一类二元函数最值的求法

第一篇：一类二元函数最值的求法

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一类二元函数最值的求法

作者：高海燕

来源：《数理化学习·高三版》2013年第05期

点评：解法1和解法2中都用了配方法，但由于配方的目的不同.

第二篇：偏导数求二元函数最值

偏导数求二元函数最值

用偏导数可以求多元函数的极值及最值，不过要比一元函数复杂很多。

这个在高等数学教材里都有，极值求法与一元函数类似。不过极值点的判断要比一元函数复杂很多。

求闭区域上的最值要更麻烦一些。为什么呢？你可以回忆一下闭区间上一元函数的最值，我们做法是先求极值，再与端点的函数值比大小。但多元函数就麻烦了，因为一元函数的区间端点只有两个值，可以全求出来比就行了。但多元函数闭区域的边界是无穷多个值，不可能全求出来了，因此边界上我们还需要再求最大最小值，这个叫做条件最值。

如果能代入的话，就是代入求（将条件最值转化为无条件最值）。如果有些函数很复杂不能代入，有另一个方法，叫做拉格朗日乘数法，就是解决条件最值的问题的。

第三篇：不等式证明、最值求法

不等式的证明（论一个不等式的应用）

贵刊2004(11)发表李建新老师《巧用向量求值》一文（以下简称原文），经笔者研究发现，原文中的所有最值问题都可以用下面的一个不等式加以解决，而且相比之下比李老师的向量法在处理上更简单一些，故写此文和大家交流．

x2y222

2定理 若实数a,b,x,y满足221，则ab≥(xy)．

abx2y2b2x2a2y2222222

证明：ab(ab)(22)xy2 2

abab

222

≥xy2xy(xy)，xy

由证明过程易知等号成立的条件是22．

ab

注 这个不等式的条件是一个椭圆方程，故称此不等式为椭圆不等式．

１ 求满足整式方程的未知数的代数式的最值

例１ 已知x,y满足xy2x4y0，求x2y的最值（1988年广东高考题，原文例１）．

(x1)24(y2)2

解：xy2x4y01，依定理有

520

520[(x1)2(y2)]2，即(x2y5)，解得0x2y10，当且仅当2

5x1

y222

(x2y)min0，且xy2x4y0，即xy0时，当x2,y4

时，(x2y)max10．

例２ 已知a,bR，且ab10，求(a2)(b3)的最小值（第10届“希望杯”全国数学邀请赛高二培训题）．

(a2)2(b3)2

1，由定理得： 解：令(a2)(b3)=t，则

tt

2t≥(ab5)2(ab16)236，即t≥18，当且仅当a2b3且ab10

时，即a1,b0时，tmin18，从而(a2)(b3)的最小值为18．

２ 求满足三元一次方程及三元二次方程的未知数的最值

例３ 已知实数x1,x2,x3满足方程x1

111212x2x31及x12x2x33，求x3的232

3最小值（1993年上海市高三数学竞赛试题，原文例3）

(x2)2

x1212111

1解：x1x2x31x1x21x3，x12x2x331

222323233x3(3x3)323

由定理得

111112112121

(3x32)(3x32)(x1x2)23x32(x1x2)23x32(1x3)2x33

323233233311

从而x3的最小值为

21． 11

３ 求满足整式方程的未知数的分式的最值

例４ 如果实数x,y满足等式(x2)y3，求题）．

y的最大值（1990年全国高考试x

y

k，则ykx，由已知等式(x2)2y23可得 x

(2kkx)2(kx)2222，∴由定理得：≥，即≤3，∴≤k≤3，133kk4k2

33k

y

从而的最大值为3。

x

y22

例５ 若实数x,y适合方程xy2x4y10,那么代数式的取值范围

x2

解：令

是（第9届“希望杯”全国数学邀请赛高二第1试）．

y

t，则txy2t0，由已知方程得(x1)2(y2)24，变形得：x2

(txt)2(y2)2

1，∴由定理得：4t24≥(txy2t)2(23t)2，解之得： 2

44t

12y120≤t≤，∴代数式的取值范围是[0，]．

5x25

y122

例６ 已知实数x,y满足方程(x2)y1，求的最小值(第10届＂希望杯＂

x2

解：令

邀请赛数学竞赛高二试题，原文例4)

(kx2k)2(kx2k1)2y122

1，解：设k，则ykx2k1，(x2)y1

k21x2

由定理得k1[(kx2k)(kx2k1)](14k)，解得0k４ 求满足不等式的未知数的最值

例７ 若2xy1，uy2yx6x，则u的最小值等于（）A．

y18，即的最小值为０． 15x2

77141

4B．C．D． 5555

（2003年＂希望杯＂全国数学邀请赛高二试题）

4(x3)2(y1)2

1，依定理及条件有 解：uy2yx6x

4(u10)u10

36142(x3)

