浅谈函数极限的求法

第一篇：浅谈函数极限的求法

浅谈函数极限的求法

摘要：函数极限是数学分析的基本内容之一，也是解决其它问题的基础。如何求出已知函数的极限是学习微积分必须掌握的基本技能。本文系统地介绍了利用定义、两个重要极限、无穷小量代换、洛必达法则、夹逼准则等求极限的方法，并结合具体的例子，指出了在解题中常遇见的一些问题。

关键词: 函数极限夹逼准则等价无穷小量洛必达法则泰勒展开式无穷小量

引言

极限研究的是函数的变化趋势，在自变量的某个变化过程中，对应的函数值无限解决某个确定的数，那这个数就是函数的极限了。极限是数学分析中一个非常重要的概念，是贯彻数学分析的一条主线，它将数学分析的各个知识点连在一起，所以，求极限的方法显得尤为重要的，我们知道，函数是数学分析研究的对象，而极限方法则是数学分析中研究函数的重要方法，因此怎样求极限就非常重要。

数学分析中所讨论的极限大体上分为两类：一类是数列的极限，一类是函数的极限。两类极限的本质上是相同的，在形式上数列界限是函数极限的特例。因此，本文只就函数极限进行讨论。函数极限运算是高等数学的一个重要的基本运算，一部分函数的极限可以通过直接或间接的运用“极限四则运算法则”来求解，而另一部分函数极限需要通过特殊方法解决。求函数极限的方法较多，但是每种方法都有其局限性，都不是万能的。对某个具体的求极限的问题，我们应该追求最简便的方法。在求极限的过程中，必然以相关的概念、定理以及公式为依据，并借助一些重要的方法和技巧。本文给出了十七种求极限的方法，每种方法都是以定理或简述开头，然后以例题来全面展示具体的求法。下面我们通过对一元函数和二元函数极限的求法来进行分类讨论

一元函数极限的求法

1.1利用函数定义求极限

利用函数极限的定义验证函数的极限。设函数f在点x0的某空心邻域，使得当U0(x0;)内有定义,A为定数。若对任给的0，存在正数（）

0xx0时，有f(x)A成立，则称函数f当x趋于x0时以A为极限，记作limf(x)A或f(x)A(xx0)。xx0

x24例1设f(x),证明limf(x)4.x2x

2x244x24x2，证明: 由于当x2时，f(x)4x2

故对给定的0，只要取，则当0x2时，有f(x)4.这就证明了limf(x)4.x2

(1)定义中的正数，相当于数列极限N定义中的N，它依赖于，但也不是由所惟一确定。一般来说，愈小，也相应地要小一些，而且把取得更小一些也无妨，如在题1中可取

2或

3等等。

(2)定义中只要求函数f在点x0的某个空心领域内有定义，而一般不考虑f在点x0处的函数值是否有定义，或者取什么值。这是因为，对于函数极限我们所研究的是当x趋于x0过程中函数值的变化趋势。如在题1中函数f在点x2是没有定义的，但当x2时,f的函数值趋于一个定数。

1.2 利用单侧极限求函数极限

这种方法适用于求分段函数在分段点处的极限。首先必须考虑分段点处的左、右极限都存在且相等，则函数在分界点处的极限存在，否则极限不存在。如符号函数sgnx，由于它在x0处的左、右极限不相等，所以limsgnx不存在。x0

f(x)limf(x)A.定理1 limf(x)Alimxx0xx0xx0

2xx0例2 ： f(x)0 x0,求f(x)在x0处的极限.1x2x0

f(x)lim2x1，解: limx0x0

f(x)lim1x1，limx0x0

2f(x)limf(x)1， limx0x0

 limf(x)1.x0

1.3 利用函数极限的四则运算法则求极限

定理2 若极限limf(x)和limg(x)都存在，则函数f(x)g(x)，f(x)g(x)，xx0xx0

当xx0时也存在极限，且有

①limxx0

xx0f(x)g(x)limf(x)limg(x)； xx0xx0xx0xx0②limf(x)g(x)=limf(x)limg(x)；

limf(x)f(x)f(x)xx0③又若limg(x)0，则在xx0时也存在极限，且有lim.xx0xx0g(x)g(x)limg(x)

xx0

利用函数极限的四则运算法则求极限，条件是每项或每个因子极限都存在，一般所给的变量都不满足这个条件，如0，等情况，都不能直接用四则运算法0

则，必须要对变量进行变形，设法消去分子、分母中的零因子，在变形时，要熟练掌握因式分解、有理化运算等恒等变形。

(xtanx1).例3：求limx4

解: 由xtanxxsinx2及limsinxsinlimcosx，有 xxcosx42lim(xtanx1)=limxx4limsinxx4xlimcosxxlim1x41.1.6 利用函数的连续性求函数极限

参考文献:

[1] 华东师范大学数学系.数学分析(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2001.[2] 陈传璋,朱学炎等.数学分析(第二版)[M].北京:高等教育出版社,1998.[3] 张再云，陈湘栋等，极限计算的方法与技巧[J].湖南理工学院学报(自然科学版),2009,22(2):16-19.[4]欧阳光中.数学分析[M].上海：复旦大学出版社，2002.[5]钱吉林.数学分析解题精粹[M].武汉：崇文书局出版社，2001

第二篇：函数极限的若干求法 20121109

高等数学中极限的分析与研究

【摘 要】极限是高等数学中一个很重要的基础知识点，是微积分的前提，因此函数极限的求解是非常重要的。本文针对高等数学中极限的求解方法进行了一些分析与研究，主要以一元和二元函数的极限为主，尤其是a针对大学生如何学习并掌握极限而总结归纳了若干种求极限的方法，并对有些方法进行了改进，对于每种方法都是以定理和简述开始，然后以例题的方式展示。

【关键词】 极限 洛必达法则 积分中值定理 等价无穷小 夹逼准则 泰勒公式 一、一元函数极限求解方法 a1.利用定义求极限

这种方法的关键是找到符合定义要求的条件，这可能需要用到一些不等式的技巧，如缩放法等。

例 证明：limn4n2n1.22证0,要使|n4n1|n4nn4n(n4n)24n, a 取N4,当nN时，有|n4n21|4n4N成立，即limn4n2n1.此例题在用极限定义证明时, 只需要证明存在,当N>n时存在|f(x)-A |故求解的关键在于不等式的建立.在求解的过程中往往采用放大的技巧,注意不能把含有的因子移到不等式的另一边再放大, 而是应该直接对要证其极限的式子一步一步放大, 有时还需加入一些限制条件, 限制条件必须和所求的(或)一致, 最后结合在一起考虑.a2.利用极限的运算法则

