运用公式法——平方差公式教案（精选五篇）

第一篇：运用公式法——平方差公式教案

运用公式法——平方差公式教案

教学目标

（一）知识认知要求

1.使学生了解运用公式法分解因式的意义； 2.使学生掌握用平方差公式分解因式.3.使学生了解，提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解因式.（二）能力训练要求

1.通过对平方差公式特点的辨析，培养学生的观察能力.2.训练学生对平方差公式的运用能力.（三）情感与价值观要求

在引导学生逆用乘法公式的过程中，培养学生逆向思维的意识，同时让学生了解换元的思想方法.教学重点

让学生掌握运用平方差公式分解因式.教学难点

将单项式化为平方形式，再用平方差公式分解因式；培养学生多步骤分解因式的能力.教学过程

一、创设问题情境,引入新课

在前两节课中我们学习了因式分解的定义，即把一个多项式分解成几个整式的积的形式，还学习了提公因式法分解因式，即在一个多项式中，若各项都含有相同的因式，即公因式，就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成几个因式乘积的形式.如果一个多项式的各项，不具备相同的因式，是否就不能分解因式了呢？当然不是，只要我们记住因式分解是多项式乘法的相反过程，就能利用这种关系找到新的因式分解的方法，本节课我们就来学习另外的一种因式分解的方法——公式法.二、新课讲解

1.请看乘法公式（a+b）（a－b）=a2－b2

（1）

左边是整式乘法，右边是一个多项式，把这个等式反过来就是 a2－b2=（a+b）（a－b）

（2）

左边是一个多项式，右边是整式的乘积.大家判断一下，第二个式子从左边到右边是否是因式分解？

符合因式分解的定义，因此是因式分解.对，是利用平方差公式进行的因式分解.第（1）个等式可以看作是整式乘法中的平方差公式，第（2）个等式可以看作是因式分解中的平方差公式.2.公式讲解

请大家观察式子a2－b2,找出它的特点.公式的特点

下面按公式分类，一一进行阐述．(1)平方差公式：

a2b2(ab)(ab)这里a，b可以表示数、单项式、多项式． 公式的特点是： ①左侧为两项； ②两项都是平方项； ③两项的符号相反．

（是一个二项式，每项都可以化成整式的平方，整体来看是两个整式的平方差.如果一个二项式，它能够化成两个整式的平方差，就可以用平方差公式分解因式，分解成两个整式的和与差的积.）

如x2－16=（x）2－42=（x+4）（x－4）.9 m 2－4n2=（3 m）2－（2n）2 =（3 m +2n）（3 m －2n）3.例题讲解

例1 ： 把下列各式分解因式：

（1）25－16x2;

（2）9a2－解：（1）25－16x2=52－（4x）2 =（5+4x）（5－4x）;

2b.4121b=（3a）2－（b）2 4211=（3a+b）（3a－b）.22（2）9a2－例2 ： 把下列各式分解因式:（1）9（m+n）2－（m－n）2;（2）2x3－8x.解：（1）9（m +n）2－（m－n）2 =［3（m +n）］2－（m－n）2 =［3（m +n）+（m－n）］［3（m +n）－（m－n）］ =（3 m +3n+ m－n）（3 m +3n－m +n）=（4 m +2n）（2 m +4n）=4（2 m +n）（m +2n）（2）2x3－8x=2x（x2－4）=2x（x+2）（x－2）

说明：例1是把一个多项式的两项都化成两个单项式的平方，利用平方差公式分解因式；例2的（1）是把一个二项式化成两个多项式的平方差，然后用平方差公式分解因式，例2的（2）是先提公因式，然后再用平方差公式分解因式，由此可知，当一个题中既要用提公因式法，又要用公式法分解因式时，首先要考虑提公因式法，再考虑公式法.补充例题3：判断下列分解因式是否正确.（1）（a+b）2－c2=a2+2ab+b2－c2.（2）a4－1=（a2）2－1=（a2+1）·（a2－1）.解：（1）不正确.本题错在对分解因式的概念不清，左边是多项式的形式，右边应是整式乘积的形式，但（1）中还是多项式的形式，因此，最终结果是未对所给多项式进行因式分解.（2）不正确.错误原因是因式分解不到底，因为a2－1还能继续分解成（a+1）（a－1）.应为a4－1=（a2+1）（a2－1）=（a2+1）（a+1）（a－1）.例4 ： 把下列各式分解因式：

22（1）9ab；

（2）4nm；

2212a9b2；

（4）16a225b2c4； 16122（5）xy0.09。

4（3）思路分析

（这是平方差公式的特征）

通过变形，二项都是完全平方形式，且符号相反。解：（1）9a2b2(3a)2b2(3ab)(3ab)；

（2）4n2m2m2(2n)2

（加法交换律）

=(m+2n)(m－2n)；

1a（3）a29b2(3b)2

164aa3b3b； 44（比较两种分解方法）

或

2121a9b2(a2144b2)16161[a2(12b)2] 161(a12b)(a12b)； 16（与aa3b3b相等吗？）44224222（4）16a25bc(4a)(5bc)（注意变形）

