中考压轴题的教学策略论文

第一篇：中考压轴题的教学策略论文

每年初中数学中考，一般都把试题分为基础题，中档题以及难题。近年初中数学中考中，填空题，选择题，解答题的最后一题都是拉分题，难题不突破学生是很难取得中考好成绩的。

初中数学中考中的难题主要有以下几种：

1、思维要求有一定深度或技巧性较强的题目。

2、题意新或解题思路新的题目。

3、探究性或开放性的数学题。

针对不同题型要有不同的教学策略，无论解哪种题型的数学题，都要求学生有一定的数学基础知识和基本的解题技能（对数学概念的较好理解，对定理公式的理解，对定理公式的证明的理解。能很熟练迅速地解答出直接运用定理公式的基础题），所以对学生进行“双基”训练是很必要的。当然，初三毕业复习第一阶段都是进行“双基”训练，但要使学生对数学知识把握得深化和基本技能得到强化，复习效果才好。

我认为可以将初中中考中的难题分以下几类进行专题复习：

第一类：综合多个知识点或需要一定解题技巧才能解的难题。

这类难题的教学关键要求学生运用分析和综合的方法，运用一些数学思想和方法，以及一定的解题技巧来解答。

例1某省公路建设发展速度越来越快，通车总里程已位居全国第一，公路的建设促进了广大城乡客运的发展。某市扩建了市县际公路，运输公司根据实际需要计划购买大，中两型客车共10辆，大型客车每辆价格为25万元，中型客车每辆价格为15万元。

（1）设购买大型客车x（辆），购车总费用为y（万元），求y与x之间的函数表达式。

（2）若购车资金为180万元—200万元（180万元和200万元），那么有几种购车方案？在确保交通安全的前提下，根据客流量调查，大型客车不少于4辆，此时如何确定购车方案可使该运输公司购车费用最少。

解：

（1）y=25+15（10—x）=10x+150。

（2）有题意，得10x+150180，10x+150200，解得3x5，x是非负整数，x=3，4，5。

共有三种购车方案：

第一种：大型客车3辆，中型客车7辆，不合题意。

第二种：大型客车4辆，中型客车6辆。

第三种：大型客车5辆，中型客车5辆。

第二种方案的购车费用为254+156=190（万元）。

第三种方案的购车费用为254+155=200（万元）。

即符合客流量要求并且购车费用较少的购车方案是购买大型客车4辆，中型客车6辆。

第二类：新题型（近年全国各地初中中考中才出现的题型）。

（2006 宁夏卷）为了提高土地的利用率，将小麦，玉米，黄豆三种农作物套种在一起，俗称“三种三收”，这样的种植方法可将土地每亩的总产量提高40%。下面是这三种农作物的亩产量，销售单价及种植成本的对应表：

现将面积为10亩的一块农田进行“三种三收”套种，为保证主要农作物的种植比例，要求小麦的种植面积占种植面积的一半。

（1）设玉米的种植面积为x亩，三种农作物的总销售价为y元，写出y与x的函数关系式。

（2）在保证小麦种植面积不变的情况下，玉米，黄豆的种植面积均不得低于一亩，且两种农作物均以整亩数种植，三种农作物套种的种植亩数，有哪几种种植方案？

（3）在（2）中的种植方案中，采用哪种套种方案，才能使总销售价最高？最高价是多少？

（4）在（2）中的种植方案中，采用哪种套种方案，才能使总利润最大？最大利润是多少？（总利润=总销售单价—总成本）

解析：此题信息量较大，数量关系较复杂，因此需仔细阅读，分析，弄清楚各种数量关系，才能找到解决问题的方法。

解（1）y=[5*400*2+x*680+（5—x）250*2。6]*1.4

（2）方案如下。

（3）根据函数关系式可知，随的增大而增大，所以采用方案四，即小麦5亩，玉米4亩，黄豆1亩，可使总销售价最高，最高价为10318元。

（2）总成本c与x的函数关系式为c=5*200+x*130+50*（5—x）=80x+1250，总利润与的函数关系式为y—c=42x+10150—（80x+1250）=—38x+8900。

（3）根据函数关系式可得，采用方案一：即小麦5亩，玉米1亩，黄豆4亩，可使总销售价最高，最高价为8862元。

可能我们都有这样的经验：我们讲解难题的时候，学生都能理解，但让学生再做另外一些难题的时候，学生又做不出来。这是因为，我们只是把结果告诉学生，学生解题的思维方式没有得到训练。在难题的教学中，我们不能只把结论告诉学生，更重要的是要让学生知道解题的思维方式，我们不要急于把题目的解法告诉学生，应当引导学生自己去解题，在解题的过程中寻找解题思路以及训练思维能力和创新能力，这也是新课标的要求。我们应当把教学重点放在训练学生解题的思路上，在引导学生寻找解题思路的这一过程之中，使学生找到开锁的钥匙。

第二篇：中考数学压轴题整理

【运用相似三角形特性解题，注意分清不同情况下的函数会发生变法，要懂得分情况讨论问题】

【分情况讨论，抓住特殊图形的面积，多运用勾股定理求高，构造梯形求解】

【出现边与边的比，构造相似求解】

【当图形比较复杂的时候，要学会提炼出基础图形进行分析，如此题中可将两个三角形构成的平行四边形提取出来分析，出现两个顶点，结合平行四边形性质和函数图像性质，找出不变的量，如此题中N点的纵坐标不变，为-3，为突破口从而求解】

已知△ABC是等边三角形．

（1）将△ABC绕点A逆时针旋转角θ（0°＜θ＜180°），得到△ADE，BD和EC所在直线相交于点O．

①如图a，当θ=20°时，△ABD与△ACE是否全等？（填“是”或“否”），∠BOE=度；

②当△ABC旋转到如图b所在位置时，求∠BOE的度数；

【旋转，平移，轴对称的题目，要将动态转化为静态求解，运用全等和相似的方法】

【通过旋转把条件进行转移，利用与第一题相同的方法做辅助线，采用构造直角三角形的方法求解】

如下数表是由从1开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答．

（1）表中第8行的最后一个数是_________，它是自然数_______的平方，第8行共有________个数；

（2）用含n的代数式表示：第n行的第一个数是_______，最后一个数是_________，第n行共有个数__________；

（3）求第n行各数之和．

【利用三角函数求解】

如图所示，已知A点从（1，0）点出发，以每秒1个单位长的速度沿着x轴的正方向运动，经过t秒后，以O、A为顶点作菱形OABC，使B、C点都在第一象限内，且∠AOC=60°，又以P（0，4）为圆心，PC为半径的圆恰好与OA所在的直线相切，则t=_____________．

【提取基础图形，此题将三角形提取出来，构造直角三角形，利用30°所对的边是斜边的一半，设未知数求解】

【要求是否能构造成直角三角形，构造包含欲求三角形的三边的另外三个直角三角形，利用勾股定理求出三条边，再运用勾股定理，分三种情况求解】

如图，正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，将△AEF绕顶点A旋转，在旋转过程中，当BE=DF时，∠BAE的大小可以是___________．

当遇到求是否构成等腰三角形，等边三角形，等腰直角三角形，直角三角形时，在坐标轴中，设未知数求解；如设点A为（x,y）或设点A为（0，m），多寻找可用相似表示的边，运用相似的面积比，周长比，高之比，边之比求解

求坐标轴上有多少个图形能够构成面积为多少，周长为多少的三角形四边形等时，注意坐标点可能在正半轴或负半轴，注意加绝对值符号，计算多边形面积可采用割补法

第三篇：2018年中考二次函数压轴题

2018年中考二次函数压轴题汇编

2．如图1，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t．

（1）求抛物线的表达式；

（2）设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D．在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）如图2，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S． ①求S关于t的函数表达式；

②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．

3．如图，抛物线y=a（x﹣1）（x﹣3）（a＞0）与x轴交于A、B两点，抛物线上另有一点C在x轴下方，且使△OCA∽△OBC．（1）求线段OC的长度；

（2）设直线BC与y轴交于点M，点C是BM的中点时，求直线BM和抛物线的解析式；

（3）在（2）的条件下，直线BC下方抛物线上是否存在一点P，使得四边形ABPC面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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4．如图，抛物线y=ax2+bx（a＜0）过点E（10，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上．设A（t，0），当t=2时，AD=4．（1）求抛物线的函数表达式．

（2）当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？

（3）保持t=2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．

5．如图，点P为抛物线y=x2上一动点．

（1）若抛物线y=x2是由抛物线y=（x+2）2﹣1通过图象平移得到的，请写出平移的过程；

（2）若直线l经过y轴上一点N，且平行于x轴，点N的坐标为（0，﹣1），过点P作PM⊥l于M．

①问题探究：如图一，在对称轴上是否存在一定点F，使得PM=PF恒成立？若存在，求出点F的坐标：若不存在，请说明理由．

②问题解决：如图二，若点Q的坐标为（1，5），求QP+PF的最小值．

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6．已知直线y=x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点，点M在线段OA上，从O点出发，向点A以每秒1个单位的速度匀速运动；同时点N在线段AB上，从点A出发，向点B以每秒速运动，连接MN，设运动时间为t秒（1）求抛物线解析式；

（2）当t为何值时，△AMN为直角三角形；

（3）过N作NH∥y轴交抛物线于H，连接MH，是否存在点H使MH∥AB，若存在，求出点H的坐标，若不存在，请说明理由．

个单位的速度匀

7．如图，抛物线经过原点O（0，0），点A（1，1），点（1）求抛物线解析式；

．

（2）连接OA，过点A作AC⊥OA交抛物线于C，连接OC，求△AOC的面积；（3）点M是y轴右侧抛物线上一动点，连接OM，过点M作MN⊥OM交x轴于点N．问：是否存在点M，使以点O，M，N为顶点的三角形与（2）中的△AOC相似，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

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8．如图，已知二次函数y=ax2+1（a≠0，a为实数）的图象过点A（﹣2，2），一次函数y=kx+b（k≠0，k，b为实数）的图象l经过点B（0，2）．（1）求a值并写出二次函数表达式；（2）求b值；

（3）设直线l与二次函数图象交于M，N两点，过M作MC垂直x轴于点C，试证明：MB=MC；

（4）在（3）的条件下，请判断以线段MN为直径的圆与x轴的位置关系，并说明理由．

9．如图，已知抛物线y=ax2+x+4的对称轴是直线x=3，且与x轴相交于A，B两点（B点在A点右侧）与y轴交于C点．（1）求抛物线的解折式和A、B两点的坐标；

（2）若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），则是否存在一点P，使△PBC的面积最大．若存在，请求出△PBC的最大面积；若不存在，试说明理由；

（3）若M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN=3时，求M点的坐标．

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10．已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；

（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？

（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2﹣x﹣4与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．（1）求点A，B，C的坐标；

（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向B点运动，同时，点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．设运动时间为t秒，求运动时间t为多少秒时，△PBQ的面积S最大，并求出其最大面积；

（3）在（2）的条件下，当△PBQ面积最大时，在BC下方的抛物线上是否存在点M，使△BMC的面积是△PBQ面积的1.6倍？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．

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12．综合与探究 如图，抛物线y=

x﹣4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第四象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q，过点P作PE∥AC交x轴于点E，交BC于点F．（1）求A，B，C三点的坐标；

（2）试探究在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请直接写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）请用含m的代数式表示线段QF的长，并求出m为何值时QF有最大值．

13．已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（0，2）．（1）若点（﹣，0）也在该抛物线上，求a，b满足的关系式；

（2）若该抛物线上任意不同两点M（x1，y1），N（x2，y2）都满足：当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；当0＜x1＜x2时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．以原点O为心，OA为半径的圆与拋物线的另两个交点为B，C，且△ABC有一个内角为60°．

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①求抛物线的解析式；

②若点P与点O关于点A对称，且O，M，N三点共线，求证：PA平分∠MPN． 14．如图，已知抛物线y=ax2+bx与x轴分别交于原点O和点F（10，0），与对称轴l交于点E（5，5）．矩形ABCD的边AB在x轴正半轴上，且AB=1，边AD，BC与抛物线分别交于点M，N．当矩形ABCD沿x轴正方向平移，点M，N位于对称轴l的同侧时，连接MN，此时，四边形ABNM的面积记为S；点M，N位于对称轴l的两侧时，连接EM，EN，此时五边形ABNEM的面积记为S．将点A与点O重合的位置作为矩形ABCD平移的起点，设矩形ABCD平移的长度为t（0≤t≤5）．

（1）求出这条抛物线的表达式；（2）当t=0时，求S△OBN的值；

（3）当矩形ABCD沿着x轴的正方向平移时，求S关于t（0＜t≤5）的函数表达式，并求出t为何值时，S有最大值，最大值是多少？

15．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三点，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P做x轴的垂线l交抛物线于点Q，交直线BD于点M．（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；

（2）已知点F（0，），当点P在x轴上运动时，试求m为何值时，四边形DMQF是平行四边形？

（3）点P在线段AB运动过程中，是否存在点Q，使得以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

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16．如图，抛物线y=ax2﹣5ax+c与坐标轴分别交于点A，C，E三点，其中A（﹣3，0），C（0，4），点B在x轴上，AC=BC，过点B作BD⊥x轴交抛物线于点D，点M，N分别是线段CO，BC上的动点，且CM=BN，连接MN，AM，AN．（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；

