13.3.1 角的平分线的性质(一)

第一篇：13.3.1 角的平分线的性质(一)

§13．3 角的平分线的性质

课时安排 ２课时

从容说课

本节课通过设计一些探究活动，应用学过的全等三角形知识引出了角的平分线的性质．通过本节学习，要让学生了解已知角的平分线的作法，掌握角的平分线的两个性质：①在角的平分线上的点到角的两边的距离相等；②到角的两边距离相等的点在角的平分线上．并了解这两个性质的互逆性，能利用角的平分线的性质证明一些简单的几何问题，如线段相等、距离相等等问题．

在应用过程中，学生习惯于应用全等解决相等问题，而常忽略角的平分线的性质的应用，这就使问题变得烦琐了．要使学生充分认识这一点，在教学中要设计丰富多彩的活动，使学生能从各个角度认识角的平分线的性质，从而达到运用自如的目的，使学生深刻体会应用角的平分线的性质的优越性．

证明线段相等或等距离问题中，若有角的平分线的已知条件，可直接利用性质，不必再证明全等三角形得等量关系，这在教学中是个要突破的难点，而重点应放在角的平分线的性质的理解与应用上．

§13．3．1 角的平分线的性质

（一）第六课时

教学目标

（一）教学知识点：角平分线的画法．

（二）能力训练要求

1．应用三角形全等的知识，解释角平分线的原理．2．会用尺规作一个已知角的平分线．

（三）情感与价值观要求

在利用尺规作图的过程中，培养学生动手操作能力与探索精神． 教学重点：利用尺规作已知角的平分线． 教学难点：角的平分线的作图方法的提炼． 教学方法：讲练结合法．

教具准备：多媒体课件（或投影）． 教学过程

Ⅰ．提出问题，创设情境

问题1：三角形中有哪些重要线段．

问题2：你能作出这些线段吗？

[生甲]三角形中有三条重要线段，它们分别是：三角形的高，三角形的中线，三角形的角的平分线．

过三角形的顶点作这个顶点的对边的垂线，交对边于一点，顶点与垂足的连线就是这个三角形的高．

取三角形一边的中点，此中点与这个边对应顶点的连线就是这条边的中线．

用量角器量出三角形的角的大小，量角器零度线与这个角的一边重合，这个角一半所对应的线就是这个角的角平分线．

[生乙]我不同意你对角平分线的描述，三角形的角平分线是一条线段，而一个已知角的平分线是一条射线，这两个概念是有区别的．

[师]你补充得很好．数学是一门严密性很强的学科，你的这种精神值得我们学习． 如果老师手里只有直尺和圆规，你能帮我设计一个作角的平分线的操作方案吗？

Ⅱ．导入新课

[生]我记得在学直角三角形全等的条件时做过这样一个题：

在∠AOB的两边OA和OB上分别取OM=ON，MC⊥OA，NC⊥OB．MC与NC交于C点． 求证：∠MOC=∠NOC．通过证明Rt△MOC≌Rt△NOC，即可证明∠MOC=∠NOC，所以射线OC就是∠AOB的平分线．

学生讨论结果总结：

1MN的长”这个条件，所作的两弧可能没有交点，所以就找不到角的平分线． 21 2．若分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画两弧，两弧的交点可能在∠AOB•的内部，也可能在∠1．去掉“大于AOB的外部，而我们要找的是∠AOB内部的交点，•否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠AOB的平分线了．

3．角的平分线是一条射线．它不是线段，也不是直线，•所以第二步中的两个限制缺一不可． 4．这种作法的可行性可以通过全等三角形来证明．

练一练：

任意画一角∠AOB，作它的平分线．

Ⅲ．随堂练习

课本P106练习．

练后总结：

平角∠AOB的平分线OC与直线AB垂直．将OC反向延长得到直线CD，直线CD与AB•也垂直．

Ⅳ．课时小结

本节课中我们利用已学过的三角形全等的知识，•探究得到了角平分线仪器的操作原理，由此归纳出角的平分线的尺规画法，进一步体会温故而知新是一种很好的学习方法．

Ⅴ．课后作业

1．课本P108习题13．2─1、2． 2．预习课本P106～107内容．

板书设计

§13．3 角的平分线的性质

（一）一、角平分线仪器的操作原理

二、角平分线的尺规画法：

1．以O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA、OB于M、N． 2．分别以M、N为圆心，大于

