毕业论文--线性空间的直和分解的若干方法（全文5篇）

第一篇：毕业论文--线性空间的直和分解的若干方法

线性空间的直和分解及相关性质

张海诚 数学计算机科学学院

摘 要：线性空间直和分解问题在数学的许多领域有着广泛的应用。本文给出了线性空间V分解为它的线性变换的核Ker与象Im的直和的一个充分条件为为幂等变换，并且给出了线性空间在线性变换多项式下的直和分解定理以及线性变换的Jordan标准型与线性空间的直和分解的关系。此外，也探究了直和运算的相关性质及无穷维线性空间的直和分解问题。

关键词：线性变换；幂等变换；Jordan标准型；直和分解；直和运算

The straight sum decomposition of linear space and related

properties

Zhang Haicheng School of mathematics and computer science

Abstract:The theorem which is the straighe sum decomposition of linear space has been widely applied in many fileds of mathematics.In this paper,we have established a sufficient condition that linear space V is decomposed to the direct sum of Linear transformation kernel Ker and image Im,which is the idempotent transformation.Besides,A theorem which is the straight sum decomposition of linear space under a linear transformation polynomial is given,and the relate result is generalized.In addition,wo have also explored some related properties of the operations for direct sum,and the straight sum decomposition of infinite dimensional linear space.Key words:linear transformation;idempotent transformation;Jordan standard;straighe sum decomposition;straighe sum operation

线性空间写成其子空间直和的若干方法:

一.V分解为Ker与Im的直和的条件 1.问题的提出

设是数域F上线性空间V上的一个线性变换，在V是有限维向量空间的情形，我们有：的核Ker与的象Im的维数之和等于V的维数，即：

dim Ker+dim Im=dim V 这就提出这样一个问题：V能否分解为的核Ker与象Im的直和？ 虽然子空间Ker与Im的维数之和等于dim V，但是Ker+ Im并不一定是整个空间V。

例如，在线性空间Fxn中，求导数D的象Im（D= Fxn-1，D的核）=F.Ker（D）显然，F+Fxn-1Fxn,更不会有Fxn=FFxn-1成立.那么，满足什么条件，V能分解为Ker与Im的直和呢？

1.1V分解为Ker与Im的直和的条件 我们先证明一个引理.引理1.1.1 设是数域F上线性空间V上的一个线性变换，并且满足，则 Ker={ -（）：V}.2=（为幂等变换）证明 令W= { -（）：V}, 先证明Ker W.对任意的 Ker，有（）=，因此

=-=-（）W，即得Ker W.其次证明，W  Ker.对任意的 W，存在V，使得=-（）.2由于2=，则对任意的V，有（.）=（）2于是（）=（-（））=（）=.-（）即：（）=，可得：Ker（），因此W  Ker.综上所证，可得Ker=W，引理得证.由引理可得如下定理：

定理1 设是数域F上线性空间V的一个线性变换，并且满足2=，则有

V=Ker（）Im（）证明 由引理 Ker={ -（）：V}.则对任意的V，有=（-（））+（）.即：Ker（），所以V Ker+Im.+Im（）（）而显然有Ker+Im.（）（）V，于是V= Ker+Im

此外，对任意的 Ker Im，有：（）. Ker且Im（）由 Ker，得（）=;而Im，故存在V，使得=（）.（）2此时，=（）=（=（）=.）即：对任意的 Ker Im，有=.（）由此 Ker Im={}，因此V=Ker（）.（）Im（）

1.2上述定理，条件2=不是必要的.我们看下面的例子

例1 令F4表示数域F上四元列空间，取矩阵

 1-1 5-1 1 1-2 3 对任意的F4，令（）=A，则阵乘变换A=  3-1 8 1 1 3-9 7是一个线性变换，且的核Ker是以A为系数矩阵的四元齐次线性方程组的解空间.37T求解齐次线性方程组AX=，得一组基础解系3=（-1 0），22T4=（-1-2 0 1）.因此Ker=L（3，4）.而的象Im为A的列空间，可得Im=L（1，2）,这里

TT1=（1 1 3 1），2=（-1 1-1 3）.因为1，2，3，4线性无关，从而作成F4的一个基，故：

F4= Ker+ Im.并且有dim F4=dim Ker+dim Im，因此F4= Ker Im.T但此时，2.事实上，存在1=（1 0 0 0）F4，使得 TT2(1)A2(1)=，（1）=A1=，即：（14-1 27-16）（1 1 3 1）2(1)(1)，因此，2.所以，在定理中，条件2=不是必要的.定理1说明了线性空间V上的幂等变换能够使V= KerIm成立，即给V带来了直和分解.为幂等变换是V分解为Ker与 Im的直和的充分而不必要条件.然而，如果已知线性空间V的一个直和分解，则由该直和分解同样也可带来幂等变换.定理2 设V是数域F上的一个线性空间，U，W是V的两个子空间，且V=UW.任取V，设=1+2，其中1U，2W.令

u：VV，=1+21.则u是V上的一个线性变换，称u是平行于W在U上的投影，它满足u（）=

,当U，当W（1）且满足（1）式的V上的线性变换是唯一的.证明 由于V=UW，因此表示成U的一个向量与W的一个向量之和的方式唯一，12，从而u是V到V的一个映射。任取V中两个向量=1+2，其中

1、1U，

2、2W，则1+1U，2+2W.从而u（+）=u[（1+1）+（2+2）]=1+1=u（）+u（）.u（k）=u（k1+k2）=k1=ku（），kF.因此，u是V上的一个线性变换.如果U，则=+，从而u（）=； 如果W，则=+，从而u（）=.设V上的线性变换也满足（1）式，任取V，设=1+2,其中1U，2W.则（）=（1+2）=（1）+（2）=1+=1 =u（），因此，=u.类似地，定义w（）=2，则w也是V上的一个线性变换，称它为平行于U在W上的投影.系1 设V是数域F上的一个线性空间，U，W是V的两个子空间，且V=UW，则投影变换u、w均是V上的幂等变换，而且u与w是正交的.证明 任取V，设=1+2，1U，2W，则2u（）=u（u（））=u（1）=1=u（）；

uw（）=u（w（））=u（2）=；）=w（1）=;wu（）=w（u（）因此，2u=u，uw=wu=，类似有2w=w.以上定理说明线性空间V上的幂等变换与线性空间的直和分解有着密切的关系，我们有必要研究幂等变换的性质.系2 设是数域F上n维线性空间V上的线性变换，是幂等变换的充要条件是rank（）+rank（-）=n.二.线性空间在线性变换多项式下的直和分解

首先给出线性空间在一类线性变换多项式下的直和分解定理：

引理2.1 f(x)，g(x)Px，且(f(x),g(x))=1，是数域P上的n维线性空间V上的线性变换，f()g().则Im（f()）=Ker（g()），Ker（f()）=Im（g()）.证明 任取 Im（f()），则存在V使得：=f().所以g()=g()[f()]=f()g()==.从而 Ker（g()），即Im（f()）Ker（g()）.另一方面 因为（f(x)，g(x)）=1，所以存在u(x),v(x)Px，使得u(x)f(x)v(x)g(x)即：u()f()v()g().任意 Ker（g()），即g()=.所以=u()f()v()g()=u()f()=f()[u() Im（f()）.因此Ker（g()） Im（f()）.故：Im（f()）=Ker（g()）.同理可证Ker（f()）=Im（g()）.定理3（空间分解定理）设f()f1r1()f2r2()fsrs()，fi()(i1,2,,s)为不可约多项式且彼此不同，是数域P上的n维线性空间V上的线性变换，f().则

VV1V2Vs，其中Vi:firi(),V,(i1,2,,s).证明 分3步完成 1）令gi()f()(i1,2,,s)firi()则（gi(),firi()）=1，gi()firi()=f()=.所以Vigi()V=Im（gi()），(i,2,1,)s.2）又(g1(),g2(),,gs())1，则存在ui()P,(i1,2,,s)使得

u1()g1()u2()g2()us()gs()1.即：u1()g1()u2()g2()us()gs().任取V，则u1()g1()u2()g2()us()gs()=12s，其中iui()gi()=gi()[ui()Imgi()=Vi，(i1,2,,s).所以V=V1V2Vs.3）假设iVi= Im（gi()），(i1,2,,s)，1++s= 即iVi，firi()i=(i1,2,,s).又fjj()|gj()（ji，i,j1,2,,s)，则gi()j=（ji）.而gi()（1++s）=，所以gi()i=，(i1,2,,s).又（gi(),firi()）=1，所以有多项式r()，h()使得：

ih()firi()r()gi()1，即有：ih()rf()ir(gi)(i，ir(i1,2,,s)

故：VV1V2Vs.定理4 设线性变换的特征多项式为f()，它可以分解成一次因式的乘积：f()(1)r1(s)rs.则V可以分解成不变子空间的直和：VV1V2Vs，其中Vi:(i)ri,V.定理5 设是数域F上n维线性空间V上的线性变换，m()为的最小多项式，且m()=P其中Pi()为不可约因子且（Pi(),Pj()）=1（ji，1()P2()Ps()，()V，i,j1,2,,s).则VV1V2Vs，其中Vi:Pi(i1,2,,s).以上三个直和分解定理均是Hamilton-Cayley定理的重要应用.线性空间直和分解问题在数学、力学、物理学及许多领域有着广泛的应用.现在给出直和分解定理应用的例子.例2 考虑4维线性空间V=R4中由矩阵A决定的线性变换：=A,任意