（2）当△CMN是直角三角形时，求点M的坐标；（3）试求出AM+AN的最小值．

17．如图①，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+3经过点A（﹣1，0）、B（3，0）两点，且与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；

（2）如图②，用宽为4个单位长度的直尺垂直于x轴，并沿x轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于P、Q两点（点P在点Q的左侧），连接PQ，在线段PQ上方抛物线上有一动点D，连接DP、DQ．

（1）若点P的横坐标为﹣，求△DPQ面积的最大值，并求此时点D的坐标；（Ⅱ）直尺在平移过程中，△DPQ面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由．

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18．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），如图，直线y=x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1．（1）求抛物线的解析式；

（2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）知F（x0，y0）为平面内一定点，M（m，n）为抛物线上一动点，且点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标．

19．在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（1，0）．已知抛物线y=x2+mx﹣2m（m是常数），顶点为P．

（Ⅰ）当抛物线经过点A时，求顶点P的坐标；

（Ⅱ）若点P在x轴下方，当∠AOP=45°时，求抛物线的解析式；

（Ⅲ）无论m取何值，该抛物线都经过定点H．当∠AHP=45°时，求抛物线的解析式．

20．如图所示，将二次函数y=x2+2x+1的图象沿x轴翻折，然后向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y=ax2+bx+c的图象．函数y=x2+2x+1的图象的顶点为点A．函数y=ax2+bx+c的图象的顶点为点B，和x轴的交点为点C，第9页（共107页）

D（点D位于点C的左侧）．（1）求函数y=ax2+bx+c的解析式；

（2）从点A，C，D三个点中任取两个点和点B构造三角形，求构造的三角形是等腰三角形的概率；

（3）若点M是线段BC上的动点，点N是△ABC三边上的动点，是否存在以AM为斜边的Rt△AMN，使△AMN的面积为△ABC面积的？若存在，求tan∠MAN的值；若不存在，请说明理由．

21．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣3）．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若以点A为圆心的圆与直线BC相切于点M，求切点M的坐标；

（3）若点Q在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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22．已知顶点为A抛物线（1）求抛物线的解析式；

经过点，点．

（2）如图1，直线AB与x轴相交于点M，y轴相交于点E，抛物线与y轴相交于点F，在直线AB上有一点P，若∠OPM=∠MAF，求△POE的面积；

（3）如图2，点Q是折线A﹣B﹣C上一点，过点Q作QN∥y轴，过点E作EN∥x轴，直线QN与直线EN相交于点N，连接QE，将△QEN沿QE翻折得到△QEN1，若点N1落在x轴上，请直接写出Q点的坐标．

23．已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（0，2），且抛物线上任意不同两点M（x1，y1），N（x2，y2）都满足：当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；当0＜x1＜x2时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．以原点O为圆心，OA为半径的圆与抛物线的另两个交点为B，C，且B在C的左侧，△ABC有一个内角为60°．（1）求抛物线的解析式；（2）若MN与直线y=﹣2决以下问题：

①求证：BC平分∠MBN；

②求△MBC外心的纵坐标的取值范围．

24．如图，已知二次函数的图象过点O（0，0）．A（8，4），与x轴交于另一点B，且对称轴是直线x=3．（1）求该二次函数的解析式；

（2）若M是OB上的一点，作MN∥AB交OA于N，当△ANM面积最大时，求M的坐标；

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x平行，且M，N位于直线BC的两侧，y1＞y2，解

（3）P是x轴上的点，过P作PQ⊥x轴与抛物线交于Q．过A作AC⊥x轴于C，当以O，P，Q为顶点的三角形与以O，A，C为顶点的三角形相似时，求P点的坐标．

25．如图，抛物线y=ax2+bx+c与两坐标轴相交于点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3），D是抛物线的顶点，E是线段AB的中点．（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；（2）F（x，y）是抛物线上的动点：

①当x＞1，y＞0时，求△BDF的面积的最大值； ②当∠AEF=∠DBE时，求点F的坐标．

26．如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=ax2+bx+3交x轴于B、C两点（点B在左，点C在右），交y轴于点A，且OA=OC，B（﹣1，0）．

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（1）求此抛物线的解析式；

（2）如图2，点D为抛物线的顶点，连接CD，点P是抛物线上一动点，且在C、D两点之间运动，过点P作PE∥y轴交线段CD于点E，设点P的横坐标为t，线段PE长为d，写出d与t的关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）如图3，在（2）的条件下，连接BD，在BD上有一动点Q，且DQ=CE，连接EQ，当∠BQE+∠DEQ=90°时，求此时点P的坐标．

27．已知抛物线F：y=x2+bx+c的图象经过坐标原点O，且与x轴另一交点为（﹣，0）．

（1）求抛物线F的解析式；（2）如图1，直线l：y=

x+m（m＞0）与抛物线F相交于点A（x1，y1）和点B（x2，y2）（点A在第二象限），求y2﹣y1的值（用含m的式子表示）；（3）在（2）中，若m=，设点A′是点A关于原点O的对称点，如图2． ①判断△AA′B的形状，并说明理由；

②平面内是否存在点P，使得以点A、B、A′、P为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

28．已知：如图，一次函数y=kx﹣1的图象经过点A（3，m）（m＞0），与y轴交于点B．点C在线段AB上，且BC=2AC，过点C作x轴的垂线，垂足为点D．若AC=CD．

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（1）求这个一次函数的表达式；

（2）已知一开口向下、以直线CD为对称轴的抛物线经过点A，它的顶点为P，若过点P且垂直于AP的直线与x轴的交点为Q（﹣函数表达式．，0），求这条抛物线的

29．如图，已知抛物线y=ax2+bx（a≠0）过点A（点A作直线AC∥x轴，交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式；，﹣3）和点B（3，0）．过（2）在抛物线上取一点P，过点P作直线AC的垂线，垂足为D．连接OA，使得以A，D，P为顶点的三角形与△AOC相似，求出对应点P的坐标；

（3）抛物线上是否存在点Q，使得S△AOC=S△AOQ？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

30．如图1，抛物线C1：y=ax2﹣2ax+c（a＜0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．已知点A的坐标为（﹣1，0），点O为坐标原点，OC=3OA，抛物线C1的顶点为G．

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（1）求出抛物线C1的解析式，并写出点G的坐标；

（2）如图2，将抛物线C1向下平移k（k＞0）个单位，得到抛物线C2，设C2与x轴的交点为A′、B′，顶点为G′，当△A′B′G′是等边三角形时，求k的值：（3）在（2）的条件下，如图3，设点M为x轴正半轴上一动点，过点M作x轴的垂线分别交抛物线C1、C2于P、Q两点，试探究在直线y=﹣1上是否存在点N，使得以P、Q、N为顶点的三角形与△AOQ全等，若存在，直接写出点M，N的坐标：若不存在，请说明理由．

31．在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+x+c的图象经过点C（0，2）和点D（4，﹣2）．点E是直线y=﹣x+2与二次函数图象在第一象限内的交点．（1）求二次函数的解析式及点E的坐标．

（2）如图①，若点M是二次函数图象上的点，且在直线CE的上方，连接MC，OE，ME．求四边形COEM面积的最大值及此时点M的坐标．（3）如图②，经过A、B、C三点的圆交y轴于点F，求点F的坐标．

32．如图，已知顶点为C（0，﹣3）的抛物线y=ax2+b（a≠0）与x轴交于A，B两点，直线y=x+m过顶点C和点B．（1）求m的值；

（2）求函数y=ax2+b（a≠0）的解析式；

（3）抛物线上是否存在点M，使得∠MCB=15°？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

第15页（共107页）

33．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；

（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

34．已知抛物线y=a（x﹣1）2过点（3，1），D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；

（2）若点B、C均在抛物线上，其中点B（0，），且∠BDC=90°，求点C的坐标；

（3）如图，直线y=kx+4﹣k与抛物线交于P、Q两点． ①求证：∠PDQ=90°； ②求△PDQ面积的最小值．

第16页（共107页）

35．抛物线y=﹣x2+x﹣1与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，其顶点为D．将抛物线位于直线l：y=t（t＜）上方的部分沿直线l向下翻折，抛物线剩余部分与翻折后所得图形组成一个“M”形的新图象．（1）点A，B，D的坐标分别为

，；

（2）如图①，抛物线翻折后，点D落在点E处．当点E在△ABC内（含边界）时，求t的取值范围；

（3）如图②，当t=0时，若Q是“M”形新图象上一动点，是否存在以CQ为直径的圆与x轴相切于点P？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

36．如图，抛物线y=ax2+4x+c（a≠0）经过点A（﹣1，0），点E（4，5），与y轴交于点B，连接AB．（1）求该抛物线的解析式；

（2）将△ABO绕点O旋转，点B的对应点为点F．

①当点F落在直线AE上时，求点F的坐标和△ABF的面积； ②当点F到直线AE的距离为请直接写出交点的坐标．

第17页（共107页）

时，过点F作直线AE的平行线与抛物线相交，37．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=（x﹣a）（x﹣3）（0＜a＜3）的图象与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点D，过其顶点C作直线CP⊥x轴，垂足为点P，连接AD、BC．（1）求点A、B、D的坐标；

（2）若△AOD与△BPC相似，求a的值；

（3）点D、O、C、B能否在同一个圆上？若能，求出a的值；若不能，请说明理由．

38．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于原点及点A，且经过点B（4，8），对称轴为直线x=﹣2．（1）求抛物线的解析式；

（2）设直线y=kx+4与抛物线两交点的横坐标分别为x1，x（，当2x1＜x2）时，求k的值；

（3）连接OB，点P为x轴下方抛物线上一动点，过点P作OB的平行线交直线AB于点Q，当S△POQ：S△BOQ=1：2时，求出点P的坐标．（坐标平面内两点M（x1，y1），N（x2，y2）之间的距离MN=）

第18页（共107页）

39．如图，在平面直角坐标系中，∠ACB=90°，OC=2OB，tan∠ABC=2，点B的坐标为（1，0）．抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点．（1）求抛物线的解析式；

（2）点P是直线AB上方抛物线上的一点，过点P作PD垂直x轴于点D，交线段AB于点E，使PE=DE． ①求点P的坐标；

②在直线PD上是否存在点M，使△ABM为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．

40．如图1，经过原点O的抛物线y=ax2+bx（a、b为常数，a≠0）与x轴相交于另一点A（3，0）．直线l：y=x在第一象限内和此抛物线相交于点B（5，t），与抛物线的对称轴相交于点C．

第19页（共107页）

（1）求抛物线的解析式；

（2）在x轴上找一点P，使以点P、O、C为顶点的三角形与以点A、O、B为顶点的三角形相似，求满足条件的点P的坐标；

（3）直线l沿着x轴向右平移得到直线l′，l′与线段OA相交于点M，与x轴下方的抛物线相交于点N，过点N作NE⊥x轴于点E．把△MEN沿直线l′折叠，当点E恰好落在抛物线上时（图2），求直线l′的解析式；

（4）在（3）问的条件下（图3），直线l′与y轴相交于点K，把△MOK绕点O顺时针旋转90°得到△M′OK′，点F为直线l′上的动点．当△M'FK′为等腰三角形时，求满足条件的点F的坐标．

第20页（共107页）

2018年07月10日139****3005的初中数学组卷

参考答案与试题解析

一．选择题（共1小题）

1．如图，点A，B在双曲线y=（x＞0）上，点C在双曲线y=（x＞0）上，若AC∥y轴，BC∥x轴，且AC=BC，则AB等于（）

A． B．2 C．4 D．

3【解答】解：点C在双曲线y=上，AC∥y轴，BC∥x轴，设C（a，），则B（3a，），A（a，），∵AC=BC，∴﹣=3a﹣a，解得a=1，（负值已舍去）

∴C（1，1），B（3，1），A（1，3），∴AC=BC=2，∴Rt△ABC中，AB=2故选：B．

二．解答题（共39小题）

2．如图1，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t．

（1）求抛物线的表达式；

（2）设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D．在直线l上是否存在点M，使

第21页（共107页），得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）如图2，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S． ①求S关于t的函数表达式；

②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．

【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y=﹣x2+bx+c，解得：，∴抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3．

（2）在图1中，连接PC，交抛物线对称轴l于点E，∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴抛物线的对称轴为直线x=1．

当t=2时，点C、P关于直线l对称，此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形．

∵抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3，∴点C的坐标为（0，3），点P的坐标为（2，3），∴点M的坐标为（1，6）； 当t≠2时，不存在，理由如下：

若四边形CDPM是平行四边形，则CE=PE，∵点C的横坐标为0，点E的横坐标为0，∴点P的横坐标t=1×2﹣0=2． 又∵t≠2，第22页（共107页）

∴不存在．

（3）①在图2中，过点P作PF∥y轴，交BC于点F． 设直线BC的解析式为y=mx+n（m≠0），将B（3，0）、C（0，3）代入y=mx+n，解得：，∴直线BC的解析式为y=﹣x+3． ∵点P的坐标为（t，﹣t2+2t+3），∴点F的坐标为（t，﹣t+3），∴PF=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t，∴S=PF•OB=﹣t2+t=﹣（t﹣）2+②∵﹣＜0，∴当t=时，S取最大值，最大值为