当且仅当10，y1且2xy1

554

31114

时，即x,y时，umin，故选(B)．

555

11n

例８ 设abc，且≥恒成立，则n的最大值是（第11

abbcac

5(u10)(2xy5)236，即u

届“希望杯”全国数学邀请赛高二第1试，原文例１１）．

解：令

11112

=t，则=1，从而t(ac)≥(11)4，

t(ab)t(bc)abbc

由已知得ac0，故t≥５ 求无理函数的值域

4114，即≥，∴n的最大值是4． 

abbcacac

1994年上海市高三数学竞赛题，原

例９

求函数y文例５）．

解：由1994x0且x19930得1993x1994，两边平方易得y1，又

1

1994xx1993，由定理得：22，

1y



故函数y６ 求满足分式方程的未知数的代数式的最值

例１０ 设x,y,a,bR，且



ab

1，则xy的最小值为（第11届＂希望xy

杯＂全国数学邀请赛高二培训题）．

解：

依定理有xy，ab

1，即x，xy

x

时，(xy)min2．

例１１ 已知x,y(0,)，且数学竞赛试题，原文例６）．

解：由已知条件和定理有：xy117． 定理的推广 若

1998

1，求xy的最小值（1998年湖南省高中xy

a

i1

n

bi

i

1，则ai≥（i1

n

b)

ii1

2i

n，其中ai与bi同号（i=1，2，． ,n）

证明：由Cauchy不等式及已知条件有：７ 求使多项式函数取最值的未知数的值

a=a.a

i

i1

i1

nnn

bi

i

≥（i1

b)．

2ii12

n

例１２ 求实数x,y的值，使得(y1)(xy3)(2xy6)达到最小值（2001年全国高中数学联赛试题，原文例７）．

1()y2(22x6y)6(2)xy

解：令(y1)(xy3)(2xy6)t，则t4tt

1，由定理的推广得：6t[(1y)(2x2y6)(62xy)]1，即t，当且仅当6

1yxy362xy55

(y1)2(xy3)2(2xy6)2达，即x,y时，

12126

到最小值．

6８ 求满足分式方程的未知数的分式的最值

x2y2z2xyz

例１３ 已知x,y,zR,，求的最2

1x21y21z21x21y21z2



大值（1990年首届＂希望杯＂全国数学邀请赛培训题，原文例８）．

x2y2z2111

2解：由易知1，而 1x21y21z21x21y21z2

x2(y)2z2

()()222222xyz1y21，依定理的推广可有222

1x1y1z

1x21y21z2222xyz2xyz2，即()(2，从222222222

1x1y1z1x1y1z1x1y1z

而

xyz

． 

1x21y21

z2

９ 求无理式的最值

例１４ 如果abc1，（第８届＂希望杯＂全国数学邀请赛高二试题，原文例９）．

解：由条件知(3a1)(3b1)(3c1)6，则

3a13b13c1

1，由定理

666

的推广得：18，且仅当abc

时达到最大值）． 3

M

是多少？N

１０ 求三角函数的最值

例１５的最大值为M，最小值为N，则

（1999年＂希望杯＂数学邀请赛，山西、江西、天津赛区高二试题，原文例12）．

解：由1tanx



N

tanx13tanx



1，由定理得422

2，即M=2，故

M． N１１ 求对数函数的最值

例１６ 已知ab1000,a1,b

1，则的最大值是多少？（第13届＂希望杯＂全国邀请赛高二培训题，原文例13）．

解：由已知易得：(1lga)(1lgb)5，即

1lga1lgb

1，由定理有

10

2

由上我们可以看出，用本文中的定理和定理的推广要比文［１］中用向量解决这些问题

简单的多．当然，这样的例子很多的，这里不再赘述，请读者自行研究，以下是几个练习．

练习

１．设x,y,zR，且xyz1，求队第一轮选拔赛题）．（答案：３６）

２．已知x,y,zR,xyz1，求数学问题1504）．（答案：６４）

３．函数y



149

的最小值（1990年日本IMO代表xyz

118

《数学通报》2004（7），22的最小值（2

xyz

3xx2的最小值为12届“希望杯”全国数学邀请赛高

参 考 文 献

一培训题）．（答案：－２）

１．李建新．巧用向量求值．数学教学，2004，1１．

第四篇：人教版高一数学《函数最值求法及运用》教案

人教版高一数学《函数最值求法及运用》

教案

函数最值求法及运用

一经验系统梳理:)问题思考的角度:1几何角度；2代数角度

2)问题解决的优化策略:

Ⅰ、优化策略代数角度:

消元

2换元

3代换

4放缩

①经验放缩，②公式放缩③条放缩]

Ⅱ、几何角度:

经验特征策略分析问题的几何背景线性规划、斜率、距离等

3)核心思想方法:

划归转化思想;等价转化思想

若

，则

二、体验训练：

线性规划问题

已知双曲线方程为求的最小值

2斜率问题

已知函数的定义域为，且

为的导函数，函数的图像如图所示若两正数满足，则的取值范围是

．

3距离问题

3、由直线上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为

．

练习1已知点是直线上动点，、是圆 的两条切线，、是切点，若四边形的最小面积是，则

．

练习2已知实数满足不等式组，则的最小值为

；

4消元法

已知函数，若且则的取值范围为

练习：设函数，若且则的取值范围为

换元法

求下列函数的最大值或最小值：

（1）

；

（2）

；

（3）若函数的最大值是正整数，则=_______

解：（1）

，由得，∴当时，函数取最小值，当时函数取最大值．

（2）令，则，∴，当，即时取等号，∴函数取最大值，无最小值．

2已知,且夹角为如图点在以为圆心的圆弧上动若则求的最大值

6代换法

设为正实数，满足，则的最小值是

【解析】本小题考查二元基本不等式的运用．由得，代入得，当且仅当＝3

时取“＝”．

设正实数满足则的最大值为

▲1

．

7公式放缩法

函数，的最小值为：_________

错解：∵

∴，又为定值故利用基本不等式得

即的最小值为4

点评：利用基本不等式必须满足三个条：即“一正、二定、三等”，而本题只满足前两个条，不满足第三个条，即不成立。

设为实数，若则的最大值是。

8放缩法、换元法

已知二次函数的值域是那么的最小值是

．

9综合探讨：

满足条的三角形的面积的最大值

【解析】本小题考查三角形面积公式、余弦定理以及函数思想．设B＝，则A＝

，根据面积公式得=，根据余弦定理得

，代入上式得

=

由三角形三边关系有解得，故当时取得最大值

解析2：若，则的最大值。

【解析】本小题考查三角形面积公式及函数思想。

因为AB=2（定长），可以以AB所在的直线为轴，其中垂线为轴建立直角坐标系，则，设，由可得，化简得，即在以（3，0）为圆心，为半径的圆上运动。又。

答案

7、设，则函数

时，;

（3）=

设

则

由于，所以

在内单调递减，于是当时时

的最大值米

答：当或时所铺设的管道最短，为米

第五篇：函数的值域与最值的求法一教案

函数的值域与最值的求法一（2课时）

2011年2月14号 星期一

重难点：函数值域与最值的求法

口诀：分式分，单调单，抛物找轴最关键；绝对脱，根式换，化为二次方程判；

x213x1、观察法: 例题： ①y=2;②y=x

x23

12、配方法：y=a（f（x））2+bf（x）+c(a≠0)例题：①求y=-x2+2x+5,x ∈[2,3]的值域；②y=4-32xx2;③y= 3x2-x+2;④y=x26x5

3、代数换元法:y=ax+b±cxd

例题：①y=2x+12x;②y=x+41x;③y=x+2x1;④y=2x-5+154x;⑤y=2x-4x13 ⑥y=2x-1x⑦y=x-12x

4、中间变量法（定义域为R）

x21例题：y=2

x

25、三角函数的有界性法（几何意义法：斜率公式）

3x21x例题：①y=②y=

54x2x5, ]或设x=cos22θ, θ∈[0,Л] 题中出现1x2可设x=tanθ, θ∈(-,)或设x=cosθ，22θ∈(0,Л)axba7、分离常量法:y=（结果规律：y≠）

cxdc6、三角函数换元法:题中出现1x2可设x=sinθ, θ∈[-axb3x21x10x10x8、反函数法:y=例题：①y=②y= ③y=x

cxd54x2x51010xa1x2b1xc19、判别式法:y=（定义域为R）即分子或分母中含有二次三项式a2x2b2xc2的分式函数 3xx2x32x2x2x22x2例题：①y=2;②y=2;③y=2④y=2⑤x4xx1xx1xx12xx2x2x2xy=2⑥y=2 ⑦y=2 xx1x4x3xx1kx2

310、均值不等式法y=f（x）+（f（x）＞0,k>0）y=

2f(x)x

211、单调性法（对勾函数y=ax+

12、数形结合法（分段函数）

b（a,b>0））x例题：设函数g(x)x22(xR)，(x)x4,xg(x),f(x){gg(x)x,xg(x).则f(x)的值域是()

999（A）,0(1,)（B）[0,)（C）[,)（D）,0(2,)

444

13、导数法

课堂练习题：

1、求下列函数的值域：

x2x（1）y=2 解法一：配方法;解法二：判别式法

xx1（2）y=x-12x 解法一：换元法;解法二：单调性法（3）y=-xx2x22换元法

10x10x（4）y=x x1010 反函数法

（5）f（x）=（x-1）3x2在[-1，1]上的最值。

2五、课下练习作业：练习册P121