(4a5bc2)(4a5bc2)；

11（5）x2y20.09(0.3)2xy

42（加法交换律）

2110.3xy0.3xy。

22 点评：平方差公式的特征。

①公式左边的多项式形式上是二项式，且两项的符号相反； ②第一项都可化成某个数或某式的平方的形式；

③右边是这两个数或两个式子的和与它们的差的积，相当于分解为两个一次二项式的积；

④公式中所说的两个数或两个式子是指a、b，不是a，b，其中a、b可以是数字，是字母，也可以是单项式、多项式。

应用平方差公式分解多项式关键是把多项式构建成符合公式特征的形式，然后明确多项 式和公式中的字母如何对应。例5 ： 把下列各式分解因式：

（1）(mn)21；

（2）(a1)29(a2)2；（3）(ab)2(ab)2；

（4）4x2(xy)2；（5）116x；

思路分析

通过观察，都符合平方差公式的特征。

解：（1）(mn)21(mn)21（把m－n看做一个整体）

=(m－n+1)(m－n－1)；

（2）(a1)9(a2)[3(a2)](a1)

（加法交换律）

=[3(a－2)+(a+1)][3(a－2)－(a+1)]

=(3a－6+a+1)(3a－6－a－1)

（必须化简）=(4a－5)(2a－7)；

（不要跳步，以免出错）

（3）(ab)(ab)(ab)(ab)

=[(a－b)+(a+b)][(a－b)－(a+b)] =2a·(－2b)

（不要跳步）=－4ab；

（4）4x(xy)(2x)(xy)

=(2x+x－y)(2x－x+y)=(3x－y)(x+y)。

（5）116x16x1 ***22(4x2)21

(4x21)(4x21)

（4x21符合平方差公式，还能再分解）(4x21)(2x1)(2x1)； 例6： 计算：（1）11111； 11122222341001111111 2232421002解：（1）1111111111111 223310010031425310199 ***1101； 2100200例7

若(2481)可以被60与70之间的两个数整除，求这两个数． 点悟：将(2481)分解成几个整数的积的形式，然后分析对照条件即得． 解：2481(2241)(2241)

(2241)(2121)(2121)(2241)(2121)(261)(261)，∵

2165,2163，∴

这两个数分别为65和63．

三、课堂练习

（一）随堂练习1.判断正误

（1）x2+y2=（x+y）（x－y）;

（3）－x2+y2=（－x+y）（－x－y）;

2.把下列各式分解因式

解：（1）a2b2－m2（2）（m－a）2－（n+b）2（3）x2－（a+b－c）2（4）－16x4+81y4

（二）补充练习：把下列各式分解因式（1）36（x+y）2－49（x－y）2;（2）（x－1）+b2（1－x）;（3）（x2+x+1）2－1.66（2）x2－y2=（x+y）（x－y）;

（4）－x2－y2=－（x+y）（x－y）.四.课时小结

我们已学习过的因式分解方法有提公因式法和运用平方差公式法.如果多项式各项含有公因式，则第一步是提公因式，然后看是否符合平方差公式的结构特点，若符合则继续进行.第一步分解因式以后，所含的多项式还可以继续分解，则需要进一步分解因式，直到每个多项式都不能分解为止.五.课后作业

习题2.4 六.活动与探究

把（a+b+c）（bc+ca+ab）－abc分解因式 解：（a+b+c）（bc+ca+ab）－abc =［a+（b+c）］［bc+a（b+c）］－abc

2=abc+a（b+c）+bc（b+c）+a（b+c）2－abc=a2（b+c）+bc（b+c）+a（b+c）2 =（b+c）［a2+bc+a（b+c）］ =（b+c）［a2+bc+ab+ac］ =（b+c）［a（a+b）+c（a+b）］ =（b+c）（a+b）（a+c）

七、板书设计

运用公式法——平方差公式

一、1.由整式乘法中的平方差公式推导因式分解中的平方差公式.2.公式讲解 3.例题讲解

补充例题

第二篇：平方差公式的运用

浅谈平方差公式在初中数学中的运用

提要：平方差公式(ab)(ab)a2b2是初中阶段的一个重要的公式，应用也十分广泛，必须引起教师的高度重视。

关键词：平方差

整式乘法

因式分解

无理数

平方差公式在初中数学上占据了重要位置，在近几年的中考和期末测试中经常出现，所以要求学生掌握并运用好平方差公式。

一、平方差公式乘法中的运用

平方差公式：(ab)(ab)a2b2，其形式是：两项之和与这两项的差的乘积等于这个项的平方差，其中的a、b可以是具体数，也可以是单项式、多项式。可用公式的都有两个共同特点：前一个因式与后一个因式中各有一项是相同，剩下的两项是互为相反数。有些形式上不符合公式，但只要符合这个特点，可以根据公式的特点，应用加法加换律、结合律进行灵活变形，或者用提负号的方法把题转化成平方差公式。