．

．

∵点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），∴线段BC=

=

3，∴P点到直线BC的距离的最大值为=，此时点P的坐标为（，）．

第23页（共107页）

3．如图，抛物线y=a（x﹣1）（x﹣3）（a＞0）与x轴交于A、B两点，抛物线上另有一点C在x轴下方，且使△OCA∽△OBC．（1）求线段OC的长度；

（2）设直线BC与y轴交于点M，点C是BM的中点时，求直线BM和抛物线的解析式；

（3）在（2）的条件下，直线BC下方抛物线上是否存在一点P，使得四边形ABPC面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）由题可知当y=0时，a（x﹣1）（x﹣3）=0，解得：x1=1，x2=3，即A（1，0），B（3，0），∴OA=1，OB=3 ∵△OCA∽△OBC，∴OC：OB=OA：OC，第24页（共107页）

∴OC2=OA•OB=3，则OC=；

（2）∵C是BM的中点，即OC为斜边BM的中线，∴OC=BC，∴点C的横坐标为，又OC=，点C在x轴下方，），∴C（，﹣设直线BM的解析式为y=kx+b，把点B（3，0），C（，﹣解得：b=﹣∴y=x﹣，k=，）在抛物线上，代入抛物线解析式，）代入得：，又∵点C（，﹣解得：a=，∴抛物线解析式为y=（3）点P存在，设点P坐标为（x，则Q（x，∴PQ=x﹣x﹣），x2﹣

x+2；

x2﹣

x+2），过点P作PQ⊥x轴交直线BM于点Q，﹣（x2﹣

x+2）=﹣

x2+

3x﹣3，当△BCP面积最大时，四边形ABPC的面积最大，S△BCP=PQ（3﹣x）+PQ（x﹣）=PQ=﹣当x=﹣（，﹣

x2+

x﹣，=时，S△BCP有最大值，四边形ABPC的面积最大，此时点P的坐标为）．

第25页（共107页）

4．如图，抛物线y=ax2+bx（a＜0）过点E（10，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上．设A（t，0），当t=2时，AD=4．（1）求抛物线的函数表达式．

（2）当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？

（3）保持t=2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．

【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=ax（x﹣10），∵当t=2时，AD=4，∴点D的坐标为（2，4），∴将点D坐标代入解析式得﹣16a=4，解得：a=﹣，抛物线的函数表达式为y=﹣x2+x；

（2）由抛物线的对称性得BE=OA=t，∴AB=10﹣2t，第26页（共107页）

当x=t时，AD=﹣t2+t，∴矩形ABCD的周长=2（AB+AD）=2[（10﹣2t）+（﹣t2+t）] =﹣t2+t+20 =﹣（t﹣1）2+∵﹣＜0，∴当t=1时，矩形ABCD的周长有最大值，最大值为，；

（3）如图，当t=2时，点A、B、C、D的坐标分别为（2，0）、（8，0）、（8，4）、（2，4），∴矩形ABCD对角线的交点P的坐标为（5，2），当平移后的抛物线过点A时，点H的坐标为（4，4），此时GH不能将矩形面积平分；

当平移后的抛物线过点C时，点G的坐标为（6，0），此时GH也不能将矩形面积平分；

∴当G、H中有一点落在线段AD或BC上时，直线GH不可能将矩形的面积平分，当点G、H分别落在线段AB、DC上时，直线GH过点P，必平分矩形ABCD的面积，∵AB∥CD，∴线段OD平移后得到的线段GH，∴线段OD的中点Q平移后的对应点是P，在△OBD中，PQ是中位线，第27页（共107页）

∴PQ=OB=4，所以抛物线向右平移的距离是4个单位．

5．如图，点P为抛物线y=x2上一动点．

（1）若抛物线y=x2是由抛物线y=（x+2）2﹣1通过图象平移得到的，请写出平移的过程；

（2）若直线l经过y轴上一点N，且平行于x轴，点N的坐标为（0，﹣1），过点P作PM⊥l于M．

①问题探究：如图一，在对称轴上是否存在一定点F，使得PM=PF恒成立？若存在，求出点F的坐标：若不存在，请说明理由．

②问题解决：如图二，若点Q的坐标为（1，5），求QP+PF的最小值．

【解答】解：（1）∵抛物线y=（x+2）2﹣1的顶点为（﹣2，﹣1）

∴抛物线y=（x+2）2﹣1的图象向上平移1个单位，再向右2个单位得到抛物线y=x2的图象．

（2）①存在一定点F，使得PM=PF恒成立． 如图一，过点P作PB⊥y轴于点B

第28页（共107页）

设点P坐标为（a，a2）∴PM=PF=a2+1 ∵PB=a ∴Rt△PBF中 BF=∴OF=1

∴点F坐标为（0，1）②由①，PM=PF

QP+PF的最小值为QP+PM的最小值

当Q、P、M三点共线时，QP+PM有最小值，最小值为点Q纵坐标加M纵坐标的绝对值．

∴QP+PF的最小值为6．

6．已知直线y=x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点，点M在线段OA上，从O点出发，向点A以每秒1个单位的速度匀速运动；同时点N在线段AB上，从点A出发，向点B以每秒速运动，连接MN，设运动时间为t秒（1）求抛物线解析式；

（2）当t为何值时，△AMN为直角三角形；

（3）过N作NH∥y轴交抛物线于H，连接MH，是否存在点H使MH∥AB，若存在，求出点H的坐标，若不存在，请说明理由．

个单位的速度匀

第29页（共107页）

【解答】解：（1）∵直线y=x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，∴点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（0，3）． 将A（﹣3，0）、B（0，3）代入y=x2+bx+c，得：，解得：，∴抛物线解析式为y=x2+4x+3．

（2）当运动时间为t秒时，点M的坐标为（﹣t，0），点N的坐标为（t﹣3，t），∴AM=3﹣t，AN=t．

∵△AMN为直角三角形，∠MAN=45°，∴△AMN为等腰直角三角形（如图1）． 当∠ANM=90°时，有AM=解得：t=1；

当∠AMN=90°时，有t﹣3=﹣t，解得：t=．

综上所述：当t为1秒或秒时，△AMN为直角三角形．（3）设NH与x轴交于点E，如图2所示．

当运动时间为t秒时，点M的坐标为（﹣t，0），点N的坐标为（t﹣3，t），∴点E的坐标为（t﹣3，0），点H的坐标为（t﹣3，t2﹣2t）． ∵MH∥AB，∴∠EMH=45°，∴△EMH为等腰直角三角形，∴ME=HE，即|2t﹣3|=|t2﹣2t|，解得：t1=1，t2=3（舍去），t3=当t=

AN，即3﹣t=2t，t4=﹣（舍去）．

时，点E在点M的右边，点H在x轴下方，第30页（共107页）

∴此时MH⊥AB，∴t=1．

∴存在点H使MH∥AB，点H的坐标为（﹣2，﹣1）．

7．如图，抛物线经过原点O（0，0），点A（1，1），点（1）求抛物线解析式；

（2）连接OA，过点A作AC⊥OA交抛物线于C，连接OC，求△AOC的面积；（3）点M是y轴右侧抛物线上一动点，连接OM，过点M作MN⊥OM交x轴于点N．问：是否存在点M，使以点O，M，N为顶点的三角形与（2）中的△AOC相似，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

．

【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=ax（x﹣），把A（1，1）代入得a•1（1﹣）=1，解得a=﹣，第31页（共107页）

∴抛物线解析式为y=﹣x（x﹣），即y=﹣x2+x；

（2）延长CA交y轴于D，如图1，∵A（1，1），∴OA=，∠DOA=45°，∴△AOD为等腰直角三角形，∵OA⊥AC，∴OD=OA=2，∴D（0，2），易得直线AD的解析式为y=﹣x+2，解方程组∴S△AOC=S△COD﹣S△AOD =×2×5﹣×2×1 =4；（3）存在．

如图2，作MH⊥x轴于H，AC=设M（x，﹣x2+x）（x＞0），∵∠OHM=∠OAC，∴当=时，△OHM∽△OAC，即

=，（舍去），此时M点坐标为（，﹣54）；

=

4，OA=，得

或，则C（5，﹣3），解方程﹣x2+x=4x得x1=0（舍去），x2=﹣解方程﹣x2+x=﹣4x得x1=0（舍去），x2=当=时，△OHM∽△CAO，即=，此时M点的坐标为（，），解方程﹣x2+x=x得x1=0（舍去），x2=

第32页（共107页）

解方程﹣x2+x=﹣x得x1=0（舍去），x2=﹣∵MN⊥OM，∴∠OMN=90°，∴∠MON=∠HOM，∴△OMH∽△ONM，∴当M点的坐标为（，﹣54）或（，此时M点坐标为（，﹣）；）或（，﹣）时，以点O，M，N为顶点的三角形与（2）中的△AOC相似．

8．如图，已知二次函数y=ax2+1（a≠0，a为实数）的图象过点A（﹣2，2），一次函数y=kx+b（k≠0，k，b为实数）的图象l经过点B（0，2）．（1）求a值并写出二次函数表达式；（2）求b值；

（3）设直线l与二次函数图象交于M，N两点，过M作MC垂直x轴于点C，试证明：MB=MC；

（4）在（3）的条件下，请判断以线段MN为直径的圆与x轴的位置关系，并说明理由．

【解答】解：（1）∵二次函数y=ax2+1（a≠0，a为实数）的图象过点A（﹣2，2），第33页（共107页）

∴2=4a+1，解得：a=，∴二次函数表达式为y=x2+1．

（2）∵一次函数y=kx+b（k≠0，k，b为实数）的图象l经过点B（0，2），∴2=k×0+b，∴b=2．

（3）证明：过点M作ME⊥y轴于点E，如图1所示． 设点M的坐标为（x，x2+1），则MC=x2+1，∴ME=|x|，EB=|x2+1﹣2|=|x2﹣1|，∴MB=====x2+1． ∴MB=MC．

（4）相切，理由如下：

过点N作ND⊥x轴于D，取MN的中点为P，过点P作PF⊥x轴于点F，过点N作NH⊥MC于点H，交PF于点Q，如图2所示． 由（3）知NB=ND，∴MN=NB+MB=ND+MC．

∵点P为MN的中点，PQ∥MH，∴PQ=MH．

∵ND∥HC，NH∥DC，且四个角均为直角，∴四边形NDCH为矩形，∴QF=ND，∴PF=PQ+QF=MH+ND=（ND+MH+HC）=（ND+MC）=MN． ∴以MN为直径的圆与x轴相切．

第34页（共107页）

，，9．如图，已知抛物线y=ax2+x+4的对称轴是直线x=3，且与x轴相交于A，B两点（B点在A点右侧）与y轴交于C点．（1）求抛物线的解折式和A、B两点的坐标；

（2）若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），则是否存在一点P，使△PBC的面积最大．若存在，请求出△PBC的最大面积；若不存在，试说明理由；

（3）若M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN=3时，求M点的坐标．

【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+x+4的对称轴是直线x=3，第35页（共107页）

∴﹣=3，解得：a=﹣，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+4． 当y=0时，﹣x2+x+4=0，解得：x1=﹣2，x2=8，∴点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（8，0）．（2）当x=0时，y=﹣x2+x+4=4，∴点C的坐标为（0，4）．

设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0）． 将B（8，0）、C（0，4）代入y=kx+b，解得：，∴直线BC的解析式为y=﹣x+4．

假设存在，设点P的坐标为（x，﹣x2+x+4），过点P作PD∥y轴，交直线BC于点D，则点D的坐标为（x，﹣x+4），如图所示． ∴PD=﹣x2+x+4﹣（﹣x+4）=﹣x2+2x，∴S△PBC=PD•OB=×8•（﹣x2+2x）=﹣x2+8x=﹣（x﹣4）2+16． ∵﹣1＜0，∴当x=4时，△PBC的面积最大，最大面积是16． ∵0＜x＜8，∴存在点P，使△PBC的面积最大，最大面积是16．

（3）设点M的坐标为（m，﹣m2+m+4），则点N的坐标为（m，﹣m+4），∴MN=|﹣m2+m+4﹣（﹣m+4）|=|﹣m2+2m|． 又∵MN=3，∴|﹣m2+2m|=3．

第36页（共107页）

当0＜m＜8时，有﹣m2+2m﹣3=0，解得：m1=2，m2=6，∴点P的坐标为（2，6）或（6，4）； 当m＜0或m＞8时，有﹣m2+2m+3=0，解得：m3=4﹣2，m4=4+

2，﹣1）或（4+2，﹣

﹣1）．，﹣∴点P的坐标为（4﹣2综上所述：M点的坐标为（4﹣2﹣1）．

﹣1）、（2，6）、（6，4）或（4+

210．已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；

（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？

（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

【解答】解：（1）∵抛物线过点B（6，0）、C（﹣2，0），∴设抛物线解析式为y=a（x﹣6）（x+2），第37页（共107页）

将点A（0，6）代入，得：﹣12a=6，解得：a=﹣，所以抛物线解析式为y=﹣（x﹣6）（x+2）=﹣x2+2x+6；

（2）如图1，过点P作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM于点G，设直线AB解析式为y=kx+b，将点A（0，6）、B（6，0）代入，得：，解得：，则直线AB解析式为y=﹣x+6，设P（t，﹣t2+2t+6）其中0＜t＜6，则N（t，﹣t+6），∴PN=PM﹣MN=﹣t2+2t+6﹣（﹣t+6）=﹣t2+2t+6+t﹣6=﹣t2+3t，∴S△PAB=S△PAN+S△PBN =PN•AG+PN•BM =PN•（AG+BM）=PN•OB

