微分方程双语教学研究论文范文合集

第一篇：微分方程双语教学研究论文

关键词：教学研究 双语教学 微分方程

摘要：微分方程双语教学是微分方程教学中的一项重要环节，本文主要围绕双语教学主题，结合重庆科技学院目前实际情况，对常微分方程课程的双语教学作了进一步探讨，分析总结了实践经验中存在的问题并提出了一些意见。

保持式双语教学是指学生刚进入学校用母语进行学习，然后逐步在部分课程上用第二种语言进行教学，其他课程仍然用母语进行教学。这种双语教学比较适合普通高等本科院校。我校属于新建的本科院校，用这种模式来进行双语教学比较符合我们学校的现实情况。常微分方程课程的双语教学的主要目的是为了加深学生对国外常微分方程课程的先进的体系、思想方法、发展趋势的理解，以利于进行中西方比较、借鉴西方的先进成果，最终把学生培养成国际化人才。除此以外，“双语教学”中的英语不仅仅是语言学习，而且可以为了培养学生相应的思维基础、智能结构、文化素质，在开放的外语环境中最大限度地挖掘学生潜能，这对现行的英语教学来说，是一个突破，也是一个更高的标准。

本人曾经讲授过本科的常微分方程课程而且在这方面发表过国际期刊，因此对于双语教学有了一定的了解基础。通过亲身的讲授体验，通过和学生的交流，观察，调查等多种途径，我发现了在我校进行保持式双语教学中所存在的主要问题。有如下：

一、缺乏师资

强大的师资力量是成功实施双语教学的关键。要真正实现双语教学的目标，就要求教师既要精通常微分方程专业知识，又要具备扎实的英语水平。

有研究表明：现有的高校扩招给大学英语教学带来的巨大压力已经远远超出了教师的承受能力，现有教师也很少有机会在职进修，更缺乏定期出国提高自己语言能力，改善自身知识结构的可能。许多大学双语教师都没有接受过系统，专门的双语培训。

二、教师的工作量明显加大，课堂信息不足

有研究表明：原来用母语教学10分钟就能完成的知识点，用“双语”后需要40分钟，甚至更多。而授课教师的英语应用能力高低不同，备课时间长短也不同。有教师认为双语教学备课量是非双语教学的三倍以上。

三、学生英语水平参差不齐，师生沟通不流畅

就目前情况来看，大学生的英语综合能力参差不齐，不少学生对专业词汇掌握很少，听力和口语不是很少，这些都使得教师不得不把重点转移到词汇的讲解，从而影响了教学进度，达不到预期目标。

四、国内外教材不统一

双语教学需要用国外的原版教材，但是国外原版教材难以与国内相应的学科教学要求相符。并且深浅程度不一致，理论和案例各自偏向不同的特点。许多国外教材是根据当地的文化习惯和思维方式编写的，中国学生缺乏理解发达国家经济制度运作的常识，理解教材中的内容和案例还有很多困难。

五、教学中教育主体性缺失

常微分方程双语教学应该是学生和教师的主体性都是个和谐和统一的过程。但是目前是主体性的发挥存在不平衡。主要表现为：教师的主体性极度膨胀，学生的主体性没有发挥出来。很多学生收到家庭环境，传媒信息，个性特征，知识基础，思维方式的影响，适应双语教学还需要一个过程。

六、教学方法需要配套改革

虽然目前，许多教师采用了多媒体来教学，但是也只是作了形式上的改变，把粉笔，黑板变成了电脑和幻灯片。以“学生为中心”的教学模式并没有形成。

七、课程考核方式单一，缺乏专门的双语教学质量评价指标体系

目前许多高校对双语教学体系的评价，或者借助现有的单语教学评价指标，或者以查代评，以考代评，定性多于定量，片面代替全面，评价的科学性还不是很完善。

从前面的分析来看，常微分方程双语教学在发展中存在许多问题，形成这些问题的原因是多种多样的。我们对上述的问题进行简单的归类。发现可以归类为：外部环境的问题(如学生的英语水平，师资的缺乏问题等)，教学内容的问题(如方法的差异问题，教材选用的问题等)，教学方式，方法的问题(如教育主体性缺失问题)，考核办法的问题(考核方式单一)。

考察、分析和解决常微分方程双语教学中的问题都要着眼整个系统，要以合作的精神从大系统的全局出发。当我们对双语教学实施管理的时候，就是管理着一组有特定目的和目标的相互关联、相互制约的要素的组合体，而当要解决其中任何一部分的问题时必须考虑到对系统其它部分以及周围环境的影响，根据轻重缓急，予以通盘考虑，逐次解决。常微分方程双语教学是适应经济全球化和科技革命的挑战。但是教学能否快速，良好的发展关键取决于自身的基础条件，内部教学系统的构建与运行以及外部环境的条件等。从这个意义来考虑，我们有必要构建一个常微分方程双语教学系统，从而实现跨文化交流，把学生培养成国际化的人才。首先，构建一个常微分方程教学系统必须有系统目标。系统的目标性要求我们在确定系统的目标时，运用各种调节手段把系统导向预定的目标，达到系统整体性最优的目标。根据国家教学要求，常微分方程双语教学的目标应该是用英语作为课堂主要语吉进行常微分方程课程的教授，向学生推进常微分方程专业理论的逐步演绎。使得学习者掌握本课程严密的专业知识，同时还可以培养学习者运用两种语言进行思维的能力。

从系统论的角度，我们已经明确了系统中的子系统(教学内容，教学方式，方法和考核方法等)，外部环境(培养创新人才的需要，高等教学体制改革的重要举措等)自身的基础条件(师资力量。学生的英语水平)：

系统必须具备三个要素：系统的部件、系统的环境、系统的输入与输出。系统的部件，也就是系统下面的各个子系统，它们具有不同的属性，又相互影响。他们组合结构从整体上影响了系统的特征和行为。系统是在一定的外界环境条件下运行的，它即受环境的影响，同时也对环境施加影响。系统与环境的交互影响就可以产生输入与输出的含义，输入与输出体现了系统与环境之间的交互影响，系统在目标与要求明确以后，其部件就可以接受一系列的外界输入以及进行有效和高效率的处理后，提供系统所期望的实现目标的输出，返回到环境。

概括的说，常微分方程双语教学系统的部件主要包括以下几个子系统：教学内容包括有课程设置和教材两个子系统。在课程设置上，应该与国际接轨，课程设置要借鉴国际知名同类院校的经验，但是一定要结合本校的资源状况，有辨别，有参考，有借鉴的学习和引进。并且要循序渐进，稳步实施。应该是先从高年级到低年级，先选修到必修，在大一和大二开设基础英语和专业基础理论课程，构成基础模块。在大二下学期到大三开设常微分方程的外语课程，跨文化方面的课程。为双语教学提供专业知识和文化环境作铺垫。构成过渡模块。在前两个基础作好的情况下，开设常微分方程双语课程。总之，所选课程要有代表性，衔接性和外延性。在教材方面，主张采用原版英文教材，所选教材必须在国际学术界公认先进水平，要有一定适应性，比如英，美两国的教材都可以迅速，全面反应最新的学术成果。教学方式和方法。教学方式和方法应该多样化。包括有教学工具的多样化和教学的互动化。除了传统教材，多媒体以外，还应该采用视频剪辑材料，网络材料，模拟实物等多种形式来为学生提供丰富的教学原始材料，这样也容易产生更为直接的正向学习迁移。由于双语教学的特殊性，情感过滤的效应更为明显，不同学习者可能会产生差异较大的主观情感体验，因此设置互动的教学情景非常重要。比如讲座，讨论，辩论，小组活动。模拟游戏等教学活动都可以产生比较好的效果。

在系统中，我们必须注意环境的变化。可以考虑以立项的形式来加强常微分方程双语课程建设，树立精品意识，以教改立项或者课程建设立项的形式来推行常微分方程双语教学。学校明确建设目标，加大支持力度，严格验收，保证建设效果。并且要注意滚动支持。这样才能使得常微分方程双语教学具有一定的连贯性和一致性。

在反馈机制中，我们重点要研究教学评价机制，也是考核办法。应该通过合适的考核方式来判断，把平时考核和最后考试有机结合起来。平时考核采用灵活的方式，如课堂提问，小测验，作业，主体发言等。重点考核学生的学习态度，对知识的掌握，理解等。要结合笔试，口试，开卷，闭卷等多种方式，加强对知识应用能力的考查。

除此以外，这个系统有个重要的支持平台，就是师资状况和学生的英语水平。没有这两个基本的平台。其双语教学将面临严重的问题。要加强师资队伍建设，采用各种形式加强对教师的培训，比如将一些双语教师送到国外进修，或者从条件好的院校聘请好的双语专家来进行外语授课，讲学等。同时提高双语教师的待遇，给予一定的工作量补贴等。鼓励年轻教师投身双语教学课程的建设中。

总而言之，常微分方程双语教学系统必须要结合我校的实际情况来构建，而影响系统的因素以及各个子系统本身都是在处于不断变化之中的，特别是我国处于教育快速发展阶段，可变量会更多也会更加复杂，技术在不断的快速发展，相应的政策法规也会随着形式的需要不断完善。在对外改革开放的浪潮中，传统的文化受到冲击，因此系统本身就是动态变化中，要根据实际情况随时进行调整。使系统紧紧围绕整体总目标来协调发展。同时兼顾处理好与周围环境的关系，系统与环境的互相影响主要依靠有效信息的反馈来争取产生正面影响使整个系统健康协同的发展

