考研数学 一招击破证明题之关键

第一篇：考研数学 一招击破证明题之关键

考研数学 一招击破证明题之关键

研究生考试网 更新：2012-5-4 编辑：静子

对于非数学专业的理工经管类考生来说，考研数学考试中的证明题常常让他们不知所措。证明题考查了考生了逻辑推理能力，每一步推理必须严密，环环相扣，步步逼近结论。看老师对一个题目的证明非常容易，但如果给出一个没有证明过程的题目，考生要寻找证明方法常不那么简单。汤老师对考研常出证明题的中值定理部分专门归纳了全面的专题，以方便考生对症筛选证明方法，实用且高效。

2008与2009年连续考查教材中的定理证明，2010年没有证明题目，2011年证明题出自北大版数学分析习题集中，是关于不等式的证明，但并不难。细数历史，考研数学对证明题的要求并不高，只要掌握基本的推理能力，研读教材中重要定理的证明方法，对等式与不等式的证明掌握常用的方法及处理技巧应不在话下。

人的学习过程与数学历史的发展惊人的相似。数学理论的发展常常是结论早早得出，但对其正确性的证明往往滞后，有时甚至滞后上百年时间。人在学习数学的时候也会出现类似状况，接受其结论，对其推理过程的理解会延迟理解，特别是高等数学，它与初等数学中形象思维占核心位置的情况完全不同。

在看教材或辅导书的时候，如果不看其中的分析思路，直接看证明，需要考生花大量时间思考其联系，比如构造一个辅助函数，考生常常会问为什么这样构造，没有依据的空降一个函数出来，即使能解决问题，依然会使解答天马行空。事实上，证明题的证明思路都是有门路的，惯常的思路是从结论出发，分析结论与题干条件间的联系，搜索与之相关的理论方法，选择可能解决问题的方法，将之进行简单推理或变形看是否可行。经过多次试探，最终确定使用的方法。构造辅助函数有点类似于中学几何上添加辅助线，性质是一样的。2012考研数学真题让大家又一次确信，要成功拿下证明题，掌握基本证明方法是关键!

第二篇：考研数学证明题题目11

今天还是讨论关于不等式的问题。

这次的这个不等式大家看见了一定不会陌生，因为思路很容易就拿出来了。就是转化成求一个函数的极值问题。然后解法一就诞生了。

上面的方法估计是绝大多数人都会采用的方法，算是一种通法了。也是必须得掌握的重要思想方法之一。

然而，是不是这个题目除了这种方法就没有其他的办法来做了呢？答案是否定的。

注意到需要证明的不等式可以先化成e^x>x^2-2ax+1，而左边的式子要和幂函数联系起来，很容易想到的就是马克劳林展开。于是可以尝试着看看是否能够利用这个来做。

首先可以试着将e^x展开到二阶的，然后看看是否能够证明需要的不等式。发现不行，然后再继续多展开一阶。于是，解法二横空出世。

说句实话，就这道题而言，这种方法确实挺复杂的，而且还没有求导的方法精确。不过，这种思想方法对于一些题目来说，却可能是重要的突破口！下面看看一道习题吧。

由于这道题目比较难，所以直接给出解答。

这个题目可以说相当于反用幂级数的展开，然后利用马克老林余项的估值最后证明出结论。这个看似很一般的题目，中间却蕴含着无限的思想，需要大家细细品味！

第三篇：考研数学证明题三步走

数学证明三步走

纵观近十年考研数学真题，大家会发现：几乎每一年的试题中都会有一个证明题，而且基本上都是应用中值定理来解决问题的。但是要参加硕士入学数学统一考试的同学所学专业要么是理工要么是经管，同学们在大学学习数学的时候对于逻辑推理方面的训练大多是不够的，这就导致数学考试中遇到证明推理题就发怵，以致简单的证明题得分率却极低。除了个别考研辅导书（如蔡子华老师的《历年真题精析》对真题中的证明题的解析及讲评）中有一些证明思路之外，大多数考研辅导书在这一方面没有花太大力气，本人自认为在推理证明方面有不凡的效绩，在此给大家简单介绍一些解决数学证明题的入手点，希望对有此隐患的同学有所帮助。