 1 1-1 0 0 1 0 3V，的直和分解问题.其中A= 0 0 1 3. 2 0-1 2此时，线性变换的特征多项式为：f()det(EA)(1)2(235)它在实数域R上只有特征值11(二重，r12)，P()235在R上不可约.由直和分E)解定理，可以计算出V1:(A2T,V2 3 0 2L(2=（）1 2 2 0,-）1T,，）； 11=（TTV2:(A23A5E),V=L(3,4)，3=（0 0 0 1）,4（0 1 1 0）.容易验证1，234为V的一组基.显然V=R4为V1,V2的直和.三.线性变换的Jordan标准型与线性空间的直和分解

定理6 复数域上有限维线性空间的每一个线性变换都有Jordan标准型，并且这个Jordan标准型矩阵除去其中若尔当的排列次序外是被线性变换唯一决定的.Jordan标准型的求法：

1）首先用初等变换化特征矩阵E-A为对角形式，然后将主对角线上的元素分解成互不相同的一次因式方幂的乘积，则所有这些一次因式的方幂（相同的按出现的次数计算）就是A的全部初等因子.010ni（-0）对应一个若而当块Ji1.2）每一个初等因子

00niniJ13）(n1n2nsn)就是A的Jordan标准型.Js32282.例3 求复数域上下述矩阵的Jordan标准型 A=12143首先求E-A的初等因子：

2002310.E-A=182012014303)2100因此，A的初等因子是1，3)2，A的Jordan标准型为031.003定义1 ： V上线性变换的一个Jordan基是V的一个基，它使得在这个基下的矩阵为Jordan形矩阵.当我们已经求出的Jordan标准型J以后，为了求出的一个Jordan基，只要把原来的基到Jordan基的过渡矩阵P求出即可.由于J=P1AP，所以P是矩阵方程

AX=XP(*)的解并且应为可逆矩阵.如果dimV=n，则（*）是n2个未知量xij(i,j1,,n)的由n2个方程组成的线性方程组，解这个线性方程组，可求出X=（xij），选取可逆矩阵（因为的Jordan标准型存在，所以满足方程（*）的可逆矩阵一定存在），便可作为过渡矩阵P.例4 求例2的线性变换的一个Jordan基.（X1，X2，X3）解 设X=，由的Jordan标准型以及方程（*）得：

（X1，X2，X3）（=X1，3X2，X2+3X3），所以X1=X1，X2=3X2，X3=X2+3X3

由此看出，X1是的属于1的一个特征向量，解方程组（E-A）Y=，得TX1=（2，0，-1）.同理，X2是的属于3的一个特征向量，解方程组 T-1，2）（3E-A）Y=，得X2=（1，.再去解方程组（A-3E）Y=X2，-1 3 2 1 1 0-0.5-1T 1 5 2-1 0 1 0.5 0 .它的一个特解是Y0=（-1，0，0），-2-14-6 2 0 0 0 021-1T取X3=（-1，0，0），则X=0-10.容易看出X是可逆矩阵，它就可作为V

-120的原来的基1，2，3到的一个Jordan基1，2，3的过渡矩阵.所以：

21-1（1，2，3）（=1，2，3）0-10，即的一个Jordan基是：

-1201=21-3，2=1-2+23，3=-1.定理7 设是数域F上n维线性空间V上的线性变换，则V能分解成的一些非平凡不变子空间的直和当且仅当V中存在一个基，使得在此基下的矩阵为分A1块对角矩阵：.（2）AsV=W1W2Ws.证明 必要性.设V是的一些非平凡不变子空间的直和：在每个Wi(i1,2,,s)中取一个基i1iri，从（2）式得出：

111r1,,s1,,sri（3）是V的一个基.由于Wi是-子空间，因此

i1,,iri)i1,,iri)Ai,i1,2,,s.A1从而在（3）式给出的基下的矩阵为 .As 充分性.设在V的一个基 111r1,,s1,,sri 下的矩阵A=diag{A1,A2,,As}，其中Ai是ri级方阵，i1,2,,s.令

WiLi1,,iri),i1,2,,s.由于i1,,iri)i1,,iri)Ai,i1,2,,s.因此i1,,iriWi.从而Wi是-子空间，显然Wi是非平凡的，由于Wi的一个基i1,,iri当i1,2,,s时，合起来是V 一个基，因此V=W1+W2Ws是直和,从而

V=W1W2Ws.从定理7的证明中可以看出，（2）式给出的矩阵中，Ai就是|Wi在Wi的一个基i1,,iri下的矩阵，其中i1,2,,s.推论 设是复数域上n维线性空间V上的线性变换，i1,,iri，（i,2,1,s，r1r2rsn）是的一个Jordan基，则VV1V2Vs，其中ViL（1，i）iir，i1,2,,s.例5 设是复数域上线性空间V上的线性变换，1,2,3是V的一个基，在32282，求线性空间V的一个直和分解.这组基下的矩阵为A=12143100由例2知 A的Jordan标准型为031.003由例3知的一个Jordan基是：1=21-3，2=1-2+23，3=-1.则由推论，令

V1=L（21-3）-1），V2=L（1-2+23，.则V=V1V2.线性空间直和分解的若干性质：

1.维数

，Vs都是数域F上有限维线性空间V上的子空间，命题1.1 设V1，V2，V=V1V2Vs当且仅当

V=V1+V2Vs，dimV=dimV1+dimV2dimVs.2.向量表示

，Vs都是数域F上（有限维）线性空间V上的子空间，命题2.1设V1，V2，V=V1V2Vs当且仅当V=V1+V2Vs且零向量的表示法唯一.，Vs都是数域F上（有限维）线性空间V上的子空间，若命题2.2设V1，V2，子空间的和V=V1+V2Vs不是直和，则V的每个向量的表示法都不唯一.证明 设V中有向量表为1s(iVi)，且表法唯一.又设1s(iVi)，则得=+=11ss).但表示法唯一，故11=1，，ss=s.从而12s，即表示法唯一，所以V=V1+V2Vs是直和，与假设矛盾.因此，W中每个向量的表示法都不唯一.系3 上述命题表明，子空间的和V中只要有一个向量表示法唯一，就能保证其中所有向量都表示法唯一，从而必为直和.3.交

，Vs都是数域F上（有限维）线性空间V上的子空间，命题3.1设V1，V2，V=V1V2Vs当且仅当V=V1+V2Vs且ViVj(i1,2,,s).ji，Vs都是数域F上（有限维）线性空间V上的子空间，子命题 3.2 设V1，V2，V空间的和V=V1++Vi1)Vi,i2,,s.1+V2s是直和当且仅当(V（4）

证(1明V 由于

V1+i+1V1V+Vs故iV1iV+，+V：)+V)1iVi(+i1Vi+1VsV1i.因此，若V1+V2Vs是直和，则由命题3.1知，（4）式成立.反之，设（4）成立，但V1+V2Vs不是直和，则表示法不唯一，即存在不全为零的向量1,,s使1s(jVj).设i(1is)且

i1s，则由上得i1i1(V1++Vi1)Vi.这与（4）矛盾，故V1+V2Vs是直和.4.运算律

命题4.1 直和可以“代入”

若VV1V2且V1=V11V12，V2=V21V22，则VV11V12V21V22.及V1=V11V，=VV2V（V11V1）（V）证明

由VV1V212V221得2V2122（5）

显然VV11+V12+V21+V22.又若=11+12+2122(1iV1i2iV2i)，则

=(11+12)+(2122).于是由（5）得11+12=,2122.但是11+12V11V12,2122V21V22，故11122122.因此VV11V12V21V22.命题4.2 直和可以“加括号”

若VV1V2V3V4，则V(V1V2)(V3V4).证明1

V(V1V2)(V3V4)V，1V1显

V然

V.又

若

,其中2.（1iVi）,21314(1jVj)，则=11+121314.可设1=11+12但VV1V2V3V4是直和，故11121314.从而12.因此，V(V1V2)(V3V4).系4 由命题4.2知直和运算结合律成立，即(V1V2)V3V1(V2V3).无限维线性空间的直和分解

定义2：设B是数域F上线性空间V的一个非空子集，若B中任意有限个向量线性无关，且V中每个向量都可由B中有限个向量线性表示，则称B是V的基.定理8 设B1,B2分别是数域F上线性空间V的子空间V1与V2的一基，则V1+V2是直和当且仅当B1B2=且B1B2是V1+V2的基.证明 若V1+V2是直和，则V1V2=，从而B1B2=.又若k11kssl11ltt，其中i1jB2.则因为V1+V2是直和，故必有k11kss=l11ltt.但因为B1,B2是子空间的基，故k1==ks=l1==lt0.即B1B2中任意有限个向量均线性无关.再任取=1+2V1，其中+2ViVi，则由1可由B1中有限个向量线性表示，2可由B2中有限个向量线性表示，故可由B1B2中有限个向量线性表示.从而B1B2是V1+V2的基.反之，若B1B2=且B1B2是V1+V2的基，则任取V1V2，并令：

