数学史论文

第一篇：数学史论文

数 学 史 论 文

:课程论文 班级：09数学2班

内容

古希腊数学发展史初探

【摘要】： “古希腊数学”只是一个习惯用语，它并不等同于希腊这个国家或地区所创造的数学，而是指包括希腊半岛，整个爱琴海区域和北面的马其顿褐色雷斯，意大利半岛和小亚西亚，以及非洲北部等地。从时间上看，是始于BC600年左右，到641年为止，一共持续了1300年的数学的统称。本文，我就这一时间段的数学发展，也就是古希腊数学发展进行初探。

【关键词】：古希腊数学

发展史

学派

数学家

地中海的灿烂阳光——古希腊文明著称于世。拥有特殊的地里环境的克里特岛是希腊文明的发端，同时，政治和经济的发展造就了希腊文化。希腊文化汲取了各种各样的优秀东方文化。其中，希腊数学就是希腊文化中的一个主要分支。希腊数学汇集了巴比伦精湛的算术和埃及神奇的几何学。我们将希腊数学的卖力发展史分为下列三大历史时期;一． 第一时期： BC600—BC323 这一时期又可以希波战争为界限划分为前后2个历史时期。希波战争前的希腊数学就是以爱奥尼亚学派和毕达哥拉斯学派为主要代表的。希波战争之后，则以巧辩学派，埃利亚学派，原子论学派柏拉图学派的成就为代表。尤其是从BC480年到BC336年，数学史上又

称为雅典时期。雅典时期哲学和经济的空前繁荣诞生了像亚里斯多德这样的百科全书般的杰出人物。BC4世纪以后的希腊数学慢慢成为了独立的学科。数学的历史进入了一个新的阶段——初等数学时期。在这一个时期里，初等几何，算术，初等代数大体已经分化出来。同17世纪出现的解析几何学，微积分学相比，这一时期的研究内容可以用“初等数学”来概括，因此叫做初等数学时期。

在这一大时期里，希腊各地涌现了许许多多的学派，他们共同作用于希腊数学的发展。在这些学派中最有影响力的主要有三大流派;

（一）爱奥尼亚学派——古希腊历史上的第一个学派

爱奥尼亚学派是由彼赋盛名的“希腊科学之父”泰勒斯创立。泰勒斯是一个精明的商人，他流转于各地经商，并从巴比伦河埃及等地带回了数学知识，故而创立了爱奥尼亚学派。他在数学上的最著名的业绩是测量金字塔的高度，而划时代的贡献是开始引入了命题证明的思想，因而被认为是希腊几何的先驱。关于泰勒斯，希腊史诗并无明确的记载，但据可靠的材料我们可以推断出下列五大命题的发现时归功于泰勒斯：

（1）圆的直径将圆平分。（2）等腰三角形两底角相等。（3）两条直线相交，对顶角相等。

（4）有两角夹一边分别相等的两个三角形全等。（5）对半圆的圆周角是直角。

其中，第五个命题还被人们称为“泰勒斯定理”。泰勒斯证明了或视

图证明这些命题，使得数学从具体的，实验的阶段开始向抽象的，理论的阶段过渡，这是数学史上的一个重大创举。也就是说，泰勒斯对于数学科学的发展的贡献并比仅是存在于他发现了这些定理，更重要的是泰勒斯为它们提供了某种的逻辑证明。从泰勒斯开始，人们已经不再只是利用直观和实验解答数学问题，而是将逻辑学中的演绎推理引入了数学，奠定了演绎数学的基础，这使得他荣获了“第一位数学家”和“论证几何学鼻祖”的美誉，还被尊称为“希腊七贤之首”。

爱奥尼亚学派的其他成员有安纳西曼德，安纳西尼斯，安纳萨戈拉斯等人，学术思想绵延百年。以客观的角度看来，以泰勒斯为首的爱奥尼亚学派并不出色，但他们在哲学特别是自然哲学方面的工作却是无与伦比的。他们具有理性的思维观念，并用这一观念解释数学问题的奥妙之所在。

（二）毕达哥拉斯学派——西方古代美学的开端

毕达哥拉斯与泰勒斯一样也是扑朔迷离的传说人物，二者都没有著作留世，我们甚至不知道他们是否写过著作。如今我们对于毕达哥拉斯的了解也只是通过一些其他的著作提及的相关信息。根据这些间接的资料，我们知道毕达哥拉斯于BC570年生于萨摩斯岛，是古希腊哲学家，天文学家和音乐理论学家，他爱好游学。他游历各地，最后定居于意大利半岛南部的克罗多内（古：大希腊），还广收门徒，秘密组织了一个集政治、学术、宗教三位于一体的组织——毕达哥拉斯学派。这个学派主要是研究“哲学”和“数学”。相传，创造了“哲学”和“数学”这2个词。

在几何学方面，毕达哥拉斯学派主要有2大几何学成就，一就是发现和证明了“勾股定理”，后来被欧几里得编入了《几何原本》之中。至今，西方人仍然把“勾股定理”叫做“毕达哥拉斯定理”。这个伟大的定理导致了无理数的发现。毕达哥拉斯学派的另外一项几何成就就是正多面体作图，他们称正多面体为“宇宙形”。尽管人们将许多的集合成就归功于毕达哥拉斯学派，但这个学派适中的及基本信条是“万物皆数”。

毕达哥拉斯学派崇拜的数主要有整数和两个整数形成的比，即有理数。他们对这些数做出过深入的研究，发现了完全和亲和数，即将抽象的数作为万物的本源，通过揭露数的奥秘来探索宇宙的永恒真理。该学派宣称宇宙的万物主宰者也就是上帝是用数来统御宇宙的，认为万物含数。一个毕达哥拉斯学派的成员曾经说过：“人们所知道的一切事物都包含数，因此，没有数即不可能来表达也不可能来理解任何事物。”而一切数中最神圣的是10，10在他们的眼中是最完美和最和谐的标志，这种“万物皆数”的概念从另一个角度强调了数学作用于客观世界，这也是数学化思想的最初表述形式。该学派的初步数学化思想促进了对自然数的分类研究，他们定义了很多的概念。

