第21课时二元二次方程组2

第一篇：第21课时二元二次方程组2

初三代数教案 第十二章：一元二次方程

第21课时：由一个二元二次方程和一个可以分解为 两个二元一次方程的方程组成的方程组

（一）教学目标：

1、使学生掌握由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次方程的方程组成的方程组的解法．

2、解由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次方程的方程组成的方程组，其基本思想仍是“消元”和“降次”，通过例题的分析讲解，进一步提高学生的分析问题和解决问题的能力． 教学重点：

通过把一个二元二次方程分解为两个二元一次方程来解由两个二元二次方程组成的方程组． 教学难点：

正确地判断出可以分解的二元二次方程． 教学过程：

我们已经学习了由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组的解法，这节课我们将学习由两个二元二次方程组成的二元二次方程组的解法．由于这类方程组比较复杂，解法变化也很多，并且不是都可以化成一元二次方程来解．因而我们只学习其中一种较为特殊的方程组的解法．

由于由两个二元二次方程组成的方程组，形式复杂，解法变化也较多，并且并不是都可以转化为一元二次方程来解，所以通过直接点题，明确本节课的目标，让学生立即清楚本节的目标，使学生的注意力被吸引过来，有利于新内容的学习．

由于解由两个二元二次方程所组成的一类方程组的解法的基本思路仍是“消元”和“降次”，因此通过分析和例题的讲解，学生可以比较熟练地掌握这种类型的方程组的解法，同时，通过学生的练习，可以进一步地提高学生分析问题和解决问题的能力．

一、新课引入：

1、我们所学习的二元二次方程组有哪几种类型？

2、解二元二次方程组的基本思想是什么？

3、解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的基本方法是什么？其主要步骤是什么？

5、把下列各式分解因式：

2222（1）x-5xy＋6y；（2）x+2xy+y-1．

2（3）（x＋y）-3（x＋2）＋2 关于问题设计的说明：

由于二元二次方程组的第一节课已经向学生阐明了我们所研究的二元二次方程组有两种类型．其一是由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组；其二是由两个二元二次方程所组成的方程组．由于第一种类型我们已经研究完，使学生自然而然地接受了第二种类型研究的要求．关于问题2的提出，由于两种类型的二元二次方程组的解题思想均为“消元”和“降次”，所以问题2让学生懂得“消元”和“降次”的数学思想，贯穿于解二元二次方程组的始终．问题3、4是对上两节课内容的复习，以便学生对已学过的知识得到进一步的巩固．由于本节课的学习内容是由两个二元二次方程组成的二元二次方程组的解法，其中有一个二元二次方程可以分解，因此，问题5的设计是为本节课的学习内容做准备的．

二、新课讲解： 例1 解方程组

分析：这是一个由两个二元二次方程组成的二元二次方程组，其解题的基本思路仍为“消元”、“降次”，使之转化为我们已经学过的方程组或方程的解法．那么如何转化呢？关于转化的形式有两种，要么降二次为一次，要么化二元为一元．我们通过观察方程组中的两个方程有什么特点，可以发

22现：方程组②的右边是0，左边x-5xy+6y是一个二次齐次式，并且可以分解为（x-2y）（x-3y），因此方程②可转化为（x-2y）（x-3y）＝0，即x-2y=0或x-3y＝0，从而可分别和方程①组成两个由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组，从而解出这两个方程组，得到原方程组的解．

解：由②得

（x-2y）（x-3y）＝0，x-2y＝0，或x-3y＝0．

因此，原方程组可化为两个方程组

解方程组，得原方程组的解为

说明：本题可由教师引导学生独立完成，教师应对学生的解题格式给予强调．

例2 解方程组

分析：这个方程组也是由两个二元二次方程组成的方程组，通过认真的观察与分析可以发现方程②的左边是一个完全平方式，而右边是完全平方

22数，因此将右边 16移到左边后可利用平方差公式进行分解，（x-y）-4＝（x-y＋4）（x-y-4），即x-y＋4＝0或x-y-4＝0，从而可仿例1的解法进行．

