读《怎样解题——数学思维的新方法》有感

第一篇：读《怎样解题——数学思维的新方法》有感

读《怎样解题——数学思维的新方法》有感

池月秋

作者简介

G·波利亚（GeorgePolya,1887—1985），著名美国数学家和数学教育家。生于匈牙利布达佩斯。1912年获布达佩斯大学博士学位。1914年至1940年在瑞士苏黎世工业大学任数学助理教授、副教授和教授，1928年后任数学系主任。1940年移居美国，历任布朗大学和斯坦福大学的教授。1976年当选美国国家科学院院士。还是匈牙利科学院、法兰西科学院、比利时布鲁塞尔国际哲学科学院和美国艺术和科学学院的院士。其数学研究涉及复变函数、概率论、数论、数学分析、组合数学等众多领域。1937年提出的波利亚计数定理是组合数学的重要工具。长期从事数学教学，对数学思维的一般规律有深入的研究，这方面的名著有《怎样解题》、《数学的发现》、《数学与猜想》等，它们被译成多种文字，广为流传。

内容简介

本书出自一位著名数学家G·波利亚的手笔，虽然它讨论的是数学中发现和发明的方法和规律，但是对在其他任何领域中怎样进行正确思维都有明显的指导作用。本书围绕“探索法”这一主题，采用明晰动人的散文笔法，阐述了求得一个证明或解出一个未知数的数学方法怎样可以有助于解决任何“推理”性问题——从建造一座桥到猜出一个字谜。一代又一代的读者尝到了本书的甜头，他们在本书的指导下，学会了怎样摒弃不相干的东西，直捣问题的心脏。

精彩分享

怎样解题表

第一步：弄清问题。

1.未知数是什么？已知数据是什么？条件是什么？满足条件是否可能？要确定未知数，条件是否充分？或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？

2.画张图，并引入适当的符号。

3.把条件的各部分分开，并把它们写下来。

第二步：拟订计划

1.考虑以前是否见过它？ 是否见过相同的问题而形式稍有不同？ 你是否知道一个可能用得上的定理？

2.考虑具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题。

3.能否利用它的结果或方法？为了利用它，是否引入某些辅助元素？

4.能否用不同的方法重新叙述它？

5.回到定义去。

6.如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关的问题。

7.是否利用了所有的已知数据？是否利用了所有条件？是否考虑了包含在问题中的所有必要的概念？

第三步：实现计划

1.实现你的求解计划，检验每一步骤。

2.你能否清楚地看出这一步骤是正确的？你能否证明这一步骤是正确的？()你能否说出你所写的每一步的理由？.第四步：回顾

1.能否检验这个论证？

2.你能否用别的方法导出结果？

3.能不能一下子看出它来？

4.能不能把这结果或方法用于其他问题？

读后反思

在数学教育过程中，解题训练是一项重要的教学内容。在进行数学教学时，有一半的时间是对学生进行解题训练的。在现阶段的教育活动中，对学生的评价标准也是依靠解题的准确率来进行衡量的，因此解题尤为重要。“怎样解题表”是《怎样解题》这本书的精华，这张表是波利亚在分解解题的思维过程得到，表中所述看似很平常的解题步骤或方法，其实已包含几代人的智慧结晶和经验总结。“怎样解题”表将解题过程分成了四个步骤：弄清问题、拟定计划、实现计划和回顾反思，在这其中，对第二步即“拟定计划”的分析是最为引人入胜的。结合一些教学实际题目，波利亚进行分析，寻找思路，分解难点，使解题不再是一个难题。

作为一名数学老师，我们更应该熟读《怎样解题》，了解更多的解题方法，获得更完整的数学思维，使自己变成一个聪明的解题者，同时使学生也成为聪明的解题者，努力培养学生的数学兴趣，提高学生的思维能力。