毕达哥拉斯学派还从数与形的关系出发，研究了二者的结合物——“行数”，且由此得出了一些数列的重要公式，这一系列的数列现在已经成为高阶等差数列的范围。

毕达哥拉斯学派数字神秘主义的外壳，包含着理性的内核。首先，它加强了数的概念中的理论倾向。其次，“万物皆数”的信念，使毕

达哥拉斯成为相信自然现象可以通过数字来理解的先驱。他们认为宇宙万物依赖于整数的信条，由于不可公度量的发现而收到了动摇。据柏拉图记载，后来又发现了一些无理数。这些“怪物”深深地困惑着古希腊啦的数学家，希腊数学中出现的这一个逻辑难题被史称为“第一次数学危机”。约1世纪之后，这一危机才由毕达哥拉斯学派成员啊切塔斯的学生欧多克斯提出的新比例理论二暂时得到了消除。毕达哥拉斯在政治中被杀害之后，该学派还存在了2世纪之久。阿尔·西塔斯则是这个学派的晚期的代表人物。他继承和发展了毕达哥拉斯学说。

毕达哥拉斯学派有这么一个教规，就是一切的发明都归功于学派的领袖，而且还对外保密，因此早期的学派成员几乎没有留下名字。直到BC480年，毕达哥拉斯遇害，组织被破坏，他们的研究才公诸于世。

（三）巧辩学派，埃利亚学派，原子论学派

巧辩学派是古代希腊的一个学派，开始以“智者学派”自称，后来因为过于偏重于利用言辞雄辩，纯粹是为了解释二解释，逐渐变得很虚伪。后变成了巧辩学派。

埃利亚学派是古希腊最早的唯心主义哲学派别之一，宣扬唯心主义和形而上学，以善辩而著称。克塞诺芬尼是克塞诺芬尼的创始人。该学派成员巴门尼德提出的“存在”是对宇宙万物共同本质的抽象概括，使哲学从而摆脱了用具体物质形态说明世界本原的原始朴素形式，是认识史的重要进步。“存在”概念成为以后哲学讨论的中心概念。

他们提出的存在与非存在、一与多、运动与静止等范畴，对以后的辩证法研究有一定启示。

原子论学派是古希腊BC5世纪至BC4世纪活跃于色雷斯地区的学派。创始人是勒西普斯。其基本观点是认为万物的本原是“原子”与虚空。原子是一种最小的、不可再分的、看不见的物质微粒，而虚空是原子运动的场所。这种看法已孕育着近代积分论的萌芽。原子论在逻辑上是不严密的，却是古代数学家发现新结果的重要线索。原子论学派的思想影响到近现代，今天计算积分常用的微元法也是原子论的思想。

二． 第二时期：BC336-----BC30（亚历山大里亚前期）

这个时期，亦称为黄金时代，科学文化的中心也从雅典转移到埃及的亚历山大里亚。亚历山大里亚城市东南海路交通的枢纽，又经过托勒密王狄加意的经营，慢慢地成为了新的希腊文化的中心，取代了希腊本土的主要要地位。BC146年，古希腊灭亡，希腊数学以罗马为中心，达到了一个巅峰时期，史称“希腊化的科学时代”。在这一时期，以欧几里得.阿基米德和阿波罗尼奥斯的研究为主要代表。同时，他们也成为了希腊数学史上最有影响力的数学家。正是他们让数学开始了相对独立的发展。

（一）欧几里得及其《原本》

欧几里得是希腊论证几何学的集大成者。关于他的生平，我们知之甚少。欧几里得写过不好的数学，天文，光学和音乐方面的著作，现存的有《原本》，《论剖分》，《现象》，《光学》和《镜

面反射》。其中，最出名的莫过于《原本》。这本书是世界上最著名、最完整而且流传最广的数学著作。《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，集整个古希腊数学的成果和精神于一书。既是数学巨著，也是哲学巨著，还是第一次完成了人类对空间的认识。除《圣经》之外，没有任何其他著作，其研究、使用和传播之广泛，能够与《几何原本》相提并论。

《几何原本》，共13卷，含有23条定义，5条公理，5条公设，在此基础上，演绎了467个命题。《几何原本》的特点和历史地位：

（1）抽象化的内容。它主要体现在药酒的对象都是抽象的概念和命题。撇开研究对象的具体内容来讲，它仅仅保留了空间形式和数量关系，这些形式和关系是一种形式化的思想。同时，它独立地创造出了思想成果，一逻辑为链条的形式化符号系统，数字的形式化方法决定了数学能对纯粹的量进行独立地，理想化地，系统性地进行研究。从抽象程度上看，《几何原本》每一次抽象都是理性思维的结晶，体现了当时人类思维的最高级形态。（2）公理化的方法

《几何原本》是实质公理学的典范。公理学研究的对象，性质和关系是由初始的概念来表示的。该书把亚里斯多德初步总结出来的公理化思想应用于数学，整理，总和发展了希腊古典时期的大量数学知识。它在数学史上是一座不朽的里

程碑。

（3）封闭式的演绎

它以一些原始概念和不证明的公设和公理为基础，运用逻辑原则，演绎出几何学中的所有定理。与此同时，《原本》的理论体系回避了社会中的任何实际性问题，所以说，它对于整个社会而言也是封闭的。

（二）阿基米德——数学之神

阿基米德是历史上的伟大数学家和伟大力学学者，享有“力学之父”的美称。他有这么一句名言众所周知“给我一个支点，我将翘起整个地球”。作为数学家，他写出了《论球和圆柱》、《圆的度量》、《抛物线求积》、《论螺线》、《论锥体和球体》、《沙的计算》数学著作。作为力学家，他着有《论图形的平衡》、《论浮体》、《论杠杆》、《原理》等力学著作。阿基米德因创造性的成果受到了后人的高度赞扬，与牛顿，高斯并列为有史以来三个贡献最大的数学家，他们和欧拉一起并称为四个最伟大的数学家。除了伟大的牛顿和爱因斯坦，再没有一个人可以像阿基米德那样为人类的进步做出过这样大的贡献。即使牛顿和爱因斯坦也都曾从他身上汲取过智慧和灵感。他是“理论天才与实验天才合于一人的理想化身”。