解：由②得

22（x-y）-4＝0．

即x-y＋4＝0，或x-y-4＝0．

因此，原方程组可转化为两个方程组

解这两个方程组，得原方程组的解为

巩固练习：

1．教材P．67中（1）．此练习可让学生口答． 2．教材P．67中（2）．此题让学生独立完成．

三、课堂小结：

本节小结，内容较为集中并且比较简单，可引导学生从两个方面进行总结：（1）本节课学习了哪种类型的方程组的解法；（2）这种类型的方程组的解题步骤如何？ 这节课我们学习了由两个二元二次方程组成的并且有一个方程是可以分解成两个二元一次方程的方程组的解法，解这种类型的方程组的步骤是将原二元二次方程组转化为两个已学习过的二元二次方程组，从而求出原方程组的解．

关于比较特殊的二元二次方程组的解法，教师可以利用辅导课的时间补充两个二元二次方程都可以分解的二元二次方程组的解法．

四、作业：

1、教材P．68中A1、2、3．

2、有能力的学生可做B1、2．

第二篇：第20课时二元二次方程组1

初三代数教案 第十二章：一元二次方程 第20课时：由一个二元一次方程和 一个二元二次方程组成的方程组

（一）教学目标：

1、使学生了解二元二次方程概念、二元二次方程的一般形式、二元二次方程组的概念；使学生掌握由代入法解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组．

2、通过二元二次方程及二元二次方程组的定义的教学，提高学生判断能力；

3、通过二元二次方程组解法的教学，向学生渗透“消元”、“降次”的教学思想，从而提高分析问题和解决问题的能力． 教学重点：

了解二元二次方程、二元二次方程组的概念，会用代入法解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组． 教学难点：

理解解二元二次方程组的基本思想． 教学过程：

由于学生已经学过二元一次方程、二元一次方程组的意义，所以在进行二元二次方程和二元二次方程组的概念教学时，通过具体的二元二次方程和二元二次方程组的实例，通过相同点和不同点的分析，得出二元二次方程及二元二次方程组的定义，以加深学生的理解；在二元二次方程组的解法教学时，应向学生指出，解二元二次方程组就是求方程组中两个方程的公共解，解二元二次方程组的基本思想是消元和降次．

由于学生已经学过二元一次方程及二元一次方程组的概念，所以通过具体的二元二次方程及二元二次方程组，让学生进行分析和比较，得出二元二次方程的定义及常见的二元二次方程组的判别方法，使学生容易接受和理解新的知识．

关于本节课学习的用消元法解二元二次方程组，用消元法解方程组对学生来说并不陌生，学生在学习二元一次方程组的解法时，就是用消元法来解的．因此在进行本节教学时，通过教师的启发引导，学生分析二元二次方程组的特点，探求消元的方法．从而从整体上看学生在课堂上讨论热烈，能调动学生学习的积极性，激发学生的学习情趣，提高学生分析问题和解决问题的能力．

一、新课引入：

（1）举例说明什么是二元一次方程、什么是二元一次方程组？（2）解二元一次方程组的基本思路是什么？（3）解二元一次方程组有哪几种方法？

问题1、2的设计是为了学生能用类比的方法学习二元二次方程、二元二次方程组的概念和二元二次方程组的解法．

二、新课讲解：

我们已经学过二元一次方程和二元一次方程组，会用代入消元法或加减消元法解二元一次方程组．这节课，我们将学习二元二次方程及二元二次方程组的概念和二元二次方程组的解法．

关于新课的导入，使学生对于本课所要学习的知识一目了然，并且能使学生懂得通过哪些旧知识来学习新内容．

（1）二元二次方程及二元二次方程组

22观察方程x＋2xy＋y＋x＋y＝6，此方程的特点：（1）含有两个未知数；（2）是整式方程；（3）含有未知数的项的最高次数是2．

定义①：含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫做二元二次方程．

22二元二次方程的一般形式是：ax+bxy+cy+dx+ey+f＝0（a、b、c不同22时为零）．其中ax、bxy、cy叫做二次项，dx、ey叫做一次项，f叫做常数项．