第二篇：国际贸易专业双语教学研究

国际贸易专业双语教学研究

摘要:国际贸易专业推行双语教学是顺应我国高等教育与国际接轨和改革发展和培养国际化高级人才的需要。本文从国际贸易专业的性质出发，分析了该专业实施双语教学的必要性。同时，对该专业实施双语教学的模式、目标体系以及教学实践环节进行探讨，以期能促进国际贸易专业双语教学工作的开展。

关键词:国际贸易;双语教学;教学方法

随着我国对外开放日益深入, 国际贸易规模飞速发展,市场对国际贸易的从业人员提出了更高的要求。从业人员不但要熟练贸易业务, 而且还要会外语。双语教学必须从源头、从学校抓起。国际贸易专业开展“双语教学”的目的不在于推进专业英文教学, 而是要培养学生成为在应用外语中更新知识、开拓视野, 在工作中更好地交流的“ 面向国际市场竞争、具备国际经营头脑”的国际商务参与者和管理者。

自2004 年大部分开设国际贸易专业的高校多在国际贸易课程中推行双语教学改革。在专业课程中推行双语教学，依据专业特点，课程在学生专业知识结构中的地位与作用，具体结合课程教学大纲，设置双语教学这种课堂组织形式的教育教学目标，从而选择适当的教学方法与技巧，使系统的专业知识学习与学生英语语言能力提高有机结合，达到更好的教学效果，应该是可行的思路，本文结合自己的教学体会，对这一问题做初步探讨。

一、国际贸易专业开展双语教学的必要性

1.推动“双语教学”是国际贸易专业适应我国教育教学改革的大环境的需要

2001年教育部颁发的《关于加强高等学校本科教学工作提高教学质量的意见》(教高字[2001]4号)中就提出，“本科教育要创造条件使用英语等外语进行公共课和专业课教学。对高新技术领域的生物技术、信息技术等专业,以及为适应我国加入WTO后需要的金融、贸易、法律等专业,更要先行一步,力争3年内,外语教学课程达到所开课程的5%-10%。” 2005年1月,教育部在《关于进一步加强高等学校本科教学工作的若干意见》(教高[2005]1号)文件中再一次明确提出“要提高双语教学课程的质量,继续扩大双语教学课程的数量”的要求。

2.国际贸易专业课推行双语教学是适应WTO的要求的需要

随着世界经济的一体化进程的加快与世界文化的融合,要求通过提高高校国际贸易学的双语教学,培养既有丰富专业知识,熟悉中国国情,又有较好外语水平,精通WTO规则和世界经济的国际化的人才。从这个意义上讲,国际贸易专业课双语教学势在必行。在国际贸易学专业推行“双语教学”的目的不在于推进专业英文教学,其真正目的在于培养学生――未来的商务人士、创业者,应用外语在工作中交流,或应用外语在专业上学习,更新知识,自我提高能够具备同合作伙伴、国际竞争对手沟通和对抗的能力,真正成为“面向国际市场竞争、具备国际经营头脑”的国际商务参与者和管理者。上述人才培养目标的实现,离不开与国际先进教学模式的接轨,离不开对西方先进管理思想与方法的研究和借鉴,更离不开英语这一国际贸易通用语言的运用和英语思维能力的培养。

二、国际贸易实务开展双语教学的主要模式

国际贸易实务的教学内容具有国际性, 其教学目标具有外向性的特点。国际贸易实务教学目标的涉外性和教学内容的国际性,决定了该课程进行双语教学的必要性。同时,国际贸易实务双语教学不仅是贸易全球化发展趋势的必然要求, 而且也是培养国际性、复合型经济人才的需要。具体而言,在实践中, 开展国际贸易实务存在三种模式。

1.简单渗透型

在国际贸易教学中以中文授课为主, 用英语讲授一些国际贸易术语, 并穿插使用一些常规的课堂用语, 学生的考试采用中文形式。这种模式对教师的英语水平要求不高, 适合英语基础和接受能力相对薄弱的学生。从教学效果上看, 学生容易形成系统的以中文为媒介的知识体系,而英文掌握的只是零散的一些专业词汇。双语教学的最高目标是在专业文献的使用上、专业实务具体操作上能够做到双语自由转换。这种双语教学模式由于中英两种语言的比重十分不平衡,教学过程中英文信息量不足,所培养的学生就其专业的英文知识而言十分有限, 很难达到双语教学的真正目标要求。这显然是简单渗透型的双语教学模式的不足之处。

2.过渡型(混合型)

在双语教学中以英语为主,采用英语板书和原版教材, 在英语授课的同时辅以中文解释和说明,学生的作业、考试用英语出题,但用中文回答。这是目前我国国际贸易双语教学中采用最多的一种模式,穿插过渡型双语教学模式的优点在于双语的比重趋向均衡,采用这种教学模式与上种模式相比,教学过程中的英语信息量有了明显增加,但是对教师和学生要求相对提高了,特别是学生必须具备较高的英文水平,否则很难感知英文教材,更难听懂英文讲授。

3.浸入型(全英语型)

在双语教学中基本上使用英语,采用原版专业教材,课堂板书用英文,学生的作业、考试用英文出题, 学生答题一般用英语。这种模式的特点是对教师和学生的外文水平都有较高的要求。

以上三种方式各有所长。浸没式双语教学让学生有一个很好的语言环境, 因此教学效果较好, 但是对老师和学生的要求都比较高, 尤其是语言环境的创造有诸多困难。过渡式双语教学将第二语言逐步引入教学全过程维持式双语教学则是将第二语言作为教学语言的同时, 继续用母语来维持学生理解的一种的教学模式, 这两种模式比较适合双语教学的起始阶段, 但母语与非母语的比重难以把握。在我们的教学实践中, 主要采用以英语浸没式教学法为主, 辅以参与法的教学模式。

三、国际贸易专业双语教学的目标体系

双语教学的目标体系是国际贸易专业教学目标的重要组成部分, 它包括双语教学的课程体系、双语教学的能力体系两大部分。双语教学的课程体系包括国贸专业知识、国贸专业英语素养两部分。双语教学的能力体系包括英语应用能力和社会适应能力两部分。

1.国际贸易专业双语教学的总目标

通过双语教学, 不仅要求学生掌握专业知识和英语技能, 更要重视学生对专业知识与英语技能的应用。通过本专业的学习, 学生将提高专业知识水平, 加深对国际贸易业务的理解；学会运用外语技能, 增强学生外贸业务的实践能力和创新能力；增强学生人际交往技能和团队意识；树立学生的自信心, 激发学生的潜能, 增强其就业竞争能力。

2.国际贸易专业双语教学课程目标

双语教学课程目标是双语教学目标体系的重要组成部分, 包括国贸专业知识、国贸专业英语素养两大部分, 它涵盖了国际贸易专业学生必修的全部专业知识课程。在双语教学安排上从两大块来完成这两部分的教学任务, 一部分国贸专业知识的中文讲授包含了五大主干课程, 另一部分国贸专业英语素养的双语讲授包含了四大主干课程。

双语教学课程的目标分类方法有利于教师实施课程标准, 使整个课程目标落到实处。双语教学的实施是在国贸专业知识掌握的基础上来开展的, 学生在学习相关专业知识的基础上进行国贸实务的双语学习, 将有助于学生的理解, 减少许多国贸专业词汇带来的学习障碍。

双语教学课程体系目标两大部分是互相联系的整体,每个部分各有侧重。国贸专业知识目标要求学生熟练掌握贸易理论、专业国贸知识和贸易惯例, 培养学生全球贸易观念, 掌握基本的国际贸易技能和方法。

3.国际贸易专业双语教学能力目标

双语教学能力体系目标主要指学生通过双语的学习所获得的用英语处理国贸实务的技能, 它包括英语应用能力和社会适应能力两大部分。实现双语教学能力体系目标, 一方面可通过校内实验室模拟国贸实务操作环境的测评、模拟国贸场景交易的测评、单证制作及审核测试、函电写作测试等来反映学生双语学习所获得的能力水平；另一方面也可通过校外的实训实习基地参与国贸实际业务各环节的实践来测评学生的社会适应能力。

四、国际贸易专业课堂双语教学的探讨

1.在教学组织中贯彻教育目标

涉外经济活动人才经常从事国际经济业务，有更多的时间和机会接触英语国家的思想观念，行为方式等。我门常常把培养国际性人才作为国际贸易专业人才培养的高境界，这是因为我们深知，在经济全球化日益形成的今天，以开放的心态面向世界的重要性。因此，在双语课教学中，我们应该首先树立学生“民族性最鲜明的，也最富有国际性”的观念，把我们国家处理国际经济、外交关系的基本原则贯穿于教学中，讲清楚社会、经济、文化进步中的开放与保持民族意识，民族认同感，民族自尊、自豪的关系，使我们的专业教育目标通过教学实现。