（一）、整式乘法中的运用 例1.(2x3)(2x3)

分析：本题是整式乘法中的最简单的，是这两个项的和与这两个项的差的积等于这两项的平方差，可直接用公式进行计算。

(2x3)(2x3)(2x)2324x29例2．(3a2b)(3a2b)

分析：本类题是属于两个多项项式的乘积，这类题形首先要观察是否符合公式特点，看出前一个因式中与后一个因式中都是-2b，剩下的一个是-3a，一个3a，它们互为相反数，可以用公式。计算本题有两种方法（1）是利用加法加换律调整位置，把它转化为一般式；（2）提一个负号转化成一般式，再用公式计算。

解法

1、加法加换律进行调整其位置

解法

2、提取负号

(3a2b)(3a2b)

(3a2b)(3a2b)

2b3a(2b3a)

(3a2b)(3a2b)

(9a24b2)

22=2b3a

例

3、2xyz2xyz 4b29a9a4b

分析：本类题每一个因式中都是三个或三个以上的项，所以先利用加法结合律，把一个因式中的多项式转化成两个式子的和差形式，再观察是否符合公式特点。前一个因式中的2xyz结合成[(2xy)z]，后一个因式2xyz结合成[(2xy)z]，(2xy)与(2xy)为相等，z与-z互为相反数，可用公式进行计算。

2xyz2xyz

2xyz2xyz 2xyz2xyz

2xyz2 24x24xyy2z2

小结：注意平方差进行乘法运算时，经常出现的的误区有（1）对因式中各项的系数，符号要仔细观察、比较，不能误用公式，如(3a2b)(2a3b)、如（2）公式中的字母是多种形式(3a2b)(3a2b)，此类题目不能运用平方差公式；的，所以当这个字母表示一个负数、或分数、或单项式与多项式，应加上括号，避免出现只把字母平方，而系数忘了平方的错误。

二、因式分解中的应用

因式分解我们一般采用的方法是：一提（提取公因式）、二套（套用公式）、三分组，其中套用平方差公式，也就是整式乘法中(ab)(ab)a2b2的逆用：a2b2(ab)(ab)，其题可以是二项式，也可以是多项式。能用公式的共同特点：题目中都可以转化成一项或一式的平方减去一项或一式的平方。如有这种形式的都能用平方差公式进行了分解因式。分解因式时，要求掌握好逆用幂的运算法则，弄清楚多项式中可转化哪几个数组成平方差，清楚题形中的a、b各代表什么式。

例

1、分解因式x2y2

分析：本题与公式是一样的，可直接套用公式。

x2y2(xy)(xy)

例

2、分解因式x4y16y

分析：此题先提公因式y，所剩下的x416转化成(x2)242，其中a为x2、b为4，本题用平方差公式到各因式不能再分解为止。

x4y16yy(x416)

y(x24)(x24)

y(x24)(x2)(x2)例

3、因式分解x22xyy29

分析：本题我们先要进行分组成能转化成平方差公式，前三项分在一组里，最后一项为一组，把x22xyy2转化成(xy)2，从而形成(xy)232

x22xyy29(xy)232(xy3)(xy3)

小结：因式分解中的平方差公式的运用是必要的，有些题目只有用平方差公式才能分解因式，它的作用更大于整式乘法中的应用，整式乘法中如果不会用公式，也可以用一般的多项式乘以多项式的方法来计算，只是复杂而已。分解因式中时常的错误有：（1）各项没有转化为平方就用公式，如4x2y2(4xy)(4xy)；（2）误用公式，如x2y2(xy)(xy)

三、平方差公式在一些特殊题中的运用

（一）、简便运算中的运用

如某两数的乘积，如果这两个数与另一个数都要都相差相同的一个数时，就可以把这两数的乘积转化成另外一个数与相同数的和与差的乘积，从而做到转化成平方差公式。

例1、98×102

分析：98与102都与100相差2，98转化成100-2，102转化成100+2。98×102 =（100-2）（100+2）=100222 =9996 例2、2563255256257

分析：本题的技巧在于三个连续的整数，我们可以将第一个数转化成中间数减1，第三个数可以转化中间数加1。

(3)2563255256257256325625612561 2563256(256212)25632563256256例3、10029929829722212