定义②：由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程及由两个二元二次方程组成的方程组是我们所研究的二元二次方程组．例如：

（2）由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组的解法．

我们已经学过二元一次方程组的解法，所谓解二元一次方程组就是求方程组中两个方程的公共解，同样，解二元二次方程组也就是求方程组中两个方程的公共解．

解二元二次方程组的基本思想是消元和降次，消元就是化二元为一元，降次就是把二次降为一次．因此可以通过消元和降次把二元二次方程组转化为二元一次方程组、一元二次方程甚至一元一次方程．

对于由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组来说，代入消元法是解这类方程组的基本方法．

例1解方程组

分析：由于方程组是由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的，所以通过代入可以达到消元的目的，通过②得y＝2x-1再代入①可以求出x的值，再求出y的值，从而得到方程组的解．

解：由②，得 y＝2x-1 ③

把③代入①，整理，得 215x-23x＋8＝0． 解这个方程，得

把x1＝1代入③，得y1＝1；

所以原方程的解是

说明：本题在师生共同分析后，让学生独立完成，教师指导学生完成解题过程．

巩固练习：

教材 P．64中1、2．

三、课堂小结：

关于本节的小结，教师引导学生共同总结．

本节课我们学习了二元二次方程、二元二次方程组的定义及常见的二元二次方程组的两种类型，理解了解二元二次方程组的基本思想是消元和降次，使之转化为二元一次方程或一元一次方程；对于一个二元一次方程组和一个二元二次方程组成的二元二次方程组，一般采用代入消元法解．

学生学完了用代入法解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组后，教师和学生可以共同总结这种类型方程组的解题步骤：

1．将方程组中的二元一次方程变形为一个未知数用另一个未知数表示的代数式． 2．将所得的代数式代入二元二次方程中得到一个一元二次方程或一元一次方程．

3．解一元二次方程或一元一次方程．

4．将所求的值代入由1所得的式子求出另一未知数． 5．写出方程组的解．

四、作业

教材P．65中1、2． 教学后记：

第三篇：第八章二元一次方程组导学案(第3课时)

