读《怎样解题》有感

第一篇：读《怎样解题》有感

读《怎样解题》有感

在老师的强力推荐下，我拜读了著名数学家和数学教育家波利亚的著作《怎样解题》。通过读了这一本书，给了我很深的感触，也给了我很大的启示。波利亚认为数学教育的根本宗旨是教会年轻人思考；他把“解题”作为培养学生数学才能和教会他们思考的一种手段和途径。本书是他专门研究解题的思维过程的结晶。全书都是围绕一张“怎样解题”表中的问题和建议而组织的。作者在书中引导学生按照表中的问题和建议思考问题，探索解题途径，进而逐步掌握解题过程的一般规律。

在《怎样解题》一书中指出，解题分为四步走：

第一，理解题目，即审题。我们都知道审题是解题过程中最基础的环节，能否审好题是解答题目的关键。在该部分，作者就明确的告诉我们应该如何审题，即：“为知量是什么？已知数据是什么？条件是什么？条件是否能满足？条件是否足以确定未知量？或者它不够充分？或者多余？或者矛盾？”。在日常的教学中，老师常常对学生强调一定要仔细阅读题目，仔细审题，清楚的理解题目的意思。但事实告诉我们，学生在解题过程中的最普遍的不足之处——对题目的理解不完整，无法完全挖掘出题目中所蕴含的信息这一状况并没有因此而的得到改善。通过学习该部分，即可在很大程度上帮助学生形成良好的审题方法，进而养成良好的审题习惯。这个部分对于那些学习好的，有良好的阶梯习惯的学生来说可能其重要性不太突出，但对于更多的学生来说，学会审题将对他们正确解题起到极大的促进作用。

第二，找到已知量和未知量之间的联系。“你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同？你是否知道与此有关的问题？你是否知道一个可能用得上的定理？看着未知数！试想出一个具有相同未知数获相似未知数的熟悉的问题。这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题。你能不能利用它？你能利用它的结果吗？你能利用它的方法吗？为了能利用它，你是否应该引入某些辅助元素？你能不能重新叙述这个问题？你能不能用不同的方法重新叙述它？回到定义去”。从理解题目到构思解题方案是一个漫长而曲折的过程。因为对于一些题目，学生即使做到了理解，但仍会感到无从下手。波利亚启发我们说“好的思路大多来源于过去的经验和以前获得的知识。”因此教师不妨引导学生思考“你知道一道与它有关的题目吗？”，并不一定就是一个曾经求解过的与当前题目紧密相关的题目，而更可能是通过变化、转换或修改叙述方式，找到与某个题目的联系点，从而“重新叙述这道题目”拟定一个有可能解决问题的方案。

第三，执行方案，实现你的求解计划，检验每一步骤。你能否清楚地看出这一步骤是正确的？你能否证明这一步骤是正确的？正如波利亚所指出的，假如这个方案是学生主动获得的，则不容易遗忘，反之，学生则很容易找不到来时的路了。因此，教师必须坚持让学生检查每一个步骤，以使解题者自己清楚的明白每一步的含义及正确性。

第四，检查已经得到的解答。这样的结果对吗？我再将答案放入

问题中进行第二次思考，你还有别的更简单的方法得出这个结果或结论吗？或者在以后的解题中，你是不是对此类的题目更加的熟悉了呢？在别的题目中，你能否利用这个结果或这种方法吗？波利亚 认为：“没有任何一个题目是彻底完成了的。”因此，我们可以将任何解题方法加以改进，深化我们对答案的理解。

这样的解题思维让我受益颇大。如何引导学生解决问题，帮助学生提高解题的能力，教师的价值在此可得到充分的体现。作为一个即将毕业，将来有可能成为一名中学教师的在校大学生来说，学习这样的解题思维，对以后找工作和教学，无疑是十分有益的。

波利亚认为：“学好数学不只在于练习、操作、演算，最重要的是从心底萌发出对数学的浓厚兴趣与自我归纳理解后的解题思路”。那么，教师应该如何提高学生的解题能力，培养学生的兴趣呢？教师应该尽可能地经常而自然地向学生提出这些问题和建议。此外，当教师在全班面前解题时，他应当使其思路更吸引人一些，并且应当向自己提出那些在帮助学生时所使用的相同问题。由于这样的指导，学生将终于找到使用表中这些问题与建议的正确方法，并且这样做以后，他将学到比任何具体数学知识更为重要的东西。