=k11kss=l11ltt，其中i1jB2，则k11kssl11ltt=.但因为B1B2=且B1B2是V1+V2的基，1,,s,1,,t线性无关，故k1ksl1lt=0.于是，V1V2=，故V1+V2是直和.参考文献

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第二篇：浅谈线性空间与欧式空间

2014 年三会一课会议记录示例月 10 日

支部委员会

内容： 1、传达镇党委工作会议精神。2、临近春节，讨论摸排村内不稳定因素，及时

解决村民反映的突出问题。3、总结 2012 年各项工作 ……..，讨论 2013 年重点工作，制定 2013 年初步工作计划 ………，下一步及时召开党员大会进行讨论。4、讨论村内

环境卫生整治工作，杜绝垃圾乱倒现象，积极营造优美居住环境。2 月 3 日

支部委员会 内容： 1、讨论如何进一步优化村内环境，清扫大街，欢度春节。2、传达镇党委政府 春节安全工作会议精神，进一步强调社会平安稳定工作。3、安排发放计生明白纸。4、春节前走访困难群众，座谈了解群众的实际困难和问题，及时加以解决。3 月 1 日 党员大会

内容：商议村内重大建设项目及工作计划

一、（支书姓名）介绍我村今年的工作计划。

二、（支部书记）介绍当前重点惠民项目情况

今天我们商议的事是：（修路、修大街、挖沟渠、打机井、整平生产路、修建办公室、购置器械、整理农田、修理自来水等。再详细介绍一下项目内容、投资情况）。如修 村内大街，长

米，宽

米，需建设资金

万元，经村两委讨论决定，建设资金 为村集体收入资金（或群众共同出资，每人 元）。

三、党员讨论结果

经村党员大会讨论举手表决：同意通过。参加会议

人，同意

人，不同意 人，弃权

人。党员纷纷表示，会积极向群众宣传本次会议精神，配合村里的工作。

四、（支书姓名）总结。同志们考虑的很全面，提出的意见很中肯，我们村两委成员，一定会按照同志们的想法，认真修改初步制定的计划，制定最终方案，做好惠民项目 的建设。月 1 日

上党课内容 :（一般召开一次党员大会，就跟着上一次党课，这样符合实

际情况，检查的时候也可信）

一、（支书姓名）主持会议 今天，镇领导 …

（填写联系本村的副科级领导）到我村来为大家上党课，让我们用热 烈的掌声欢迎领导讲话。

二、镇领导讲话

一是传达今年以来，市委抓基层党建工作的重要精神，强调加强村两委班子和 党员队伍建设的重要性和紧迫性。二是根据市委的要求，通报今年以来我镇在加强

基层党组织建设方面出台的一系列措施及有关要求。

三是如何发挥党员先锋模范作

用。我们村党组织和全体党员都要积极投身活动，实现组织和党员全覆盖。本着有利 于党组织开展活动、有利于党员参加、有利于创先争优活动取得实效的原则，巩固和 拓展学习实践科学发展观活动成果结合起来，精心设计特色鲜明、务实管用的载体，精心组织实施好创先争优活动。提几点要求。一是要提高思想认识，结合实际开展

大讨论活动；

二是要认识到创先争优的核心是发展，要结合我村实际，发展村域经济；

三是要处理好社会发展与经济发展的关系；四是重点要加强党员干部作风建设，要加 强窗口建设，努力提高服务意识和水平。

三、（支书姓名）总结

结合工作实际，就基层党建工作的重大意义、新时期发挥党员先锋模范作用、党 员“五带头”的标准尺度等问题，进行了精辟的阐述，给我们上了一堂既有理论性、又有实践性的党课。党的先进性需要通过党员的具体先锋模范行动来体现，就基层党 员来说，日常工作、生活中都能展示党员先锋模范作用的舞台。课后，希望大家结合 这次党课上所讲的内容，围绕如何发挥党员先锋模范作用这个主题，进行认真的讨论，进一步领会领导讲课的内容，切实推进我村的工作。月 10 日

支部委员会、（支部书记）传达镇党委政府关于春季植树造林会议精神。

大力开展植树造林动活，对于保护和改善生态环境，增加农民收入。2、讨论安排挖沟渠、清扫大街工作。4 月 10 日

支部委员会 1、传达落实镇党委政府关于营造计划生育宣传氛围的精神。2、加强春季林木管护、涂白工作。月 10 日

支部委员会、安排部署美国白蛾防治工作。2、按照镇党委安排部署，积极做好计生宣传工作。3、当前的几项重点工作

（依次罗列安排，需讨论的讨论）。月 10 日

支部委员会、研究做好防汛准备工作。2、研究安排小麦、玉米、棉花保险费的征收工作。3、抓住麦收期间这一有利时机，做好计生工作。月 1 日 党员大会

内容：纪念“七一”建党** 周年座谈会

一、由（支部书记）带领广大党员重温入党誓词，带领大家学习《党章》。

二、党员展开讨论

生活发生的深刻变化和走过的光辉历程。尤其是看到我市、我镇这几年发生的巨 大变化，对我们的党、国家的未来充满信心。希望以后能充分发挥党员的先锋模范作 用，为本村、本镇的发展贡献一份力量。

三、（支书）做总结讲话

我们村正处于发展的有利时机，广大党员要带头，起到先锋模范作用，在做好防 汛、防洪、计生等工作的同时，自觉爱护我们现在已有的环境，争取做到爱护环境，人人有责，希望各个方面都能走在全镇前列，各项事业都能取得新成绩。

四、党员向党支部交纳党费。月 10 日

支部委员会

内容： 1、排摸村内不稳定因素，分析群众思想状况，讨论村民反映强烈的问题 2、研

究部署美国白蛾防治工作。月 1 日：党课

一、新形势下村干部的主要工作职责是什么？

在农业和农村经济发展的新阶段，村干 部主要职责总结起来就是四个字，即传、带、稳、育。1、传，既传达、贯彻、落实 党的政策 2、带，既带头并带领群众发展经济 3、稳，既协助地方党委、政府做好农 村各项工作，维护农村稳定。4、育，既提高村民的素质，培育新型农民。

二、新形势下村干部应该具备哪些素质？

总的来说，一个受人爱戴的村班子必须要具备三个基本的特征： 第一，要有强

烈的发展意识。不甘落后，锐意进取，自强不息，艰苦创业，有市场意识、产业意识、项目意识、品牌意识、亲商意识。第二，要有切实可行的发展路子。在某种程度上，思路就是出路，没有思路的班子绝对不是好班子。第三，要有实实在在的发展业绩。

要会干事、能干事、干成事，仅有思路不落实，只说不干，只讲客观不讲主观，任职 多年，村上面貌依旧，一事无成的班子也不是好班子。要具备以上三个基本特征，就 要求村干部必须具备以下四个方面的能力。一是

带民致富的能力。二是

依法办事的能 力。三是

科技示范能力。四是

服务群众的能力。月 10 日

支部委员会、研究部署美国白蛾防治、防汛等工作。2

、讨论村内重点项目

（从中选择 1-2 项：整修大街、挖沟渠、打机井、整平生产路、修建办公室、购置器械等）。9 月 10 日 支部委员会

内容： 1、排摸村内不稳定因素，分析群众思想状况，讨论村民反映强烈的问题。2、研究部署美国白蛾防治、防汛等工作。月 1 日 党员大会

（仅是示例，发展党员的党员大会请按实际时间做会议记录）

内容

：分为两种情况，各村结合自己实际从中选择一种。

第一种情况： 2013 年有党员发展对象（发展预备党员或党员转正）的村按下面的要 求写 ：

一、（支部书记）传达会议精神。„„„

二、由（党员发展对象姓名）入党介绍人介绍主要情况

介绍人一： *** 同志在考察期间，能够认真学习理论知识，注重自身修养，在政治上

保持清醒的头脑，在思想上保持高尚的境界，将理论知识运用到实际生活中，坚持不 懈，持之以恒，实事求是，脚踏实地，处处起表率作用，树立良好的党员形象，认真 对待自己的缺点和不足，并及时地进行改正。总之，该同志能够不断提高自身党性修 养和综合素质，充分发挥共产党员的先锋模范和用，我们认为 *** 同志基本具备一名

预备党员（或正式党员）的条件，我同意 *** 同志加入党组织。（或我同意 *** 同志按 期转正）

介绍人二： „„„„.三、支部报告对党员发展对象的政治审查情况 本支部通过采取查阅本人档案材料、派人处调、函调、与本人谈话、征求有关监督部 门意见、召开党内外群众座谈会以及公示等方法对 *** 同志进行了政治审查及考核，认为该同志本人政治历史清楚，在重大政治斗争中旗帜鲜明，能够与党中央保持一致，其家庭主要成员和社会关系清楚。

四、党员无记名投票表决

经村党员大会讨论无记名投票表决：通过了 **** 同志转发展为中共预备党员（或按期转正）的决议。参加会议

人，同意

人，不同意 人，弃权

人。

第二种情况： 2013 年无党员发展对象的村，入党积极分子“双推”按以下要求写：

（注意：入党积极分子“双推”前应有一次支委会讨论入党积极分子的会议记录，一 句话即可）

一、（支部书记）传达会议精神。„„..二、由（入党积极分子姓名）培养联系人介绍主要情况

培养人一： *** 同志自 2009 年 1 月提出入党申请以来，识，积极 向党组织靠拢，主动汇报思想，积极参加村、党组织的政治活动，认真学习党的基本知优点是： 学习认真、乐于助人、尊老爱幼，是我们村公认的积极模范分子。缺点是：理论学习不够深入。