第二篇：读《怎样解题》有感

读《怎样解题》有感

在老师的强力推荐下，我拜读了著名数学家和数学教育家波利亚的著作《怎样解题》。通过读了这一本书，给了我很深的感触，也给了我很大的启示。波利亚认为数学教育的根本宗旨是教会年轻人思考；他把“解题”作为培养学生数学才能和教会他们思考的一种手段和途径。本书是他专门研究解题的思维过程的结晶。全书都是围绕一张“怎样解题”表中的问题和建议而组织的。作者在书中引导学生按照表中的问题和建议思考问题，探索解题途径，进而逐步掌握解题过程的一般规律。

在《怎样解题》一书中指出，解题分为四步走：

第一，理解题目，即审题。我们都知道审题是解题过程中最基础的环节，能否审好题是解答题目的关键。在该部分，作者就明确的告诉我们应该如何审题，即：“为知量是什么？已知数据是什么？条件是什么？条件是否能满足？条件是否足以确定未知量？或者它不够充分？或者多余？或者矛盾？”。在日常的教学中，老师常常对学生强调一定要仔细阅读题目，仔细审题，清楚的理解题目的意思。但事实告诉我们，学生在解题过程中的最普遍的不足之处——对题目的理解不完整，无法完全挖掘出题目中所蕴含的信息这一状况并没有因此而的得到改善。通过学习该部分，即可在很大程度上帮助学生形成良好的审题方法，进而养成良好的审题习惯。这个部分对于那些学习好的，有良好的阶梯习惯的学生来说可能其重要性不太突出，但对于更多的学生来说，学会审题将对他们正确解题起到极大的促进作用。

第二，找到已知量和未知量之间的联系。“你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同？你是否知道与此有关的问题？你是否知道一个可能用得上的定理？看着未知数！试想出一个具有相同未知数获相似未知数的熟悉的问题。这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题。你能不能利用它？你能利用它的结果吗？你能利用它的方法吗？为了能利用它，你是否应该引入某些辅助元素？你能不能重新叙述这个问题？你能不能用不同的方法重新叙述它？回到定义去”。从理解题目到构思解题方案是一个漫长而曲折的过程。因为对于一些题目，学生即使做到了理解，但仍会感到无从下手。波利亚启发我们说“好的思路大多来源于过去的经验和以前获得的知识。”因此教师不妨引导学生思考“你知道一道与它有关的题目吗？”，并不一定就是一个曾经求解过的与当前题目紧密相关的题目，而更可能是通过变化、转换或修改叙述方式，找到与某个题目的联系点，从而“重新叙述这道题目”拟定一个有可能解决问题的方案。

第三，执行方案，实现你的求解计划，检验每一步骤。你能否清楚地看出这一步骤是正确的？你能否证明这一步骤是正确的？正如波利亚所指出的，假如这个方案是学生主动获得的，则不容易遗忘，反之，学生则很容易找不到来时的路了。因此，教师必须坚持让学生检查每一个步骤，以使解题者自己清楚的明白每一步的含义及正确性。

第四，检查已经得到的解答。这样的结果对吗？我再将答案放入

问题中进行第二次思考，你还有别的更简单的方法得出这个结果或结论吗？或者在以后的解题中，你是不是对此类的题目更加的熟悉了呢？在别的题目中，你能否利用这个结果或这种方法吗？波利亚 认为：“没有任何一个题目是彻底完成了的。”因此，我们可以将任何解题方法加以改进，深化我们对答案的理解。

这样的解题思维让我受益颇大。如何引导学生解决问题，帮助学生提高解题的能力，教师的价值在此可得到充分的体现。作为一个即将毕业，将来有可能成为一名中学教师的在校大学生来说，学习这样的解题思维，对以后找工作和教学，无疑是十分有益的。