已知limf(x), limg(x)都存在, 极限值分别为A, B, 则

xx0xx01

(1)lim[f(x)g(x)]AB；

xx0(2)limf(x)g(x)AB；

xx0(3)limf(x)g(x)xx0AB（此时需B0成立).总的说来就是函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商。因此对于和、差、积、商形式的函数求极限, 可以采用极限运算法则, 使用时需要先对函数做某些恒等变换或化简, 变换的方法通常有分式的通分、约分、分解因式、分子分母有理化、三角函数的恒等变化、拆项消去法、比较最高次幂法等.但必须注意只有各项极限都存在(对商, 还要分母极限不为零)时才能适用.例 求极限lim3x1xxx22

21-x(x2)(x1)x1 解：原式lim3x1x(x2)(x1)x1limx1lim13x1x

x1 lim2x2x1lim13x1xx126

3.用单调有界准则求极限

定理：在实数系中, 有界的单调数列必有极限.因此利用单调准则证明极限存在, 主要针对递推数列, 必须验证数列两个方面的性质: 单调性和有界性.解题的难点在于判断单调性, 一般通过数学归纳法、减法、除法比较前后项． 例 设a0,x10,xn112(xnaxn),(n1,2,)

求证：数列xn单调递减有下界

求limxxn

证明：显然xn0(n1),因此 xn112(xnaxn12)xnaxna(n2)故

x有下界

n 又xn1xn(xnaxn)xnaxn2x20(n2)

即xn1xn，故数列xn单调递减

由知：limxnA是存在的

x 对xn112(xnaxn)两边取极限得A12(AaA)

解得Aa或Aa(舍去)

4.利用两个重要极限求极限

两个重要极限:（1)limsinxxx011；(2)lim1e.xxx 根据复合函数的极限运算法则, 可将以上两个公式进行推广:(1)limsinf(x)f(x)1(limf(x)0,yxx0sinuu,uf(x))；

xx01(2)lim1xx0g(x)g(x)u1e limg(x),y1,ug(x)xx0un1nn1n

例 求极限：lim[n(n1n)]n12 原式lim[n(n1n1nn1nn)12](n1n)2

lim(1n12)(n1n)2 lim[1nnn1nn1n)2(n12](n1n)2

lim[1nnn1n)2(n1n)2(n1n14n]nn12(n1n)(n1n)nn1limen2(n1n)(n1n)2

4nnn13nn)limen2nn2(n1 1 limen4e2

5.利用无穷小的性质和等价无穷小代换求极限

定理：设函数f(x),g(x),h(x)在U(x0,)内有定义, 且有

f(x)~g(x)(xx0).(1)若limf(x)h(x)A, 则limg(x)h(x)A；

xx0xx03

(2)若limh(x)f(x)xx0B, 则limh(x)g(x)xx0B.性质 1 有限个无穷小量的代数和为无穷小量；

性质 2 有限个无穷小量的乘积为无穷小量；

性质 3 常数与无穷小量的乘积是无穷小量.定理：设,均为无穷小, 且~,则 limlim~, 且lim存在，.对于分子或分母中的两个无穷小之差不能直接用无穷小代换.常用等价代换公式: 当x0时, sinx~x, arcsinx~x, tanx~x，arctanx~x, e1~x, a1~xlna等.xx例 求limxlncosxetanxx0esinx

xln[1(cox1)](etanxsinx 解：原式limx01)esinxlimx(cosx1)(tanxsinx)esinxx0

limx(cox1)(1cosx)e1esinxx0sinxtanxlimxesinxx0tanx

limx0111

6.利用洛必达法则求极限

定理：若函数f(x)和g(x)满足：(1)limf(x)limg(x)0；

xx0xx0(2)在点x0的某空心邻域U0(x0,)内两者都可导, 且g(x)0；(3)limf(x)g(x)A(A可为实数, 也可为)，f(x)g(x)xx0则 lim这是对于00f(x)g(x)xx0limxx0A.型不定式极限，对于型不定式极限有类似的方法。洛必达法则是求两个无穷小量或两个无穷大量之比的极限的, 在同一运算过程中可连续

使用, 直到求出所求极限.但是, 对于其他不定式的极限（如0，1,0,,00等类型）如果无法判断其极限状态, 则罗必达法则失败, 但只需

00经过简单变换, 它们一般可以化为型和12例 6 求极限lim2cotxx0x解：原极限=lim=lim=lim型的极限.sinx-xcosxsinxxcosxxsinxsinx-xcosxx322x0x0limsinx+xcosxxlimcosx+cosx-xsinx1x0

x0cosx-cosx+xsinx3xx222x0=2limx03x237． 利用导数的定义求极限

定义：设函数f(x)在点x0的某个邻域内有定义, 若极限

limf(x)f(x0)xx0

xx0存在,则称函数f(x)在点x0处可导, 并称该极限为函数f(x)在点x0处的导数, 记作f(x0).对于一般抽象函数求极限时, 如果已知它的导数是存在的, 则经常利用导数的定义求极限.例 a 求极限：limex1x2x

x0xlnx 解：原式lime0x0xlnxlnxx

x (e)'|x01

8.利用微分中值定理求极限

定理:(拉格朗日中值定理)若函数f(x)满足如下条件：(1)f(x)在闭区间a,b上连续；(2)f(x)在开区间(a,b)上可导，则在(a,b)上至少存在一点,使得 f()例 8 求极限limnn2f(b)f(a)ba.n+1x-nx.x>01.令f(n)=x>0nx112解:原极限=limnn+1-nnxx1xn+1所以，由拉格朗日中值定理有：f(n+1)-f(n)=即有1xn+1-1xn=f()n+1n.n,n1

'-1xn=11-2xlnx11lnx2所以limnn+1-n=-lim=0nxnxx 9.用泰勒展式求极限（或麦克劳林展式)

常用展式： cosx1x2x22!(1)nx2n2n!o(x2n1)，e1xx2!x33!2xnn!no(x)，n11x1xxxo(x), sinxxnx33!(1)n1x2n1(2n1)!o(x2n)

lnx+1=x-x22+x33-x44+-1n-1xnn+xn

等.在计算过程中, 要注意高阶无穷小的运算及处理.例 求limnsin(2en!)

n 解：将e用泰勒公式展开有e1112!1n!12!13!1n!

