湖南省长沙一中2008年 2.3等差数列的前n项和(一)

第一篇：湖南省长沙一中2008年 2.3等差数列的前n项和(一)

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2.3等差数列的前n项和

（一）一、教学目标

1、等差数列前n项和公式．

2、等差数列前n项和公式及其获取思路；

3、会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题．

二、教学重点：等差数列前n项和公式的理解、推导及应用．

教学难点：灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题．

三、教学过程

（一）、复习引入： 1．等差数列的定义： an－an1=d，（n≥2，n∈N）2．等差数列的通项公式：

（1）ana1(n1)d

（2）anam(nm)d

（3）an=pn+q(p、q是常数)3．几种计算公差d的方法：① dan－an

1② dana1

③ danam

n1nm4．等差中项：Aaba,A,b,成等差数列 25．等差数列的性质： m+n=p+q amanapaq(m, n, p, q ∈N)6．数列的前n项和：数列an中，a1a2a3an称为数列an的前n项和，记为Sn.“小故事”1、2、3 高斯是伟大的数学家，天文学家，高斯十岁时,有一次老师出了一道题目,老师说: “现在给大家出道题目:

1+2+…100=?”

过了两分钟,正当大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10…算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说： “1+2+3+…+100=5050．” 教师问：“你是如何算出答案的？” 高斯回答说：“因为1+100=101；

2+99=101；…50+51=101，所以

101×50=5050” 这个故事告诉我们：

（1）作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，所以他能从一些简单的事物中发现和寻找出某些规律性的东西．（2）该故事还告诉我们求等差数列前n项和的一种很重要的思想方法，这就是下面我们要介绍的“倒序相加”法．

二、讲解新课：

1．等差数列的前n项和公式1：Snn(a1an)2证明：

Sna1a2a3an1an

①

Snanan1an2a2a

1②

①+②：2Sn(a1an)(a2an1)(a3an2)(anan)

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∵a1ana2an1a3an2

∴2Snn(a1an)

由此得：Snn(a1an)． 2． 等差数列的前n项和公式2：Snna1n(n1)d ． 2

用上述公式要求Sn必须具备三个条件：n,a1,an．

但ana1(n1)d

代入公式1即得： Snna1

此公式要求Sn必须已知三个条件：n,a1,d

总之：两个公式都表明要求Sn必须已知n,a1,d,an中三个． 公式二又可化成式子： Snn(n1)d 2d2dn(a1)n，当d≠0，是一个常数项为零的二次式． 22

三、例题讲解

例

1、(1)已知等差数列{an}中, a1 =4, S8 =172,求a8和d;(2)等差数列-10，-6，-2，2，…前多少项的和是54？ 解：(1)1728(4a8)a839

394(81)dd5 2(2)设题中的等差数列为an，前n项为Sn

则 a110,d(6)(10)4,Sn54 由公式可得10nn(n1)454.解之得：n19,n23（舍去）2∴等差数列-10，-6，-2，2…前9项的和是54． 例

2、教材P43面的例1 解：

例3．求集合Mm|m7n,nN*且m100的元素个数，并求这些元素的和．

10021

477

∴正整数n共有14个即M中共有14个元素 解：由7n100得 n

即：7，14，21，…，98 是a17为首项a1498等差数列．

14(798)73

5答：略．

2例

4、等差数列an的前n项和为Sn，若S1284,S20460，求S28.（学生练学生板书教师点评及规范）

练习：⑴在等差数列an中，已知a3a99200，求S101.∴ Sn⑵在等差数列an中，已知a15a12a9a620，求S20.本站部分信息资源来源于网络，仅供学习|研究|探讨|收藏之用，版权归原作者所有，如有侵权，来信删除！www.mathfans.net

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www.mathfans.net 例4．已知等差数列{an}前四项和为21,最后四项的和为67,所有项的和为286,求项数n.解：依题意，得a1a2a3a421,anan1an2an367，两式相加得(a1an)(a2an1)(a3an2)(a4an3)88, 又a1ana2an1a3an2a4an3,所以a1an2