波利亚认为：“学好数学不只在于练习、操作、演算，最重要的是从心底萌发出对数学的浓厚兴趣与自我归纳理解后的解题思路”。那么，教师应该如何提高学生的解题能力，培养学生的兴趣呢？教师应该尽可能地经常而自然地向学生提出这些问题和建议。此外，当教师在全班面前解题时，他应当使其思路更吸引人一些，并且应当向自己提出那些在帮助学生时所使用的相同问题。由于这样的指导，学生将终于找到使用表中这些问题与建议的正确方法，并且这样做以后，他将学到比任何具体数学知识更为重要的东西。

欧美的数学家曾经呼吁：“学数学的人，要读读波利亚；不学数学的人，也要读读波利亚”。通过读了这本《怎样解题》，我非常赞同这个观点。我觉得在这一本书中，我们能找到一些解决问题的普遍原则，这个问题不仅仅是指数学问题，还包括我们日常生活中的问题。生活本来就是我们每天所要面临的一道题目，所以生活过程就是解题的过程。对于一个问题的求解，我想，作为一名大学生，我们已经有了很深的了解。但是关于问题的求解步骤我们却是很少认真关心，求解方法的来源更加是没有时间去想，我们通常的做法只是去接受知识。因此，现在每当我们试讲的时候总是在解题过程中出现思路混乱的情况。所以学习《怎样解题》可以说是在帮助我们形成良好解题习惯，为以后走上讲台做准备。

通过阅读《怎样解题》一书，不仅帮助我形成良好的思维习惯；也为我将来走上工作岗位打下了基础；我也会将之运用到将来的学习、工作中去；我还会将之推广给我的学生，最终帮助他们提高解题能力，形成良好的思维习惯。

第三篇：读《数学思维与小学数学》有感

读《数学思维与小学数学》有感

郑毓信教授在《数学思维与小学数学》一书中提到，数学教师成长的一个必然途经，即是由唯一重视具体数学知识和技能的教学转而意识到应当更加重视学生思维方式的养成以及更深层次的文化熏陶，也就是在教学过程中，要更加关注数学思维的总体特征，并努力做到在小学数学知识内容的教学中很好地予以体现，从而就能较好地实现“帮助学生初步地学会数学地思维”。由此，我们感受到，在数学教学活动当中，要处理好数学思维与具体数学知识内容的教学这两者之间的关系，用思维方法的分析去带动具体知识内容的教学，并且不仅仅停留于“帮助学生学会数学地思维”，更加强调“通过数学帮助学生学会思维”。在日常的教学活动中，我不断探索着，尝试着：1．在变式中体现思维的灵活性 郑教授在书中提到，思维的灵活性与综合性同样被看成数学思维的又一重要特点，在数学中应当根据情况与需要在不同的方面与环节之间作出灵活的转换，乃至作出新的必要整合。例如我在教学第四册《求一个数是另一个数的几倍》这节课，由于二年级学生理解“倍”的概念比较困难，课本例题是以“蓝花有2朵，黄花有6朵，红花有8朵”分别展开2次“倍”的研究，我适当地进行了取舍，以“红花有2朵，黄花有6朵”的信息展开“倍”的例题教学，然后在不改变花的种类基础上设计了两个“变式练习”：先变黄花6朵为8朵，再接着变红花2朵为4朵。首先让学生自主研究“黄花分别是红花的几倍”，巩固对“倍”的理解；然后有目的地引导学生进行两组对比后发现：一倍数不变，几倍数变化，倍数也发生变化；几倍数不变，一倍数变化，倍数也发生变化。这样的处理防止了数学学习中的思维定势，提高了学生的判断分析能力，让学生能辨证地、灵活地认识“倍”概念，理解“倍”概念。从而在数学学习活动中，提高学生的思维能力。2.在延展中体现思维的深刻性。课堂上有价值的数学问题，不仅能激发学生积极参与的内在情感，更能促进主动投入的数学思考，学生的思维潜能得以开启、智慧火花得以绽放，从而提高思维深刻性。在教学《认识小数》一课中，我精心设计、大胆放手，让小数概念的建构会日益深刻起来。如：当学生经历了由1分米、4分米、7分米、9分米转化成用米做单位的分数十分之一、十分之四、十分之七、十分之九，并改写成相应的小数零点几之后，我适时提出了值得探究的问题：“让我们来观察一下这些数量，你可以轻声读一读、比一比，看看有什么发现？”学生在教师优美框架结构的板书的纵横比较中，自觉地发现了“十分之几米都可以写成零点几米，零点几米就表示十分之几米。”不着痕迹地经历了从具体到抽象的“数学化”提升的过程。又如：当学生在数轴上找到了0与

