平方差公式教案1

第一篇：平方差公式教案1

《平方差公式》的课堂设计方案

【课标解读】

课程标准要求学生能从特殊的多项式乘以多项式的运算中发现规律，并归纳出公式，然后能利用公式进行计算并解决相关的数学问题。最后给出平方差公式的几何解释，要求学生能了解它的几何背景。整节课要让学生经历“特例──归纳──猜想──验证──用数学符号表示”这一数学活动过程，积累数学活动的经验，进一步发展学生的观察能力，探索能力，推理能力、归纳能力，培养符号感。同时体会数学的简洁美、培养他们的合情推理和归纳的能力以及在解决问题过程中与他人合作交流的重要性.数学课程的设计要符合学生的认知规律和心理特征，有利于激发学生的学习兴趣，引发学生的数学思考；要重视学生已有的经验，使学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程。【教材分析】

《平方差公式》是在学习了有理数运算、列简单的代数式、整式的加减及整式乘法等知识的基础上，在学生已经掌握了多项式乘法之后，自然过渡到具有特殊形式的多项式的乘法，是从一般到特殊的认知规律的典型范例.对它的学习和研究，不仅给出了特殊的多项式乘法的简便算法，而且为以后的因式分解、分式的化简、二次根式中的分母有理化、解一元二次方程、函数等内容奠定了基础，同时也为完全平

方公式的学习提供了方法.因此，平方差公式在初中阶段的教学中也具有很重要地位，是初中阶段的第一个公式.【教学目标】

1、经历探索平方差公式的过程，进一步发展学生的符号感和推理能力。

2、会推导平方差公式，并掌握平方差公式的结构特征，能运用公式进行简单的计算和推理。

3、能根据几何图形说明公式的意义，体会数形结合的思想方法。【教学重点与难点】

教学重点:

1、经历探索平方差公式的全过程，并能运用公式进行简单的运算。

2、能根据几何图形说明公式的意义，体会数形结合的思想方法。

教学难点：掌握平方差公式的结构特征，能灵活运用公式进行计算和推理。

【学情分析】

学生已熟练掌握了幂的运算和整式乘法，但在进行多项式乘法运算时常常会确定错某些项符号及漏项等问题．学生学习习近平方差公式的困难在于对公式的结构特征以及公式中字母的广泛含义学生的理解．因此，教学中引导学生分析公式的结构特征，并运用变式训练揭示公式的本质特征，以加深学生对公式的理解． 【评价设计】

1、通过问题情景、探索新知、总结归纳实现目标一的评价；

2、通过剖析公式、巩固运用、拓展深化实现目标二的评价；

3、通过数形结合，几何说理实现目标三的评价； 【教学过程】

一、审读课题，认识“平方差”，为学习新知识做准备。

1、这节课我们一起来学习“平方差公式”，请大家谈谈你对“平方差”的认识,可以举例说明。

2、请大家判断下列各式是哪两个式子的平方差。

（1）16a2-25b2;(2)a4-b2;(3)a2b2-1;(4)(a+b)2-0.0009。

【设计意图】:

（一）、培养学生主动审读课题的习惯，使学生每学习一个新的内容首先对题目进行一定的研究，比如联想到一些学过的知识，或对题目进行初步的分析、判断等，引发研究兴趣。

（二）、在学习代数式时学生对平方差有了一定的认识，但没做深入的研究，本节课要用到这个知识，所以先给学生做个铺垫。【预期目标】：学生能通过举例说明他对“平方差”的认识，通过相互启发，让学生理解可以使两个数的平方差，两个单项式的平方差，也可以是两个多项式的平方差，加大学生的理解宽度。

4二、创设情境，探索新知。

１、知识预备：请大家回忆多项式乘以多项式的运算法则，师友交流。

2、运用法则计算下列各题：（1）（3x+2）（x-2）= ；（2）（3m+1）（3m-2）= ；

（3）（7x+y）（7x-y）= ；（4）（x+5y）(x-5y)=;（5）（1-3a）(1+3a)=.3、观察以上算式的运算结果，为什么有的是三项，有的是两项？（由运算过程可知，互为相反数的两项和为零。）

4、什么样的两个多项式相乘的结果是两项呢？请大家仔细观察，组内交流你的发现。

5、组长做总结发言，师概括。（两个数的和与两个数的差相乘。）

6、再请大家观察右边的两项又有什么特点呢？用哪个词概括最合适？（平方差）

7、综合看等式的左右两边，你能用语言概括一下吗？（两个数和与两个数差的积，等于这两个数的平方差。）

8、师友之间每人再举两例验证你的发现。（找两对师友板书。如有问题及时发现并纠正。）

9、若要把这个规律用公式表示，你会怎么写呢？

(ab)(ab)a2b2

10、请大家再用多项式乘以多项式的方法验证一下这个公式的正确性。此处让学生自己选择验证方法，比如数的验证，字母的验证。

【设计意图】根据“最近发展区”理论，在学生已掌握的多项乘法法则的基础上,从一般情况中发现特殊情况，并其进行研究，通过观察，谈论，归纳出其中的规律，探索具有特殊形式的多项式乘法──平方差公式，这样更加自然、合理．让学生感受从一般到特殊的认识规律.【预期目标】：在复习了多项式乘以多项式的运算法则后，老师给出一组练习题，让学生从结果的特殊性中去发现问题，引起思考，通过小组谈论，归纳出其中的规律，并用语言表达。在学生给出字母表达式后，要进一步用多项式乘以多项式的的方法加以验证。这样的设计让学生理解“平方差公式”是多项式乘以多项式运算中的一种特殊情况，它的适用是要有一定的条件的。

