1986年第一届华罗庚金杯少年数学邀请赛复赛试卷(小学组)及答案

第一篇：1986年第一届华罗庚金杯少年数学邀请赛复赛试卷(小学组)及答案

第一届华罗庚金杯少年数学邀请赛

复赛试题（小学组）

1、甲班和乙班共83人，乙班和丙班共86人，丙班和丁班共88人。问甲班和丁班共多少人？

2、一笔奖金分一等奖、二等奖、三等奖，每个一等奖的奖金是每个二等奖奖金的两倍，每个二等奖的奖金是每个三等奖奖金的两倍。如果评一、二、三等奖各两人，那么每个一等奖的奖金是308元；如果一个一等奖，两个二等奖，三个三等奖，那么一等奖的奖金是多少元？

3、一个长方形，被两条直线分成四个长方形，其中三个的面积是20亩、25亩和30亩。问另一个长方形的面积是多少亩？

4、在一条公路上，每隔一百公里有一个仓库，共有五个仓库。一号仓库存有10吨货物，二号仓库存有20吨货物，五号仓库存有40吨货物，其余两个仓库是空的。现在想把所有的货物集中存放在一个仓库里，如果每吨货物运输一公里需要0.5元的运费，那么最少要花多少运费才行？

5、有一个数，除以3余数是2，除以4余数是1。问这个数除以12余数是几？

6、四个一样的长方形和一个小的正方形（如图）拼成了一个大正方形。大正方形的面积是49平方米，小正方形的面积是4平方米。问长方形的短边长度是几米？

7、有两条纸带，一条长21厘米，一条长13厘米，把两条纸带剪下同样长的一段以后，发现短纸带剩下的长度是长纸带的长度的八分之十三。问剪下有多长？

8、将0、1、2、3、4、5、6这七个数字填在圆圈的方格内，每个数字恰好出现一次，组成只有一位数和两位数的整数式。问填在方格内的数是几？

○×○＝□＝○÷○

9、甲、乙、丙、丁与小强五位同学一起比赛象棋，每两人都比赛一盘。到现在为止，甲已经赛了4盘，乙赛了3盘，丙赛了2盘，丁赛了1盘。问小强赛了几盘？

10、有三堆棋子,每堆棋子数一样多,并且都只有黑、白两色棋子。第一队里的黑子和第二堆里的白子一样多，第三堆里的黑子占全部黑子的五分之二，把这三堆棋子集中在一起，问白子占全部的几分之几？

11、甲、乙两班的同学人数相等，各有一些同学参加课外天文小组，甲班参加天文小组的人数恰好是乙班没有参加的人数的三分之一，乙班参加天文小组的人数是甲班没有参加的人数的四分之一。问甲班没有参加的人数是乙班没有参加的人数的几分之几？

12、上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4公里的地方追上了他，然后爸爸立刻回家，到家后又3立刻回头去追小明，再追上他时候，离家恰好是8公里。问这时是几点几分？

13、把14分成几个自然数的和，再求出这些数的乘积，要使得到的乘积尽可能大，问这个乘积是几？

14、43位同学，他们身上带的钱从8分到5角，钱数都各不相同。每个同学都把身上带的全部钱各自买了画片。画片只有两种，3分一张和5分一张，每没有都尽量多买5分一张的画片。问他们所买的3分画片的总数是多少张？

参考答案

1.【解】甲、乙、丙、丁四个班的总人数：83＋88＝171(人)用总人数减去乙班和丙班的人数，就可以得出甲班和丁班的人数：171－86＝85(人)

2.【解】奖金的总数是：308×[(1＋

十)×2]＝1078(元)按一个一等奖，两个二等奖，三个三等奘来分配，一等奖是：1078＋(1＋×＋×3)＝392(元)

3.【解】设面积为25亩的长方形，长为a，宽为b；面积为30亩的长方形，长为c，度为d；则面积为20亩的长方形，长为c，宽为b；而所求长方形的长为a，宽为d，它的面积为 a×d＝＝

＝37.5(亩)

4.【解】如果A地的货物比B地多，那么将B地的货运往A地比将A地的货运往B地省钱，因此，应将10吨货由一号仓库运到二号仓库。同样，应将这(10＋20)吨货由二号仓库运到五号仓库，共用(10×400＋20×300)×0.5＝5000(元)答：最少要花5000元运费

5.【解】设这个数除以12，余数是a．那么a除以3，余数是2；除以4，余数是1．在0，1，2，„，11中，符合这样条件的a只有5，于是这个数除以12余数是5。

6.【解】因为7×7＝49，大正方形的边长是7米

同样，2×2＝4，小正方形的边长是2米。

大正方形的边长是两个长方形的短边长与小正方形边长的和所以长方形的短边长为：

(7－2)÷2＝2.5(米)。

7.【解】长纸带剩下：(21－13)÷(1－)＝

＝20.8(厘米)所以剪下的一段长：21－20.8＝0.2(厘米)

8.【解】题目要求用七个数字组成5个数，说明有三个数是1位数，有两个数是两位数．

很明显，方框和被除数是两位数，乘数和除数是1位数,看得出来，0不宜做乘数，更不能做除数。因而是两位数的个位数字，从而是被除数的个位字 乘数如果是1，不论被乘数是几，都将在算式出现两次。所以，乘数不是1．同样乘数也不能是5被除数是3个一位数的乘积，其中一个是5，另两个中没有1，也不能有2(否则2×5＝10，从而被除数的十位数字与另一个乘数相同)．因而被除数至少是3×4×5＝60由于没有比6大的数字，所以被除数就是60，而且算式是3×4＝12＝60÷5，于是方格中的数是12 9.【解】“甲已经赛了4盘”，说明甲与乙、丙、丁、小强各赛了1盘(小强与甲赛了1盘)“丁赛了1盘”，肯定丁只与甲比赛。

“乙赛了3盘”，说明乙与甲、丙、小强各赛了1盘(小强与乙赛了1盘)。

现在已经知道，丙赛的2盘是与甲、乙各赛了1盘，所以，小强赛了2盘.10.【解】不妨认为第二堆全是黑子，第一堆全是白子，(即将第一堆黑子与第二堆白子互换)第二堆黑于是全部棋子的，同时，又是黑子的1－，所以黑子占全部棋子的：÷(1－)＝

白子占全部棋子的：1－＝

11.【解】甲班未参加的人去掉

。，就是乙班未参加的人去掉，所以所求的比是：(1－)÷(1－)＝。

12.【解】爸爸在离家4千米处，如果不返回．而是停8分钟，然后再向前追小明。

应当在离家4＋4＝8(千米)处恰好追上小明。这表明爸爸从离家4千米处返回，然后再回到这里，共用8分钟，即爸爸8分钟行8千米，从而爸爸共用8＋8＝16(分钟)，第二次追上小明时是8点32分(8＋8＋16＝32)

13.【解】14＝3＋3＋3＋3十2，最大乘积是3×3×3×3×2＝162

14.【解】钱数除以5余0，1，2，3，4的人，分别买0，2，4，1，3张3分画片。

因此，可将钱数8分至5角2分这45种分为9组，每连续5个在一组，每组买3分画片：0＋2＋4＋1＋3＝10张。

9组共买10×9＝90张，去掉5角1分钱中买的2张3分画片，5角2分钱中买的4张3分画片，43个人买的3分画片的总数是90－2－4＝84张

第二篇：第一届华罗庚金杯少年数学邀请赛(1986年)

第一届华罗庚金杯少年数学邀请赛（1986年）

初赛试题

1.1966、1976、1986、1996、2006这五个数的总和是多少?