1、在1与2、2与3„„之间的小数之后，我并没有停留于让学生会填写几个指定的小数而已，而是智慧地进行渗透延伸“看这箭头，表示什么含义？再想想，你还能想到哪些小数呢？”学生说出了许多小数：五点几、六点几、几十点几，乃至于九十点九九九„„真是说也说不完。学生在不知不觉中主动拓展了数的分类、数的大小范围、数的无穷性等概念内涵与外延。3．在开放中体现思维的创造性

郑教授指出，思维的创造能力对人类而言具有特别的重要性，因此，通过教学培养学生的创造性显得尤为重要。例如，我在教学《求一个数是另一个数的几倍》一课中，设计了“水果大拼盘”的练习，这个练习是基础巩固与趣味挑战相结合的开放性练习，为学生提供了充分的创造空间。孩子们经过对“外部”各种数量水果的观察、选择、思考，能“内化”出某两种量之间存在着倍数关系，并能用除法算式“外化”表示——让个体经历了一次“外—内—外”的思维过程。接着在全班“猜算式”所表示意义的活动中，学生从不同除法算式的“外表”读出了其“内在”的含义，并能用自己的语言“外化”表达“这个算式表示××是××的×倍”——让群体经历了一次“外—内—外”的思维过程。在这样由“外”促“内”、内外互动的创造与分享过程中，孩子们潜移默化地巩固着“倍”的认识，实践着“倍”的应用，不断体会到数学的逻辑与严谨，逐步提升自己的学习能力与数学学科素养。

常学习着，常思考着，常实践着，作为一名数学教师，将自己所学的理论用到实际教学活动中，伴随着学生的成长，我们也在学习中不断向前迈进。

第四篇：读《计算机思维》有感

读《计算机思维》有感

《Computational Thinking》（计算机思维）是Jeannette M.Wing博士，亦卡内基—梅隆大学计算科学系的系主任于2006年3月发表在美国计算机学会会刊《COMMUNICATIONS OF THE ACM》一篇文章，由赵老师的推荐有幸阅读。通过阅读这篇文章，我个人感觉不管是以后从事计算机方面的工作，还是从事其它工作，都受益终身。这篇文章也可以从一个侧面回答现在我们普遍困惑的问题，那就是1：计算机专业的学生只能从事计算机方面的工作么？2：如果不从事计算机的工作，能不能从事其它各种工作？3：我们学习的专业对我们到底有哪些好处呢？以下进行阐述，以此共勉。

一：《Computational Thinking》这篇文章的翻译在我初次阅读时，我毫无怀疑地把它翻译为《计算思维》,还有根有据的找到了文章中的例证：如：To reading,writing,and arithetic,we should add computational thinking to every child’s analytical ablility,我自以为three Rs的扩展就是把读，写，算结合起来就是思维。我就把上面理解为阅读，写作，计算，和计算思维作为现在孩子应该培养的四种能力。随着阅读的深入，读到了大量的计算机科学的专业词汇，如文章只能怪提到”the machines instruction set(机器指令集)”,”indirect addresing(间接寻址)”，”procedure call”等等，这也越来越让我感到我对这篇文章内容进行了泛化理解，这也让我想起了赵老师所说的不能把这篇文章扩大化，在随着阅读的深入，我慢慢理解了文章的内容，知道了应该把这篇文章的标题《Computational Thinking》翻译为《计算机思维》，为什么花这么多尽力说标题的翻译了，其实只有正确翻译这篇文章的标题，才能真正了解文章的真正含义，才能主要文章内容的本质，这是能否阅读这篇美文的必要前提。