欧美的数学家曾经呼吁：“学数学的人，要读读波利亚；不学数学的人，也要读读波利亚”。通过读了这本《怎样解题》，我非常赞同这个观点。我觉得在这一本书中，我们能找到一些解决问题的普遍原则，这个问题不仅仅是指数学问题，还包括我们日常生活中的问题。生活本来就是我们每天所要面临的一道题目，所以生活过程就是解题的过程。对于一个问题的求解，我想，作为一名大学生，我们已经有了很深的了解。但是关于问题的求解步骤我们却是很少认真关心，求解方法的来源更加是没有时间去想，我们通常的做法只是去接受知识。因此，现在每当我们试讲的时候总是在解题过程中出现思路混乱的情况。所以学习《怎样解题》可以说是在帮助我们形成良好解题习惯，为以后走上讲台做准备。

通过阅读《怎样解题》一书，不仅帮助我形成良好的思维习惯；也为我将来走上工作岗位打下了基础；我也会将之运用到将来的学习、工作中去；我还会将之推广给我的学生，最终帮助他们提高解题能力，形成良好的思维习惯。

第二篇：读《怎样解题——数学思维的新方法》有感

读《怎样解题——数学思维的新方法》有感

池月秋

作者简介

G·波利亚（GeorgePolya,1887—1985），著名美国数学家和数学教育家。生于匈牙利布达佩斯。1912年获布达佩斯大学博士学位。1914年至1940年在瑞士苏黎世工业大学任数学助理教授、副教授和教授，1928年后任数学系主任。1940年移居美国，历任布朗大学和斯坦福大学的教授。1976年当选美国国家科学院院士。还是匈牙利科学院、法兰西科学院、比利时布鲁塞尔国际哲学科学院和美国艺术和科学学院的院士。其数学研究涉及复变函数、概率论、数论、数学分析、组合数学等众多领域。1937年提出的波利亚计数定理是组合数学的重要工具。长期从事数学教学，对数学思维的一般规律有深入的研究，这方面的名著有《怎样解题》、《数学的发现》、《数学与猜想》等，它们被译成多种文字，广为流传。

内容简介

本书出自一位著名数学家G·波利亚的手笔，虽然它讨论的是数学中发现和发明的方法和规律，但是对在其他任何领域中怎样进行正确思维都有明显的指导作用。本书围绕“探索法”这一主题，采用明晰动人的散文笔法，阐述了求得一个证明或解出一个未知数的数学方法怎样可以有助于解决任何“推理”性问题——从建造一座桥到猜出一个字谜。一代又一代的读者尝到了本书的甜头，他们在本书的指导下，学会了怎样摒弃不相干的东西，直捣问题的心脏。

精彩分享

怎样解题表

第一步：弄清问题。

1.未知数是什么？已知数据是什么？条件是什么？满足条件是否可能？要确定未知数，条件是否充分？或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？

2.画张图，并引入适当的符号。

3.把条件的各部分分开，并把它们写下来。

第二步：拟订计划

1.考虑以前是否见过它？ 是否见过相同的问题而形式稍有不同？ 你是否知道一个可能用得上的定理？

2.考虑具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题。

3.能否利用它的结果或方法？为了利用它，是否引入某些辅助元素？

4.能否用不同的方法重新叙述它？

5.回到定义去。

6.如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关的问题。

7.是否利用了所有的已知数据？是否利用了所有条件？是否考虑了包含在问题中的所有必要的概念？

第三步：实现计划

1.实现你的求解计划，检验每一步骤。

2.你能否清楚地看出这一步骤是正确的？你能否证明这一步骤是正确的？()你能否说出你所写的每一步的理由？.第四步：回顾

1.能否检验这个论证？

2.你能否用别的方法导出结果？

3.能不能一下子看出它来？

4.能不能把这结果或方法用于其他问题？

读后反思

在数学教育过程中，解题训练是一项重要的教学内容。在进行数学教学时，有一半的时间是对学生进行解题训练的。在现阶段的教育活动中，对学生的评价标准也是依靠解题的准确率来进行衡量的，因此解题尤为重要。“怎样解题表”是《怎样解题》这本书的精华，这张表是波利亚在分解解题的思维过程得到，表中所述看似很平常的解题步骤或方法，其实已包含几代人的智慧结晶和经验总结。“怎样解题”表将解题过程分成了四个步骤：弄清问题、拟定计划、实现计划和回顾反思，在这其中，对第二步即“拟定计划”的分析是最为引人入胜的。结合一些教学实际题目，波利亚进行分析，寻找思路，分解难点，使解题不再是一个难题。