2又Snn(a1an)286，所以n=26． 2例5．已知一个等差数列{an}前10项和为310,前20项的和为1220,由这些条件能确定这个等差数

列的前n项的和吗？.思考：（1）等差数列中S10,S20S10,S30S20，成等差数列吗？

（2）等差数列前m项和为Sm,则Sm、S2mSm.、S3mS2m是等差数列吗？

练习：教材第118页练习第1、3题．

三、课堂小结：

1.等差数列的前n项和公式1：Snn(a1an)； 22.等差数列的前n项和公式2：Snna1

四、课外作业：

1.阅读教材第42～44页； 2.《习案》作业十三．

n(n1)d． 2本站部分信息资源来源于网络，仅供学习|研究|探讨|收藏之用，版权归原作者所有，如有侵权，来信删除！

第二篇：2.3《等差数列的前n项和》说课稿

2.3《等差数列的前n项和》

各位评委 :大家好！我是----号。今天我说课的题目是《等差数列的前n项和》本节内容选自人教版普通高中课程标准实验教科书必修5第2章第3解第1课时,下面我将从教材分析、教法与学法分析、教学过程分析等几个方面进行我的说课

一、教材分析

（一）教材的地位和作用

在此之前，学生已经学习了等差数列的定义、通项公式，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。本节内容是学生学过的等差数列”的延续和拓展。通过本节课的学习有利于深化对等差数列本质的理解，又是后继研究数列的基础。倒序相加法为数列求和提供了一种新的方法。等差数列的和与二次函数有密切的关系。此外等差数列的前n项和在生活中也有广泛的应用（如计算堆放物品的总数、剧场座位总数的计算、分期存款一次取出的储蓄利息的计算），这将有益于培养学生将实际问题数学化和将数学问题生活化的能力，有助于激发学生学习数学的热情．

二、学情分析学生已经学习了

等差数列的定义、通项公式、性质

对高斯算法有所了解。这为倒序相加法的教学提供了基础，同时学生已经有了函数知识，因此在教学中渗透函数思想。高斯算法与一般的等差数列求和还有一定的距离，如何从首位配对引出倒序相加法，这是学生学习的障碍。

三：教学目标分析：新课标指出学生是教学的主体，因此目标的制定和设计必须从学生的角度出发，基于以上对教材的认识。结合课程目标要求，以及数学课程标中的基本理念，考虑到学生已有的认知结构与心里特征，结合我校学生的实际情况。制定如下的教学目标，一、知识与技能

掌握等差数列前n项和公式及其获取思路；会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题.

二、过程与方法

通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题、解决问题的一般思路和方法；通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平.

三、情感态度与价值观

通过公式的推导过程，展现数学中的对称美，通过生动具体的现实问题，令人着迷的数学史，激发学生探究的兴趣，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感。四重难点的确定：

重点：等差数列前n项和公式，公式的熟练运用。

难点：倒序相加求和法的思路获得，等差数列前n项和公式推导过程。

第二教法与学法分析

为突出重点，突破难点，使学生达到本节课所设定的教学目标，我再从教法，学法上谈谈设计思路。教法分析： 新教材“改变课程实施过于强调接受学习，死记硬背，机械训练的现状，倡导学生自主参与、乐于探究，勤于动手，培养学生搜集和处理信的能力，获取新知识的能力。分析和解决问题的能力以及交流与合作的能力”。为了突出这一教学思想，基于本节课的内容特点和＿＿学生的年龄特征，我主要采取，探究式教学法为主。练习法为辅的教学方法

学法：结合具体的内容。我采用问题情境-----建立模型----解释应用----拓展的模式，鼓励学生自主探究与合作交流，让学生经历概念（定理）的形成与应用的过程，从而形成对数学知识的理解和有效的学习策略，总之，在教学我贯彻的指导思想是把学习的主动权交给学生，让学生做学习的主人。教学手段教学中使用多媒体来辅助教学，充分发挥快捷、生动、形象的特点，为学生提供直观感性的材料，有助于适当增加课堂容量，提高课堂效率。同时与黑板板书相结合． 第三．最后我再说说教学过程。在分析教材，确定教学目标。合理选择教法与学法的基础上，我预设的教学过程是： 4.1 创设情景，引入新课

印度泰姬陵(Taj Mahal)是世界七大建筑奇迹之一，所在地阿格拉市，泰姬陵是印度古代建筑史上的经典之作，这个古陵墓融合了古印度、阿拉伯和古波斯的建筑风格，是印度伊斯兰教文化的象征.陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝.传说当时陵寝中有一个等边三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层(如下图)，奢华之程度，可见一斑.你知道这个图案中一共有多少颗宝石吗？()1+2+3+„+100=？（学生思考），介绍高斯故事及其算法。设计意图：这问题赋予了课堂人文历史的气息，缩短了数学与现实之间的距离，引领学生步入探讨高斯算法的阶段