分析：本题中每两组都要可以转化成平方差公式，计算后会发现它是一个等差数列。

10029929829722212(10099)(10099)(9897)(9897)(21)(21)10099989721100(1001)25050小结：有关复杂的数字计算中，如能抓住数字特点，巧用平方差公式，可简化运算过程，提高运算效率，培养良好的数学素养。数字中的平方差公式的运算会出现错识有：98×102=（100-2）（100+2）=100222982

（二）、二次根式计算及分母有理化中的运用

用平方差公式进行二次根式计算及分母有理化，是初三二次根式计算和化简中的重点。它的方法在于分子分母同时乘以一个式子，使其分母转化成一平方差公式，从而做到分母去根号（有理化）的效果。

例1：(62)(62)

分析：本类题是二次根式的计算，是这两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，用公式6为a，2为b进行计算。

(62)(62)(6)2(2)2624

例2化简 452

分析：观察此题分母中含有二次根式，要进行有理化，分母本身是52，分子分母同时乘以52，使分母转化成平方差公式。

4524(52)(52)(52)45424542223(5)(2)

小结：这种类型题分母有理化中要抓住分母的特点，想办法使其转化为平方差公式，做题时切记，如果是单用完全平方去分母是起不到有理化的效果，所以要用平方差公式进行有理化。例如：

除了初中价段的应用外，以后的数学学科都有其有关的知识，可见平方差公式在数学领域中应用及其广泛，值得一提的是这个公式从初中到大学都有不同程度的应用，教学上初中至关重要，因此我们应该从不同的角度去掌握并运用平方差公式。

44216 252(52)52102

浅谈平方差公式在初中数学中的运用

玉龙县鲁甸中学

和祺剑

提要：平方差公式(ab)(ab)a2b2是初中阶段的一个重要的公式，应用也十分广泛，必须引起教师的高度重视。

关键词：平方差

整式乘法

因式分解

无理数

平方差公式在初中数学上占据了重要位置，在近几年的中考和期末测试中经常出现，所以要求学生掌握并运用好平方差公式。

一、平方差公式乘法中的运用

平方差公式：(ab)(ab)a2b2，其形式是：两项之和与这两项的差的乘积等于这个项的平方差，其中的a、b可以是具体数，也可以是单项式、多项式。可用公式的都有两个共同特点：前一个因式与后一个因式中各有一项是相同，剩下的两项是互为相反数。有些形式上不符合公式，但只要符合这个特点，可以根据公式的特点，应用加法加换律、结合律进行灵活变形，或者用提负号的方法把题转化成平方差公式。

（一）、整式乘法中的运用 例1.(2x3)(2x3)

分析：本题是整式乘法中的最简单的，是这两个项的和与这两个项的差的积等于这两项的平方差，可直接用公式进行计算。

(2x3)(2x3)(2x)2324x29例2．(3a2b)(3a2b)

分析：本类题是属于两个多项项式的乘积，这类题形首先要观察是否符合公式特点，看出前一个因式中与后一个因式中都是-2b，剩下的一个是-3a，一个3a，它们互为相反数，可以用公式。计算本题有两种方法（1）是利用加法加换律调整位置，把它转化为一般式；（2）提一个负号转化成一般式，再用公式计算。

解法

1、加法加换律进行调整其位置

解法

2、提取负号

(3a2b)(3a2b)

(3a2b)(3a2b)

2b3a(2b3a)

(3a2b)(3a2b)

(9a24b2)

22=2b3a

例

3、2xyz2xyz 4b29a9a4b

分析：本类题每一个因式中都是三个或三个以上的项，所以先利用加法结合律，把一个因式中的多项式转化成两个式子的和差形式，再观察是否符合公式特点。前一个因式中的2xyz结合成[(2xy)z]，后一个因式2xyz结合成[(2xy)z]，(2xy)与(2xy)为相等，z与-z互为相反数，可用公式进行计算。

2xyz2xyz

2xyz2xyz

2xyz2xyz

2xyz2 24x24xyy2z2

小结：注意平方差进行乘法运算时，经常出现的的误区有（1）对因式中各项的系数，符号要仔细观察、比较，不能误用公式，如(3a2b)(2a3b)、如（2）公式中的字母是多种形式(3a2b)(3a2b)，此类题目不能运用平方差公式；的，所以当这个字母表示一个负数、或分数、或单项式与多项式，应加上括号，避免出现只把字母平方，而系数忘了平方的错误。

二、因式分解中的应用

因式分解我们一般采用的方法是：一提（提取公因式）、二套（套用公式）、三分组，其中套用平方差公式，也就是整式乘法中(ab)(ab)a2b2的逆用：a2b2(ab)(ab)，其题可以是二项式，也可以是多项式。能用公式的共同特点：题目中都可以转化成一项或一式的平方减去一项或一式的平方。如有这种形式的都能用平方差公式进行了分解因式。分解因式时，要求掌握好逆用幂的运算法则，弄清楚多项式中可转化哪几个数组成平方差，清楚题形中的a、b各代表什么式。