培养人二： „„„„„„„.三、党员和群众代表无记名投票表决

经村党员大会讨论投票表决： 通过了确定 ***

同志为入党积极分子并重点培养的决议。党员参加会议

人，同意

人，不同意 人，弃权

人。群众代表参加会议

人，同意

人，不同意 人，弃权

人。10 月 1 日

党课：

一、（支部书记）领学《党章》的主要内容

主要学习了党的性质，中国共产党是中国工人阶级的先锋队，同时是中国人民和中华 民族的先锋队，是中国特色社会主义事业的领导核心，代表中国先进生产力的发展要 求，代表中国先进文化的前过方向，代表中国最广大人民的根本利益。党的最高理想 和最终目标是实现共产主义。

学习党的宗旨和指导思想、思想路线。党的宗旨就是全心全意为人民服务，中国共产 党以马列主义、毛泽东思想、邓小平理论和“三个代表”重要思想作为自己的行动指 南，一切从实际出发，理论联系实际，实事求是，在实践中检验真理和发展真理。

二、党员讨论发言

大家纷纷表示，通过对《党章》的再学习，提高了党员的先锋模范意识，增强了党员 发挥作用的自觉性和主动性。月 10 日

支部委员会

内容： 1、安排部署计划生育工作。2、安排部署农业结构调整事宜。月 1 日 党员大会

内容：

一、（支部书记）传达村两委会议精神，对大街进行综合整治，改善村民居住 环境。

一是从今天开始全村开展大街整治。二是村两委成员包一条大街。三是大街整治内容： 对大街两旁的杂草、粪便、麦秸等杂物全部清理干净，先由户清理成堆，村再组织人 员清理走。

二、党员讨论发言

（党员）：村内大街整治非常有必要，我支持

（党员）：我支持村两委的工作，积极参与大街整治

（党员）：这个活动搞得很好，我们村整理一下，搞好了环境卫生，和在城里住没啥 区别，大力支持。

（党员）：我全力支持，一定尽全力，支持村两委工作月 1 日 党课

共产党员如何发挥先锋模范作用？

一、做有理想的模范

二、做有道德的模范

三、做努力工作、好学上进、促进先进社 会生产力的模范

四、做不尚空谈、多干实事的模范

五、做深化改革，勇于创新的模 范

六、做遵纪守法，同不正之风，腐败现象和违法犯罪行为作斗争的模范月 10 日

支部委员会 内容： 1、积极采取措施抓紧进行覆盖地膜保温，增强保温抗寒能力。2、安排冬季联

户联防工作，确保冬季社会平安。3、讨论开展星级文明户评选活动相关事宜。月 10 日

第三篇：力合成和分解作图方法总结

力合成和分解作图方法总结

力合成和分解，这两节教村要培养学生作图能力计算能力，就其作图方法和技巧而言，则有合成图，分解图、受力图等等，其作用基本技巧和原理是平行四边形法则或三角形法则，下面以力分解为例，将作用方法加以总结。

一、力分解中最小值问题作图

1、知合力和一个分力方向，求另一个分力最小值。

2、知一个分力和合力的方向，求另一个分力最小值。

点评：过F或F1箭头作F1方向或垂线时，要注意垂线段作法，两个垂线段中最短线段，作图如图所示，则F2最小值分别是F2m=F·sinθ和F2m=F1·sinθ。

二、力分解解的个数讨论作图技巧

1、知合力和一个合力

点评：作图时，则三角形法则可知，连F和F1箭头即为F2，故此时力分解具有唯一确定解。

2、知合力和两个分力方向。

点评：过箭头作两分力方向平行线，围成一个确定平四边形，此时力的分解具有唯一解。

3、知合力和一个分力大小和另一个分力方向。

①当F2=Fsinθ，一个解 ②当F>F2>Fsinθ，二个解 ③当F2≥F，一个解 ④当F2

点评：可以F箭头为圆心，以F2大小为半径作圆，看此圆弧与F1方向交点即可，但当F2>F时，尽管交点是两个，但有一个交点在F1反方向上，此解不应取。

4、知合力和两个分力大小

点评：由三解形法则可知，分别以F箭头或箭尾为圆心，以F1大小或F2大小为半径作图，看两圆交点即可。

①当F1+F2=F或|F1-F2|=F时，两圆相切，一个解 ②当F1+F2F时，两圆无交点，无解 ③当F1+F2>F或|F1-F2|

另外，还有力分解时按效果作图和图解法作图等等，它们都以三角形法则和平行四边形为基础，方法基本雷同。

第四篇：展示空间毕业论文

*********学院

本科生毕业论文

论展示设计中的个性化视觉语言

系别、专业 艺术学院 环境艺术设计 学 生 姓 名 88888888 学 号 8888888888 指导教师姓名 陆 津 指导教师职称 助 教

20**年*月***日

摘 要

展示设计具有信息载体的作用，展示的最终效果，是为了更好的吸引观众，并促使观众对其留下深刻的印象。为了将展品的信息得到有效的传递，要提高展示艺术设计中空间的新颖和个性。展示艺术设计的过程就是主要是视觉感官传达的过程，而视觉语言就是视觉传达的有效载体，视觉语言是展示艺术设计中的一个重要表现。在既定的时间和空间范围内，有目的的进行将科学、技术、艺术和经济融为一体，对展示内容的陈列与空间环境进行综合规划。不仅仅达到解释、展示展品，宣传主题的目的，更能让观众参与其中，达到交流宣传、接受信息的目的。然而，在当今信息化的社会，人们开始追求新鲜、刺激、另类的视觉语言。展示艺术设计为了营造一种更具震撼力的视觉效果，必须突出个性的视觉语言，才能去迎合人的喜新、探奇心里。

关键词 展示设计 个性化 视觉语言 环境设计

目 录 前言······························································1 2 视觉语言··························································1 3 展示设计中视觉语言的个性化要素····································3 3.1独特的造型······················································3 3.2巧妙的灯光、色彩搭配············································3 3.3新型的材料、肌理················································4 3.4新颖的媒介技术················································5 4展示设计中个性化视觉语言的设计方法································5 4.1抽象化··························································5 4.2拟人化··························································5 4.3情景化··························································6 5 展示设计中的个性化视觉语言的发展趋势·····························6 5.1人性化··························································6 5.2互动性··························································6 5.3虚拟化··························································7 6结论······························································7

前言

展示是一种人类综合性交流信息的方式，以高效、快捷地传递信息为目的。在一定的空间或者地域内，通过一系列的设计手法处理，创造最适合于信息传播与接受的人为环境。展示设计是现代艺术设计中的一门综合性强、应用范围广，并且随时代发展、观念更新不断发展、充实的应用学科。涉及的领域较广，并表现出和高科技发展成果相结合的明显特点。从展示的角度看，展示设计的目的并不是展示本身，而是借助对展示空间环境的营造，将一定量的信息和宣传内容展示在观众面前，以其对观众的心理、思想和行为产生有意识或潜在的影响，达到招引、传达、沟通、教育和引导等目的。

展示设计从诞生起已走过了150余年的发展历程。随着人类社会的不断进步和人类文化的持续发展。展示艺术设计在人类经济与文化中的地位也愈来愈重要。当今社会是一个经济高速发展的时代。商业文化与消费主义已日渐成为日常生活的主题。人们对于商品、文化、艺术的展示要求也在不断提高，这就要求着今天的展示设计必须要有更高的设计美感与艺术追求。

在展示中，信息是通过人们的感觉获得的，主要是视觉、听觉，其次是嗅觉、触觉等，视觉是人体各种感觉中最重要的一种，据科学数据显示，人们依靠视觉获得80%以上的外界信息，并且75%-90%的人体活动是由视觉主导的。

展示设计具有信息载体的作用，如何使展示的最终效果更好地吸引观众，并促使观众对其留下深刻的印象，成为了现代展示设计中最首要的设计条件。在行业竞争越来越激烈的今天，大众化的设计已经不能满足时代的需求，人们开始追求新鲜、刺激、另类的视觉语言。以展品的信息得到有效宣传为出发点，提出了展示空间要突出新颖、个性的原则；突出空间的个性，脱颖而出，更好的去迎合人的喜新心理、探奇心理。2 视觉语言

视觉语言是由视觉基本元素和设计原则两部分构成的。基本元素包括：点、线、面、形状、明暗、色彩、质感、形状、体积、光影、空间等它们是构成一件作品的基础。类似于文字语言中的字和单词。设计原则包括：布局、对比、节奏、平衡、统一等。两者相结合，形成视觉语言。

“视觉语言”作为一种重要的设计语言，是设计中传达信息的重要手段。图形的设计是最直观、最普通的公众传递的方式。这是文字和色彩所无法比拟的，当然，这并没有忽视文字与色彩的作用。当今社会是数字化时代、快节奏的生活中充满着各种各样大量的信息，图形的直观、明确以及丰富的视觉表现力不仅能有效的传达信息，而且更具有欣赏性，给人视觉的享受并引发心理认同，其信息量的传达甚至超越了图形的本身。

