谢强芝,初中几何证明题的学法探讨

第一篇：谢强芝,初中几何证明题的学法探讨

初中几何证明题的学法探讨

广宁县潭布中学谢强芝

摘要：在新课标下打破传统教法，探析初中几何证明题教学是其一个重要内容。众所周知，几何证明是初中数学教与学的难点之一，其难就难在如何运用众多的定义定理性质等寻找证明思路，从而提高学生分析问题、严密逻辑思维推理、语言组织表达等的能力。因此通过调整学生畏惧心理，树立自信心；指导好学生要加强定理定义的基础知识的掌握；养成良好有效的审题习惯和正确分析问题寻求证题思路。

关键词：几何证明题；心理；基础；审题；分析

初中几何证明题既是初中教学中的重点，又是一个难点。在平时教学当中常常遇到学生不知从何下手，有的即是分析思维模糊不清，书写证明张冠李戴，欠缺严密逻辑推理等，更有甚者是毫无头绪，几乎一点不会。这样慢慢地使学生产生由不会到怕学，到后来厌学变成不想学的的恶性循环。为此需要帮助学生树立克服困难的自信心和正确探寻证题的常规方法，养成独立分析问题、书写推理论证步骤的能力。结合我的一些教学体会，认为可通过以下几方面对学生进行学法上的引导。

一、帮助学生调整“畏惧”的心理

由于基础知识、学习方法、个人思维能力等各种因素的差异，多数学生喜代数厌几何怕证

明题成了一种通病。故此解决思想和心理上的障碍是除通病的第一步。可以通过师生间、同学

间交流方法和心得，相互借鉴，取长补短；可以多鼓励多表扬树立他们解决问题的信心。

有一次学生在做一道不是很难的证明题，做过一小段时间后我便叫一位中层学生去板书，他胆怯地慢慢站起，细声说：“我不会”。没等我开口，其它同学便有些窃窃私语。刚一听这话，我心头先是突感意外，这样的题目平时有小聪明的他竟讲不会，便想质问。瞬时间转念又一想，不能，不能打击他的自尊心，否则也影响其它同学的信心。

于是我用缓和的语气讲：著名数学家陈景润，为了功克《哥德巴赫猜想》，他不管是酷暑

还是严冬，在那不足6平米的斗室里，食不甘味，夜不能眠，潜心钻研，光是计算的草纸就足足装了几麻袋。他经过10多年的刻苦钻研，终于拿下了这个猜想。这道题在较短的时间内暂未想到解决办法也不足为奇，他不会做，坦诚表明，学习态度不错。不过我们遇题要好象陈景润一样，要有足够的自信心和耐心、有一股“不到长城非好汉”的决心去想方设法寻求解决办法，不能遇难就退，轻易放弃。要根据题设、求证、图形及所学知识按常规方法耐心分析思考。经过这番有理说话，该学生不但无受批评，且给了他台阶下，适当表扬，以后发觉该生学习积极性很高。另一面也激励了全体学生对处理题目应具有的决心。

二、加强定义、定理的理解记忆，为证明打下基础

几何证明是据已确定的真实性的公理、定义、定理、公式等去论证某一数学命题的真实性的推理过程。换言之，几何命题的证明，就是要把给出的结论，用充分的根据，严密的逻辑推理加以证明未成立的结论。所以熟练掌握定义、定理是解决几何证明难证的基础。实际上几何本身就是研究图形之间的内在联系，部分学生把它们当成如代数去计、公式般硬背，严重背离其实质。建议应从每个定义定理的几何图形入手，以图助记，以图促记。这样既易理解记忆，又便于以后以图助图对应分析，减少题图分离。如：《四边形》及《圆》一章中本身包含非常之多的定义定理判定性质，单从文字记文字，往往顾此失彼，记得这边忘那边。如在《圆》一章中对垂径定理及其推论的教学时，可让学生先画出一个圆、一条弦、一条直径（直径⊥弦），如图2,然后对图观察直径与它们关系：

①过圆心，②垂直于弦，③平分弦，④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧。指导学生对图理解，任意交换它们中的两个作为条件，另三个即作结论。这样数形结合较好地理解了垂径定理及其三个推论。