我把这样的方法称为证明题三步走。

第一步：结合几何意义记住零点存在定理、中值定理、泰勒公式、极限存在的两个准则等基本原理，包括条件及结论。知道基本原理是证明的基础，知道的程度（即就是对定理理解的深入程度）不同会导致不同的推理能力。如2006年数学一真题第16题（1）是证明极限的存在性并求极限。只要证明了极限存在，求值是很容易的，但是如果没有证明第一步，即使求出了极限值也是不能得分的。因为数学推理是环环相扣的，如果第一步未得到结论，那么第二步就是空中楼阁。这个题目非常简单，只用了极限存在的两个准则之一：单调有界数列必有极限。只要知道这个准则，该问题就能轻松解决，因为对于该题中的数列来说，“单调性”与“有界性”都是很好验证的。像这样直接可以利用基本原理的证明题并不是很多，更多的是要用到第二步。

第二步：借助几何意义寻求证明思路。一个证明题，大多时候是能用其几何意义来正确解释的，当然最为基础的是要正确理解题目文字的含义。如2007年数学一第19题是一个关于中值定理的证明题，可以在直角坐标系中画出满足题设条件的函数草图，再联系结论能够发现：两个函数除两个端点外还有一个函数值相等的点，那就是两个函数分别取最大值的点（正确审题：两个函数取得最大值的点不一定是同一个点）之间的一个点。这样很容易想到辅助函数F（x）=f(x)-g(x)有三个零点，两次应用罗尔中值定理就能得到所证结论。再如2005年数学一第18题（1）是关于零点存在定理的证明题，只要在直角坐标系中结合所给条件作出函数y=f(x)及y=1-x在[0，1]上的图形就立刻能看到两个函数图形有交点，这就是所证结论，重要的是写出推理过程。从图形也应该看到两函数在两个端点处大小关系恰好相反，也就是差函数在两个端点的值是异号的，零点存在定理保证了区间内有零点，这就证得所需结果。如果第二步实在无法完满解决问题的话，转第三步。

第三步：逆推。从结论出发寻求证明方法。如2004年第15题是不等式证明题，该题只要应用不等式证明的一般步骤就能解决问题：即从结论出发构造函数，利用函数的单调性推出结论。在判定函数的单调性时需借助导数符号与单调性之间的关系，正常情况只需一阶导的符号就可判断函数的单调性，非正常情况却出现的更多（这里所举出的例子就属非正常情况），这时需先用二阶导数的符号判定一阶导数的单调性，再用一阶导的符号判定原来函数的单调性，从而得所要证的结果。该题中可设F(x)=ln*x-ln*a-4(x-a)/e*,其中eF(a)就是所要证的不等式。

对于那些经常使用如上方法的同学来说，利用三步走就能轻松收获数学证明的12分，但对于从心理上就不自信能解决证明题的同学来说，却常常轻易丢失12分，后一部分同学请按“证明三步走”来建立自信心，以阻止考试分数的白白流失。

第四篇：考研数学证明题题目10

今天来看看不等式的题目。不等式对于我们来说应该是再熟悉不过的了，初中的时候学过一次二次不等式，高中更是系统学习了不等式，在考研试题里面，也不乏不等式的题目。不等式的题目相对比较灵活，综合性很强，是考察数学能力的一个很好的方式。虽然很活，不过对于考研来说，这些题目也都有一定的方法和思想，是大家可以掌握的。这里就大家比较容易忽略的某些方法说说自己的理解。

看到题目应该有一种很相似的感觉。因为不等式的中间部分貌似就是拉格朗日中值定理。于是，有一种冲动，试试这种方法是否可行。

尝试了一下，发现左边已经证明出来了。这时应该比较欣慰，因为题目做出了一半。于是心想着，右边应该同理也可以证明吧。不管三七二十一，先试一下。

试完以后，悲剧了！居然无法证明出来。怎么办？只有另找一种出路。

很多参考书上给的解答都是构造一个辅助函数，这个辅助函数就是将b换成x，成为一个关于x的函数，然后利用导数工具研究这个函数的性质从而得出最终的证明结果。这种方法很典型，需要大家比较熟练运用。不过，对于这道题来说，这种方法有点复杂了，因为构造的函数很长一串儿，看起来也不大舒服。于是可以尝试下其他的方法。