三、数形结合，几何说理

下面我们用几何的方法说明平方差公式的合理性。

1、分析公式：结合实例解释代数式a2的意义。b2呢？(ab)(ab)呢？

（肯定会有学生想到边长为a 的正方形的面积。老师顺势把b2，(ab)(ab)都用面积进行解释。）

2、活动探究:每人准备一个边长为a的正方形，在它的一角剪去一个边长为b的正方形。你能把它拼成一个边长为(ab),(ab)的长方形吗？试一试。（参考课件）

3、结合拼图过程，你能利用面积相等验证平方差公式吗？小组交流。

4、如果把边长为b的正方形的位置挪动一下结论还成立吗？课后再试一试。

【设计意图】通过独立操作，小组合作，完成剪拼游戏活动,利用这些图形面积的相等关系,进一步从几何角度验证了平方差公式的正确性,渗透了数形结合的思想，让学生体会到代数与几何的内在联系．引导学生学会从多角度、多方面来思考问题．

【预期目标】：通过分析代数式的实际意义，希望学生能理解这种验证方法，明白动手操作的目的。前面已经有用几何的方法学习多项式乘以多项式的经验，相信学生能自己验证平方差公式的正确性。

四、巩固运用，内化新知

1．在下列括号中填上合适的多项式：

（此组题旨在从正反两方面灵活运用平方差公式，锻炼了学生逆向思维能力。）

2、判断下列算式能否运用平方差公式计算。（1）（2x+3a）（2x–3b）；（2）（3）（－m+n）（m－n）；（4）（5）

．

；

（第4小题要把其变形为（-3x-2p）(-3x+2p),使其形式上符合公式的模式。第5小题要把a+b看成一个整体，培养学生的整体意识。）

3、如果第4小题中不改变位置，你能根据公式中“a”,”b”的符号特点进行判断吗？

（引导学生重新认识公式，探索其符号特点。左边是两个二项式相乘，其中“a与a”是相同项，“b与-b”是相反项；右边是二项式，相同项与相反项的平方差，即

；）

4、判断下列计算是否正确：

（1）（2a–3b）（2a–3b）=4a2－9b2（）

（2）（x+2）（x – 2）=x2－2（）（3）（－3a－2）（3a－2）=9a2－4（）（4）

5、计算：

（1）（2x+3）（3x－3）；（2）（b+2a）（2a－b）解：（1）（2x+ 3）（2x–3）=（2x）2－32 = 4x 2－9

（）

（2）（b+2a）（2a－b）=（2a）2－b2 =4a2－b2

（解决操作层面问题．可提议用不同方法计算，以体现学生的创造性．）

6、练习

【设计意图】通过练习掌握运用平方差公式必须具备的条件．巩固平方差公式，进一步体会字母a、b可以是数，也可以是式，加深对字母含义广泛性的理解．同时结合第4小题，提出问题，经过思考、讨论、交流，认清公式的结构特征，抓住概念的核心，使学生在公式的运用中能得心应手，起到事半功倍的效果．

【预期目标】：

1、通过练习题引导学生剖析公式的符号特点，培养学生灵活应用的能力。

2、进一步加深对公式的理解，加速知识的内化。

五、拓展深化，发展思维：

1、用平方差公式进行计算：

（1）98×102；（2）118×122。

（题目要求很清楚，相信学生有能力解决，先小组完成，然后由学生讲解。）

【设计意图】把相乘两数转化成两数和与两数差的乘积形式，体现了转化的思想和数式通性。

（九）总结概括，自我评价

问题10：这节课你有哪些收获？还有什么困惑？

【设计意图】从知识和情感态度两个方面加以小结，使学生对本节课的知识有一个系统全面的认识．

（十）课后作业

选做题：1．，则A的末位数是_______．

2．计算：（1）（2）（3）

；

；

；

【设计意图】作业分层处理有较大的弹性，体现作业的巩固性和发展性原则，尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需要，让不同的人在数学上得到不同的发展．

五、目标检测设计

一、选择题：

1．下列多项式乘法中，可以用平方差公式计算的是（）

A

(-a-b)(a+b).B.(-a-b)(a-b).C.(a+b-c)(-a-b+c)