三、养成审题习惯，提高分析问题能力

习惯性地引导学生据图审题分析，执因索果，培养学生自觉养成知审题、懂审题，避免一味追求解题结果而忽略了解题思路、解题方法点拨，将会逐渐迷失解题的关键，丧失学生自我思考的能力。审题包括：

⑴读：默读题目，弄清哪些是已知和求证，正所为：读书千遍其义自见；

⑵看：看图，题图结合便于分析；

⑶记：对题目中给出的条件和求证作简要的浓缩并作划记，以便于对图分析；

⑷推：把题设结合图形看可推出什么结论，结论进一步又推出何结论；

⑸思：思考求证成立需要满足的条件；

⑹找：找出已知与求证之间关联。具体如图所示：

在审题过程中提醒学生注意防止出现以一般代替特殊，凭主观意识代替事实逻辑推论现象。

四、采用常用分析证明方法，提高逻辑推理能力

几何证明题的思路广，方法多，要求学生的思维要灵活，一道证明题，学生总感到无从下手，不会分析，不知如何写。怎样指导学生进行有效正确的分析证明，可按如下引导学生。

㈠是由因索果-----即从题设入手，经过常规的分析，找出解决结论的方法（常用方法）如图1：□ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点E、F。求证：四边形AFCE是菱形。可引导学生对图分步分析：

分析：由已知□ABCD 推出：AD∥BC，即得∠DAC＝∠BCA;再由

EF垂直平分AC得AO＝CO；∠AOE＝∠COF;显然可证△AOE≌△COF

从而得EO＝FO，结合EF垂直平分AC，题得证。

㈡是由果索因-----即从求证出发，作逆向思考，找出要结论成立

需何条件

如：在□ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，EF∥AB交AD

于F，求证：四边形ABEF是菱形。

分析：要证明是菱形，可据平行四边形加一组邻边相等的方法，易证四边形ABEF是平行四边形,再需证一组邻边相等，据已知AE平分∠BAD得∠BAE＝∠FAE；由AD∥BC得∠FAE＝∠BEA，可知AB＝BE，即题得证。

㈢是因果结合----即分别从题设和求证两边切入考虑，找到它们的接洽点得证

如图4（10年肇庆中考）：已知AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，且AC＝AB，CO交⊙O于点P，CO的延长线交⊙O于点F，BP的延长线交AC于点E，连接AP、AF． 求证：(1)AF∥BE；(2)△ACP∽△FCA；(3)CP＝AE．B E C图1 D

分析：从已知得: AB是⊙O的直径∠B PA＝90°；且AC切⊙O于点A∠BAC＝90° 从图形观察: ∠B、∠F同对劣弧AP ∠B ＝∠F ；还有BO＝PO∠B ＝∠B PF等

从求证：(1)要证AF∥BE，只需证∠F＝∠B P F((2)要证△ACP∽△FCA；关键证∠EA P ＝∠F，而由已知

∠EA P＝90°－∠BE A，∠B＝∠F＝90°－∠BE A（即可证）

（3）要证CP＝AE；按等量代换转化思想：结合图形考虑证与

CP有关的△P C E ∽△ACP∴PC﹕PE＝AC﹕AP；再证与

教学关键在于:授之以鱼更要授之以渔，学生才更有长进，在平时教

姓名：谢强芝（男）； 联系电话：***；电子邮件地址：xqz420420@126.com 单位：广宁县潭布中学

职称：中学数学一级教师

详细通信地址：广宁县潭布中学

邮编：526338

E A AE有关的△EA P ∽△A B P∴AE﹕PE＝AB﹕AP，又AC＝AB图4 学过程中要求学生对证明题逐渐养成“见其型，懂其路，套其法”的良好思维习惯。

第二篇：初中几何证明题

(1)如图，在三角形ABC中，BD,CE是高，FG分别为ED,BC的中点，O是外心，求证AO∥FG 问题补充：

证明:延长AO,交圆O于M,连接BM,则:∠ABM=90°,且∠M=∠ACB.∠AEC=∠ADB=90°,∠EAC=∠DAB,则⊿AEC∽⊿ADB,AE/AD=AC/AB;