在这个信息时代，图形的创意设计将起到决策性的作用。图形的创意，就是寻求视觉传达的独特理念、构思。但是图形的创意并不是一个单纯地寻求新奇视觉形式的过程，它是始终围绕传播信息这一主旨来展开的创造性活动，传播信息才是它的根本目的。新颖的图形设计，容易脱颖而出，强烈吸引公众的眼球，感染公众的心灵和勾起某种欲望，进而达到信息传播的目的。新颖的图形设计，源于我们认识事物时的全新发现。只有找到全新的视点，对事物有了全新的理解方式，我们才会有新颖的表现切入角度，才能创造独特的表现方式。

色彩是把握人的视觉第一关键所在。一副有个性的色彩，往往更能抓住消费者的视线，色彩通过结合具体的形象，运用不同的色调，让观众产生不同的生理反映和心理联想，树立商品形象，产生悦目的亲切感，吸引与促进消费者的购买欲望。视觉传达中，色彩常借以光源让自身展现不同的颜色效应，时而以暗沉、时而以艳丽，以色调来影响受众的情绪，从而阻碍又或者是辅助受众对信息的领悟和判断。鉴于颜色在实践中的重要性，目前，许多工程心理学家和广告心理学家纷纷对这一问题展开研究，以求通过颜色视觉的刺激，达到更佳的工作效益或广告效益。

实际上，文字是准确传达信息的最好元素之一，因为它直接而具体的告诉观众所宣传的内容。当然，信息得以传播的前提是：公众受过一定的文化教育又或者传播人具备这种基本的文化水准。不难看出，由于文字对公众的文化选择性导致了它在传播中不如图形的信息传播广泛。在文字设计在标志设计中的应用，文字和标志同处一源，是由原始的符号、图腾发展而来的。文字表现是以标志形象与字体组合的一个整体。标志是一种视觉图形，但是文字标志同时具有语言特征和语音形式。

视觉语言，总的来说，就是通过视觉所接触、传递的，依靠人的视觉经验和联想等心理活动，被理解和接受的信息。视觉信息的识别是接受信息的重要一环，是信息传达的保证。展示艺术设计中的视觉语言的个性化

展示设计具有信息载体的作用，如何使展示的最终效果更好地吸引观众，并促使观众对其留下深刻的印象，要求展示空间必须突出个性、新颖的原则。展示设计在手法上也极力与之相呼应，推崇多元化的前卫风格，以否定传统、标新立异、创造前所未有的艺术形式为主要特征。3.1独特的造型

造型是整个展示的骨架所在，也是一个展示艺术设计大效果形成的关键，对远视效果的影响尤为重要，因为任何展示艺术最终都要落实到视觉形式上。造型怪异或诙谐幽默，甚至采用夸张与卡通的设计手法，表现出对现代文明的嘲讽和对传统文化的挑战以达到特异的展示效果。为了追求、造就另类、夸张的视觉效果，引用常规环境中不常见到的造型，可以给展示的空间加入新的活力。

例如，仿生的造型是模拟自然界各种物象外在形态的一种造型手法；在展示设计中，对于那些仿生的造型设计，不完全是对物象的整体复制，而应当是遵循美的表现规律，进行艺术的再创造。将自然中的物体的形态或者本质加以概括、提炼，形成独特的仿生设计。这种造型设计简练而精彩，风格活泼，富有趣味性，其直观的形象使展馆更加醒目。

另外，不规则的造型也可以产生耐人寻味的视觉效果，如一些解构主义的典范，随本身没有什么造型意义，但是别具一格的视觉特征却使人产生联想。3.2巧妙的灯光、色彩搭配

在展示中，展品要赢得观者的好感，首先是让人看得见展品，色彩的应用都是以此为目的。强烈的灯光照明可以突出产品主体，给观者一深刻的印象；柔和的灯光照明可制造轻松舒适的气氛，减少给观者视觉疲劳，从而起到促进展示的目的，使观者的注意力更加集中在展台上。要想使展示空间实体和展品形象尽显色彩魅力，在光与色的整合设计中，我们就要善于把灯光与色彩统一设计，准确得传递展品自身的特性。

色彩是对人体视觉刺激最敏感、反应最快的视觉信息符号。别致的色彩特点，能迅速传递展示的信息，给人更加具体的形象记忆。色彩的搭配设计，要以展品主题或者企业形象相对应。根据展示的性质和内容来确定色调和色彩的搭配。通过色彩的明暗、冷暖节奏来调节氛围，给人视觉的刺激、情绪和心理的调节。我们可以针对展品的属性，利用反常规的色彩搭配方式，利用怪异无稽、荒唐离奇的色彩组合来营造空间气氛，而强烈的色彩对比有具有明快、华丽的视觉效果，能营造出令人兴奋的空间氛围。

而为了更好的突出展示的主题，将灯光做色彩处理，因为光色对观众的情感影响最为直接，也最为强烈。如，用冷暖色调或者色彩的对比来营造空间的氛围，从而使观众获得强烈的视觉体验和心理感受。也可以用灯光来对空间进行分割，并勾勒出展场的造型，使展示环境的区域性更强。

处理色彩与灯光的运用时，应充分考虑视觉元素、视觉生理、视觉心理三者之间的紧密配合。要根据人的视觉习惯于消费者的潜意识，以自己的品牌，带动其它产品扩大销售。

照明的灯光与色彩设计，是整个展示设计中的重要组成部分，光色有强化与柔化、统一展示空间色调、渲染展示环境情调氛围的作用。光色是对观众的情感影响最直接，也最强烈的。所以可以通过灯光照明与色彩的巧妙搭配营造出展示空间特定的情调和戏剧性的气氛。3.3新型的材料、肌理

不同的材料、不同的肌理，会给人带来不同的心理感受和不同的情感。

随着社会经济的发展，展示使用的新材料不断更新。新的设计风格、新的功能、新的结构和新的形态也相应产生。一些看似普通的材料，经过一番修整，排列，成为一种新的艺术。对一般观众而言，最能吸引他们的往往不是那些昂贵的材料和精湛在制作工艺，而是那些平常普通的材料，经过大胆的修整形成视觉冲击力较强的肌理效果的新奇感。大胆运用非常规材料来增加观众参观的兴趣。可以是现成品，或者是废物利用，经过一番修饰每件物品都可以得到自身的确认。将其结合起来，形成一定的视觉效果。

利用物品本身的独特造型、肌理或者本质，将其修整、排列，形成一定的肌理表现。肌理作为材料表面的特征而存在，能给观众不同的视觉效果和心理感受。所以，利用材料独特的肌理特征，能给展厅与它所在的环境之间提供一种鲜明的对比，通过这种对比来强化其独特的魅力，从而给观众一个全新的视觉刺激。

材料是展示艺术设计中最实现的基础物质，新颖的材料不仅可以体现出造型和空间的最佳状态，使展示具有生命力，还可以给观众焕然一新的艺术感受。3.4新颖的媒介技术

随着技术的进步，各种多媒体设备变得更加轻便、尖端。现代的展示设计由过去静止、被动的展示方式逐步向动态和互动的展示方式转变。高科技新技术在展示设计中应用比较普遍，它不仅仅能吸引观众的注意，满足观众的好奇心，而且具有时代性。新媒介技术也渐渐以占用空间小，展示信息量大、互动性强等特点，在展示设计中呈现了一种应用的主导趋势，并由平面视觉向空间三维、四维发展，由被动观看向互动参与发展。充分调动了观众的多方感官，强化参与性，将观众融入到展示环境中去。

展示设计中主要的新媒介技术包括：声光电技术、多媒体展示和虚拟现实技术。

与传统计算机相比，虚拟现实技术具有临近性、交互性和想象性三个重要特征。虚拟现实技术是有直观的视觉效果，可以极大的增强展示的说服力和感染力，使观众能参与其中，并且有如身临其境的感觉。更好的感受展示所带来的效果。4 展示设计中个性化视觉语言的设计方法 4.1抽象化

抽象化是对具象事物进行的概括和提炼，使得画面消解了具体的轮廓和细节。主要是为了使复杂度降低，以得到较简单的概念。抽象化设计主要有对比、重复、象征、并列和错视等手法。

对比，主要是采用各种形式的对比，如图形方圆、色彩的冷暖、线条的曲直、空间的大小等对比，来突出主体产品或主要内容。重复，是将某种实物或者某些图片的重复陈列展出，给人印象深刻。象征，主要是运用一些有象征意义的图形、色彩等作为背景或者点题的处理，容易取得好的展示效果。并列，是在内容较多而且地位又同等重要的时候，采用并列的手法，可以表示出不分主次地位。错视，利用透视、错视拓展空间，或对空间形态、图形、线段进行矫正，引起观众视觉和心理上的新感受，而达到强化展示效果。4.2拟人化

拟人化是指把非人类的东西加以人格化，赋于他们以人类的思想感情、行动和语言能力。而拟人化设计又可以分为联想、夸张、比拟的手法。联想，是采用联想展示手法，进行陈列布置。夸张，是采用符合生活逻辑和哲理的夸张手法，解释展览内容、事物的本质，以引起人们的重视。比拟，是采用合乎情理的类比与推理方法，进行比拟，能深入浅出地说明问题。4.3情景化