D.(-a+b)(a-b).二、填空题：

2．计算：(1+3a)(1-3a)= ； 3．计算：(-2y-3x)(3x-2y)= ； 4．(_____－4b)(_____+4b)=9a2－16b2．

三、计算： 5.（st-1）(st+1)6．(-2y-3x)(3x-2y)； 7．53×47.四、解答题：

8.已知：两个正方形的周长之和等于32cm，它们的面积之差为48cm2，求这两个正方形的边长.【设计意图】对本节重点内容进行现场检测，及时了解教学目标的达成情况

第二篇：平方差公式教案

灰太狼开了租地公司,一天他把一边长为a米的正方形土地租给懒羊羊种植.有一年,他对懒羊羊说:“我把这块地的一边增加5米,另一边减少5米,继续租给你, 你也没吃亏,你看如何?”懒羊羊一听觉得没有吃亏,就答应了.同学们,你们觉得懒羊羊有没有吃亏?

一、知识回顾:

多项式与多项式怎样相乘的? 和学生拉近距离,引起学生的兴趣。

二、自主探究:

1、计算下列多项式的积:

1、(x+1)(x-1)

2、(m+2)(m-2)=

= =

=

3、(2x+1)(2x-1)

4、(x+5y)(x-5y)=

= =

=

2、归纳: 观察算式结构,你发现了什么规律? ①算式中每个因式都有 项。

②算式都是两个数的 与 的 _____ 的积。即两个因式中,有一项 ,另一项。计算结果后,你又发现了什么规律? 计算结果都是前项的 减去后项的。

三、合作交流:

1、猜想:

2、验证:

3、得出:

(a+b)(a-b)= 两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差。

四、例题精析

1、判断下列式子是否可用平方差公式 :(1)(-a+b)(a+b)(2)(-2a+b)(-2a-b)(3)(-a+b)(a-b)(4)(a+b)(a-c)

2、参照(a+b)(a-b)= a2-b2填空

3、运用平方差公式计算:(1)(2)

4、计算:(1)

(2)

巩固提升(根据时间的变化而定)

1、下列多项式乘法中,能用平方差公式计算的是()A.(x+1)(1+x);B.(2x-5)(2x+5)C.(-a+b)(a-b);D.(x2-y)(x+y2)

2、运用平方差公式进行计算:(1)(3x+4)(3x-4)(2)(3a+2b)(2b-3a)(3)(-4x-3y)(-4x+3y)

3、你能用简便方法计算下列各题吗?(1)51×49(2)998×1002 4.判断对错,如果有错,如何改正? ⑴;⑵;⑶;

五、小结:平方差公式的特征:(1)左边是两个二项式相乘,这两项中有一项

相同,另一项互为相反数;(2)右边是相同项的平方减去相反项的平方;(3)先平方,后相减。

公式中的可以表示单项式(数字,字母), 也可以表示多项式(如x+y)。

六、作业

教科书156页-----1 小组交流、讨论

让学生通过计算,观察每个算式的特点和结果的特点,挖掘题目之间的共性,发现规律,猜想公式,从而经历从-般到特殊、从具体到抽象的过程,体会归纳这-数学思想方法准确地运用数学语言表述公式以剖析a、b为目的,对于帮助学生认清公式的结构特征起到事半功倍的作用,在接下来的公式运用中,相信学生会更加得心应手.尝试、交流、教师点拨进一步强化学生的知识对学生经常出现的错误进行预设,防微杜渐.

第三篇：平方差公式教案

《平方差公式》教学设计

牟平实验中学 隋玲

一、教材分析

《平方差公式》是在学习了有理数运算、列简单的代数式、一次方程、整式的加减及整式乘法等知识的基础上，在学生已经掌握了多项式乘法之后，自然过渡到具有特殊形式的多项式的乘法，是从一般到特殊的认知规律的典型范例.对它的学习和研究，不仅给出了特殊的多项式乘法的简便算法，而且为以后的因式分解、分式的化简、二次根式中的分母有理化、解一元二次方程、函数等内容奠定了基础，同时也为完全平方公式的学习提供了方法.因此，平方差公式在初中阶段的教学中也具有很重要地位，是初中阶段的第一个乘法公式.本节课的教学重点是：经历探索平方差公式的全过程，并能运用公式进行简单的运算.二、教学目标 知识与技能目标：

掌握平方差公式的结构特征，能运用公式进行简单的运算； 过程与方法目标：

经历平方差公式的探索过程，进一步发展学生的符号感和推理能力、归纳能力； 情感态度与价值观：

会用几何图形说明公式的意义，体会数形结合的思想方法.三、教学重点、难点：

本节课的重点：平方差公式的特点以及会运用公式进行简单计算。

本节课的教学难点：利用数形结合的数学思想方法解释平方差公式，灵活运用平方差公式进行计算．

四、教学过程设计

（一）创设情境，引出课题

小明的妈妈领着小明到新房子去，进了客厅，妈妈说：“客厅长6.1米，宽5.9米，能帮我算一下客厅的面积吗？”小明没有带笔和计算器，你能快速帮助小明算出客厅的面积吗？

