初一数学竞赛系列讲座6

第一篇：初一数学竞赛系列讲座6

初一数学竞赛系列讲座(6)

整式的恒等变形

一、知识要点

1、整式的恒等变形

把一个整式通过运算变换成另一个与它恒等的整式叫做整式的恒等变形

2、整式的四则运算

整式的四则运算是指整式的加、减、乘、除，熟练掌握整式的四则运算，善于将一个整式变换成另一个与它恒等的整式，可以解决许多复杂的代数问题，是进一步学习数学的基础。

3、乘法公式

乘法公式是进行整式恒等变形的重要工具，最常用的乘法公式有以下几条：

①(a+b)(a-b)=a2-b

2②(a±b)2=a2±2ab+b2

③(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b

3④(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3

⑤(a+b+c)2= a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca ⑥(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)= a3+b3+c3-3abc ⑦(a±b)3= a3±3a2b+3a b2±b3

4、整式的整除

如果一个整式除以另一个整式的余式为零，就说这个整式能被另一个整式整除，也可说除式能整除被除式。

5、余数定理

多项式fx除以(x-a)所得的余数等于fa。特别地fa=0时，多项式fx能被(x-a)整除

二、例题精讲

例1 在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？

分析 要得最小非负数，必须通过合理的添符号来产生尽可能多的“0”

19981199899919992解 因1+2+3+…+1998=是一个奇数，又在1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并不改变其代数和的奇偶数，故所得最小非负数不会小于1。

先考虑四个连续的自然数n、n+

1、n+

2、n+3之间如何添符号，使其代数和最小。

很明显 n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0 所以我们将1，2，3，…，1998中每相邻四个分成一组，再按上述方法添符号，即(-1+2)+(3-4-5+6)+(7-8-9+10)+…+(1995-1996-1997+1998)=-1+2=1 故所求最小的非负数是1。

例2 计算(2x3-x+6)•(3x2+5x-2)分析 计算整式的乘法时，先逐项相乘(注意不重不漏)，再合并同类项，然后将所得的多项式按字母的降幂排列。

解法1 原式=6x5+10x4-4x3-3x3-5x2+2x+18x2+30x-12 =6x5+10x4-7x3+13x2+32x-12 评注：对于项数多、次数高的整式乘法，可用分离系数法计算，用分离系数法计算时，多项式要按某一字母降幂排列，如遇缺项，用零补上。

解法2 2+0-1+6 )3+5-2 6+0-3+18 10+0-5+30-4+0+2-12 6+10-7+13+32-12 所以，原式=6x5+10x4-7x3+13x2+32x-12

例3 求(2x6-3x5+4x4-7x3+2x-5)(3x5-x3+2x2+3x-8)展开式中x8的系数

解 x8的系数=22+(-3)(-1)+(-7)3=-14 评注：只要求x8的系数，并不需要把展开式全部展开。

例4计算(3x4-5x3+x2+2)(x2+3)分析 整式除法可用竖式进行

解 3 x2 – 5x5x3 + x2 + 0x + 2 3x4 +9 x2 5x3-15x-8 x2+15x+ 2-8 x2-24 15x+ 26 所以，商式为3 x2 – 5x – 8，余式为15x+ 26 评注：用竖式进行整式除法要注意：

(1)(1)

被除式和除式要按同一字母的降幂排列；(2)(2)

如被除式和除式中有缺项，要留有空位；(3)(3)

余式的次数要低于除式的次数；

(4)(4)

被除式、除式、商式、余式之间的关系是：被除式=除式商式+余式

例5计算(2x5-15x3+10x2-9)(x+3)分析 对于除式是一次项系数为1的一次多项式的整式除法可用综合除法进行。用综合除法进行计算，首先要将除式中的常数项改变符号，并用加法计算对应项的系数。解-3 2 0-15 10 0-9-6 18-9-3 9 2-6 3 1-3 0 ∴ 商式=2x 4-6x3+3x2+x-3 评注：用综合除法进行整式除法要注意：

(1)(1)

被除式按x的降幂排列好，依次写出各项的系数，遇到缺项，必须用0补上；

(2)(2)

把除式x-a的常数项的相反数a写在各项系数的左边，彼此用竖线隔开；

(3)(3)

