相似三角形原理在《财务管理》课程中的应用

第一篇：相似三角形原理在《财务管理》课程中的应用

龙源期刊网 http://.cn

相似三角形原理在《财务管理》课程中的应用

作者：徐焱军

来源：《财会通讯》2005年第05期

第二篇：《相似三角形应用举例》教案

《相似三角形应用举例》教案

一、教学目标

1． 进一步巩固相似三角形的知识．

2． 能够运用三角形相似的知识，解决不能直接测量物体的长度和高度（如测量金字塔高度问题、测量河宽问题、盲区问题）等的一些实际问题．

3． 通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，进一步了解数学建模的思想，培养分析问题、解决问题的能力．

二、重点、难点

1．重点：运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度和高度．

2．难点：灵活运用三角形相似的知识解决实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）．

三、例题的意图

相似三角形的应用主要有如下两个方面：（1）测高(不能直接使用皮尺或刻度尺量的)；（2）测距(不能直接测量的两点间的距离)．本节课通过教材P49的例3——P50的例5（教材P49例3——是测量金字塔高度问题；P50例4¬——是测量河宽问题；P50例5——是盲区问题）的讲解，使学生掌握测高和测距的方法．知道在实际测量物体的高度、宽度时，关键是要构造和实物所在三角形相似的三角形，而且要能测量已知三角形的各条线段的长，运用相似三角形的性质列出比例式求解．讲课时，可以让学生思考用不同的方法解这几个实际问题，以提高从实际生活中发现数学问题、运用所学知识解决实际问题的能力． 应让学生多见些不同类型的有关相似三角形的应用问题，便于学生理解：世上许多实际问题都可以用数学问题来解决，而本节的应用实质是：运用相似三角形相似比的相关知识解决问题，并让学生掌握运用这方面的知识解决在自己生活中的一些实际问题的计算方法． 其中P50的例5出现了几个概念，在讲此例题时可以给学生介绍．（1）视点：观察者眼睛的位置称为视点；（2）视线：由视点出发的线称为视线；（3）仰角：在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；（4）盲区：人眼看不到的地方称为盲区．

四、课堂引入

问：世界现存规模最大的金字塔位于哪个国家，叫什么金字塔？

胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为“世界古代七大奇观之一” ．塔的４个斜面正对东南西北四个方向，塔基呈正方形，每边长约230多米．据考证，为建成大金字塔，共动用了10万人花了20年时间．原高146.59米，但由于经过几千年的风吹雨打，顶端被风化吹蚀，所以高度有所降低．

在古希腊，有一位伟大的科学家叫泰勒斯．一天，希腊国王阿马西斯对他说：“听说你什么都知道，那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧！”，这在当时条件下是个大难题，因为是很难爬到塔顶的．你知道泰勒斯是怎样测量大金字塔的高度的吗？

五、例题讲解

例1（教材P49例3——测量金字塔高度问题）

分析：根据太阳光的光线是互相平行的特点，可知在同一时刻的阳光下，竖直的两个物体的影子互相平行，从而构造相似三角形，再利用相似三角形的判定和性质，根据已知条件，求出金字塔的高度． 解：略（见教材P49）

问：你还可以用什么方法来测量金字塔的高度？（如用身高等）

解法二：用镜面反射（如图，点A是个小镜子，根据光的反射定律：由入射角等于反射角构造相似三角形）．（解法略）

例2（教材P50例4¬——测量河宽问题）

分析：设河宽PQ长为x m，由于此种测量方法构造了三角形中的平行截线，故可得到相似三角形，因此有，即 ．再解x的方程可求出河宽． 解：略（见教材P50）

问：你还可以用什么方法来测量河的宽度？

解法二：如图构造相似三角形（解法略）．

例3（教材P50例5——盲区问题）分析：略（见教材P50）解：略（见教材P51）

六、课堂练习

1． 在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例．在某一时刻，有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米，某一高楼的影长为60米，那么高楼的高度是多少米? 2． 小明要测量一座古塔的高度，从距他2米的一小块积水处C看到塔顶的倒影，已知小明的眼部离地面的高度DE是1.5米，塔底中心B到积水处C的距离是40米.求塔高?