原式limnsin[2(11n2])n!]limnsin[2k(n1n11))]1

n1limnsin[n2n1(2

n1limnlimsin[nnn1(n1)]limnn2n126

10.利用夹逼准则与定积分求极限

夹逼准则多适用于所考虑的函数比较容易适度放大或缩小, 而且放大和缩小的函数是容易求得相同的极限.基本思想是把要求解的极限转化为求放大或缩小的函数或数列的极限.利用夹逼准则求函数极限的关键：

（1）构造函数f(x), h(x), 使f(x)g(x)h(x)；（2）limf(x)limh(x)A, 由此可得limg(x)A.xx0xx0xx0定理:设limf(x)limh(x)A, 且在x0某一空心邻域U0(x0,)内

xx0xx0有 f(x)g(x)h(x), 则 limg(x)A.xx0定义:设f(x)在a,b上的一个函数, J是一个确定的实数.若对任给的正数, 总存在某一正数, 使得对a,b的任何分割T, 以及其上任意选取的点集{i}, 只要T, 就有 |f(i)xiJ|，i1n则称函数f(x)在区间a,b上可积, 数J称为f(x)在a,b上的定积分, 记作 Jbaf(x)dx.nb若用极限符号表达定积分, 可写作JlimT0i1f(i)xiaf(x)dx.由定积分的定义我们知道, 定积分是某一和式的极限, 因此, 如果关于n的某一和式可以表示成某一积分的形式时, 则可利用定积分, 求出这个和式的极限, 显然, 若要利用定积分求极限, 其关键在于将和式化成某一函数的积分形式.lim例：求极限：ln(n1)n1nln(n2)n12ln(nn)n1nlnn

n解：原式lim[ni1ln(ni)n1ilnn]

nlnnln(1ni)1iilim ni1nlnn)

lnnln(1n1iln(1i)nlnnln(1i又

n1nn)lnnln(nn)n

inlnnln(1ni而i1nlnn)ni1n=1nnln(1n)i1i10ln(1x)dx

[xln(1x)]10lnnln(1n1i10xx1dxln210x11x1ndx2ln21 in而i1nlnn)lnnn1ln(1i1n

n1)lnnn1n1ln(1ii1n1n1i)ln(1)n1 n1n1in1nlnnln(1n1limni1nlnnlim(n)lnnn1ln(1n1n1)n1ln(1i1n1)n1)n1ln(1 0limni1)n1n1i10ln(1x)dx2ln21

即由夹逼准则得 原极限2ln21

11.利用积分中值定理求极限

定理：设f(x)与g(x)都在a,b上连续, 且g(x)在a,b上不变号, 则至少存在一点a,b, 使得 f(x)g(x)dxf()g(x)dx.aabb例 求极限limn1xn01xdx.解: 取a,b0,1, f(x)m1211x, g(x)xn, 则f(x)在0,1上的最小值

1n, 最大值M1, 由积分中值定理知 原式limxdxlimn0n1n

n因为121, 所以 limn1x01xdx0.12.利用级数求解极限

利用级数展开式求极限，从已知的展开式出发, 通过变量代换、四则运算、逐项求导、逐项求积定义法等直接或间接地求得函数的幂级数展开式。

例 求limsinxarctanxx3

x0 解: 利用幂级数的展开式, 可得

xx3 原式lim3!x55!x77!xx3x33x55x77

x0 lim1x2

33!55!x0613.利用黎曼引理求极限

定理:a若f(x)在a,b上可积, g(x)是以T为周期的函数, 且在0,T上可积, 则有 lim1111nbaf(x)g(nx)dx11TT0g(x)f(x)dxab.例 计算limnsin2nx201xdx.解:因为sin2x的周期为, limn1sin2nx201xdx10sinxdx2111x20dx8 二、二元函数极限求解方法

二元函数极限是在一元函数极限的基础上发展起来的, 两者之间既有联系又有区别．在极限运算法则上, 它们是一致的, 但随着变量个数的增加, 二元函数极限变得更加复杂, 它实质上是包含任意方向的逼近过程, 是一个较为复杂的极限, 对于二元函数f(x,y)的二重极限, 其重点是研究极限的存在性以及具体的求解方法．

引例 求limxy2222(x,y)(0,0)xy.原解法： 因为|xy2222xy||xx2||x|,20, 取0，()1y222当x, y, 且(x,y)(0,0)时, 有xyxy22x02<, 由极限

2的定义得

xr(x,y)(0,0)limxy2222xy0.新解法：令xy2222yrsin2当（x,y)(0,0)有r0, xyrcossin,2222因为|cossin|1, 所以

(x,y)(0,0)limxy2222xylimrcossin0.r0222两者相对比, 我们就会发现, 此例用极坐标代换求极限比用定义求解简单的多, 那么, 选择一个正确的解题方法就显得尤为重要了。下面是对各类方法进行的探索.1.利用定义, 证明某极限为某数A或不存在．

例 证明极限limx3yxy1y13

证明：0,有不等式(取y0)

5xy1y13(x3)y4y1x34y

取 有|0,于是0,5>0,对x,y:|x3|与yxy1y11, xy1y13||x3|4y45,即limx33得证

y

2.将函数变形, 想办法约去零因式（或无穷大因式）例 求limx0y0(14x)(16y)12x3ylim2222 解：原式=

(14x)(16y)12x0y02x23y214x16y122

=lim(x0y02(14x)(16y)12224xy222222)

(2x3y)((14x)(16y)1)=1+0=1

3． 利用等价无穷小来代换 例 求 limx0y0sin(xy)xy33.解: 当x0,y0时, x3y30,sin(x3y3)和x3y3是等价无穷小, 故原极限limsin(xy)xy33x0y0lim(xyxy)0.22x0y04.变量代换

第一类: 依据函数f(x,y)的特殊类型, 利用两变量x,y的和xyt,平方和x2y2t及乘积xyt等做代换, 将二元函数f(x,y)求极限的问题, 整体或者部分转化为一元函数的极限问题.（1）当x,ya（a0的常数), 二元函数f(x,y)的极限, 作代换xyt, 相应的有t, 利用已知一元函数的极限知识.例 lim(1xya1xyx2)xy(a0).x2解： 因为(11xy)xy(11xyxyx(xy)y), 当x,ya时, 令xyt, 则 t,lim(1xya1xyx2)xy1tlim(1)ett1xyxyx(xy)y.1xy)xy所以 lim(1xya1xyx2)xy[ln(1]x(xy)y1lim(1xya)eea.第二类：讨论当（x,y)(0,0), 二元函数极限f(x,y), 用变量变xrcos换,.则r0.yrsin11