阿基米德还制作过天文仪器，发明了螺旋水浆。他的独创与论证相结合，计算技巧与逻辑分析相结合，注意理论联系实际的学风独步千年，留芳百世。

对于阿基米德来说，机械和物理的研究发明还只是次要的，他比较有兴趣而且还投注许多时间的是纯理论上的研究，尤其是在数学和天文方面。在数学方面，他利用“逼近法”算出球面积、球体积、抛物线、椭圆面积，使得后世的数学家可以依据这样的“逼近法”加以发展成近代的“微积分”。在推演这些公式的过程中，他进一步发展了欧多克斯发明的“穷竭法”，就是用内接和外切的直边图形不断地逼近曲边形以用来解决曲面面积问题,即我们今天所说的逐步近似求极限的方法，因而被公认为微积分计算的鼻祖。他用圆内接多边形与外切多边形边数增多、面积逐渐接近的方法，比较精确的求出了圆周率。他甚至还研究出螺旋形曲线的性质，现今的“阿基米德螺线”曲线，就是为纪念他而命名。另外他在《恒河沙数》一书中，他创造了一套记大数的方法，简化了记数的方式，避免了冗长的希腊数字。

（三）阿波罗尼奥斯与《圆锥曲线轮》

阿波罗尼奥斯约BC262年生于佩尔格,在BC190年卒，是一位数学家。它的主要贡献是在前人工作的基础上发展了圆锥曲线理论。他注意图形的几何性质，把前辈们的所得到的圆锥曲线知识，予以严格的系统化，可以收是代表了希腊几何的最高水平，直到17世纪，希腊几何学并无实质性的进步。下面我就来说所《圆锥曲线论》的意义。《圆锥曲线轮》是一部经典巨著，此书集前人之大成，且提出很多新的性质。书中首先证明三种圆

锥曲线都可以由同一个圆锥体截取而得，并给出抛物线、椭圆、双曲线、正焦弦等名称，取代了过去的一些叫法。此书可以是把圆锥曲线的性质网罗殆尽，其他人毫无插足之地。三． 第三时期：BC30-----AD641 这个时期，亚历山大里亚被阿拉伯人占领。从此，希腊数学开始走向了灭亡之路了，史称亚历山大里亚后期。虽然这一时期，希腊数学慢慢隐没，但是也涌现了一批的杰出数学家。这一时期以海伦，帕波斯，丢番图，海帕西娅等人为主要代表。

（一）海伦——测量大师

海伦海伦生于埃及，是古希腊数学家、力学家、机械学家和测量家。海伦以解决几何测量问题而闻名。著名的“海伦公式”就是由他证明得出的。他多才多艺，善于博采众长。在论证中大胆使用某些经验性的近似公式，注重数学的实际应用。他的主要著作右《量度论》一书。他的成就还有：正3到正12边形面积计算法；长方台体积公式；求立方根的近似公式等。

（二）丢番图及其丢番图问题

丢番图是代数学的创始人之一。他认为代数方法比几何的演绎陈述更适宜于解决问题，对算术理论有深入研究，他完全脱离了几何形式摆脱了几何的羁绊，在希腊数学中独树一帜，被后世人叫做“代数学之父”。以下就是著名的丢番图问题，它就是丢番图的墓志铭:

“过路人！这里安葬着丢番图，下面的题目可以告诉你他的寿命多长。他生命的一生的六分之一是幸福的童年，十二分之一是无忧无虑的少年，再过去七分之一的年程，他建立了幸福的家庭。五年后儿子出生，不料儿子竟先其父四年而终，只活到父亲岁数的一半。晚年丧子老人真可怜，悲痛之中度过了风烛残年，也走完了人生的旅程。请问，丢番图活了多大的年纪？”这段碑文散发着文学的芳香，是历史留给我们唯一的有关他的讯息。它相当于方程：设：丢番图X岁。

x=1/6x+1/12x+1/7x+5+1/2x+4

x=25/28x+9

3/28x=9

x=84

现在人们所说的丢番图方程是指对于整系数的不定方程，求其整数解。

（三）海帕西娅——最早的女数学家

海帕西亚大约于AD 3 7 0 年生于埃及的亚历山大里亚。她10岁就知道利用相似三角形对应边成比例的原理去测量金字塔的高度了。海帕西娅是一位科学家，精通数学、医学、哲学．教会感到她的雄辩才能和崇高的声望足以威胁到他们的存在，于是把她视为眼中钉．AD415年3月的一天，在教长西里耳的主谋下，一群暴徒突然把她从马车上拉到教堂里残酷地杀死．这是历史上一桩骇人听闻的宗教迫害科学家的滔天罪行．人称海帕西娅是世界上

第一位女数学家。而她的惨死实为一千古悲剧，也是她的死标志着希腊数学的消亡。

总之，亚历山大时期达到开拓了希腊数学领域，正是由于这个时期的成就，希腊数学才能成为一个比较完整的体系载入史册。而整个希腊数学的消亡是由罗马人的入侵所导致的，罗马统治是欧洲数学将进入了一个漫长的黑暗时期。AD641年，亚历山大里亚被阿拉伯人占领，图书馆再次被焚，希腊数学悠久而又灿烂的历史到此终结了。这是一个遗憾，一个历史的遗憾，一个数学历史的遗憾啊。【参考文献】：

[1]王青建.数学史简编.科学出版社，2004 [2]朱家庄.数学史.高等教育出版社，2011.5 [3]傅海伦.中外数学史概论.科学出版社,2007 [4]李文林.数学史概论.高等教育出版社,2011.2