2.每边长是10厘米的正方形纸片，正中间挖了一个正方形的洞，成为一个宽1厘米的方框。把五个这样的方框放在桌面上，成为一个这样的图案(如图1所示)。问桌面上被这些方框盖住的部分面积是多少平方厘米?

3.105的约数共有几个? 4.妈妈让小明给客人烧水沏茶。洗开水壶要用1分钟，烧开水要用15分钟，洗茶壶要用1分钟，洗茶杯要用1分钟，拿茶叶要用2分钟。小明估算了一下，完成这些工作要花20分钟。为了使客人早点喝上茶，按你认为最合理的安排，多少分钟就能沏茶了?

5.右面的算式里，四个小纸片各盖 住了一个数字。被盖住的四个数字的 总和是多少?

6． 松鼠妈妈采松子，晴天每天可以采20个，雨天每天只能采12个。它一连几天采了112个松子，平均每天采14个。问这几天当中有几天有雨?

7． 边长l米的正方体2100个，堆成了一个实心的长方体。它的高是10米，长、宽都大于高。问长方体的长与宽的和是几米?

8． 早晨8点多钟有两辆汽车先后离开化肥厂向幸福村开去。两辆车的速度都是每小时60千米o 8点32分的时候，第一辆汽车离开化肥厂的距离是第二辆汽车的三倍。到了8

点39分的时候，第一辆汽车离开化肥厂的距离是第二辆汽车的2倍。那么，第一辆汽车是8点几分离开化肥厂的?

9． 有一个整数，除300、262、205得到相同的余数。问这个整数是几?

10．甲、乙、丙、丁四个人比赛乒乓球，每两个人都要赛一场。结果甲胜了丁，并且甲、乙、丙三人胜的场数相同。问丁胜了几场?

11．两个十位数1111111111和9999999999的乘积有几个数字是奇数?

12．黑色、白色、黄色的筷子各有8根，混杂地放在一起，黑暗中想从这些筷子中取出颜色不同的两双筷子。问至少要取多少根才能保证达到要求?

13.有一块菜地和一块麦地。菜地的一半和麦地的l／3放在一起是13公顷。麦地的一半和菜地的1／3放在一起是12公顷。那么，菜地是几公顷?

14．71427和19的积被7除，余数是几?

15．科学家进行一项实验，每隔5小时做一次记录。做第十二次记录时，挂钟的时针恰好指向9，问做第一次记录时，时针指向几?

16．有一路电车的起点站和终点站分别是甲站和乙站。每隔5分钟有一辆电车从甲站出发开往乙站，全程要走15分钟。有一个人从乙站出发沿电车路线骑车前往甲站。他出发的时候，恰好有一辆电车到达乙站。在路上他又遇到了10辆迎面开来的电车，才到达甲站。这时候，恰好又有一辆电车从甲站开出。问他从乙站到甲站用了多少分钟?

17．在混合循环小数2．718281的某一位上再添上一个表示循环的圆点，使新产生的循环小数尽可能大，请写出新的循环小数。

18．有六块岩石标本，它们的重量分别是8．5千克、6千克、4千克、4千克、3千克、2千克。要把它们分装在三个背包里，要求最重的一个背包尽可能轻一些。请写出最重的背包里装的岩石标本是多少千克?

19．同样大小的长方形小纸片摆成如图2的 图形。已知小纸片的宽是12厘米，求阴影 部分的总面积。

复赛试题

1.1.甲班和乙班共83人，乙班和丙班共86人，丙班和丁班共88人。问甲班和丁班共多少人?

2.一笔奖金分为一等奖、二等奖、三等奖，每个一等奖的奖金是每个二等奖奖金的两倍，每个二等奖的奖金是每个三等奖奖金的两倍。如果评一、二、三等奖各二人，那么每个一等奖金是308元，如果评一个一等奖，两个二等奖，三个三等奖，那么一等奖的奖金是多少元?

3.一个长方形(如图3所示)，被两条直线分成四个长方形，其中三个的面积分别是20公

顷、25公顷和30公顷。问另一个(图中阴影部分)长方形的面积是多少公顷?

4.在一条公路上每隔100千米有一个仓库(如图4所示)，共有五个仓库。一号仓库存有10吨货物，二号仓库存有20吨货物，五号仓库存有40吨货物，其余两个仓库是空的。现在想把所有货物集中存放在一个仓库里，如果每吨货物运输1千米需要0.5元运输费，那么最少要多少运费才行?

5.有一个数，除以3余数是2，除以4余数是1，问这个数除以12余数是几?

6.四个一样的长方形和一个小的正方 形(如图5所示)拼成了一个面积为49平方米的大正方形。小正方形的面积 是4平方米。长方形的短边长度是几米?

7.有两条纸带，一条长21厘米。一条长13厘米，把两条纸带都剪下同样长的一段以后，发现短纸带剩下的长度是长纸带剩下的长度的8/13。问剪下的一段有多少?

8.〇×〇＝口＝〇十〇，将0，l，2，3，4，5，6这七个数填在圆圈和方格内，每个数字恰好出现一次，组成只有一位数和两位数的整数算式。问填在方格内的数是几?

9.甲、乙、丙、丁与小强五位同学一起比赛象棋，每两人都要比赛一盘。到现在为止，甲已经赛了4盘，乙赛了3盘，丙赛了2盘，丁赛了l盘。问小强已经赛了几盘?

10.有三堆棋子，每堆棋子数一样多，并且都只有黑、白两色棋子。第一堆里的黑子和第二堆里的白子一样多，第三堆里的黑子占全部黑子的专。把三堆棋子集中在一起，问白子占全部棋子的几分之几?

11.甲、乙两班的同学人数相等，各有一些同学参加课外天文小组，甲班参加天文小组的人数恰好是乙班没有参加人数的1/3，乙班参加天文小组的人数是甲班没有参加的人 数的1/4。问甲班没有参加的人数是乙班没有参加的人数的几分之几?

12.上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他。然后爸爸立刻回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上他的时候，离家恰好是8千米，问这时是几点几分?

13.把14分成几个自然数的和，再求出这些数的乘积，要使得到的乘积尽可能大，问这个乘积是几?