例 求limxyxy22x0y0

解：令xrcos,yrsin r0

xyxy22 则r2rcossincosrsin

因cossin21sin2 所以sinsin1故

22xyxy22r

而当x,y0,0时，r0所以limxyxyx0y00

【结语】极限是高等数学的基础，极限思想直接影响到微分、积分、导数的解法，如果没有极限思想和极限理论，我们的近代数学殿堂就不会如此辉煌，所以极限的重要性不言而喻。通过大一对极限的学习，我们对极限学习中所存在的不知如何求解极限的问题做出了相关方法的总结和进一步分析。相信在正确领会极限的定义以及解答方法的条件下，突破此难点并非难题。

参 考 文 献

[1] 吉米多维奇.数学分析习题集解题.济南: 山东科学技术出版社, 1999 [2] 数学考研考点精讲方法精练 西安交大出版社，2011 [3] 数学分析全程辅导及习题精讲 中国水利水电出版社，2011 [4] 高等数学辅导 国家行政学院出版社，2008 [5] 高等数学教学辅导书 高等教育出版社，2010 [6] 高等数学学习指导 北京邮电大学出版社，2011 [7] 大学生数学竞赛习题精讲 清华大学出版社，2010

第三篇：函数极限的求法(正文)

目录

0.引言..........................................................1 1.函数极限的定义................................................1 2.一元函数极限的求法...........................................3 2.1 利用函数极限定义求极限..................................3 2.2 利用恒等变形和极限运算法则求极限........................4 2.3 利用迫敛性求极限........................................4 2.4 利用两个重要极限及其推导公式求函数极限..................5 2.5 利用洛必达法则求解......................................6 2.6 利用函数的连续性质求解..................................7 2.7 利用等价无穷小量代换求解................................8 2.8 利用导数的定义求解......................................8 2.9 利用泰勒公式求极限......................................9 2.10 利用微分中值定理求极限................................10 2.11 利用积分中值定理求极限................................10 2.12 利用瑕积分的极限等式求极限............................11 3.二元及多元函数极限的解法....................................11 3.1 利用二元函数的连续性求解...............................12 3.2 利用极限的运算法则求解.................................12 3.3 利用不等式，使用夹逼法则求解...........................12 3.4 变量替换化为已知极限，或化为一元函数的极限求解.........13 3.5 利用恒等变形法求解.....................................13 3.6 利用两个重要极限求解...................................14 3.7 利用等价无穷小代换求解.................................15 3.8 利用无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小的结论求解.......16 3.9 利用二重积分来计算二元函数的极限.......................16 3.10 利用极坐标变换求解....................................17 3.11 利用二元函数的泰勒展式求解............................17 4.总结........................................................18 致谢...........................................................18 参考文献.......................................................20

函数极限的求法

0.引言

极限描述了数列和函数在无限变化中的一种趋势，它体现了从近似认识精确，从有限认识无限，从量变认识质变的数学思想。在数学分析和微积分学中，极限的概念占有重要的地位并以各种形式出现且贯穿全部的内容。极限理论又是研究连续，导数，积分，级数等的基本工具，是微积分的理论基础。极限的计算在解决许多实际问题中不可缺少。因此，掌握好极限的求解方法是学习数学分析和微积分学的关键一环。

对于如何求极限，怎样使求极限变得容易，这是让绝大多数学生较为头痛的问题。我们如何在准确理解极限的概念、性质和极限存在条件的基础上，灵活巧妙的运用各种不同的方法解决有关极限的实际问题。本文针对一元函数和二元函数极限，对它们的求解方法进行了归纳总结。

1.函数极限的定义

定义1 设函数f(x)在Uo(x0,)(x0的空心邻域)内有定义,A为一个确定的常数, 若对任给的正数,总存在某一正数, 使得当0xx0时, 都有f(x)A, 记作:limf(x)A或f(x)A(xx0), 称f(x)当

xx0xx0时以A为极限.或简单地写成: xx0limf(x)A0,0，使得x,当0xx0时,总有f(x)A.0x0,（或U0x0,）内有定义,A为定数, 若定义2 设函数f(x)在U对任给的0, 存在正数, 使得当x0xx0（或x0xx0）时有

f(x)A, 则称数A为函数f(x)当x趋于x0（或x0）时的右(左)极限.1 记作: f(x)Af(x)xlimx0Af(x)和f(x)Axlimx0A, 或者记作:

f(x)Axx0和f(x)Axx0.右极限与左极限统称为单侧极限。定义3 设f为定义在DR2上的二元函数,P0为D的一个聚点,A是一个确定的实数。若对任意的正数0, 总存在某正数, 使得当PUoP0;D时, 都有fPA，则称f在D上当PP0时, 以A为极限, 记作：

PP0PD limfPA

（1）当P,P0分别用坐标x,y,x0,y0表示时, 在不产生误解时, 1式也常写作：

x,yx0,y0lim fx,yA

（2）定义 4 设Ex,EyR , x0是Ex的聚点, y0是Ey的聚点, 二元函数f在集合DExEy上有定义, 若对每一个yEy,yy0, 存在极限xx0xExlimfx,y, 由于此极限一般与y有关, 因此记作

ylimfx,y

xx0xEx而且进一步存在极限 Llimy

yy0yEy则称此极限为二元函数f先对xx0后对yy0的累次极限, 并记作：

Llimlimfx,y，yy0xx0yEyxEx或简记作：

Llimlimfx,y.yy0xx0类似地可以定义先对y后对x的累次极限:

Klimlimfx,y.xx0yy02.一元函数极限的求法

求一元函数极限使高等数学的基本运算之一，能够合理运用解决函数极限的方法至关重要。对求于函数极限问题，从不同的角度思考，从不同角度分析，能得出各种不同的方法。

2.1 利用函数极限定义求极限

利用函数极限的定义以及不等式证明方法,关键是找出和的函数表达式,满足函数极限定义中的要求。

x212.例1 证明limx1x1分析：用“-”定义验证limf(x)A的过程，就是根据给出的找的过程，xx0就是解不等式的过程。将f(x)A经适当的变化（如放大等）0xx0()为为止（()表示仅与常数和有关的表达式），这里()