例

1、分解因式x2y2

分析：本题与公式是一样的，可直接套用公式。

x2y2(xy)(xy)

例

2、分解因式x4y16y

分析：此题先提公因式y，所剩下的x416转化成(x2)242，其中a为x2、b为4，本题用平方差公式到各因式不能再分解为止。

x4y16yy(x416)

y(x24)(x24)

y(x24)(x2)(x2)例

3、因式分解x22xyy29

分析：本题我们先要进行分组成能转化成平方差公式，前三项分在一组里，最后一项为一组，把x22xyy2转化成(xy)2，从而形成(xy)232

x22xyy29(xy)232(xy3)(xy3)

小结：因式分解中的平方差公式的运用是必要的，有些题目只有用平方差公式才能分解因式，它的作用更大于整式乘法中的应用，整式乘法中如果不会用公式，也可以用一般的多项式乘以多项式的方法来计算，只是复杂而已。分解因式中时常的错误有：（1）各项没有转化为平方就用公式，如4x2y2(4xy)(4xy)；（2）误用公式，如x2y2(xy)(xy)

三、平方差公式在一些特殊题中的运用

（一）、简便运算中的运用

如某两数的乘积，如果这两个数与另一个数都要都相差相同的一个数时，就可以把这两数的乘积转化成另外一个数与相同数的和与差的乘积，从而做到转化成平方差公式。

例1、98×102

分析：98与102都与100相差2，98转化成100-2，102转化成100+2。98×102 =（100-2）（100+2）=100222 =9996 例2、2563255256257

分析：本题的技巧在于三个连续的整数，我们可以将第一个数转化成中间数减1，第三个数可以转化中间数加1。

(3)2563255256257256325625612561 2563256(256212)25632563256256例3、10029929829722212

分析：本题中每两组都要可以转化成平方差公式，计算后会发现它是一个等差数列。

10029929829722212(10099)(10099)(9897)(9897)(21)(21)10099989721100(1001)25050小结：有关复杂的数字计算中，如能抓住数字特点，巧用平方差公式，可简化运算过程，提高运算效率，培养良好的数学素养。数字中的平方差公式的运算会出现错识有：98×102=（100-2）（100+2）=100222982

（二）、二次根式计算及分母有理化中的运用

用平方差公式进行二次根式计算及分母有理化，是初三二次根式计算和化简中的重点。它的方法在于分子分母同时乘以一个式子，使其分母转化成一平方差公式，从而做到分母去根号（有理化）的效果。

例1：(62)(62)

分析：本类题是二次根式的计算，是这两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，用公式6为a，2为b进行计算。

(62)(62)(6)2(2)2624

例2化简 452

分析：观察此题分母中含有二次根式，要进行有理化，分母本身是52，分子分母同时乘以52，使分母转化成平方差公式。

4524(52)(52)(52)45424542223(5)(2)

小结：这种类型题分母有理化中要抓住分母的特点，想办法使其转化为平方差公式，做题时切记，如果是单用完全平方去分母是起不到有理化的效果，所以要用平方差公式进行有理化。例如：

除了初中价段的应用外，以后的数学学科都有其有关的知识，可见平方差公式在数学领域中应用及其广泛，值得一提的是这个公式从初中到大学都有不同程度的应用，教学上初中至关重要，因此我们应该从不同的角度去掌握并运用平方差公式。

44216 252(52)52102

第三篇：平方差公式教案

灰太狼开了租地公司,一天他把一边长为a米的正方形土地租给懒羊羊种植.有一年,他对懒羊羊说:“我把这块地的一边增加5米,另一边减少5米,继续租给你, 你也没吃亏,你看如何?”懒羊羊一听觉得没有吃亏,就答应了.同学们,你们觉得懒羊羊有没有吃亏?

一、知识回顾:

多项式与多项式怎样相乘的? 和学生拉近距离,引起学生的兴趣。

二、自主探究:

1、计算下列多项式的积:

1、(x+1)(x-1)

2、(m+2)(m-2)=

= =

=

3、(2x+1)(2x-1)

4、(x+5y)(x-5y)=

= =

=

2、归纳: 观察算式结构,你发现了什么规律? ①算式中每个因式都有 项。

②算式都是两个数的 与 的 _____ 的积。即两个因式中,有一项 ,另一项。计算结果后,你又发现了什么规律? 计算结果都是前项的 减去后项的。

三、合作交流:

1、猜想:

2、验证:

3、得出:

(a+b)(a-b)= 两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差。

四、例题精析

1、判断下列式子是否可用平方差公式 :(1)(-a+b)(a+b)(2)(-2a+b)(-2a-b)(3)(-a+b)(a-b)(4)(a+b)(a-c)

2、参照(a+b)(a-b)= a2-b2填空

3、运用平方差公式计算:(1)(2)