2.正确设立课堂教学目标，以专业知识为主线组织英文书面信息呈现，以母语为主，阐释复杂深奥观点

我们知道，课堂教学是实现课程教育教学目标的一个环节。专业课的双语教学不同于大学英语等公共英语课教学，语言只是工具。依据课程教学大纲，每一次课堂教学时间内，基本教学目标是掌握系统的专业知识，而不是形成英语的听说读写译等语言能力。为此，宜采用英文呈现有关专业知识的书面信息。

3.注意调动学生的积极性，破除学生害怕出错、不敢自由表达的畏惧心理，树立学生表达思想的信心

在第二语言不熟练，或者没有经常性使用时，每要表达一定意思，总会出现先出考虑语法对不对的现象，这样反而妨碍了思想的表达。为此，课堂上要鼓励学生大胆开口，不怕出错，凡不涉及基本概念，基本理论思想被曲解，就不纠正学生，尽量避免使用试错、负强化等教学手段，而是通过正强化，总结等方式来传达正确信息。

4.严格使用学习评估方法

兰伯特(Lambert)的态度/动机模式(attitude/motivation model)认为，在双语学习方面，性向和态度是两个重要的、相对独立的影响因素；双语学习不仅需要某种认知能力，而且需要一种积极的态度；态度关系到动机。因此，双语能力基于性向、态度、动机的程度以及态度与动机之间的关系。依据这种理论，双语教学应该采用英文试题进行考试，这样不仅能够使学生明确学习要求的严肃性，而且可以利用学生重视考试的心理，强化课堂学习的直接动机。

课堂教学组织技巧是教师使有组织的教育形式在明确的教学目标，有重点的内容组织，系统并赋予连贯性的师生互动下收到实际效果的主要途径，也是教师“教育艺术”的展示平台，各个教师可能有自己的独特做法和经验，但是，从整体上把握专业培养目标，把其作为处理教学中语言能力形成与系统专业知识讲述的大原则，有助于组织起知识传授与技能形成相融合的课堂教学环境。

参考文献：

[1]姜 瑾:双语教学面面观[J].天津外国语学院学报,2003,(1).[2]王振宇 邓 弘:国际贸易主干课程双语教学的思考[J].江西教育科研,2004.(3).[3]罗郑胜:国际经济与贸易专业（本科）培养目标及知识、能力、素质结构分析.郑州经济管理干部学院学报，2005(12).[4]石碧涛:双语教学实验环节探索―――以《国际贸易实务》为例[J].高教探索,2007(6).[5]马小辉:国际贸易专业双语教学实践及问题研究[J].黑龙江教育,2007,(4).[6]陈燕:国际贸易专业课推行双语教学的SWOT分析[J].甘肃联合大学学报(社会科学版).2008,(5).

第三篇：系统工程学双语教学研究与实践论文

摘要：双语教学是当前高等院校教育教学改革的一个热点问题。文章针对系统工程课程内容，进行了该课程双语教学研究。首先分析该课程在双语教学中遇到的问题，然后提出相应的对策和建议，最后，对该课程新的教学模式进行探索。

关键词：系统工程；双语教学；教学模式

双语教学是时代发展的需要，也是改革开放的必然结果。为了适应经济全球化、世界一体化的潮流，必须实施双语教学，培养双语人才，使他们成为受社会欢迎的复合型人才。只有这样，才有利于学生吸收国外先进的知识和技术，才能在国际交流与合作中，维护自己的利益，平等地参与国际事务。

双语教学的英文是“Bilingual Education”，根据英国的《朗文语言教学及应用语言学辞典》(Longman Dictionary of languageTeaching&Applied Linguistics)对“双语教学”的定义是：“The useDf a second or foreign language in school for the teaching ofcontent suhject，”即在学校里使用第二语言或外语进行学科教学的运作方式。

“双语教学”是指学习的引导者与学习者围绕某一门非语言学科的知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观，遵循一定的学科标准，在思维水平上运用两种语言媒介，通过传授、仿效与内化等过程而进行的学校活动。因此，双语教学只是一种形式，它的实质是研究型教学模式，旨在全面培养学生的自学和交际能力，目的是在不影响甚至促进专业学习和认知发展的同时，提高单语学习者运用目标语的水平，尤其是认知学术语言的能力。

系统工程学是一门跨学科的工程技术，为现代科学技术的发展提供了新思路和新方法，是在较为系统地介绍系统工程的基本理论、基本方法，培养学生的系统观念，培养学生进行实际系统建模、分析和综合的能力。为了让学生能够更好地了解和掌握系统工程技术，能够直接查阅英文参考文献，有必要采用双语教学教授本门课程。从而培养学生利用英语学习专业知识和进行技术交流的能力，使学生在学习专业知识的同时，能够自然地提高英语语言应用的能力，有利于学生学业深造和就业，同时促进本门课程双语教学的发展。双语教学中存在的问题

1.1 对系统工程学双语教学的意义理解不到位

高校最初开展双语教学只是为了配合高等院校的教学改革，缺乏主动性和积极性。教师对双语教学的概念理解不准确。认为只要在课堂上说了外语就算是双语教学，在授课内容上也只停留在语言的改革上。而没有在教学模式上跟进，其效果是学生多记了几个专业方面的英语单词，并未达到双语教学的真正目的。

1.2 教师的专业知识和“双语”能力亟需提升

教师素质和双语能力是制约双语教学的瓶颈问题，也是开展双语教学的先决条件。系统工程学双语教学对教师的要求更高，不仅要求专业知识精深，还要求用英语表述专业知识、解析专业词汇的能力要强。

1.3 学生的接受能力有限

目前我国的大学英语趋向于应试教育，忽视对听说能力的培养，不利于培养真实环境中学生的口头交际能力，导致学生实际应用水平的降低，从而影响学生对专业知识的掌握程度和学习进度。

1.4 缺乏双语教学的优秀教材

目前，双语教学教材的选择十分有限，本门课英文原版教材匮乏，不利于学生对相关的专业术语，相关的英语表达的掌握，导致学生课堂学习的难度增加。对策和建议

2.1 转变认识

教师可以通过专业知识讲座、主题班会等形式做好学生的思想工作，使他们意识到本门课程开展双语教学的重要性与必要性。

2.2 教师素质提升

师资的培养是顺利开展双语教学的基础。首先挑选出具有教学经验和英文基础好的青年教师参加由外籍教师任教的英语培训班。强化训练口语、听力及写作；其次，指派教师在国内开展双语教学的高校间访问与交流，取长补短，共同提高；将优秀的双语教师送到国外进修，提高英语应用和交流的能力以及本学科最新技术、学术动态的掌握。

2.3 学生素质提升

首先，加大宣传，调动学生学习的主动性。学校应该加强对双语教学的宣传，使学生明确学习目标，提高对双语课程开设的认识，调动学生学习兴趣；其次，可以先通过小班教学，积累教学经验，树立学习典型，让多数学生看到双语教学的良好效果；再次，优化双语教学内容，新颖的双语教学内容能够大大激发学生们的兴趣，使他们积极主动地参与到教学的实践活动中来。

2.4 教材选用

教材的选择可通过引进原版英文教材、在原版英文教材基础上改编和编著自己的教材3种方式进行选择。引进原版英文教材，价格高，解题思路与方法多有不同，内容不完全适合教学要求；改编教材既可以吸收国外先进的学科知识，又能符合教学大纲内容。逐渐向原版教材过渡，易于与国际化接轨；编著教材既需要通晓学科知识，又要熟练应用英语的专家来编著，难度较大。根据实际情况，选择改编教材切实可行。探索新的教学模式

系统工程是一门专业课，它的双语教学既不同于传统的课程教学也不同于专业英语教学。既要介绍专业知识还要兼顾中英文的使用。因此，必须结合实际积极探索适宜的教学模式。

3.1 灵活的授课方式将班级的学生分成若干小组，每个小组围绕某个主题用英语进行讨论，自由发挥，广泛交流，每个人都能得到专业英语口语锻炼的机会。还可以对某一专业问题用英语进行分析，并形成书面报告，教师进行修改，并提出修改意见，这样不仅培养了学生应用英语分析问题和解决问题的能力，同时也提高了学生英语书面表达的能力。灵活的双语教学形式能够活跃课堂气氛，培养学生的综合能力。

3.2 充分利用多媒体

选择英文原版教材，自制中英文结合的多媒体课件，多媒体板书中凡是涉及到专业术语和词汇以及部分不易理解的科技英语句式结构和主要的知识点，采用英中文对照，对于不易理解的专业术语要用母语进行注释。教学方法上，采用循序渐进法。开始时可以采用20％英语，80％母语，语速要放慢，耐心讲解，使学生尽快进入状态，待学生逐渐适应课堂节奏和部分专业词汇后，可提高英语授课的比例，最后达到全部用英语授课，难点用汉语补充。另外。在多媒体课件制作上，画面要生动，师生要互动，这样，可以使教学过程变得生动，从而调动学生学习的兴趣和饱满的学习热情。

3.3 充分利用网络教辅资源

充分利用本校的网络教学平台，建立系统工程的网络课程。学生可以通过学号登录本门课程，自学课堂上没有完全消化的教学内容，教师还可以针对部分章节，收集和整理了一些课外读物帮助学生开扩视野；通过相关网页链接帮助学生快速准确的查阅资料；学生可以通过学习论坛、习题库、聊天室、电子邮件反映教学中的问题，与教师交流，形成互动式教学。