4.2 合作探究，发现新知问题⑴：高斯的算法妙处在哪里？（学生思考、讨论）

设计意图：学生对高斯的算法处于简单的记忆和模仿阶段并没有真正的理解其本质含义，让学生从计算的形式和数列的性质两个方面分析，同时为下面问题做准备。

问题⑵：由高斯算法的启示计算下面的式子，“1+2+3+„+99”，能用高斯同样的方式解决吗？

设计意图：通过这个简单的变式让学生利用 “化归”的数学思想，将“奇数项”化为“偶数项”，从而充分利用高斯算法的妙处。逐步为学生领会“倒序相加求和法“搭梯子。问题⑶：还有其他更有趣的方法吗？

{（1+2+3+„+99）+（99+98+97+„+1）}÷2=100×99÷2=4950 设计意图：通过老师适当引导（筷子问题），感受数学解题方法的多样性，在此基础上得出—“倒序相加求和法”

问题⑷：由上面的算法启示你能计算1+2+„+n-1+n„的前n项和吗？ 设计意图：让学生理解倒序相加求合法并体验由特殊到一般的数学思想方法，为后面的公式推导做铺垫，同时给出前n项和的定义。问题⑸：利用上面我们得出的方法你能推导出以公差为d的等差数列前n项和吗？(老师适当引导)设计意图：利用倒序相加求和法的数学思想推导公式，并掌握公式的推导过程，提高学生的代数推理能力。4.2．2 认识公式

公式还有其他形式吗？公式从什么角度反映了等差数列的性质？（与梯形面积公式联系，PPT展示）

设计意图：充分挖掘公式的内含，将等差数列前n项和的公式同梯形面积结合起来体现数型结合的思想，并帮助学会记忆公式。4.3 变式练习巩固新知

1、根据下列条件，求等差数列｛an｝的Sn。（1）a1=-4,a8=-18,n=8（考察对公式①的运用）（2）a1=14.5,d=0.7,an=32（考察对公式②的运用）

2、已知数列｛an｝的前n项和为Sn=n2+n,求数列的通项公式（考察an= Sn-Sn-1）

3、在等差数列｛an｝中（综合考察对公式的运用）

（1）已知：a2+a5+a12+a15=36 求s16（2）已知a6=20求s11 设计意图：强化对公式的熟练运用，提高解题能力，体验知识点之间的联系。

4.4 归纳小结设计意图：让同学整体感悟本节课的内容，形成知识体系。

第三篇：湖南省长沙一中2008年 2.5等比数列前n项和(一)

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2.5等比数列的前n项和

（一）教学目标

（一）知识与技能目标

等比数列前n项和公式．

（二）过程与能力目标

1． 等比数列前n项和公式及其获取思路；

2． 会用等比数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题．

（三）情感与态度目标

1． 提高学生的推理能力； 2． 培养学生应用意识．

教学重点

等比数列前n项和公式的理解、推导及应用．

教学难点

灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题．

教学过程

一、复习引入：

1．等比数列的定义．

2.等比数列的通项公式: ana1q3．｛an｝成等比数列n1(a1q0)，anamqm1(a1q0)

an1=q（nN,q≠0）an≠0 an4．性质：若m+n=p+q，amanapaq

二、讲解新课：

（一）提出问题 ：关于国际相棋起源问题

6263 例如：怎样求数列1，2，4，…2，2的各项和？

即求以1为首项，2为公比的等比数列的前64项的和，可表示为：

S641248262263 ① 2S6424816263264 ②

由②—①可得：S642641

这种求和方法称为“错位相减法”，“错位相减法”是研究数列求和的一个重要方法．

（二）怎样求等比数列前n项的和？

公式的推导方法一：

一般地，设等比数列a1,a2a3,an它的前n项和是 Sna1a2a3an

2n2n1Sna1a2a3anSna1a1qa1qa1qa1q由 得 n123n1naaq1nqSna1qa1qa1qa1qa1qaanqa1(1qn)(1q)Sna1a1q ∴当q1时，Sn ① 或Sn1 ②

1q1qn本站部分信息资源来源于网络，仅供学习|研究|探讨|收藏之用，版权归原作者所有，如有侵权，来信删除！www.mathfans.net

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www.mathfans.net 当q=1时，Snna1