14.43位同学，他们身上带的钱从8分到5角，钱数都不相同。每个同学都把身上带的全部钱各自买了画片。画片只有两种，3分一张和5分一张的。每人都尽量多买5分一张的画片。问他们所买的3分画片的总数是多少张？

第三篇：第一届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试题

第一届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试题

（1986年）

1.1966、1976、1986、1996、2006这五个数的总和是多少? 2．每边长是10厘米的正方形纸片，正中间挖了一个正方形的洞，成为一个宽1厘米的方框。把五个这样的方框放在桌面上，成为一个这样的图案(如图1所示。问桌面上被这些方框盖住的部分面积是多少平方厘米?

3．105的约数共有几个?

4．妈妈让小明给客人烧水沏茶。洗开水壶要用

1分钟，烧开水要用15分钟，洗茶壶要用1分钟，洗茶杯要用1分钟，拿茶叶要用2分钟。小明估算了一下，完成这些工作要花20分钟。为了使客人早点喝上茶，按你认为最合理的安排，多少分钟就能沏茶了?

5．下面的算式里，四个小纸片各盖住了一个数字。被盖住的四个数字的总和是多少?

6．松鼠妈妈采松子，晴天每天可以采20

个，雨天每天只能采子，平均每天采14个。问这几天当中有几天有雨?

7．边长l

2个。它一连几天采了

112

个松米的正方体2100个，堆成了一个实心的长方体。它的高是问长方体的长与宽的和是几米?

8．早晨8

米，长、宽都大于高。点多钟有两辆汽车先后离开化肥厂向幸福村开去。两辆车的速度都是每小时60千米。8点32分的时候，第一辆汽车离开化肥厂的距离是第二辆汽车的三倍。到了8点39分的时候，第一辆汽车离开化肥厂的距离是第二辆汽车的2倍。那么，第一辆汽车是8点几分离开化肥厂的?

9．有一个整数，除300、262、205得到相同的余数。问这个整数是几?

10．甲、乙、丙、丁四个人比赛乒乓球，每两个人都要赛一场。结果甲胜了丁，并且甲、乙、丙三人胜的场数相同。问丁胜了几场?

11．两个十位数1111111111和9999999999的乘积有几个数字是奇数?

12．黑色、白色、黄色的筷子各有8

根，混杂地放在一起，黑暗中想从这些筷子中取出颜色不同的两双筷子。问至少要取多少根才能保证达到要求?

13．有一块菜地和一块麦地。菜地的一半和麦地的l／

3放在一起是

公顷。麦地的一半和菜地的1／3放在一起是12公顷。那么，菜地是几公顷?

14．71427和19的积被7除，余数是几?

15．科学家进行一项实验，每隔5小时做一次记录。做第十二次记录时，挂钟的时针恰好指向9，问做第一次记录时，时针指向几?

16．有一路电车的起点站和终点站分别是甲站和乙站。每隔5分钟有一辆电车从甲站出发开往乙站，全程要走15分钟。有一个人从乙站出发沿电车路线骑车前往甲站。他出发的时候，恰好有一辆电车到达乙站。在路上他又遇到了10辆迎面开来的电车，才到达甲站。这时候，恰好又有一辆电车从甲站开出。问他从乙站到甲站用了多少分钟?

17．在混合循环小数小数。的某一位上再添上一个表示循环的圆点，使新产生的循环小数尽可能大，请写出新的循环18．有六块岩石标本，它们的重量分别是8.5千克、6千克、4千克、4千克、3千克、2千克。要把它们分装在三个背包里，要求最重的一个背包尽可能轻一些。请写出最重的背包里装的岩石标本是多少千克?

19．同样大小的长方形小纸片摆成如图2的图形。已知小纸片的宽是12厘米，求阴影部分的总面积。

1．【解】 1986是这五个数的平均数，所以和＝1986×5＝9930。

。每个重叠部分占的面积是一个边长为1厘米的正方形。重叠部分共有8个 2．【解】方框的面积是×5一l×8(＝(100—64×5—8 ＝36×5—8 ＝172(平方厘米。

故被盖住的面积是172平方厘米。

3．【解】 105＝3×5×7，共有(1＋1×(1＋1×(1＋1＝8个约数，即1，3，5，7，15，21，35，105。

4．【解】在这道题里，最合理的安排应该最省时间。先洗开水壶，接着烧开水，烧上水以后，小明需要等15分钟，在这段时间里，他可以洗茶壶，洗茶杯，拿茶叶，水开了就沏茶，这样只用16分钟。

5．【解】149的个位数是9，说明两个个位数相加没有进位，因此，9是两个个位数的和，14是两个十位数的和。于是，四个数字的总和是14＋9＝23。

6．【解】松鼠采了：112÷14＝8(天

假设这8天都是晴天，可以采到的松籽是：20×8＝160(个

实际只采到112个，共少采松籽：160－112＝48(个

每个下雨天就要少采：20－12＝8(个

所以有48÷8＝(6个雨天。

7．【解】因为正方体的边长是1米，2100个正方体堆成实心长方体的体积就是2100立方米。

已经知道，高为10米，于是长×宽＝210平方米

把210分解为质因数：210＝2×3×5×7

由于长和宽必须大于高(10米，长和宽只能是：3×5和2×7。也就是15米和14米。14米＋15米＝29米。

答：长与宽的和是29米。

8．【解】39－32＝7。这7分钟每辆行驶的距离恰好等于第二辆车在8点32分行过的距离的1(＝3－2倍。因此第一辆车在8点32分已行7×3＝21(分，它是8点11分离开化肥厂的(32－21＝11。【注】本题结论与两车的速度大小无关，只要它们的速度相同。答案都是8点11分。

9．【解】这个数除300、262，得到相同的余数，所以这个数整除300－262＝38，同理，这个数整除262－205＝57，因此，它是38、57的公约数19。

10．【解】因为一共赛了六场，而且“甲乙丙三人胜的场数相同”他们不是各胜一场就是各胜两场如果甲、乙、丙各胜一场，丁就应该是胜了三场，但丁已经败给了甲，他就不可能胜三场因此，只可能是甲、乙、丙各胜二场，3×2＝6，三人共胜了六场，所以丁一场也没有胜。11． 【解】1111111111×9999999999

＝1111111111×(10000000000－

1＝***00000－1111111111

＝***888889

于是有1O个数字是奇数。

12．【解】10根筷子，可能8根黑，1根白，1根黄，其中没有颜色不同的两双筷子。

如果取11根，那么由于11＞3，其中必有两根同色组成一双，不妨设这一双是黑色的，去掉这两根，余下9根，其中黑色的至多6(＝8－2根，因而白、黄两色的筷子至少有3(＝9－6根，3根中必有2根同色组成一双。这样就得到颜色不同的两双筷子。所以至少要取11根。

13．【解】菜地的3倍和麦地的2倍是13×6公顷。菜地的2倍和麦地的3倍是12×6公顷，因此菜地与麦地共：(13×6＋12×6÷(3＋2＝30(公顷，菜地是13×6－30×2＝18(公顷。