3.4 教学考核改革

课程考核由平时成绩和课程论文成绩构成。平时成绩包括出勤、课堂作业和参与讨论问题情况；期末考试时要求学生独立下载并翻译一篇与系统工程相关英文文章作为课程论文成绩。通过口头和书面能力的锻炼，促进学生真正掌握原理，同时提高专业英语听、说、读、写能力。结束语

系统工程的双语教学的实践还在探索中，虽然摸索出一些实用的方法，取得了一定的教学效果。在今后的教学中仍要不断提高教师的外语和专业水平、多媒体课件内容体系与多元化教学的相容性以及网络教学的多层次化，并且，不断将最新的科研成果和发展动态补充到教学内容中。

第四篇：微分方程教案

高等数学教案

第七章

微分方程

教学目的：

1．了解微分方程及其解、阶、通解，初始条件和特等概念。2．熟练掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法。

3．会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程。4． 会用降阶法解下列微分方程：y(n)f(x)，yf(x,y)和yf(y,y)5． 理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。

6．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。

7.求自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解。

8.会解欧拉方程，会解包含两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组。9．会解微分方程组（或方程组）解决一些简单的应用问题。教学重点：

1、可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法

(n)

2、可降阶的高阶微分方程yf(x)，yf(x,y)和yf(y,y)

3、二阶常系数齐次线性微分方程；

4、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程；

教学难点：

1、齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程；

2、线性微分方程解的性质及解的结构定理；

3、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解。

高等数学教案

§7 1 微分方程的基本概念

函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映 利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究 因此如何寻找出所需要的函数关系 在实践中具有重要意义 在许多问题中 往往不能直接找出所需要的函数关系 但是根据问题所提供的情况 有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式 这样的关系就是所谓微分方程 微分方程建立以后 对它进行研究 找出未知函数来 这就是解微分方程

例1 一曲线通过点(1 2) 且在该曲线上任一点M(x y)处的切线的斜率为2x 求这曲线的方程

解 设所求曲线的方程为yy(x) 根据导数的几何意义 可知未知函数yy(x)应满足关系式(称为微分方程)

dy2x

(1)

dx此外 未知函数yy(x)还应满足下列条件

x1时 y2 简记为y|x12

(2)把(1)式两端积分 得(称为微分方程的通解)

y2xdx 即yx2C

(3)其中C是任意常数

把条件“x1时 y2”代入(3)式 得

212C

由此定出C1 把C1代入(3)式 得所求曲线方程(称为微分方程满足条件y|x12的解)

yx21

例2 列车在平直线路上以20m/s(相当于72km/h)的速度行驶 当制动时列车获得加速度04m/s2 问开始制动后多少时间列车才能停住 以及列车在这段时间里行驶了多少路程?

解 设列车在开始制动后t秒时行驶了s米 根据题意 反映制动阶段列车运动规律的函数ss(t)应满足关系式 d2s0.

(4)dt2此外 未知函数ss(t)还应满足下列条件

t0时 s0 vds20 简记为s|=0 s|=20

(5)

t0t0dt高等数学教案

把(4)式两端积分一次 得

vds0.4tC

(6)1dt再积分一次 得

s02t2 C1t C2

(7)这里C1 C2都是任意常数

把条件v|t020代入(6)得

20C1

把条件s|t00代入(7)得0C2

把C1 C2的值代入(6)及(7)式得

v04t 20

(8)

s02t220t

(9)在(8)式中令v0 得到列车从开始制动到完全停住所需的时间

t2050(s)

0.4再把t50代入(9) 得到列车在制动阶段行驶的路程

s025022050500(m)

几个概念

微分方程 表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程 叫微分方程

常微分方程 未知函数是一元函数的微分方程 叫常微分方程

偏微分方程 未知函数是多元函数的微分方程 叫偏微分方程

微分方程的阶 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数 叫微分方程的阶

x3 yx2 y4xy3x2 

y(4)4y10y12y5ysin2x

y(n)10

一般n阶微分方程

F(x y y

    y(n))0

y(n)f(x y y

    y(n1))

微分方程的解 满足微分方程的函数(把函数代入微分方程能使该方程成为恒等式)叫做该微分方程的解 确切地说 设函数y(x)在区间I上有n阶连续导数 如果在区间I上

高等数学教案

F[x (x) (x)    (n)(x)]0

那么函数y(x)就叫做微分方程F(x y y    y(n))0在区间I上的解

通解 如果微分方程的解中含有任意常数 且任意常数的个数与微分方程的阶数相同 这样的解叫做微分方程的通解

初始条件 用于确定通解中任意常数的条件 称为初始条件 如

xx0 时 yy0  y y0 

一般写成



yxx0y0 yxx0y0

特解 确定了通解中的任意常数以后 就得到微分方程的特解 即不含任意常数的解

初值问题 求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题

如求微分方程yf(x

y)满足初始条件yxx0y0的解的问题 记为

yf(x,y)

 yxx0y0

积分曲线 微分方程的解的图形是一条曲线 叫做微分方程的积分曲线

d2xk2x0

例3 验证 函数 xC1cos ktC2 sin kt是微分方程

的解

dt

2解 求所给函数的导数

dxkCsinktkCcoskt 12dtd2xk2Ccosktk2Csinktk2(CcosktCsinkt)



1212dt2d2x将2及x的表达式代入所给方程 得 dt

k2(C1cos ktC2sin kt) k2(C1cos ktC2sin kt)0

d2xk2x0

这表明函数xC1cosktC2sinkt 满足方程2 因此所给函数是所给方程的解

dtd2xk2x0

例4 已知函数xC1cosktC2sinkt(k0)是微分方程2的通解 求满足初始条件

dt

x| t0 A x| t0 0 的特解

高等数学教案

解

由条件x| t0 A及xC1 cos ktC2 sin kt 得

C1A

再由条件x| t0 0 及x(t)kC1sin ktkC2cos kt 得

C20

把C1、C2的值代入xC1cos ktC2sin kt中 得

xAcos kt

作业：P298：4

§7 2 可分离变量的微分方程

观察与分析

1 求微分方程y2x的通解 为此把方程两边积分 得 yx2C

一般地 方程yf(x)的通解为yf(x)dxC(此处积分后不再加任意常数)

2 求微分方程y2xy2 的通解

因为y是未知的 所以积分2xy2dx无法进行 方程两边直

接积分不能求出通解

为求通解可将方程变为

1dy2xdx 两边积分 得

y21x2C1  或y2yxC可以验证函数y1是原方程的通解

x2C

一般地 如果一阶微分方程y(x, y)能写成 g(y)dyf(x)dx

形式 则两边积分可得一个不含未知函数的导数的方程

高等数学教案

G(y)F(x)C

由方程G(y)F(x)C所确定的隐函数就是原方程的通解

对称形式的一阶微分方程

一阶微分方程有时也写成如下对称形式

P(x y)dxQ(x y)dy0 在这种方程中 变量x与y 是对称的

若把x看作自变量、y看作未知函数 则当Q(x,y)0时 有

dyP(x,y)

dxQ(x,y)dxQ(x,y)

dyP(x,y)若把y看作自变量、x看作未知函数 则当P(x,y)0时 有

可分离变量的微分方程

如果一个一阶微分方程能写成

g(y)dyf(x)dx(或写成y(x)(y))的形式 就是说 能把微分方程写成一端只含y的函数和dy 另一端只含x的函数和dx 那么原方程就称为可分离变量的微分方程

讨论 下列方程中哪些是可分离变量的微分方程？(1)y2xy

是 y1dy2xdx (2)3x25xy0

是 dy(3x25x)dx(3)(x2y2)dxxydy=0

不是

(4)y1xy2xy2 是 y(1x)(1y2)(5)y10xy

是 10ydy10xdx(6)yxy

不是 yx

可分离变量的微分方程的解法

第一步

分离变量 将方程写成g(y)dy f(x)dx的形式

第二步

两端积分g(y)dyf(x)dx 设积分后得G(y)F(x)C

第三步

求出由G(y)F(x)C所确定的隐函数y(x)或x(y)G(y)F(x)C  y(x)或x(y)都是方程的通解 其中G(y)F(x)C称为隐式(通)解 高等数学教案

例1 求微分方程dy2xy的通解

dx

解

此方程为可分离变量方程 分离变量后得

1dy2xdx

y1dy2xdx

y两边积分得

即

ln|y|x2C1

从而

yex2C1eC1ex 2因为eC1仍是任意常数 把它记作C 便得所给方程的通解

yCex

例2 铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比 已知t0时铀的含量为M0 求在衰变过程中铀含量M(t)随时间t变化的规律

解 铀的衰变速度就是M(t)对时间t的导数2dM

dtdMM

dtdM0

dt

由于铀的衰变速度与其含量成正比 故得微分方程其中(>0)是常数 前的曲面号表示当t增加时M单调减少 即由题意 初始条件为 M|t0M0

将方程分离变量得

两边积分 得dMdt

MdM()dt

M即

lnMtlnC 也即MCet

由初始条件 得M0Ce0C

所以铀含量M(t)随时间t变化的规律MM0et 

例3 设降落伞从跳伞塔下落后 所受空气阻力与速度成正比 并设降落伞离开跳伞塔时速度为零 求降落伞下落速度与时间的函数关系

解

设降落伞下落速度为v(t) 降落伞所受外力为Fmgkv(k为比例系数) 根据牛顿第二运

高等数学教案

动定律Fma 得函数v(t)应满足的方程为

mdvmgkv

dt初始条件为

v|t00

方程分离变量 得

dvdt

mgkvmdvdtmgkvm 两边积分 得

ln(mgkv)1ktC

m1kC1ktmgemCe即

v(C)

kkmg将初始条件v|t00代入通解得C

kktmg(1em)