第二篇：数学史论文

数学史论文 ——中世纪的中国数学

院系：数信学院

班级：数教一班 姓名：韩军香

学号：20120503031 摘要：从公元476年西罗马帝国灭亡到14世纪文艺复兴长达1000多年的欧洲历史称为欧洲中世纪。与希腊数学相比，中世纪的东方数学表现出强烈的算法精神，特别是中国与印度数学，着重算法的概括。算法本来是古代河谷文明的传统，但在中世纪却有了质的提高，它很难再仅仅被看作是简单的经验法则，而是一种归纳思维能力的产物。从公元前后至公元14世纪，前后经历了三次发展高潮，其中宋元时期达到了中国古典数学的顶峰。

关键字：中世纪、中国数学、算法

牙牙学语的时候，我们就开始接触到数学。从简单的加减乘除再到现在的高等数学。数学与我们的生活息息相关，贯穿了我们的整个学习过程。那数学又有怎样一段历史呢？下面是对中世纪的数学的简单介绍：

一、《周髀算经》与《九章算术》

（一）、《周髀算经》：编纂于西汉末年，天文学著作。西汉末年﹝公元前一世纪﹞编纂的《周髀算经》，尽管是谈论盖天说宇宙论的天文学著作，但包含许多数学内容，在数学方面主要有两项成就：(1)提出勾股定理的特例及普遍形式；(2)测太阳高、远的陈子测日法，为后来重差术（勾股测量法）的先驱。此外，还有较复杂的开方问题和分数运算等。

（二）、《九章算术》：中国传统数学最重要的著作，全书246个问题，分成九章。它完整地叙述了当时已有的数学成就，在长达一千多年间，一直作为中国的数学教科书，并被公认为世界数学古典名著之一。《九章算术》标志以筹算为基础的中国古代数学体系正式形成。《九章算术》是一部经几代人整理、删补和修订而成的古代数学经典著作，约成书于东汉初年﹝公元前一世纪﹞。全书采用问题集的形式编写，共收集了246个问题及其解法，分属于方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程和勾股九章。主要内容包括分数四则和比例算法、各种面积和体积的计算、关于勾股测量的计算等。在代数方面，《方程》章中所引入的负数概念及正负数加减法法则，在世界数学史上都是最早的记载；书中关于线性方程组的解法和现在中学讲授的方法基本相同。就《九章算术》的特点来说，它注重应用，注重理论联系实际，形成了以筹算为中心的数学体系，对中国古算影响深远。它的一些成就如十进制值制、今有术、盈不足术等还传到印度和阿拉伯，并通过这些国家传到欧洲，促进了世界数学的发展

二、刘徽与祖冲之

（一 刘徽公元263年撰《九章算术注》，系统地阐述了中国传统数学的理论体系与数学原理，奠定了这位数学家在中国数学史上的不朽地位，成为中国传统数学最具代表性的人物。

刘徽数学成就中最突出的是“割圆术”，他运用“割圆术”得出圆周率的近似值为3927/1250（即3.1416）；在《商功》章中，为解决球体积公式的问题而构造了“牟合方盖”的几何模型，为祖暅获得正确结果开辟了道路；为建立多面体体积理论，运用极限方法成功地证明了阳马术；他还撰著《海岛算经》，发扬了古代勾股测量术----重差术。

（二）祖冲之（公元429年─公元500年）是我国杰出的数学家，科学家。南北朝时期人，汉族人，字文远。祖冲之从小接受家传的科学知识。青年时进入华林学省，从事学术活动。一生先后任过南徐州（今镇江市）从事史、公府参军、娄县（今昆山市东北）令、谒者仆射、长水校尉等官职。其主要贡献在数学、天文历法和机械三方面。

著作《缀术》取得了圆周率的计算和球体体积的推导两大数学成就。祖冲之算出圆周率在3．1415926与3．1415927之间，并以355/113（=3．1415929„）为密率，22/7（=3．1428„）为约率，他计算圆周率，取得当时世界最先进成就，900多年之后，其精度方被人超过。《缀术》的另一贡献是祖氏原理 ：幂势既同则积不容异，在西方文献中称为卡瓦列里原理，或不可分量原理。

祖冲之在圆周率方面的研究，有着积极的现实意义，适应了当时生产实践的需要。他亲自研究过度量衡，并用最新的圆周率成果修正古代的量器容积的计算。隋唐时期以后，人们制造量器时就采用了祖冲之的“祖率”数值。

（三）《算经十书》：隋唐时期是中国封建官僚制度建立时期，随着科举制度与国子监制度的确立，数学教育有了长足的发展。656年国子监设立算学馆，设有算学博士和助教，由太史令李淳风等人编纂注释《算经十书》﹝包括《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《张丘建算经》、《夏侯阳算经》、《缉古算经》、《五曹算经》、《五经算术》和《缀术》﹞，作为算学馆学生用的课本。对保存古代数学经典起了重要的作用。它们是唐代以前的主要数学著作，代表了中国古代数学的光辉成就。传本《周髀算经》，有赵爽注、甄鸾注等，当时被称为“算经”。

三、宋元数学

宋元时期是中国数学发展的高峰，这一时期重新统一了的中国社会发生了一系列有利于数学发展的变化，以筹算为主要内容的中国传统数学达到了鼎盛时期。还涌现了许多杰出的数学家和先进的数学计算技术，是数学全盛时期，其印刷出版、记载着中国传统数学最高成就的宋元算书，是世界文化的重要遗产。

(一)贾宪三角与秦九韶“正负开方术”

1、贾宪（约公元11世纪）约1050年完成《黄帝九章算术细草》，发明了“增乘开方法”，创造了“开方作法本源图”。杨辉《详解九章算法》（1261）载有“开方作法本源”图，注明“贾宪用此术”。这就是著名的“贾宪三角”，或称“杨辉三角”。《详解九章算法》同时录有贾宪进行高次幂开方的“增乘开方法”。