二：在一中提到了，这篇文章中提到了大量的计算机专业的词汇，这些词汇不仅仅是表面上的专业术语，而且还有深刻的含义，即计算机思维，同时也是这篇文章的主要内容的抛砖引玉，这种思维方式对我的行为方面也产生很大影响。以下列出文章中所用到的专业词汇，1:the machines instructions set:机器指令集（计算机组成原理）

2:recursive:递归（程序设计语言）

3:parallel processing:并行处理（计算机系统结构）

4:dimensional analysis:量纲分析(计算机各门课程)

5:indirect addressing:间接寻址（计算机组成原理）

6:procedure call:子程序调用（程序设计语言）

7:abstraction and decomposition: 抽象和分解（数据库设计和软件工程）8;error correction:纠错（计算机网络：纠错码）9:deadlock:死锁（操作系统）

10:interface:界面（程序设计语言）

11:synchronizing:同步（操作系统）

12:prefecting and caching:预取和缓存（操作系统）

13:back-tracking:回朔（数据结构）

以上仅仅是简单列举一些，从这些专业术语的使用来看，我们可以得出两个结论：(1)Jeannette M.Wing博士对计算机科学的各门课程都相当的深入，她也能把该学科的各门课程的知识融会贯通；（2）从如此众多的专业词汇中可以看出我之前的翻译《计算思维》是错误的，应该译为《计算机思维》。三：以上简单阐述了文章的标题和文章的主要内容，下面我们要阐述一下思维的含义，思维分广义的和狭义的，广义的思维是人脑对客观现实概括的和间接的反映，它反映的是事物的本质和事物间规律性的联系，包括逻辑思维和形象思维。而狭义的通常的心理学意义上的思维专指逻辑思维。计算机思维就是从如何设计计算机，到如何由计算机生产出产品的整过程，所用到的逻辑思维和形象思维，计算机思维是从那里来的呢？是经过各个时期的科学家从实践或从思想中提炼出来的，这是毫无疑问，这也是经过实践检验过的，总之一句话，计算机科学就是人类思想或思维的结晶，按照哲学的角度来讲，它是从实践上升的到理论，又用理论来指导实践，从这个角度来说，这就是人的能力，把握事物规律的思维或方法，有了这种能力，难道你还害怕是否要从事计算机专业的工作么，这就回答了本文一开始提的1和2的问题，下面来回答第3个问题，在《计算机思维》

一文中隐含的告诉了我们，在学习计算机是主要要学习它的思维和模型，可以把计算机的这种思维给它推广到年轻人中去，让他们能掌握到人类思维的精华。从另一个侧面也告诉我们，学习的某个专业，最主要的是要学习这个专业是如何从事物发展中掌握它的规律性，然后把这种规律性的法则应用到实践中去，这就是能力。学习的过程就是掌管这种能力的过程，当我们明白这个道理时，我们就不会太在意专业了，若我们能掌握这种能力，那我们就终身受用。但有一点，我个人觉得计算机的思维方式最多，在思维方式上它是其它学科很难与之匹配，因为计算机是模拟人的大脑，是最具有创造性的事物，美国科学家约翰.冯.诺伊曼著的《计算机与人脑》就阐述了这一点。