于是降落伞下落速度与时间的函数关系为vkdy1xy2xy2的通解

例4 求微分方程dx

解 方程可化为

dy(1x)(1y2)

dx分离变量得

1dy(1x)dx

1y21dy(1x)dx 即1x2xC

arctany1y22两边积分得

于是原方程的通解为ytan(x2xC)

作业：P304：1（1）（2）（3）（7）（9）（10），2（2）（4），3 12高等数学教案

§7 3 齐次方程

齐次方程

如果一阶微分方程dyf(x,y)中的函数f(x, y)可写成 dxyy的函数 即f(x,y)() 则称这方程为齐次方程

xx

下列方程哪些是齐次方程？

dyyy2x2dyyy

(1)xyyyx0是齐次方程()21

dxxdxxx22dy1y

2(2)1xy1y不是齐次方程

dx1x222dyx2y2dyxy

(3)(xy)dxxydy0是齐次方程 dxxydxyx22

(4)(2xy4)dx(xy1)dy0不是齐次方程

(5)(2xshdy2xy4

dxxy1yyy3ych)dx3xchdy0是齐次方程

xxxyy2xsh3ychdyxxdy2thyy 

ydxdx3xx3xchx

齐次方程的解法

在齐次方程

ux分离变量 得

ydyy()中 令u 即yux 有 dxxxdu(u)

dxdudx (u)uxdudx(u)ux 两端积分 得

高等数学教案

求出积分后 再用y代替u 便得所给齐次方程的通解

xdydyxy

dxdx

例1 解方程y2x2

解

原方程可写成

y2()dyyx

2ydxxyx1x2因此原方程是齐次方程 令

yux 于是原方程变为

2duu

ux

dxu1yu 则 xdyuxdu

dxdx即

xduu

dxu1分离变量 得

(1)du1udx

x两边积分 得uln|u|Cln|x|

或写成ln|xu|uC

以y代上式中的u 便得所给方程的通解 x

ln|y|yC

x

例2 有旋转曲面形状的凹镜 假设由旋转轴上一点O发出的一切光线经此凹镜反射后都与旋转轴平行 求这旋转曲面的方程

解 设此凹镜是由xOy面上曲线L yy(x)(y>0)绕x轴旋转而成 光源在原点 在L上任取一点M(x, y) 作L的切线交x轴于A 点O发出的光线经点M反射后是一条平行于x轴射线 由光学及几何原理可以证明OAOM

因为

OAAPOPPMcotOPyx

y高等数学教案

而

OMx2y2

于是得微分方程yxx2y2 y整理得dxx(x)21 这是齐次方程

dyyydxx(x)21

dyyy

问题归结为解齐次方程

令即

yxvdvvv21 即xyv 得vy

ydydvv21

dy分离变量 得dvdy

v21yyy, (v)2v21, CC两边积分 得 ln(vv21)lnylnC, vv21y22yv1

C2C以yvx代入上式 得y22C(xC)

2这是以x轴为轴、焦点在原点的抛物线 它绕x轴旋转所得旋转曲面的方程为

y2z22C(xC) 2这就是所求的旋转曲面方程

例3 设一条河的两岸为平行直线 水流速度为a 有一鸭子从岸边点A游向正对岸点O 设鸭子的游速为b(b>a) 且鸭子游动方向始终朝着点O 已知OAh 求鸭子游过的迹线的方程

解 取O为坐标原点 河岸朝顺水方向为x轴 y 轴指向对岸 设在时刻t鸭子位于点P(x, y) 则鸭子运动速度

v(vx, vy)(dx, dy) 故有dxvx

dyvydtdt高等数学教案

另一方面 vab(a, 0)b(x, y) v(abx, by)

x2y2x2y2x2y2x2y2因此dxvxa(x)21x 即dxa(x)21x

dybyydyvybyydxa(x)21x

dybyy

问题归结为解齐次方程

令

yxu 即xyu 得 yduau21

dyb分离变量 得duady

u21by两边积分 得 arshu(lnylnC) bax1[(Cy)1b(Cy)1b]

将u代入上式并整理 得xy2C以x|yh0代入上式 得Caa1 故鸭子游过的轨迹方程为

haay1by1bh()] 0yh

x[()2hhb将ux代入arshu(lnylnC)后的整理过程

yaarshxb(lnylnC)

yaxshln(Cy)ax1[(Cy)a(Cy)a] yy2bbbbyax[(Cy)(Cy)a]x1[(Cy)1a(Cy)1a]

2C2bbb作业：P309：1（1）（3）（5），2

高等数学教案

§7.4 线性微分方程

一、线性方程

线性方程

方程dyP(x)yQ(x)叫做一阶线性微分方程 dxdydyP(x)y0叫做对应于非齐次线性方程P(x)yQ(x)的齐次线性方程

dxdxdydyy1y0是齐次线性方程 dxdxx2如果Q(x)0  则方程称为齐次线性方程 否则方程称为非齐次线性方程

方程

下列方程各是什么类型方程？

(1)(x2)

(2)3x25x5y0y3x25x  是非齐次线性方程

(3)yy cos xesin x  是非齐次线性方程

(4)dy10xy 不是线性方程 dx23dy3(y1)2dydxxx00或

(5)(y1) 不是线性方程

dxdydx(y1)2x

3齐次线性方程的解法

齐次线性方程

dyP(x)y0是变量可分离方程 分离变量后得 dxdyP(x)dx

y两边积分 得

ln|y|P(x)dxC1

P(x)dx(CeC1)

或

yCe这就是齐次线性方程的通解（积分中不再加任意常数）

例

1求方程(x2)dyy的通解

dx

解

这是齐次线性方程 分离变量得

高等数学教案

dydx

yx2两边积分得

ln|y|ln|x2|lnC

方程的通解为

yC(x2)

非齐次线性方程的解法

将齐次线性方程通解中的常数换成x的未知函数u(x) 把

P(x)dx

yu(x)e

设想成非齐次线性方程的通解 代入非齐次线性方程求得

P(x)dxP(x)dxP(x)dxu(x)eP(x)P(x)u(x)eQ(x)

u(x)e化简得

u(x)Q(x)eP(x)dx

u(x)Q(x)eP(x)dxdxC

于是非齐次线性方程的通解为

P(x)dxP(x)dx

ye[Q(x)edxC] P(x)dxP(x)dxP(x)dx或

yCeeQ(x)edx 非齐次线性方程的通解等于对应的齐次线性方程通解与非齐次线性方程的一个特解之和

5dy2y(x1)2的通解

例2 求方程dxx1

解

这是一个非齐次线性方程

先求对应的齐次线性方程分离变量得

dy2y0的通解

dxx1dy2dx

yx1两边积分得

ln y2ln(x1)ln C

齐次线性方程的通解为

高等数学教案

yC(x1)2

用常数变易法 把C换成u 即令yu(x1)2 代入所给非齐次线性方程 得

52u(x1)2(x1)2

u(x1)2u(x1)x1 1u(x1)2

两边积分 得 u(x1)2C

3再把上式代入yu(x1)2中 即得所求方程的通解为 32

y(x1)[(x1)2C]

323

例3 有一个电路如图所示 其中电源电动势为EEmsint(Em、都是常数) 电阻R和电感L都是常量 求电流i(t)

解

由电学知道 当电流变化时 L上有感应电动势L

EL即

di 由回路电压定律得出

dtdiiR0

dtdiRiE

dtLLdiRiEmsin t

dtLL

把EEmsin t代入上式 得

初始条件为

i|t00

diRiEmsin t为非齐次线性方程 其中

dtLLER t

P(t) Q(t)msinLL

方程由通解公式 得

i(t)eP(t)dtdtdtEP(t)dt[Q(t)edtC]eL(msin teLdtC)

LRRRttEmReL(sinteLdtC)

L高等数学教案

RtEm(Rsin t Lcos t)CeL

222RL其中C为任意常数

将初始条件i|t00代入通解 得C因此 所求函数i(t)为

t LEmREmLe(Rsin t Lcos t)

i(t)222222RLRL LEm

R22L

2二、伯努利方程

伯努利方程 方程

dyP(x)yQ(x)yn(n0 1)dx叫做伯努利方程

下列方程是什么类型方程？

(1)

(2)dy1y1(12x)y4 是伯努利方程 dx33dydyyxy5 yxy5 是伯努利方程 dxdxxy

1(3)y yyxy1 是伯努利方程 yxx

(4)dy2xy4x 是线性方程 不是伯努利方程 dxdyP(x)y1nQ(x)dx

伯努利方程的解法 以yn除方程的两边 得

yn令z y1n  得线性方程

dz(1n)P(x)z(1n)Q(x)

dxdyya(lnx)y2的通解

例4 求方程dxx

解 以y2除方程的两端 得

y2dy11yalnx

dxxd(y1)11yalnx

即

dxx高等数学教案

令zy1 则上述方程成为

dz1zalnx

dxxa2这是一个线性方程 它的通解为

zx[C(lnx)2]