设计意图：通过出示与实际生活相联系的问题，说明数学来源与生活并服务与生活，同时引出本节课的问题，当然这一问题的解决需要本节课的知识来解决。

问题１：计算下列多项式的积，你能发现什么规律？（1）（x+1）（x-1）= ；（2）（m+2）（m-2）= ；（3）（2x+1）（2x-1）= ．

设计意图：通过对特殊的多项式与多项式相乘的计算，既复习了旧知，又为下面学习习近平方差公式作了铺垫，让学生感受从一般到特殊的认识规律，引出乘法公式----平方差公式．

（二）探索新知，尝试发现

问题２：依照以上三道题的计算回答下列问题：

①式子的左边具有什么共同特征？

②它们的结果有什么特征？

③能不能用字母表示你的发现？

师生活动：教师提问，学生通过自主探究、合作交流，发现规律，式子左边是两个数的和与这两个数的差的积，右边是这两个数的平方差，并猜想出：

．

设计意图：在学生已掌握的多项乘法法则的基础上,探索具有特殊形式的多项式乘法──平方差公式，这样更加自然、合理．

（三）数形结合，几何说理

问题3：活动探究：将长为（a+b），宽为（a－b）的长方形，剪下宽为b的长方形条，拼成有空缺的正方形，并请用等式表示你剪拼前后的图形的面积关系

．

设计意图：通过学生小组合作，完成剪拼游戏活动,利用这些图形面积的相等关系,进一步从几何角度验证了平方差公式的正确性,渗透了数形结合的思想，让学生体会到代数与几何的内在联系．引导学生学会从多角度、多方面来思考问题．对于任意的a、b，由学生运用多项式乘法计算：

（四）总结归纳，发现新知，验证了其公式的正确性． 问题4：你能用文字语言表示所发现的规律吗？

两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．

设计意图：鼓励学生用自己的语言表述，从而提高学生的语言组织与表达能力．

（五）剖析公式，发现本质 在平方差公式

中，其结构特征为：

①左边是两个二项式相乘，其中“a与a”是相同项，“b与-b”是相反项；右边是二项式，相同项与相反项的平方差，即

；

②让学生说明以上四个算式中，哪些式子相当于公式中的a和b，明确公式中a和b的广泛含义，归纳得出：a和b可能代表数或式．

设计意图：通过观察平方差公式，体验公式的简洁性并通过分析公式的本质特征掌握公式．在认清公式的结构特征的基础上，进一步剖析a、b的广泛含义，抓住了概念的核心，使学生在公式的运用中能得心应手，起到事半功倍的效果．

（六）巩固运用，内化新知

问题5：判断下列算式能否运用平方差公式计算：（1）（2x+3a）（2x–3b）；（2）（3）（－m+n）（m－n）；（4）（5）

．

；

；

设计意图：学生经过思考、讨论、交流，进一步熟悉平方差公式的本质特征，掌握运用平方差公式必须具备的条件．巩固平方差公式，进一步体会字母a、b可以是数，也可以是式，加深对字母含义广泛性的理解．

问题6：判断下列计算是否正确：

（1）（2a–3b）（2a–3b）=4a2－9b2（）

（2）（x+2）（x – 2）=x2－2（）

（3）（－3a－2）（3a－2）=9a2－4（）（4）

（）设计意图：对学生常出现的错误，作具体的分析，以加深学生对公式的理解，进一步掌握平方差公式的本质特征和运用平方差公式必须具备的条件．

问题7：计算：

（1）（2x +3）（2x－3）；（2）（b+2a）（2a－b）． 解：（1）（2x + 3）（2x –3）=（2x）－3 = 4x －9

2（2）（b+2a）（2a－b）=（2a）－b =4a－b

设计意图：解决操作层面问题．可提议用不同方法计算，以体现学生的创造性．

（七）拓展引申，发展思维 问题8：计算：

（1）首先看本节课的开始题目，你能帮助小明吗？（2）98×（－102）；（3）

．

设计意图：首位呼应，运用本节课的内容解决开始的问题；把相乘两数转化成两数和与两数差的乘积形式，此题体现了转化的思想和数式通性；另一题是平方差公式与一般多项式乘法的综合，注意不能用公式的仍按多项式乘法法则进行．

（八）小试牛刀，挑战自我

1．在下列括号中填上合适的多项式：

2．看谁算得快：

设计意图：设计此组题旨在从正反两方面灵活运用平方差公式，由结果追溯算式中的相同项和相反项，关键在于理解公式结构特征，同时锻炼了学生逆向思维能力，也为后续的学习做了铺垫．第2个填空题有两种填法，属开放设计．目的是加强学生对公式结构特征的理解，同时也锻炼学生的发散思维．