作为一名数学老师，我们更应该熟读《怎样解题》，了解更多的解题方法，获得更完整的数学思维，使自己变成一个聪明的解题者，同时使学生也成为聪明的解题者，努力培养学生的数学兴趣，提高学生的思维能力。

第三篇：怎样解题

《怎样解题》是由著名美国数学家和数学教育家波利亚所写得一部经久不衰的畅销书，虽然它讨论的是数学中发现和发明的方法和规律，但是对在其他任何领域中怎样进行正确思维都有明显的指导作用。本书围绕“探索法”这一主题，采用明晰动人的散文笔法，阐述了求得一个证明或解出一个未知数的数学方法怎样可以有助于解决任何“推理”性问题——从建造一座桥到猜出一个字谜。一代又一代的读者尝到了本书的甜头，他们在本书的指导下，学会了怎样摒弃不相干的东西，直捣问题的心脏。

目录

内容简介

作者简介

目录

怎样解题表

编辑本段内容简介这本经久不衰的畅销书出自一位著名数学家的手笔，虽然它讨论的是数学中发现和发明的方法和规律，但是对在其他任何领域中怎样进行正确思维都有明显的指导作用。本书围绕“探索法”这一主题，采用明晰动人的散文笔法，阐述了求得一个证明或解出一个未知数的数学方法怎样可以有助于解决任何“推理”性问题——从建造一座桥到猜出一个字谜。一代又一代的读者尝到了本书的甜头，他们在本书的指导下，学会了怎样摒弃不相干的东西，直捣问题的心脏。

编辑本段作者简介波利亚(男)（George Polya，1887—1985），著名美国数学家和数学教育家。生于匈牙利布达佩斯。1912年获布达佩斯大学博士学位。1914年至1940年在瑞士苏黎世工业大学任数学助理教授、副教授和教授，1928年后任数学系主任。1940年移居美国，历任布朗大学和斯坦福大学的教授。1976年当选美国国家科学院院士。还是匈牙利科学院、法兰西科学院、比利时布鲁塞尔国际哲学科学院和美国艺术和科学学院的院士。其数学研究涉及复变函数、概率论、数论、数学分析、组合数学等众多领域。1937年提出的波利亚计数定理是组合数学的重要工具。长期从事数学教学，对数学思维的一般规律有深入的研究，在这方面的名著有《怎样解题》、《数学的发现》、《数学与猜想》等，它们被译成多种文字，广为流传。

编辑本段目录第一部分 在教室里

目的1.帮助学生

2.问题，建议，思维活动

3.普遍性

4.常识

5.教师和学生，模仿和实践

主要部分，主要问题

6.四个阶段

7.理解题目

8.例子

9.拟订方案

10.例子

11.执行方案

12.例子

编辑本段怎样解题表“怎样解题表”就是《怎样解题》一书的精华，该表被波利亚排在该书的正文之前，并且在书中再三提到该表。实际上，该书就是“怎样解题表”的详细解释。波利亚的“怎样解题表”将解题过程分成了四个步骤，只要解题时按这四个步骤去做，必能成功。同学们如果能在平时的做题中不断实践和体会该表，必能很快就会发出和波利亚一样的感叹：“学数学是一种乐趣！”

第一，你必须弄清问题

弄清问题

未知数是什么？

已知数据（指已知数、已知图形和已知事项等的统称）是什么？

条件是什么？

满足条件是否可能？

要确定未知数，条件是否充分？

或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？

画张图。

引入适当的符号。

把条件的各个部分分开。你能否把它们写下来？

第二，找出已知数与求知数之间的联系。

如果找不出直接的联系，你可能不得不考虑辅助问题。

你应该最终得出一个求解的计划。

拟定计划

你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同？

你是否知道与此有关的问题？你是否知道一个可能用得上的定理？

看着未知数！试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题。

这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题，你能应用它吗?