1MN长为半径作弧．两弧在∠AOB内部交于C点． 2 3．连接OC，射线OC即为所求．

三、课时小结

四、课后作业

第二篇：角的平分线的性质

《角的平分线的性质》说课稿

【序】

尊敬的各位评委老师，亲爱的同学们，大家好！我是号参赛选手，今天，我说课的内容为《角的平分线的性质》。本节选自九年制义务教育人教版八年级数学第十一章第三小节。下面我将从教材分析、教法选择、学法分指导，教学过程四个方面，展开我今天的说课内容。

1.首先第一部分、【教材分析】 1.1【教材的地位与作用】

结合教材内容，我们可以看出，“角的平分线的性质”是在学生学习了全等三角形、角平分线的定义和相关概念的基础上，从探究平分角仪器的原理出发，得出角的平分线的画法、性质和判定定理。角平分线的性质是角轴对称性质的具体化，为证明线段相等、角相等、三角形内三线共点提供了新的方法和依据；同时，性质与判定定理之间的互逆关系，也为学生初步认识互逆命题打下了基础。所以，本节内容在教材中有着乘上启下的重要作用。

1.2【教学目标】

根据以上的分析，结合新课程标准的要求，我将具体的教学目标确定如下：

在知识技能方面我想要达到的目标是：让学生通过本节课的学习，掌握角平分线的画法，理解角平分线的性质和判定定理，并运用它们解决一些有关的证明和计算问题。

过程和方法目标：本节课，我将带领学生经历观察、实验、猜想、证明和探索的过程，体会探索问题的一般方法和转化的数学思想。

在学生的情感态度价值观培养方面：我将让学生通过一系列问题的解决体会数学在实际生活中的强大作用，从而树立学数学、爱数学的信心。并将小组合作贯穿于教学环节的始终，培养学生与人合作的精神，发展他们的个性。

1.3【教学重难点】

根据教材内容的安排，和学生的学习思维特点，我确定本节的教学重点为角的平分线的性质。难点确定为角的平分线的性质和判定定理的综合运用。

2．【教法选择】

我所面对的学生是初中二年级的学生，相对于其它年龄段的孩子，他们的独立意识和行动能力都有了明显的增强，因此，在教学方法上我打算采用情景教学法、引导发现法、直观演示法、小组讨论交流法相结合的教学方法，在教学过程中利用多媒体课件、实物投影仪、超级画板软件、平分角仪器引导学生掌握知识，形成能力，将数学知识与观察演示和动手实践相结合，使我的课堂始终洋溢在一种轻松快乐的氛围之中。

3.【学法指导】

在学法指导方面，我更加注重学生科学探究方法的体验和感受，让他们在自主动手实践、同学之间通力合作的基础上学会运用观察、分析、对比、归纳、证明的方法，得出解决问题的办法，将学习知识与培养能力融为一体，提高学生持续学习的能力。

4.【教学过程】

结合以上的内容，我将我此次的教学过程按照：

创设情境，导入新知——动手实践，探究新知——应用新知，探讨例题 归纳小结，整理反思——布置作业，自我巩固，五个步骤逐层层展开。4.1【创设情境，导入新知】

在课堂的开始，我利用多媒体课件在大屏幕上出示一道度假村的设计问题，“某地的规划局要在一个三条公路两两相交的地区设计一个度假村”并提出一问题“为了使度假村的客人到三条公路出行同样方便，度假村应该设计在何处呢？”对于这样一道问题，大部分学生会感到无从下手，我就借此机会，因势利导引出本节课的课题“解决这个问题需要用到角平