以y1代z  得所求方程的通解为

yx[C(lnx)2]1

经过变量代换 某些方程可以化为变量可分离的方程 或化为已知其求解方法的方程

例

5解方程a2dy1

dxxy

解

若把所给方程变形为

dxxy

dy即为一阶线性方程 则按一阶线性方程的解法可求得通解 但这里用变量代换来解所给方程

令xyu 则原方程化为

du11 即duu1

dxudxuududx

u1分离变量 得

两端积分得

uln|u1|xln|C|

以uxy代入上式 得

yln|xy1|ln|C| 或xCeyy1

作业：P315：1（1）（3）（5）（7）（9），2（1）（3）（5），7（1）（2）

§7 5可降阶的高阶微分方程

高等数学教案

一、y(n)f(x)型的微分方程

解法 积分n 次

y(n1)f(x)dxC1 

y(n2)[f(x)dxC1]dxC2 

  

例1 求微分方程ye2xcos x 的通解

解 对所给方程接连积分三次 得

ye2xsinxC1

ye2xcosxC1xC2

ye2xsinxC1x2C2xC3

这就是所给方程的通解

或

ye2xsinx2C1

ye2xcosx2C1xC2

ye2xsinxC1x2C2xC3

这就是所给方程的通解

例2 质量为m的质点受力F的作用沿Ox轴作直线运动 设力F仅是时间t的函数FF(t) 在开始时刻t0时F(0)F0 随着时间t的增大 此力F均匀地减小 直到tT时 F(T)0 如果开始时质点位于原点 且初速度为零 求这质点的运动规律

解 设xx(t)表示在时刻t时质点的位置 根据牛顿第二定律 质点运动的微分方程为

m12141812121418d2xF(t)

2dt由题设 力F(t)随t增大而均匀地减小 且t0时 F(0)F0 所以F(t)F0kt 又当tT时 F(T)0 从而

F(t)F0(1)

于是质点运动的微分方程又写为 tTd2xF0(1t)



Tdt2m高等数学教案

其初始条件为x|t00 dx|0

dtt0

把微分方程两边积分 得

dxF0(tt2)C

1

dtm2T再积分一次 得

F012t x(t)C1tC2

m26T由初始条件x|t00 得C1C20

于是所求质点的运动规律为 dx|0

dtt0F012t3

x(t) 0tT

m26T

二、y f(x y)型的微分方程

解法 设yp则方程化为

pf(x p)

设pf(x p)的通解为p(xC1) 则

dy(x,C1)

dx原方程的通解为

y(x,C1)dxC2

例3 求微分方程

(1x2)y2xy 满足初始条件

y|x01 y|x03 的特解

解 所给方程是yf(x y)型的 设yp 代入方程并分离变量后 有

dp2xdx

p1x2两边积分 得

ln|p|ln(1x2)C

即

pyC1(1x2)(C1eC)

由条件y|x03 得C13

所以

y3(1x2)

高等数学教案

两边再积分 得 yx33xC2

又由条件y|x01 得C21

于是所求的特解为

yx33x1

例4 设有一均匀、柔软的绳索 两端固定 绳索仅受重力的作用而下垂 试问该绳索在平衡状态时是怎样的曲线?

三、yf(y y)型的微分方程

解法 设yp有

y原方程化为 dpdpdydpp

dxdydxdydpf(y,p)

dydpf(y,p)的通解为yp(y C1) 则原方程的通解为 设方程pdy

p

dy(y,C1)xC2

dp

dy

例5 求微分yyy20的通解

解 设yp 则yp代入方程 得

ypdp2p0

dy

在y0、p0时 约去p并分离变量 得

dpdy

py两边积分得

ln|p|ln|y|lnc

即

pCy或yCy(Cc)

再分离变量并两边积分 便得原方程的通解为

ln|y|Cxlnc1

或

yC1eCx(C1c1)

作业：P323：1（1）（3）（5）（7）（9），2（1）（3）（5）

高等数学教案

§7 6 高阶线性微分方程 一、二阶线性微分方程举例

例1 设有一个弹簧 上端固定 下端挂一个质量为m 的物体 取x 轴铅直向下 并取物体的平衡位置为坐标原点

给物体一个初始速度v00后 物体在平衡位置附近作上下振动 在振动过程中 物体的位置x是t的函数 xx(t)

设弹簧的弹性系数为c 则恢复力fcx

又设物体在运动过程中受到的阻力的大小与速度成正比 比例系数为 则

Rdx

dt

由牛顿第二定律得

2dxdx

m2cx

dtdt

移项 并记2nc k2

mmd2x2ndxk2x0则上式化为



dtdt2这就是在有阻尼的情况下 物体自由振动的微分方程

如果振动物体还受到铅直扰力

FHsin pt 的作用 则有

d2x2ndxk2xhsinpt



dtdt2H其中h 这就是强迫振动的微分方程

m

例2 设有一个由电阻R、自感L、电容C和电源E串联组成的电路 其中R、L、及C为常

高等数学教案

数 电源电动势是时间t的函数 EEmsint 这里Em及也是常数

设电路中的电流为i(t) 电容器极板上的电量为q(t) 两极板间的电压为uc 自感电动势为EL  由电学知道

iqdqdi uc ELL

CdtdtdiqRi0

dtC根据回路电压定律 得

ELd2ucducRCucEmsint

即

LCdtdt2或写成

d2ucducEm22usint

0c2dtLCdtR 1 这就是串联电路的振荡方程 其中02LLC

如果电容器经充电后撤去外电源(E0) 则上述成为

d2ucduc220uc0

2dtdt

二阶线性微分方程 二阶线性微分方程的一般形式为

yP(x)yQ(x)yf(x)

若方程右端f(x)0时 方程称为齐次的 否则称为非齐次的

二、线性微分方程的解的结构

先讨论二阶齐次线性方程

d2ydyQ(x)y0

yP(x)yQ(x)y0 即2P(x)dxdx

定理

1如果函数y1(x)与y2(x)是方程

yP(x)yQ(x)y0的两个解 那么

yC1y1(x)C2y2(x)也是方程的解 其中C1、C2是任意常数

齐次线性方程的这个性质表明它的解符合叠加原理

证明 [C1y1C2y2]C1 y1C2 y2

高等数学教案

[C1y1C2y2]C1 y1C2 y2

因为y1与y2是方程yP(x)yQ(x)y0 所以有

y1P(x)y1Q(x)y10及y2P(x)y2Q(x)y20

从而

[C1y1C2y2]P(x)[ C1y1C2y2]Q(x)[ C1y1C2y2]

C1[y1P(x)y1Q(x)y1]C2[y2P(x)y2Q(x)y2]000

这就证明了yC1y1(x)C2y2(x)也是方程yP(x)yQ(x)y0的解

函数的线性相关与线性无关

设y1(x) y2(x)     yn(x)为定义在区间I上的n个函数 如果存在n个不全为零的常数k1 k2     kn 使得当xI 时有恒等式

k1y1(x)k2y2(x)

    knyn(x)0 成立 那么称这n个函数在区间I上线性相关 否则称为线性无关

判别两个函数线性相关性的方法

对于两个函数 它们线性相关与否 只要看它们的比是否为常数 如果比为常数 那么它们就线性相关 否则就线性无关

例如 1 cos2x  sin2x 在整个数轴上是线性相关的 函数1 x x2在任何区间(a, b)内是线性无关的

定理2 如果如果函数y1(x)与y2(x)是方程

yP(x)yQ(x)y0 的两个线性无关的解 那么

yC1y1(x)C2y2(x)(C1、C2是任意常数)是方程的通解

例3 验证y1cos x与y2sin x是方程yy0的线性无关解 并写出其通解

解 因为

y1y1cos xcos x0

y2y2sin xsin x0

所以y1cos x与y2sin x都是方程的解

因为对于任意两个常数k1、k2 要使

k1cos xk2sin x0

只有k1k20 所以cos x与sin x在(, )内是线性无关的

因此y1cos x与y2sin x是方程yy0的线性无关解

高等数学教案

方程的通解为yC1cos xC2sin x

例4 验证y1x与y2ex是方程(x1)yxyy0的线性无关解 并写出其通解

解 因为

(x1)y1xy1y10xx0

(x1)y2xy2y2(x1)exxexex0

所以y1x与y2ex都是方程的解

因为比值e x/x 不恒为常数 所以y1x与y2ex在(, )内是线性无关的

因此y1x 与y2ex是方程(x1)yxyy0的线性无关解

方程的通解为yC1xC2e x

推论 如果y1(x) y2(x)    yn(x)是方程

y(n)a1(x)y(n1)    an1(x)y an(x)y0 的n个线性无关的解 那么 此方程的通解为

yC1y1(x)C2y2(x)     Cnyn(x)

其中C1 C2    Cn为任意常数

二阶非齐次线性方程解的结构

我们把方程

yP(x)yQ(x)y0 叫做与非齐次方程

yP(x)yQ(x)yf(x)对应的齐次方程

定理3 设y*(x)是二阶非齐次线性方程

yP(x)yQ(x)yf(x)的一个特解 Y(x)是对应的齐次方程的通解 那么

yY(x)y*(x)是二阶非齐次线性微分方程的通解

证明提示 [Y(x)y*(x)]P(x)[ Y(x)y*(x)]Q(x)[ Y(x)y*(x)]