你能不能利用它？你能利用它的结果吗？为了能利用它，你是否应该引入某些辅助元素？你能不能重新叙述这个问题？你能不能用不同的方法重新叙述它？

回到定义去。

如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关的问题。你能不能想出一个更容易着手的有关问题？一个更普遍的问题？一个更特殊的问题？一个类比的问题？你能否解决这个问题的一部分？仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分，这样对于未知能确定到什么程度？它会怎样变化？你能不能从已知数据导出某些有用的东西？你能不能想出适合于确定未知数的其它数据？如果需要的话，你能不能改变未知数和数据，或者二者都改变，以使新未知数和新数据彼此更接近？

你是否利用了所有的已知数据？你是否利用了整个条件？你是否考虑了包含在问题中的所有必要的概念？

第三，实行你的计划。

实现计划

实现你的求解计划，检验每一步骤。

你能否清楚地看出这一步是正确的？你能否证明这一步是正确的？

第四，验算所得到的解。

回顾反思

你能否检验这个论证？你能否用别的方法导出这个结果？你能否一下子看出它来？你能不能把这结果或方法用于其它的问题？

《怎样解题》表是波利亚在分解解题的思维过程得到的，看似很平常的解题步骤或方法，其实却已包含几代人的智慧结晶和经验总结。在这张包括“弄清问题”、“拟定计划”、“实现计

划”和“回顾反思”四大步骤的解题全过程的解题表中，对第二步即“拟定计划”的分析是最为引人入胜的。他把寻找并发现解法的思维过程分解为五条建议和二十三个具有启发性的问题，它们就好比是寻找和发现解法的思维过程进行分解，使我们对解题的思维过程看得见，摸得着，易于操作。波利亚推崇探索法，他认为现代探索法力求了解解题过程，特别是解题过程中典型有用的智力活动。他说《怎样解题》这本书就是实现这种计划的初步尝试，“怎样解题表”实质上就是试图诱发灵感的“智力活动表”。波利亚的《怎样解题》表的精髓是启发你去联想。联想什么？怎样联想？让我们看一看他在表中所提出的建议和启发性问题吧。“你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同？你是否知道与此有关的问题？你是否知道一个可能用得上的定理？„„”波利亚说他在写这些东西时，脑子里重现了他过去在研究数学时解决问题的过程，实际上是他解决和研究问题时的思维过程的总结。这正是数学家在研究数学，特别是研究解题方法时的优势所在，绝非“纸上谈兵”。回过头来想一想，我们会发现自己在解决问题时的确或多或少地经历了这样一个过程。

我们在解题时，为了找到解法，实际上也思考过表中的某些问题，只不过不自觉，没有意识到这些问题罢了。在解决实际问题时，我们可能又忽略许多解决问题的方法和细节。因此我们需要控制自己的思路，用顽强的意志不断地模仿解决问题的步骤和方法，争取达到灵活运用和创造性地解决问题的程度。按波利亚提出的这些问题和建议去寻找解法，在解题的过程中，必将使自己的思维受到良好的训练，久而久之，不仅提高了解题能力，而且养成了有益的思维习惯。

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生活中，碰到一个的问题的时候，我们如何解决？首先我们明确要解决的问题，然后搜集相关情报或者已有的资源，考虑问题关键因素之间的内在规律，接着尝试一些可行的方案，最后选择其中最优的办法实践，最后问题得以解决。对于数学解题来说：首先我们明确未知量，然后明确已知量，确定条件，接着尝试一些可行的方案，最终得到可以获得未知量的方案，解出题目。

然而这里有一个模糊的地方，解决问题最关键的一步——想出可行的方案，是如何办到的？当我们对未知、已知、条件都已经了如指掌之后还是想不出任何的方案，这个时候解题面临本质的智力困难的时候，是如何从无到有思考出可能的方案供我们尝试的？

这个问题更有画面感的描述是：数学课，老师出了一道几何题，先让大家试解，无人能解。然后老师开始讲题，前面的步骤1、2、3大家都会也都想到了，这时老师添加了一条辅助线，引出步骤4，问题得解，大家豁然开朗。然而，解题的关键步骤3到4是如何思考到的呢，老师为何就想到做这一条辅助线呢？

《怎样解题》就是在回答以上问题。

书中有一个例子可以形象的问答这个问题：

一个原始人站在一条小溪前，他想要越过这条小溪，但溪水经过昨天一夜，已经涨了上来；因此他面临一个问题：如何越过这条小溪。渡溪成了这道题目的研究对象，是原始题目中的X。这个人可能会回忆起，他以前曾经踏着一颗倒下的树度过了另外一条溪流。于是他四处寻找一颗合适的树，就构成了他新的未知量Y。他找不到合适的树，但是沿着溪流有大量的树木在岸上，他希望其中有一个树会倒下来。于是他开始想如何使一棵树横倒在溪流上？这样又产生了一个新的未知量Z。这一连串的念头就是分析。如果这个人成功的完成了分析，他可能就成了桥和斧子的发明者。