七、课后练习

1． 教材P51.练习1和练习2．

2． 如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网5米的位置上，求球拍击球的高度h．(设网球是直线运动)3． 小明想利用树影测量树高，他在某一时刻测得长为1m的竹竿影长0.9m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，如图，他先测得留在墙上的影高1.2m，又测得地面部分的影长2.7m，他求得的树高是多少？

第三篇：相似三角形的应用教学设计

相似三角形的应用

一、知识要点：

（一）相似三角形的应用主要有如下两个方面

1．测高（不能直接使用皮尺或刻度尺度量的）；

2．测距（不能直接测量的两点间的距离）。

（二）测高的方法

测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例”的原理解决。

（三）测距的方法

测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。

1．如图甲所示，通常可先测量图中的“线段”BD、DC、DE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长.2．如图乙所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长。

二、例题解析：

例1.如图，AB、CD相交于点O，且AC∥BD，则OA·OD＝OC·OB吗？为什么？

解：∵AC∥BD

∴∠B＝∠A，∠D＝∠C

∴△OBD∽△OAC

∴

∴OA·OD＝OB·OC 1

因此OA·OD＝OC·OB成立．

例2.如图，物AB与其所成像A′B′平行，孔心O到蜡烛头A的距离是36cm，到蜡烛头的像A′的距离是12cm，你知道像长是物长的几分之几吗？你是怎样知道的？

解：∵AB∥A′B′

∴∠ABO=∠A′B′O

又 ∵ ∠AOB=∠A′OB′

∴△AOB∽△A′OB′

∴

∵AO=36cm，A′O=12cm

∴ 则

答：像长与物长之比为

．

例3.如图：小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18 m，已知小明的身高是1.6 m，他的影长是2 m．

(1)图中△ABC与△ADE是否相似?为什么?

(2)求古塔的高度．

解：(1)△ABC∽△ADE．

∵BC⊥AE，DE⊥AE ∴∠ACB=∠AED=90°

∵∠A=∠A ∴△ABC∽△ADE(2)由(1)得△ABC∽△ADE ∴

∵AC=2m，AE=2+18=20m，BC=1.6m ∴

∴DE=16m 答：古塔的高度为16m 例4.如图，我们想要测量河两岸相对应两点A、B之间的距离(即河宽)，你有什么方法？3

方案1：如上左图，构造全等三角形，测量CD，得到AB=CD，得到河宽。

方案2：如上右图，先从B点出发与AB成90°角方向走50m到O处立一标杆，然后方向不变，继续向前走10m到C处，在C处转90°，沿CD方向再走17m到达D处，使得A、O、D在同一条直线上．那么A、B之间的距离是多少？

解：∵AB⊥BC，CD⊥BC

∴∠ABO=∠DCO=90°

又 ∵ ∠AOB=∠DOC

∴△AOB∽△DOC

∴

∵BO=50m，CO=10m，CD=17m

∴AB=85m

答：河宽为85m．

例5.已知：如图，阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下1.5m宽的亮区DE。亮区一边 4 到窗下的墙脚距离CE=1.2m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高BC？

分析：作EF⊥DC交AD于F。则，利用边的比例关系求出BC。

解：作EF⊥DC交AD于F。因为AD∥BE，所以，所以

又因为，所以。因为AB∥EF，AD∥BE，所以四边形ABEF是平行四边形，所以EF=AB=1.8m。所以

m。

例6.用一个正方形完全盖住边长分别为3厘米、4厘米、5厘米的一个三角形，这个正方形的边长最小是多少？

分析：设

则能完全盖住是直角三角形，其中，EG为斜边。显然，边长为4cm的正方形的正方形ABCD，如图所三边EF、FG、GE分别长3cm，4cm，5cm，但不是最小的，可以设想一个完全盖住