分线的性质的有关知识，只要我们齐心协力探究出它来，所有同学都可以给规划部门做出一个出色的设计方案”。让学生在好奇心和自信心的趋使下，进入到探索新知的环节中去。

4.2【动手实践，探究新知】

与此同时，为了给学生创建动手、动脑、合作交流的平台，我将我探究新知的所有过程都安排在小组合作的基础之上，并设计了以“闯三关”为主线的教学策略设计了三个有趣的揭秘活动，让所有小组在逐步的挑战活动中，不知不觉的学到了知识，培养了能力。

4.2.1首先带领学生进入第一环节：【揭秘平分角仪器的原理】

让学生拿出课前准备好的学具—“这是一个平分角的仪器，其中AB=CD,BC=DC,将点A放在角的顶点，AB、AD沿着角的两边放上，那么AC所指示的方向就是这个角的角平分线的方向了，你能说出它的原理吗？”学生会自发的展开验证，然后论证它的原理。我深入到各小组中启发学生先写出已知、求证，画出图形，再思考证明。这样学生很容易根据已有的解题经验，利用证明三角形全等得出AC平分角的性质，课堂松闯过第一关。

4.2.2课堂进入第二关【揭秘已知角的角的平分线的画法】 在第一关的基础上，引导画图思路：“我们可不可以根据平分角仪器那样，利用构造两组相等的临边，来画出任意角的角平分线呢？”

在规定时间内，将问题交给各小组，先让各组员独立思考，然后相互交流，写出画法。为了充分发挥学生的主观能动性，我先安排画图成功的小组，简要说明自己的画法，之后引导在黑板上归纳出正确的作图步骤：

再由画图未竟的小组说说自己遇到的问题，全班讨论。在作图思路已知的情况下，大部分学生失败的原因在第二步做弧时半径未取好，导致弧不能相交，画不出点C，由此，我引导出作图的关键点。并鼓励画图未成功的学生：宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来，在失败的道路上失败并不可怕，只要我们直面问题，找出失败的原因，就能笑到最后，在智育中渗透德育，完善了学生性格的发展。

这样全体学生齐心协力，通过了第二关。4.2.3进入第三关：【揭秘角的平分线的性质】

请学生按照我描述的步骤利用准备好的纸和剪刀动手操作，观察两次折叠形成的折痕，思考他们各是什么？利用这些我们能得出什么结论？由于学生实验中如果取的角过小，过大都会影响实验结果的观察，为了更加直观的引导总结，接着我会安排学生观察我用超级画板制作的动画。

先将角对折，两边重合，然后再以折线为斜边折出一个直角，再逐步展开，观察形成的折痕，为了将结论推向一般，教师也可以选取不同位置多做几次，观察多组实验的现象，学生会更加更加确信结论的正确性。在学生举手回答的基础上总结出角平分线的性质，之后安排各小组写出已知求证画出图形后证明，最后填写这样一个表格，有了对全等三角形判定定理的熟练掌握，学生很容易根据边角边的判定定理得出证明，目的在加深学生对性质的理解和认识，同时为转化应用买下伏笔。

之后，出示这样一个练习题交给学生先画图观察、最后做辅助线证明。

对于判定定理，我采用引导的方式“用角平分线性质的结论做条件，是不是会得出性质的条件呢？”

学生们会快速的想到证明的方法，在举手回答的基础上，归纳出角平分线的判定定理。同样的填写一个表格。两个表格的对比，让学生认识到性质和判定定理之间的互逆关系，为之后学习互逆命题打下基础。

4.3【应用举例】

例一：让学生利用学得的知识，解决课题导入时的度假村设计问题，由于之前的习题已经提供了解题的思路，所以应用解题已经不是难题。挑学生扮演。

例二：求证：三角形三条角平分线交于一点。这是一个性质与判定定理的综合运用，在这个过程中无论结果是好是坏，是对是错我都将给与学生充分的肯定以及简单的点评。

对于学生成功的解决方法我将利用实物投影仪在大屏幕上展示，完善解题过程，增加解题经验。度假村设计问题的解决，使学生认识到数学知识在生活中的广泛应用，帮助学生树立学数学、爱数学的信心。

