22均数，几何平均数，平方平均数，调和平均数的大小关系为H≤G≤A≤Q（等号当且仅当a=b时取得），这也称作均值不等式.运用重要不等式和均值不等式，可以比较大小，证明不等式，求最值． 基本不等式有： ①，； ②，； ③，； ④，； ⑤，； ⑥，.例 4、已知a，b，c都是正数，且a＋b＋c=1，求证： [分析与解答] 分析： 在不等式证明中，几个正数的和为1，常常作为条件出现在题设，这时用好这个“1”常常成为解题的关键.证明： （1）∵ a＋b＋c=1，且a＋b＋c∈R.＋ ＋ （2）∵ a，b，c∈R且a＋b＋c=1.（3）∵ a，b，c∈R且a＋b＋c=1.＋ 小结： 以上各小题在证题过程中，或是将分子的1看作a＋b＋c，然后拆项，或是将原代数式乘以一个值为1 的因式（a＋b＋c）以利用整理变形，这些常用的“1”的变换技巧很重要.2利用基本不等式求最值： ①当成立； ③若时，不等式为定值，不等式即为 成立； ②当且仅当，当且仅当 时，不等式时，有最小值 中，“等号”； ④若为定值，不等式即为，当且仅当时，有最大值； 注：以上简称“和小积大”；有否最值的关键为是否有定值，且当时，能否求出解来.例 5、已知a，b为正数，且，求的最大值以及达到最大值时a，b的值.[分析与解答] 分析： 分析条件与结论之间的关系是非常重要的解题步骤.本题条件，结论的最大值，所以必须把结论中a进入根号内，即是用条件的第一步，而条件中的的b系数为，还得继续变换结论解析式的形式，即：，再用均值不等式就完成了这一转化过程.解答：∵a，b为正数.当时，即时取等号.∴ 当时，的最大值为 点评：在求解过程中，不要急于运用均值不等式，使解答陷入僵局． 例 6、如图所示，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a米，高度为b米，已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比，现有制箱材料60平方米，问当a，b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A、B孔的面积忽略不计） [分析与解答] 析： 先由面积列出a，b的方程，由题意将问题转化为使ab取最大值时a、b的值.解法一： 依题意，即所求的a，b值使ab最大.由题设知 4b＋2ab＋2a=60（a>0，b>0） 即 a＋2b＋ab=30（a>0，b>0） 当且仅当a=2b时，上式取等号.
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