情景化，是采用具有典型生活场景或情节，配上人形模特和使用的物品，创造出真实的气氛。

情景化的环境，可以是用各种材料仿真制作的环境，可以是通过某些具有代表性的事物、图形、符号、声音甚至是气味来引发观众的联想，使相应的场景浮现在观众的脑海中。也可以利用多媒体技术增强展示互动效果，让观众的临场体验感更强。展示设计中个性化视觉语言的发展趋势

信息时代的到来使展示设计无赖是设计理念、思维方式还是表现手法上，都发生了很大的改变，具有了许多新的特点。4.1人性化

人性化设计，是指在设计过程当中，根据人的行为习惯、人体的生理结构、人的心理情况、人的思维方式等，对人们衣、食、住、行以及一切生活、生产活动的综合分析。是在设计中对人的心理生理需求和精神追求的尊重和满足，是设计中的人文关怀，是对人性的尊重。人性化设计是科学和艺术、技术与人性的结合，科学技术给设计以坚实的结构和良好的功能，而艺术和人性使设计富于美感，充满情趣和活力。人性化的理念就是“以人为本”。也符合了展示设计中人作为主体来观赏，人是最重要的研究对象的理念。

在展示设计中以人体工程学为基本的内容，以人为主体。此外，还考虑了各种公众服务，考虑了无障碍设计等。在信息时代，融合科技和艺术，是展示空间更具人性化、更亲切、更强调人在展示活动中的地位以及物质与精神上全方位的需求，为参观者创造一个舒适而实用的观赏环境。尽可能的以满足观众的信息需求、生理需求和心理需求为目的，来营造一个更具亲和力的环境。4.2互动化

展示设计中的互动化设计可以说在现代技术的支撑下，比较完美地实现和现代信息的传播理念的方式之一。主要倡导民主与开发，倡导沟通与尊重。展示设计中的互动化设计也是最符合现代信息的传播理念，更能调动观众的积极性，提高参观的兴趣；使的观众感觉自己不是被动的参观展示，而是主动地体验展示内容；感觉自己不是一个参观者，而是一个参与者。

在展示概念中包含了互动与想象。互动的展示设计，打破单一的静态展示，有助于创造积极和令人愉悦的学习和展示环境。4.3虚拟化

数字化时代虚拟展示将成为未来展示设计的主要趋势和补充。虚拟实境这一技术，随着技术的发展和成本的降低，现今已经得到了广泛的应用。虚拟实境是指由计算机生成的即时性的模拟环境，经过技术处理和程序计算可以让使用者产生一种身临其境般的影像或感官；同时使用者也可以通过输入设备和计算机的展示产品及资料产生互动。虚拟展示方式也趋向多元化和主动化。

而故事化、情节化、场景化的声光电全媒体技术等，这一切理由都使得虚拟实境成为展示设计发展趋势的重要方面。6 结论

纵观展示设计的发展和演变，不难发现，展示设计与技术的发展关系呈现越来越紧密的趋势。传统的设计观念需要更新的技术思想浇灌才能够升华。

展示设计，作为引领时尚的艺术语言。新时代前沿的信息发布者，呈现出对未来的无限遐想。在追求展示艺术设计的个性化独特设计中，各个国家或地区根据不同的地域特点或民族特色，来追求自身的民族性或是个性化的展示艺术设计。未来的展示艺术设计，会有更多个性化的设计语言，符合多元化的生活标准，具有独特的地域或者民族性。但需要注意的是，个性化设计固然重要，但在体现个性化的同时，还要注意与整体风格相吻合。

展示设计具有信息载体的作用，展示的最终效果，是为了更好的吸引观众，并促使观众对其留下深刻的印象。为了将展品的信息得到有效的传递，要提高展示艺术设计中空间的新颖和个性。结合具有独特的个性化视觉语言，更好的展示宣传主题、展品。达到更好的收益效果。

致 谢

非常感谢*****老师、*****老师在我大学的最后学习阶段——毕业论文、毕业设计阶段给我的指导，从最初的定题，到资料收集，到写作、修改，到论文定稿，你们给了我耐心的指导和无私的帮助。感谢大学四年所有任课老师给予我的指导和帮助，是你们教会了我专业知识，教会了我如何学习，教会了我如何做人。正是由于他们，我才能在各方面取得显著的进步。

感谢我的父母，在我每次遇到挫折的时候，给我支持和鼓励，感谢陪我走过大学四年的同学们，我们一起度过许多快乐的日子，你们的帮助和鼓励，让我更加成熟、更加自信。

最后，向所有关心我的亲人、师长、朋友们表示深深的感谢。

参 考 文 献

王亚明.2008.展示设计.北京：中国电力出版社.20-72 李远.2008.现代展示设计的发展趋势.艺术教育，09:135 沈嘉.2001.展示设计的个性表达.艺术界，04：154 张鹏.2008.会展设计.北京：北京工艺美术出版社.24-50 赵衍文.2002.现代展示设计策划与设计.北京：人民美术出版社.18-25 廖军.2008.展示设计基础与创意.北京：中国纺织出版社.1-54

第五篇：高等代数北大版教案-第6章线性空间

第六章 线性空间

§1 集合映射

一 授课内容:§1 集合映射

二 教学目的:通过本节的学习,掌握集合映射的有关定义、运算,求和号与乘积号的定义.三 教学重点:集合映射的有关定义.四 教学难点:集合映射的有关定义.五 教学过程: 1.集合的运算,集合的映射(像与原像、单射、满射、双射)的概念 定义:(集合的交、并、差)设S是集合,A与B的公共元素所组成的集合成为A与B的交集,记作AB；把A和B中的元素合并在一起组成的集合成为A与B的并集,记做AB；从集合A中去掉属于B的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为A与B的差集,记做AB.定义:(集合的映射)设A、B为集合.如果存在法则f,使得A中任意元素a在法则f下对应B中唯一确定的元素(记做f(a)),则称f是A到B的一个映射,记为

f:AB,af(a).如果f(a)bB,则b称为a在f下的像,a称为b在f下的原像.A的所有元素在f下的像构成的B的子集称为A在f下的像,记做f(A),即f(A)f(a)|aA.若aa'A,都有f(a)f(a'), 则称f为单射.若 bB,都存在aA,使得f(a)b,则称f为满射.如果f既是单射又是满射,则称f为双射,或称一一对应.2.求和号与求积号(1)求和号与乘积号的定义

为了把加法和乘法表达得更简练,我们引进求和号和乘积号.设给定某个数域K上n个数a1,a2,,an,我们使用如下记号:

·６０·a1a2anai, a1a2anai.i1i1nn当然也可以写成

a1a2an(2)求和号的性质 容易证明，1inai, a1a2an1inai.aiai,(aibi)aibi,aijaij.i1i1i1i1i1nnnnnnmmni1j1j1i1事实上,最后一条性质的证明只需要把各个元素排成如下形状:

a11a21an1a12a22an2a1ma2m

anm分别先按行和列求和,再求总和即可.§2 线性空间的定义与简单性质

一 授课内容：§2 线性空间的定义与简单性质

二 教学目的：通过本节的学习,掌握线性空间的定义与简单性质.三 教学重点：线性空间的定义与简单性质.四 教学难点：线性空间的定义与简单性质.五 教学过程：

1.线性空间的定义

(1)定义4.1(线性空间)设V是一个非空集合,且V上有一个二元运算“+”(VVV),又设K为数域,V中的元素与K中的元素有运算数量

·６１· 乘法“”(KVV),且“+”与“”满足如下性质:

1、加法交换律 ,V,有；

2、加法结合律 ,,V,有()()；

3、存在“零元”,即存在0V,使得V,0；

4、存在负元,即V,存在V,使得0；

5、“1律” 1；

6、数乘结合律 k,lK,V,都有(kl)k(l)l(k)；

7、分配律 k,lK,V,都有(kl)kl；

8、分配律 kK,,V,都有k()kk, 则称V为K上的一个线性空间,我们把线性空间中的元素称为向量.注意:线性空间依赖于“+”和“”的定义,不光与集合V有关.(2)零向量和负向量的唯一性,向量减法的定义,线性空间的加法和数乘运算与通常数的加、乘法类似的性质

命题4.1 零元素唯一,任意元素的负元素唯一.证明:设0与0'均是零元素,则由零元素的性质,有00'00'；

V,设,'都是的负向量,则

0(')'()0, 于是命题得证.由于负向量唯一,我们用代表的负向量.定义4.2(减法)我们定义二元运算减法“-”如下:

定义为().命题4.2 线性空间中的加法和数乘满足如下性质:

1、加法满足消去律 ；

2、可移项 ；

3、可以消因子 k且k0,则1； k4、00, k00,(1).(3)线性空间的例子

·６２·例4.1令V表示在(a,b)上可微的函数所构成的集合,令K,V中加法的定义就是函数的加法,关于K的数乘就是实数遇函数的乘法,V构成K上的线性空间.4.1.2线性空间中线性组合和线性表出的定义,向量组的线性相关与线性无关的定义以及等价表述,向量组的秩,向量组的线性等价；极大线性无关组.定义4.3(线性组合)给定V内一个向量组1,2,,s,又给定数域K内s个数k1,k2,,ks,称k11k22kss为向量组1,2,,s的一个线性组合.定义4.4(线性表出)给定V内一个向量组1,2,,s,设是V内的一个向量,如果存在K内s个数k1,k2,,ks,使得k11k22kss,则称向量可以被向量组1,2,,s线性表出.定义4.5(向量组的线性相关与线性无关)给定V内一个向量组1,2,,s,如果对V内某一个向量,存在数域K内不全为零的数k1,k2,,ks,使得k11k22kss0,则称向量组1,2,,s线性相关；若由方程k11k22kss0必定推出k1k2ks0,则称向量组1,2,,s线性无关.命题4.3 设1,2,sV,则下述两条等价: 1)1,2,s线性相关； 2)某个i可被其余向量线性表示.证明同向量空间.定义4.6(线性等价)给定V内两个向量组