=×（﹣t2+3t）×6 =﹣t2+9t =﹣（t﹣3）2+，∴当t=3时，△PAB的面积有最大值；

第38页（共107页）

（3）如图2，∵PH⊥OB于H，∴∠DHB=∠AOB=90°，∴DH∥AO，∵OA=OB=6，∴∠BDH=∠BAO=45°，∵PE∥x轴、PD⊥x轴，∴∠DPE=90°，若△PDE为等腰直角三角形，则PD=PE，设点P的横坐标为a，∴PD=﹣a2+2a+6﹣（﹣a+6）=﹣a2+3a，PE=2|2﹣a|，∴﹣a2+3a=2|2﹣a|，解得：a=4或a=5﹣，3﹣5）． 所以P（4，6）或P（5﹣

11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2﹣x﹣4与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．（1）求点A，B，C的坐标；

（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向B点运动，同时，点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．设运动时间为t秒，求运动时间t为多少秒时，△PBQ的面积S最大，并求出其最大面积；

第39页（共107页）

（3）在（2）的条件下，当△PBQ面积最大时，在BC下方的抛物线上是否存在点M，使△BMC的面积是△PBQ面积的1.6倍？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）当x=0时，y=x2﹣x﹣4=﹣4，∴点C的坐标为（0，﹣4）； 当y=0时，有x2﹣x﹣4=0，解得：x1=﹣2，x2=3，∴点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（3，0）．（2）设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），将B（3，0）、C（0，﹣4）代入y=kx+b，解得：，∴直线BC的解析式为y=x﹣4．

过点Q作QE∥y轴，交x轴于点E，如图1所示，当运动时间为t秒时，点P的坐标为（2t﹣2，0），点Q的坐标为（3﹣t，﹣t），∴PB=3﹣（2t﹣2）=5﹣2t，QE=t，∴S△PBQ=PB•QE=﹣t2+2t=﹣（t﹣）2+． ∵﹣＜0，∴当t=时，△PBQ的面积取最大值，最大值为．

第40页（共107页）

（3）当△PBQ面积最大时，t=，此时点P的坐标为（，0），点Q的坐标为（，﹣1）．

假设存在，设点M的坐标为（m，m2﹣m﹣4），则点F的坐标为（m，m﹣4），∴MF=m﹣4﹣（m2﹣m﹣4）=﹣m2+2m，∴S△BMC=MF•OB=﹣m2+3m．

∵△BMC的面积是△PBQ面积的1.6倍，∴﹣m2+3m=×1.6，即m2﹣3m+2=0，解得：m1=1，m2=2． ∵0＜m＜3，∴在BC下方的抛物线上存在点M，使△BMC的面积是△PBQ面积的1.6倍，点M的坐标为（1，﹣4）或（2，﹣）．

第41页（共107页）

12．综合与探究 如图，抛物线y=

x﹣4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第四象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q，过点P作PE∥AC交x轴于点E，交BC于点F．（1）求A，B，C三点的坐标；

（2）试探究在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请直接写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）请用含m的代数式表示线段QF的长，并求出m为何值时QF有最大值．

【解答】解：（1）当y=0，∴A（﹣3，0），B（4，0），当x=0，y=∴C（0，﹣4）；（2）AC==5，x﹣4=﹣4，x﹣4=0，解得x1=﹣3，x2=4，易得直线BC的解析式为y=x﹣4，设Q（m，m﹣4）（0＜m＜4），当CQ=CA时，m2+（m﹣4+4）2=52，解得m1=点坐标为（，﹣4）；，m2=﹣

（舍去），此时Q当AQ=AC时，（m+3）2+（m﹣4）2=52，解得m1=1，m2=0（舍去），此时Q点坐标为（1，﹣3）；

第42页（共107页）

当QA=QC时，（m+3）2+（m﹣4）2=52，解得m=综上所述，满足条件的Q点坐标为（，（舍去），﹣4）或（1，﹣3）；

（3）解：过点F作FG⊥PQ于点G，如图，则FG∥x轴．由B（4，0），C（0，﹣4）得△OBC为等腰直角三角形

∴∠OBC=∠QFG=45

∴△FQG为等腰直角三角形，∴FG=QG=FQ，∵PE∥AC，PG∥CO，∴∠FPG=∠ACO，∵∠FGP=∠AOC=90°，∴△FGP～△AOC． ∴=，即=，FQ，FQ=

FQ，∴PG=FG=•∴PQ=PG+GQ=∴FQ=PQ，FQ=FQ+设P（m，m2﹣m﹣4）（0＜m＜4），则Q（m，m﹣4），∴PQ=m﹣4﹣（m2﹣m﹣4）=﹣m2+m，∴FQ=∵﹣（﹣m2+m）=﹣＜0，（m﹣2）2+

∴QF有最大值．

∴当m=2时，QF有最大值．

第43页（共107页）

13．已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（0，2）．（1）若点（﹣，0）也在该抛物线上，求a，b满足的关系式；

（2）若该抛物线上任意不同两点M（x1，y1），N（x2，y2）都满足：当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；当0＜x1＜x2时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．以原点O为心，OA为半径的圆与拋物线的另两个交点为B，C，且△ABC有一个内角为60°．

①求抛物线的解析式；

②若点P与点O关于点A对称，且O，M，N三点共线，求证：PA平分∠MPN． 【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c过点A（0，2），∴c=2． 又∵点（﹣∴a（﹣∴2a﹣，0）也在该抛物线上，）+c=0，）2+b（﹣b+2=0（a≠0）．

（2）①∵当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0，∴x1﹣x2＜0，y1﹣y2＜0，∴当x＜0时，y随x的增大而增大； 同理：当x＞0时，y随x的增大而减小，∴抛物线的对称轴为y轴，开口向下，∴b=0．

∵OA为半径的圆与拋物线的另两个交点为B、C，∴△ABC为等腰三角形，又∵△ABC有一个内角为60°，第44页（共107页）

∴△ABC为等边三角形．

设线段BC与y轴交于点D，则BD=CD，且∠OCD=30°，又∵OB=OC=OA=2，∴CD=OC•cos30°=，OD=OC•sin30°=1．，﹣1）． 不妨设点C在y轴右侧，则点C的坐标为（∵点C在抛物线上，且c=2，b=0，∴3a+2=﹣1，∴a=﹣1，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2．

②证明：由①可知，点M的坐标为（x1，﹣直线OM的解析式为y=k1x（k1≠0）． ∵O、M、N三点共线，∴x1≠0，x2≠0，且∴﹣x1+=﹣x2+，，﹣

+2）． =，+2），点N的坐标为（x2，﹣

+2）．

∴x1﹣x2=﹣∴x1x2=﹣2，即x2=﹣∴点N的坐标为（﹣设点N关于y轴的对称点为点N′，则点N′的坐标为（∵点P是点O关于点A的对称点，∴OP=2OA=4，∴点P的坐标为（0，4）． 设直线PM的解析式为y=k2x+4，∵点M的坐标为（x1，﹣∴﹣，﹣+2）．

+2），+2=k2x1+4，第45页（共107页）

∴k2=﹣，∴直线PM的解析式为y=﹣x+4．

∵﹣•+4==﹣+2，∴点N′在直线PM上，∴PA平分∠MPN．

14．如图，已知抛物线y=ax2+bx与x轴分别交于原点O和点F（10，0），与对称轴l交于点E（5，5）．矩形ABCD的边AB在x轴正半轴上，且AB=1，边AD，BC与抛物线分别交于点M，N．当矩形ABCD沿x轴正方向平移，点M，N位于对称轴l的同侧时，连接MN，此时，四边形ABNM的面积记为S；点M，N位于对称轴l的两侧时，连接EM，EN，此时五边形ABNEM的面积记为S．将点A与点O重合的位置作为矩形ABCD平移的起点，设矩形ABCD平移的长度为t（0≤t≤5）．

第46页（共107页）

（1）求出这条抛物线的表达式；（2）当t=0时，求S△OBN的值；

（3）当矩形ABCD沿着x轴的正方向平移时，求S关于t（0＜t≤5）的函数表达式，并求出t为何值时，S有最大值，最大值是多少？

【解答】解：（1）将E（5，5）、F（10，0）代入y=ax2+bx，解得：，∴抛物线的表达式为y=﹣x2+2x．

（2）当t=0时，点B的坐标为（1，0），点N的坐标为（1，），∴BN=，OB=1，∴S△OBN=BN•OB=

．

（3）①当0＜t≤4时（图1），点A的坐标为（t，0），点B的坐标为（t+1，0），∴点M的坐标为（t，﹣t2+2t），点N的坐标为（t+1，﹣（t+1）2+2（t+1）），∴AM=﹣t2+2t，BN=﹣（t+1）2+2（t+1），∴S=（AM+BN）•AB=×1×[﹣t2+2t﹣（t+1）2+2（t+1）]，=﹣t2+t+，=﹣（t﹣）2+∵﹣＜0，∴当t=4时，S取最大值，最大值为；

②当4＜t≤5时（图2），点A的坐标为（t，0），点B的坐标为（t+1，0），第47页（共107页）

∴点M的坐标为（t，﹣t2+2t），点N的坐标为（t+1，﹣（t+1）2+2（t+1）），∴AM=﹣t2+2t，BN=﹣（t+1）2+2（t+1），∴S=（5﹣t）（﹣t2+2t+5）+（t﹣4）[5﹣（t+1）2+2（t+1）]，=（t3﹣3t2+5t+25）+（﹣t3+=﹣=﹣∵﹣t2+t﹣，t2+t﹣），（t﹣）2+＜0，∴当t=时，S取最大值，最大值为∵=＜，．

∴当t=时，S有最大值，最大值是．

15．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三点，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P做x轴的垂线l交抛物线于点Q，交直线BD于点M．（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；

第48页（共107页）

（2）已知点F（0，），当点P在x轴上运动时，试求m为何值时，四边形DMQF是平行四边形？

（3）点P在线段AB运动过程中，是否存在点Q，使得以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）由抛物线过点A（﹣1，0）、B（4，0）可设解析式为y=a（x+1）（x﹣4），将点C（0，2）代入，得：﹣4a=2，解得：a=﹣，则抛物线解析式为y=﹣（x+1）（x﹣4）=﹣x2+x+2；

（2）由题意知点D坐标为（0，﹣2），设直线BD解析式为y=kx+b，将B（4，0）、D（0，﹣2）代入，得：解得：，∴直线BD解析式为y=x﹣2，∵QM⊥x轴，P（m，0），∴Q（m，﹣m2+m+2）、M（m，m﹣2），则QM=﹣m2+m+2﹣（m﹣2）=﹣m2+m+4，第49页（共107页）

∵F（0，）、D（0，﹣2），∴DF=，∵QM∥DF，∴当﹣m2+m+4=时，四边形DMQF是平行四边形，解得：m=﹣1（舍）或m=3，即m=3时，四边形DMQF是平行四边形；

（3）如图所示：

∵QM∥DF，∴∠ODB=∠QMB，分以下两种情况：

①当∠DOB=∠MBQ=90°时，△DOB∽△MBQ，则===，∵∠MBQ=90°，∴∠MBP+∠PBQ=90°，∵∠MPB=∠BPQ=90°，∴∠MBP+∠BMP=90°，∴∠BMP=∠PBQ，∴△MBQ∽△BPQ，∴=，即=，第50页（共107页）

第四篇：2018年中考菱形压轴题

2018年中考菱形 压轴题

一．解答题（共19小题）

1．如图，两个全等的△ABC和△DFE重叠在一起，固定△ABC，将△DEF进行如下变换：

（1）如图1，△DEF沿直线CB向右平移（即点F在线段CB上移动），连接AF、AD、BD．请直接写出S△ABC与S四边形AFBD的关系；

（2）如图2，当点F平移到线段BC的中点时，若四边形AFBD为正方形，那么△ABC应满足什么条件？请给出证明；

（3）在（2）的条件下，将△DEF沿DF折叠，点E落在FA的延长线上的点G处，连接CG，请你在图3的位置画出图形，并求出sin∠CGF的值．

2．如果一条抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以这两个交点和该抛物线的顶点、对称轴上一点为顶点的菱形称为这条抛物线的“抛物菱形”．（1）若抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点为（﹣1，0）、（3，0），且这条抛物线的“抛物菱形”是正方形，求这条抛物线的函数解析式；（2）如图，四边形OABC是抛物线y=﹣x2+bx（b＞0）的“抛物菱形”，且∠OAB=60° ①求“抛物菱形OABC”的面积．

②将直角三角板中含有“60°角”的顶点与坐标原点O重合，两边所在直线与“抛物菱形OABC”的边AB、BC交于E、F，△OEF的面积是否存在最小值，若存在，求出此时△OEF的面积；若不存在，说明理由．