公式的推导方法二：

由定义，aaa3anSa1a2a3nq 由等比的性质，2nq a1a2an1a1a2an1Snan即 Sna1q(1q)Sna1anq（结论同上）

Snan围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导出了公式． 公式的推导方法三：

Sna1a2a3an＝a1q(a1a2a3an1)＝a1qSn1＝a1q(Snan)

(1q)Sna1anq（结论同上）

“方程”在代数课程里占有重要的地位，方程思想是应用十分广泛的一种数学思想，利用方程思想，在已知量和未知量之间搭起桥梁，使问题得到解决．

（三）等比数列的前n项和公式：

aanqa1(1qn)当q1时，Sn ① 或Sn1 ② 当q=1时，Snna1

1q1q思考：什么时候用公式（1）、什么时候用公式（2）？

（当已知a1, q, n 时用公式①；当已知a1, q, an时，用公式②.）

三、例题讲解

例1：求下列等比数列前8项的和．

（1）

1111,q0，，…（2）a127,a9248243111221128解：由a1=1111，q,n8,得 S82422255.256例2：某商场第一年销售计算机5000台，如果平均每年的售价比上一年增加10％，那么从第一年起，约几年内可使总销售量达到30000台（保留到个位）？

解：根据题意，每年销售量比上一年增加的百分率相同，所以从第一年起，每年的销售量组成一个等比数列{an},其中

5000(11.1n)30000.a1=5000, q110%1.1,Sn30000, 于是得到

11.1整理得1.11.6.两边取对数,得nlg1.1g1.6 用计算器算得n5(年).答:约5年内可以使总销售量达到30000台.本站部分信息资源来源于网络，仅供学习|研究|探讨|收藏之用，版权归原作者所有，如有侵权，来信删除！nwww.mathfans.net

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www.mathfans.net 例3．求数列1,212111,3,4,....前n项的和。481623n1例4：求求数列1,3a,5a,7a,....,(2n1)a练习：教材第58面练习第1题．

三、课堂小结： 的前n项的和。

1.等比数列求和公式：当q = 1时，Snna1

a1anqa1(1qn)当q1时，Sn 或Sn ；

1q1q2．这节课我们从已有的知识出发，用多种方法（迭加法、运用等比性质、错位相减法、方程法）推导出了等比数列的前n项和公式，并在应用中加深了对公式的认识．

四、课外作业：

1.阅读教材第55～57页； 2.《习案》作业十七．

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第四篇：高一数学《2.3等差数列的前n项和(一)》

湖南省长沙市第一中学 数学教案

第二章 数列

2.3等差数列的前n项和

（一）一、教学目标

1、等差数列前n项和公式．

2、等差数列前n项和公式及其获取思路；

3、会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题．

二、教学重点：等差数列前n项和公式的理解、推导及应用．

教学难点：灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题．

三、教学过程

（一）、复习引入：

1．等差数列的定义： an－an1=d，（n≥2，n∈N）2．等差数列的通项公式：

（1）ana1(n1)d

（2）anam(nm)d

（3）an=pn+q(p、q是常数)3．几种计算公差d的方法：① dan－an

1② 4．等差中项：Aab2a,b,成等差数列

dana1n1

③

danamnm

5．等差数列的性质： m+n=p+q amanapaq(m, n, p, q ∈N)6．数列的前n项和：数列an中，a1a2a3an称为数列an的前n项和，记为Sn.“小故事”1、2、3 高斯是伟大的数学家，天文学家，高斯十岁时,有一次老师出了一道题目,老师说: “现在给大家出道题目:

1+2+…100=?”

过了两分钟,正当大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10…算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说： “1+2+3+…+100=5050．” 教师问：“你是如何算出答案的？” 高斯回答说：“因为1+100=101；

2+99=101；…50+51=101，所以

101×50=5050”

这个故事告诉我们：

（1）作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，所以他能从一些简单的事物中发现和寻找出某些规律性的东西．（2）该故事还告诉我们求等差数列前n项和的一种很重要的思想方法，这就是下面我们要介绍的“倒序相加”法．

二、讲解新课：

1．等差数列的前n项和公式1：Snn(a1an)2

证明：

Sna1a2a3an1an

①

Snanan1an2a2a

1②

①+②：2Sn(a1an)(a2an1)(a3an2)(anan)湖南省长沙市第一中学 数学教案

第二章 数列

∵a1ana2an1a3an2

n(a1an)

2∴2Snn(a1an)