4、计算:(1)

(2)

巩固提升(根据时间的变化而定)

1、下列多项式乘法中,能用平方差公式计算的是()A.(x+1)(1+x);B.(2x-5)(2x+5)C.(-a+b)(a-b);D.(x2-y)(x+y2)

2、运用平方差公式进行计算:(1)(3x+4)(3x-4)(2)(3a+2b)(2b-3a)(3)(-4x-3y)(-4x+3y)

3、你能用简便方法计算下列各题吗?(1)51×49(2)998×1002 4.判断对错,如果有错,如何改正? ⑴;⑵;⑶;

五、小结:平方差公式的特征:(1)左边是两个二项式相乘,这两项中有一项

相同,另一项互为相反数;(2)右边是相同项的平方减去相反项的平方;(3)先平方,后相减。

公式中的可以表示单项式(数字,字母), 也可以表示多项式(如x+y)。

六、作业

教科书156页-----1 小组交流、讨论

让学生通过计算,观察每个算式的特点和结果的特点,挖掘题目之间的共性,发现规律,猜想公式,从而经历从-般到特殊、从具体到抽象的过程,体会归纳这-数学思想方法准确地运用数学语言表述公式以剖析a、b为目的,对于帮助学生认清公式的结构特征起到事半功倍的作用,在接下来的公式运用中,相信学生会更加得心应手.尝试、交流、教师点拨进一步强化学生的知识对学生经常出现的错误进行预设,防微杜渐.

第四篇：平方差公式教案

《平方差公式》教学设计

牟平实验中学 隋玲

一、教材分析

《平方差公式》是在学习了有理数运算、列简单的代数式、一次方程、整式的加减及整式乘法等知识的基础上，在学生已经掌握了多项式乘法之后，自然过渡到具有特殊形式的多项式的乘法，是从一般到特殊的认知规律的典型范例.对它的学习和研究，不仅给出了特殊的多项式乘法的简便算法，而且为以后的因式分解、分式的化简、二次根式中的分母有理化、解一元二次方程、函数等内容奠定了基础，同时也为完全平方公式的学习提供了方法.因此，平方差公式在初中阶段的教学中也具有很重要地位，是初中阶段的第一个乘法公式.本节课的教学重点是：经历探索平方差公式的全过程，并能运用公式进行简单的运算.二、教学目标 知识与技能目标：

掌握平方差公式的结构特征，能运用公式进行简单的运算； 过程与方法目标：

经历平方差公式的探索过程，进一步发展学生的符号感和推理能力、归纳能力； 情感态度与价值观：

会用几何图形说明公式的意义，体会数形结合的思想方法.三、教学重点、难点：

本节课的重点：平方差公式的特点以及会运用公式进行简单计算。

本节课的教学难点：利用数形结合的数学思想方法解释平方差公式，灵活运用平方差公式进行计算．

四、教学过程设计

（一）创设情境，引出课题

小明的妈妈领着小明到新房子去，进了客厅，妈妈说：“客厅长6.1米，宽5.9米，能帮我算一下客厅的面积吗？”小明没有带笔和计算器，你能快速帮助小明算出客厅的面积吗？

设计意图：通过出示与实际生活相联系的问题，说明数学来源与生活并服务与生活，同时引出本节课的问题，当然这一问题的解决需要本节课的知识来解决。

问题１：计算下列多项式的积，你能发现什么规律？（1）（x+1）（x-1）= ；（2）（m+2）（m-2）= ；（3）（2x+1）（2x-1）= ．

设计意图：通过对特殊的多项式与多项式相乘的计算，既复习了旧知，又为下面学习习近平方差公式作了铺垫，让学生感受从一般到特殊的认识规律，引出乘法公式----平方差公式．

（二）探索新知，尝试发现

问题２：依照以上三道题的计算回答下列问题：

①式子的左边具有什么共同特征？

②它们的结果有什么特征？

③能不能用字母表示你的发现？

师生活动：教师提问，学生通过自主探究、合作交流，发现规律，式子左边是两个数的和与这两个数的差的积，右边是这两个数的平方差，并猜想出：

．

设计意图：在学生已掌握的多项乘法法则的基础上,探索具有特殊形式的多项式乘法──平方差公式，这样更加自然、合理．

（三）数形结合，几何说理

问题3：活动探究：将长为（a+b），宽为（a－b）的长方形，剪下宽为b的长方形条，拼成有空缺的正方形，并请用等式表示你剪拼前后的图形的面积关系

．

设计意图：通过学生小组合作，完成剪拼游戏活动,利用这些图形面积的相等关系,进一步从几何角度验证了平方差公式的正确性,渗透了数形结合的思想，让学生体会到代数与几何的内在联系．引导学生学会从多角度、多方面来思考问题．对于任意的a、b，由学生运用多项式乘法计算：