4.4【归纳小结】

荷兰数学家弗莱登塔尔指出：“反思是数学思维活动的核心和动力”，因此归纳小结环节，我将采用师生共同总结的方式，以

1、今天我们学习了什么？

2、今天我们运用这些知识解决了哪些数学问题？

3、这些知识还能帮助我们解决生活中其他问题吗？

问题序列的方式，引导学生对这节课的知识内容进行梳理，加深学生对知识内容的理解，提高他们分析小结的能力。

4.5【布置作业】

作业布置我采用必做题的选做题相结合的方式。与此同时，同时让学生 【板书设计】

最后是我的板书设计，共分两版，以教学过程为指引逐步展开，有助于学生回忆整理，重点突出，同时很好的服务了课堂教学。

第三篇：角平分线性质教案

教学设计

一、教学目标

（一）知识与技能目标

1.掌握作角的平分线和作直线垂线的方法 2.学握角平分线的性质

（二）情感态度目标

1.在探讨做角平分线的方法及角平分线性质的过程中，培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验。2.培养学生团结合作精神。

教学重点： 掌握角平分线的尺规作图，理解角的平分线的性质并能初步运用。教学难点： 1.对角平分线性质定理中点到角两边的距离的正确理解； 2.对于性质定理的运用。

教学工具： 多媒体 课件。直尺，圆规等

二、教学过程设计

（一）复习引入 1.角平分线的定义。2.点到直线的距离。

学生思考，回答问题。（设计意图：复习已学知识，为下面研究创造条件。）

（二）设计活动，引出内容 【活动一】

问题 1 ：利用之前学过的知识，如何确定一个角的角平分线。

问题 2 ：不利用工具，将一张用纸片做的角分成两个相等的角，你有什么办法？（对折）学生活动：学生用量角器去量，让一个学生上讲台用折纸的方法得到角平分线展示给大家。

（设计意图：掌握作角的平分线的简易方法）

假如我们要将纸片换成木板、钢板等没法折的角，又该怎么办呢？那么我们除了使用量角器外，我再给大家介绍另一种仪器——角平分仪（展示课件）如图，是一个平分角的仪器，其中 AB=AD，BD=DC，将点 A 放在角的顶点，AB 和 AD 沿着角的两边放下，沿 AC 画一条射线 AE，AE 就是这个角的平分线，你能说明它的道理吗？

（总结学生思路——利用三角形全等）

（设计意图：训练书写数学语言）

引导学生观察这个角分仪，根据这个角分仪的制作原理，通过小组讨论总结，归纳出作一个已知角角平分线的方法。（分小组完成这项活动，教师可参与到学生活动中，及时发现问题，给予启发和指导，使讲评更具有针对性）

通过小组讨论的结果，让同学在黑板上演示作图过程及复述画法，再利用多媒体演示，加深印象，并强调尺规的规范性。讨论结果展示：

作已知角平分线的方法： 已知：∠ AOB ．

求作：∠ AOB 的平分线． 作法：

（1）以 O 为圆心，适当长为半径作弧，分别交 OA、OB 于 M、N.（2）分别以 M、N 为圆心，大于 MN 的长为半径作弧．两弧在∠ AOB 内部交于点 C.（3）作射线 OC，射线 OC 即为所求.设置问题：

1.在上面作法的第二步中，“大于 MN 的长”这个条件改成“小于或等于

MN 的长”不行吗？

2.第二步中所作的两弧交点一定在∠ AOB 的内部吗？

（设计这两个问题的目的在于加深对角的平分线的作法的理解，培养数学严密性的良好学习习惯。）学生讨论结果总结：

1.不行，若改成“小于或等于 MN 的长”，那么所作的两弧可能没有交点，所以就找不到角的平分线。

2.若分别以 M、N 为圆心，大于 MN 的长为半径画两弧，两弧的交点可能在∠ AOB 的内部，也可能在∠ AOB 的外部，而我们要找的是∠ AOB 内部的交点，• 否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠ AOB 的平分线了。应用：平分平角∠ AOB(学生口述)由平分平角的步骤，得出结论： 作平角的平分线即可平分平角，由此也得到过直线上一点作这条直线的垂线的方法。