他的一些独到的数学思想和方法，主要有以下两点。

（1）、抽象分析法：在研究《九章》过程中，贾宪使用了抽象分析法，尤其在解决勾股问题是更为突出，他首先提出了“勾股生变十三图”。他完备了勾股弦及其和差的所有关系，说这些关系“有用而取，无用不取，立图而验之”，说明他已经抛开《九章》算题本身而对勾股问题进行抽象分析了。

（2）、程序化方法：主要是指探究问题的思维程序、过程和步骤.适用于同一理论体系下，同一类问题的解决。贾宪的“增乘开方法”和“增乘方求廉法”尤其集中地体现了这一方法，2、秦九韶（约1202－1261年）1247年完成数学名著《数书九章》，推广了增乘开方法，叙述了高次方程的数值解法，他列举了二十多个来自实践的高次方程的解法，最高为十次方程。其中两项贡献使得宋代算书在中世纪世界数学史上占有突出的地位。一是创立了“大衍求一术”（中国剩余定理），二是提出了“正负开方术”。“秦九韶算法”，一般地，一元n次多项式的求值需要经过[n（n+1）]/2次乘法和n次加法，而秦九韶算法只需要n次乘法和n次加法。在人工计算时，一次大大简化了运算过程。特别是在现代，在使用计算机解决数学问题时，对于计算机程序算法而言秦九韶算法可以以更快的速度得到结果，减少了CPU运算时间。

（二）内插法与垛积术

1、郭守敬（1231－1316年）1280年完成了中国古代最精密的历法《授时历》，列出了三次差的内插公式。郭守敬还运用几何方法求出相当于现在球面三角的两个公式。郭守敬建造的河南登封观星台（1276）留存至今。

2、杨辉（公元13世纪）1261年完成《详解九章算法》，其中主要的数学贡献是“垛积术”，另一贡献是所谓的“杨辉三角”，其实是记载了贾宪的工作。杨辉在《详解九章算法》中用“垛积术”求出几类高阶等差级数之和。公元1274年他在《乘除通变本末》中还叙述了“九归捷法”，介绍了筹算乘除的各种运算法。他署名的数学书共五种二十一卷。他是世界上第一个排出丰富的纵横图和讨论其构成规律的数学家。

杨辉在《详解九章算法》一书中还画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角图形，称做“开方做法本源”，现在简称为“杨辉三角”。

(三)天元术与四元术

1李冶（1192－1279年）1248年撰成代数名著《测圆海镜》，该书是首部系统论述“天元术”的著作，是符号代数的尝试，在数学史上具有里程碑意义。李冶在数学上的主要成就是总结并完善了天元术，使之成为中国独特的半符号代数。这种半符号代数的产生，要比欧洲早三百年左右。他的《测圆海镜》是天元术的代表作，而《益古演段》则是一本普及天元术的著作。

所谓天元术，就是一种用数学符号列方程的方法，“立天元一为某某”相当于今“设x为某某”是一致的。李冶则在前人的基础上，将天元术改进成一种更简便而实用的方法。他讨论了在各种条件下用天元术求圆径的问题，写成《测圆海镜》十二卷，这是他一生中的最大成就。

2、公元1303年，元代朱世杰著《四元玉鉴》，它是中国宋元数学高峰的又一个标志，他把“天元术”推广为“四元术”（四元高次联立方程）,并提出消元的解法，欧洲到公元1775年法国人别朱才提出同样的解法。朱世杰还对各有限项级数求和问题进行了研究，在此基础上得出了高次差的内插公式，欧洲到公元1670年英国人格里高利和公元1676一1678年间牛顿才提出内插法的一般公式。

“四元术”，也就是列出四元高次多项式方程，以及消元求解的方法。他的主要贡献是创造了一套完整的消未知数方法，称为四元消法。主要著作是《算学启蒙》与《四元玉鉴》，《四元玉鉴》中还有两项重要成就，即创立了一般的高阶等差级数求和公式及等间距四次内插法公式，后者通常称为招差术。

中国中世纪的数学家的学习探索精神值得我们借鉴和学习，但是，我们也要看到时间数学史的发展历程，有其实近代数学史，中国已经被甩在后头，这需要我们清醒的认识!“取其精华去其糟粕”这是千古名言，需要我们牢记。

参考文献：

1、张维忠.数学, 文化与数学课程[ M].上海: 上海教育出版 社, 1999

2、斯科特，数学史 中国人民出版社

3、费泰生.算法及其特征[ J].数学通讯, 2004, 7

4、李文林，数学史教程 高等教育出版社 斯普林格出版社

5、张奠宙.算法[ J].科学, 2003, 55(2)

第三篇：数学史论文

论文摘 要：数学史教育对学生数学的学习和数学思想方法的领悟是十分重要的。当前中学数学史教育的主要现状是其内容和方法不能满足学生对数学学习的需要。数学史教育应与日常的数学教育有机地结合起来。

一、引言

数学史是研究数学的发生、发展过程及其规律的一门学科，它研究的主要对象是历史上的数学成果和影响数学发展的各种因素，探索前人的数学思想，借以指导数学的进展。并预见数学的未来。我国数学家吴文俊说过：“数学教育和数学史是分不开的。”本课题研究针对“现行教材中的有关数学史知识是否能满足学生的强烈求知欲”、“数学史知识对学生的学习到底有何帮助”、“数学课堂教学中应该如何渗透数学史”等问题进行了探讨。目的是通过对中学数学史教育现状的调查。发现问题并提出建议，以促进中学数学史教育。

二、调查对象和方法

调查的对象是浙江省平湖市城关中学一(4)、一(6)班，东湖中学二(2)、二(3)班和南市中学三(1)、三(4)班共290位学生。主要采用问卷调查的方法。共发放问卷290份，回收率100％，其中有效问卷275份，有效率94.83％。

此次调查共分三个步骤进行：(1)首先对问卷进行了仔细的研究，尽量使问卷题目准确地反映调查者的目的，提高问卷的效度。(2)随机选择三所学校的六个班级进行问卷调查。(3)在问卷调查之前对学生做了必要的引导，避免学生出现不必要的心理负担。保证了答卷的真实性和可靠性。