（九）总结概括，自我评价

问题10：这节课你有哪些收获？还有什么困惑？ 设计意图：从知识和情感态度两个方面加以小结，使学生对本节课的知识有一个系统全面的认识．

（十）课后作业 必做题：习题1.选做题：1．2．计算：（1）（2）（3）

；

；

．，则A的末位数是_______．

设计意图：作业分层处理有较大的弹性，体现作业的巩固性和发展性原则，尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需要，让不同的人在数学上得到不同的发展．

第四篇：平方差公式教案

公开课教案

课题：平方差公式 授课：张福仁 教学目标：

1、知识与技能目标：会用平方差公式进行多项式乘法运算

2、过程与方法目标：通过问题情境，引导学生自行得出平方差公式，再通过练习巩固。

3、情感态度与价值观目标：通过问题探究，培养学生独立思考、解决问题能力。教学重点：平方差公式理解、运用 教学难点：平方差公式理解、运用 教学过程

Ⅰ.提出问题,创设情境

[师]你能用简便方法计算下列各题吗?(1)2001×1999(2)998×1002 [生甲]直接乘比较复杂,我考虑把它化成整百,整千的运算,从而使运算简单,2001可以写成2000+1,1999可以写成2000-1,那么2001×1999可以看成是多项式的积,根据多项式乘法法则可以很快算出.[生乙]那么998×1002=(1000-2)(1000+2)了.[师]很好,请同学们自己动手运算一下.[生](1)2001×1999=(2000+1)(2000-1)=20002-1×2000+1×2000+1×(-1)=20002-1 =4000000-1 =3999999.(2)998×1002=(1000-2)(1000+2)=10002+1000×2+(-2)×1000+(-2)×2

=10002-22 =1000000-4 =1999996.[师]2001×1999=20002-12 998×1002=10002-22 它们积的结果都是两个数的平方差,那么其他满足这个特点的运算是否也有这个规律呢?我们继续进行探索.Ⅱ.导入新课

计算下列多项式的积.(1)(x+1)(x-1)(2)(m+2)(m-2)(3)(2x+1)(2x-1)(4)(x+5y)(x-5y)观察上述算式,你发现什么规律?运算出结果后,你又发现什么规律?再举两例验证你的发现.(学生讨论,教师引导)[生甲]上面四个算式中每个因式都是两项.[生乙]我认为更重要的是它们都是两个数的和与差的积.例如算式(1)是x与1这两个数的和与差的积;算式(2)是m与2这两个数的和与差的积;算式(3)是2x与1•这两个数的和与差的积;算式(4)是x与5y这两个数的和与差的积.[师]这个发现很重要,请同学们动笔算一下,相信你还会有更大的发现.[生]解:(1)(x+1)(x-1)

=x2+x-x-1=x2-12(2)(m+2)(m-2)=m2+2m-2m-2×2=m2-22(3)(2x+1)(2x-1)=(2x)2+2x-2x-1=(2x)2-12(4)(x+5y)(x-5y)=x2+5y·x-x·5y-(5y)2 =x2-(5y)2 [生]从刚才的运算我发现: 也就是说,两个数的和与差的积等于这两个数的平方差,这和我们前面的简便运算得出的是同一结果.[师]能不能再举例验证你的发现? [生]能.例如: 51×49=(50+1)(50-1)=502+50-50-1=502-12.即(50+1)(50-1)=502-12.(-a+b)(-a-b)=(-a)·(-a)+(-a)·(-b)+b·(-a)+b·(-b)=(-a)2-b2=a2-b2 这同样可以验证:两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.[师]为什么会是这样的呢? [生]因为利用多项式与多项式的乘法法则展开后,中间两项是同类项,且系数互为相反数,所以和为零,只剩下这两个数的平方差了.[师]很好.请用一般形式表示上述规律,并对此规律进行证明.[生]这个规律用符号表示为:(a+b)(a-b)=a2-b2.其中a、b表示任意数,也可以表示任意的单项式、多项式.利用多项式与多项式的乘法法则可以做如下证明:(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2.[师]同学们真不简单.老师为你们感到骄傲.能不能给我们发现的规律(a+b)(a-b)=a2-b2起一个名字呢? [生]最终结果是两个数的平方差,叫它“平方差公式”怎样样? [师]有道理.这就是我们探究得到的“平方差公式”,•请同学们分别用文字语言和符号语言叙述这个公式.(出示投影)两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.即:(a+b)(a-b)=a2-b2 平方差公式是多项式乘法运算中一个重要的公式,用它直接运算会很简便,但必须注意符合公式的结构特征才能应用.在应用中体会公式特征,感受平方差公式给运算带来的方便,从而灵活运用平方差公式进行计算

(出示投影片)例1:运用平方差公式计算:(1)(3x+2)(3x-2)(2)(b+2a)(2a-b)(3)(-x+2y)(-x-2y)例2:计算:

(1)102×98(2)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)[师生共析]运用平方差公式时要注意公式的结构特征,学会对号入座.在例1的(1)中可以把3x看作a,2看作b.即:(3x+2)(3x-2)=(3x)2-22(a+b)(a-b)=a2-b2 同样的方法可以完成(2)、(3).如果形式上不符合公式特征,可以做一些简单的转化工作,使它符合平方差公式的特征.比如(2)应先作如下转化:(b+2a)(2a-b)=(2a+b)(2a-b).如果转化后还不能符合公式特征,则应考虑多项式的乘法法则.(作如上分析后,学生可以自己完成两个例题.•也可以通过学生的板演进行评析达到巩固和深化的目的)[例1]解:(1)(3x+2)(3x-2)=(3x)2-22=9x2-4.(2)(b+2a)(2a-b)=(2a+b)(2a-b)=(2a)2-b2=4a2-b2.(3)(-x+2y)(-x-2y)=(-x)2-(2y)2=x2-4y2.[例2]解:(1)102×98=(100+2)(100-2)=1002-22=10000-4=9996.(2)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)=y2-22-(y2+5y-y-5)=y2-4-y2-4y+5 =-4y+1.[师]我们能不能总结一下利用平方差公式应注意什么?

[生]我觉得应注意以下几点:(1)公式中的字母a、b可以表示数,也可以是表示数的单项式、多项式即整式.(2)要符合公式的结构特征才能运用平方差公式.(3)有些多项式与多项式的乘法表面上不能应用公式,•但通过加法或乘法的交换律、结合律适当变形实质上能应用公式.[生]运算的最后结果应该是最简才行.[师]同学们总结得很好.下面请同学们完成一组闯关练习.优胜组选派一名代表做总结发言

第五篇：平方差公式电教教案

《运用公式法——平方差公式》 迁安第三初级中学 刘小民

一、背景分析：

苏霍姆林斯基曾说过：“教师越是能够运用自如的掌握教材，那么，他的讲述就越是情感鲜明，学生听课，需要花在抠教科书上的时间就越少”。可见，熟悉教材、分析教材、开发教材资源是制定教法、开展学法指导的主要依据，是教学设计、测试、评价的基础。

分解因式是整式乘法的逆运用，与整式乘法运算有着密切的联系。分解因式的变形不仅体现了一种“化归”的思想，也为学习分式，利用因式分解解一元二次方程奠定基础，对整个教科书也起到了承上启下的作用。探索分解因式的方法，实际上是对整式乘法的再认识，因此要借助学生已有的整式乘法运算的基础，给学生创设一个新的、具有启发性的情境，激励学生通过独立思考与讨论交流发现问题情境中的变形关系，并运用数学符号进行表示，然后再运用所学的知识去解决相关的问题。同时在这一对比整式的乘法而探索分解因式方法的相关活动过程中，力图渗透类比思想，让学生体会、理解、认识分解因式的意义，感受其间的联系，学生不仅能够理解，归纳分解因式变形的特点，同时也可以充分感受到这种互逆变形的过程和数学知识的整体性。

二、《运用公式法——平方差公式》是北师大版义务教育课程标准实验教科书《数学》八年级（下）第二章分解因式的第三节内容。

教学重难点、关键：

1、重点：掌握公式法中的平方差公式进行分解因式。

2、难点：灵活地运用公式法或已学过的提公因式法进行分解因式，正确判断因式分解的彻底性。

3、关键：把握住分解因式的方法如提公因式、公式法等，在对多项式进行分解因式时，首先应考虑提公因式，而且应该提取彻底。

二、目标分析：

参照《数学课程标准》的要求及教材的特点和学生的认知水平与数学思维特征，确定本节课的教学目标如下：

（一）知识与技能目标：

会用平方差公式进行因式分解，并进一步感受整式乘法与分解因式的互逆关系。

（二）过程与方法目标：

经历通过平方差公式逆向运算的推导得出用公式分解因式的方法的过程，发展学生的逆向思维和推理能力。

（三）情感与态度目标：

学生通过自己的实践去领悟、分析、总结技能技巧，树立学习的自信心；通过独立思考和交流讨论发现问题情境中的变形关系，培养学生逆向思考问题的习惯与应用意识，并渗透转化的思想和矛盾的对立统一观点。

三、教学过程：

（一）创设情景，复习引入

活动1：下把列各式变形为一个式子的平方的形式。

1)4a2=()2;121b2=()2;9a4=()2 0.01x2=()2（x+5）（x－5）=（3x+y）(3x－y)= 设计意图：从学生已有的知识水平出发，由复习旧知直接过渡到新知的内容，为学生营造一种轻松、和谐的学习氛围，从而自然导入新课。

（二）分析问题，发现新知

问题：我们知道，(a+b)(a－b)＝a2－b2，能否将它反过来得到a2－b2＝(a+b)(a－b)呢？

师：观察多项式X2－25，9X2－y2，它们有什么共同特征？（2）尝试将它们分别写成两个因式的乘积，并与同伴交流。生：二项;可以转化为两项的平方差（a2-b2）的形式。师：X2－25= 9X2－y2