示，此时正方形的边长

解：设，则，而

即，于是，整理后可解得：

所以要完全盖住

三、课后练习： 的最小正方形边长

1．一位同学想利用树影测量树高，他在某一时刻测得长为1m的竹竿影长0.9m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，如图，他先测得留在墙上的影高1.2m，又测得地面部分的影长2.7m，他求得树高是多少？

2.测量河宽AB，先从A处出发，沿河岸走100步到C处，在C处立一根杆标，然后沿AC继续朝前走20步到D处，在D处，转过90°角沿DE方向再走32步，到达E处，并使河对岸的B处（目标物）和C、E同在一直线上，问测得河宽为多少米？（1步约等于0.75m）

3．一油桶高0.8m，桶内有油，一根木棒长1m，从桶盖小口斜插入桶内，一端到桶底，另一端到小口，抽出木棒，量得棒上浸油部分长0.8m，求桶内油面的高度。

练习答案：

1．提示：作CE//DA交AB于E，树高是4.2m。

2．点拨：利用相似三角形的判定和性质。

解：因为B、C、E在同一直线 所以

又因为

所以（步）

答：河宽约为120m。

3．0.64m。

第四篇：相似三角形的应用教学设计

《相似三角形的应用》教学设计

无锡市安镇中学 汪秋莲

【教材分析】

（一）教材的地位和作用

《相似三角形的应用》选自华东师范大学出版社义务教育课程标准实验教科书中数学九年级上册第二十四章。相似与轴对称、平移、旋转一样，也是图形之间的一种变换，生活中存在大量相似的图形，让学生充分感受到数学与现实世界的联系。相似三角形的知识是在全等三角形知识的基础上的拓展和延伸，相似三角形承接全等三角形，从特殊的相等到一般的成比例予以深化。在这之前学生已经学习了相似三角形的定义、判定、性质，这为本节课问题的探究提供了理论的依据。本节内容是相似三角形的有关知识在生产实践中的广泛应用，通过本节课的学习，一方面培养学生解决实际问题的能力，另一方面增强学生对数学知识的不断追求。

（二）教学目标

1、。知识与能力：

①了解测量旗杆高度的方法。

②会用相似三角形的知识解决生活实际问题。2．过程与方法：

经历从实际问题到建立数学模型的过程，发展学生的抽象概括能力。3．情感、态度与价值观：

①通过利用相似形知识解决生活实际问题，使学生体验数学来源于生活，服务于生活。②通过对问题的探究，培养学生认真踏实的学习态度和科学严谨的学习方法，通过获得成功的经验和克服困难的经历，增进数学学习的信心。

（三）教学重点、难点和关键

重点：利用相似三角形的知识解决实际问题。

难点：运用相似三角形的判定定理构造相似三角形解决实际问题。关键：将实际问题转化为数学模型，利用所学的知识来进行解答。【教法与学法】

（一）教法分析

为了突出教学重点，突破教学难点，按照学生的认知规律和心理特征，在教学过程中，我采用了以下的教学方法：

1．采用情境教学法。整节课围绕测量旗杆高度这个问题展开，按照从易到难层层推进。在数学教学中，注重创设相关知识的现实问题情景，让学生充分感知“数学来源于生活又服务于生活”。

2．贯彻启发式教学原则。教学的各个环节均从提出问题开始，在师生共同分析、讨论和探究中展开学生的思路，把启发式思想贯穿与教学活动的全过程。

3．采用师生合作教学模式。本节课采用师生合作教学模式，以师生之间、生生之间的全员互动关系为课堂教学的核心，使学生共同达到教学目标。教师要当好“导演”，让学生当好“演员”，从充分尊重学生的潜能和主体地位出发，课堂教学以教师的“导”为前提，以学生的“演”为主体，把较多的课堂时间留给学生，使他们有机会进行独立思考，相互磋商，并发表意见。