 [Y P(x)Y Q(x)Y ][ y* P(x)y* Q(x)y*]

0 f(x) f(x)

例如 YC1cos xC2sin x 是齐次方程yy0的通解 y*x22是yyx2 的一个特解 因此

yC1cos xC2sin xx22

高等数学教案

是方程yyx2的通解

定理4 设非齐次线性微分方程 yP(x)yQ(x)yf(x)的右端f(x)几个函数之和 如

yP(x)yQ(x)yf1(x) f2(x)

而y1*(x)与y2*(x)分别是方程

yP(x)yQ(x)yf1(x)与yP(x)yQ(x)yf2(x)的特解 那么y1*(x)y2*(x)就是原方程的特解

证明提示

[y1y2*]P(x)[ y1*y2*]Q(x)[ y1*y2*]

[ y1*P(x)y1*Q(x)y1*][ y2*P(x)y2*Q(x)y2*]

f1(x)f2(x)

作业：P331：1（1）（3）（5）（7），4（1）（3）（5）

§7 7 二阶常系数齐次线性微分方程

二阶常系数齐次线性微分方程 方程 ypyqy0 称为二阶常系数齐次线性微分方程 其中p、q均为常数

如果y1、y2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解 那么yC1y1C2y2就是它的通解

我们看看

能否适当选取r 使yerx

满足二阶常系数齐次线性微分方程 为此将yerx代入方程

ypyqy0 得

(r 2prq)erx 0

由此可见 只要r满足代数方程r2prq0 函数yerx就是微分方程的解

特征方程 方程r2prq0叫做微分方程ypyqy0的特征方程 特征方程的两个根r1、r2可用公式

pp24q

r 1,22高等数学教案

求出

特征方程的根与通解的关系

(1)特征方程有两个不相等的实根r1、r2时 函数y1er1x、y2er2x是方程的两个线性无关的解

这是因为

函数y1e因此方程的通解为

yC1er1xC2er2x

(2)特征方程有两个相等的实根r1r2时 函数y1er1x、y2xer1x是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解

这是因为 y1er1x是方程的解 又

r1xr1x2r1x

(xer1x)p(xer1x)q(xer1x)(2r1xr1xr1)ep(1)eqxe r1x

2er1x(2r1p)xe(r1pr1q)0 r1x、y2er2xy1er1x(r1r2)x是方程的解 又不是常数

ey2er2xy2xer1xx不是常数

所以y2xe也是方程的解 且y1er1xr1x

因此方程的通解为

yC1er1xC2xer1x

(3)特征方程有一对共轭复根r1, 2i时 函数ye(i)x、ye(i)x是微分方程的两个线性无关的复数形式的解 函数yexcosx、yexsinx是微分方程的两个线性无关的实数形式的解

函数y1e(i)x和y2e(i)x都是方程的解 而由欧拉公式 得

y1e(i)xex(cosxisinx)

y2e(i)xex(cosxisinx)

1y1y22excosx excosx(y1y2)

2高等数学教案

1y1y22iexsinx exsinx(y1y2)

2i故excosx、y2exsinx也是方程解

可以验证 y1excosx、y2exsinx是方程的线性无关解

因此方程的通解为

yex(C1cosxC2sinx)

求二阶常系数齐次线性微分方程ypyqy0的通解的步骤为

第一步

写出微分方程的特征方程

r2prq0 第二步

求出特征方程的两个根r1、r2

第三步

根据特征方程的两个根的不同情况 写出微分方程的通解

例1 求微分方程y2y3y0的通解

解 所给微分方程的特征方程为

r22r30 即(r1)(r3)0

其根r11 r23是两个不相等的实根 因此所求通解为

yC1exC2e3x

例2 求方程y2yy0满足初始条件y|x0

4、y| x02的特解

解 所给方程的特征方程为

r22r10 即(r1)20

其根r1r21是两个相等的实根 因此所给微分方程的通解为

y(C1C2x)ex

将条件y|x04代入通解 得C14 从而

y(4C2x)ex

将上式对x求导 得

y(C24C2x)ex

再把条件y|x02代入上式 得C22 于是所求特解为

x(42x)ex

例 3 求微分方程y2y5y 0的通解

解 所给方程的特征方程为

r22r50

高等数学教案

特征方程的根为r112i r212i 是一对共轭复根

因此所求通解为

yex(C1cos2xC2sin2x)

n 阶常系数齐次线性微分方程 方程

y(n)p1y(n1)p2 y(n2)     pn1ypny0

称为n 阶常系数齐次线性微分方程 其中 p1

p2      pn1 pn都是常数

二阶常系数齐次线性微分方程所用的方法以及方程的通解形式 可推广到n 阶常系数齐次线性微分方程上去

引入微分算子D 及微分算子的n次多项式

L(D)=Dn p1Dn1p2 Dn2      pn1Dpn 则n阶常系数齐次线性微分方程可记作

(Dn p1Dn1p2 Dn2      pn1Dpn)y0或L(D)y0 注 D叫做微分算子D0yy Dyy D2yy D3yy   Dnyy(n)

分析 令yerx 则

L(D)yL(D)erx(rn p1rn1p2 rn2      pn1rpn)erxL(r)erx

因此如果r是多项式L(r)的根 则yerx是微分方程L(D)y0的解

n 阶常系数齐次线性微分方程的特征方程

L(r)rn p1rn1p2 rn2      pn1rpn0 称为微分方程L(D)y0的特征方程

特征方程的根与通解中项的对应

单实根r 对应于一项 Cerx 

一对单复根r1 2 i 对应于两项 ex(C1cosxC2sinx)

k重实根r对应于k项 erx(C1C2x    Ck xk1)

一对k 重复根r1 2 i 对应于2k项

ex[(C1C2x    Ck xk1)cosx(D1D2x    Dk xk1)sinx]

例4 求方程y(4)2y5y0 的通解

解

这里的特征方程为

r42r35r20 即r2(r22r5)0

它的根是r1r20和r3 412i

因此所给微分方程的通解为

高等数学教案

yC1C2xex(C3cos2xC4sin2x)

例5 求方程y(4) 4y0的通解 其中0

解

这里的特征方程为

r4 40

它的根为r1,22(1i) r3,42(1i)

因此所给微分方程的通解为

ye2x(C1cos2xC2sin2x)e 2x(C3cos2xC4sin2x)

作业：P340：1（1）（3）（2）（4）（5）（6）（8），2（2）（4）（6）

§7 8 二阶常系数非齐次线性微分方程

二阶常系数非齐次线性微分方程 方程

ypyqyf(x)称为二阶常系数非齐次线性微分方程 其中p、q是常数

二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程 的通解yY(x)与非齐次方程本身的一个特解yy*(x)之和

yY(x) y*(x)

当f(x)为两种特殊形式时 方程的特解的求法

一、f(x)Pm(x)ex 型

当f(x)Pm(x)ex时 可以猜想 方程的特解也应具有这种形式 因此 设特解形式为y*Q(x)ex 将其代入方程 得等式

Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)Pm(x)

(1)如果不是特征方程r2prq0 的根 则2pq0 要使上式成立 Q(x)应设为m 次多项式

高等数学教案

Qm(x)b0xmb1xm1    bm1xbm 

通过比较等式两边同次项系数 可确定b0 b1     bm 并得所求特解

y*Qm(x)ex

(2)如果是特征方程 r2prq0 的单根 则2pq0 但2p0 要使等式

Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)Pm(x)

成立 Q(x)应设为m1 次多项式

Q(x)xQm(x)

Qm(x)b0xm b1xm1   

bm1xbm 

通过比较等式两边同次项系数 可确定b0 b1   

 bm 并得所求特解

y*xQm(x)ex

(3)如果是特征方程 r2prq0的二重根 则2pq0 2p0 要使等式

Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)Pm(x)

成立 Q(x)应设为m2次多项式

Q(x)x2Qm(x)

Qm(x)b0xmb1xm1    bm1xbm 

通过比较等式两边同次项系数 可确定b0 b1     bm  并得所求特解

y*x2Qm(x)ex

综上所述 我们有如下结论 如果f(x)Pm(x)ex 则二阶常系数非齐次线性微分方程ypyqy f(x)有形如

y*xk Qm(x)ex 的特解 其中Qm(x)是与Pm(x)同次的多项式 而k 按不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取为0、1或2

例1 求微分方程y2y3y3x1的一个特解

解 这是二阶常系数非齐次线性微分方程 且函数f(x)是Pm(x)ex型(其中Pm(x)3x1 0)

与所给方程对应的齐次方程为

y2y3y0

它的特征方程为

r22r30

由于这里0不是特征方程的根 所以应设特解为

y*b0xb1

高等数学教案

把它代入所给方程 得

3b0x2b03b13x1

比较两端x同次幂的系数 得

3b03 3b03 2b03b11 2b3b101由此求得b01 b1 于是求得所给方程的一个特解为

y*x

例2 求微分方程y5y6yxe2x的通解

解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程 且f(x)是Pm(x)ex型(其中Pm(x)x 2)