而这个分析问题的过程，正包含了普遍的解决问题中本质智力困难的方法。首先思考我们是否面临过同样或者类似的问题，即使没有，我们可以尝试想更简单的相关问题，可以是更普遍化的问题、更特殊化的问题，甚至只是问题中的一小部分问题。或者干脆来变化我们遇到的问题的已知情况，观察未知情况如何跟随变化；或者变化未知量；或者同时变化已知未知量，来观察问题如何变化。正是这样一个分解和重构问题的过程，使得我们逐渐逾越了问题的核心部分，得出了疑似可行的方案。然后我们验证疑似可行的方案，如果其中确有可行的，问题得解。如果没有，我们将重复以上的过程。

以上是我理解的《怎样解题》的主旨。

当然原著对分解和重构问题的过程做了更为细致、严谨的分析和探讨，并配以精妙的数学题示例来演示各种细节。作为一本数学方法著作，更难能可贵的是，波利亚颇为人性化的阐释了解题过程中的非智力因素——情感的作用。在书中的第三部分—探索法小词典中，“决心、希望、成功”“潜意识活动”“进展”三个词条都严谨、科学的阐述了情感是如何作用于我们解题过程的。

“决心会随着希望与无望、满意与沮丧而产生波动。如果我们认为答案即将来临，就很容易继续干下去，当我们看不到有什么克服困难的出路时，要坚持不懈就会很难。”“有超常天赋的人主要的优势也许在于一种常超的心理感受力。由于具有极度敏感的感受力，他能感觉到进展的细微标志，或者注意到这些标志的缺乏。”这些非智力因素对于我们解决生活和工作中的问题尤其重要，我们需要敏感的觉察来自情感脑的反馈，并加以利用，来帮助解决问题。举例来说，生活中碰到一个很复杂问题，在长期解决问题的过程中，有一段时间可能解决问题时没有明显的反馈给我们标志，最后我们沮丧的放弃了解决问题。然而很有可能的是，这个过程真是解决问题的关键期，实际上也是有标志出现的，只是当时的我们还不理解这些标志。由此可见非智力因素之于解决问题的重要性，我们需要能理解并加以利用。

第三部分的最后，波利亚还举出一个心理学试验：用一个缺了一条边的正方形围栏围住一只动物（狗、黑猩猩、母鸡、人类婴儿），在围栏的另一侧放上一个被试很想要的物体（对动物来说是食物，对人类婴儿来说是有趣的玩具），然后观察他们各自的行为。发现，狗在扒着围栏吠了几声发现无法通过的时候，不久便学会了从围栏的缺口的那一边绕出去，人类婴儿很快就学会了绕过障碍，而黑猩猩也学得很快（黑猩猩是和人类最近的灵长类亲属）。

“母鸡的行为就像那些面临问题的时候浑浑噩噩的人，试了一次又一次，最后靠一些运气碰巧成功，而不去深究成功的原因。但我们甚至也不应责怪母鸡的笨拙。要转过身从目标跑开，不一直盯着目标前进，不沿着直接的道路到达目标，确实有一定困难。母鸡的困难和我们的困难具有明显的类似性。”最后一句话貌似有些哲理，是全书严谨行文之中唯一有些文艺的一句。`

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第四篇：读《怎样写作》有感

读《怎样写作》有感

陈冠秀

最近我拜读了叶圣陶老先生的《怎样写作文》深有感触，对怎样写作文有了一些理解。每次提到写作文，我的脑海里总会浮现这样的情景，孩子眉头紧锁，手里捧着本作文书左翻翻，右翻翻，但是迟迟不动笔。写作文似乎对他们来说是一件很难的事情。但如何才能让他们变成信手拈来的事情呢？在这里我想谈谈我看完这本书的一些小方法。孩子写作文难，难在没有做准备。可能大家又会问：准备些什么呢？那我就来说一说。

一、写题目写作文首先要有题目，题目是作文的眼睛，从眼睛里我们才能看到文章的感情。除了命题作文和半命题作文，剩下的我们都要自己拟题目。说的直白些题目其实就是文章的中心，题目要根据文章的中心思想来拟。所以在拟题目时，就要仔细斟酌你文章大概的内容，否则就会出现文不对题的情况了。我们在阅读一篇文章的时候，首先映入我们眼帘的也是题目，如果题目比较新奇，不但会给读文章的人一种神秘感，也会吸引读者的阅读兴趣，更加会为文章添彩。