3．如图，二次函数图象的顶点为坐标原点O，y轴为对称轴，且经过点A（3，3），一次函数的图象经过点A和点B（6，0）．（1）求二次函数与一次函数的解析式；

（2）如果一次函数图象与y轴相交于点C，E是抛物线上OA段上一点，过点E作y轴平行的直线DE与直线AC交于点D，∠DOE=∠EDA，求点E的坐标；（3）点M是线段AC延长线上的一个动点，过点M作y轴的平行线交抛物线于F，以点O、C、M、F为顶点的四边形能否为菱形？若能，求出点F的坐标；若不能，请说明理由．

4．如图，在直角梯形AOCB中，AB∥OC，∠AOC=90°，AB=1，AO=2，OC=3，以O为原点，OC、OA所在直线为轴建立坐标系．抛物线顶点为A，且经过点C．点P在线段AO上由A向点O运动，点Q在线段OC上由C向点O运动，QD⊥OC交BC于点D，OD所在直线与抛物线在第一象限交于点E．（1）求抛物线的解析式；

（2）点E′是E关于y轴的对称点，点Q运动到何处时，四边形OEAE′是菱形？（3）点P、Q分别以每秒2个单位和3个单位的速度同时出发，运动的时间为t秒，当t为何值时，PB∥OD？

5．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点A（﹣3，4）、B（﹣3，0）、C（﹣1，0）．以D为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点B．动点P从点D出

发，沿DC边向点C运动，同时动点Q从点B出发，沿BA边向点A运动，点P、Q运动的速度均为每秒1个单位，运动的时间为t秒．过点P作PE⊥CD交BD于点E，过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G．（1）求抛物线的解析式；

（2）当t为何值时，四边形BDGQ的面积最大？最大值为多少？

（3）动点P、Q运动过程中，在矩形ABCD内（包括其边界）是否存在点H，使以B，Q，E，H为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出此时菱形的周长；若不存在，请说明理由．

6．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a交x轴于A、B两点，交y的正半轴于点C，连接BC，且OB=OC．（1）求抛物线的解析式；

（2）如图2，点D为第一象限抛物线上一点，过点D作DE⊥BC于点E，设DE=d，点D的横坐标为t，求d与t的函数关系式；

（3）在（2）的条件下，点F为抛物线的顶点，对称轴交x轴于点G，连接DF，过D作DH⊥DF交FG于点H，点M为对称轴左侧抛物线上一点，点N为平面上一点且tan∠HDN=，当四边形DHMN为菱形时，求点N的坐标．

7．已知抛物线y=ax2+bx+8（a≥1）过点D（5，3），与x轴交于点B、C（点B、C均在y轴右侧）且BC=2，直线BD交y轴于点A．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在坐标轴上是否存在一点N，使△ABN与△BCD相似？若存在，求出点A、N的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）在直线BD上是否存在一点P和平面内一点Q，使以Q、P、B、C四点为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

8．已知，如图，在平面直角坐标系中，△ABC的边BC在x轴上，顶点A在y轴的正半轴上，OA=2，OB=1，OC=4．

（1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；

（2）设点G是对称轴上一点，求当△GAB周长最小时，点G的坐标；

（3）若抛物线对称轴交x轴于点P，在平面直角坐标系中，是否存在点Q，使△PAQ是以PA为腰的等腰直角三角形？若存在，写出所有符合条件的点Q的坐标，并选择其中一个的加以说明；若不存在，说明理由；

（4）设点M是x轴上的动点，试问：在平面直角坐标系中，是否存在点N，使得以点A、B、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由．

9．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，已知OB=OC=6．（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；

（2）连接BD，F为抛物线上一动点，当∠FAB=∠EDB时，求点F的坐标；（3）平行于x轴的直线交抛物线于M、N两点，以线段MN为对角线作菱形MPNQ，当点P在x轴上，且PQ=MN时，求菱形对角线MN的长．

10．如图，抛物线y=ax2﹣2x+c（a≠0）与x轴、y轴分别交于点A，B，C三点，已知点A（﹣2，0），点C（0，﹣8），点D是抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

（2）如图1，抛物线的对称轴与x轴交于点E，第四象限的抛物线上有一点P，将△EBP沿直线EP折叠，使点B的对应点B'落在抛物线的对称轴上，求点P的坐标；

（3）如图2，设BC交抛物线的对称轴于点F，作直线CD，点M是直线CD上的动点，点N是平面内一点，当以点B，F，M，N为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点M的坐标．

11．如图，▱ABCD的两个顶点B，D都在抛物线y=tan∠ACB=．

（1）求抛物线的解析式；

x2+bx+c上，且OB=OC，AB=5，（2）在抛物线上是否存在点E，使以A，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）动点P从点A出发向点D运动，同时动点Q从点C出发向点A运动，运动速度都是每秒1个单位长度，当一个点到达终点时另一个点也停止运动，运动时间为t（秒）．当t为何值时，△APQ是直角三角形？

12．如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为（﹣3，0）、（0，4），抛物线y=x2+bx+c经过B点，且顶点在直线x=上（1）求抛物线对应的函数关系式；

（2）若△DCE是由△ABO沿x轴向右平移得到的，若M点是CD所在指向下方该抛物线上的一个动点，过点M作MN平行于y轴交CD于点N，设点M的横坐标为t，MN的长度为L，求l与t之间的函数关系式，并求l取最大值时，点M的坐标；

（3）△ABO沿x轴向右平移得到△DCE，当四边形ABCD是菱形时，连接BD，点P在抛物线上，若△PBD是以BD为直角边的直角三角形，请求出此时P点的坐标．

13．如图，直线y=x+1与y轴交于A点，过点A的抛物线y=﹣x2+bx+c与直线交于另一点B，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（3，0）．

（1）直接写出抛物线的解析式；

（2）动点P在线段OC上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动，过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N，设点P移动的时间为t秒，MN的长度为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围；（3）设在（2）的条件下（不考虑点P与点O，点C重合的情况），连接CM，BN，当t为何值时，四边形BCMN为平行四边形？对于所求的t值，平行四边形BCMN是否菱形？请说明理由．

14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+

（其中a、b为常数，a≠0）经过点A（﹣1，0）和点B（3，0），且与y轴交于点C，点D为对称轴与直线BC的交点．

（1）求该抛物线的表达式；

（2）抛物线上存在点P，使得△DPB∽△ACB，求点P的坐标；

（3）若点Q为点O关于直线BC的对称点，点M为直线BC上一点，点N为坐标平面内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以Q、B、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

15．如图，对称轴为直线x=的抛物线经过点A（6，0）和B（0，4）．（1）求

抛物线解析式及顶点坐标；

（2）设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形，求四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（3）①当四边形OEAF的面积为24时，请判断OEAF是否为菱形？

②是否存在点E，使四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

（4）在（3）①的条件下，当四边形OEAF为菱形时，设动点P在直线OE下方的抛物线上移动，则点P到直线OE的最大距离是

．

16．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（1，0），B（6，0）和C（0，4）三个点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设点E（m，n）是抛物线上一个动点，且位于第四象限，四边形OEBF是以OB为对角线的平行四边形，求四边形OEBF的面积S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；

（3）当四边形OEBF的面积为24时，请判断四边形OEBF是否为菱形？

17．如图，抛物线y=x2+bx+c与直线l：y=kx+m交于A（4，2）、B（0，﹣1）两点．

（1）求抛物线与直线的解析式；

（2）若点D是直线l下方抛物线上的一动点，过点D作DE∥y轴交直线l于点E，求DE的最大值，并求出此时D的坐标；

（3）在（2）的条件下，DE取最大值时，点P在直线AB上，平面内是否存在点Q，使得以点D、E、P、Q为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由．

18．如图，抛物线y=﹣x2﹣

x+1与y轴交于A点，过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（﹣3，0）．（1）求直线AB的函数关系式；

（2）动点E在线段OC上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动，过点E作EG⊥x轴，交直线AB于点F，交抛物线于点G．设点E移动的时间为t秒，GF的长度为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围；

（3）设在（2）的条件下（不考虑点E与点O、C重合的情况），连接CF，BG，当t为何值时，四边形BCFG为平行四边形？问对于所求的t值，平行四边形BCFG是否菱形？请说明理由．

19．如图，已知抛物线y=ax2+c过点（﹣2，2），（4，5），过定点F（0，2）的直线l：y=kx+2与抛物线交于A、B两点，点B在点A的右侧，过点B作x轴的垂线，垂足为C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点B在抛物线上运动时，判断线段BF与BC的数量关系（＞、＜、=），并证明你的判断；

（3）P为y轴上一点，以B、C、F、P为顶点的四边形是菱形，设点P（0，m），求自然数m的值；

（4）若k=1，在直线l下方的抛物线上是否存在点Q，使得△QBF的面积最大？若存在，求出点Q的坐标及△QBF的最大面积；若不存在，请说明理由．

2018年04月19日191****7496的初中数学组卷

参考答案与试题解析

一．解答题（共19小题）

1．如图，两个全等的△ABC和△DFE重叠在一起，固定△ABC，将△DEF进行如下变换：

（1）如图1，△DEF沿直线CB向右平移（即点F在线段CB上移动），连接AF、AD、BD．请直接写出S△ABC与S四边形AFBD的关系；

（2）如图2，当点F平移到线段BC的中点时，若四边形AFBD为正方形，那么△ABC应满足什么条件？请给出证明；

（3）在（2）的条件下，将△DEF沿DF折叠，点E落在FA的延长线上的点G处，连接CG，请你在图3的位置画出图形，并求出sin∠CGF的值．

【解答】解：（1）S△ABC=S四边形AFBD，理由：由题意可得：AD∥EC，则S△ADF=S△ABD，故S△ACF=S△ADF=S△ABD，则S△ABC=S四边形AFBD；

（2）△ABC为等腰直角三角形，即：AB=AC，∠BAC=90°，理由如下：∵F为BC的中点，∴CF=BF，∵CF=AD，∴AD=BF，又∵AD∥BF，∴四边形AFBD为平行四边形，∵AB=AC，F为BC的中点，∴AF⊥BC，∴平行四边形AFBD为矩形，∵∠BAC=90°，F为BC的中点，∴AF=BC=BF，∴四边形AFBD为正方形；

（3）如图3所示：

由（2）知，△ABC为等腰直角三角形，AF⊥BC，设CF=k，则GF=EF=CB=2k，由勾股定理得：CG=sin∠CGF===

k，．

2．如果一条抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以这两个交点和该抛物线的顶点、对称轴上一点为顶点的菱形称为这条抛物线的“抛物菱形”．（1）若抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点为（﹣1，0）、（3，0），且这条抛物线的“抛物菱形”是正方形，求这条抛物线的函数解析式；（2）如图，四边形OABC是抛物线y=﹣x2+bx（b＞0）的“抛物菱形”，且∠OAB=60° ①求“抛物菱形OABC”的面积．

②将直角三角板中含有“60°角”的顶点与坐标原点O重合，两边所在直线与“抛物菱形OABC”的边AB、BC交于E、F，△OEF的面积是否存在最小值，若存在，求出此时△OEF的面积；若不存在，说明理由．

【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点为（﹣1，0）、（3，0），四边形OABC是正方形，∴A（1，2）或（1，﹣2），当A（1，2）时，解得：

当A（1，﹣2）时解得

∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+或y=x2﹣x﹣；（2）①∵由抛物线y=﹣x2+bx（b＞0）可知OB=b，∵∠OAB=60°，∴A（，b），b=﹣（）2+b，解得：b=

2，代入y=﹣x2+bx得：∴OB=2，AC=6，∴“抛物菱形OABC”的面积=OB•AC=6②存在；

；

当三角板的两边分别垂直与AB和BC时三角形OEF的面积最小，∵OE⊥AB，∴∠EOB==30°，同理∠BOF=30°，∵∠EOF=60°

∴OB垂直EF且平分EF，∴三角形OEF是等边三角形，∵OB=2∴OE=3，∴OE=OF=EF=3，∴△OEF的面积=

3．如图，二次函数图象的顶点为坐标原点O，y轴为对称轴，且经过点A（3，3），一次函数的图象经过点A和点B（6，0）．（1）求二次函数与一次函数的解析式；

（2）如果一次函数图象与y轴相交于点C，E是抛物线上OA段上一点，过点E作y轴平行的直线DE与直线AC交于点D，∠DOE=∠EDA，求点E的坐标；（3）点M是线段AC延长线上的一个动点，过点M作y轴的平行线交抛物线于F，以点O、C、M、F为顶点的四边形能否为菱形？若能，求出点F的坐标；若不能，请说明理由．

．，【解答】解：（1）设二次函数的解析式为y=ax2，把点A（3，3）代入得3=a×32，解得a=； 设一次函数的解析式为y=kx+b，把点A（3，3）、点B（6，0）代入得，解得，所以二次函数与一次函数的解析式分别为y=x2，y=﹣x+6；

（2）C点坐标为（0，6），∵DE∥y轴，∴∠ODE=∠COD，∠EDA=∠OCD，∵∠DOE=∠EDA，∴∠DOE=∠OCD，∴△OCD∽△DOE，∴OC：OD=OD：DE，即OD2=OC•DE，设E点坐标为（a，a2），则D点坐标为（a，6﹣a），OD2=a2+（6﹣a）2，=2a2﹣12a+36，OC=6，DE=6﹣a﹣a2，∴2a2﹣12a+36=6（6﹣a﹣a2），解得a1=0，a2=，∵E是抛物线上OA段上一点，∴0＜a＜3，∴a=，∴点E坐标为（，）；

