狭义相对论20151017教案

第一篇：狭义相对论20151017教案

一、经典力学的困难

“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，这是说，我们看到的现象，或对事物的描述，往往随观测角度的不同而不同。在物理学中描述一个物理过程，离不开参考系。例如，在运动的车厢顶部落下一个包裹，在地面上和在车厢内看到它的轨迹是不同的，这就是所谓事物的相对性。

经典力学中，物体的速度与所选参考系有关，而利用经典电磁学的麦克斯韦方程组可以得出真空中电磁波的传播速度为真空介电常数ε0与真空磁导率μ0的几何平均数的倒数，是一个与参考系无关的量。

伽利略相对性原理和他的坐标变换，已经在超越个别参考系的描述方面，迈出重大的一步。它的一个重要结论，是速度的合成律，例如一个人以速度v相对自己掷出一个球，而他本人又以速度u相对地面运动，则球出手时相对地面的速度为u+v。按常识，这种算法是天经地义的；但把这种算法运用到光的传播问题上，就产生了矛盾。

设想两个人传球，甲将一个会发光的球传给乙。乙看到球，是因为球发出的光线到达乙的眼睛。设两人之间的距离为L，球发出的光相对它的传播速度为c。甲即将传球前，球处于静止状态，球发出的光相对地面的速度就是c，乙看到此情景的时刻比甲延迟L/c；在极短冲击力的作用下，球出手时速度达到v，按上述经典的合成律，此刻由球发出的光相对地面的速度为v+c，乙看到球出手的时刻比甲晚L/(v+c)，也就是说，甲先看到球出手，后看到甲传球。这种先后颠倒的现象谁也没看到过。

会有人说，由于光速非常大，两个时间差的差别微乎其微，在日常生活中是观察不到的，这个例子没有现实意义。那么来看一个天文上的例子。

1731年英国一位天文爱好者用望远镜在南方夜空的金牛座发现蟹状星云。根据后来的观测推算，蟹状星云是在公元1060年左右（地球上观测到的时间）的一次超新星爆发抛出的气体壳层。这一点在我国的史籍《宋会要》中有以下记载：“嘉佑元年三月，司天监言，客星没，客去之兆也。初，至和元年五月晨出东方，守天关。昼见如太白，芒角四出，色赤白，凡见二十三日。”当一颗超新星爆发时，它的外围物质向四面八方飞散，也就是说有些抛射物射向我们。如果光线服从经典速度合成律的话，从蟹状星云到地球的距离（约5000光年）和爆发中抛射物的速度（约1500千米/秒）来计算，两者发出的光到达地球的时间将相差25年，即地球将在25年内持续看到超新星开始爆发时发出的强光。而史书记载，客星从出现到隐没还不到2年。

大海中轮船激起的波浪的速度只与洋流的速度有关，而与船的速度无关。这给上述问题提供了另外一种可能的解释，即发光物体发出的光的传播速度与发光物体的速度无关，只与传播介质的运动状态有关。于是上述矛盾不复存在；但又出现了一个新的问题：传播光线的介质是什么？按照旧时的看法，是一种叫做“以太”（aether）的物质，那地球以怎样的速度在以太中运动？在地球上，如果能够精确测定各个方向光速的差异，就可以确定地球相对于

v2以太的运动；实验的精度足够高时（达到2量级），可在地球上测定各个方向光速的差异。

c1881年，迈克耳孙和莫雷首次用迈克耳孙干涉仪做了观测实验；6年后，进行了更精密的测量。从理论上分析，将仪器旋转90o，应有0.4个条纹的移动；实验的结果却是：根本不存在条纹移动。

二、爱因斯坦狭义相对论的基本假设

当别人忙着在经典物理框架内用形形色色的理论来修补“以太说”时，爱因斯坦另辟蹊径，提出两个重要假设：

1、相对性原理

爱因斯坦的相对性原理与伽利略的思想基本上一致，即所有惯性系都是等价的，在它们之中所有的物理规律都一样。但伽利略变换只适用于经典力学，不保证电磁学（包括光）也满足相对性原理。爱因斯坦提出的相对性原理希望把一切物理规律都包括进去。

2、光速不变原理

在看到经典力学与电磁学存在的矛盾后，爱因斯坦大胆假设提出假设：在所有惯性系中测得的真空光速c的大小都是相同的。

三、洛伦兹变换推导

两个惯性系S系和S'系，其对应的坐标轴彼此平行。S'系相对S系以速率u沿x轴正方向运动，事件在两个坐标系的坐标分别为(x,y,z,t)和(x',y',z',t')。当t=t'=0时，两个坐标系的原点重合。经典力学中从S系到S'系的伽利略坐标变换式为

xxut yyzz逆变换为

xxut yyzz为调和经典力学和经典电磁学的矛盾，洛伦兹提出不同惯性系的物理方程应该具有相同的形式，为此必须放弃绝对时间的概念，即

xxut yyzzγ称为洛伦兹因子，逆变换为

xxut yyzz设任意事件从S'系到S系的变换为

任意事件从S系到S'系的变换为

xxut

（1）

xxut

（2）

将（1）改写为t'的表达式并把（2）带入，得到

tt12x u（3）

设由重合的原点O和O'在t=t'=0时刻发出沿x轴正向的光，波前坐标分别为(x,y,z,t)和(x',y',z',t')，那么根据光速不变原理，有

xct

（4）xct

（5）

（1）和（2）相乘，得

xx2xxxutxutu2tt

（6）

将（4）和（5）代入（6），得

c222cu21u12c2

（7）

并记

u c（8）

当u<

ux2c t2u12ctux2c t2u12ct（9）

（10）

四、狭义相对论的时空观

1、同时的相对性和时间延缓

假设S'系中两个事件(x1',t1')和(x2',t2')在不同位置同时发生，即t1'=t2'=t'，则在S系中观察

uxt1t21ucx120 tt2t1x2uxct2t22c结论：沿两个惯性系相对运动方向配置的两个事件，若在一个惯性系中同时发生，则在另一个惯性系中观测，总是处于前一个惯性系运动后方的事件先发生。