对于这道题而言，a,b都是成对的出现的，而且a,b出现的次数都一样，亦即齐次式。所以，我们总可以通过一定变形，使得这个表达式成为一个关于a/b或者b/a的式子。

然后产生了下面的解法

这个解法对于有经验的人来说是很自然的，因为证明不等式有三化，齐次化，线性化和局部化，这里体现的就是齐次化思想。

这道题目本身不难，但是题目中蕴含的思想却不少。

1拉格朗日中值定理也可以用来证明不等式，不过放缩的范围比较大，不够精确！

2对于齐次式，我们可以将其转变成单变元问题（多变元化单变元），然后研究一个一元函数的性质就能够知道相应的一些关系。

3要充分利用够题目的条件！比如此题中b>a，则b/a=t>1！如果不用的话就会出问题的！然后看看练习吧

第五篇：考研证明题

翻阅近十年的数学真题，同学可以发现：几乎每一年的试题中都会有一道证明题，而且基本上都可以用中值定理来解决，重点考察同学的逻辑推理分析能力，但是参加研究生数学考试的同学所学专业要么是理工要么是经管，同学们在大学学习数学的时候对于逻辑推理方面的训练大多是不够的，这就导致你们数学考试中遇到证明推理题就发怵，根本不想去想，以致简单的证明题得分率却极低。下面给同学们总结了一些方法步骤或思路，以后在遇到证明题时不妨试一试。

第一步：首先要记住零点存在定理，介值定理，中值定理、极限存在的两个准则等基本原理，包括条件及结论，中值定理最好能记住他们的推到过程，有时可以借助几何意义去记忆。因为知道基本原理是证明的基础，知道的程度(即就是对定理理解的深入程度)不同会导致不同的推理能力。如2006年数学一真题第16题(1)是证明极限的存在性并求极限。只要证明了极限存在，求值是很容易的，但是如果没有证明第一步，即使求出了极限值也是不能得分的。因为数学推理是环环相扣的，如果第一步未得到结论，那么第二步就是空中楼阁。这个题目非常简单，只用了极限存在的两个准则之一：单调有界数列必有极限。只要知道这个准则，该问题就能轻松解决，因为对于该题中的数列来说，“单调性”与“有界性”都是很好验证的。再比如2009年直接让考生证明拉格朗日中值定理；但是像这样直接可以利用基本原理的证明题在考研真题中并不是很多见，更多的是要用到第二步。

第二步：可以试着借助几何意义寻求证明思路，以构造出所需要的辅助函数。一个证明题，大多时候是能用其几何意义来正确解释的，当然最为基础的是要正确理解题目文字的含义。如2007年数学一第19题是一个关于中值定理的证明题，可以在直角坐标系中画出满足题设条件的函数草图，再联系结论能够发现：两个函数除两个端点外还有一个函数值相等的点，那就是两个函数分别取最大值的点(正确审题：两个函数取得最大值的点不一定是同一个点)之间的一个点。这样很容易想到辅助函数F(x)=f(x)-g(x)有三个零点，两次应用罗尔中值定理就能得到所证结论。再如2005年数学一第18题(1)是关于零点存在定理的证明题，只要在直角坐标系中结合所给条件作出函数y=f(x)及y=1-x在[0，1]上的图形就立刻能看到两个函数图形有交点，这就是所证结论，重要的是写出推理过程。从图形也应该看到两函数在两个端点处大小关系恰好相反，也就是差函数在两个端点的值是异号的，零点存在定理保证了区间内有零点，这就证得所需结果。如果第二步实在无法完满解决问题的话，转第三步。

第三步：从要证的结论出发，去寻求我们所需要的构造辅助函数，我们称之为“逆推”如2004年第15题是不等式证明题，该题只要应用不等式证明的一般步骤就能解决问题：即从结论出发构造函数，利用函数的单调性推出结论。在判定函数的单调性时需借助导数符号与单调性之间的关系，正常情况只需一阶导的符号就可判断函数的单调性，非正常情况却出现的更多(这里所举出的例子就属非正常情况)，这时需先用二阶导数的符号判定一阶导数的单调性，再用一阶导的符号判定原来函数的单调性，从而得所要证的结果。