证明：这里,函数在点x1是没有定义的,但是函数当x1时的极限存在或

x212约不存在与它有没有定义并无关系。事实上, 0 ,不等式

x1去非零因子x1后就化为x12x1,因此只要取,那么当

x212.0x1时,就有x1所以由函数极限定义知：

x21lim2.x1x12.2 利用恒等变形和极限运算法则求极限

恒等变形通常是利用提取出因式约简分式, 分子或分母有理化及三角函数变换等。利用极限运算法则时则应特别注意法则的适用条件即各项极限存在且和, 积运算只能推广出有限项。

例2 求lim1tanx1sinx.x(1cosx)x0分析：当x0时，分母x1cosx0，显然不能运用极限运算法则进行处理，但在x0的过程中，x0，所以在所求的极限公式中可约去不为零的公因式，在求解中所用的方法就是对分子、分母进行合理的因式分解，约去产生奇异的因子，从而达到化简求解的目的。解：原式lim1tanx(1sinx)

x(1cosx)1tanx1sinxx0sinxsinx1cosx lim limx01tanx1sinxx0x(1cosx)1sinx11 limlim.2x0xx0cosx22.3 利用迫敛性求极限

利用迫敛性求极限，就是利用所谓的夹逼定理，通过确定两端式子的极

限来求解所要求解的极限值。给出夹逼定理：若函数f(x)满足h(x)f(x)g(，x)且limh(x)limg(x)A，则limf(x)A.xx0xx0xx01111 例3 证明lim222xx2xxx1分析：本题函数为无穷级数和的形式，不易用一般方法简单的求出极限值，故在这里考虑h(x)xxx2与g(x)xx12的极限值。

证明：利用放缩思想，容易看出

xxx21x121x221xx2xx12

而

limxxx2xlim111xx1，limxx12xlim111x2x1，于是由两边夹准则知：

1lim2xx11x221.2xx12.4 利用两个重要极限及其推导公式求函数极限

Ⅰ第一个重要极限：limsin(x)sinx1.1；其变形为：lim(x)0(x)x0x1xx0Ⅱ第二个重要极限：lim1xe；其变形为：lim1(x)(x)0(x)1(x)e

11或者lim1e；其变形为：lim1(x)xx(x)xe.sinx2例4 求lim.x0x 5 分析：先判断类型，当x0时sinx20，故所求极限是“

0”型，且不能0消去零因子，现在我们利用第一个重要极限求解。令(x)x2，通过变形可得sinx.xsinx2sinx2xlimx100.解：原式limlimx0x0x0xx

例5 求lim(cosx)x0sin2x2.分析：先判断类型，因为cosx1,x0，故知是“10”型，且不能消去零x，可化简的第二个重要极限的形式，现在我们利用第2二个重要极限求解。因子，令(x)sin2xsin22解：原式lim(12sin)x022x1xsin2222xlim1(2sin)e2.x0222.5 利用洛必达法则求解

这是目前最常用的求极限的方法之一，最好能与等价无穷小替换相结

0合，以减少求导的次数。常见的未定式有：型，型，1型，0型，000型，型，后四种未定式能化成前两种基本型型和型

0下面是形式语言的变换：

0（1）0

或 0.110（2）①12110201.01020102 6  ②121121121.11（3）①1eln1eln1ee0ln0eln11ln010.②0e0ln00.③0eln0e0lneln10.1cos3x例6 求极限lim.xsinx分析：当x时，1cos2x0，sinx0，显然是洛必达法则进行求解。

0型，故可直接使用01cos3x1cos3x3cos2xsinxlimlim解： lim 'xxxsinxcosxsinx' lim3cosxsinx 3cossin0.x2.6 利用函数的连续性质求解

若f(x)在x0连续，则知limf(x)f(x0)，即求连续函数的极限，可归

xx0结为计算函数值。常见有以下几种形式：(1)设f(x)在xa处连续，若

xaxalimxnan，则limf(xn)f(limxn)f(a)及limf(x)f(limx)f(a)。

nn(2)设limu(x)A0，limv(x)B，u(x)、v(x)在xa处连续,则

xaxalimu(x)v(x)limev(x)lnu(x)eBlnAAB.xaxa 7

例7 求极限limln27x6.x16解：因为f(x)ln27x6是初等函数，在定义域,内是连续的，所以

7在x1处也连续，根据连续的定义，极限值等于函数值。所以

limln27x6f(1)ln2760.x12.7 利用等价无穷小量代换求解

定理:设在自变量的某一变化过程中，,,,均为无穷小，又,且 lim1A，则lim1lim1A.例

x如：当x0时，有⑴sinx~x，⑵arcsinx~x，⑶tanx~x，⑷e-1~x，11112xn⑸ln1x~x，⑹1cosx~x，⑺arctanx~x，⑻1x-1~2n例8 求极限lim12tanxx0.21xln(1x).解：当x0时，12tan2x~2x2，xln(1x)~x2.故

lim12tanx2x01xln(1x)12x2lim12xx0e2.2.8 利用导数的定义求解

利用导数的定义求极限，一般可得lim法要求熟练掌握导数的定义及性质。

例9 若函数f(x)在xo点处可导, 且f(x0)3，求极限：

h0fx0khf(x0)kf(x0)，此方

hlimh0fx05hf(x0).h解：由于f(x)在x0点处可导, 若令x5h，则

limh0fx05hf(x0)hlimh0fx0xf(x0)x55f(x0)15.2.9 利用泰勒公式求极限

如果函数f(x)在含x0的某个开区间a,b内具有直到n1阶导数, 即fDn1a,b, 那么对于xa,b, 有

f(x)f(x0)f(x0)(xx0)11nnf(x0)(xx0)2f(x0)(xx0)no(xx0)2!n!这就是泰勒公式。

这是一种非常有效的方法，它实际上已包含了洛必达法则的求解方法，0利用泰勒公式求“ ” 型极限是一种重要而有效的方法, 因为有些此类不0定式运用洛必达法则需要连续几次求导, 但用此法较为方便。

例10 求极限lim1ex0x2x2.分析：首先要求掌握复合函数的泰勒展式，注意先展里层函数，再展外层函数。其次要把握好将函数展开到适当的阶数。本题中很明显，分母是2阶无穷小量，因此，需将函数1ex展开到2阶泰勒公式带皮亚诺余项。解：由泰勒公式可知

ex1x121xxnoxn 2!n!2所以

ex1x2ox2

2因此

1ex11x2ox2limlim1.x0x0x2x222.10 利用微分中值定理求极限

若f(x)连续, 那么fbxfaxfaxbxax, 于是

bxaxlimx0fbxfaxlimfaxbxaxfa0，x0bxaxx0x0其中01，limaxlimbxa0（主要是利用拉格朗日中值定理）.etanxex例11 求极限lim.x0sinxxcosx分析：利用拉格朗日中值定理：etanxexetanxx，在tanx与x之间，且sinxxcosxcosxtanxx.elim1.解： 原式limx0cosxtanxx01etanxx2.11 利用积分中值定理求极限