S'系中，在x'位置先后发生的两个事件间隔事件Δt'=t2'-t1'，则在S系中测得

tt2t1tt1uc22t

结论：在一个惯性系中同一位置先后发生的两个事件，在另一个惯性系中观测其发生的时间间隔变长。

2、长度收缩

x1x2ut2x1ut1lut lx2由于在S系中测两端坐标为同时发生的事件，所以Δt=0，故

u2ll12l

cl结论：运动的物体的测量长度缩短。

3、因果的绝对性

x1uux2ux2t1t2t1t22x1tt1tt1v 121222sccttc12因为u

4、双生子佯谬

假设有两个双生子，甲留在地球上（忽略地球自转），乙乘极高速的飞船到宇宙空间去旅行。经过若干年，飞船返回到地球，甲和乙重逢时，地球上的甲认为乘飞船航行的乙比他年轻，而飞船上的乙认为地球上的甲比他年轻，相互矛盾。正确的答案是：甲和乙重逢时，乘飞船航行的乙比留在地球上的甲年轻一些。产生问题的原因在于不恰当地运用了狭义相对论，狭义相对论的前提是地球和飞船应是两个完全等价的惯性系，而本问题不满足这一条件。乙乘极高速的飞船到宇宙空间去旅行时，地球上的甲认为乘飞船航行的乙衰老速度较慢，而飞船上的乙认为地球上的衰老速度较慢；问题在于飞船返航前调头的过程，地球相对飞船而言是从后方沿曲线运动到前方，不再是惯性系，故狭义相对论原理不再适用。这个过程需要用广义相对论原理进行解释，简而言之就是在飞船调头时，飞船内的乙观测到地球上的甲在迅速衰老。

双生子实验在1971年完成：将具有极高精度的铯原子钟放在飞机上，沿赤道向东和向西绕地球一周，回到原处后，分别比静止在地面上的钟慢了59纳秒和快了273纳秒。因为地球以一定的角速度自西向东转动，地面不是惯性系，而地心指向太阳的参考系可认为是惯性系。由于飞机的速度总小于太阳的速度，因此飞机相对惯性系总是向东转的，只是沿赤道向东飞行时相对惯性系的速度大、向西飞行时小，静止在地面上则介于两者之间。上述实验结果与广义相对论（对时钟的影响不仅有运动学效应，还有引力效应）的理论计算比较，在实验误差范围内相符。因而，我们今天不在说“双生子佯谬”，而是称之为“双生子效应”。

五、速度的合成

对位置x'和时间t'求导，有

xxutdxdxudtuu ttxdtdtdx22cc速度就是位置随时间的变化，即

vxvudxdxudt xuuvdtdtdx1x22ccvudx vxxuvdt1x2cvyvydydy udtuvdt2dx12xcc其余速度分量同理。

追光问题：当vx'=c时，vxcuc uc12c即真空光速与参考系无关。

六、狭义相对论动力学

1、相对论动量

假设有两个静止时质量相同（都为m0）的小球A和B，在光滑水平面（S系）上以大小相等、方向想法的速度在原点发生完全弹性斜碰撞，运动方向与x轴夹角（锐角）为θ。碰撞后x方向上的速度分量不变，y方向上的速度分量发生交换。碰撞前A在x方向上的速度分量指向x轴正方向，在y方向上的速度分量指向y轴正方向。S'系相对S系的速度为u=v·cosθ，方向为x轴正方向。

vsinu2碰撞前12vAyc vAyvsinu碰撞后12vAx2uc1c2vsinu2碰撞前12vByc vByvsinu碰撞后12vBx2uc1c2考虑y'方向上的速度分量：S'系中碰撞前后y'方向上动量守恒，即

mAvsinvsinvsinvsin mmmBABu2u2u2u21c21c21c21c2u212c mBmAu212c化简后得到

当θ→0时，u→v，上式变为

v212c mBmAv212c考虑x'方向上的速度分量

vBxvBxu2vcos02v 222uvcosv12vBx112cc2cvBx2v2vvBx0 2c整理得

解得

v1Bx1cv

vBxc2带入mB'表达式，得

2mBmA1v1Bxc2

当θ→0时，A在S'系中静止，mA'=m0，所以

mBm0v1Bxcm01vc222

即，在惯性系中对一个以速度v运动的物体的质量的测量结果为

m

即运动物体的测量质量增大。动量为

m0v p2v12c2、力

ddpFdtm0vu2dvdv12mvvm0c0dtdt

31dt2222vvc21c21c2

3、相对论动能

在一维下，dmvdrFdrdmvdvv2dmmvdv

dtmm022m2c2m0cm2v22mcdm2mvdv2mvdmmvdvv2dmc2dm因此有

222

Fdrc2dm

设质点从位置a运动到位置b，速度从0增至v，质量从m0变为m，则

bm222aFdrcdmmcm0cm0故质点速度为v时的动能为

Ekmc2m0c2

v2当v<

c111v2222 Ekm0c1m0c11mv02c222v1c2

4、质能关系

静能：m0c2

总能：E=Ek+m0c2=mc2 总能增量：ΔE=Δmc2

5、相对论动量与能量的关系

2Emc2vcppmvE2222422m0cEpcm0c2E v212c

七、高速运动物体的视觉形象

尺度收缩效应的形象是人们观测物体上各点对观察者所在参考系的同一时刻的位置（异地同时测量）构成的形象，可称为“测量形象”；而物体产生的“视觉形象”，即我们看到的（或照相机拍摄的）形象，是由物体上各点发出后同时到达观察者的光线所组成，这些光想并不是同时自物体发出的。

以运动物体作为参考系S'系，观察者所在参考系为S系。S'系相对于观察者所在的S系以速率u沿x轴正方向运动。S'系中物体上一点P'的坐标为(x',y')，在变换到S系为

x12x yy设观察者处于垂直于运动的y负方向上，且很远，这样便可以认为从物体上各点射向观察者的光线都平行于y轴。为了使光线同时到达观察者，以坐标原点为基准，在它以上的点在x方向的位置需要有一定的提前量，以下的点则需要有延迟量。于是物体的形象发生剪切，这才是物体的视觉形象。S系中，在x方向上的平移量为Δx=ut，而t离y所需的时间。设构成视觉形象的各点坐标为(x,y)，则有变换关系