以上只是我认真阅读了《计算机思维》一文后，得到的一些感悟。

第五篇：怎样解题

《怎样解题》是由著名美国数学家和数学教育家波利亚所写得一部经久不衰的畅销书，虽然它讨论的是数学中发现和发明的方法和规律，但是对在其他任何领域中怎样进行正确思维都有明显的指导作用。本书围绕“探索法”这一主题，采用明晰动人的散文笔法，阐述了求得一个证明或解出一个未知数的数学方法怎样可以有助于解决任何“推理”性问题——从建造一座桥到猜出一个字谜。一代又一代的读者尝到了本书的甜头，他们在本书的指导下，学会了怎样摒弃不相干的东西，直捣问题的心脏。

目录

内容简介

作者简介

目录

怎样解题表

编辑本段内容简介这本经久不衰的畅销书出自一位著名数学家的手笔，虽然它讨论的是数学中发现和发明的方法和规律，但是对在其他任何领域中怎样进行正确思维都有明显的指导作用。本书围绕“探索法”这一主题，采用明晰动人的散文笔法，阐述了求得一个证明或解出一个未知数的数学方法怎样可以有助于解决任何“推理”性问题——从建造一座桥到猜出一个字谜。一代又一代的读者尝到了本书的甜头，他们在本书的指导下，学会了怎样摒弃不相干的东西，直捣问题的心脏。

编辑本段作者简介波利亚(男)（George Polya，1887—1985），著名美国数学家和数学教育家。生于匈牙利布达佩斯。1912年获布达佩斯大学博士学位。1914年至1940年在瑞士苏黎世工业大学任数学助理教授、副教授和教授，1928年后任数学系主任。1940年移居美国，历任布朗大学和斯坦福大学的教授。1976年当选美国国家科学院院士。还是匈牙利科学院、法兰西科学院、比利时布鲁塞尔国际哲学科学院和美国艺术和科学学院的院士。其数学研究涉及复变函数、概率论、数论、数学分析、组合数学等众多领域。1937年提出的波利亚计数定理是组合数学的重要工具。长期从事数学教学，对数学思维的一般规律有深入的研究，在这方面的名著有《怎样解题》、《数学的发现》、《数学与猜想》等，它们被译成多种文字，广为流传。

编辑本段目录第一部分 在教室里

目的1.帮助学生

2.问题，建议，思维活动

3.普遍性

4.常识

5.教师和学生，模仿和实践

主要部分，主要问题

6.四个阶段

7.理解题目

8.例子

9.拟订方案

10.例子

11.执行方案

12.例子

编辑本段怎样解题表“怎样解题表”就是《怎样解题》一书的精华，该表被波利亚排在该书的正文之前，并且在书中再三提到该表。实际上，该书就是“怎样解题表”的详细解释。波利亚的“怎样解题表”将解题过程分成了四个步骤，只要解题时按这四个步骤去做，必能成功。同学们如果能在平时的做题中不断实践和体会该表，必能很快就会发出和波利亚一样的感叹：“学数学是一种乐趣！”

第一，你必须弄清问题

弄清问题

未知数是什么？

已知数据（指已知数、已知图形和已知事项等的统称）是什么？

条件是什么？

满足条件是否可能？

要确定未知数，条件是否充分？

或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？

画张图。

引入适当的符号。

把条件的各个部分分开。你能否把它们写下来？

第二，找出已知数与求知数之间的联系。

如果找不出直接的联系，你可能不得不考虑辅助问题。

你应该最终得出一个求解的计划。

拟定计划

你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同？

你是否知道与此有关的问题？你是否知道一个可能用得上的定理？

看着未知数！试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题。

这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题，你能应用它吗?