第八章二元一次方程组导学案（第3课时）

年级:七年级 学科:数学 执笔: 试教：

内容: 8.2.2 加减消元法 课型:新授课 上课间: 2011.____.___

学习目标：

1、理解加减法解二元一次方程组的基本思路.2、会用加减消元法解简单的二元一次方程组.学习重难点：

重点：使学生会用加减法解二元一次方程组。

难点：会用加减法解同一个未知数系数绝对值相等或成倍数关系的二元一次方程组.一、阅读教材第 99 页至 100页（关键处、疑难处做好标记）

二、独立思考•解决问题：

1、什么是加减消元法？加减消元法的依据是什么？

2、用加减消元法解二元一次方程组时相同未知数的系数必须具有什么特点？

3、什么情况下两个方程可以直接相加(或相减)？

4、试一试： 1）、仔细观察填空：

x3y17（1）已知方程组2x3y6数。

两个方程只要两边 就可以消去未知

25x7y16（2）已知方程组25x6y10数。

2）、细心选择：

两个方程只要两边 就可以消去未知

0.5x3y16(1)（1）用加减法解方程组1 应用（）

x2y10(2)2A、（1）+（2）消去x B、（1）+（2）消去y C、（1）—（2）消去x D、（1）—(2)消去y

3(x1)2(y2)13（2）方程组3(x1)2(y2)5消去y后所得的方程是（）

A、6(x1)8 B、6(x1)18 C、6(x1)5 D、(x1)18

三、合作交流，展示应用：

1、解方程组3x2y1，①x3y4． ②

讨论：两个方程中的未知数x的系数有什么关系，根据等式的性质能否将x的系数化成相等的系数，然后进行消元．

2、解方程组2x3y8，①7x6y2． ②

（提示：方程中未知数y的系数成倍数关系，所以消去未知数y比较简单．）

四、自学疑问记录：

五、巩固提高：

1、解方程组 3x5y4，①2x5y1． ②

2、解方程组3x2y1，①x3y4． ②

3、完成教材102页练习1.（1）（2）

六、拓展提高：

(探究)3x2ab25y3ab18是关于x、y的二元一次方程，求a、b。

七、学习体会 1.本节课你有哪些收获？ 2.你还有哪些疑惑？

八、课后作业 完成教材第103页习题8.2第3、4题

第四篇：二元一次方程组教案2

二元一次方程组教案2 地点:多媒体教室

学生:一年四班

学习目标:

1、让学生进一步理解消元的思想

2、掌握加减消元法解二元一次方程组的一般步骤

重点:用加减法解二元一次方程组

难点:两个方程相减消元是要对被减方程各项做变号处理

教学过程:

一、板书课题,出示教学目标

上节课我们学习了利用代入法解二元一次方程组,那么下面请同学们观察方程组有没有新的消元方法,也可以消去一个未知数,达到“二元”化“一元”的目的学习目标(投影)

1、让学生进一步理解消元的思想

2、掌握加减消元法解二元一次方程组的一般步骤

二、自学指导1 本节课的学习目标实现需要靠同学们的积极动脑思考、动笔练习。请看大屏幕自学指导

自学指导

请同学们认真看P107~P108例3上面完了,边看边理解什

么是加减消元法,怎样消元。会做书中的思考题以及与其类似的习题

三、学生自学

1、教师巡视,学生认真看书思考

2、找学生到黑板板演解方程组,一共同学们交流参考

四、自学指导2

1、自学书中例3,注意此时的方程组与前面所作的方程组有什么区别与联系

2、思考想一想中提出的问题,灵活运用加减法解二元一次方程组

五、学生自学,教师巡视

学生认真自学,观察方程组的特点,选择适当的未知数进行消元,从而求出方程组的解

六、课堂训练:

P112 3

七、课堂小结

1、易错点:在用加减法消元时,符号出现错误

2、用加减法解二元一次方程组的条件:某一未知数系数的绝对值相等

八、课外作业

第五篇：2.1 求解二元一次方程组(第1课时)教学设计

第五章 二元一次方程组

2.求解二元一次方程组（第1课时）

一.学生起点分析

学生的知识技能基础：在学习本节之前，学生已经掌握了有理数、整式的运算、一元一次方程等知识，了解了二元一次方程、二元一次方程组及其解等基本概念，具备了进一步学习二元一次方程组解法的基本能力，会通过列一元一次方程解应用题，能通过分析找出题中的等量关系列出二元一次方程组.学生活动经验基础：有同学间相互交流合作、自主探索的经验，有在活动过程中总结经验、归纳知识点的经验.二.教学任务分析 《二元一次方程组的解法》是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级（上）第五章《二元一次方程组》的第二节，要求学生能利用消元思想熟练的解二元一次方程组，本节体现的消元方法有代入消元法、加减消元法，教材安排了2个课时分别完成.本节课为第1课时.基于学生对二元一次方程及二元一次方程组的基本概念理解的基础上，教科书从实际问题出发，通过引导学生经历自主探索和合作交流的活动，学习二元一次方程组的解法——代入消元法.代入消元法是解二元一次方程组的基本方法之一，它要求从两个方程中选择一个系数比较简单的方程，将它转换成用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式，然后代入另一个方程，求出这个未知数的值，最后将这个未知数的值代入已变形的那个方程，求出另一个未知数的值.在求出方程组的解之后，可以对求出的解进行检验，这样可以防止和纠正方程变形和计算过程中可能出现的错误.二元一次方程组的解法，其本质思想是消元，体会“化未知为已知”的化归思想.教学目标：（1）会用代入消元法解二元一次方程组；（2）了解“消元”思想，初步体会数学研究中“化未知为已知”的化归思想.教学重点：用代入消元法解二元一次方程组.教学难点：在解题过程中体会“消元”思想和“化未知为已知”的化归思想.三.教学过程设计：：第一环节：情境引入；第二环节：探索新知；第三环节：巩固新知；第四环节：练习提高；第五环节：课堂小结；第六环节：布置作业.第一环节：情境引入 内容：教师引导学生共同回忆上一节课讨论的“买门票”问题，想一想当时是怎么获得二元一次方程组的解的.xy8,设他们中有x个成人，y个儿童，我们得到了方程组成人和