三、调查结果和分析

1、大部分学生喜欢数学史知识

从调查结果看，只有极少数学生不喜欢数学史；有半数以上的学生觉得数学史学习对于他们平时的数学学习是有帮助的：大部分学生认为数学课介绍数学史知识是有必要的。他们希望老师在上课的时候结合课堂内容讲一些数学史方面的知识。学生对于数学史知识的获得很依赖教师的讲解，笔者也觉得教师在学生数学史知识的学习中起着重要的指导作用，课堂教学是渗透数学史知识的主要阵地，通过数学史知识的介绍，可以引发学生学习数学的兴趣，促使学生有意识地关注数学史知识。

2、目前教材的处理和教学方法不能满足学生的需要

对问卷“(5)你希望数学史的知识以怎样的形式穿插在数学教材中”、“(7)你最希望得到的是哪方面的数学史知识”、“(4)你认为数学教材中的数学史内容是否丰富”、“(8)你们老师在数学课上是否经常介绍数学史知识”这四道题的调查显示。现行初中数学教材中的数学史内容以旁注阅读材料的形式穿插于其中是为绝大多数学生所接受的。对(4)题，只有6.18％的学生认为是丰富的，对(8)题，只有7.37％的学生认为是经常的。可见数学教材中的数学史内容还远远不能满足学生对数学史知识的渴望，在课堂教学中融入数学史知识做得还很不够。从调查结果中还可以看出，学生是希望知道数学知识的产生过程。希望知道数学家的生平事迹，希望了解数学的新发明、新成果。等等。从问卷的第(9)题“写出你知道的若干数学家的名字”中，绝大多数学生写出了陈景润、华罗庚、祖冲之、高斯等数学家的名字，很少有学生写出牛顿、欧拉、莱布尼兹、拉格朗日、费马等国外大数学家的名字。由此可见。绝大多数学生对于数学家的情况了解不多。

四、数学史教育的建议

1、课堂教学是融入数学史知识的主阵地

(1)运用数学史知识进行新课引入

一节新课，好的引入能引起学生的注意力，激发起学生的求知欲望。运用数学史知识导入新课。能让学生了解相关知识的来龙去脉。例如在学习等比数列时。可以向学生介绍古代印度国王奖赏国际象棋发明者的故事来引入。这样，学生的学习热情定能高涨，也就有可能进入学习状态。

(2)运用数学史知识作为教学结尾

一堂课的收尾也会令人回味无穷、浮想联翩。产生强烈的求知欲。譬如陈景润的老师在讲完整数的性质后这样说：“自然科学的皇后是数学，数学的皇冠是数论，而哥德巴赫猜想则是皇冠上的一颗明珠，这是一颗金光闪耀的明珠，你们谁能把这颗明珠摘到手呢?”正是老师的这番话在陈景润心中播下了哥德巴赫猜想的种子。因此，恰当地运用数学史知识作为教学结尾，能激起学生的学习情感，使其“余音绕梁。三日不绝”!

(3)运用数学史知识介绍数学知识的产生过程。数学教学的重要任务之一就是要学生了解数学知识产生的背景。应通过生动的史料知识让学生知道数学知识产生、发展的历史进程。例如，为了让学生了解函数概念的产生背景。并从中获得深刻的理解。可通过瑞士数学家约翰O柏努利对函数概念进行了扩张，把“由变数X和常数所构成的式子，叫做X的函数”。再后来欧拉将可以“解析表示的量”称为函数。此后又经过了三次扩张，才得到如今中学教材中函数的概念。只有当学生了解函数的多次扩张的发展史，才能更好地认识和掌握它。

2、数学史内容的选择

介绍数学史的内容要注意连续性。作为十七世纪数学的三大成就，介绍对数的发明、解析几何的诞生。也就应该介绍微积分的创立。即便是对同一内容的介绍。也应遵循连续性。而且插入的数学史内容应与教材恰当地融合。还有，在课堂中穿插数学史的故事。不一定仅仅局限于数学家。事实上。历史上那些并非是数学家的名人学习和钻研数学的故事对学生、尤其是对那些不喜欢数学的学生来说，同样能产生教育的效果。

3、改变时间观念

介绍数学史我们可以用多种方法，可以详细讲、也可以简略介绍，增加这些内容不会对学生造成很大的负担。只会增加教学内容的趣味性、灵活性和可读性。我们不一定都在课堂上渗透，可以让学生自己进图书馆或通过网络查找相关资料进行学习而获得。对于重点教学内容(如：对数的发明，函数定义简史，等差数列与等比数列等)，教师可以利用课前5－10分钟进行介绍。或融入在课堂教学之中。

4、运用数学史开展研究性学习

以数学史为载体开展一些研究性学习活动，可以让学生体会到数学与生活通常是完美、和谐地相结合的。在数学教学中渗透数学史知识，给学生提供丰富的数学史料。为学生提供有效的学习方法，从而产生持久的学习动力。学生从教师那里获得的知识，经过自己的思考、探索，更能发现知识的欠缺，从而明确前进的方向。

5、开展丰富多彩的课外活动

数学史在课堂上的讲解是很有限的。有时需要结合班会、数学知识竞赛等丰富多彩的课外活动来加强数学史知识的学习氛围。比如，开设数学角、数学信箱等，征集学生感兴趣的数学史知识予以学习交流。这些活动具有一定的计划性和多样性，在课外活动中学生的身心得到放松，获取的知识更能得到切实的效果。而且通过亲自动手收集资料，可化被动学习为主动学习。同时对其它功课的学习都有一定的帮助。

在数学教学中融入数学史知识，力求保证学生掌握基本的数学思想、基础的数学知识和技能。形成对数学比较全面的认识；让学生了解教材中所安排的与学习内容相关的数学发展史和数学家的传记、数学发展趋势和潜力等：充分体会数学发展的历史所蕴含着的丰富的数学思想和方法。这既是发展学生智力和培养学生创新意识的基础，也是提高学生数学素养的有效手段。