（二）学法分析

按照学生的认识规律，遵循教师为主导，学生为主体的指导思想，在本节课的学习过程中，采用自主探究、合作交流的学习方式，让学生思考问题、获取知识、掌握方法，运用所学知识解决实际问题，启发学生从书本知识到社会实践，学以致用，力求促使每个学生都在原有的基础上得到有效的发展。

【教学过程】

一、知识梳理

1．相似三角形的识别方法：

◆

的两个三角形相似； ◆

的两个三角形相似； ◆

的两个三角形相似。2．相似三角形的性质：

相似三角形的。

（通过对知识的梳理，帮助学生形成自己的知识结构体系，为解决问题储备理论依据。）

二、情境导入

古希腊，有一位伟大的科学家塔列斯。一天，希腊国王阿马西斯对他说：“听说你什么都知道，那就请你测量一下埃及大金字塔的高度吧！”这在当时的条件下是个大难题，因为很难爬到塔顶的。亲爱的同学，你知道塔列斯是怎样测量大金字塔的高度的吗？

（数学教学从学生的生活体验和客观存在的事实或现实课题出发，为学生提供较感兴趣的问题情景，帮助学生顺利地进入学习情景。同时，问题是知识、能力的生长点，通过富有实际意义的问题能够激活学生原有认知，促使学生主动地进行探索和思考。）

三、问题探究

1．如图，某同学想测量旗杆的高度,他在某时刻测得1m长的标杆竖直放置时影子长为1.5m，同一时刻测得旗杆的影子长为12m，你能帮他求出旗杆的高度吗?（温馨提示：太阳光线是平行线）

（通过对这一问题的顺利解决，一方面促使学生经历从实际问题到建立数学模型的过程，明确通过运用相似三角形的判定定理构造相似三角形和运用相似三角形的性质列出比例式求解来解决这类问题；另一方面，让学生品尝解题成功带来的喜悦，从而提高学习数学的兴趣。）

2．如图，另一同学在某时刻测得1m长的标杆竖直放置时影子长为1.６m，同一时刻测量旗杆的影子长时,因旗杆靠近一栋楼房，影子不全落在地面，有一部分落在墙上，他测得落在地面上的影子长为 11.2m，留在墙上的影子高为1m。你能帮他求出旗杆的高度吗?

在学生求出旗杆的高度以后，教师设计两个问题：①能不能把旗杆缩短一点，使它的影子恰好落在地上？②如果把那堵墙拆除，光线照射过来影子落在什么地方？

（通过这一问题的解决，一方面加深学生对“构造相似三角形”的理解和应用，另一方面发散学生思维，促使他们获取更多解决问题的方法。同时，及时总结，比较三种方法，将它们归结为梯形中添加辅助线的两大类型：平移对角线和延长两腰，从而提高学生的认知水平，促使他们获取更多解决问题的策略。）

四、思维拓展 如果没有影子，怎样测量旗杆的高度呢？

1．如图，第三位同学与标杆顶端F、旗杆顶端在同一直线上，已知此人眼睛距地面1.5米，标杆为3米，且BC=3米，CD=10米。求旗杆的高度。

EFADCB（在前面一个题目中，通过教师的引导和点拨，大大激活了学生的思维，打开了学生思绪的闸门，通过这一问题的出示，为学生提供了大展身手的机会。在这里，学生通过动手实践，真正领悟“构造相似三角形”的精髓，亲身体验数学建模的过程，在积极参与的过程中享受探索的乐趣。同时，借助实物投影出示部分学生的解题方法，这样，为学生提供了一个展示成果的平台，从而将课堂气氛推向高潮。）

2．如图，第四位同学把一小镜子放在离旗杆（AB）14米的点E处，然后沿着直线BE后退到点B'，这时恰好在镜子里看到旗杆顶端A点。再用皮尺量得B' E=2.8米，观察者目高A' B' =1.6米。这时的旗杆高度是多少？你能解决这个问题吗？（温馨提示：根据光的反射定律：反射角等于入射角。即∠1= ∠2）