与所给方程对应的齐次方程为

y5y6y0

它的特征方程为

r25r 60

特征方程有两个实根r12 r23 于是所给方程对应的齐次方程的通解为

YC1e2xC2e3x 

由于2是特征方程的单根 所以应设方程的特解为

y*x(b0xb1)e2x

把它代入所给方程 得

2b0x2b0b1x

比较两端x同次幂的系数 得

13132b01 2b01 2b0b10 2bb001由此求得b0 b11 于是求得所给方程的一个特解为

y*x(x1)e2x

从而所给方程的通解为

yC1e2xC2e3x(x22x)e2x 121212高等数学教案

提示

y*x(b0xb1)e2x(b0x2b1x)e2x

[(b0x2b1x)e2x][(2b0xb1)(b0x2b1x)2]e2x

[(b0x2b1x)e2x][2b02(2b0xb1)2(b0x2b1x)22]e2x

y*5y*6y*[(b0x2b1x)e2x]5[(b0x2b1x)e2x]6[(b0x2b1x)e2x] [2b02(2b0xb1)2(b0x2b1x)22]e2x5[(2b0xb1)(b0x2b1x)2]e2x6(b0x2b1x)e2x [2b04(2b0xb1)5(2b0xb1)]e2x[2b0x2b0b1]e2x

方程ypyqyex[Pl(x)cosxPn(x)sinx]的特解形式

应用欧拉公式可得

ex[Pl(x)cosxPn(x)sinx]

ex[P(x)eli xei xP(x)ei xei x] n22i

[Pe(i)x[Pe(i)x

l(x)iPn(x)]l(x)iPn(x)]

P(x)e(i)xP(x)e(i)x

其中P(x)(PlPni) P(x)(PlPni) 而mmax{l n}

设方程ypyqyP(x)e(i)x的特解为y1*xkQm(x)e(i)x

则y1*xkQm(x)e(i)必是方程ypyqyP(x)e(i)的特解

其中k按i不是特征方程的根或是特征方程的根依次取0或1

于是方程ypyqyex[Pl(x)cosxPn(x)sinx]的特解为

y*xkQm(x)e(i)xxkQm(x)e(i)x

xkex[Qm(x)(cosxisinx)Qm(x)(cosxisinx)

xk ex[R(1)m(x)cosxR(2)m(x)sinx]

综上所述 我们有如下结论

如果f(x)ex [Pl(x)cosxPn(x)sinx] 则二阶常系数非齐次线性微分方程 12121212高等数学教案

ypyqyf(x)的特解可设为

y*xk ex[R(1)m(x)cosxR(2)m(x)sinx]

其中R(1)m(x)、R(2)m(x)是m次多项式 mmax{l n} 而k 按i(或i)不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1

例3 求微分方程yyxcos2x的一个特解

解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程

且f(x)属于ex[Pl(x)cosxPn(x)sinx]型(其中0 2 Pl(x)x Pn(x)0）

与所给方程对应的齐次方程为

yy0

它的特征方程为

r210

由于这里i2i 不是特征方程的根 所以应设特解为

y*(axb)cos2x(cxd)sin2x

把它代入所给方程 得

(3ax3b4c)cos2x(3cx3d4a)sin2xxcos2x

比较两端同类项的系数 得 a b0 c0 d于是求得一个特解为 y*xcos2xsin2x

提示

y*(axb)cos2x(cxd)sin2x

y*acos2x2(axb)sin2xcsin2x2(cxd)cos2x

(2cxa2d)cos2x(2ax2bc)sin2x

y*2ccos2x2(2cxa2d)sin2x2asin2x2(2ax2bc)cos2x

(4ax4b4c)cos2x(4cx4a4d)sin2x

y* y*(3ax3b4c)cos2x(3cx4a3d)sin2x 134

91349高等数学教案

3a13b4c014由 得a b0 c0 d 3c0394a3d0作业：P347：1（1）（2）（5）（9）2（2）（3）（4）

第五篇：高职院校蒙汉双语教育教学研究论文

摘要：内蒙古地区的少数民族双语教育应该蒙汉语并重，以蒙汉兼通为教育目的，在教学中，注重蒙汉互通，相互转换能力的培养。本文简要阐述了国外的双语教育模式，并与自治区少数民族双语教育模式进行对比与分析，从而阐明了我区少数民族双语教育应该采取的教育模式。

关键词：教育模式；双语教育；双语教学；互通式教材

一、引言

我国的内蒙古地区属于少数民族地区，这些地区大多拥有自己的语言。但为了使得各民族能够更加融合，团结奋进，也必须在少数民族的语言教育中加入汉语教育，使得两种语言共同发展，学生既具备民族语言的能力，也拥有汉语能力，这才有利于学生的发展。所以，必须要实施双语教育，促使民族和民族之间更好的进行沟通、交流。

二、关于少数民族双语教育的模式

这里所说的双语教育，指的是促使学生既了解第一语言，也会运用第二语言，在这样的形式下来接受教育。分析其教学意义，双语教学所涵盖的范围，比双语教育更加广泛，这是实现双语教育的最好方式。此外，其还包括了双语教学方法，以及非双语教学方法。通过调查后发现，采取这样的形式所教育出来的学生，比起过渡式方法所教育出来的学生，语言运用能够更强。然而这样也有一个不足之处，那就是学生的母语能力会受到一定的限制，甚至不能进一步的发展。所以，该种教育模式不利于内蒙古地区的学生。

三、针对内蒙古地区的双语教学问题进行分析

第一，双语教学应注重、加强基础教育。内蒙古地区的语言教育中，关于大专院校的教学是重点。因为学生在大学时期，属于素质教育的关键时期。通过实验后发现，在学生的幼儿时期，便要开始实施双语方面的教育。到了中学的时候，更是对学生进行塑造的重点时期。这个时期，必须要树立学生的民族观念和爱国思想，因此双语教学是非常重要的。所以，教学工作者必须改变陈旧的思想，将重点放在中学时期和小学时期，制定出科学合理的双语教学计划，这才有利于学生的发展。中学和小学时期打好了基础，才能促使双语教学起到一定的效果。若是到了大学再实施双语教育，那么可能会起到适得其反的效果，甚至引发学生的反感。正因为这样，所以在笔者看来，要使得大专院校的双语教育更好的开展和进行，就必须在中学和小学时期便打好基础。第二，科学合理的选择和使用教材。在进行双语教学的时候，教材是非常关键的一个部分，同时也是教学的基础。因此必须选择好的教材，使得教学质量也得到提高。在笔者看来，蒙古地区的双语教育教材在大学这个阶段，可以尽量使用关于该民族的优秀语言材料，使学生更好的了解民族语言的特色和风格，另外也要在其中加入少量的汉语材料，汉语和蒙语的结合，帮助学生更好的了解和学习语言，形成自豪的民族观念和爱国思想，为将来的学习奠定坚实的基础。蒙古地区大中院校的双语教材，开始必须要使得富有特色的蒙语占大多数，之后逐渐转变为汉语占大多数，以及两种语言的译文占相同比例。在这个过程里，也需要增加一些语法、语音还有翻译方面的内容和知识，促使汉语和蒙语能够形成良好的互动和参照。不仅如此，也必须考虑到学生所学习的专业，在其中加入关于专业的内容。需要注意的是，教学大纲和教材的参考书都需要依照教材来设定，使得教学能够获得相应的指导。所编撰和使用的教材，也必须得到相关专家和权威人士的审核。第三，教学的过程中采用科技手段。如今，随着社会的发展，科学技术也在不断进步。涌现出了很多先进技术和设备，比如网络技术、视听技术、多媒体技术等等。很多地区在教育的时候，都采用了这些先进设备。所以，在内蒙古地区进行双语教育的时候，也要用到这些先进技术和设备。使得语言教育能够更好的进行，同时也使得课堂效率得到提高。另外，在西部贫困地区使用这些设备和仪器，能够减少经济发达地区和贫困地区之间在教育方面的差异，为当地学生的学习提供更好的条件和环境。第四，构建科学合理的考试制度。内蒙古地区在对学生进行双语教育的时候，必须采取措施提高当地教师的能力和素质，使其具备一定的语言能力。大部分教育工作者研究的重点都在于如何提高偏远地区教师的语言能力、教学能力。在笔者看来，除了必须要对教师进行培训、改进教学方式以外，另外也需要设置科学合理的考试制度，使得双语教师接受一定的考核。考核的内容和形式由权威人士和教育工作者来制定。而且考试的结果还要和教师的薪资待遇进行挂钩，这才有利于少数民族的双语教学更好的开展和进行，提高教师的双语应用能力、教学能力。

四、结束语

综上所述，内蒙古少数民族地区的语言教学非常复杂，涉及的面也广，必须要长期开展和进行。因此，教师必须要付出一定的努力，同时政府也要进行扶持，这样才有利于当地语言教育的进行和实施。同时，开展双语教学，也能够促进民族和民族之间更好的进行沟通和交流，为社会的稳定以及民族的团结奠定坚实的基础。

参考文献：

[1]王斌华.双语教育与双语教学[M].上海教育出版社,2008.[2]赵慧.双语教学纵横谈[M].天津教育出版社,2007.[3]刘红,熊丽萍.双语教学现状调查与对策思考[J].江西教育科研.2006(4).