下移第一个系数作为第三行的第一个数，用它乘以a，加上第二个系数，得到第三行的第二个数，再把这个数乘以a，加上第三个系数，就得到第三行的第三个数，…，依次进行运算，最后一个数即为余数，把它用竖线隔开，线外就是商式的多项式系数。

(4)(4)

如果除式是一次式，但一次项系数不是1，则应把它化到1才能用综合除法。

例6已知x+y=-3，x3+y3=-18，求x7+y7的值

4分析：先通过x+y=-3，x3+y3=-18，求出xy，再逐步求出x2+y2、x +y 4，最后求出x7+y7的值

解 由x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y)得-18=(-3)3-3 xy(-3)∴xy=1 又由 x2+y2=(x+y)2-2xy 得 x2+y2=(-3)2-21=7 而x 4+y 4=(x2+y2)2-2 x2y2=72-2=47 ∴(-18)47=(x3+y3)(x 4+y 4)= x7+y7+ x3 y3(x+y)= x7+y7-3 从而x7+y7=-843 评注：本题充分利用x+y和xy，与x2+y2、x 4+y

4、x7+y7的关系来解题。

例7 求证：(x2-xy+y2)3+(x2+xy+y2)3能被2x2+2y2整除

分析 如果将(x2-xy+y2)3与(x2+xy+y2)3直接展开，太繁，可将两个式子整体处理，分别看作a和b，然后利用乘法公式展开，可将计算简化。

解(x2-xy+y2)3+(x2+xy+y2)3 =[(x2-xy+y2)+(x2+xy+y2)]3(x2+xy+y2)[(x2-xy+y2)+(x2+xy+y2)] =(2x2+2y2)3-3(x2-xy+y2)(x2+xy+y2)(2x2+2y2)所以原式能被2x2+2y2整除。

评注：本题采用的是整体处理思想。

例8 试求x285-x83+x71+x9-x3+x被x-1除所得的余数。

解法1 x285-x83+x71+x9-x3+x=(x285-1)–(x83-1)+(x71-1)+(x9-1)–(x3-1)+(x-1)+2 因为x285-

1、x83-

1、x71-

1、x9-

1、x3-

1、x-1均可被x-1整除，所以，原式被x-1除所得的余数是2。

解法2 由余数定理，余数等于x285-x83+x71+x9-x3+x在x=1时值，即

3(x2-xy+y2)余数=1285-183+171+19-13+1=2 评注：本题两种解法中，解法1是通过恒等变形，将原式中能被x-1整除的部分分解出，剩下的就是余数。解法2是通过余数定理来求余数，这是这类问题的通法，要熟练掌握。

例9 研究8486，9892，…的简便运算，并请你用整式运算形式表示这一简便运算规律。

分析：观察8486，9892，…可得：它们的十位数字特点是8=8，9=9；而它们的个位数字和为4+6=10，8+2=10。则可设十位上的数字为a，个位上的数字为b、c，且b+c=10 解：根据上面的分析，设十位上的数字为a，个位上的数字为b、c，且b+c=10 则(10a+b)(10a+c)=100a2+10a(b+c)+bc =100a2+100a+bc =100a(a+1)+bc 评注：以后，凡是遇到上述类型的运算均可用此结果进行简便运算。如7278=10078+28=5600+16=5616

例10 已知关于x的三次多项式除以x2-1时，余式是2x-5；除以x2-4时，余式是-3x+4，求这个三次多项式。

分析：利用被除式=除式商式+余式的关系来解。

解：设这个三次多项式为ax3+bx2+cx+d(a≠0)，因为这个三次多项式分别除以x2-1和x2-4，故可设两个商式是：ax+m和ax+n，由题意得：

ax3+bx2+cx+d=(x2-1)(ax+m)+2x-5 ① ax3+bx2+cx+d=(x2-4)(ax+n)+(-3x+4)②

在①式中分别取x=1,-1，得a+b+c+d=-3，-a+b-c+d=-7 在②式中分别取x=2,-2，得8a+4b+2c+d=-2，-8a+4b-2c+d= 10