1,2,,r(Ⅰ), 1,2,,s(Ⅱ), 如果(Ⅰ)中任一向量都能被(Ⅱ)线性表示,反过来,(Ⅱ)中任一向量都能被(Ⅰ)线性表示,则称两向量组线性等价.定义4.7(极大线性无关部分组)给定V内一个向量组1,2,,s,如

·６３· 果它有一个部分组i1,i2,,ir满足如下条件:(i)、i1,i2,,ir线性无关；

(ii)、原向量组中任一向量都能被i1,i2,,ir线性表示, 则称此部分组为原向量组的一个极大线性无关部分组.由于在向量空间中我们证明的关于线性表示和线性等价的一些命题中并没有用到Kn的一些特有的性质,于是那些命题在线性空间中依然成立.定义4.8(向量组的秩)一个向量组的任一极大线性无关部分组中均包含相同数目的向量,其向量数目成为该向量组的秩.例4.2 求证:向量组e1x,e2x的秩等于2(其中12).证明:方法一:设k1,k2∈R,满足k1e1xk2e2x0,则k1e1xk2e2x,假若k1,k2不全为零,不妨设k10,则有e(12)xk2,而由于12,等号左k1边为严格单调函数,矛盾于等号右边为常数.于是k1k20.所以e1x,e2x线性无关,向量组的秩等于2.证毕.方法二:若在(a,b)上k1e1xk2e2x0, 两端求导数,得k11e1xk22e2x0，cck1e1k2e20,以xc(a,b)代入,有 1c2ck11ek22e0.而e1ce2c1e2c2e2ce(12)c(21)0, 于是k1k20.证毕.·６４·§3 维数、基与坐标

一 授课内容:§3 维数、基与坐标

二 教学目的:通过本节的学习,掌握线性空间的基与维数,向量的坐标的有关定义及性质.三 教学重点:基与维数、向量坐标的有关定义.四 教学难点:基与维数、向量坐标的有关定义.五 教学过程: 1.线性空间的基与维数,向量的坐标 设V是数域K上的线性空间,则有: 定义4.9(基和维数)如果在V中存在n个向量1,2,,n,满足: 1)1,2,,n线性无关；

2)V中任一向量在K上可表成1,2,,n的线性组合, 则称1,2,,n为V的一组基.基即是V的一个极大线性无关部分组.基的个数定义为线性空间的维数.命题4.4 设V是数域K上的n维线性空间,而1,2,,nV.若V中任一向量皆可被1,2,,n线性表出,则1,2,,n是V的一组基.证明:由1,2,,n与V的一组基线性等价可以推出它们的秩相等.命题4.5 设V为K上的n维线性空间,1,2,,nV,则下述两条等价: 1)1,2,,n线性无关；

2)V中任一向量可被1,2,,n线性表出.定义4.10(向量的坐标)设V为K上的n维线性空间,1,2,,n是它的一组基.任给V,由命题4.4,可唯一表示为1,2,,n的线性组合,即!aiK,(i1,2,,n),使得a11a22ann,于是我们称a1,a2,,an为在基1,2,,n下的坐标.易见,在某组基下的坐标与V/K中的向量是一一对应的关系.·６５· §4 基变换与坐标变换

一 授课内容:§4 基变换与坐标变换

二 教学目的:通过本节的学习,掌握基变换与过渡矩阵的定义、运算, 坐标变换公式.三 教学重点:基变换与过渡矩阵的定义、运算, 坐标变换公式.四 教学难点:坐标变换公式的应用.五 教学过程: 1.线性空间的基变换,基的过渡矩阵

设V/K是n维线性空间,设1,2,,n和1,2,,n是两组基,且

1t111t212tn1n,ttt,2121222n2n nt1n1t2n2tnnn.将其写成矩阵形式

t11t12t1nttt2n(1,2,,n)(1,2,,n)2122.tttnnn1n2定义4.11 我们称矩阵

t11t12t1nttt2nT2122 tttnnn1n2为从1,2,,n到1,2,,n的过渡矩阵.命题4.6 设在n维线性空间V/K中给定一组基1,2,,n.T是K上一个n阶方阵.命

(1,2,,n)(1,2,,n)T.·６６·则有1,2,,n是V/K的一组基,当且仅当T可逆.证明:若1,2,,n是线性空间V/K的一组基,则1,2,,n线性无关.考察同构映射:VKn,在1,2,,n下的坐标,构造方程

k1(1)k2(2)kn(n)0, 其中kiK,(i1,2,,n), (k11k22knn)0k11k22knn0, k1k2kn0(1),(2),,(n)线性无关.(1),(2),,(n)构成了过渡矩阵的列向量,所以过渡矩阵可逆；

反过来,若过渡矩阵可逆,则构造方程

k11k22knn0,其中kiK,(i1,2,,n), 两边用作用,得到k1(1)k2(2)kn(n)0, k1k2kn0.证毕.2.向量的坐标变换公式；Kn中的两组基的过渡矩阵(1)向量的坐标变换公式

设V/K有两组基为1,2,,n和1,2,,n,又设在1,2,,n下的坐标为a1,a2,,an,即

a1a(1,2,,n)2，an在1,2,,n下的坐标为(b1,b2,,bn),即

b1b(1,2,,n)2.bn现在设两组基之间的过渡矩阵为T,即(1,2,,n)(1,2,,n)T.记

·６７·

a1b1ab22X,Y, abnn于是

(1,2,,n)X(1,2,,n)Y[(1,2,,n)T]Y(1,2,,n)(TY).于是,由坐标的唯一性,可以知道XTY,这就是坐标变换公式.(2)Kn中两组基的过渡矩阵的求法 我们设Kn中两组基分别为

1(a11,a12,,a1n),2(a21,a22,,a2n),n(an1,an2,,ann).和

1(b11,b12,,b1n),2(b21,b22,,b2n),n(bn1,bn2,,bnn).而(1,2,,n)(1,2,,n)T.按定义,T的第i个列向量分别是i在基1,2,,n下的坐标.将1,2,,n和1,2,,n看作列向量分别排成矩阵

a11a21Aan1a12a1nb11b12b1na22a2nbbb21222n；B，ban2annbbnnn1n2则有BAT,将A和B拼成n2n分块矩阵A|B,利用初等行变换将左边矩阵A化为单位矩阵E,则右边出来的就是过渡矩阵T,示意如下:(A|B)行初等变换(E|T).·６８·

§5 线性子空间

一 授课内容:§5 线性子空间

二 教学目的:通过本节的学习,掌握线性子空间的定义、判别定理.三 教学重点:线性子空间的定义、判别定理.四 教学难点:线性子空间的判别定理.五 教学过程: 1.线性空间的子空间的定义

定义4.12(子空间)设V是数域K上的一个线性空间,M时V的一个非空子集.如果M关于V内的加法与数乘运算也组成数域K上的一个线性空间,则称为V的一个子空间.命题4.7 设V是K上的线性空间,又设一个非空集合WV,则W是子空间当且仅当下述两条成立: i)W对减法封闭； ii)W对于K中元素作数乘封闭.证明:必要性由定义直接得出；

充分性:各运算律在V中已有,所以W满足运算律的条件.只需要证明0W且对于任意W,W,且对加法封闭即可.事实上,由于W关于数乘封闭,则00W；(1)W,于是对于,W,()W,W关于加法封闭.于是W是V的一个子空间.证毕.事实上,W关于加法和数乘封闭也可以得出上述结论.命题4.8 设W是V的一个有限维子空间,则W的任一组基可以扩充为V的一组基.证明:设dimVn,dimWr,(rn),若rn,则命题为真； 若rn,对nr作归纳:设1,2,,r为W的一组基,取r1VW,则1,2,,r,r1线性无关.于是令W'{kr1|W,kK},易见,W’是V的一个子空间,且dimW'r1,此时ndimW'nr1,对其用归纳假设即可.·６９· §6 子空间的交与和

一 授课内容:§6子空间的交与和

二 教学目的:通过本节的学习,掌握子空间的交与和的定义、性质及维数公式.三 教学重点:子空间的交与和的定义及维数公式.四 教学难点:子空间的交与和的性质及维数公式..五 教学过程: 1.子空间的交与和,生成元集 定义4.13 设1,2,,tV,则

k11k22ktt|kiK,i1,2,,t

是V的一个子空间,称为由1,2,,t生成的子空间,记为L(1,2,,t).易见,生成的子空间的维数等于1,2,,t的秩.定义4.14(子空间的交与和)设V1,V2为线性空间V/K的子空间,定义