【活动二】

拿出用纸片做的角 ∠ AOB，在这个角的角平分线上任意取一点 P，过点 P 分别向角的两边做垂线，量一量点 P 到将两边的垂线段的长有什么关系？再在这个角平分线上任取 3 个点，也分别向角的两边做垂线，看看这些点到角的两边的垂线段的长有什么关系？

学生动手操作，通过观察，用尺子测量，得出结论： 角平分线上的点到角两边的距离相等。

这是从直观上得出的结论，从理论上要证明这个结论。

（设计意图：解决实际问题，拓展学生思维，引导角平分线的性质定理总结，规律化规范语言，深化记忆定理）

证一证： 引导学生证明角平分线的性质，分清题设、结论，将文字变成符号并加以证明。学生板眼，挑出问题，纠正问题，得出完整过程。

由此，得到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。用符号语言表示为： ∵ OP平分∠ AOB PD ⊥ OA，PE ⊥ OB ∴ PD=PE 定理的作用：证明线段相等。练习：判断正误，并说明理由：

（1）如图 1，P 在射线 OC 上，PE ⊥ OA，PF ⊥ OB，则 PE=PF。（2）如图 2，P 是∠ AOB 的平分线 OC 上的一点，E、F 分别在 OA、OB 上，则 PE=PF。

（3）如图 3，在∠ AOB 的平分线 OC 上任取一点 P，若 P 到 OA 的距离为 3cm，则 P 到 OB 的距离边为 3cm。

（三）知识回顾 1.角平分线的画法

2.角平分线的性质：角平分线的点到角两边的距离相等

（四）板书设计

第四篇：角的平分线的性质教案

角的平分线的性质

教学目标

1． 掌握角的平分线的性质定理和它的逆定理的内容、证明及应用． 2． 理解原命题和逆命题的概念和关系，会找一个简单命题的逆命题． 3． 渗透角平分线是满足特定条件的点的集合的思想。教学重点和难点

角平分线的性质定理和逆定理的应用是重点． 性质定理和判定定理的区别和灵活运用是难点． 教学过程设计

一、角平分钱的性质定理与判定定理的探求与证明 1，复习引入课题．

（1）提问关于直角三角形全等的判定定理．

（2）让学生用量角器画出图3－86中的∠AOB的角平分线OC．

2．画图探索角平分线的性质并证明之．

（1）在图3－86中，让学生在角平分线OC上任取一 点P，并分别作出表示Ｐ点到∠AOB两边的距离的线段 PD，PE．

（2）这两个距离的大小之间有什么关系？为什么？学生度量后得出猜想，并用直角三角形全等的知识进行证明，得出定理．

（3）引导学生叙述角平分线的性质定理（定理1），分析定理的条件、结论，并根据相应图形写出表达式．

3．逆向思维探求角平分线的判定定理．

（1）让学生将定理1的条件、结论进行交换，并思考所得命题是否成立？如何证明？请一位同学叙述证明过程，得出定理2——角平分线的判定定理．

（2）教师随后强调定理1与定理2的区别：已知角平分线用性质为定理1，由所给条件判定出角平分线是定理2．

（3）教师指出：直接使用两个定理不用再证全等，可简化解题过程． 4．理解角平分线是到角的两边距离都相等的点的集合．（1）角平分线上任意一点（运动显示）到角的两边的距离都相等（渗透集合的纯粹性）．