14． 【解】71427被7除，余数是6，19被7除，余数是5，所以71427×19被7除，余数就是6×5被7除所得的余数2。

15．【解】从第一次记录到第十二次记录，相隔十一次，共5×11＝55(小时。时针转一圈是12小时，55除以12余数是7，9－7＝2 答：时针指向2。

16．【解】因为电车每隔5分钟发出一辆，15分钟走完全程。骑车人在乙站看到的电车是15分钟以前发出的，可以推算出，他从乙站出发的时候，第四辆电车正从甲站出发骑车人从乙站到甲站的这段时间里，甲站发出的电车是从第4辆到第12辆。电车共发出9辆，共有8个间隔。于是：5×8＝40(分。

17．【解】小数点后第7位应尽可能大，因此应将圈点点在8上，新的循环小数是。

18．【解】三个背包分别装8.5千克、6千克与4千克，4千克、3千克与2千克，这时最重的背包装了lO千克。另一方面最重的包放重量不少于10千克：8.5千克必须单放(否则这一包的重量超过106千克如果与2千克放在一起，剩下的重量超过10，如果与3千克放在一起，剩下的重量等于10。所以最重的背包装10千克。19．【解】从第一排与第二排看，五个小纸片的长等于三个小纸片的长加三个小纸片的宽，也就是说，二个小纸片的长等于三个小纸片的宽。

已知小纸片的宽是12厘米，于是小纸片的长是：12×3÷2＝18(厘米，阴影部分是三个正方形，边长正好是小纸片的长与宽的差：18－12＝6

于是，阴影部分的面积是：6×6×3＝108(平方厘米。

第一届华罗庚金杯赛复赛试题

1、甲班和乙班共83人，乙班和丙班共86人，丙班和丁班共88人。问甲班和丁班共多少人？

2、一笔奖金分一等奖、二等奖、三等奖，每个一等奖的奖金是每个二等奖奖金的两倍，每个二等奖的奖金是每个三等奖奖金的两倍。如果评一、二、三等奖各两人，那么每个一等奖的奖金是308元；如果一个一等奖，两个二等奖，三个三等奖，那么一等奖的奖金是多少元？

3、一个长方形，被两条直线分成四个长方形，其中三个的面积是20亩、25亩和30亩。问另一个长方形的面积是多少亩？

4、在一条公路上，每隔一百公里有一个仓库，共有五个仓库。一号仓库存有10吨货物，二号仓库存有20吨货物，五号仓库存有40吨货物，其余两个仓库是空的。现在想把所有的货物集中存放在一个仓库里，如果每吨货物运输一公里需要0.5元的运费，那么最少要花多少运费才行？

5、有一个数，除以3余数是2，除以4余数是1。问这个数除以12余数是几？

6、四个一样的长方形和一个小的正方形（如图）拼成了一个大正方形。大正方形的面积是49平方米，小正方形的面积是4平方米。问长方形的短边长度是几米？

7、有两条纸带，一条长21厘米，一条长13厘米，把两条纸带剪下同样长的一段以后，发现短纸带剩下的长度是长纸带的长度的八分之十三。问剪下有多长？

8、将0、1、2、3、4、5、6这七个数字填在圆圈的方格内，每个数字恰好出现一次，组成只有一位数和两位数的整数式。问填在方格内的数是几？

○×○＝□＝○÷○

9、甲、乙、丙、丁与小强五位同学一起比赛象棋，每两人都比赛一盘。到现在为止，甲已经赛了4盘，乙赛了3盘，丙赛了2盘，丁赛了1盘。问小强赛了几盘？

10、有三堆棋子,每堆棋子数一样多,并且都只有黑、白两色棋子。第一队里的黑子和第二堆里的白子一样多，第三堆里的黑子占全部黑子的五分之二，把这三堆棋子集中在一起，问白子占全部的几分之几？

11、甲、乙两班的同学人数相等，各有一些同学参加课外天文小组，甲班参加天文小组的人数恰好是乙班没有参加的人数的三分之一，乙班参加天文小组的人数是甲班没有参加的人数的四分之一。问甲班没有参加的人数是乙班没有参加的人数的几分之几？

12、上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4公里的地方追上了他，然后爸爸立刻回家，到家后又3立刻回头去追小明，再追上他时候，离家恰好是8公里。问这时是几点几分？

13、把14分成几个自然数的和，再求出这些数的乘积，要使得到的乘积尽可能大，问这个乘积是几？ 14、43位同学，他们身上带的钱从8分到5角，钱数都各不相同。每个同学都把身上带的全部钱各自买了画片。画片只有两种，3分一张和5分一张，每没有都尽量多买5分一张的画片。问他们所买的3分画片的总数是多少张？ 1.【解】甲、乙、丙、丁四个班的总人数：83＋88＝171(人

用总人数减去乙班和丙班的人数，就可以得出甲班和丁班的人数：171－86＝85(人

2.【解】奖金的总数是：308×[(1＋十

×2]＝1078(元

按一个一等奖，两个二等奖，三个三等奘来分配，一等奖是：1078＋(1＋×＋

×3＝392(元

3.【解】设面积为25亩的长方形，长为a，宽为b；面积为30亩的长方形，长为c，度为d；则面积为20亩的长方形，长为c，宽为b；而所求长方形的长为a，宽为d，它的面积为

a×d＝＝

＝37.5(亩

4.【解】如果A地的货物比B地多，那么将B地的货运往A地比将A地的货运往B地省钱，因此，应将10吨货由一号仓库运到二号仓库。同样，应将这(10＋20吨货由二号仓库运到五号仓库，共用(10×400＋20×300×0.5＝5000(元

答：最少要花5000元运费

5.【解】设这个数除以12，余数是a．那么a除以3，余数是2；除以4，余数是1．在0，1，2，…，11中，符合这样条件的a只有5，于是这个数除以12余数是5。6.【解】因为7×7＝49，大正方形的边长是7米

同样，2×2＝4，小正方形的边长是2米。

大正方形的边长是两个长方形的短边长与小正方形边长的和所以长方形的短边长为：

(7－2÷2＝2.5(米。

7.【解】长纸带剩下：(21－13÷(1－＝

＝20.8(厘米

所以剪下的一段长：21－20.8＝0.2(厘米

8.【解】题目要求用七个数字组成5个数，说明有三个数是1位数，有两个数是两位数．

很明显，方框和被除数是两位数，乘数和除数是1位数

看得出来，0不宜做乘数，更不能做除数。因而是两位数的个位数字，从而是被除数的个位字

乘数如果是1，不论被乘数是几，都将在算式出现两次。所以，乘数不是1．同样乘数也不能是

5被除数是3个一位数的乘积，其中一个是5，另两个中没有1，也不能有2(否则2×5＝10，从而被除数的十位数字与另一个乘数相同．因而被除数至少是3×4×5＝60由于没有比6大的数字，所以被除数就是60，而且算式是3×4＝12＝60÷5，于是方格中的数是12