5x3y34.x5,儿童到底去了多少人呢？在上一节课的“做一做”中，我们通过检验是

y3不是方程xy8和方程5x3y34的解，从而得知这个解既是xy8的x5,解，也是5x3y34的解，根据二元一次方程组的解的定义，得出是

y3xy8,方程组的解.所以成人和儿童分别去了5人和3人.5x3y34提出问题：每一个二元一次方程的解都有无数多个，而方程组的解是方程组中各个方程的公共解，前面的方法中我们找到了这个公共解，但如果数据不巧，这可没那么容易，那么，有什么方法可以获得任意一个二元一次方程组的解呢？

第二环节：探索新知 内容：回顾七年级第一学期学习的一元一次方程，是不是也曾碰到过类似的问题，能否利用一元一次方程求解该问题？（由学生独立思考解决，教师注意指导学生规范表达）

解：设去了x个成人，则去了(8x)个儿童，根据题意，得：

5x38x34解得：x5

将x5代入8x, 解得：8－5=3.答：去了5个成人，3个儿童.在学生解决的基础上，引导学生进行比较：列二元一次方程组和列一元一次方程设未知数有何不同？列出的方程和方程组又有何联系？对你解二元一次方程组有何启示？

（先让学生独立思考，然后在学生充分思考的前提下，进行小组讨论，在此基础上由学生代表回答，老师适时地引导与补充，力求通过学生观察、思考与讨论后能得出以下的一些要点.）

1.列二元一次方程组设有两个未知数：x个成人，y个儿童.列一元一次方程只设了一个未知数：x个成人，儿童去的个数通过去的总人数与去的成人数相比较，得出(8x)个.因此y应该等于(8x).而由二元一次方程组的一个方程xy8，根据等式的性质可以推出y8x.2.发现一元一次方程中5x3(8x)34与方程组中的第二个方程5x3y34相类似，只需把5x3y34中的“y”用“8x”代替就转化成了一元一次方程.教师引导学生发现了新旧知识之间的联系，便可寻求到解决新问题的方法——即将新知识（二元一次方程组）转化为旧知识（一元一次方程）便可.（由学生来回答）上一节课我们就已知道方程组中相同的字母表示的是同

xy8,①一个未知量.所以将中的①变形，得y8x③，我们把

5x3y34②即将②中的y用8x代替，这样就有5x38x34.y8x代入方程②，“二元”化成“一元”.教师总结：同学们很善于思考.这就是我们在数学研究中经常用到的“化未知为已知”的化归思想，通过它使问题得到完美解决.下面我们完整地解一下这个二元一次方程组.（教师把解答的详细过程板书在黑板上，并要求学生一起来完成）

xy8,解：

5x3y34.由①得：y8x.③ 将③代入②得：

5x38x34解得：x5..把x5代入③得：y3.x5,所以原方程组的解为：

y3.（提醒学生进行检验，即把求出的解代入原方程组，必然使原方程组中的每个方程都同时成立，如不成立，则可知解有误）

下面我们试着用这种方法来解答上一节的“谁的包裹多”的问题.（放手让学生用已经获取的经验去解决新的问题，由学生自己完成，让两个学生在黑板上规范的板书，教师巡视：发现学生的闪光点以及存在的问题并适时的加以辅导，以期学生在解答的过程中领会“代入消元法”的真实含义和“化归”的数学思想.）