第四篇：数学史小论文

数学史小论文

圆周率的历史作用

中文摘要：圆周率，一般以π来表示，是一个在数学及物理学普遍存在的数学常数。它定义为圆形之周长与直径之比。它也等于圆形之面积与半径平方之比。是精确计算圆周长、圆面积、球体积等几何形状的关键值。圆周率是一个常数（约等于3.1415926），是代表圆周长和直径的比例。它是一个无理数，即是一个无限不循环小数。圆周率在生产实践中应用非常广泛，在科学不很发达的古代，计算圆周率是一件相当复杂和困难的工作。因此，圆周率的理论和计算在一定程度上反映了一个国家的数学水平。

圆周率是极其驰名的数。从这个数有文字记载历史开始，这个数就引起了外行人和学者的兴趣。几千年来，无数古往今外为此奉献出自己的智慧和劳动。

巴比伦人最早发现了圆周率。1600年，英国威廉奥托兰特首先使用pi表示圆周率，因为pi是希腊之“圆周”的第一个字母。1706年，英国的琼斯首先使用pi。1737年，欧拉在其著作中使用，后来被数学家广泛接受，一直沿用至今。pi是一个非常重要的常数，一位德国数学家评论道：“历史上一个国家所算得的圆周率的准确程度，可以作为衡量这个国家当时数学发展水平的重要标志，古今中外很多数学家都孜孜不倦地寻求过值的计算方法。从埃及道巴比伦到中国一直都在对圆周率的精确值做出研究。

早期的测算中人们使用了很粗糙方法。古埃及、古希腊人曾用谷粒摆在圆形上，以数粒数与方形对比的方法取得数值。或用匀重木板锯成圆形和方形以秤量对比取值„„由此，得到圆周率的稍好些的值。

在我国东、西汉之交，新朝王莽令刘歆制造量的容器――律嘉量斛。刘歆在制造标准容器的过程中就需要用到圆周率的值。他得到一些关于圆周率的并不划一的近似值，分别为3.1547，3.1992，3.1498，3.2031，比径一周三的古率已有所进步。人类的这种探索的结果，当主要估计圆田面积时，对生产没有太大影响，但以此来制造器皿或其它计算就不合适了。此外为我们所知的就是祖冲之了。

公元前200年间古希腊数学家阿基米德首先从理论上给出pi值的正确求法。他专门写了一篇论文《圆的度量》用圆外切与内接多边形的周长以大小两个方向上同时逐步逼近圆的周长，巧妙地求得pi。这是第一次在科学中创用上下界来确定近似值，公元前150年左右，另一位古希腊数学家托勒密用弦表法（以1的圆心角所对弦长乘以360再除以圆的直径）给出了pi的近似值3.1416。

公元200年间，我国数学家刘徽在注释《九章算术》中独立发现了用几何方法求圆周率的方法，称之为“割圆术”。刘徽由正六边形开始，不断倍增正多边形的边数。

公元前200年间古希腊数学家阿基米德首先从理论上给出pi值的正确求法。他专门写了一篇论文《圆的度量》用圆外切与内接多边形的周长以大小两个方向上同时逐步逼近圆的周长，巧妙地求得pi。这是第一次在科学中创用上下界来确定近似值，公元前150年左右，另一位古希腊数学家托勒密用弦表法（以1的圆心角所对弦长乘以360再除以圆的直径）给出了pi的近似值3.1416。

公元200年间，我国数学家刘徽在注释《九章算术》中独立发现了用几何方法求圆周率的方法，称之为“割圆术”。刘徽由正六边形开始，不断倍增正多边形的边数。边数越多越接近圆，最后刘徽求得π≈ 3.1416。

刘薇与阿基米德的方法有所不同，他只从圆内接正六边形入手，也是不断将边数加倍，只是刘薇用正多边形的面积逼近圆的面积。刘薇认为：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣。”包含有朴素的极限思想。公元460年，南朝的祖冲之利用刘薇的割圆术，把值算到小数点后第七位3.1415926。这个具有七位小数的圆周率当时是世界首次，祖冲之还找到了两个分数22、7和355、113。用分数来代替pi，极大地简化了计算，这种思想比西方早一千年。可见当时的中国数学家对圆周率的值作了比较的精确计算为中国日后的数学发展起着举足轻重的作用。1579年法国韦达发现了关系式，首次摆脱了几何学的陈旧方法，寻求到了pi的解析表达式。1650年瓦里斯把pi表示成无穷乘积，无穷连分数，无穷级数等各种值表达式纷纷出现，值计算精度也迅速增加。稍后，莱布尼茨发现接着欧拉证明了这些公式的计算量都很大。尽管形式非常简单，pi值的计算方法的最大突破是找到了它的反正切函数表达式。1706年英国数学家麦欣首先发现了其计算速度远远超过方典算法。

某个古代文牍员以不同长度的半径画了一些圆，他取了每个圆的直径（将半径加倍）只是为了好玩。他决定以每个圆的直径为单位长度在圆周上丈量。令人惊奇的是，不管圆的大小如何，圆周总是直径的3倍多一点。由于pi与圆的特殊关系，故数学家设计用来计算出圆的面积和周长的新方法。

为什么数学家们还象登山运动员那样，奋力向上攀登，一直求下去而不是停止对 π 的探索呢？为什么其小数值有如此的魅力呢？这其中大概免不了有人类的好奇心与领先于人的心态作怪，但除此之外，还有许多其它原因。

1、它现在可以被人们用来测试或检验超级计算机的各项性能，特别是运算速度与计算过程的稳定性。

2、计算的方法和思路可以引发新的概念和思想。π 的故事讲述的是人类的胜利，而不是机器的胜利。

3、还有一个关于 π 的计算的问题是：我们能否无限地继续算下去？

4、作为一个无穷数列，数学家感兴趣的把 π 展开到上亿位，能够提供充足的数据来验证人们所提出的某些理论问题，可以发现许多迷人的性质。如，在 π 的十进展开中，10个数字，哪些比较稀，哪些比较密？ π 的数字展开中某些数字出现的频率会比另一些高吗？或许它们并非完全随意？这样的想法并非是无聊之举。只有那些思想敏锐的人才会问这种貌似简单，许多人司空见惯但却不屑发问的问题。