又∠EAD=∠CAB,则⊿EAD∽⊿CAB,得∠AED=∠ACB=∠M.∴∠AED+∠BAM=∠M+∠BAM=90°,得AO⊥DE.--------(1)

连接DG,EG.点G为BC的中点,则DG=BC/2;(直角三角形斜边的中线等于斜边的一半)同理可证:EG=BC/2.故DG=EG.又F为DE的中点,则FG⊥DE.(等腰三角形底边的中线也是底边的高)-----------------(2)所以,AO∥FG.(2)已知梯形ABCD中，对角线AC与腰BC相等，M是底边AB的中点，L是边DA延长线上一点连接LM并延长交对角线BD于N点

延长LM至E，使LM＝ME。

∵AM＝MB，LM＝ME，∴ALBE是平行四边形，∴AL＝BE，AL∥EB，∴LN/EN＝DN/BN。

延长CN交AB于F，令LC与AB的交点为G。

∵AB是梯形ABCD的底边，∴BF∥CD，∴CN/FN＝DN/BN。

由LN/EN＝DN/BN，CN/FN＝DN/BN，得：LN/EN＝DN/BN，∴LC∥FE，∴∠GLM＝∠FEB。

由AL∥EB，得：∠LAG＝∠EBF，∠ALM＝∠BEM。

由∠ALM＝∠BEM，∠GLM＝∠FEB，得：∠ALM－∠GLM＝∠BEM－∠FEB，∴∠ALG＝∠BEF，结合证得的∠LAG＝∠EBF，AL＝BE，得：△ALG≌△BEF，∴AG＝BF。

∵AC＝BC，∴∠CAG＝∠CBF，结合证得的AG＝BF，得：△ACG≌△BCF，∴ACL＝∠BCN。

(3)如图,三角形ABC中,D,E分别在边AB,AC上且BD=CE,F,G分别为BE,CD的中点,直线FG交

AB于P,交AC于Q.求证:AP=AQ

取BC中点为H

连接HF,HG并分别延长交AB于M点，交AC于N点

由于H，F均为中点

易得：

HM‖AC,HN‖AB

HF=CE/2,HG=BD/

2得到：

∠BMH=∠A

∠CNH=∠A

又：BD=CE

于是得：

HF=HG

在△HFG中即得：

∠HFG=∠HGF

即：∠PFM=∠QGN

于是在△PFM中得：

∠APQ=180°-∠BMH-∠PFM=180°-∠A-∠QGN

在△QNG中得：

∠AQP=180°-∠CNH-∠QGN=180°-∠A-∠QGN

即证得：

∠APQ=∠AQP

在△APQ中易得到： AP=AQ

(4)ABCD为圆内接凸四边形，取△DAB，△ABC，△BCD，△CDA的内心O，O，O，O．求证：OOOO为矩形． 123

41234

已知锐角三角形ABC的外接圆O，过B,C作圆的切线交于E，连结AE，M为BC的中点。求证角BAM=角EAC。

设点O为△ABC外接圆圆心，连接OP；

则O、E、M三点共线，都在线段BC的垂直平分线上。

设AM和圆O相交于点Q，连接OQ、OB。

由切割线定理，得：MB² = Q·MA ；

由射影定理，可得：MB² = ME·MO ；

∴MQ·MA = ME·MO，即MQ∶MO = ME∶MA ；

又∵ ∠OMQ = ∠AME，∴△OMQ ∽ △AME，可得：∠MOQ = ∠MAE。

设OM和圆O相交于点D，连接AD。

∵弧BD = 弧CD，∴∠BAD = ∠CAD。

∵∠DAQ =(1/2)∠MOQ =(1/2)∠MAE，∴∠DAE = ∠MAE∠DAE = ∠CAD-∠DAQ = ∠CAM。

设AD、BE、CF是△ABC的高线，则△DEF称为△ABC的垂足三角形，证明这些高线平分垂足三角形的内角或外角 设交点为O，OE⊥EC，OD⊥DC，则CDOE四点共圆，由圆周角定理，∠ODE=∠OCE。