第三环节：巩固新知 内容： 1.例：解下列方程组：

3x2y14,2x3y16,(1)(2)

xy3;x4y13.（根据学生的情况可以选择学生自己完成或教师指导完成）(1)解：将②代入①，得：3y32y14.解得：y1.把y1代入②，得：x4.x4,所以原方程组的解为：

y1.(2)由②，得：x134y.③ 将③代入①，得：2134y3y16.解得：y2.将y=2代入③，得：x5.x5,所以原方程组的解是

y2.（⑵题需先进行恒等变形，教师要鼓励学生通过自主探索与交流获得求解，在求解过程中学生消元的具体方法可能不同，所以教学中不必强求解答过程的统一，但要提出如何选择将哪个方程恒等变形、消去哪个未知数能使运算较为简单.让学生在解题中进行思考）

（教师在解完后要引导学生再次就解出的结果进行思考，判断它们是否是原方程组的解.促使学生进一步理解方程组解的含义以及学会检验方程组解的方法.）

2.思考总结：（教师根据学生的实际情况进行生与生、师与生之间的相互补充与评价，并提出下面的问题）

⑴给这种解方程组的方法取个什么名字好？ ⑵上面解方程组的基本思路是什么？ ⑶主要步骤有哪些？

⑷我们观察例题的解法会发现，我们在解方程组之前，首先要观察方程组中未知数的特点，尽可能地选择变形后的方程较简单和代入后化简比较容易的方程变形，这是关键的一步.你认为选择未知数有何特点的方程变形好呢？

(由学生分组讨论，教师深入参与到学生讨论中，发现学生在自主探索、讨论过程中的独特想法，请学生小组的代表回答或学生举手回答，其余学生可以补充，力求让学生能够回答出以下的要点，教师要板书要点，在学生回答时注意进行积极评价)1.在解上面两个二元一次方程组时，我们都是将其中的一个方程变形，即用含其中一个未知数的代数式表示另一个未知数，然后代入另一个未变形的方程，从而由“二元”转化为“一元”，达到消元的目的.我们将这种方法叫代入消元法.2.解二元一次方程组的基本思路是消元，把“二元”变为“一元”.3.解上述方程组的步骤：第一步：在已知方程组的两个方程中选择一个适当的方程，将它的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来.第二步：把此代数式代入没有变形的另一个方程中，可得一个一元一次方程.第三步：解这个一元一次方程，得到一个未知数的值.第四步：把求得的未知数的值代回到原方程组中的任意一个方程或变形后的方程(一般代入变形后的方程)，求得另一个未知数的值.第五步：把方程组的解表示出来.第六步：检验(口算或笔算在草稿纸上进行)，即把求得的解代入每一个方程看是否成立.4.用代入消元法解二元一次方程组时，尽量选取一个未知数的系数的绝对值是1的方程进行变形；若未知数的系数的绝对值都不是1，则选取系数的绝对值较小的方程变形.第四环节：练习提高内容： 1.教材随堂练习

2.补充练习：用代入消元法解下列方程组：

3x2y7,x2y4,3x4y19,(1)(2) ⑶x3

y0.2xy3;x2y3;2（注：[2]题可以用整体代入法来解，把第二个方程变为2y3x，再将它代入第一个方程，得

3x2x319；[3]题分数线有括号功能；[4]题如果有时间，学生学有余力可作为补充题目.）

第五环节：课堂小结

内容：师生相互交流总结解二元一次方程组的基本思路是“消元”，即把“二元”变为“一元”； 解二元一次方程组的第一种解法——代入消元法，其主要步骤是：将其中的一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程.解这个一元一次方程，便可得到一个未知数的值，再将所求未知数的值代入变形后的方程，便求出了一对未知数的值.即求得了方程组的解.第六环节：布置作业

1.课本习题5.2 2.解答习题5.1第3题 3.预习下一课内容