积分中值定理：

设fx在a,b上连续, 则a,b, 使得fxdxfba。积分

ab中值定理的推广形式是, 设fx在a,b上连续, gx在a,b上不变号, 则a,b, 使得fxgxdxfgxdx.aabb

例12 求极限limxn2xdx.x01解：

limxx01n2xdxlim2xndxx011lim20xn

1，01.2.12 利用瑕积分的极限等式求极限

命题 设fx在a,b上连续，a是fx的瑕点且瑕积分fxdx收敛，abibaba则等式fxdxlimfa成立。annni1bn

n例13 求极限lim解：因为 nn!.nn!1ni1nnlnlnn!lnnlninlnnln.nni1ni1nn而函数fxlnx在0,1上连续，x0是fxlnx的瑕点，且瑕积分

111于是由上面命题，有 0lnxdxxlnx|dx1．

001n!1nilimlnlimlnlnxdx1，nnnnn0i1n进而有：

nlimnn!limennnlnn!nenlimlnnn!n1e1.e

3.二元及多元函数极限的解法

二元函数极限是在一元函数极限的基础上发展起来的，两者之间既有联系又有区别。由于变量个数的增加，二元函数极限的求法比一元函数极限的求法要复杂得多，但一元函数极限的基本运算在二元函数极限的运算中同样适用。因此，可将一元函数的计算方法推广至二元函数。

3.1 利用二元函数的连续性求解

由二元函数连续的性质可得以下命题 命题 若函数fx,y在点x0,y0处连续，则例14 求极限lim1

x2y21x,yx0,y0limfx,yfx0,y0.x1y2解：由函数连续的定义不难证明函数fx,y故

limx1y21在点22xy11,2处连续.111f1,2.2222xy112143.2 利用极限的运算法则求解

例15 求极限lim解：

limsinxysinxysinxylimylimlimy1.x0x0x00xxyxyxy1y1y1y1sinxy.x0xy1

3.3 利用不等式，使用夹逼法则求解

例16 求极限limxy.xx2xyy2y 12 解： 由不等式x2y22xy，得到

0xyxy11xy 2222xxyyxyxyxyxy又

11lim0

xxyy所以：

limxy0.xx2xyy2y3.4 变量替换化为已知极限，或化为一元函数的极限求解

通过变量代换可以将某些二元函数的极限转化为一元函数的极限来计算，从而使二元函数的极限变得简单。

例17 求极限limx0y0xysinxy.xyxycosxy解：设xyt，因0xy12xy2.2故当x0,y0时，t0则

原式limt0tsinttsint1sintsint12lim2lim2lim.t0t0t06t2t1costt23t23

3.5 利用恒等变形法求解

将二元函数进行恒等变形，例如分母或分子有理化等，以约去零因子或无穷大因式。

例18 求极限lim解： 2xy4.x,y0,0xy2xy42xy42xy4limlimx,y0,0x,y0,0xyxy2xy4

x,y0,0limxyxy2xy412xy414.x,y0,0lim

3.6 利用两个重要极限求解

1sinux,ylim1；lim1ux,yux,ye.ux,y0ux,yux,y0它们分别是一元函数中两个重要极限的推广，其中x,yx0,y0时，ux,y0，视ux,y为新变量t，考虑极限过程t0.例19 求极限lim解：

x,y0,0x,y0,02xsinx2y2

x2y2lim2xsinx2y2xy22x,y0,0lim2xx,ylim0,0sinx2y2x2y2

2012.14 1例20 求极限lim1xxyyax2xy.解：

1lim1xxyyax2xyxy1lim1xxyyax2xyxy

而

x211limlim xxyxyxyayaya1yx故

xy1原式lim1xxyyax2xyxye.1a3.7 利用等价无穷小代换求解

一元函数中的等价无穷小概念可以推广到二元函数。在二元函数中常见的等价无穷小ux,y0，有

⑴ sinux,y~ux,y；

⑵ 1cosux,y~12ux,y； 2⑶ ln1ux,y~ux,y；

⑷ tanux,y~ux,y； ⑸ arcsinux,y~ux,y； ⑹ arctanux,y~ux,y； ⑺ nux,y-1~1ux,y； ⑻ eux,y-1~ux,y.n同一元函数一样，等价无穷小代换只能在乘法和除法中应用。

例21 求极限limsinxy.x,y0,0x 15 解：由x,y0,0；可知sinxy~xy.故

sinxyxylimlimy0.x,y0,0x,y0,0xx,y0,0xlim

3.8 利用无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小的结论求解

sinx2y例22 求极限lim2.x0xy2y0解：

sinx2y因为lim2x0xyy0令ux2yx2y1sinux lim1，2u0xy22u

所以

原式limx0y0sinx2yx2yx2y20.2xy3.9 利用二重积分来计算二元函数的极限

例23 求极限

n1n2lim(111111n11n21n11n22n11n2n2111111)n12n22n12n23n1n1n2n2

解：原式可化为

1limn1nn12i1j1n1n2111n2ij1n1n2D11ln22 1x1y其中D为0x1,0y1.16 3.10 利用极坐标变换求解

xcos设ykx,求极限，若结果与k有关，或设，求极限；若结

ysin果与有关，则二重极限不存在；若结果与k或无关，则二重极限可能存在，这时还要进一步证明所得极限就是所求的二重极限。

xyx2y2例24 求极限lim.x0xyy0解：设ykx，则

xyx2y2xkxx2k2x21klimlim，x0x0xyxkx1ky0y0极限与k有关.xcos或设

（为变量，为参数）

ysinxyx2y2cossin2cossinlimlim x00xycossincossiny0极限与有关 故原式极限不存在.3.11 利用二元函数的泰勒展式求解