（3）以点O、C、M、F为顶点的四边形不能为菱形．理由如下：

如图，过O点作OF∥AC交抛物线于F，过F点作FM∥y轴交AC延长线于M点，交x轴于H点，则四边形OCMF为平行四边形，∵OC=OB=6，∴△OCB为等腰直角三角形，∴∠OBC=45°，∴∠HOF=45°，∴△OHF为等腰直角三角形，∴HO=HF，设F点坐标为（m，﹣m）（m＞0），把F（m，﹣m）代入y=x2得﹣m=m2，解得m1=0，m2=﹣3，∴m=﹣3，∴HO=HF=3，∴OF=OH=3，而OC=6，∴四边形OCMF不为菱形．

4．如图，在直角梯形AOCB中，AB∥OC，∠AOC=90°，AB=1，AO=2，OC=3，以O为原点，OC、OA所在直线为轴建立坐标系．抛物线顶点为A，且经过点C．点P在线段AO上由A向点O运动，点Q在线段OC上由C向点O运动，QD⊥OC交BC于点D，OD所在直线与抛物线在第一象限交于点E．（1）求抛物线的解析式；

（2）点E′是E关于y轴的对称点，点Q运动到何处时，四边形OEAE′是菱形？（3）点P、Q分别以每秒2个单位和3个单位的速度同时出发，运动的时间为t秒，当t为何值时，PB∥OD？

【解答】解：（1）∵A（0，2）为抛物线的顶点，∴设y=ax2+2，∵点C（3，0），在抛物线上，∴9a+2=0，解得：a=﹣，∴抛物线为；y=﹣x2+2；

（2）如果四边形OEAE′是菱形，则AO与EE′互相垂直平分，∴EE′经过AO的中点，∴点E纵坐标为1，代入抛物线解析式得： 1=﹣x2+2，解得：x=±，∵点E在第一象限，∴点E为（，1），设直线BC的解析式为y=kx+b，把B（1，2），C（3，0），代入得：，解得：，∴BC的解析式为：y=﹣x+3，将E点代入y=ax，可得出EO的解析式为：y=由，x，得：，∴Q点坐标为：（∴当Q点坐标为（，0），0）时，四边形OEAE′是菱形；

（3）法一：设t为m秒时，PB∥DO，又QD∥y轴，则有∠APB=∠AOE=∠ODQ，又∵∠BAP=∠DQO，则有△APB∽△QDO，∴=，由题意得：AB=1，AP=2m，QO=3﹣3m，又∵点D在直线y=﹣x+3上，∴DQ=3m，因此：=，解得：m=，经检验：m=是原分式方程的解，∴当t=秒时，PB∥OD．

法二：作BH⊥OC于H，则BH=AO=2，OH=AB=1，HC=OC﹣OH=2，∴BH=HC，∴∠BCH=∠CBH=45°，易知DQ=CQ，设t为m秒时PB∥OE，则△ABP∽△QOD，∴∴==，易知AP=2m，DQ=CQ=3m，QO=3﹣3m，解得m=，经检验m=是方程的解，∴当t为秒时，PB∥OD．

5．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点A（﹣3，4）、B（﹣3，0）、C（﹣1，0）．以D为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点B．动点P从点D出发，沿DC边向点C运动，同时动点Q从点B出发，沿BA边向点A运动，点P、Q运动的速度均为每秒1个单位，运动的时间为t秒．过点P作PE⊥CD交BD于点E，过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G．（1）求抛物线的解析式；

（2）当t为何值时，四边形BDGQ的面积最大？最大值为多少？

（3）动点P、Q运动过程中，在矩形ABCD内（包括其边界）是否存在点H，使以B，Q，E，H为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出此时菱形的周长；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）由题意得，顶点D点的坐标为（﹣1，4）． 设抛物线的解析式为y=a（x+1）2+4（a≠0），∵抛物线经过点B（﹣3，0），代入y=a（x+1）2+4 可求得a=﹣1

∴抛物线的解析式为y=﹣（x+1）2+4，即y=﹣x2﹣2x+3．

（2）由题意知，DP=BQ=t，∵PE∥BC，∴△DPE∽△DBC． ∴==2，∴PE=DP=t．

∴点E的横坐标为﹣1﹣t，AF=2﹣t．

将x=﹣1﹣t代入y=﹣（x+1）2+4，得y=﹣t2+4． ∴点G的纵坐标为﹣t2+4，∴GE=﹣t2+4﹣（4﹣t）=﹣t2+t． 如图1所示：连接BG．

S四边形BDGQ=S△BQG+S△BEG+S△DEG，即S四边形BDGQ=BQ•AF+EG•（AF+DF）=t（2﹣t）﹣t2+t． =﹣t2+2t=﹣（t﹣2）2+2．

∴当t=2时，四边形BDGQ的面积最大，最大值为2．（3）存在． ∵CD=4，BC=2，∴tan∠BDC=，BD=2∴cos∠BDC=∵BQ=DP=t，∴DE=t． ．

．

如图2所示：当BE和BQ为菱形的邻边时，BE=QB．

∵BE=BD﹣DE，∴BQ=BD﹣DE，即t=

2﹣

t，解得t=20﹣8．

．

∴菱形BQEH的周长=80﹣32如图3所示：当BE为菱形的对角时，则BQ=QE，过点Q作QM⊥BE，则BM=EM．

∵MB=cos∠QBM•BQ，∴MB=∴BE=t． t．

∵BE+DE=BD，∴t+t=2，解得：t=

．

或80﹣32

．

．

∴菱形BQEH的周长为综上所述，菱形BQEH的周长为

6．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a交x轴于A、B两点，交y的正半轴于点C，连接BC，且OB=OC．（1）求抛物线的解析式；

（2）如图2，点D为第一象限抛物线上一点，过点D作DE⊥BC于点E，设DE=d，点D的横坐标为t，求d与t的函数关系式；

（3）在（2）的条件下，点F为抛物线的顶点，对称轴交x轴于点G，连接DF，过D作DH⊥DF交FG于点H，点M为对称轴左侧抛物线上一点，点N为平面上一点且tan∠HDN=，当四边形DHMN为菱形时，求点N的坐标．

【解答】解：（1）对于抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a，令y=0，得到ax2﹣2ax﹣3a=0，解得x=﹣1或3，∴A（﹣1，0），B（3，0），∴OA=1，OB=OC=3，∴C（0，3），∴﹣3a=3，∴a=﹣1，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．

（2）如图2中，作DT⊥AB于T，交BC于R．设D（t，﹣t2+2t+3）．

∵OB=OC，∠BOC=∠RTB=90°，∴∠OBC=∠TRB=∠DRE=45°，∵DE⊥BC，∴∠DER=90°，∴△DER是等腰直角三角形，∵直线BC的解析式为y=﹣x+3，∴R（t，﹣t+3），∴DR=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t，∴DE=DR•cos45°=﹣

t2+

t．

（3）如图3中，∵四边形DHMN是菱形，点H在对称轴上，∴D、M关于对称轴对称，点N在对称轴上，设DM交FH于Q，作HK⊥DN于K． ∵tan∠HDK==，设HK=12k，DK=5k，则DH=

=13k，∴DN=DH=13k，NK=DN﹣DK=8k，在Rt△NHK中，NH=∴QN=QH=2k，=

=

4k，∵S△DNH=•NH•DQ=•DN•HK，∴DQ=3，=，∴tan∠QDH=

∵DF⊥DH，∴∠QDH+∠FDQ=90°，∵∠QFD+∠FDQ=90°，∴∠DFQ=∠QDH，∴tan∠DFQ==，∵抛物线的顶点F（1，4），Q（1，﹣t2+2t+3），∴FQ=4﹣（﹣t2+2t+3），∴解得t=，∴D（，），∴DQ=﹣1=，∵=，=，∴QN=1，∴N（1，7．已知抛物线y=ax2+bx+8（a≥1）过点D（5，3），与x轴交于点B、C（点B、C均在y轴右侧）且BC=2，直线BD交y轴于点A．（1）求抛物线的解析式；

（2）在坐标轴上是否存在一点N，使△ABN与△BCD相似？若存在，求出点A、N的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）在直线BD上是否存在一点P和平面内一点Q，使以Q、P、B、C四点为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．）．

【解答】解：

（1）设B点坐标为（x1，0），C点坐标为（x2，0），则x1、x2是方程ax2+bx+8=0的两根，∴x1+x2=﹣，x1x2=，∵BC=|x1﹣x2|=2，∴（x1﹣x2）2=4，即（x1+x2）2﹣4x1x2=4，∴﹣=4①，把D点坐标代入抛物线解析式可得25a+5b+8=3②，由①②可解得或（舍去），∴抛物线解析式为y=x2﹣6x+8；

（2）在y=x2﹣6x+8中，令y=0可得x2﹣6x+8=0，解得x=2或x=4，∴B（2，0），C（4，0），设直线BD解析式为y=kx+s，把B、D坐标代入可得∴直线BD解析式为y=x﹣2，∴A（0，﹣2），①当点N在x轴上时，设N（x，0），则点N应在点B左侧，∴BN=2﹣x，∵A（0，﹣2），B（2，0），D（5，3），∴AB=2，BD=3，解得，∵∠ABN=∠DBC，∴有△BCD∽△BNA或△BCD∽△BAN，当△BCD∽△BNA时，则有（，0）；

=，即

=，解得x=，此时N点坐标为

当△BCD∽△BAN时，则有为（﹣4，0）；

=，即=，解得x=﹣4，此时N点坐标②当点N在y轴上时，设N（0，y），则点N应在A点上方，∴AN=y+2，由上可知有△BCD∽△ABN或△BCD∽△ANB，当△BCD∽△ABN时，则有（0，4）；

当△BCD∽△ANB时，则有为（0，）；

综上可知存在满足条件的N点，其坐标为（，0）或（﹣4，0）或（0，4）或（0，）；

=，即=，解得y=4，此时N点坐标为

=，即=，解得y=﹣，此时N点坐标（3）∵点P在直线BD上，∴可设P（t，t﹣2），∴BP=

=

|t﹣2|，PC=

=，∵以Q、P、B、C四点为顶点的四边形为菱形，∴有BC为边或BC为对角线，当BC为边时，则有BP=BC，即坐标为（2+，）或（2﹣

|t﹣2|=2，解得t=2+，）； |t﹣2|=，解得t=3，此时P或t=2﹣，此时P点当BC为对角线时，则有BP=PC，即点坐标为（3，1）；

综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（2+1）．，）或（2﹣，）或（3，8．已知，如图，在平面直角坐标系中，△ABC的边BC在x轴上，顶点A在y轴的正半轴上，OA=2，OB=1，OC=4．

（1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；

（2）设点G是对称轴上一点，求当△GAB周长最小时，点G的坐标；

（3）若抛物线对称轴交x轴于点P，在平面直角坐标系中，是否存在点Q，使△PAQ是以PA为腰的等腰直角三角形？若存在，写出所有符合条件的点Q的坐标，并选择其中一个的加以说明；若不存在，说明理由；

（4）设点M是x轴上的动点，试问：在平面直角坐标系中，是否存在点N，使得以点A、B、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由．

【解答】解：（1）由题意可求，A（0，2），B（﹣1，0），点C的坐标为（4，0）． 设过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=a（x﹣4）（x+1），把点A（0，2）代入，解得：a=﹣，所以抛物线的解析式为：y=﹣（x﹣4）（x+1）=（2）如图1，物线y=的对称轴为：x=，由点C是点B关于直线：x=的对称点，所以直线AC和直线x=的交点即为△GAB周长最小时的点G，设直线AC的解析式为：y=mx+n，把A（0，2），点C（4，0）代入得：．，解得：所以：y=，x+2，当x=时，y=，所以此时点G（，）；（3）如图2

使△PAQ是以PA为腰的等腰直角三角形的所有符合条件的点Q的坐标：Q1（，），Q2（，﹣），Q3（2，），Q4（﹣2，），证明Q1：过点Q1作Q1M⊥x轴，垂足为M，由题意：∠APQ1=90°，AP=PQ1，∴∠APO+∠MPQ1=90°，∵∠APO+∠PAO=90°，∴∠PAO=∠MPQ1，在△AOP和△MPQ1中，∴△AOP≌△MPQ1，∴PM=AO=2，Q1M=OP=，∴OM=，此时点Q的坐标为：（，）；（4）存在

点N的坐标为：（0，﹣2），（9．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，已知OB=OC=6．（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；

（2）连接BD，F为抛物线上一动点，当∠FAB=∠EDB时，求点F的坐标；（3）平行于x轴的直线交抛物线于M、N两点，以线段MN为对角线作菱形MPNQ，当点P在x轴上，且PQ=MN时，求菱形对角线MN的长．，2），（﹣，2），（，2）．

【解答】解：（1）∵OB=OC=6，∴B（6，0），C（0，﹣6），∴，解得，∴抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣6，∵y=x2﹣2x﹣6=（x﹣2）2﹣8，∴点D的坐标为（2，﹣8）；

（2）如图1，过F作FG⊥x轴于点G，设F（x，x2﹣2x﹣6），则FG=|x2﹣2x﹣6|，在y=x2﹣2x﹣6中，令y=0可得x2﹣2x﹣6=0，解得x=﹣2或x=6，∴A（﹣2，0），∴OA=2，则AG=x+2，∵B（6，0），D（2，﹣8），∴BE=6﹣2=4，DE=8，当∠FAB=∠EDB时，且∠FGA=∠BED，∴△FAG∽△BDE，∴=，即