*

*

y是是光线走过距cxxxxy12xy yyy在远方的观察者是物体在垂直于视线方向上的投影。把物体的视觉形象与原物体放在一起对比，P'变到了P*位置，设P'到原点距离为R，以R为半径作圆，再由P*作平行视线的光线交圆于点Q，则在观察者看到的投影形象中P'似乎转动了一个角度Δθ=∠P'OQ。

令P'和Q的极坐标分别为(R,θ)和(R,θ*)，则Δθ=θ*-θ，cosx Rysin

R12xyx cosRR利用三角函数运算法则sin2θ+cos2θ=1计算（考虑象限）得

sin进而得出

x12yR

sinsinsincoscossinu c该式表明，观察者看到的高速运动的物体的形象似乎是原物体整体转过一个角度Δθ=arcsinβ。该现象首先由Terrell发现，故称为“Terrell转动”。令

dxd12RcosRsin012RsinRcos

dd即 cos结合sin2θ+cos2θ=1，得

12sin

sin

则x*的极值为

1RcosRsin1R2212sinRsinRsinR

这说明，观察者是“看不到”尺度收缩效应的。

八、闵可夫斯基空间与时空四矢量

1、洛仑兹变换矩阵

xy0z0iict01000010ixx0yLy

z0zictict式中i为虚数单位。洛仑兹变换矩阵的逆等于其转置，即L-1=LT。

2、洛仑兹协变矢量：X=(x,y,z,ict)T称为时空四矢量。其导数dX=(dx,dy,dz,ic﹒dt)T仍为时空四矢量。

3、洛仑兹变换不变量 x2y2z2c2t2x,y,z,ictx,y,z,ictTTTTLx,y,z,ictLx,y,z,ictT x,y,z,ictLTLx,y,z,ictTx,y,z,ictx,y,z,ictx2y2z2c2t2即，时空四矢量的各分量的平方和是与参考系无关的常量。

4、间隔的不变性

设有两个事件：事件1(x1,y1,z1,ict1)，事件2(x2,y2,z2,ict2)。两个事件的间隔定义为

2222 S2x1x2y1y2z1z2ict1ict2

（41）22c2tr由于两个时空四矢量的和差仍为时空四矢量，所以ΔS2为不变量。

（1）同地相继发生的两个事件：ΔS2=c2(Δt)2，原时Δt为不变量；

（2）异地同时发生的事件：ΔS2=-(Δr)2，Δr大小不变，但方向可能改变；（3）用光信号联系的两个事件：ΔS2=0。

第二篇：狭义相对论读后感论文

题目三• 你从狭义相对论中学到了哪一点是对你是印象深刻的？

《狭义相对论》我中学就有耳闻，那时候虽然什么都不懂，只知道《狭义相对论》是很厉害的理论，也让我体会到了世界的奇妙，宇宙万物的高深，启发了我对科普知识的浓厚兴趣。

简洁来说狭义相对论有两条原理1.所有的物理定律在各个不同的惯性坐标系中都相同2.光速恒定不变E=MC2(平方)是根据这两条原理得出的，只是狭义相对论的一部分 简单的讲就是除了物理定律和光速任何物质都是相对变动的，包括时间和空间。最让我印象深刻的就是狭义相对论的时空观，它让我对物质世界的理解又到了一种层次。俗话说“覆水难收“意思是倒出去的水很难再收回来，时间也是这样，时间流逝了就很难再回来。但是爱因斯坦的相对论彻底的推翻了这些俗语，当达到光速的时候就有可能做得到穿越时空。

这些观点衍生出来了很多推论和假设，最出名和最让人感兴趣的就是双生子佯谬问题。

时钟佯谬或双生子佯谬

一对双生子A和B，A在地球上，B乘火箭去做星际旅行，经过漫长岁月返回地球。爱因斯坦由相对论断言，二人经历的时间不同，重逢时B将比A年轻。许多人有疑问，认为A看B在运动，B看A也在运动，为什么不能是A比B年轻呢?由于地球可近似为惯性系，B要经历加速与减速过程，是变加速运动参考系，真正讨论起来非常复杂，因此这个爱因斯坦早已讨论清楚的问题被许多人误认为相对论是自相矛盾的理论。如果用时空图和世界线的概念讨论此问题就简便多了，只是要用到许多数学知识和公式。在此只是用语言来描述一种最简单的情形。不过只用语言无法更详细说明细节，有兴趣的请参考一些相对论书籍。我们的结论是，无论在哪个参考系中，B都比A年轻。为使问题简化，只讨论这种情形，火箭经过极短时间加速到亚光速，飞行一段时间后，用极短时间掉头，又飞行一段时间，用极短时间减速与地球相遇。这样处理的目的是略去加速和减速造成的影响。在地球参考系中很好讨论，火箭始终是动钟，重逢时B比A年轻。在火箭参考系内，地球在匀速过程中是动钟，时间进程比火箭内慢，但最关键的地方是火箭掉头的过程。在掉头过程中，地球由火箭后方很远的地方经过极短的时间划过半个圆周，到达火箭的前方很远的地方。这是一个“超光速”过程。只是这种超光速与相对论并不矛盾，这种“超光速”并不能传递任何信息，不是真正意义上的超光速。如果没有这个掉头过程，火箭与地球就不能相遇，由于不同的参考系没有统一的时间，因此无法比较他们的年龄，只有在他们相遇时才可以比较。火箭掉头后，B不能直接接受A的信息，因为信息传递需要时间。B看到的实际过程是

在掉头过程中，地球的时间进度猛地加快了。在B看来，A现实比B年轻，接着在掉头时迅速衰老，返航时，A又比自己衰老的慢了。重逢时，自己仍比A年轻。也就是说，相对论不存在逻辑上的矛盾。