9.【解】“甲已经赛了4盘”，说明甲与乙、丙、丁、小强各赛了1盘(小强与甲赛了1盘

“丁赛了1盘”，肯定丁只与甲比赛。

“乙赛了3盘”，说明乙与甲、丙、小强各赛了1盘(小强与乙赛了1盘。

现在已经知道，丙赛的2盘是与甲、乙各赛了1盘，所以，小强赛了2盘.10.【解】不妨认为第二堆全是黑子，第一堆全是白子，(即将第一堆黑子与第二堆白子互换

第二堆黑于是全部棋子的，同时，又是黑子的1－，所以黑子占全部棋子的：÷(1－＝

白子占全部棋子的：1－＝。

11.【解】甲班未参加的人去掉，就是乙班未参加的人去掉，所以所求的比是：(1－÷(1－＝。

12.【解】爸爸在离家4千米处，如果不返回．而是停8分钟，然后再向前追小明。

应当在离家4＋4＝8(千米处恰好追上小明。这表明爸爸从离家4千米处返回，然后再回到这里，共用8分钟，即爸爸8分钟行8千米，从而爸爸共用8＋8＝16(分钟，第二次追上小明时是8点32分(8＋8＋16＝32

13.【解】14＝3＋3＋3＋3十2，最大乘积是3×3×3×3×2＝162

14.【解】钱数除以5余0，1，2，3，4的人，分别买0，2，4，1，3张3分画片。

因此，可将钱数8分至5角2分这45种分为9组，每连续5个在一组，每组买3分画片：0＋2＋4＋1＋3＝10张。

9组共买10×9＝90张，去掉5角1分钱中买的2张3分画片，5角2分钱中买的4张3分画片，43个人买的3分画片的总数是90－2－4＝84张

第一届华杯赛决赛一试试题及解答

1.计算：

2．975×935×972×（）,要使这个连乘积的最后四个数字都是“0”，在括号内最小应填什么数？

3．把＋、－、×、÷分别填在适当的圆圈中，并在长方形中填上适当的整数，可以使下面的两个等式都成立，这时，长方形中的数是几？

9○13○7=100

14○2○5=□

4．一条1米长的纸条，在距离一端0.618米的地方有一个红点，把纸条对折起来，在对准红点的地方涂上一个黄点然后打开纸条从红点的地方把纸条剪断，再把有黄点的一段对折起来，在对准黄点的地方剪一刀，使纸条断成三段，问四段纸条中最短的一段长度是多少米？

5．从一个正方形木板锯下宽为米的一个木条以后，剩下的面积是

平方米，问锯下的木条面积是多少平方米？

6．一个数是5个2，3个3，2个5，1个7的连乘积。这个数当然有许多约数是两位数，这些两位的约数中，最大的是几？ 7．修改31743的某一个数字，可以得到823的倍数，问修改后的这个数是几？

8．蓄水池有甲、丙两条进水管，和乙、丁两条排水管，要灌满一池水，单开甲管需3小时，单开丙管需要5小时，要排光一池水，单开乙管需要4小时，单开丁管需要6小时，现在池内有管，每天每管开一小时，问多少时间后水清苦始溢出水池？

池水，如果按甲、乙、丙、丁的顺序，循环各开水

9．一小和二小有同样多的同学参加金杯赛，学校用汽车把学生送往考场，一小用的汽车，每车坐15人，二小用的汽车，每车坐13人，结果二小比一小要多派一辆汽车，后来每校各增加一个人参加竞赛，这样两校需要的汽车就一样多了，最后又决定每校再各增加一个人参加竞赛，二小又要比一小多派一辆汽车，问最后两校共有多少人参加竞赛？

10．如右图，四个小三角形的顶点处有六个圆圈。如果在这些圆圈中分别填上六个质数，它们的和是20，而且每个小三角形三个顶点上的数之和相等。问这六个质数的积是多少？

11．若干个同样的盒子排成一排，小明把五十多个同样的棋子分装在盒中，其中只有一个盒子没有装棋子，然后他外出了，小光从每个有棋子的盒子里各拿一个棋子放在空盒内，再把盒子重新排了一下，小明回来仔细查看了一番，没有发现有人动过这些盒子和棋子，问共有多少个盒子？

12．如右图，把1.2，3.7, 6.5, 2.9, 4.6，分别填在五个○内，再在每个□中填上和它相连的三个○中的数的平均值，再把三个□中的数的平均值填在△中，找出一个填法，使△中的数尽可能小，那么△中填的数是多少？

13．如下图，甲、乙、丙是三个站，乙站到甲、丙两站的距离相等。小明和小强分别从甲、丙两站同时出发相向而行，小明过乙站100米后与小强相遇，然后两人又继续前进，小明走到丙站立即返回，经过乙站后300米又追上小强。问甲、丙两站的距离是多少数？

14．如下图，剪一块硬纸片可以做成一个多面体的纸模型（沿虚线折，沿实线粘），这个多面体的面数、顶点数和棱数的总和是多少？

1．2．应填20 3．长方形中的数是2 4．0.146米

5．锯下的木条面积为

平方米

6．最大的约数是96 7．33743 8．

小时

9．184人

10．900 11． 11个

12．△中数为3.1 13．甲、丙两站的距离是600米

14．多面体的面数、顶点数和棱数的总和是74个

1.【解】原式＝

2.【解】要使（）最后四个数字都是“0”，这个连乘积应能分解出4个“5”和4个“2”的因数，975＝5×5×39，935＝5×187，972＝2×2×243，前三个数中共有3个“5”和2个“2”，所以括号中应填的数是：2×2×5＝20。

3.【解】第一个等式中必须有乘号，经尝试得9＋13×7＝100，14÷2－5＝2．于是，长方形中的数是2 4.【解】红点距离纸条左端0.618米，离右端1－0.618＝0.382米，所以黄点离左端也是0.382米。

红点与黄点之间的距离是：1－0.382×2＝0.236(米

剪去一段纸条以后，剩下的纸条长0.618米．对折起来．对准黄点剪一刀，得到两段长0.236米的纸条还有一段纸条的长度是：0.618—0.236×2＝0.146(米，经过比较，四段纸条中最短的一段是0.146米

5.【解】将四块面积为平方米的长方形，拼成下图的正方形，中心空一个小正方形。这个小正方形的边长是

米。

大正方形的面积是：×4＋＝＝

(平方米。

因为，所以大正方形的边长是

米。

大正方形的边长比原正方形的2倍少米所以，原正方形的边长是

(米。

锯下的木条面积是

(平方米

6.【解】设该数为a，显然99＝9×11不符合要求；98＝3×7×7，97不是a的约数。而96＝2×2×2×2×2×3是a的约数，所以其中最大的两位数约数为96。7.【解】 31743÷823＝38……469

无论后三位数字7、4、3中改变哪一个都不能使余数增或减变为823的倍数。如果将千位的1改为3，则由于2469＝823×3，可得33743被823整除。如果改变万位数字，结果与33743相差一个两位数×1000，因而不被823整除，所以修改后的数是33743。