在这方面，还有如下的统计结果：在60亿数字中已出现连在一起的8个8；9个7；10个6；小数点后第710150位与3204765位开始，均连续出现了七个3；小数点52638位起连续出现了14142135这八个数字，这恰是的前八位；小数点后第2747956位起，出现了有趣的数列876543210，遗憾的是前面缺个9；还有更有趣的数列123456789也出现了。如果继续下去，看来各种类型的数字列组合可能都会出现。

背诵圆周率能够锻炼人的记忆力，我国桥梁专家茅以升年轻时就能背诵圆周率锻炼记忆力。晚年时仍能轻松地背出圆周率的100位数值。

可见圆周率pi不仅与我们身边的数学紧密相连更与我们的生活息息相关。俗话说得好，“有理走遍天下，无理寸步难行”圆周率pi就好比这个“理”。有了圆周率pi不仅解决了困惑众多数学家的三大著名几何问题之一的化圆为方的不可能性更为后续的数学研究奠定了基础。

参考文献：

[1].李文林.数学史概论:北京：高等教育出版社，2002年8月 [2].王树禾.数学思想史；北京：国防工业出版社，2003年1月

第五篇：数学史论文三角恒等变换论文

数学史论文三角恒等变换论文：数学史对数学教学的启发意

义

摘 要：数学史对数学教育的积极作用，已经得到国内外的普遍认可，也提出了许多可操作的方法，可以根据不同的教学内容，做出适当的选择。新课改的北师大版高中数学教材中三角恒等变换开始用解析几何的方法推导出三角恒等式，教材安排的非常简练、严密，但是为了更好地帮助学生理解和记忆，可以参考数学史上不同时期的数学家探索三角变换的过程，会对教学提供一些有益的启发。

关键词：数学史；数学教学；三角恒等变换

一、研究的背景

数学是一门高度抽象的学科，不仅数学的概念是抽象的和思辨的，而且数学的思想和方法也是抽象和思辨的（亚历山大洛夫，1988），数学教学不仅要教会学生用数学工具解决问题，更要让学生理解数学中所用到的思想和方法，这是数学的灵魂。

历史上许多大数学家都很重视数学史知识对数学学习所起的积极作用，但真正开始系统地研究他们之间的关系却是在1972年，在第二届国际数学教育大会上，成立了数学史与数学教学关系国际研究小组（international study group on the relations between history and pedagogy of mathematics，简称hpm），该小组成立近30年来，对于如何

将数学史与数学教育作联结，进而对数学教学的改善和数学课程的发展有所帮助，提供数学教师多种可以使用的资源提出了许多建议，受到国界数学教育界的关注。

我国的数学课程改革为我们的hpm研究提供了现实的背景和实践的空间，事实上新课程标准有对数学史知识的要求“数学课程应适当反映数学发展的历史、应用和趋势，„„应帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用，逐步形成正确的数学观”，因此，数学史与数学教育的研究应该成为中学数学教师关注并引领实践的重要内容。我国的李俨、钱宝琮、沈康身、汪晓勤、韩祥林几位前辈在数学史的研究过程中著作颇丰，尤其是汪晓琴、韩祥林两位教授在hpm研究方面取得了很多成果。对于怎样在数学教育中融入数学史他们介绍了一种注入历史的教学法——发生教学法（genetic approach to teaching and learning）。该方法需要：（1）数学教师了解所教主题的历史；（2）确定该主题发展的关键步骤；（3）重新构建关键步骤，使之适用于课堂教学；（4）重构步骤按从易到难的系列问题给出，后面的问题建立在前面问题的基础上。（如图1）

二、数学史作用于数学教学的案例

如北师大版高中数学必修4第三章三角恒等变换中的内容，从教材内容来看，主要是两角和与差的正弦、余弦和正切公式以及简单的恒等变换。但是对很多学生来说，三角变

换成了大堆的公式，成了符号和文字的组合，学生对它的理解也是机械的记忆，不利于学生对三角变换的理解。

为了更好地促进学生学习本章的内容，我们可以参照古希腊天文学家托勒密为了制作弦表而提出的托勒密定理：圆内接四边形的对角线乘积等于两对边乘积之和。（如图2）

设abcd是直径为1的圆o的内接四边形，对角线bd为圆的直径，∠abd=α，∠dbc=β，利用托勒密定理即可得和角公式sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ（证明略），差角公式也可以用类似的证明，但是这个证明的几何推理相对比较繁琐，让学生感觉好像是在学习习近平面几何，有喧宾夺主的感觉，有人参照该证明方法和勾股定理的几何证明给出了如下的几何证明差角公式的方法。（如图3）oa=1，∠aoc=α，∠bod=β，由该图容易证明两角差的余弦公式：cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ非常简明直观的给出了和角公式的几何意义，虽然这里的角都是锐角的形式，还没有进行角的推广，如直角、钝角甚至任意角的情况的证明，但是有助于学生运用先前的平面几何的知识迅速的掌握和角公式。而本章后面的公式都可以用类似的方法证明，这里不再赘述。

三、数学史支持数学教学的优势

我们可以将数学史上的类似知识同教材中的内容相互结合，更好地促进教学，让代数与具体的图形连接起来，可

以让代数证明不再是抽象的文字游戏，让代数结论展现在直观的几何图形之上，有助于提升学生的学习动机与抽象公式的具体化。而在数学史上还有大量类似的知识，对教师的数学教学和学生的数学学习提供有力的支持，其中所体现的思想方法对学生也有重要的启发意义。另外，现代的信息技术也可为数学史融入数学教学提供了技术支持，如何在技术的支持下实现数学史融入数学教学效果的最优化，也是一个值得探索的问题。

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标准：实验［m］．北京：人民教育出版社，2003．

［2］汪晓勤，韩祥林.中学数学中的数学史.科学出版社，2002.