你能不能利用它？你能利用它的结果吗？为了能利用它，你是否应该引入某些辅助元素？你能不能重新叙述这个问题？你能不能用不同的方法重新叙述它？

回到定义去。

如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关的问题。你能不能想出一个更容易着手的有关问题？一个更普遍的问题？一个更特殊的问题？一个类比的问题？你能否解决这个问题的一部分？仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分，这样对于未知能确定到什么程度？它会怎样变化？你能不能从已知数据导出某些有用的东西？你能不能想出适合于确定未知数的其它数据？如果需要的话，你能不能改变未知数和数据，或者二者都改变，以使新未知数和新数据彼此更接近？

你是否利用了所有的已知数据？你是否利用了整个条件？你是否考虑了包含在问题中的所有必要的概念？

第三，实行你的计划。

实现计划

实现你的求解计划，检验每一步骤。

你能否清楚地看出这一步是正确的？你能否证明这一步是正确的？

第四，验算所得到的解。

回顾反思

你能否检验这个论证？你能否用别的方法导出这个结果？你能否一下子看出它来？你能不能把这结果或方法用于其它的问题？

《怎样解题》表是波利亚在分解解题的思维过程得到的，看似很平常的解题步骤或方法，其实却已包含几代人的智慧结晶和经验总结。在这张包括“弄清问题”、“拟定计划”、“实现计

划”和“回顾反思”四大步骤的解题全过程的解题表中，对第二步即“拟定计划”的分析是最为引人入胜的。他把寻找并发现解法的思维过程分解为五条建议和二十三个具有启发性的问题，它们就好比是寻找和发现解法的思维过程进行分解，使我们对解题的思维过程看得见，摸得着，易于操作。波利亚推崇探索法，他认为现代探索法力求了解解题过程，特别是解题过程中典型有用的智力活动。他说《怎样解题》这本书就是实现这种计划的初步尝试，“怎样解题表”实质上就是试图诱发灵感的“智力活动表”。波利亚的《怎样解题》表的精髓是启发你去联想。联想什么？怎样联想？让我们看一看他在表中所提出的建议和启发性问题吧。“你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同？你是否知道与此有关的问题？你是否知道一个可能用得上的定理？„„”波利亚说他在写这些东西时，脑子里重现了他过去在研究数学时解决问题的过程，实际上是他解决和研究问题时的思维过程的总结。这正是数学家在研究数学，特别是研究解题方法时的优势所在，绝非“纸上谈兵”。回过头来想一想，我们会发现自己在解决问题时的确或多或少地经历了这样一个过程。

我们在解题时，为了找到解法，实际上也思考过表中的某些问题，只不过不自觉，没有意识到这些问题罢了。在解决实际问题时，我们可能又忽略许多解决问题的方法和细节。因此我们需要控制自己的思路，用顽强的意志不断地模仿解决问题的步骤和方法，争取达到灵活运用和创造性地解决问题的程度。按波利亚提出的这些问题和建议去寻找解法，在解题的过程中，必将使自己的思维受到良好的训练，久而久之，不仅提高了解题能力，而且养成了有益的思维习惯。

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生活中，碰到一个的问题的时候，我们如何解决？首先我们明确要解决的问题，然后搜集相关情报或者已有的资源，考虑问题关键因素之间的内在规律，接着尝试一些可行的方案，最后选择其中最优的办法实践，最后问题得以解决。对于数学解题来说：首先我们明确未知量，然后明确已知量，确定条件，接着尝试一些可行的方案，最终得到可以获得未知量的方案，解出题目。

然而这里有一个模糊的地方，解决问题最关键的一步——想出可行的方案，是如何办到的？当我们对未知、已知、条件都已经了如指掌之后还是想不出任何的方案，这个时候解题面临本质的智力困难的时候，是如何从无到有思考出可能的方案供我们尝试的？

这个问题更有画面感的描述是：数学课，老师出了一道几何题，先让大家试解，无人能解。然后老师开始讲题，前面的步骤1、2、3大家都会也都想到了，这时老师添加了一条辅助线，引出步骤4，问题得解，大家豁然开朗。然而，解题的关键步骤3到4是如何思考到的呢，老师为何就想到做这一条辅助线呢？