8.【解】甲、乙、丙、丁四个水管，按顺序各开1小时，共开4小时，池内灌进的水是全池的：．

加上池内原来的水，池内有水：

再过四个4小时，也就是20小时以后，池内有水：，在20小时以后，只需要再灌水1－＝，水就开始溢出．出水池。÷＝(小时，即再开甲管小时，水开始溢出，所以20＋＝(小时后，水开始溢9.【解】原来每校参赛人数是15的倍数，加1后是13的倍数，由于：6×15＋1＝7×13，所以每校原来参加人数为：6×15＝90，最后两校共有：90×2＋4＝184(人参加比赛．

10.【解】设每个小三角形三个顶点上的数的和都是S。4个小三角形的和S相加时，中间三角形每个顶点上的数被算了3次，所以：4S＝2S＋20，从而：S＝10，这样，每个小三角形顶点上出现的三个质数只能是2，3，5，从而六个质数是2，2，3，3，5，5，它们的积是：2×2×3×3×5×5＝900

11.【解】原来的那个空盒子现在不空了，另一个盒子现在变成了空盒子，这说明原来有一个盒子只装着一枚棋子，这枚棋子被拿走了原来装着一枚棋子的盒子变成空盒子以后，还需要有一个盒子来替代它。这个盒子原来装着2枚棋子．……可见原来盒子里的棋子是若干个从1开始的连续自然数。这些连续自然数之和是五十多。因为1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝55．所以，共有11个盒子．

12.【解】要求平均值尽可能小，就要尽量少使用大的数，而要多使用小的数。这五个○，两端的○中的数只参加一次运算，应该填入6.5和4.6；中间的○中的数参加了三次运算，应该填1.2，其余两个圈填2.9与3.7，这时有两种填法，不论哪一种，计算以后知道△中填的数应该是3.1。于是△中数为3.1．

13.【解】小明第一次遇到小强的时候，走了全程的一半加100米；他从过乙站100米的地方开始，第二次前进，追上小强时离乙站300米，300－100＝200(米，说明他走完了全程加200米这就可以判断，他第二次走的距离是第一次的2倍

所以小强第二次走的距离也是第一次走的距离的2倍。小强第二次走过的距离是300＋100＝400(米，从而第一次走过的距离是200米乙站和丙站的距离就是200＋100＝300(米，甲、丙两站的距离是300×2＝600(米．

14.【解】多面体的面数，可以直接从侧面展开图中数出来，12个正方形加8个三角形，共20面。下图是多面体上部的示意图共有9个顶点；同样，下部也是9个顶点．共18个顶点。

棱数要分成三层来数，上层，从示意图数，有15条；下层也是15条；中间部分为6条一共

15×2＋6＝36(条

20＋18＋36＝74(个．

答：多面体的面数、顶点数和棱数的总和是74个。

第一届华杯赛决赛二试试题及解答

1.请你举出一个例子，说明“两个真分数的和可以是个真分数，而且这三个分数的分母谁也不是谁的约数。” 2．有人说：“任何七个连续整数中一定有质数”．请你举一个例子，说明这句话是错的。

3．幼儿园有三个班，甲班比乙班多4人，乙班比丙班多4人，老师给小孩分枣，甲班每个小孩比乙班每个小孩少分3个枣；乙班每个小孩比丙班每个小孩少分5个枣，结果甲班比乙班总共多分3个枣，乙班比丙班总共分5个枣，问三个班总共分了多少枣？

4．快、中、慢三辆车同时从同一地点出发，沿同一公路追赶前面的一个骑车人，这三辆车分别用6分钟、10分钟、12分钟追上骑车人，现在知道快车每小时走24千米，中车每小时走20千米，那么，慢车每小时走多少千米？

5．老师在黑板上写了十三个自然数，让小明计算平均数（保留两位小数），小明计算出的答数是12.43，老师说最后一位数字错了，其他的数字都对，正确答案应该是多少？

6．有十个村，座落大县城出发的一条公路上（如下图所示，距离单位是千米），要安装水管，从县城送自来水供给各村，可以用粗细两种水管，粗管足够供应所有各村用水，细管只能供一个村用水，粗管每千米要用8000元，细管每千米要用2000元，把粗管和细管适当搭配、互相连接，可以降低工程的总费用，按你认为最节约的办法，费用应是多少？

7．70个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的三倍都恰好等于它两边两个数的和，这一行最左行的几个数是这样的：0，1，3，8，21，…问最右边一个数被6除余几？

8．有9个分数的和为1，它们的分子都是1，其中的五个是5，请写出这4个分数。，，，其余四个数的分母个位数都是9．一张长14厘米、宽11厘米的长方形纸片最多能裁出多少个长4厘米、宽1厘米的纸条？怎样裁？请画图说明。

1．2．90，91，92，93，94，95，96 3．三个班共分673个枣

4．慢车每小时走19千米

5．12.46 6.工程总费用最少为414000元

7．最右边一个数被6除余4

8．4个分数是，，9．下面框图出了两种不同的裁法

1.【解】例如：

2.【解】 90、91、92、93、94、95、96。这七个连续整数都是合数。没有质数。这个例子说明：“任何七个连续整数中一定有质数”这句话是错的。3.【解】设丙班有小孩x人

由于甲班每个小孩比乙班每个小孩少分3个枣，乙班每个小孩比丙班每个小孩少分5个枣，所以甲班每个小孩比丙班每个小孩少分8个枣这样，甲班x小孩比丙班x小孩少分8x个枣由于甲班比乙班总共多分3个枣，乙班比丙班多分5个枣，所以甲班比丙班总共多分8个枣。

又由题意知道甲班比丙班多8个小孩，这8个小孩只分到8x＋8个枣。甲班每个小孩分到的枣是：

(8x＋8÷8＝x＋1(个

同理，乙班x个小孩比丙班每个小弦少分5x个枣乙班每个小孩分枣：(5x＋5÷4

我们可以得到方程：x＋1＋3＝解方程：x＝11。

因此：甲班小孩19人，每个小孩分枣12个；

乙班小弦15人，每个小弦分枣15个；

丙班小孩1i人，每个小弦分枣20个。

11×20＋15×1．5＋19×12＝673(个。答：三个班共分673个枣。

4.【解】快车6分钟行驶的距离是：24000×

＝2400(米

中车10分钟行驶的距离是：20000×＝

(米，骑车人每分钟走(－2400÷(10－6＝

(米，慢车在12分钟走过2400－×6＋

×12＝3800(米，慢车每小时可以行驶：3800÷12×60＝19000(米 答：慢车每小时走19千米。

5.【解】12.4×13＝16l.2因此13个自然数之和是大于161.2的自然数162÷13≈12.46，163÷13≈12.54。因此，正确的答案是12.46。