CF⊥FC，AD⊥DC，则ACDF四点共圆，由圆周角定理，∠ADF=∠ACF=∠OCE=∠ODE，AD平分∠EDF。

其他同理。

平行四边形内有一点P，满足角PAB=角PCB，求证：角PBA=角PDA

过P作PH//DA，使PH=AD，连结AH、BH

∴四边形AHPD是平行四边形

∴∠PHA=∠PDA，HP//=AD

∵四边形ABCD是平行四边形

∴AD//=BC

∴HP//=BC

∴四边形PHBC是平行四边形

∴∠PHB=∠PCB

又∠PAB=∠PCB

∴∠PAB=∠PHB

∴A、H、B、P四点共圆

∴∠PHA=∠PBA

∴∠PBA＝∠PDA

补充：

补充：

把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆．

已知点o为三角型ABC在平面内的一点，且向量OA2+BC2=OB2+CA2=OC2+AB2,，则O为三角型ABC的（）

只说左边2式子 其他一样

OA2+BC2=OB2+CA2 移项后平方差公式可得

(OA+OB)(OA-OB)=(CA+BC)(CA-BC)化简

得 BA(OA+OB)=BA(CA-BC)

移项并合并得BA(OA+OB+BC-CA)=0

即 BA*2OC=0 所以BA和OC垂直

同理AC垂直BO BC垂直AO哈哈啊是垂心

设H是△ABC的垂心，求证：AH2+BC2=HB2+AC2=HC2+AB2．

作△ABC的外接圆及直径AP．连接BP．高AD的延长线交外接圆于G，连接CG． 易证∠HCB=∠BCG，从而△HCD≌△GCD．

故CH=GC．

又显然有∠BAP=∠DAC，从而GC=BP．

从而又有CH2+AB2=BP2+AB2=AP2=4R2．

同理可证AH2+BC2=BH2+AC2=4R2．

第三篇：初中数学几何证明题

平面几何大题 几何是丰富的变换

多边形平面几何有两种基本入手方式：从边入手、从角入手

注意哪些角相等哪些边相等，用标记。进而看出哪些三角形全等。平行四边形所有的判断方式？

难题

第四篇：初中数学几何证明题

初中数学几何证明题

分析已知、求证与图形，探索证明的思路。

对于证明题，有三种思考方式：

(1)正向思维。对于一般简单的题目，我们正向思考，轻而易举可以做出，这里就不详细讲述了。

(2)逆向思维。顾名思义，就是从相反的方向思考问题。运用逆向思维解题，能使学生从不同角度，不同方向思考问题，探索解题方法，从而拓宽学生的解题思路。这种方法是推荐学生一定要掌握的。在初中数学中，逆向思维是非常重要的思维方式，在证明题中体现的更加明显，数学这门学科知识点很少，关键是怎样运用，对于初中几何证明题，最好用的方法就是用逆向思维法。如果你已经上初三了，几何学的不好，做题没有思路，那你一定要注意了：从现在开始，总结做题方法。同学们认真读完一道题的题干后，不知道从何入手，建议你从结论出发。例如：可以有这样的思考过程：要证明某两条边相等，那么结合图形可以看出，只要证出某两个三角形相等即可;要证三角形全等，结合所给的条件，看还缺少什么条件需要证明，证明这个条件又需要怎样做辅助线，这样思考下去……这样我们就找到了解题的思路，然后把过程正着写出来就可以了。这是非常好用的方法，同学们一定要试一试。

(3)正逆结合。对于从结论很难分析出思路的题目，同学们可以结合结论和已知条件认真的分析，初中数学中，一般所给的已知条件都是解题过程中要用到的，所以可以从已知条件中寻找思路，比如给我们三角形某边中点，我们就要想到是否要连出中位线，或者是否要用到中点倍长法。给我们梯形，我们就要想到是否要做高，或平移腰，或平移对角线，或补形等等。正逆结合，战无不胜。

几何证明题入门难，证明题难做，是许多初中生在学习中的共识，这里面有很多因素，有主观的、也有客观的，学习不得法，没有适当的解题思路则是其中的一个重要原因。掌握证明题的一般思路、探讨证题过程中的数学思维、总结证题的基本规律是求解几何证明题的关键。在这里结合自己的教学经验，谈谈自己的一些方法与大家一起分享。