例25 求极限limcosxycosxcosy.x0xyy0解：把cosxycosxcosy在0,0点展开得：

cosxycosxcosyxyox2y2

所以

limcosxycosxcosyxylim1.x0x0xyxyy0y04.总结

一元函数的极限求法基本可以归纳为以下几种方法（1）利用函数极限的定义求极限。（2）利用恒等变形和极限运算法则求极限（3）利用恒等变形和极限运算法则求极限（4）利用迫敛性求极限（5）利用两个重要极限及其推导公式求函数极限(6)利用洛必达法则求极限（7）利用函数的连续性质求极限（8）利用等价无穷小量代换求极限（9）利用导数的定义求极限（10）利用泰勒公式求极限（11）利用微分中值定理求极限(12)利用积分中值定理求极限（13）利用瑕积分的极限等式求极限。

二元函数极限是在一元函数极限的基础上发展起来的，虽然二元函数极限的求法比一元函数极限的求法要复杂得多，但一元函数极限的基本运算在二元函数极限的运算中同样适用。因此，又可将一元函数的计算方法推广至二元函数。

致谢

弹指一挥间，大学四年已经接近了尾声。这次毕业设计得到了很多老师、同学和同事的帮助，其中我的导师郑绿洲老师对我的关心和支持尤为重要，每次遇到难题，我最先做的就是向郑老师寻求帮助，而郑老师每次不管忙或闲，总会抽空来找我面谈，然后一起商量解决的办法。

此片论文得以完成,首先要感谢郑绿洲老师的细心指导。郑老师开阔的视野，为我提供了极大的发挥空间，在这段时间里让我明白了做任何事情要严谨细致、一丝不苟，对人要宽容、宽厚，郑老师宽厚待人的学者风范更是令我无比感动。感谢各位老师在这几年一直在生活中、组织上给予我的教导和无私的帮助，让我在湖北师范学院学院这个大舞台上有锻炼的能力、自我完善的平台。在此文即将完成之际，我衷心的感谢在此过程中帮助过我的每 18 个人，在这里请接收我最诚挚的谢意！

由于时间仓促、自身等原因，文章错误疏漏之处在所难免，恳请各位老师斧正。

参考文献

[1] 张雅平.二重极限的几种求法.雁北师范学院学报[J].2005,(2):65-67 [2] 扶炜.刘松.常见的函数极限求法分析.知识经济[J].2010,(1):138 [3] 康彩萍.浅谈求函数极限的方法.科技创新导报[J].2010,(4):160 [4] 冯英杰.李丽霞.二元函数极限的求法.高等数学研究[J].2003,(1):32-33 [5] 符兴安.二元函数极限计算方法研究.楚雄师范学院学报[J].2003,(6): 20-22 [6] 丁殿坤.吕端良.李淑英.多元函数极限的一种求法.南阳师范学院学报[J](自然科学版).2004,(12):25-27 [7] 张敏捷.函数极限的几种特殊求法.黄石理工学院学报[J].2008,(2):56-58 [8] 刘德.侯国林.关于瑕积分的一个极限等式.大学数学[J].2010,(5):199-202 [9] 宗慧敏.求函数极限的方法与技巧.民营科技[J].2008,(6):88-89 [10] 周蓓蓓.葛琪文.求函数极限的方法.科技信息[J].2010,(4):87-88

第四篇：浅析极限的若干求法

科技信息 ○高校讲台○ SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION

2007 年第 23 期

浅析极限的若干求法

孟金涛

(郑州航空工业管理学院数理系河南 郑州 450015)

摘要: 极限理论是高等数学的基础, 本文给出了极限的若干求法, 并用具体实例加以说明。关键词: 极限;表达式;等价无穷小

极限理论是高等数学的基础, 极限问题是高等数学中困难问题之

a +a +⋯+a

xx

x n

一。中心问题有两个: 一是证明极限的存在性, 二是求极限的值。两个 问题密切相关: 若求出了极限的值, 自然极限的存在性也就证明了。反 之, 证明了存在性, 常常也就为求极限铺平了道路。

利用定义证明极限的存在, 有一先决条件, 即事先要知道极限的 猜测值。通常情况下我们都不知道表达式的极限值, 那么如何根据表

→0

a1

+lim

x→0

+⋯+lim x a21 x→0 x→

1解】【(1)将根式有理化, 于是有原式为

x

解】令 t=-x,则 x→∞时, t→∞。于是lim(1-)=lim(1+)= 【

x→∞ t→∞ x t e

x

-t

=1 lim x→0x

(enπ)=sin2 【π, 由于初等函数在有定义的地方都连续,=sin

π

=sin项趋向于零求极限。1+

(1)利用收敛级数的通项趋向于零求极限。(2)利用收敛级数的余 2 π2lim =1。

原极限=sinn→∞ 2 +

1n

12×13×⋯×(n+10)例 9】求下列极限lim 【x, 其中(1)xn= 11×

十一、利用导数定义求极限n→∞ n

2×5×8⋯×(3n-1)

f(x-3h)-f(x0)例 11】设 f(x)在 x0 处可导, 求lim 0 【(2)xn=⋯+ h→0 2 2

2n)n+1 *(2n)

原极限=lim= 0 =arctan1= π 20n→∞ n i=11+x 4 i)

九、利用收敛级数的性质求极限,-

nπ

n+n +n

*)-

*

xn+1解】【(+当 x→∞时), 所以正项级数 1)由于 +x

n 3n+2 3 n =

1收敛, 从而可得通项 xn→0(当 n→∞时)。

∞

∞

∞

解】由导数定义有【

f(x03h)-f(x0)

h→0

lim

h→0

=lim

h

·(1

=0

Mathematics of Computation,1995,64:1147-1170.[ 2] A.R.Conn and Ph.L.Toint.An algorithm using quadratic interpolation for unconstrained derivative free optimization[ A].In G.Di Pillo and F.Gianessi, editors,Nonlinear Optimization and Applications [ M] ,New York, Plenum Publishing, 1996,27-47.[ 3] A.R.Conn,K.ScheinbergandPh.L.Toint.Ontheconvergenceof derivative-free methods for unconstrained optimization[ A].In A.Iserles andM.Buhmann,editors,ApproximationTheoryandOptimization: Tributes to M.J.D.Powell [ C] , Cambridge,UK,Cambridge University Press, 1997,83-103.[ 4] J.J.More and D.C.Sorensen.Computing a trust region step [ J].SIAM J.Sci.Stat.Comput,1983,4(3):553-572.Kef