（2）在角的内部，到角的两边距离相等的点（运动显示）都在这个角的平分线上（而不在其它位置，渗透集合的完备性）．

由此得出结论：角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合．

二、应用举例、变式练习

练习1填空：如图3－86（1）∵OC平分∠AOB，点P在射线OC上，PD⊥OA于D PE⊥OB于E．∴---------（角平分线的性质定理）．

（2）∵PD⊥OA，PE⊥OB，----------∴ OP平分∠AOB（-------------）

例1已知：如图3－87（a），ABC的角平分线BD和CE交于F．

（l）求证：F到AB，BC和 AC边的距离相等；

（2）求证：AF平分∠BAC；

（3）求证：三角形中三条内角的平分线交于一点，而且这点到三角形三边的距离相等；

（4）怎样找△ABC内到三边距离相等的点？

（5）若将“两内角平分线BD，CE交于F”改为“△ABC的两个外角平分线BD，CE交于F，如图3-87（b），那么（1）～（3）题的结论是否会改变？怎样找△ABC外到三边所在直线距离相等的点？共有多少个？

说明：

（1）通过此题达到巩固角平分线的性质定理（第（1）题）和判定定理（第（2）题）的目的．

（2）此题提供了证明“三线共点”的一种常用方法：先确定两条直线交于某一点，再证明这点在第三条直线上。

（3）引导学生对题目的条件进行类比联想（第（5）题），观察结论如何变化，培养发散思维能力．

练习2已知△ABC，在△ABC内求作一点P，使它到△ABC三边的距离相等．

练习3已知：如图 3－88，在四边形 ABCD中，AB＝AD，AB⊥BC，AD⊥DC．求证：点 C在∠DAB的平分线上．

例2已知：如图 3－ 89，OE平分∠AOB，EC⊥OA于 C，ED⊥OB于 D．求证：（1）OC＝OD；（2）OE垂直平分CD．

分析：证明第（1）题时，利用“等角的余角相等”可得到∠OEC＝∠OED，再利用角平分线的性质定理得到 OC＝OD．这样处理，可避免证明两个三角形全等． 练习4 课本第54页的练习.说明：训练学生将生活语言翻译成数学语言的能力．

三、互逆命题，互逆定理的定义及应用 1．互逆命题、互逆定理的定义．

教师引导学生分析角平分线的性质，判定定理的题设、结论，使学生看到这两个命题的题设和结论正好相反，得出互逆命题、互逆定理的定义，并举出学过的互逆命题、互逆定理的例子．教师强调“互逆命题”是两个命题之间的关系，其中任何一个做为原命题，那么另一个就是它的逆命题．

2．会找一个命题的逆命题，并判定它是真、假命题．

例3写出下列命题的逆命题，并判断（1）～（5）中原命题和它的逆命题是真命题还是假命题：

（1）两直线平行，同位角相等；

（2）直角三角形的两锐角互余；

（3）对顶角相等；

（4）全等三角形的对应角相等；

（5）如果|x|＝|y|，那么x＝y；

（6）等腰三角形的两个底角相等；

（7）直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方． 说明：注意逆命题语言的准确描述，例如第（6）题的逆命题不能说成是“两底角相等的三角形是等腰三角形”．

3．理解互逆命题、互逆定理的有关结论．

例4 判断下列命题是否正确：

（1）错误的命题没有逆命题；

（2）每个命题都有逆命题；

（3）一个真命题的逆命题一定是正确的；

（4）一个假命题的逆命题一定是错误的；

（5）每一个定理都一定有逆定理．

通过此题使学生理解互逆命题的真假性关系及互逆定理的定义．

四、师生共同小结

1．角平分线的性质定理与判定定理的条件内容分别是什么？

2．三角形的角平分线有什么性质？怎样找三角形内到三角形三边距离相等的点？ 3．怎样找一个命题的逆命题？原命题与逆命题是否同真、同假？

五、作业

课本第55页第3，5，6，7，8，9题．

课堂教学设计说明

本教学设计需2课时完成．

角平分线是符合某种条件的动点的集合，因此，利用教具，投影或计算机演示动点运动的过程和规律，更能展示知识的形成过程，有利于学生自己观察，探索新知识，从中提高兴趣，以充分培养能力，发挥学生学习的主动性．