AA'12BEB'（进一步深化相似三角形的基本知识，形成“构造相似三角形”的基本技能，并尝试独立地写出完整的解题过程，培养学生严谨的学习态度和良好的学习习惯。）

五、回顾小结

1．现在你知道塔列斯是怎样测量大金字塔的高度了吗？

（前呼后应，让学生解决开头提出的实际问题。通过学生的表述，概括出常见的测量旗杆的方法，并且促使学生体验数学来源于生活又服务于生活。）

（结合图形，教师出示塔列斯测量的方法）

O’OA’B’AB

天气晴朗时，塔列斯来到大金字塔旁，在沙地上立起一根棍子，在太阳光的照射下，棍子把影子留在了沙地上，当棍子和他的影子一般长时，塔列斯就把大金字塔的高度测量出来了。

2．这节课你有哪些收获？

（落实教师的引导作用以及学生的主体地位，既训练学生的概括归纳能力，又有助于学生在归纳的过程中把所学的知识条理化、系统化。）

六、跟踪练习

1．（2005·陕西）如图，身高1.6m的小华站在距路灯杆5m的C处，测得她在灯光下的影长CD为2.5m，则路灯的高度AB为

m.2．（2005·大连）张华同学的身高为1.6m,某一时刻他在阳光下的影长为2m，与他临近的一棵树的影长为6m，则这棵树的高为（）

A．3.2m

B．4.8m

C．5.2m

D．5.6m 3．某数学课外实习小组想利用树影测量树高，如图，他们在同一时刻测得一身高为1.5米的同学的影子长为1.35，因大树靠近一栋建筑物，大树的影子不全在地面上，他们测得地面部分的影子长BC=3.6米，墙上影子高CD=1.8米，求树高AB。

4．如图，某测量工作人员与标杆顶端F、电视塔顶端在同一直线上，已知此人眼睛距地面1.6米，标杆为3.2米，且BC=1米，CD=5米，求电视塔的高ED。

5．小强用这样的方法来测量学校教学楼的高度：如图，在地面上放一面镜子（镜子高度忽略不计），他刚好能从镜子中看到教学楼的顶端B，他请同学协助量了镜子与教学楼的距离EA=21米，以及他与镜子的距离CE=2.5米，已知他的眼睛距离地面的高度DC=1.6米，请你帮助小强计算出教学楼的高度。（根据光的反射定律：反射角等于入射角）

七、综合延伸

（2006·深圳）如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD•的长为1米，继续往前走2米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，求路灯A的高度。

（分梯度的练习，既落实双基又满足不同层次学生的需求，照顾了学生的个体差异，关注了学生的个性发展。同时，练习的内容紧扣教学要求，目的明确，有针对性；练习的设计有层次，有坡度，难易适中。这样。学生在解题的过程中既巩固和深化了所学知识，形成技能，并且享受了解题成功带来的喜悦。）

【教学设计说明】

相似应用最广泛的是测量学中的应用，在实际测量物体的高度、宽度时，关键是要构造和实物所在三角形相似的三角形，而且要能测量已知三角形的各条线段的长，运用相似三角形的性质列出比例式求解。鉴于这一点，我设计整节课围绕测量旗杆高度这个问题展开，通过一个个问题的解决，一方面，促使学生了解测量旗杆高度的方法，从而学会设计利用相似三角形解决问题的方案；另一方面，会构造与实物相似的三角形，通过对实际问题的分析和解决，让学生充分感受到数学与现实世界的联系，教学中既发挥教师的主导作用，又注重凸现学生的主体地位，“以学生活动为中心”构建课堂教学的基本框架，以“探究交流为形式”作为课堂教学的基本模式，以全面发展学生的能力作为根本的教学目标，最大限度地调动学生学习的积极性和主动性。