6.【解】设十个村分别为，，…，(如图

在之后，粗管可以换成3根或更少根细管，费用将减少，在和

之间，不论安粗管还是四条细管，花的钱一样

(或

安多，在以前如果不安粗管安细管，需要5条以上的细管，费用将增加。因此，工程的设计是：从县城到、一条粗管；、之间安三条细管；之间安二条细管；(30＋5＋2＋4＋2＋3＋2×8000＋(6＋4＋5×2000＝414000(元 答：工程总费用最少为414000元

7.【解】设a,b,c为连续三项，则：c＝3×b－a(1

之间安一条细管这样做，工程总费用最少：考虑原数列各项除以3所得的余数，组成数列：0,1，0，2，0，1，0，2，…（2）每4项重复出现

考虑原数列各项除以2所得的余数，组成数列：0，1，1，0，1，1，0，1，1．… 每3项重复出现

因此，原数列最右边的(第70个数，除以3余1(70＝4×17＋2，除以2余0(70＝3×23＋1 于是最右一个数被6除余4

8.【解】1－(＝＝

需要将1010拆成五个数的和，这五个数都不是5的倍数，而且都是3×3×7×11的约数．因此，它们可能是：3，7，9，11，21，33，77，63，99．231，693，用试验法容易得到：693＋231＋77＋9＝1010

所以,其余的四个分数是：，,9.【解】这张纸的面积为154平方厘米，每张纸条的面积为4平方厘米，154÷4=38.5

因此，最多能裁38张小纸条，下面画出两种不同的裁法 第一种裁法：

第二种裁法：

1.这是七巧板拼成的正方形，正方形边长20厘米，问七巧板中平行四边形的一块（如右图中阴影部分）的面积是多少？

2．从所有分母小于10的真分数中，找出一个最接近0.618的分数。

3．有49个小孩子，每人胸前有一个号码，号码从1到49各不相同，请你挑选出若干个小孩，排成一个圆圈，使任何相邻两个小孩的号码数的乘积小于100，你最多能挑选出多少个小孩子？

4．有一路公共汽车，包括起点和终点站共有15个车站，如果有一辆车，除终点到站外，每一站上车的乘客中，恰好各有一位乘客从这一站到以后的每一站，为了使每位乘客都有座位，问这辆公共汽车最少要有多少个座位？

5．正方形的树林每边长1000米，里面有白杨树和榆树，小明从树林的西南角走入树林，碰见一株白杨树就往正北走，碰见一株榆树就往正东走，最后他走了东北角上，问：小明一共走了多少米的距离？

6．自然数按从小到大的顺序排成螺旋形，在2处拐第一个弯，在3处拐第二个弯，在5处拐第三个弯……问拐第二十个弯的地方是哪一个数？

1.面积为50平方厘米

2.3.最多参挑选出18个孩子 4.最少要有56个座位 5.小明一共走了2000米 6.拐第二十个弯的地方是111

第四篇：第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题 A

第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题 A

一、填空题（每小题 10 份，共 80 分）

1.计算：

1190.12528112.5____8【答案】25 【考点】计算

1【分析】原式=(19+281100)25

2.农谚“逢冬数九”讲的是，从冬至之日起，每九天分为一段，依次称之为一九，二九，……，九九，冬至那天是一九的第一天．2012 年 12 月 21 日是冬至，那么 2013 年的元旦是________九的第________天．

【答案】

二、3 【考点】周期问题

【分析】从12月21天到2013年1月1日共计31211112天，12913，即为二九第3天．

3.某些整数分别被、、、除后，所得的商化作带分数时，分数部分分别是3579579112222、、、则满足条件大于 1 的最小整数是________． 3579

【答案】316 【考点】数论:最小公倍数

352【分析】除以一个数等于乘以这个数的倒数，xx，对应着分数部分是：，而1是

533552满足条件的最小的x，将x分别转化为：(x1)1，则表明(x1)是3的倍数，同理

3335，7，9315，x的最小值是316． 得：(x1)是3、5、7、9的最小公倍数，即x13，4.如下图，在边长为 12 厘米的正方形 ABCD 中，以 AB 为底边作腰长为 10 厘米的等腰三角形 PAB，则三角形 PAC 的面积是________

【答案】12 【考点】平面几何：直线型 【分析】如下图所示，阴影面积SPABSPCBSABC 作PE、PF分别垂直于AB、BC；如下图：

具体线段长度如图示，有1026282（勾股定理）

DP10681210C

AB111有S△APCS△PABS△PCBS△ABC12126121212（平方厘米）

222

5.有一筐苹果，甲班分，每人 3 个还剩 11 个；乙班分，每人 4 个还剩 10 个；丙班分，每人 5 个还剩 12 个．那么这筐苹果至少________个．

【答案】62 【考点】数论：物不知数

【分析】假设甲、乙、丙班人数为：a人、b人、c人，可以列算式表示苹果的个数；

3a113(a3)24b104(b2)2，说明苹果的个数分别除以3余2，除以4余2，除以5余2； 5c125(c2)2即至少为3,4,5262．

6.两个大小不同的正方体粘在一起，构成下图所示的立体图形，其中，小积木的粘贴面的四个顶点分别是大积木的粘贴面各边的一个三等分点．如果大积木的棱长为 3，则这个立体图形的表面积为________．

【答案】74 【考点】立体几何：表面积

【分析】三视图法：表面积在原来棱长为3的正方体上增加了4个棱长为a的正方形； a21

a212225，所以表面积为：6334574．

7.设 n 是小于 50 的自然数，那么使得 4 n 和 7n 有大于 1 的公约数的所有 n 的可能值之和为________

【答案】94 【考点】数论：因数、同余

【分析】若(a,b)m，则(a,ab)m，可得求(4n5,7n6)(4n5,11n11)，即求使得4n5和11n11有大于1的公约数所有n的可能值．

4n54(n1)+1；11n1111(n1)，而4(n1)+1与(n1)互质，所以

(4(n1)+1 , 11(n1))11，n满足条件4n511p，n50，解的n取值为11k7，即符号条件的n有7、18、29、40；和为718294094．

8.由四个完全相同的正方体堆积成如下图所示的立体，则立体的表面上（包括底面）所有黑点的总数至少是________．

【答案】54 【考点】立体几何：空间想象、最值问题

【分析】由示意图可得，6对面是1，4对面是3，2的对面是5；可得（数字表示黑点数）：

635前4412后322上25a下5bc左41右

知b3，欲求所有黑点的总数最小，a、c最小，都为1.或者理解为上面的骰子没了5，左面没了6，右面没了6，中间的至少露出2、5和1 此时最小的和为54．

二、解答下列各题（每题 10 分，共 40 分，要求写出简要过程）

9.用四个数字 4 和一些加、减、乘、除号和括号，写出四个分别等于 3、4、5 和 6 的算式．

【答案】见下面分析 【考点】巧填算符

【分析】(444)43或者(444)43； 4(44)44或者(44)444；(444)45；(44)446；（填法不唯一）

10.小明与小华同在小六

（一）班，该班学生人数介于 20 和 30 之间，且每个人的出生日期均不相同．小明说：“本班比我大的人数是比我小的人数的两倍”，小华说：“本班比我大的人数是比我小的人数的三倍”． 问这个班有多少名学生？