==，当点F在x轴上方时，则有点坐标为（7，）；

=，解得x=﹣2（舍去）或x=7，此进F当点F在x轴下方时，则有F点坐标为（5，﹣）；

=﹣，解得x=﹣2（舍去）或x=5，此进综上可知F点的坐标为（7，）或（5，﹣）；

（3）∵点P在x轴上，∴由菱形的对称性可知P（2，0），如图2，当MN在x轴上方时，设T为菱形对角线的交点，∵PQ=MN，∴MT=2PT，设PT=n，则MT=2n，∴M（2+2n，n），∵M在抛物线上，∴n=（2+2n）2﹣2（2+2n）﹣6，解得n=∴MN=2MT=4n=+1；

或n=

（舍去），当MN在x轴下方时，同理可设PT=n，则M（2+2n，﹣n），∴﹣n=（2+2n）2﹣2（2+2n）﹣6，解得n=∴MN=2MT=4n=﹣1；

+1或

﹣1．

或n=

（舍去），综上可知菱形对角线MN的长为

10．如图，抛物线y=ax2﹣2x+c（a≠0）与x轴、y轴分别交于点A，B，C三点，已知点A（﹣2，0），点C（0，﹣8），点D是抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

（2）如图1，抛物线的对称轴与x轴交于点E，第四象限的抛物线上有一点P，将△EBP沿直线EP折叠，使点B的对应点B'落在抛物线的对称轴上，求点P的坐标；

（3）如图2，设BC交抛物线的对称轴于点F，作直线CD，点M是直线CD上的动点，点N是平面内一点，当以点B，F，M，N为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点M的坐标．

【解答】解：（1）将点A、点C的坐标代入抛物线的解析式得：解得：a=1，c=﹣8．

∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣8． ∵y=（x﹣1）2﹣9，∴D（1，﹣9）．

（2）将y=0代入抛物线的解析式得：x2﹣2x﹣8=0，解得x=4或x=﹣2，∴B（4，0）． ∵y=（x﹣1）2﹣9，∴抛物线的对称轴为x=1，∴E（1，0）．

∵将△EBP沿直线EP折叠，使点B的对应点B'落在抛物线的对称轴上，∴EP为∠BEF的角平分线． ∴∠BEP=45°．

设直线EP的解析式为y=﹣x+b，将点E的坐标代入得：﹣1+b=0，解得b=1，∴直线EP的解析式为y=﹣x+1．

将y=﹣x+1代入抛物线的解析式得：﹣x+1=x2﹣2x﹣8，解得：x=x=．

或，∵点P在第四象限，∴x=∴y=． ．

∴P（，）．

（3）设CD的解析式为y=kx﹣8，将点D的坐标代入得：k﹣8=﹣9，解得k=﹣1，∴直线CD的解析式为y=﹣x﹣8．

设直线CB的解析式为y=k2x﹣8，将点B的坐标代入得：4k2﹣8=0，解得：k2=2． ∴直线BC的解析式为y=2x﹣8．

将x=1代入直线BC的解析式得：y=﹣6，∴F（1，﹣6）．

设点M的坐标为（a，﹣a﹣8）．

当MF=MB时，（a﹣4）2+（a+8）2=（a﹣1）2+（a+2）2，整理得：6a=﹣75，解得：a=﹣．，）． ∴点M的坐标为（﹣当FM=FB时，（a﹣1）2+（a+2）2=（4﹣1）2+（﹣6﹣0）2，整理得：a2+a﹣20=0，解得：a=4或a=﹣5．

∴点M的坐标为（4，﹣12）或（﹣5，﹣3）． 综上所述，点M的坐标为（﹣

11．如图，▱ABCD的两个顶点B，D都在抛物线y=tan∠ACB=．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线上是否存在点E，使以A，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）动点P从点A出发向点D运动，同时动点Q从点C出发向点A运动，运动速度都是每秒1个单位长度，当一个点到达终点时另一个点也停止运动，运动时间为t（秒）．当t为何值时，△APQ是直角三角形？

x2+bx+c上，且OB=OC，AB=5，）或（4，﹣12）或（﹣5，﹣3）．

【解答】解：（1）∵OB=OC，OA⊥BC，AB=5，∴AB=AC=5． ∴tan∠ACB=∴． =，由勾股定理，得OA2+OC2=AC2，∴（∴）2+OC2=52，解得OC=±4（负值舍去）．，OB=OC=4，AD=BC=8．

∴A（0，3），B（﹣4，0），C（4，0），D（8，3）．

∴

解之得，x2+x+5； ∴抛物线的解析式为y=

（2）存在．

∵四边形ABCD为平行四边形，∴AC=AB=CD． 又∵AD≠CD，∴当以A，C，D，E为顶点的四边形是菱形时，AC=CD=DE=AE． 由对称性可得，此时点E的坐标为（4，6）当x=4时，y=x2+x+5=6，所以点（4，6）在抛物线y=

x2+x+5上．

∴存在点E的坐标为（4，6）；

（3）∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB＜90°．

∴当△APQ是直角三角形时，∠APQ=90°或∠AQP=90°． ∵∴．，由题意可知AP=t，AQ=5﹣t，0≤t≤5． 当∠APQ=90°时，∴解得，．，．，当∠AQP=90°时，∴∵∴或，解得，．

12．如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为（﹣3，0）、（0，4），抛物线y=x2+bx+c经过B点，且顶点在直线x=上（1）求抛物线对应的函数关系式；

（2）若△DCE是由△ABO沿x轴向右平移得到的，若M点是CD所在指向下方该抛物线上的一个动点，过点M作MN平行于y轴交CD于点N，设点M的横坐标为t，MN的长度为L，求l与t之间的函数关系式，并求l取最大值时，点

M的坐标；

（3）△ABO沿x轴向右平移得到△DCE，当四边形ABCD是菱形时，连接BD，点P在抛物线上，若△PBD是以BD为直角边的直角三角形，请求出此时P点的坐标．

【解答】解：（1）∵抛物线顶点在直线x=上，∴﹣=，解得b=﹣∵抛物线y=x2+bx+c经过点B（0，4），∴c=4，∴抛物线对应的函数关系式为y=x2﹣

x+4；

（2）设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），则 解得，所以，直线AB的解析式为y=x+4，当过点M平行于AB的直线与抛物线只有一个交点时，点M到CD的距离最大，此时MN的值最大，此时，设过点M的直线解析式为y=x+m，联立，消掉y得，x2﹣x+4=x+m，整理得，2x2﹣14x+12﹣3m=0，△=b2﹣4ac=（﹣14）2﹣4×2×（12﹣3m）=0，解得m=﹣此时，x=﹣y=×﹣，=，=，）使MN的值最大． 所以，点M（（3）四边形ABCD是菱形时，点C、D在该抛物线上． 理由如下：∵A（﹣3，0），B（0，4），∴OA=3，OB=4，∴AB==5，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=AD=5，∴D（2，0），∴直线BD的解析式为y=﹣2x+4，①当B为Rt△PBD 直角顶点时，直线PB的解析式为y=x+4，由解得或，∴P（，）．

②当D为Rt△PBD 直角顶点时，直线PD的解析式为y=x﹣1，由解得或，∴P（，），）或（，）． 综上所述，满足条件的点P坐标为（13．如图，直线y=x+1与y轴交于A点，过点A的抛物线y=﹣x2+bx+c与直线交于另一点B，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（3，0）．（1）直接写出抛物线的解析式；

（2）动点P在线段OC上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动，过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N，设点P移动的时间为t秒，MN的长度为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围；（3）设在（2）的条件下（不考虑点P与点O，点C重合的情况），连接CM，BN，当t为何值时，四边形BCMN为平行四边形？对于所求的t值，平行四边形BCMN是否菱形？请说明理由．

【解答】解：（1）∵BC⊥x轴，垂足为点C，C（3，0），∴B的横坐标为3．

将x=3代入y=x+1得：y=． ∴B（3，）．

将x=0代入y=x+1得：y=1． ∴A（0，1）．

将点A和点B的坐标代入得：∴抛物线的解析式为y=﹣x2+，解得：b=

x+1．，c=1．

（2）设点P的坐标为（t，0），则N（t，﹣t2+∴S=（﹣t2+

t+1），M（t，t+1）．

t+1）﹣（t+1）=﹣t2+

t．（0＜t＜3）．

（3）∵MN∥BC，∴当MN=NB时，四边形BCMN为平行四边形． ∴﹣t2+t=，解得t=1或t=2．

∴当t=1或t=2时，四边形BCMN为平行四边形． 当t=1时，M（1，）．

依据两点间的距离公式可知：MC=∴MN=MC．

∴四边形BCMN为菱形． 当t=2时，M（2，2），则MC=∴MC≠MN．

∴此时四边形BCMN不是菱形．

综上所述，当t=1时，四边形BCMN为菱形．

14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+

（其中a、b为常数，a≠

=

． =．

0）经过点A（﹣1，0）和点B（3，0），且与y轴交于点C，点D为对称轴与直线BC的交点．

（1）求该抛物线的表达式；

（2）抛物线上存在点P，使得△DPB∽△ACB，求点P的坐标；

（3）若点Q为点O关于直线BC的对称点，点M为直线BC上一点，点N为坐标平面内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以Q、B、M、N为顶点的四

边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y=ax2+bx+

中，得：，解得：，∴该抛物线的表达式为y=﹣

x2+

x+．

（2）当x=0时，y=∴C（0，），．

∵A（﹣1，0）、B（3，0），∴AB=4，AC=2，BC=2∵AB2=AC2+BC2，∴∠ACB=90°，∴△ABC为直角三角形．且∠ABC=30°，设直线BC的解析式为y=kx+将点B（3，0）代入y=kx+得：0=3k+，解得：k=﹣，中，x+

．，∴直线BC的解析式为y=﹣当x=1时，y=∴D（1，）．，设点P的坐标为（m，﹣

m2+

m+），如图1，过点P作PE⊥OB于点E，则BE=3﹣m，PE=﹣在Rt△ABC中，∵△DPB∽△ACB，∴∠ABC=∠DBP=30°，∴∠PBE=60°，则tan∠PBE=，即

m2+

m+，=，解得：m=2或m=3（舍），∴点P的坐标为（2，）．

（3）根据题意，如图2，直线BC垂直平分OQ，且kBC=﹣，∴kOQ=，x，点Q的坐标为（a，a），a），设直线OQ解析式为y=则OQ的中点F坐标为（a，将点Q代入直线BC的解析式为y=﹣解得：a=，∴Q（，则BQ=），=3，x+，得：﹣a+=a，①当BQ是四边形BQNM的边时，∵四边形BQNM是菱形，∴NQ∥BC，且NQ=BQ，∴kNQ=kBC=﹣，（x﹣）+，即y=﹣

x+

2，∴直线NQ解析式为y=﹣设N（m，﹣m+2），由NQ=BQ，即NQ2=BQ2可得（m﹣）2+（﹣解得：m=，）、（m+2﹣）2=9，此时点N的坐标为（若MQ∥BN，且BN=BQ，）；

根据菱形的性质可知BM垂直平分NQ，∴点N与点O重合，即N（0，0）； ②当BQ为四边形BMQN的对角线时，∵四边形BMQN是菱形，∴BQ、MN互相垂直平分，由B（3，0）、Q（，∴kMN=则yMN=，（x﹣）+

=

x，）可得yBQ=﹣

x+

3，BQ中点H（，），由可得点M（，），设点N坐标为（m，n），由M、N的中点H（，）可得：，解得：，即点N的坐标为（3，综上，点N的坐标为（（3，）．），）或（，）或（0，0）或15．如图，对称轴为直线x=的抛物线经过点A（6，0）和B（0，4）．（1）求抛物线解析式及顶点坐标；

（2）设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形，求四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（3）①当四边形OEAF的面积为24时，请判断OEAF是否为菱形？

②是否存在点E，使四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

（4）在（3）①的条件下，当四边形OEAF为菱形时，设动点P在直线OE下方的抛物线上移动，则点P到直线OE的最大距离是 0.1 ．

【解答】解：（1）由题可设抛物线的解析式为y=a（x﹣）2+k，∵抛物线经过点A（6，0）和B（0，4），∴．

解得；．

∴抛物线的解析式为y=（x﹣）2﹣，此时顶点坐标为（，﹣）．

（2）过点E作EH⊥OA，垂足为H，如图1，由（x﹣）2﹣=0得x1=1，x2=6．

∵点E（x，y）是抛物线上位于第四象限一动点，∴1＜x＜6，﹣≤y＜0．

∵四边形OEAF是平行四边形，∴△OAE≌△AOF．

∴S=2S△OAE=2×OA•EH=OA•EH =﹣6y

=﹣6×[（x﹣）2﹣=﹣4（x﹣）2+25．

∴四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式为S=﹣4（x﹣）2+25，其中1＜x＜6．

]