狭义相对论独特的见解颠覆了传统的经典力学的时空观。经典力学认为时间和空间都是绝对的, 同一个事件不同状态的人测量情况一样，而相对论认为同一个事件不同的人测量会得出不同的时间, 就象不同的人的表上的不一样.相对论认为,光速对于任何人是一样的,所以时间不同,经典力学则不。相对论是关于时空和引力的基本理论，主要由爱因斯坦创立，分为狭义相对论(特殊相对论)和广义相对论(一般相对论)。相对论的基本假设是光速不变原理，相对性原理和等效原理。相对论和量子力学是现代物理学的两大基本支柱。奠定了经典物理学基础的经典力学，不适用于高速运动的物体和微观条件下的物体。相对论解决了高速运动问题；量子力学解决了微观亚原子条件下的问题。相对论极大的改变了人类对宇宙和自然的“常识性”观念，提出了“同时的相对性”，“四维时空”“弯曲空间”等全新的概念。

狭义相对论的四维时空观正是其中对狭义相对论的一个最形象典型的代表。四维时空是构成真实世界的最低维度，我们的世界恰好是四维，至于高维真实空间，至少现在我们还无法感知。例如，一把尺子在三维空间里（不含时间）转动，其长度不变，但旋转它时，它的各坐标值均发生了变化，且坐标之间是有联系的。四维时空的意义就是时间是第四维坐标，它与空间坐标是有联系的，也就是说时空是统一的，不可分割的整体，它们是一种“此消彼长”的关系。

四维时空不仅限于此，由质能关系知，质量和能量实际是一回事，质量（或能量）并不是独立的，而是与运动状态相关的，比如速度越大，质量越大。在四维时空里，质量（或能量）实际是四维动量的第四维分量，动量是描述物质运动的量，因此质量与运动状态有关就是理所当然的了。在四维时空里，动量和能量实现了统一，称为能量动量四矢。另外在四维时空里还定义了四维速度，四维加速度，四维力，电磁场方程组的四维形式等。值得一提的是，电磁场方程组的四维形式更加完美，完全统一了电和磁，电场和磁场用一个统一的电磁场张量来描述。四维时空的物理定律比三维定律要完美的多，这说明我们的世界的确是四维的。可以说至少它比牛顿力学要完美的多。至少由它的完美性，我们不能对它妄加怀疑。相对论中，时间与空间构成了一个不可分割的整体——四维时空，能量与动量也构成了一个不可分割的整体——四维动量。这说明自然界一些看似毫不相干的量之间可能存在深刻的联系。

如果这些问题得到验证解决，将会对科学科技有着里程碑式的推进，将会解决现在不可以解决的问题，多维空间的确立甚至可以解决困扰人们至今灵魂学的问题。

《狭义相对论》是一个很著名的理论，爱因斯坦总结创新的狭义相对论更是造福了全人类，推动了科学发展的进程。在吴老师的精彩讲课中，生动有趣的课堂更是激发了我对科学的浓厚兴趣及源源不断的求知欲，让我体会到了这个造物世界的奥妙。

第三篇：狭义相对论公式及证明

狭义相对论公式及证明

单位符号单位符号

坐标：m(x, y, z)力： NF(f)

时间：st(T)质量:kgm(M)

位移：mr动量:kg*m/s p(P)

速度：m/sv(u)能量: JE

加速度： m/s^2 a冲量：N*sI

长度：ml(L)动能：JEk

路程：ms(S)势能：JEp

角速度： rad/s ω力矩：N*mM

角加速度:rad/s^2α功率：WP

一：

牛顿力学（预备知识）

(一)：质点运动学基本公式：(1)v=dr/dt, r=r0+∫rdt

(2)a=dv/dt, v=v0+∫adt

(注：两式中左式为微分形式，右式为积分形式)

当v不变时，(1)表示匀速直线运动。

当a不变时，(2)表示匀变速直线运动。

只要知道质点的运动方程r=r(t)，它的一切运动规律就可知了。

(二)：质点动力学：

(1)牛一：不受力的物体做匀速直线运动。

(2)牛二：物体加速度与合外力成正比与质量成反比。

F=ma=mdv/dt=dp/dt

(3)牛三：作用力与反作与力等大反向作用在同一直线上。

(4)万有引力：两质点间作用力与质量乘积成正比，与距离平方成反比。

F=GMm/r2,G=6.67259*10-11m3/(kg*s2)

动量定理：I=∫Fdt=p2-p1(合外力的冲量等于动量的变化)

动量守恒：合外力为零时，系统动量保持不变。

动能定理：W=∫Fds=Ek2-Ek1(合外力的功等于动能的变化)

机械能守恒：只有重力做功时，Ek1+Ep1=Ek2+Ep2

(注：牛顿力学的核心是牛二：F=ma,它是运动学与动力学的桥梁，我们的目的是知道物体的运动规律，即求解运动方程r=r(t),若知受力情况，根据牛二可得a,再根据运动学基本公式求之。同样，若知运动方程r=r(t),可根据运动学基本公式求a，再由牛二可知物体的受力情况。)

二：

狭义相对论力学：(注：γ=1/sqr(1-u2/c2),β=u/c, u为惯性系速度。)

(一)基本原理：(1)相对性原理：所有惯性系都是等价的。

(2)光速不变原理：真空中的光速是与惯性系无关的常数。

(此处先给出公式再给出证明)

(二)洛仑兹坐标变换：

X=γ(x-ut)

Y=y

Z=z

T=γ(t-ux/c2)

(三)速度变换：

V(x)=(v(x)-u)/(1-v(x)u/c2)

V(y)=v(y)/(γ(1-v(x)u/c2))

V(z)=v(z)/(γ(1-v(x)u/c2))

(四)尺缩效应：△L=△l/γ或dL=dl/γ

(五)钟慢效应：△t=γ△τ或dt=dτ/γ

(六)光的多普勒效应：ν(a)=sqr((1-β)/(1+β))ν(b)

(光源与探测器在一条直线上运动。)