设计意图：学起于思，思起于疑，无疑则无知。教育家托尔斯泰说过：成功的教学所需要的不是强制，而是唤起学生强烈的求知欲望，激发学生的兴趣。充分利用媒体教学的直观性，动画显示学生熟悉的剪纸操作，创设问题情境引发学生思考。使学生把学习当成一种自我需要，为学生营造一种轻松、和谐的学习氛围，从而自然导入新课。

（三）合作交流，探索新知

问题：（1）用语言叙述公式（体现合作）。（2）公式有什么特点？

（3）公式中的字母a、b可以表示什么？

活动4：根据你对公式的理解，请举出几个用平方差公式分解的例子，并指出多项式中谁相当于公式中的字母a，谁相当于公式中的字母b？（尽可能地让学生探索、发现）。

x2－25＝x2－52＝（x+5）（x－5）a2－b2＝（a+b）（a－b）

9x2－y2＝(3x)2－y2=（3x+y）(3x－y)

设计意图：问题是知识、能力的生长点，富有挑战性的问题能激发原有认知，促使学生主动地进行探索和思考。通过引导学生对问题情境循序渐进的探讨，让学生猜一猜、想一想，使他们体会了知识的发生、发展过程及怎样从复杂情境中分离、抽象出数学模型，培养了学生从特殊到一般的认知方法。

（四）例题探究，体验新知：

例1 填空：（1）25m2＝()2（2）0.49b2＝()2（3）c2＝()2 例2：把下列各式分解因式

（1）25－16x2（2）9a2－ b2 例3：把下列各式分解因式

（1）9（m+n）2-（m－n）2（2）2x3－8x

例4：计算（1）6782－3782（2）852－842 “实践出真知”。教师通过引导、启发，让学生分4人小组，进行合作学习、讨论、交流，使学生在解决问题的过程中，不断获得成功的体验，增强他们的创新意识和能力。

（五）随堂练习，巩固新知：

1、判断正误：

（1）x2+y2=(x+y)(x+y)（）（2）x2－y2=(x+y)(x－y)（）（3）－x2+y2=(－x+y)(－x+y)（）（4）－x2－y2=－(x+y)(x－y)（）

2、把下列各式分解因式：

（1）a2b2－m2（2）(m－a)2－(n+b)2

3、解决

（一）活动2所提出的问题。

设计意图：“学生思维的水平高低与基本技能是密切相关的，只有通过强化训练，才能提高学生的思维起点。”

1、2题的目的，是巩固新知，对学习中有困难的学生，给予适当的点拨和鼓励，及时发现学生出现的问题。而第3题，增强了知识的运用性，使学生学以致用，形成能力。同时，体现数学活动是学生自己构建数学知识的活动，教师起到引导学生进行有效地构建数学知识的活动。

（六）归纳小结，形成体系

1、因式分解与乘法公式的关系。

2、平方差公式的特点。

3、应用平方差公式分解因式的多项式应满足的条件。

4、公式中字母a、b可以是任意数、单项式或多项式。归纳是一种推理的方法，由一系列具体的事例概括出原理(跟“演绎”相对)。能使学生的感性认识升华到理性认识，既可锻炼学生由具体到抽象的思维能力，培养学生数学语言的表达能力，严谨的逻辑思维品质。先引导学生自由发言、互相补充，教师进行修正、精炼阐述。这样的小结既梳理了知识，又点明了本节课的学习要点，同时使学生对本节知识体系有一个清晰的认识，为下节的学习打下良好基础，起到画龙点晴的作用。

（七）布置作业，反思提炼。P56习题2.4 1、2、3

四、教学方法

通过对新课程标准及新教材研究，我认为数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程。数学教学应从学生实际出发，创设有利于学生自主学习的问题情境，引导学生通过实践、探索、交流获得知识，形成技能，发展思维，进而达到学会学习，促使学生在教师指导下，生动活泼的、主动和富有个性的学习，在教学活动中，教师应该发挥民主、成为学生数学活动的组织者、引导者和合作者。而我校所开发的省级课题《课程实施与教学改革——数学思维方法与应用性问题教学的实践研究》中，明确提出预期目标：（1）培养兴趣，促进思维；（2）适当分段，分散难点，创造条件让学生乐于思维；（3）在数学学习中要使学生思维活跃，就要教会学

生分析问题的基本方法，培养学生正确的思维方式；（4）重视基本方法和基本解题思想的渗透与训练。基于以上的理念和目标，我确立了以下的教法和学法。

（一）教学方法

依据本课特点，从学生已有实际经验出发，遵循新课程的理念，根据教学原则，变被动学习为主动学习，使课堂教学生动，有趣，高效。因此在教学中，以自主探索为主，启发、诱导贯穿教学始终，师生以愉快对话形式共同探索、步步深入，合作交流展开教学，下面我谈谈为什么使用这些方法？