511a, b3，c，d833 由上面四式解得： 5311x3x2x83 所以这个三次多项式为3

评注：对于求多项式的系数问题常常使用待定系数法。

三、三、巩固练习选择题

1、若m=10x3-6x2+5x-4，n=2+9x3+4x-2x2，则19x3-8x2+9x-2等于 A、m+2n B、m-n C、3m-2n D、m+n

2、如果(a+b-x)2的结果中不含有x的一次项，则只要a、b满足()A、a=b B、a=0或b=0 C、a=-b D、以上答案都不对

3、若m2=m+1，n2=n+1，且mn，则m5+n5的值为()A、5 B、7 C、9 D、11

4、已知x2-6x+1=0，则

x21x2的值为()A、32 B、33 C、34 D、35 a3b3c33abc3abc5、已知，则(a-b)2+(b-c)2+(a-b)(b-c)的值为()A、1 B、2 C、3 D、4

6、设fx=x2+mx+n(m,n均为整数)既是多项式x4+6x2+25的因式，又是多项式3x4+4x2+28x+5的因式，则m和n的值分别是()A、m=2，n=5 B、m=-2，n=5 C、m=2，n=-5 D、m=-2，n=-5 填空题

abcabbccaabcabcabbccaabc7、设a、b、c是非零实数，则

8、设(ax3-x+6)(3x2+5x+b)=6x5+10x 4-7x3+13x2+32x-12，则a= , b=

9、x+2除x4-x3+3x2-10所得的余数是

10、若x+y-2是整式x2+axy+by2-5x+y+6的一个因式，则a+b=

11、(21+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)(264+1)+1=

ca2bc

12、已知a、b、c满足2abca，则a+b-2c的值为

解答题

13、设x、y、z都是整数，且11整除7x+2y-5z，求证：11整除3x-7y+12z

14、计算：(4x4-6x2+2)(5x3-2x2+x-1)

15、计算：(8x 2-2x+x 4-14)(x+1)aa26，试求42aa1aa21的值。

16、已知

17、已知x、y、z满足条件

xyz3222xyz29x3y3z345 求xyz及x 4+y 4+z 4的值

18、当a、b为何值时，多项式2x4+6x3-3x2-ax+b能被多项式2x2-4x+1整除？

19、设P(x)=x4+ax3+bx2+cx+d，a、b、c、d为常数，P(1)=1993，1P11P74P(2)=3986，P(3)=5979。试计算

20、一个关于x的二次多项式fx，它被(x-1)除余2，它被(x-3)除余28，它还可被(x+1)整除，求fx

第二篇：初一数学测试题6

完全平方差公式的应用探究

例题.利用公式巧算：

（1）(3a2)2(3a2)2；（2）1002

991011；

（3）(x4y4)(x2y2)(xy)(xy)

1.(4x25y)需乘以下列哪个式子，才能使用平方差公式进行计算()

A.4x25yB.4x25yC.(4x25y)2D.2.如果x2y24，那么(xy)2(xy)2=。

3.（1）1002992982972221

（2）(21)(221)(241)(281)(2161)(2321)

4.求(11111

22)(132)(142)(152)(1162)的值。(4x5y)2

第三篇：初一下数学竞赛

初一下数学竞赛

班级姓名得分 初一（3）班: 梁健红75 初一（3）班：闫世奇73 初一（5）班：王语林69 初一（3）班;林凯67 初一（3）班：林雨昕59 初一（9）班：王琪雯54 初一（5）班：杨舵初一（3）班: 李佳辉 初一（5）班: 张璐初一（3）班：张婷初一（5）班: 吴韫初一（1）班：王丽绮 初一（5）班：林燕初一（5）班：陈峥初一（5）班：戴柯迪 初一（3）班：吕嘉睿 初一（3）班;任哲远初一（5）班：章鸣初一（3）班：朱刘涛 初一（5）班：刘霞初一（5）班：刘思媛5450 50 4949 48 48 47 47 4747 46 45 45 45

第四篇：五年级数学竞赛试卷(6)