(七)动量表达式：P=Mv=γmv, 即M=γm.(八)相对论力学基本方程：F=dP/dt

(九)质能方程：E=Mc2

(十)能量动量关系：E2=E02+P2c2

(注：在此用两种方法证明，一种在三维空间内进行，一种在四维时空中证明，实际上他们是等价的。)

三：

三维证明：

(一)由实验总结出的公理，无法证明。

(二)洛仑兹变换：

设(x, y, z, t)所在坐标系(A系)静止，(X,Y, Z,T)所在坐标系(B系)速度为u,且沿x轴正向。在A系原点处，x=0,B系中A原点的坐标为X=-uT,即X+uT=0。可令x=k(X+uT),(1).又因在惯性系内的各点位置是等价的，因此k是与u有关的常数(广义相对论中，由于时空弯曲，各点不再等价，因此k不再是常数。)同理，B系中的原点处有X=K(x-ut),由相对性原理知，两个惯性系等价，除速度反向外，两式应取相同的形式，即k=K.故有X=k(x-ut),(2).对于y, z, Y, Z皆与速度无关，可得Y=y,(3).Z=z(4).将(2)代入(1)可得：x=k2(x-ut)+kuT,即T=kt+((1-k2)/(ku))x,(5).(1)(2)(3)(4)(5)满足相对性原理，要确定k需用光速不变原理。当两系的原点重合时，由重合点发出一光信号，则对两系分别有x=ct, X=cT.代入(1)(2)式得：ct=kT(c+u), cT=kt(c-u).两式相乘消去t和T得：k=1/sqr(1-u2/c2)=γ.将γ反代入(2)(5)式得坐标变换：

X=γ(x-ut)

Y=y

Z=z

T=γ(t-ux/c2)

(三)速度变换：

V(x)=dX/dT=γ(dx-ut)/(γ(dt-udx/c2))

=(dx/dt-u)/(1-(dx/dt)u/c2)

=(v(x)-u)/(1-v(x)u/c2)

同理可得V(y),V(z)的表达式。

(四)尺缩效应：

B系中有一与x轴平行长l的细杆，则由X=γ(x-ut)得：△X=γ(△x-u△t),又△t=0(要同时测量两端的坐标)，则△X=γ△x,即：△l=γ△L,△L=△l/γ

(五)钟慢效应：

由坐标变换的逆变换可知，t=γ(T+Xu/c2),故△t=γ(△T+△Xu/c2),又△X=0,(要在同地测量)，故

△t=γ△T.(注：与坐标系相对静止的物体的长度、质量和时间间隔称固有长度、静止质量和固有时，是不随坐标变换而变的客观量。)

(六)光的多普勒效应：(注：声音的多普勒效应是：ν(a)=((u+v1)/(u-v2))ν(b).)

B系原点处一光源发出光信号，A系原点有一探测器，两系中分别有两个钟，当两系原点重合时，校准时钟开始计时。B系中光源频率为ν(b),波数为N，B系的钟测得的时间是△t(b),由钟慢效应可知，A△系中的钟测得的时间为△t(a)=γ△t(b),(1).探测器开始接收时刻为t1+x/c,最终时刻为t2+(x+v△t(a))/c,则△t(N)=(1+β)△t(a),(2).相对运动不影响光信号的波数，故光源发出的波数与探测器接收的波数相同，即ν(b)△t(b)=ν(a)△t(N),(3).由以上三式可得：ν(a)=sqr((1-β)/(1+β))ν(b).(七)动量表达式:(注：dt=γdτ,此时，γ=1/sqr(1-v2/c2)因为对于动力学质点可选自身为参考系，β=v/c)

牛二在伽利略变换下，保持形势不变，即无论在那个惯性系内，牛二都成立，但在洛伦兹变换下，原本简洁的形式变得乱七八糟，因此有必要对牛顿定律进行修正，要求是在坐标变换下仍保持原有的简洁形式。

牛顿力学中，v=dr/dt, r在坐标变换下形式不变，（旧坐标系中为（x, y, z）新坐标系中为(X,Y,Z)）只要将分母替换为一个不变量（当然非固有时dτ莫属）就可以修正速度的概念了。即令V=dr/dτ=γdr/dt=γv为相对论速度。牛顿动量为p=mv, 将v替换为V，可修正动量，即p=mV=γmv。定义M=γm(相对论质量)则p=Mv.这就是相对论力学的基本量：相对论动量。（注：我们一般不用相对论速度而是用牛顿速度来参与计算）

(八)相对论力学基本方程：

由相对论动量表达式可知：F=dp/dt,这是力的定义式，虽与牛二的形式完全一样，但内涵不一样。（相对论中质量是变量）

(九)质能方程：

Ek=∫Fdr=∫(dp/dt)*dr=∫dp*dr/dt=∫vdp=pv-∫pdv

=Mv2-∫mv/sqr(1-v2/c2)dv=Mv2+mc2*sqr(1-v2/c2)-mc2

=Mv2+Mc2(1-v2/c2)-mc2

=Mc2-mc2

即E=Mc2=Ek+mc2

(十)能量动量关系：

E=Mc2,p=Mv, γ=1/sqr(1-v2/c2),E0=mc2,可得：E2=E02+p2c

2四：

四维证明：

(一)公理，无法证明。

(二)坐标变换：由光速不变原理：dl=cdt,即dx2+dy2+dz2+(icdt)2=0在任意惯性系内都成立。定义dS为四维间隔，dS2=dx2+dy2+dz2+(icdt)2,(1).则对光信号dS恒等于0，而对于任意两时空点的dS一般不为0。dS2>0称类空间隔，dS2<0称类时间隔，dS2=0称类光间隔。相对论原理要求（1）式在坐标变换下形式不变，因此（1）式中存在与坐标变换无关的不变量，dS2dS2光速不变原理要求光信号在坐标变换下dS是不变量。因此在两个原理的共同制约下，可得出一个重要的结论：dS是坐标变换下的不变量。

由数学的旋转变换公式有：（保持y, z轴不动，旋转x和ict轴）

X=xcosφ+(ict)sinφ

icT=-xsinφ+(ict)cosφ

Y=y

Z=z

当X=0时，x=ut,则0=utcosφ+ictsinφ

得：tanφ=iu/c,则cosφ=γ, sinφ=iuγ/c反代入上式得：

X=γ(x-ut)