二、列提纲确定好了题目，我们就要列提纲了。提纲就像图纸一样重要。有了图纸，我们才能制作零件，图纸画的精密，零件才能制作的越好。所以，我们的提纲列的越细，文章才能写的越精彩。那提纲需要写些什么呢？

（1）我们要写每段的大概内容，也可以看成是每段的中心句。如果是叙事的文章，那就要简单的概括一下要写一件什么事。其次，我们要在段落的中间加上过度句或过渡段，用来承上启下。

（2）我们就要根据每段的内容，来选择合适的修辞手法。我们常见的修辞有：生动形象的比喻、具体可感的拟人、气势恢宏的排比、音韵和谐的对偶。我们都可以依据文章内容来选择应用。

（3）就要布局谋篇了，我们考虑文章哪段埋伏笔，哪段做铺垫，首段是否渲染气氛，尾段是否首尾呼应，升华中心。有了如此周密的图纸，那你的文章一定就会井井有条。

可别小看来列提纲，假若你没有列提纲就开始写文章，那你的文章就会杂乱无章。举个例子：我写了一篇文章名字叫做我的好朋友，我的第一段，我有一好朋友，她有一头乌黑的头发，炯炯有神的眼睛……第二段，我写了朋友做人诚实的一件事。但是写完第二段，我又想起我朋友的外貌最大的特点是她的耳朵，“两只突出肥大的耳朵守卫在脑袋的两旁。像两扇屏风似的”.可是外貌我已经在第一段写完了，但是这个句子又很不错，这时我们进退维谷。假若先列了提纲，就不会发生这种情况了。

三、炼语言可别以为现在就可以提笔成文了。我们还要斟酌文章的语言，叶圣陶老先生在文章中提到过“语言是有形无声的文章”要知道优美的语言可以让我们联想万千，它可以为你的文章锦上添花。例如：“洪水淹没了村庄”改为“咆哮的洪水很快地淹没了村庄”,加上了“咆哮”、“很快地”这样就可以将洪水来势之猛、速度之快表现的淋漓尽致了。

杜甫曾在《奉赠韦左丞丈二十二韵》中写到：读书破万卷，下笔如有神。所以，想要写出好的文章需要锤炼语言。而锤炼语言最关键的就是要有一定的词汇积累，这就要求我们多读书，读好书，好读书。只有如此这般的积累，我们才能下笔如有神。

如果孩子们能够认认真真的做到这几点，那么我想写作文对孩子来说就是信手拈来的事情了。

八道沟中心小学校 陈冠秀

第五篇：怎样解题表

波利亚的“怎样解题表”

一，你必须弄清问题

弄清问题

未知数是什么？已知数据（指已知数、已知图形和已知事项等的统称）是什么？条件是什么？满足条件是否可能？要确定未知数，条件是否充分？或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？

画张图。引入适当的符号。

把条件的各个部分分开。你能否把它们写下来？

第二，找出已知数与求知数之间的联系。

如果找不出直接的联系，你可能不得不考虑辅助问题。

你应该最终得出一个求解的计划。

拟定计划

你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同？

你是否知道与此有关的问题？你是否知道一个可能用得上的定理？

看着未知数！试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题。

这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题，你能应用它吗?

你能不能利用它？你能利用它的结果吗？为了能利用它，你是否应该引入某些辅助元素？

你能不能重新叙述这个问题？你能不能用不同的方法重新叙述它？

回到定义去。

如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关的问题。你能不能想出一个更容易着手的有关问题？一个更普遍的问题？一个更特殊的问题？一个类比的问题？你能否解决这个问题的一部分？仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分，这样对于未知能确定到什么程度？它会怎样变化？你能不能从已知数据导出某些有用的东西？你能不能想出适合于确定未知数的其它数据？如果需要的话，你能不能改变未知数和数据，或者二者都改变，以使新未知数和新数据彼此更接近？

你是否利用了所有的已知数据？你是否利用了整个条件？你是否考虑了包含在问题中的所有必要的概念？

第三，实行你的计划。

实现计划

实现你的求解计划，检验每一步骤。

你能否清楚地看出这一步是正确的？你能否证明这一步是正确的？

第四，验算所得到的解。

回顾反思

你能否检验这个论证？你能否用别的方法导出这个结果？你能否一下子看出它来？ 你能不能把这结果或方法用于其它的问题？