五年级数学竞赛试卷（6）

一、填空： 1、1993年的元旦是星期五，那么2001年的六月一日是星期()。

2、32001除以4的余数是()。

3、有一串数1、7、13、19、25、……这列数的第1000个数是()。

4、循环小数0.285714，它的小数点后的第2001位数字是()。

5、将52个乒乓球放在9个盒子里，每个盒子放的乒乓球个数都不相同，每个盒子至少放了一个乒乓球，那么最多的一个盒子放了()个乒乓球。

6、池塘里的睡莲的面积每天长大一倍，若经17天可以长满整个池塘，()天，这些睡莲能长满半个池塘。

7、小明看一本书，第一天看了一半又10页，第二天看了剩下的一半又10页，第三天看了剩下的一半又10页，还剩下10页，这本书有()页。

8、一个湖泊周长18千米，沿湖泊每隔30米栽一棵柳树，每两棵柳树中间栽一棵桃树，湖边栽了()棵柳树和()棵桃树。

9、有三个数a、b、c，要求计算a－（b－c），小明把算成a－b－c，结果少56，c＝()10、3＋33＋333＋……＋3333……333和的末三位字是()。

1995个3

二、计算：用简便方法计算。1、10－9.8－9.6－9.4－9.2－……－0.8－0.6－0.4－0.2 2、4.23×7.12＋42.3×0.398－0.432×11 3、80－9－0.9－0.09－0.009－0.0009

4、已知a＝0.000……0025，b＝0.000……008

2001个0

2001个0 求a×b，a÷b

三、应用题：

1、一张试卷26个题目，答对一题给8分，答错一题扣5分，有一位考生虽然答完了全部题目，但所得总分为0分，这位考生答对多少题？

2、五年级学生搬砖，有12人每人各搬7块，有20人每人各搬6块，其余每人搬5块，这样还剩下148块，如果有30人每人各搬8块，有8人每人搬9块，其余每人搬10块，这样就余下20块，五年级有学生多少人？共有多少块砖？

3、甲、乙两个工程队，甲队人数是乙队人数的2倍，甲队调出9人，乙队调入18人后，甲队人数是乙队人数的一半，原来甲队有多少人？

4、一辆马车每小时行8.4千米，赶车人为了保持马的体力，每行50分钟，就停下来休息10分钟，照这样计算，从甲地到乙地共70千米，共需多少小时？

5、今年兄弟俩年龄之和55岁，曾经有一年兄的岁数与今年弟的岁数相同，那时，兄的岁数恰好是弟的岁数的2倍，兄今年几岁？

6、甲班51人，乙班49人，某次考试两班全体同学的平均成绩是81分，乙班的平均成绩要比甲班平均成绩高7分，乙班的平均成绩是多少分？

7、一条小路围成边长100米的正方形。甲乙两人同时从A点出发，甲逆时针每分钟行58米，乙顺时针每分钟行42米，当两人在CD边上第一次相遇时，甲行多了多少米？

A乙→

B 甲 ↓

D

C8、甲乙两车同时从A地出发去B地，甲车每小时行50千米，乙车每小时行45千米，途中甲车停车3小时，结果甲车比乙车晚一小时到达B地。AB两地之间的距离几千米？

9、为了迎接建国45周年，某街道从东往西按照5面红旗，三面黄旗，四面绿旗，两面粉旗的规律排列，共悬挂1995面彩旗，你能算出从西往东第100面彩旗的颜色吗？

10、幼儿园将一筐苹果分给小朋友，如果分给大班小朋友，每人5个缺6个，如果分给小班小朋友，每人3个余4个，已知大班比小班少2个小朋友，问一筐苹果共几个？

第五篇：初一下数学竞赛（精选）

2017-2018学下学期临川X中初一数学竞赛试卷

考试时间：120分钟

命题人：

一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1．计算正确的是（）

A．（﹣5）=0 B．x+x=x C．（﹣ab）=﹣ab D．2a•a=2a 2．下列图形中，是轴对称图形的是（）0

472

3246

2﹣1A． B． C． D．

3．如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（）A．△ABC的三条中线的交点 B．△ABC三条角平分线的交点 C．△ABC三条高所在直线的交点 D．△ABC三边的中垂线的交点

4．如图，下列4个三角形中，均有AB=AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是（）

A．①③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④

5．．已知a，b，c是三角形的三边，那么代数式a﹣2ab+b﹣c的值（）A．小于零 B．等于零 C．大于零 D．不能确定 6．如图，已知每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的格点（顶点）上，请在图中找一个格点C，使△ABC是以AB为腰的等腰三角形，这样的格点C有（）