Y=y

Z=z

T=γ(t-ux/c2)

(三)(四)(五)(六)(八)(十)略。

(七)动量表达式及四维矢量：(注：γ=1/sqr(1-v2/c2),下式中dt=γdτ)

令r=(x, y, z, ict)则将v=dr/dt中的dt替换为dτ，V=dr/dτ称四维速度。

则V=(γv, icγ)γv为三维分量，v为三维速度，icγ为第四维分量。（以下同理）

四维动量：P=mV=(γmv, icγm)=(Mv, icM)

四维力：f=dP/dτ=γdP/dt=(γF, γicdM/dt)(F为三维力)

四维加速度：ω=/dτ=(γ4a,γ4iva/c)

则f=mdV/dτ=mω

(九)质能方程：

fV=mωV=m(γ5va+i2γ5va)=0

故四维力与四维速度永远“垂直”，（类似于洛伦兹磁场力）

由fV=0得：γ^2mFv+γic(dM/dt)(icγm)=0(F, v为三维矢量，且Fv=dEk/dt(功率表达式))故dEk/dt=c2dM/dt即∫dEk=c^2∫dM,即:Ek=Mc2-mc2

故E=Mc2=Ek+mc2

关于第六条：

通过速度变换和质能方程（E=Mc2）可以导出两个坐标系间的能量变换公式（证明很简单，但很繁琐，就不写了）：E'=γE(1-u*v/c2)

(注：u、v都是矢量，u为参考系速度，v为光源速度，*表示点乘，也可以写做： E'=γE(1-uv（x）/c2))

上式对任意粒子都成立，对于光子：E=hν代入得：

ν'=γν（1-ucosθ/c）(普遍公式)

对于θ=0可得：ν'=νsqr((1-β)/（1+β）)（特例）

利用速度变换和动量关系（p=Mv）一样可导出两坐标系之间的动量变换公式：

p(x)'=γp(x)(1-u/v(x))

p(y)'=p(y)

p(z)'=p(z)

动量变换与能量变换不仅仅适用于光子，对所有的粒子都是适用的。

第四篇：狭义相对论公式及证明(幽灵蝶)

狭义相对论公式及证明

单位符号单位符号

坐标：m(x,y,z)力： NF(f)

时间：st(T)质量:kgm(M)

位移：mr动量:kg*m/s p(P)

速度：m/sv(u)能量: JE

加速度： m/s^2 a冲量：N*sI

长度：ml(L)动能：JEk

路程：ms(S)势能：JEp

角速度： rad/s ω力矩：N*mM

角加速度:rad/s^2α功率：WP

一：

牛顿力学（预备知识）

(一)：质点运动学基本公式：(1)v=dr/dt,r=r0+∫rdt

(2)a=dv/dt,v=v0+∫adt

(注：两式中左式为微分形式，右式为积分形式)

当v不变时，(1)表示匀速直线运动。

当a不变时，(2)表示匀变速直线运动。

只要知道质点的运动方程r=r(t)，它的一切运动规律就可知了。

(二)：质点动力学：

(1)牛一：不受力的物体做匀速直线运动。

(2)牛二：物体加速度与合外力成正比与质量成反比。

F=ma=mdv/dt=dp/dt

(3)牛三：作用力与反作与力等大反向作用在同一直线上。

(4)万有引力：两质点间作用力与质量乘积成正比，与距离平方成反比。

F=GMm/r^2,G=6.67259*10^(-11)m^3/(kg*s^2)

动量定理：I=∫Fdt=p2-p1(合外力的冲量等于动量的变化)

动量守恒：合外力为零时，系统动量保持不变。

动能定理：W=∫Fds=Ek2-Ek1(合外力的功等于动能的变化)

机械能守恒：只有重力做功时，Ek1+Ep1=Ek2+Ep2

(注：牛顿力学的核心是牛二：F=ma,它是运动学与动力学的桥梁，我们的目的是知道物体的运动规律，即求解运动方程r=r(t),若知受力情况，根据牛二可得a,再根据运动学基本公式求之。同样，若知运动方程r=r(t),可根据运动学基本公式求a，再由牛二可知物体的受力情况。)

二：

狭义相对论力学：(注：γ=1/sqr(1-u^2/c^2),β=u/c,u为惯性系速度。)

(一)基本原理：(1)相对性原理：所有惯性系都是等价的。

(2)光速不变原理：真空中的光速是与惯性系无关的常数。

(此处先给出公式再给出证明)

(二)洛仑兹坐标变换：

X=γ(x-ut)

Y=y

Z=z

T=γ(t-ux/c^2)

(三)速度变换：

V(x)=(v(x)-u)/(1-v(x)u/c^2)

V(y)=v(y)/(γ(1-v(x)u/c^2))

V(z)=v(z)/(γ(1-v(x)u/c^2))

(四)尺缩效应：△L=△l/γ或dL=dl/γ

(五)钟慢效应：△t=γ△τ或dt=dτ/γ

(六)光的多普勒效应：ν(a)=sqr((1-β)/(1+β))ν(b)

(光源与探测器在一条直线上运动。)

(七)动量表达式：P=Mv=γmv,即M=γm.(八)相对论力学基本方程：F=dP/dt

(九)质能方程：E=Mc^2

(十)能量动量关系：E^2=(E0)^2+P^2c^2

(注：在此用两种方法证明，一种在三维空间内进行，一种在四维时空中证明，实际上他们是等价的。)