第五篇：角平分线性质教学设计

24.7线段垂直平分线的性质定理及其逆定理

教学设计思想

我们已经探究出线段的垂直平分线所具有的性质，本节学习这个性质的证明及其应用，以启发引导的方式，引导学生完成定理的证明。对于逆命题的书写，先回顾有关的知识，再书写，师生一起完成证明。对于用尺规作线段垂直平分线的过程，要学生说出每步作法的依据。

教学目标

知识目标

总结线段垂直平分线的性质定理及其逆定理的证明和简单应用；

经历用尺规作线段垂直平分线的过程，并能说明其依据。

能力目标

经历探索、猜测、证明过程，进一步发展推理、证明意识和能力。

情感目标

在探索活动中感受数学的严密性、严谨性；

在各种活动中获得猜想。

教学重点和难点

重点是线段垂直平分线的性质定理及其逆定理及它们的实际应用；

难点是线段垂直平分线的性质定理及其逆定理的应用。

教学方法

启发引导、合作探究

课时安排

１课时

教具学具准备

投影仪或电脑、三角板

教学过程设计

我们已经探究出线段的垂直平分线所具有的性质，怎样对这个性质进行证明呢？

（一）线段垂直平分线的性质定理

线段垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

下面我们就来证明这个定理。

如图，已知线段AB，直线EF⊥AB，垂足为O，AO=BO，点P是EF上异于点 O的任意一点。

求证：PA=PB。

证明：∵EF⊥AB(已知)，∴∠POA=∠POB=90°(垂直的定义)。

在△PAO和△PBO中，AO=BO(已知)，∠POA=∠POB(已证)，PO=PO(公共边)，∴△PAO≌△PBO(SAS)。

∴PA=PB。

（二）做一做

1、写出上面定理的逆命题。

2、填写下面命题证明过程的理由。

已知：如图，P为线段AB外的一点，且PA=PB。

求证：点P在线段AB的垂直平分线上。

证明：过点P作直线EF⊥AB，垂足为O，则

∠POA＝∠POB＝90°()。

在Rt△PAO和Rt△PBO中，PA＝PB()，PO＝PO()，∴Rt△PAO≌Rt△PBO()。

∴AO＝BO()。

∴EF是线段AB的垂直平分线()。

∴点P在线段AB的垂直平分线上。

加深学生对逆命题和逆定理含义的理解，让学生独立正确地说出线段垂直平分线的性质定理的逆命题和证明过程的依据。

1、略

2、垂直的定义，已知，公共边，HL，全等三角形的对应边相等，线段垂直平分线的定义。

由此，我们得到：

线段垂直平分线性质定理的逆定理 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

（三）观察与思考

观察下面用尺规作线段垂直平分线的步骤(图24-25)，思考这种作法的依据。

步骤一：分别以点A，B为圆心，以固定长(大于AB长的一半)为半径画弧，两弧分别交于点E，F。

步骤二：过点E，F作直线，则直线EF就是线段AB的垂直平分线。

使学生明白尺规作线段垂直平分线的依据。依据是线段垂直平分线的性质定理的逆定理。

（四）练习

1、已知：如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=5，BC边的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E。

求△ABE的周长。

2、已知：如图，三条路围成一个三角地带，要在它的中间建一个市场，并且使市场到三个交叉路口的距离相等。怎样才能找到这个位置呢?画出示意图，并说明理由。

1、8

2、分别作AB，BC的垂直平分线，两线相交于点O(如图)，则点O即为所求。可根据线段垂直平分线的性质定理及其逆定理进行证明。

（五）小结

引导学生总结本节的主要知识点，及解题时分析的思路。

（六）板书设计

线段垂直平分线的性质定理及其逆定理

线段垂直平分线的性质定理

线段垂直平分线性质定理的逆定理

观察与思考

练习