≤Kk

2Kef

max$△k,△ kKgk

△k

(上接第 480 页)实可行的财务风险防范措施。

从单个企业来讲, 收益不足是导致财务风险的主要因素, 经营收 入扣除经营成本费用税金等经营费用后是经营收益, 如果从经营收益 开始就已经亏损, 说明企业已近破产倒闭, 即使总收益为盈利, 可能是 由于非主营业务或营业外收入所形成利润增加, 如出售手中持有有价 证券、固定资产等;如果经营收益为盈利, 而总收益为亏损, 问题不太 严重的话,说明已经出现危机信号, 但是可以正常经营的, 这是因为企 业的资本结构不合理, 举债规模大,利息负担重所致。企业必须针对财

务指标的评价采取有效措施加以调整。

综上所述,利用财务指标的评价, 找出企业的薄弱环节, 制定出企 业的筹资活动、投资活动、资金回收、收益分配策略及措施, 防范规避 财务风险,才能使企业长久稳定健康发展。

[ 1] 温素彬, 薛恒新.基于科学发展观的企业三重绩效评价模型[J].会计

研究.[ 2] 王化成, 刘俊勇, 孙薇.企业业绩评价[M].北京: 中国人民大学出版

参考文社.献

488

第五篇：浅谈数列极限的求法

浅谈数列极限的求法

龙门中小李海东

摘要：本文主要介绍了数列极限的几种求法，并通过一个例题说明利用函数极限的求法，帮助寻找数列极限的方法，帮助学生理解和掌握求极限的方法。

关键词：数列极限方（求）法说明

引言：在初等代数，高等代数学习过程中发现或多或少都涉及到数列极限的有关内容，在数学分析中数列极限是极其重要的章节，数列极限是学习函数极限的基础和铺垫，数列极限的求法和函数极限求法在某种程度上是彼此相似的，所以可以对照学习，也可以用一种求极限的方法，求出另外一种极限，给解答习题带来一定的灵活性。方法也是比较灵活的。下面就数列极限的求法略作浅谈，且举例说明。

一 利用单调有界准则求极限

预备知识：若数列an收敛，则an为有界数列，即存在正数M，使得对一切正整数n，有 anM.此方法的解题程序为：

1、直接对通项进行分析或用数学归纳验证数列an单调有界；

2、设an的极限存在，记为limanA代入给定的表达式中，则该式变为A的代数方n

程，解之即得该数列的极限。

举例说明：

例：若序列an的项满足a1a(a0)且an11aan,(n1,2,),试证2an

an有极限并求此极限。

解由a1a

21a1a12a2a1aa1aa22aa2a111

用数学归纳法证明aka需注意

22a2aka1a1akaka.ak2ak2akak

又anan12a1aana0 n2an2an

an为单调减函数且有下界。

令其极限为A 由 an1

1a

an有： 2an

1a

an2an

liman1

n

即A

1a

A 2A

AaA

a(A0)

n

从而liman

a.二 利用数列极限的定义求数列的极限

大家知道，数列极限的定义是这样的：设an为数列，a为定数，若对任给的正数，总存在正整数N，使得当nN时，有ana，则称数列收敛于a，定数a称为数列

anan的极限，记作：limn

a，当数列不单调时，我们就用此定义来求极限，其步骤：

1、先根据数列极限的唯一性求出极限；

2、再去证明极限的存在性。举例说明：

例：设x12, xn12解1.令limxnt

n

(n1)求:：limxn.nxn

则limxn1lim2

n

n



xn

 

即t2t12xn2

t2 t12(t12舍去)

1t

2.证明其极限的存在性对0xnt(2)(2)xn1t

xn1txn2t1xn1t ttxn1442



24n1

(当n足够大)



1xn1



x144n1

由极限的下定义可得：limxnt0

n

limxnt1

n

2.三 利用数列夹逼准则求数列极限

回顾一下：设收敛数列an数列{cn}满足：存在正数N0，当nN0，bn都以a为极限，时，有：ancnbn.则数列{cn}收敛，且limcna.n

此方法一般通过放大或缩小分母来找出两边数列的通项，从而达到求极限的目的。

举例说明：

11

例：求 lim12.n

nn

111n1

解由11212

nnnn

n1n11

1112 (n1)(n1)n1n1

n

n

n

n

nnn

1

显然 lim1e

n

n

nn1

111lim11并且 lim1e nn

n1n1n1

n

11

lim12e.n

nn

四 利用重要公式求极限或转化为函数的极限

此方法必须在牢记重要极限的形式和其值的基础上，对所求式子作适当变形，从而达到求其极限的目的，这种方法灵活，有相当的技巧性。

举例说明：

n

n1

n11

例：求 limsin.n

nnn

n1

n11

解limsin

n

nnn

=lim

n1

nn

n1

sin1

nsin1n1n

=lim1

n

1n

n1

=lim1=e11=e

n



111nn1

n

n

sin

例：求极限lim

sinx

xasina

xa

1xa

.解lim

sinx

xasina

xa



1xa

=lim1

sinxsina

sina

1sinacosa

xacosasina

xaxa2cossin=lim1xasina

xa2cosasin

=lim1xasina

sina

cosa(xa)



cosasina

sina

cosa(xa)xa2cosasin=lim1xasina

ctga

=e

ctga

sin



xaxa

~ 22

五 利用数列极限与函数的极限等值关系来求极限

此方法把数列极限化成函数形式的极限，而后回代，从而求出数列极限的一种方法。

举例说明：

abc

.例：若 a,b,c0,求limn3

解先考虑：

1

axbxcx

ln

3

n



xln

x

1

axbxcx

3 

1

axbxcx

而limxln

x3

 

1xxxlnabcln3=lim

x1

x

2axlna2bxlnb2cxlnc=lim

x

12x

1x

1x

1x

1x1x1x

=lim

alnablnbclnc

abc

1x

1x

1x

x

=lnabc

c

 limn3

n

1

axbxcx

=lim

n3

 

n

=lime

n

111axbxcxxln



=e

lnabc

3

=e

lnabc3

=abc

通过上面简单的对求数列极限的一般方法加以归纳，并举例说明，就可以在我们大脑中造成深刻的印象，更好地掌握函数和数列极限的求法。但数列极限的求法并不限于这几种方法，或许还有很多种，希望大家在学习过程中善于归纳总结求数列极限的方法，以便我们共勉。

参考文献：

[1]程其襄.数学分析第三版[M].高等教育出版社，1981（4）[2]谢惠民.数学分析习题课讲义[M].高等教育出版社，2003（7）

[3]周建莹 李正元.高等数学解题指南[M].北京大学出版社，2002.（10）[4]王汝发.高等数学解题方法[M].兰州大学出版社，1994.（3）