三：

三维证明：

(一)由实验总结出的公理，无法证明。

(二)洛仑兹变换：

设(x,y,z,t)所在坐标系(A系)静止，(X,Y,Z,T)所在坐标系(B系)速度为u,且沿x轴正向。在A系原点处，x=0,B系中A原点的坐标为X=-uT,即X+uT=0。可令x=k(X+uT),(1).又因在惯性系内的各点位置是等价的，因此k是与u有关的常数(广义相对论中，由于时空弯曲，各点不再等价，因此k不再是常数。)同理，B系中的原点处有X=K(x-ut),由相对性原理知，两个惯性系等价，除速度反向外，两式应取相同的形式，即k=K.故有X=k(x-ut),(2).对于y,z,Y,Z皆与速度无关，可得Y=y,(3).Z=z(4).将(2)代入(1)可得：x=k^2(x-ut)+kuT,即T=kt+((1-k^2)/(ku))x,(5).(1)(2)(3)(4)(5)满足相对性原理，要确定k需用光速不变原理。当两系的原点重合时，由重合点发出一光信号，则对两系分别有x=ct,X=cT.代入(1)(2)式得：ct=kT(c+u),cT=kt(c-u).两式相乘消去t和T得：k=1/sqr(1-u^2/c^2)=γ.将γ反代入(2)(5)式得坐标变换：

X=γ(x-ut)

Y=y

Z=z

T=γ(t-ux/c^2)

(三)速度变换：

V(x)=dX/dT=γ(dx-ut)/(γ(dt-udx/c^2))

=(dx/dt-u)/(1-(dx/dt)u/c^2)

=(v(x)-u)/(1-v(x)u/c^2)

同理可得V(y),V(z)的表达式。

(四)尺缩效应：

B系中有一与x轴平行长l的细杆，则由X=γ(x-ut)得：△X=γ(△x-u△t),又△t=0(要同时测量两端的坐标)，则△X=γ△x,即：△l=γ△L,△L=△l/γ

(五)钟慢效应：

由坐标变换的逆变换可知，t=γ(T+Xu/c^2),故△t=γ(△T+△Xu/c^2),又△X=0,(要在同地测量)，故△t=γ△T.(注：与坐标系相对静止的物体的长度、质量和时间间隔称固有长度、静止质量和固有时，是不随坐标变换而变的客观量。)

(六)光的多普勒效应：(注：声音的多普勒效应是：ν(a)=((u+v1)/(u-v2))ν(b).)

B系原点处一光源发出光信号，A系原点有一探测器，两系中分别有两个钟，当两系原点重合时，校准时钟开始计时。B系中光源频率为ν(b),波数为N，B系的钟测得的时间是△t(b),由钟慢效应可知，A△系中的钟测得的时间为△t(a)=γ△t(b),(1).探测器开始接收时刻为t1+x/c,最终时刻为t2+(x+v△t(a))/c,则△t(N)=(1+β)△t(a),(2).相对运动不影响光信号的波数，故光源发出的波数与探测器接收的波数相同，即ν(b)△t(b)=ν(a)△t(N),(3).由以上三式可得：ν(a)=sqr((1-β)/(1+β))ν(b).(七)动量表达式:(注：dt=γdτ,此时，γ=1/sqr(1-v^2/c^2)因为对于动力学质点可选自身为参考系，β=v/c)

牛二在伽利略变换下，保持形势不变，即无论在那个惯性系内，牛二都成立，但在洛伦兹变换下，原本简洁的形式变得乱七八糟，因此有必要对牛顿定律进行修正，要求是在坐标变换下仍保持原有的简洁形式。

牛顿力学中，v=dr/dt,r在坐标变换下形式不变，（旧坐标系中为（x,y,z）新坐标系中为(X,Y,Z)）只要将分母替换为一个不变量（当然非固有时dτ莫属）就可以修正速度的概念了。即令V=dr/dτ=γdr/dt=γv为相对论速度。牛顿动量为p=mv,将v替换为V，可修正动量，即p=mV=γmv。定义M=γm(相对论质量)则p=Mv.这就是相对论力学的基本量：相对论动量。（注：我们一般不用相对论速度而是用牛顿速度来参与计算）

(八)相对论力学基本方程：

由相对论动量表达式可知：F=dp/dt,这是力的定义式，虽与牛二的形式完全一样，但内涵不一样。（相对论中质量是变量）

(九)质能方程：

Ek=∫Fdr=∫(dp/dt)*dr=∫dp*dr/dt=∫vdp=pv-∫pdv

=Mv^2-∫mv/sqr(1-v^2/c^2)dv=Mv^2+mc^2*sqr(1-v^2/c^2)-mc^2

=Mv^2+Mc^2(1-v^2/c^2)-mc^2

=Mc^2-mc^2

即E=Mc^2=Ek+mc^2

(十)能量动量关系：

E=Mc^2,p=Mv,γ=1/sqr(1-v^2/c^2),E0=mc^2,可得：E^2=(E0)^2+p^2c^2

四：

四维证明：

(一)公理，无法证明。

(二)坐标变换：由光速不变原理：dl=cdt,即dx^2+dy^2+dz^2+(icdt)^2=0在任意惯性系内都成立。定义dS为四维间隔，dS^2=dx^2+dy^2+dz^2+(icdt)^2,(1).则对光信号dS恒等于0，而对于任意两时空点的dS一般不为0。dS^2〉0称类空间隔，dS^2<0称类时间隔，dS^2=0称类

光间隔。相对论原理要求（1）式在坐标变换下形式不变，因此（1）式中存在与坐标变换无关的不变量，dS^2dS^2光速不变原理要求光信号在坐标变换下dS是不变量。因此在两个原理的共同制约下，可得出一个重要的结论：dS是坐标变换下的不变量。

由数学的旋转变换公式有：（保持y,z轴不动，旋转x和ict轴）

X=xcosφ+(ict)sinφ

icT=-xsinφ+(ict)cosφ

Y=y

Z=z

当X=0时，x=ut,则0=utcosφ+ictsinφ

得：tanφ=iu/c,则cosφ=γ,sinφ=iuγ/c反代入上式得：

X=γ(x-ut)

Y=y

Z=z

T=γ(t-ux/c^2)

(三)(四)(五)(六)(八)(十)略。

(七)动量表达式及四维矢量：(注：γ=1/sqr(1-v^2/c^2),下式中dt=γdτ)

令r=(x,y,z,ict)则将v=dr/dt中的dt替换为dτ，V=dr/dτ称四维速度。

则V=(γv,icγ)γv为三维分量，v为三维速度，icγ为第四维分量。（以下同理）

四维动量：P=mV=(γmv,icγm)=(Mv,icM)