（四）总结归纳，发现新知，验证了其公式的正确性． 问题4：你能用文字语言表示所发现的规律吗？

两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．

设计意图：鼓励学生用自己的语言表述，从而提高学生的语言组织与表达能力．

（五）剖析公式，发现本质 在平方差公式

中，其结构特征为：

①左边是两个二项式相乘，其中“a与a”是相同项，“b与-b”是相反项；右边是二项式，相同项与相反项的平方差，即

；

②让学生说明以上四个算式中，哪些式子相当于公式中的a和b，明确公式中a和b的广泛含义，归纳得出：a和b可能代表数或式．

设计意图：通过观察平方差公式，体验公式的简洁性并通过分析公式的本质特征掌握公式．在认清公式的结构特征的基础上，进一步剖析a、b的广泛含义，抓住了概念的核心，使学生在公式的运用中能得心应手，起到事半功倍的效果．

（六）巩固运用，内化新知

问题5：判断下列算式能否运用平方差公式计算：（1）（2x+3a）（2x–3b）；（2）（3）（－m+n）（m－n）；（4）（5）

．

；

；

设计意图：学生经过思考、讨论、交流，进一步熟悉平方差公式的本质特征，掌握运用平方差公式必须具备的条件．巩固平方差公式，进一步体会字母a、b可以是数，也可以是式，加深对字母含义广泛性的理解．

问题6：判断下列计算是否正确：

（1）（2a–3b）（2a–3b）=4a2－9b2（）

（2）（x+2）（x – 2）=x2－2（）

（3）（－3a－2）（3a－2）=9a2－4（）（4）

（）设计意图：对学生常出现的错误，作具体的分析，以加深学生对公式的理解，进一步掌握平方差公式的本质特征和运用平方差公式必须具备的条件．

问题7：计算：

（1）（2x +3）（2x－3）；（2）（b+2a）（2a－b）． 解：（1）（2x + 3）（2x –3）=（2x）－3 = 4x －9

2（2）（b+2a）（2a－b）=（2a）－b =4a－b

设计意图：解决操作层面问题．可提议用不同方法计算，以体现学生的创造性．

（七）拓展引申，发展思维 问题8：计算：

（1）首先看本节课的开始题目，你能帮助小明吗？（2）98×（－102）；（3）

．

设计意图：首位呼应，运用本节课的内容解决开始的问题；把相乘两数转化成两数和与两数差的乘积形式，此题体现了转化的思想和数式通性；另一题是平方差公式与一般多项式乘法的综合，注意不能用公式的仍按多项式乘法法则进行．

（八）小试牛刀，挑战自我

1．在下列括号中填上合适的多项式：

2．看谁算得快：

设计意图：设计此组题旨在从正反两方面灵活运用平方差公式，由结果追溯算式中的相同项和相反项，关键在于理解公式结构特征，同时锻炼了学生逆向思维能力，也为后续的学习做了铺垫．第2个填空题有两种填法，属开放设计．目的是加强学生对公式结构特征的理解，同时也锻炼学生的发散思维．

（九）总结概括，自我评价

问题10：这节课你有哪些收获？还有什么困惑？ 设计意图：从知识和情感态度两个方面加以小结，使学生对本节课的知识有一个系统全面的认识．

（十）课后作业 必做题：习题1.选做题：1．2．计算：（1）（2）（3）

；

；

．，则A的末位数是_______．

设计意图：作业分层处理有较大的弹性，体现作业的巩固性和发展性原则，尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需要，让不同的人在数学上得到不同的发展．

第五篇：平方差公式教案

公开课教案

课题：平方差公式 授课：张福仁 教学目标：

1、知识与技能目标：会用平方差公式进行多项式乘法运算

2、过程与方法目标：通过问题情境，引导学生自行得出平方差公式，再通过练习巩固。

3、情感态度与价值观目标：通过问题探究，培养学生独立思考、解决问题能力。教学重点：平方差公式理解、运用 教学难点：平方差公式理解、运用 教学过程

Ⅰ.提出问题,创设情境

[师]你能用简便方法计算下列各题吗?(1)2001×1999(2)998×1002 [生甲]直接乘比较复杂,我考虑把它化成整百,整千的运算,从而使运算简单,2001可以写成2000+1,1999可以写成2000-1,那么2001×1999可以看成是多项式的积,根据多项式乘法法则可以很快算出.[生乙]那么998×1002=(1000-2)(1000+2)了.[师]很好,请同学们自己动手运算一下.[生](1)2001×1999=(2000+1)(2000-1)=20002-1×2000+1×2000+1×(-1)=20002-1 =4000000-1 =3999999.(2)998×1002=(1000-2)(1000+2)=10002+1000×2+(-2)×1000+(-2)×2