【答案】25 【考点】应用题、倍数、余数

【分析】“本班比我大的人是比我小的人数的两倍”可以推出：全班人数是a2a13a1；“本班比我大的人是比我小的人数的三倍”可以推出：全班人数是b3b14b1； 合在一起就是全班的人数为12k1，在20到30之间只有122125满足条件．

11.小虎周末到公园划船，九点从租船出处发，计划不超过十一点回到租船处．已知，租船处在河的中游，河道笔直，河水速度是 1.5 千米/小时；划船时，船在静水中的速度是 3千米/小时，每划船半小时，小虎就要休息十分钟让船顺水漂流，问：小虎的船最远可以离租船处多少千米？

【答案】1.375千米 【考点】行程问题

【分析】顺水速度：31.54.5千米/小时 逆水速度：31.51.5千米/小时 水速：1.5千米/小时

由下图可得：三段时间划船，三段时间休息．也就是走90分钟，休息30分钟．

划船1休息划船2休息划船3休息

休息30分钟是顺水，需要用30分钟逆水来平衡抵消，所以只能60分钟划船，顺水速度和逆水速度比是4.5:1.53:1，时间之比是1:3，所以，最远的划行距离是15分钟的顺水和1110分钟的休息，即：4.51.51.375千米．

12.由四个相同的小正方形拼成下图．能否将连续的 24 个自然数分别放在图中所示 24黑点处（每处放一个，每个数只使用一次），使得图中所有正方形边上所放的数之和都相等？若能，请给出一个例子；若不能，请说明理由．

【答案】不能

【考点】数阵图、构造与论证

【分析】假设这24个连续自然数依次是：a，a1，，a23；

有五个正方形，每个正方形边上所放的数之和相等，每个数字都用了两次．

假设每个正方形的和为k，即有

5k2[a(a1)(a2)(a23)]48a552，则48a552 5k是整数，a是除以5余1，a5m1，则k48m120（m是整数，包含0）k取最小的16个自然数，5m1，5m2，5m3，，5m16的和是80m136，大于48m120，所以不能构造出一个使得正方形所放的数之和都相等．

三、解答下列各题（每题 15 分，共 30 分，要求写出详细过程）

13.用八个下图所示的 2的小长方形可以拼成一个 4的正方形．若一个拼成正方形图形经过旋转与另一个拼成的正方形图形相同，则认为两个拼成的正方形相同．问：在所有可能拼成的正方形图形中，上下对称、第一行有两个空白小方格且空白小方格相邻的图形有多少种？

【答案】5种

【考点】几何计数、分类讨论

【分析】将第一行的四个空称为1、2、3、4空

(一)(二)（1）12空的只有2种；二行、三行上下对称，二行的2空可以为叉；（2）23空，分析第二、三行 6中选取的可能：

二、三行的8个方块有4个叉，二行中的4空中任意取出2空为叉，共C4但是1、2空是叉，三行的1、2空也必须为叉，矛盾；

同理，3、4空是叉也不行，1、3空是叉与2、4空是叉，可以通过旋转可以的，所以共6213种． 综上，共235种． 方案如下图所示：

14.不为零的自然数 n 既是 2010 个数字和相同的自然数之和，也是 2012 个数字和相同的自然数之和，还是 2013 个数字和相同的自然数之和，那么n最小是多少

【答案】6036 【考点】9的同余

【分析】假设题目中给出的三个数字和分别是a、b、c，根据9的特征，一个数除以9的余数等于它的数字和除以9的余数，得 2010a2012b2013c(mod9)

由于2010、2013都是3的倍数，那么b一定是3的倍数．则b的最小值为3，此时201236mod9．2010a2012b2013c6(mod9)可以得出a、c的最小值为： a

2、c1，可得n的最小值为：20123=6036．

构造：n为6036：

2010个数是：2000、20和2008个2；每一个数字和为2； 2012个数是：2012个3；每一个数字和为3；

2013个数是：1000、1000、1000、1000、10、10、10和2006个1；每一个数字和为1．

第五篇：第十届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试题

第十届华罗庚金杯赛初赛试题

2005-3-19 15:38:49 转贴自: 作者: 阅读579次 第十届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试题

（2005年3月19日上午9：30—10：00）1、2005年是中国伟大航海家郑和首次下西洋600周年，西班牙伟大航海家哥伦布首次远洋航行是在1492年，问这两次远洋航行相差多少年？

2、从冬至之日起每九天分为一段，依次称之为一九，二九，…，九九。2004年的冬至为12月21日，2005年的立春是2月4日。问立春之日是几九的第几天？

3、右下方是一个直三棱柱的表面展开图，其中，黄色和绿色的部分都是边长等于1的正方形。问这个直三棱柱的体积是多少？

4、爸爸、妈妈、客人和我四人围着圆桌喝茶，若只考虑每人左邻的情况，问共有多少种不同的入座方法？

5、在奥运会的铁人三项比赛中，自行车比赛距离是长跑的4倍，游泳的距离是自行车的，长跑与游泳的距离之差为8.5千米。求三项的总距离。

6、如下图，用同样大小的正三角形，向下逐次拼接出更大的正三角形。其中最小的三角形顶点的个数（重合的顶点只计一次）依次为：

3，6，10，15，21，… 问这列数中的第9个是多少？

7、一个圆锥形容器甲与一个半球形容器乙，它们圆形口的直径与容器的高的尺寸如图所示。若用甲容器取水来注满乙容器，问：至少要注水多少次？ 8、100名学生参加社会实践，高年级学生两人一组，低年级学生三人一组，共有41组。问：高、低年级学生各多少人？

9、小鸣用48元钱按零售价买了若干本练习本。如果按批发价购买，每本便宜2元，恰好多买4本。问：零售价每本多少元？

10、不足100名同学跳集体舞时有两种组合：一种是中间一组5人，其他人按8人一组围在外圈；另一种是中间一组8人，其他人按5人一组围在外圈。问最多有多少名同学？

11、输液100毫升，每分钟输2.5毫升。请你观察第12分钟时吊瓶图像中的数据，回答整个吊瓶的容积是多少毫升？

12、两条直线相交而成的锐角或直角称为两条直线的“夹角”。现平面上有若干条直线，它们两两相交，并且“夹角”只能是30°，60°或90°。问至多有多少条直线？

第十届华罗庚金杯赛初赛试题参考答案

2005-3-20 14:19:24 转贴自:捷凯数奥 作者:捷凯数奥 阅读

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仅供参考（也许有不对的地方）1、87年。

2、六九的第一天。

3、1/2。

4、6。

5、51.5。

6、55。

7、8次。

8、高年级学生46人，低年级学生9、6元。

10、93。

11、150。

12、6。

54人。