（3）①当S=24时，﹣4（x﹣）2+25=24，解得x1=4，x2=3． Ⅰ．当x=4时，y=×（4﹣）2﹣

=﹣4，则点E（4，﹣4）．

过点E作EH⊥x轴，垂足为H，如图2，则有OH=4，EH=4，AH=2． ∵EH⊥x轴，∴OE=4，AE=2．

∴OE≠AE．

∴平行四边形OEAF不是菱形． Ⅱ．当x=3时，y=×（3﹣）2﹣

=﹣4，则点E（3，﹣4）．

过点E作EH⊥x轴，垂足为H，如图3，则有OH=3，EH=4，AH=3． ∵EH⊥x轴，∴OE=5，AE=5． ∴OE=AE．

∴平行四边形OEAF是菱形．

综上所述；当点E为（4，﹣4）时，平行四边形OEAF不是菱形；当点E为（3，﹣4）时，平行四边形OEAF是菱形． ②不存在点E，使四边形OEAF为正方形． 理由如下：

当点E在线段OA的垂直平分线上时，EO=EA，则平行四边形OEAF是菱形，如图4，此时，xE==3，yE=﹣4，点E为（3，﹣4）．

则有OA=6，EF=8． ∵OA≠EF，∴菱形OEAF不是正方形．

∴不存在点E，使四边形OEAF为正方形．

（4）在（3）①的条件下，当四边形OEAF为菱形时，点E的坐标为（3，﹣4）． 设直线OE的解析式为y=mx，则有3m=﹣4，解得m=﹣． ∴直线OE的解析式为y=﹣x．

设与直线OE平行且与抛物线y=（x﹣）2﹣x+n，相切的直线l的解析式为y=﹣

∴方程（x﹣）2﹣=﹣x+n即2x2﹣10x+12﹣3n=0有两个相等的实数根．

∴（﹣10）2﹣4×2×（12﹣3n）=0． 解得：n=﹣．

∴直线l的解析式为y=﹣x﹣．

设直线l与x轴、y轴分别相交于点M、N，过点O作OG⊥MN．垂足为G，如图5，由﹣x﹣=0得x=﹣，则点M（﹣，0）；由x=0得y=﹣，则点N（0，﹣）． 在Rt△MON中，∵OM=，ON=，∴MN=∴OG===0.1．

．

∴直线OA与直线l之间的距离是0.1． ∴点P到直线OE的最大距离是0.1． 故答案为：0.1．

16．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（1，0），B（6，0）和C（0，4）三个点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设点E（m，n）是抛物线上一个动点，且位于第四象限，四边形OEBF是以OB为对角线的平行四边形，求四边形OEBF的面积S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；

（3）当四边形OEBF的面积为24时，请判断四边形OEBF是否为菱形？

【解答】（1）解：∵把A（1，0），B（6，0），C（0，4）代入y=ax2+bx+c得：解得：a=，b=﹣，c=4，x+4．，∴抛物线的解析式是y=x2﹣

（2）解：∵E在抛物线y=x2﹣

x+4上，E（m，n），∴E的坐标是（m，m2﹣

m+4），∵E在第四象限，且四边形OEBF是平行四边形，OB为对角线，∴平行四边形OEBF的面积等于2S△OBE，即S=2××OB×（﹣n），∴S=2××6×（﹣m2+∵A（1，0），B（6，0），∴m的范围是1＜m＜6，答：四边形OEBF的面积S与m之间的函数关系式是S=﹣4m2+28m﹣24，自变量m的取值范围是1＜m＜6．

m﹣4）=﹣4m2+28m﹣24，（3）解：根据题意得：S=﹣4m2+28m﹣24=24，即m2﹣7m+12=0，解得：m=3，m=4，当m=3时，y=x2﹣当m=4时，y=x2﹣

x+4=﹣4，x+4=﹣4，=5，∵当O（0，0），E（3，﹣4），B（6，0）时，由勾股定理得：OE=BE=即OE=BE，∴此时四边形OEBF是菱形；

∵当O（0，0），E（4，﹣4），B（6，0）时，由勾股定理得：OE=BE==

2，=4=5，即OE和BE不相等，∴此时四边形OEBF不是菱形；

综合上述，当四边形OEBF的面积为24时，四边形OEBF不是菱形．

17．如图，抛物线y=x2+bx+c与直线l：y=kx+m交于A（4，2）、B（0，﹣1）

两点．

（1）求抛物线与直线的解析式；

（2）若点D是直线l下方抛物线上的一动点，过点D作DE∥y轴交直线l于点E，求DE的最大值，并求出此时D的坐标；

（3）在（2）的条件下，DE取最大值时，点P在直线AB上，平面内是否存在点Q，使得以点D、E、P、Q为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c与直线l：y=kx+m交于A（4，2）、B（0，﹣1）两点，∴，λ

解得：，．

∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣1，直线的解析式为：y=x﹣1；

（2）设点D的坐标为：（x，x2﹣x﹣1），则点E的坐标为：（x，x﹣1），∴ED=（x﹣1）﹣（x2﹣x﹣1）=﹣x2+2x=﹣（x﹣2）2+2，∴DE的最大值为：2，∴此时D的坐标为：（2，﹣）；

（3）当DE取最大值时，E的坐标为：（2，），∴DE=2，

第五篇：中考化学压轴题 实验探究题

中考化学压轴题-实验探究题

[提出问题]

该淡黄色固体的化学成分是什么？

[查阅资料]

（1）硫单质是一种淡黄色固体，难溶于水，在空气中点燃硫单质，生成一种无色、有刺激性气味的气体。

（2）过氧化钠（Na2O2）是一种淡黄色固体，能与水反应，生成气体并放出大量的热。

[设计实验方案]

方案一：取少量该固体粉末于试管中，加

2mL

水，振荡并观察现象。方案二：在燃烧匙里放少量该固体，在酒精灯上加热，观察现象。

比较以上两方案，你认为的最佳方案是，理由是（从环保、操作等角度分析）。

[实验验证并得出结论]

小明向盛有少量该固体的试管中加入

2mL

水，立刻观察到有无色气泡产生，并且验证出该反应同时生成了氢氧化钠（NaOH）。通过实验验证，确定该淡黄色粉末为过氧化钠。

小明想对生成的气体成分判断，他提出了以下两种假设：

①该气体是

CO

②该气体是

O2

你

认

为

上

述

假

设

哪

个

更

合理？

并

说

明

选

择的理由。

请设计一个实验，验证你的合理假设（写出简要操作步骤、实验现象和结论）。

操作步骤

实验现象

结论

操作步骤

实验现象

结论

取少量固体粉末于试管中，向试管中加入

2mL

水，将带火星的木条伸入试管中

有气泡，木条复燃

该气体为氧气

2．为进一步研究高锰酸钾的分解产物，某兴趣小组同学查阅资料，并取一定质量的高锰酸钾加热使之完全分解，然后分别进行了以下三个实验。

【实验内容】：

编

号

实验内容

实验现象

实验结论

取反应后固体剩余物0.2g

加入5mL

6%的H2O2

溶液中

剧烈反应，放出大量热量，产生大量气体

固体剩余物中的MnO2

对

H2O2

分解有催化作

用

取

0.2gMnO2

加

入

5mL

a

（H2O2

溶液的质量分数）的H2O2

溶液中

平稳反应，放出热量，持续产生气体

MnO2

对

H2O2

分解有催化作用

取反应后固体剩余物1.0g

加入足量水中，充分溶解，过滤

固体完全溶解，滤纸上无黑色固体

残余物

固体剩余物中无

b

【实验分析】

（1）完成上表中的填空内容：a、b；

（2）实验

2的目的是；

（3）同学们经过讨论，认为实验

1的结论不正确，理由是；

【查阅资料】

Ⅰ、KMnO4

受热分解时，在某条件下可能发生以下两个反应：

①6KMnO4

2K2MnO4+K2Mn4O8+4O2↑

②KMnO4

KMnO2+O2↑

Ⅱ、相对分子质量：（KMnO4：158

O2：32）

（4）16gKMnO4

中氧元素的质量为

；加热使之完全分解，若完全发生反应①，生成O2的质量为

；若同时发生反应①②，生成O2的质量范围是。

（保留二位小数。提示：依据质量守恒定律观察）

①a：6%

b：KMnO4

分解后的产物中没有

MnO2

②和实验

进行对比，确定

MnO2的催化作用

③可能是分解后产物中其他物质起催化作用

③6.48g

2.16g

2.16g～3.24g

3．张丽同学欲通过实验证明“二氧化锰是过氧化氢分解的催化剂”这一命题。她设计并完成了下表所示的探究实验：

实验操作

实

验

现象

实验结论或总结

结论

总结

实一

验

取

5mL5%的过氧化氢溶液于试管中，伸入带火星的木条

有

气

泡产生，木条

不

复燃

过氧化氢分解产生氧气，但反应速率。

反应的化学方程式为：。

二

氧

化锰

是

过

实二

验

向盛水的试管中加入二

氧化锰，伸入带火星的木条

没

有

明显现象

氧

化

氢

分

解的催化剂

实三

验

二氧化锰能加快过氧化氢的分解

请你帮张丽同学填写上表中未填完的空格。

（1）在张丽的探究实验中，“实验一”和“实验二”起的作用是。

（2）小英同学认为仅由上述实验还不能完全得出表内的“总结”，她补充设计了两个方面的探究实验，最终完成了对“命题”的实验证明。

第一方面的实验操作中包含了两次称量，其目的是：；

第二方面的实验是利用“实验三”反应后试管内的剩余物继续实验。接下来的实验操作是：。

实验步骤和方法

实验现象

实验结论

实验一：取一小段光亮铜片，放

推

知

入试管内，然后用试管夹夹持试

铜片变黑

（填甲、乙、丙）的错

管，放在酒精灯的外焰部位加热。

误。说明黑色物质的出

现

可能

与

空

气中的有关。

实验二：取一试管，将一小段光

取下胶塞前的现象：

亮铜片放入试管中，塞上胶塞，并用注射器抽出试管内的空气。取下胶塞后的现

乙的猜想正确

封好胶塞，并加热，趁热取下胶

象：

塞，观察现象。

实验操作

实验主要现象

①

取少量原料样品于试管中，加入一定量的水充分溶解

溶液变浑浊，且有明显放热

②

静置一段时间后，过滤，向滤液中加入过量的试剂

A

无明显变化

③

向白色固体中加入试剂

B，将产生的气体通入试剂

A

白色固体消失，有气泡产生，试剂

A

变浑浊

实验步骤

实验现象

实验结论

实验一

有少量气泡木条不复燃

常

温

下

过

氧

化

氢溶

液

分

解

速

率

很慢．

实验二

在装有过氧化氢溶液的试管中加入少量

Al2

O3，然后将带火星的木条伸入试管中

产生大量的气泡木条复燃

步骤③现象

步骤⑥结果

步骤⑦操作

结论，带火星的木条复燃

在过氧化氢溶液的分解反应中，氧化铜也能作催化剂

第一组

第二组

第三组

第四组

物质

MgSO4

Na2SO4

(NH4)2SO4

H2SO4

溶解度

35．1g

19．5g

75．4g

与水任意比互

溶

实验操作

实验现象

实验结论

①取该溶液少许于试管中，向其中滴加几滴

溶液

溶液中有白色沉淀生成猜想①成立

②用玻璃棒蘸取少许原溶液滴在pH

试纸上，并跟标准比色卡对照

溶液

pH

小于

猜想③成立

实验操作

实验现象

实验结论

取该溶液少许于试管中，猜想④成立，该反应的化学方程式为

实验步骤

实验现象和结论

实验操作

实验现象

实验结论

（1）取少量固体于试管中，加适量水振荡后静置，再滴几滴无色酚酞试液．

溶液变红

剩余固体成分中一定含有

．（填化学

式）

（2）

剩余固体成分中

一定含有碳酸钙．

实验步骤

预计现象

预计结论

取少量反应后的溶液于试管中，逐滴加入碳酸钠溶液。

猜想（B）正确

猜想（C）正确

实验操作

实验现象

实验结论

取适量该漂白液与烧杯中，该漂白液已完全失效

实验步骤

预期实验现象

实验目的或预期结论

步骤①；取少量该漂白液于试管中，加

入，静置，观

察

产生白色沉淀

目的：

步骤②：取上层清液于试管中，观察

结论：

猜想成立；否则，另一位同学猜想成立。

实验步骤

实验现象

实验结论

用洁净干燥的玻璃棒蘸取少量反应后的溶液滴在干

燥的pH

试纸上，观察颜色变化并与标准比色卡对比．

pH

（填“＞”、“=”或“＜”）7

猜想一不成立

实验步骤

实验现象

实验结论

操作步骤

实验现象

实验结论

分别用

A，B，C

三支试管取样，然后各加入适量碳酸钠溶液

A

中

B

中

C

中

A

中的物质是食盐水

B

中的物质是稀盐酸

C

中的物质是澄清石灰水

实验操作

实验现象

实验结论

取少量

M

溶液于试管中，向其

中滴加

猜想①正确，碳酸钠与其反应的化学

方程式为

实验步骤

实验现象

实验结论

取样于试管中，滴入几滴稀

盐酸

没有气体产生

“猜想一”不成立

实验操作

实验现象

实验结论

分别取少量滤液于

A、B

两支试管中，A

中加入

CaCI2

溶液，B

中加入

溶

液

若

A

中产生白色沉

淀，B

中没有沉淀

“猜想一”成立

“猜想二”成立