《怎样解题》就是在回答以上问题。

书中有一个例子可以形象的问答这个问题：

一个原始人站在一条小溪前，他想要越过这条小溪，但溪水经过昨天一夜，已经涨了上来；因此他面临一个问题：如何越过这条小溪。渡溪成了这道题目的研究对象，是原始题目中的X。这个人可能会回忆起，他以前曾经踏着一颗倒下的树度过了另外一条溪流。于是他四处寻找一颗合适的树，就构成了他新的未知量Y。他找不到合适的树，但是沿着溪流有大量的树木在岸上，他希望其中有一个树会倒下来。于是他开始想如何使一棵树横倒在溪流上？这样又产生了一个新的未知量Z。这一连串的念头就是分析。如果这个人成功的完成了分析，他可能就成了桥和斧子的发明者。

而这个分析问题的过程，正包含了普遍的解决问题中本质智力困难的方法。首先思考我们是否面临过同样或者类似的问题，即使没有，我们可以尝试想更简单的相关问题，可以是更普遍化的问题、更特殊化的问题，甚至只是问题中的一小部分问题。或者干脆来变化我们遇到的问题的已知情况，观察未知情况如何跟随变化；或者变化未知量；或者同时变化已知未知量，来观察问题如何变化。正是这样一个分解和重构问题的过程，使得我们逐渐逾越了问题的核心部分，得出了疑似可行的方案。然后我们验证疑似可行的方案，如果其中确有可行的，问题得解。如果没有，我们将重复以上的过程。

以上是我理解的《怎样解题》的主旨。

当然原著对分解和重构问题的过程做了更为细致、严谨的分析和探讨，并配以精妙的数学题示例来演示各种细节。作为一本数学方法著作，更难能可贵的是，波利亚颇为人性化的阐释了解题过程中的非智力因素——情感的作用。在书中的第三部分—探索法小词典中，“决心、希望、成功”“潜意识活动”“进展”三个词条都严谨、科学的阐述了情感是如何作用于我们解题过程的。

“决心会随着希望与无望、满意与沮丧而产生波动。如果我们认为答案即将来临，就很容易继续干下去，当我们看不到有什么克服困难的出路时，要坚持不懈就会很难。”“有超常天赋的人主要的优势也许在于一种常超的心理感受力。由于具有极度敏感的感受力，他能感觉到进展的细微标志，或者注意到这些标志的缺乏。”这些非智力因素对于我们解决生活和工作中的问题尤其重要，我们需要敏感的觉察来自情感脑的反馈，并加以利用，来帮助解决问题。举例来说，生活中碰到一个很复杂问题，在长期解决问题的过程中，有一段时间可能解决问题时没有明显的反馈给我们标志，最后我们沮丧的放弃了解决问题。然而很有可能的是，这个过程真是解决问题的关键期，实际上也是有标志出现的，只是当时的我们还不理解这些标志。由此可见非智力因素之于解决问题的重要性，我们需要能理解并加以利用。

第三部分的最后，波利亚还举出一个心理学试验：用一个缺了一条边的正方形围栏围住一只动物（狗、黑猩猩、母鸡、人类婴儿），在围栏的另一侧放上一个被试很想要的物体（对动物来说是食物，对人类婴儿来说是有趣的玩具），然后观察他们各自的行为。发现，狗在扒着围栏吠了几声发现无法通过的时候，不久便学会了从围栏的缺口的那一边绕出去，人类婴儿很快就学会了绕过障碍，而黑猩猩也学得很快（黑猩猩是和人类最近的灵长类亲属）。

“母鸡的行为就像那些面临问题的时候浑浑噩噩的人，试了一次又一次，最后靠一些运气碰巧成功，而不去深究成功的原因。但我们甚至也不应责怪母鸡的笨拙。要转过身从目标跑开，不一直盯着目标前进，不沿着直接的道路到达目标，确实有一定困难。母鸡的困难和我们的困难具有明显的类似性。”最后一句话貌似有些哲理，是全书严谨行文之中唯一有些文艺的一句。`

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