由此得：Sn．

．

2． 等差数列的前n项和公式2：Snna1n(n1)d2

用上述公式要求Sn必须具备三个条件：n,a1,an．

但ana1(n1)d

代入公式1即得： Snna1

此公式要求Sn必须已知三个条件：n,a1,d

总之：两个公式都表明要求Sn必须已知n,a1,d,an中三个． 公式二又可化成式子： Snd2n(a12n(n1)d2

d2)n，当d≠0，是一个常数项为零的二次式．

三、例题讲解

例

1、(1)已知等差数列{an}中, a1 =4, S8 =172,求a8和d;(2)等差数列-10，-6，-2，2，…前多少项的和是54？ 解：(1)1728(4a8)2a839

394(81)dd5

(2)设题中的等差数列为an，前n项为Sn

则 a110,d(6)(10)4,Sn54 由公式可得10nn(n1)2454.解之得：n19,n23（舍去）

∴等差数列-10，-6，-2，2…前9项的和是54． 例

2、教材P43面的例1 解：

例3．求集合Mm|m7n,nN*且m100的元素个数，并求这些元素的和．

解：由7n100得 n10071427

∴正整数n共有14个即M中共有14个元素

即：7，14，21，…，98 是a17为首项a1498等差数列．

∴ Sn14(798)273

5答：略．

例

4、等差数列an的前n项和为Sn，若S1284,S20460，求S28.（学生练学生板书教师点评及规范）

练习：⑴在等差数列an中，已知a3a99200，求S101.⑵在等差数列an中，已知a15a12a9a620，求S20.湖南省长沙市第一中学 数学教案

第二章 数列

例4．已知等差数列{an}前四项和为21,最后四项的和为67,所有项的和为286,求项数n.a1a2a3a421,解：依题意，得

aaaa67,n1n2n3n

两式相加得(a1an)(a2an1)(a3an2)(a4an3)88, 又a1ana2an1a3an2a4an3,所以a1an22

n(a1an)又Sn286，所以n=26．

例5．已知一个等差数列{an}前10项和为310,前20项的和为1220,由这些条件能确定这个等差数

列的前n项的和吗？.思考：（1）等差数列中S10,S20S10,S30S20，成等差数列吗？

（2）等差数列前m项和为Sm,则Sm、S2mSm.、S3mS2m是等差数列吗？

练习：教材第118页练习第1、3题．

三、课堂小结：

1.等差数列的前n项和公式1：Snn(a1an)2 ；

． 2.等差数列的前n项和公式2：Snna1

四、课外作业：

1.阅读教材第42～44页； 2.《习案》作业十三．

n(n1)d2

第五篇：2.3等差数列前n项和学案

2.3.1等差数列前n项和学案（第一课时）

姓名：班级：日期：【学习目标】

1.掌握等差数列前n项和公式及其获取思路；

2.会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题.【本节重点】等差数列前n项和公式的理解、推导及应用.【本节难点】灵活运用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题

一、复习回顾

1：什么是等差数列？等差数列的通项公式是什么？

2：等差数列有哪些性质？

二、学习探究

探究：等差数列的前n项和公式问题：

1.计算1+2+„+100=?

2.如何求1+2+„+n=?

新知：

数列{an}的前n项的和：

一般地，称{an}的前n项的和，用Sn表示，即Sn反思：

① 如何求首项为a1，第n项为an的等差数列{an}的前n项的和?

② 如何求首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项的和?

试试：根据下列各题中的条件，求相应的等差数列{an}的前n项和Sn.⑴a14，a818，n8；⑵a114.5，d0.7，n1

5小结： 1.用Sn(a1an)

n，必须具备三个条件：.2.用Sn(n1)d

nna1，必须已知三个条件：.三、典型例析：在等差数列{an}中，(1)已知a15＝10，a45＝90，求

s60

(2)已知S12＝84，S20＝460，求S28；(3)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S8．

四、学习小结 1.等差数列前n项和公式的两种形式；2.两个公式适用条件，并能灵活运用；

3.等差数列中的“知三求二”问题，即：已知等差数列之a1,an,q,n,Sn五个量中任意的三个，列方程组可以求出其余的两个.五、当堂检测 1.在等差数列{an}中，S10120，那么a1a10（）.A.12B.24C.36D.48 2.在50和350之间，所有末位数字是1的整数之和是（）.A．5880B．5684C．4877D．4566 3.已知等差数列的前4项和为21，末4项和为67，前n项和为286，则项数n 为（）A.24B.26C.27D.28 4.在等差数列{an}中，a12，d1，则S8.5.在等差数列{an

}中，a125，a5

33，则S6