1、自主探索法

苏霍姆林斯基曾说：“在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的超大规模需要，这就是 希望感到让自己是一个发现者，研究者。教师作用是要发现、强化这种探索精神”。通过巧设问题情境，把要学习的知识，置于具体鲜活的问题情境和嵌于一定活动背景中，使学生对知识多角度的丰富的理解，并能结合自己原有的经验探索新知，从而建构自己所坚持的判断和信念。如教学中，通过活动1～4，让学生思考、探索判断，在学生迷惑之际，用活动3导航，让学生自己体验猜想，这样不仅点燃学生思维的火花，还激发学生的信心和勇气，自己去分析、自己去解决，使他们体验探索知识奥秘的乐趣，真正体现了“教是为了不教”的教育的最终目标。

2、愉快教学法

“如果我们能做到百分之百的使孩子们兴致勃勃地学习，不仅是

孩子们的幸福，并且也是教师的幸福。这就是当代教育和教育思想家的旋律。”在教学中利用例题让学生讨论，不失时机地启发学生质疑、问难，让学生有疑必质、有难必问、有感必发，让每个学生积极发言，变“厌学”为“好学”，变“苦学”为“乐学”，变“要我学”为“我要学”，从而让每个学生喜欢数学，把学习作为一种快乐的活动，从中享受学习数学的乐趣。

（二）教学手段

根据教学直观性原则，考虑到学生仍处在以直观、形象思维为主要思维方式的时期。在教学中采用针对性强的相应措施，创设具体的问题情境，运用电教手段进行必要的动态演示，用活动紧扣对平方差公式的感知，让学生动脑、动手、动口，积极参与教学全过程，逐步由图形的直观，语言的直观向抽象思维过渡，增大教学容量和直观性，提高教学效率和教学质量。

（三）学法指导

当今时代是人类知识和信息量以几何级数递增的时代，现代教育所面临的最严峻的挑战，已不是如何使受教育者学到知识，而是如何使他们“学会学习”。正如埃德加·富尔所说：“未来的文盲，不再是不识字的人，而是没有学会怎样学习的人。”我们古人也说：“授人以鱼，不如授人以渔”。因此在教学中我始终把学生推到学习的前沿，引导他们“动眼看、动脑想、动口说、动手练”，让他们在生活中感受数学，在合作交流中理解数学，在实验操作中探索数学，在做数学的过程中，学会数学，充分体现了新课程标准中所强调的自主探索，合作互动，创造性学习这样的有效 的学习方式。

五、教学评价

教学评价是教学活动的重要环节，评价的目的是全面考察学生的学习状况，激励学生的学习热情，促进学生的全面发展。同时也是教师反思和改进教学的有力手段。史密斯一泰勒报告指出：“评价教育效果，不能只是测定学生的某些能力和特征，而更应评价受教育者向着教育目标成长发展的过程”。为此这节课我作了如下的评价：

1、评价学生的学习过程

课标指出：“对学生数学学习过程的评价，包括参与教学活动的程度、自信心、合作交流的意识，以及独立思考的习惯、数学思考的发展水平等方面”。从这个理论出发，我废除了过去只注重结果的评价。在本节课上，注意观察学生是否乐于与他人合作，愿意与同伴交流自己的想法？哪些问题是大多数学生独立思考能达到，哪些问题是学生通过合作交流才能完成；学生思考的是否有条理？学生的符号表达是否较以前有所发展？及时发现学生的点滴进步并给予鼓励。

2、评价学生发现问题、解决问题的能力

思维总是从问题开始的，本节课试图让学生在不断解决问题、发现问题中学习。如活动1～4等实际问题的解决，使他们知识得到掌握，能力得到训练，情感得到体验，各方面都能取得全面和谐的发展。虽然有的学生不能把每一道题都做完整，但他们积极思考、交流，对这样的学生应给予表扬肯定，帮助他们积极向上。

总之，本课力求达到：“凡是能由学生提出的问题就不要由教师

给出；凡是能由学生解的例题就不要由教师解答：凡是能由学生完成的表述就不要由教师写”。本节课自始至终，体现学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。让学生感知数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分。

教学设计说明

1、本节课根据新课程标准的教育理念和学生实际，结合具体内容，从培养学生学习数学的兴趣入手，采用“问题情景——数学抽象建立数学模型——应用解释”的形式展开，让学生理解数学知识的产生就是人类对实际问题抽象、构建的过程，让学生经历同化新知识，构建新知识意义的过程。

2、设置问题导入新课，从直观的图形及其有关计算出发，帮助学生尽快找到问题的切入点。

3、给学生提供探索和交流的空间。设置有现实意义的、具有挑战性的问题，激发学生积极思考，引导学生自主探索与合作交流，提高解决问题的能力，发展创新意识和实践能力。

4、内容上挖掘课本资源，设计有弹性，设置了不同层次的学习要求，尊重学生个体差异，满足多样化的学习需要。实现“不同的人在数学上得到不同的发展”。

5、在学生从事数学活动时，不仅关注学生的学习水平，而且关注他们在活动中表现出来的情感与态度。比如：是否主动与同学合作，是否愿意与同学交流自己的看法，是否表现出了兴趣，能否用数学语

言表达以及是否尊重他人等进行评价。