V1V2{vV1且vV2},称为子空间的交； V1V2{v1v2|v1V1,v2V2},称为子空间的和.命题4.9 V1V2和V1V2都是V的子空间.证明:由命题4.7,只需要证明V1V2和V1V2关于加法与数乘封闭即可.事实上,,V1V2,则,V1,,V2.由于V1,V2均是V的子空间,则V1,V2,于是V1V2,V1V2关于加法封闭；V1V2,kK,kvV1,kvV2,于是kvV1V2,V1V2关于数乘封闭.,V1V2,则由V1V2的定义,1,1V1,2,2V2,使得,121,2而11V1,22V2,则

(12)(12)(11)(22)V1V2, V1V2关于加法封闭；V1V2,kK,1V1,2V2,使得12,由于k1V1,k2V2,则kk(12)k1k2V1V2,V1V2关于

·７０·数乘封闭.证毕.命题4.10 设V1,V2,,Vm是V的子空间,则V1V2Vm和V1V2Vm均为V的子空间.2.维数公式.定理4.1 设V为有限维线性空间,V1,V2为子空间,则

dim(V1V2)dimV1dimV2dim(V1V2).这个定理中的公式被称为维数公式.证明:设dimV1s,dimV2t,dim(V1V2)n,dim(V1V2)r,取V1V2的一组基1,2,,r(若V1V2=0,则r0,基为空集),将此基分别扩充为V1,V2的基

1,2,,r,1,2,,sr, 1,2,,r,1,2,,tr, 只需要证明1,2,,r,1,2,,sr,1,2，tr是V1V2的一组基即可.首先,易见V1V2中的任一向量都可以被1,2,,r,1,2,,sr,1,2,,tr线性表出.事实上,V1V2,则12,其中1V1,2V2,而

1k11k22krrkr11kr22kssr，2l11l22lrrlr11lr22lttr.ki,ljK 于是12可被1,2,,r,1,2,,lr,1,2，tr线性表出.只要再证明向量组1,2,,r,1,2,,lr,1,2,,tr线性无关即可.设k11k22krra11a22asrsrb11b22btrtr0, 其中ki,aj,bhK.则

k11k22krra11a22asrsrb11b22btrtr(*)于是

k11k22krra11a22asrsrV1, b11b22btrtrV2，·７１· 于是k11k22krra11a22asrsrV1V2,记为.则可被1,2,,r线性表示,设

h11h22hrr, 代入(*),有

h11h22hrrb11b22btrtr0, 由于1,2,,r,1,2,,tr是V2的一组基,所以线性无关,则

h1h2hrb1b2btr0, 代回(*),又有k1k2kra1a2asr0, 于是向量组1,2,,r,1,2,,sr,1,2,,tr线性无关.证毕.推论2.1 设V1,V2,,Vt都是有限为线性空间V的子空间,则: dim(V1V2Vt)dimV1dimV2dimVt.证明:对t作归纳.§7 子空间的直和

一 授课内容:§7 子空间的直和

二 教学目的:通过本节的学习,掌握子空间的直和与补空间的定义及性质.三 教学重点:子空间的直和的四个等价定义.四 教学难点:子空间的直和的四个等价定义.五 教学过程: 1.子空间的直和与直和的四个等价定义

定义 设V是数域K上的线性空间,V1,V2,,Vm是V的有限为子空间.若对于Vi中任一向量,表达式

i1m12m,iVi,i1,2,,m.·７２·是唯一的,则称Vi为直和,记为

i1mV1V2Vm或Vi.i1m定理 设V1,V2,,Vm为数域K上的线性空间V上的有限为子空间,则下述四条等价: 1)V1V2Vm是直和； 2)零向量表示法唯一；

ˆV){0},i1,2,,m； 3)Vi(V1Vim4)dim(V1V2Vm)dimV1dimV2dimVm.证明: 1)2)显然.2)1)设12m12m,则

(11)(22)(mm)0.由2)知,零向量的表示法唯一,于是

ii,i1,2,,m, 即的表示法唯一.由直和的定义可知,V1V2Vm是直和.ˆV){0},2)3)假若存在某个i,1im,使得Vi(V1VimˆV),于是存在V,使得 则存在向量0且Vi(V1Vjjimˆim.1由线性空间的定义，ˆV), Vi(V1Vim则1()m()0,与零向量的表示法唯一矛盾,于是

ˆV){0},i1,2,,m.Vi(V1Vim3)2)若2)不真,则有

01im, 其中jVj(j1,2,,m)且i0.于是

ˆV), ˆimVi(V1Vi1im

·７３· 与3)矛盾,于是2)成立.3)4)对m作归纳.①m=2时,由维数公式得到

dim(V1V2)dimV1dimV2dim(V1V2)dimV1dimV2.②设m1(m3)已证,则对于m, dim(V1V2Vm)dimVmdim(V1V2Vm1)dim(Vm(V1V2Vm1))dimVmdim(V1V2Vm1),而i,1im1,都有

垐Vi(V1ViVm1)Vi(V1ViVm){0}；

由归纳假设,可以得到dim(V1V2Vm)dimV1dimV2dimVm.4)3)i,1im,都有

垐dim(Vi(V1ViVm))dim(Vi)dim(V1ViVm)dim(V1V2Vm)0, ˆV){0},i1,2,,m.证毕.于是Vi(V1Vim推论 设V1,V2为V的有限维子空间,则下述四条等价: i)V1V2是直和； ii)零向量的表示法唯一； iii)V1V2{0}；

iv)dim(V1V2)dimV1dimV2.2.直和因子的基与直和的基

命题 设VV1V2Vm,则V1,V2,,Vm的基的并集为V的一组基.证明: 设i1,i2,,ir是Vi的一组基,则V中任一向量可被

i{i1mi1,i2,,ir}线性表出.又dimVdimVir1r2rm,由命题4.5,imi1它们线性无关,于是它们是V的一组基.证毕.3.补空间的定义及存在性

定义 设V1为V的子空间,若子空间V2满足VV1V2,则称为V1的补

·７４·空间.命题 有限维线性空间的任一非平凡子空间都有补空间.证明: 设V1为K上的n为线性空间V的非平凡子空间,取V1的一组基1,2,,r,将其扩为V的一组基1,2,,r,r1,r2,,n取V2L(r1,r2,,n),则有

VV1V2,且dimV1dimV2ndim(V1V2), 于是VV1V2,即V2是V1的补空间.证毕.§8 线性空间的同构

一 授课内容:§1线性空间的同构

二 教学目的:通过本节的学习,掌握线性空间同构的有关定义及线性空间同构的判定.三 教学重点:线性空间同构的判定.四 教学难点:线性空间同构的判定.五 教学过程: 1.线性映射的定义

定义 设U,V为数域K上的线性空间,:UV为映射,且满足以下两个条件: i)()()(),(,U)； ii)(k)k(),(U,kK), 则称为(由U到V的)线性映射.由数域K上的线性空间U到V的线性映射的全体记为HomK(U,V),或简记为Hom(U,V).定义中的i)和ii)二条件可用下述一条代替: (kl)k()k(),(,U,k,lK).·７５· 例 Mmn(K)是K上的线性空间,Msn(K)也是K上线性空间,取定一个K上的sm矩阵A,定义映射

:Mmn(K)Msn(K),xAX.则是由Mmn(K)到Msn(K)的线性映射.例 考虑区间(a,b)上连续函数的全体,它是R上的线性空间,令

UL(1,sinx,sin2x,,sinnx), VL(1,cosx,cos2x,,cosnx).再令

:则是由U到V的一个线性映射.定义 设:UV是线性映射

UV,f(x)AX.i)如果是单射,则称是单线性映射(monomorphism)； ii)如果是满射,则称是满线性映射(endmorphism)；

iii)如果既单且满,则称为同构映射(简称为同构,isomorphism),并说U与V是同构的,同构映射也称为线性空间的同态(homomorphism),同构映射的逆映射也是同构映射；

iv)的核(kernel)定义为ker{U|()0}；

v)的像(image)定义为im={V|U,s.t()},也记为(U)；

命题 ker和im是V的子空间.证明:容易证明它们关于加法和数乘封闭.vi)的余核定义为cokerV/im.命题 线性映射f是单的当且仅当kerf{0},f是满的当且仅当cokerf{0}.定理(同态基本定理)设f:UV是数域K上的线性空间的满线性

·７６·映射,则映射

:U/kerfV，kerff().是同构映射.证明:首先证明是映射,即若'U/kerf,则()(').由于',存在kerf,使得'.于是

f()f(')f(')f()f('),即()(').再证明是线性映射.,U/ker,k,lK,有

(kl)f(kl)kf()lf()k()l().易见是满射,且有Vimf.只要再证明是单射即可,即证明.设ker,则()f()0,于是kerf,即有0.ker{0}证毕.命题 设:UV是线性映射,dimUn,则下述三条等价: i)单；

ii)将U中任意线性无关组映为V中的线性无关组； iii)dim(U)n.证明:i)ii)若1,2,,tV线性无关,则令

k1(1)k2(2)kt(t)0, 由线性映射的定义,(k11k22ktt)0.单,于是k11k22ktt0,则k1k2kt0,ii)成立；

ii)iii)若取U的一组基1,2,,n,则由已知, (1),(2),,(n)线性无关,而im中任意向量可以被(1),(2),,(n)线性表出,于是(1),(2),,(n)构成im的一组基,iii)成立；

iii)i)由同态基本定理知U/kerim,于是diUmdimkerdimke,r即有ker{0}.证毕.·７７·