（责编：姚敬东）

第五篇：10.7相似三角形的应用 教案

相似三角形的应用(第3课时)备课时间：___________ 上课时间___________ 主备：刘拥军 审核：

课型：新授 一．教学目标

2教学重点、平行光线所形成的投影称为平行投影。

物体的视图实际上是该物体在平行光线下且光线与投影面垂直时形成的投影。

太阳光线可以看成平行光线，在阳光下，不同时刻，同一物体的影子长度不同；在同一时刻，不同物体的影子长与它们的高度成比例，即两物体影子之比等于其对应的高的比。3.教学难点：

（1）探照灯、手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一点出发的，像这样的光线所形成的投影称为______投影.眼睛所在的位置称为_________.由视点出发的线称为___________.看不到的地方称为_____________。（2）。物体在光线的照射下，会在地面或墙壁上留下它的影子，这就是投影（projiction）现象。我们主要学习了两种投影：_____投影、____投影。

二．例题讲解

例1：一条河的两岸有一段是平行的，在该河岸的这一段每隔5米有一棵树，河对岸每隔50米有一根电线杆。在这岸离开岸边25米处看对岸，看到对岸相邻d两根电线杆恰好被这岸的两棵树遮住，且这两棵树之间还有3棵树，求河的宽度。

三．小结与思考

1、当进行平行投影时，在同一时刻，甲、乙两物体的高度之比等于_______________。

太阳光线可以看成平行光线，不同时刻物体在太阳光下形成的影子的大小和方向是______________.2、当进行中心投影时，灯光的光线可以看成是从一点发出的，在同—灯光下物体的影子与物体上对应点的连线肯定过光源所在位置。

3、视图与平行投影的联系：视图实际上就是该物体在某一平行光线下的________．

主视图（或正视图）就是一束平行光从正面照射物体产生的投影，左视图就是一束平行光从左面照射物体产生的投影，俯视图就是一束平行光从上面照射物体产生的投影．

四．训练巩固

1、由视点发出的线称为 _________，看不到的地方称为__________。

2、平行投影是由_______光线形成的；皮影戏中的皮影是由 投影得到的.3、张旭在操场上练习双杠时，在练习的过程中他发现在地上双杠的两横杠的影子（）A、相交 B、平行 C、垂直 D、无法确定

4、刘经纶同学分别于上午8时、9时30分、10时、12时四次到室外的阳光下观察向日葵随太阳转动的情况，他发现这四个时刻向日葵影子的长度各不相同，那么影子最长的时刻为（）A、上午8时 B、上午9时30分 C、上午10时 D、上午12时

5、在太阳光下，转动一个正方体，观察正方体在地上投下的影子，那么这个影子最多可能是几边形（）A、四边形 B、五边形 C、六边形 D、七边形

6、有两根木棒AB、CD在同一平面上直立着，其中AB这根木棒在太阳光下的影子BE如图所示，请你在图中画出这时木棒CD的影子.7、陈可建和江悄悄到扬州大剧院观看张学友领衔主演的音乐剧《雪狼湖》．(1)坐在二层的陈可建能看到江悄悄吗?为什么?(2)江悄悄坐在什么位置时，陈可建才能看到她?

8、冬至时是一年中太阳相对于地球位置最低的时刻，只要此时能采到阳光，一年四季就均能受到阳光照射。此时竖一根a米长的竹杆，其影长为b米，某单位计划想建m米高的南北两幢宿舍楼（如图所示）。试问两幢楼相距多少米时，后楼的采光一年四季不受影响（用m,a,b表示）

9、我侦察员在距敌方200米的地方发现敌人的一座建筑物，但不知其高度又不能靠近建筑物测量，机灵的侦察员食指竖直举在右眼前，闭上左眼，并将食指前后移动，使食指恰好将该建筑物遮住。若此时眼睛到食指的距离约为40cm，食指的长约为8cm,你能根据上述条件计算出敌方建筑物的高度吗？

10、加入你想利用树影测校园内的树高，你在某一时刻测得树高为1.5米时，其影长为1.2米。当他测量教学楼旁的一棵大树的影长时，因大树靠近教学楼，有一部分影长在墙上。经测量，地面部分影长为6.4米，墙上影长为1.4米，那么树高是多少米？