A．4个 B．5个 C．6个 D．7

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．若5x﹣3y﹣1=0，则2÷2÷2= ．

5x

3y

321 8．如图，将长方形ABCD沿BD翻折，点C落在P点处，连结AP．若∠ABP=26°，那么 ∠APB= ．

第8题图 第9题图 第10题图 第11题图 9．如上图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AB=10，AD平分∠CAB交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为

10．如上图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=m°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为 度． 11．如上图，∠MON=30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4…均为等边三角形．若OA1=1，则△AnBnAn+1的边长为 ． 12．如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这个三角形为特异三角形．若△ABC是特异三角形，∠A=30°，∠B为钝角，则∠B的度数可为 ．

三、（本大题共3小题，每小题6分，共18分）

13．先化简，再求值：2b+（a+b）（a﹣b）﹣（a﹣b），其中a=﹣3，b=．

14．“三等分角器”是利用阿基米德原理做出的．如图，∠AOB为要三等分的任意角，图中AC，OB两滑块可在角的两边内滑动，始终保持有OA=OC=PC． 求∠APB=∠AOB．

15．仅用无刻度的直尺作出符合下列要求的图形． ．．．（1）如图甲，在射线OP、OQ上已截取OA=OB，OE=OF．试过点O作射线OM，使得OM将∠POQ平分；

（2）如图乙，在射线OP、OQ、OR上已截取OA=OB=OC，OE=OF=OG（其中OP、OR在同一根直线上）．试过点O作一对射线OM、ON，使得OM⊥ON．

2四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）

16.如图，点P是∠AOB外的一点，点Q是点P关于OA的对称点，点R是点P关于OB的对称点，直线QR分别交∠AOB两边OA，OB于点M，N，连结PM，PN，如果∠PMO=30°，∠PNO=70°，求∠QPN的度数．

17．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，∠B=50°，∠BAD=25°，将△ABD沿AD折叠得到△AED，AE与BC交于点F．（1）求∠AFC的度数；（2）求∠EDF的度数．

18．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE=CF，BD=CE．（1）求△DEF是等腰三角形；（2）当∠A=40°时，求∠DEF的度数．

五、（本大题共3小题，每小题10分，共30分）

19．如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于E．

（1）当∠BDA=115°时，∠BAD= °；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变（填“大”或“小”）；（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；

（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，请直接写出当∠BDA大小为多少度时，△ADE是一个等腰三角形．

20．在长方形纸片ABCD中，点E、F、H分别是边AB、BC、AD上的三点，连结EF、FH．（1）将长方形纸片的ABCD按如图①所示的方式折叠，FE、FH为折痕，点B、C、D折叠后的对应点分别为B′、C′、D′，点B′在F C′上，则∠EFH的度数为 ；（2）将长方形纸片的ABCD按如图②所示的方式折叠，FE、FH为折痕，点B、C、D折叠后的对应点分别为B′、C′、D′（B′、C′的位置如图所示），若∠B′FC′=16°，求∠EFH的度数；（3）将长方形纸片的ABCD按如图③所示的方式折叠，FE、FH为折痕，点B、C、D折叠后的对应点分别为B′、C′、D′（B′、C′的位置如图所示），若∠EFH=β，请求出∠B′FC′的度数．

21．如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，连结0B，OC，若△ADE的周长为6cm，△OBC的周长为16cm．（1）求线段BC的长；

（2）连结OA，求线段OA的长；

（3）若∠BAC=，请求出∠BOC的度数．

六、（本大题共1小题，每小题12分，共12分）

22．已知：如图所示，直线MA∥NB，∠MAB与∠NBA的平分线交于点C，过点C作一条直线l与两条直线MA、NB分别相交于点D、E．

（1）如图1所示，当直线l与直线MA垂直时，猜想线段AD、BE、AB之间的数量关系，请直接写出结论，不用证明；

（2）如图2所示，当直线l与直线MA不垂直且交点D、E都在AB的同侧时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；

（3）当直线l与直线MA不垂直且交点D、E在AB的异侧时，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，那么线段AD、BE、AB之间还存在某种数量关系吗？如果存在，请直接写出它们之间的数量关系．