四维力：f=dP/dτ=γdP/dt=(γF,γicdM/dt)(F为三维力)

四维加速度：ω=/dτ=(γ^4a,γ^4iva/c)

则f=mdV/dτ=mω

(九)质能方程：

fV=mωV=m(γ^5va+i^2γ^5va)=0

故四维力与四维速度永远“垂直”，（类似于洛伦兹磁场力）

由fV=0得：γ^2mFv+γic(dM/dt)(icγm)=0(F,v为三维矢量，且Fv=dEk/dt(功率表达式))故dEk/dt=c^2dM/dt即∫dEk=c^2∫dM,即:Ek=Mc^2-mc^2

故E=Mc^2=Ek+mc^2

第五篇：10 对症下药 教案

《对症下药》教案

［教学目标］ 知识与技能

1.明白要善于区别不同的情况，正确地处理各种问题的道理。2.学会生字、新词，通过比较句子体会词义。3.正确、流利、有感情地朗读课文。情感态度与价值观

理解课文内容，明白那两个人病状差不多，华佗却给他们开了两张不同的药方的原因。使学生明白要善于区别不同的情况，正确地处理各种问题的道理。［教学重难点］

通过阅读，说说这个成语故事告诉我们什么道理。［教学课时］ 2课时

第一课时

教学过程

一、谈话导入

1.同学们，你们知道我国历史上有哪些著名的医学家吗？（李时珍、张仲景、华佗„„）2.介绍华佗。

师：今天，我们大家就一起来认识一下东汉时期的医学家——华佗。他的医术非常高明，诊断特别准确，被人们称为“神医”。华佗首创用全身麻醉法施行外科手术，被后世尊之为“外科鼻祖”。华佗也是中国古代医疗体育的创始人之一，创编了一种锻炼方法，叫做“五禽戏”。3.理解题意。（1）“症”是什么意思？“下药”是什么意思？用自己的话说说题目的意思。（症：病症；下药：用药。针对病症用药。）（2）课文讲的是谁对谁“对症下药”呢？（华佗对倪寻和李延“对症下药”。）1.课题“对症下药”中“症”的意思是，“对症下药”的意思是。

二、初读课文，认读生字 1.认读生字，新词。2.介绍学习方法。（1）“症、病”的部首都是“疒”；“泻、汉、汗”的部首都是“氵”。（2）“佗、诊、引、所、驱、除”都是左右结构的字；“药、思”都是上下结构的字；“因”是全包围结构的字；“延、病、症、差”是半包围结构的字；“内”是独体字。2.选字填空。内肉 吃（）（）火 汉汗

东（）流（）

三、指导朗读，了解大意 1.指名读课文，检查字音。

2.男女比赛分段朗读课文，教师适时评价指导。3.默读课文，思考：课文主要讲了一个什么故事？

（本文讲的是医学家华佗对症下药，治好了倪寻和李延两人的疾病的故事。）3.用自己的话概括课文的主要内容。

第二课时

教学过程

一、复习导入

1.出示本课生字词，指名认读。

2.有感情地朗读课文，回忆：华佗对谁“对症下药”？课文主要讲了一个什么故事？ 3.师：这节课，我们继续学习课文，看看我们能从中受到什么启发。4.把下列音节补充完整。ú除b病 zh症ǐｎ引

二、细读课文，分析理解 1.学习第1自然段。

自读第1自然段，然后说说你知道了什么。

学生：我知道了华佗是一个怎样的人。他是东汉末年的医学家，医术非常高明，诊断特别准确。

老师投影：

（1）他的医术高明，诊断准确。

（2）他的医术非常高明，诊断特别准确。

比较体会：第（2）句中的“非常、特别”着重强调了华佗的医术高明的程度、诊断的准确性，更加具体地说明了华佗高超的医术。请同学们用“非常”或“特别”写一句话。2.学习第2~3自然段。

（1）自由读第2~3自然段，边读边想：你读懂了什么？ 指名汇报。

学生甲：我知道了倪寻和李延两个人请华佗看病的事情。

学生乙：我发现华佗给他们两个人开了两张不同的药方。5.根据课文内容填空。华佗是的医学家，医术非常，诊断特别。6.照样子，写句子。他的医术非常高明，诊断特别准确。

（2）倪寻和李延生病了，他们的症状一样吗？华佗给他们开了什么药方？ ①学生：他们的症状差不多，都说自己头痛发烧，十分难受。②学生：华佗让倪寻服泻药，让李延服发汗药。

（3）老师投影：两个人心里想：我俩的病状差不多，为什么要服不同的药呢？ 指读这句话，想想：为什么要服不同的药呢？（虽然病情看起来很相似，但是病的起因不同，所以药方也不同。倪寻的病是由伤食引起的，所以要服泻药，去去内火；李延的病是由受凉引起的，所以要服发汗药，驱除身上的寒气。）

（4）齐读第3自然段。思考：这两个人的病好了吗？ 学生甲：他俩的病都好了。

（5）指导学生用多种形式有感情地朗读第2、3自然段。7.连一连。倪寻受凉服泻药李延伤食发汗药

三、总结全文，交流感受

1.说说这个故事告诉我们什么道理。

（告诉我们要善于区别不同的情况，正确地处理各种问题的道理。）2.把这个故事讲给父母听。8.说说这个故事告诉我们什么道理。

［教学反思］

1.本文是一篇成语故事，讲的是东汉末年的“神医”华佗对症下药，治好了倪寻和李延两人的疾病的故事，通过这个故事教育学生平时要善于区别不同的情况，正确地处理各种问题。要让学生明白华佗针对两人相似的病情却开出不同的药方的原因，这是理解本篇课文的关键。2.读是低年级语文教学的常用形式，以读代讲，可以帮助学生在读中感悟。教学中，我使用自由读、男女生赛读、齐读等多种朗读形式，让学生反复朗读，再深入体会文中句子的意思。让学生可以在一种自由、自主的学习氛围中理解课文内容。11找骆驼