=10002-22 =1000000-4 =1999996.[师]2001×1999=20002-12 998×1002=10002-22 它们积的结果都是两个数的平方差,那么其他满足这个特点的运算是否也有这个规律呢?我们继续进行探索.Ⅱ.导入新课

计算下列多项式的积.(1)(x+1)(x-1)(2)(m+2)(m-2)(3)(2x+1)(2x-1)(4)(x+5y)(x-5y)观察上述算式,你发现什么规律?运算出结果后,你又发现什么规律?再举两例验证你的发现.(学生讨论,教师引导)[生甲]上面四个算式中每个因式都是两项.[生乙]我认为更重要的是它们都是两个数的和与差的积.例如算式(1)是x与1这两个数的和与差的积;算式(2)是m与2这两个数的和与差的积;算式(3)是2x与1•这两个数的和与差的积;算式(4)是x与5y这两个数的和与差的积.[师]这个发现很重要,请同学们动笔算一下,相信你还会有更大的发现.[生]解:(1)(x+1)(x-1)

=x2+x-x-1=x2-12(2)(m+2)(m-2)=m2+2m-2m-2×2=m2-22(3)(2x+1)(2x-1)=(2x)2+2x-2x-1=(2x)2-12(4)(x+5y)(x-5y)=x2+5y·x-x·5y-(5y)2 =x2-(5y)2 [生]从刚才的运算我发现: 也就是说,两个数的和与差的积等于这两个数的平方差,这和我们前面的简便运算得出的是同一结果.[师]能不能再举例验证你的发现? [生]能.例如: 51×49=(50+1)(50-1)=502+50-50-1=502-12.即(50+1)(50-1)=502-12.(-a+b)(-a-b)=(-a)·(-a)+(-a)·(-b)+b·(-a)+b·(-b)=(-a)2-b2=a2-b2 这同样可以验证:两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.[师]为什么会是这样的呢? [生]因为利用多项式与多项式的乘法法则展开后,中间两项是同类项,且系数互为相反数,所以和为零,只剩下这两个数的平方差了.[师]很好.请用一般形式表示上述规律,并对此规律进行证明.[生]这个规律用符号表示为:(a+b)(a-b)=a2-b2.其中a、b表示任意数,也可以表示任意的单项式、多项式.利用多项式与多项式的乘法法则可以做如下证明:(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2.[师]同学们真不简单.老师为你们感到骄傲.能不能给我们发现的规律(a+b)(a-b)=a2-b2起一个名字呢? [生]最终结果是两个数的平方差,叫它“平方差公式”怎样样? [师]有道理.这就是我们探究得到的“平方差公式”,•请同学们分别用文字语言和符号语言叙述这个公式.(出示投影)两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.即:(a+b)(a-b)=a2-b2 平方差公式是多项式乘法运算中一个重要的公式,用它直接运算会很简便,但必须注意符合公式的结构特征才能应用.在应用中体会公式特征,感受平方差公式给运算带来的方便,从而灵活运用平方差公式进行计算

(出示投影片)例1:运用平方差公式计算:(1)(3x+2)(3x-2)(2)(b+2a)(2a-b)(3)(-x+2y)(-x-2y)例2:计算:

(1)102×98(2)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)[师生共析]运用平方差公式时要注意公式的结构特征,学会对号入座.在例1的(1)中可以把3x看作a,2看作b.即:(3x+2)(3x-2)=(3x)2-22(a+b)(a-b)=a2-b2 同样的方法可以完成(2)、(3).如果形式上不符合公式特征,可以做一些简单的转化工作,使它符合平方差公式的特征.比如(2)应先作如下转化:(b+2a)(2a-b)=(2a+b)(2a-b).如果转化后还不能符合公式特征,则应考虑多项式的乘法法则.(作如上分析后,学生可以自己完成两个例题.•也可以通过学生的板演进行评析达到巩固和深化的目的)[例1]解:(1)(3x+2)(3x-2)=(3x)2-22=9x2-4.(2)(b+2a)(2a-b)=(2a+b)(2a-b)=(2a)2-b2=4a2-b2.(3)(-x+2y)(-x-2y)=(-x)2-(2y)2=x2-4y2.[例2]解:(1)102×98=(100+2)(100-2)=1002-22=10000-4=9996.(2)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)=y2-22-(y2+5y-y-5)=y2-4-y2-4y+5 =-4y+1.[师]我们能不能总结一下利用平方差公式应注意什么?

[生]我觉得应注意以下几点:(1)公式中的字母a、b可以表示数,也可以是表示数的单项式、多项式即整式.(2)要符合公式的结构特征才能运用平方差公式.(3)有些多项式与多项式的乘法表面上不能应用公式,•但通过加法或乘法的交换律、结合律适当变形实质上能应用公式.[生]运算的最后结果应该是最简才行.[师]同学们总结得很好.下面请同学们完成一组闯关练习.优胜组选派一名代表做总结发言