一要审题。很多学生在把一个题目读完后，还没有弄清楚题目讲的是什么意思，题目让你求证的是什么都不知道，这非常不可龋我们应该逐个条件的读，给的条件有什么用，在脑海中打个问号，再对应图形来对号入座，结论从什么地方入手去寻找，也在图中找到位置。

二要记。这里的记有两层意思。第一层意思是要标记，在读题的时候每个条件，你要在所给的图形中标记出来。如给出对边相等，就用边相等的符号来表示。第二层意思是要牢记，题目给出的条件不仅要标记，还要记在脑海中，做到不看题，就可以把题目复述出来。

三要引申。难度大一点的题目往往把一些条件隐藏起来，所以我们要会引申，那么这里的引申就需要平时的积累，平时在课堂上学的基本知识点掌握牢固，平时训练的一些特殊图形要熟记，在审题与记的时候要想到由这些条件你还可以得到哪些结论(就像电脑一下，你一点击开始立刻弹出对应的菜单)，然后在图形旁边标注，虽然有些条件在证明时可能用不上，但是这样长期的积累，便于以后难题的学习。

四要分析综合法。分析综合法也就是要逆向推理，从题目要你证明的结论出发往回推理。看看结论是要证明角相等，还是边相等，等等，如证明角相等的方法有(1.对顶角相等2.平行线里同位角相等、内错角相等3.余角、补角定理4.角平分线定义5.等腰三角形6.全等三角形的对应角等等方法。然后结合题意选出其中的一种方法，然后再考虑用这种方法证明还缺少哪些条件，把题目转换成证明其他的结论，通常缺少的条件会在第三步引申出的条件和题目中出现，这时再把这些条件综合在一起，很条理的写出证明过程。

五要归纳总结。很多同学把一个题做出来，长长的松了一口气，接下来去做其他的，这个也是不可取的，应该花上几分钟的时间，回过头来找找所用的定理、公理、定义，重新审视这个题，总结这个题的解题思路，往后出现同样类型的题该怎样入手。

第五篇：初中几何基础证明题(初一)

几何证明题（1）

1.如图，AD∥BC，∠B=∠D，求证：AB∥CD。

A

D

C

2.如图CD⊥AB，EF⊥AB，∠1=∠2，求证：∠AGD=∠ACB。

A

D

/

F

2BG BE

3.已知∠1=∠2，∠1=∠3，求证：CD∥OB。

A

PC 3D /2 BO

4.如图，已知∠1=∠2，∠C=∠CDO，求证：CD∥OP。

D P

/2

CBO

3C

5.已知∠1=∠2，∠2=∠3，求证：CD∥EB。

C3D / BOE6.如图∠1=∠2，求证：∠3=∠4。

/3BA

DC42

7.已知∠A=∠E，FG∥DE，求证：∠CFG=∠B。

AB

CG F ED

8.已知，如图，∠1=∠2，∠2+∠3=1800，求证：a∥b，c∥d。

cd a

b32

9.如图，AC∥DE，DC∥EF，CD平分∠BCA，求证：EF平分∠BED。

A

D

F

EBC

10、已知，如图，∠1=450，∠2=1450，∠3=450，∠4=1350，求证：l1∥l2，l3∥l5，l3l2∥l4。

l11

l22

344 l5

11、如图，∠1=∠2，∠3=∠4，∠E=900，求证：AB∥CD。

BA 12

E CD

12、如图，∠A=2∠B，∠D=2∠C，求证：AB∥CD。

CD

O

AB

13、如图，EF∥GH，AB、AD、CB、CD是∠EAC、∠FAC、∠GCA、∠HCA的平分线，求证：∠BAD=∠B=∠C=∠D。

A

FE

BD

GHC

14、已知，如图，B、E、C在同一直线上，∠A=∠DEC，∠D=∠BEA，∠A+∠D=900，求证：AE⊥DE，AB∥CD。

A

D

CEB

15、如图，已知，BE平分∠ABC，∠CBF=∠CFB=650，∠EDF=500，求证：BC∥AE。

E

CD

BA

16、已知，∠D=900，∠1=∠2，EF⊥CD，求证：∠3=∠B。

AD1

E3F

BC17、如图，AB∥CD，∠1=∠2，∠B=∠3，AC∥DE，求证：AD∥BC。

DA 312

BCE