八下数学《运用公式法》教案

第一篇：八下数学《运用公式法》教案

年级：八年级 学科：数学 课题：《2.3运用公式法（2-1）》 学习目标：

1、经历通过整式乘法中的平方差公式逆向推导出用公式法分解因式的过程，理解乘法公式(ab)(a-b)a2b2与公式a2b2(ab)(ab)的关系，发展学生的逆向思维和推理能力.。

2、会用公式法（直接用公式不超过两次）进行因式分解(指数是正整数).。学习重点：用平方差公式分解因式 学习难点：正确地分解因式。

一、预习自学

1.运用乘法公式计算：

（1）（x+3）（x–3）= ；（2）（4x+y）（4x–y）= ；（3）（1+2x）（1–2x）= ；（4）（3m+2n）（3m–2n）= ． 根据上面式子填空：

（1）9m2–4n2= ；（2）16x2–y2= ；（3）x2–9= ；（4）1–4x2= ． 2.（1）观察上面多项式,它们有什么共同特征？

（2）你能试着尝试将x225,9x2y2写成两个因式的乘积，并与同伴交流。

3.分解因式的平方差公式：

把乘法公式（a+b）（a－b）= ； 反过来就得到：a2－b2=_________________ 4.例1把下列各式分解因式：（1）25–16x2（2）9a2–b2

422（）（）（）解：（1）25–16x2 =（）)()

（2）9a2b2()2()2(45.例2把下列各式分解因式:（1）9（m+n）2－（m－n）2;

（2）2x3－8x.巩固提高:把下列各式分解因式

（1）－16x4+81y4（2）49（ab)216(ab)

2二、合作交流

7.请你将你的收获与困惑同小组内的同学交流。8.把下列各式因式分解：

(1)a281(2)36-x2(3)116b2

（mn)2n2(4)m29n2(5)

9.把下列各式因式分解：

(1)（2xy)2(x2y)2(2)3ax23ay4 10.判断正误：

（1）x2+y2=（x+y）(x–y)()（2）–x2+y2=–（x+y）(x–y)()（3）x2–y2=（x+y）(x–y)()（4）–x2–y2=–（x+y）(x–y)()11.在多项式x22y2,x2y2,x2y2,x2y2中，能用平方差公式分解的有（）个。A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 12.下列分解因式：

①(x3)2y2x26x9y2②a29b2(a9b)(a9b)③4x61(2x31)(2x31)④m4n29(m2n3)(m2n3)⑤a2b2(ab)(ab)其中正确的有（）

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

13.在一个边长为12.75cm的正方形内剪去一个边长为7.25cm的正方形，则剩下部分的面积应当是（）

A.20cm2 B.200cm2 C.110cm2 D.11cm2

三、展示拓展

14.若(2x)n81(4x29)(2x3)(2x3)，则n的值是（）A.2 B.4 C.6 D.8 15.如图，在一块边长为acm的正方形纸片的四角，各剪去一个边长为bcm的正方形．求剩余部分的面积，并求当a=3.6，b=0.8时的面积．

16.如图，大小两圆的圆心相同，已知它们的半径分别是Rcm和rcm，求它们所围成的环形的面积。如果R=8.45，r=3.45呢？（π=3.14）

17.两个连续偶数的平方差能被4整除吗？为什么？

18.若n是整数，则(2n1)21是否能被8整除？为什么？

四、检测反馈

19.分解因式 A组：

（1）a2b2m2(2)169x24y2（3）xy(xy)24x3y3

B组：

（1）m416n4（2）3x3y12xy

第二篇：八下 2.3.2运用公式法 教学设计(于海峰)

第二章

分解因式

2.3.2运用公式法（2）

本节知识点：

1.会用完全平方公式将多项式分解因式 知识点1 用完全平方公式分解因式

乘法公式中形如a2abb的多项式分解因式的方法，即a22abb2(ab)2，我们称它为分解因式的完全平方公式，即两数的平方和加上（或减去）它们积的2倍，等于这两个数和（或差）的平方。22练一练：下列各式是不是完全平方式？（1）a2－4a＋4；（4）a2－ab＋b2；

[例题1] 将下列各式分解因式。

（1）x14x49

（2）x＋4xy＋4y 2（2）x2＋4x＋4y2；（5）x2－6x－9；

（3）4a2＋2ab＋b2；（6）a2＋a＋0.25．

1422分析：大家先把多项式化成符合完全平方公式特点的形式，然后再根据公式分解因式．

[针对性训练1]

把下列各式分解因式

（1）x212xy36y2

（2）16a24ab9b

（3）

422412m3mn9n2

（4）x610x325 4（5）4a2－4ab＋b2；

（6）a2b2＋8abc＋16c2； [例题2] 将下列各式分解因式

(1)3ax26axy3ay2

(2)x24y24xy

分析：对一个三项式，如果发现它不能直接用完全平方公式分解时，要仔细观察它是否有公因式，若有公因式应先提取公因式，再考虑用完全平方公式分解因式．

如果三项中有两项能写成两数或式的平方，但符号不是“＋”号时，可以先提取“－”号，然后再用完全平方公式分解因式．

[针对性训练2]

把下列各式分解因式

（1）4x4xx

（2）2xyx2y2

22（3）x36x12x

（4）2x4xy2y

3232

（5）

[针对性训练2] 把下列各式分解因式 121aabb2

（6）2x34x22x 221已知a2b,ab2,求a4b24a3b34a2b4的值。

第三篇：八下 2.3.1运用公式法 教学设计(于海峰)

第二章

分解因式

2.3.1运用公式法（1）

本节知识点：

1.会用平方差公式将多项式分解因式 2..会用完全平方公式将多项式分解因式 知识点1用平方差公式分解因式

形如ab的多项式分解因式的方法，即a2b2(ab)(ab)，我们把它叫做分解因式的平方差公式，可以叙述为：两个数的平方差，等于这两个数的和乘以这两个数的差。笔记：（1）公式中的和既可以是单项式，也可以是多项式。

（2）常见的公式变式有：○1位置变化：x2y2(xy)(xy)；○2符号变化：3系数变化：○4指数变化：○5增项变化： x2y2(xy)(xy)○[例题1]

把下列各式分解因式

2（1）2516x

（2）9a22212b 4

[针对性训练1] 把下列各式分解因式

（1）abm

（2）16x481y4

[例题2]

把下列各式分解因式

22（1）9(mn)(mn)

（2）2x8x

3222

[针对性训练2] 把下列各式分解因式

（1）(ma)(nb)

（2）x(abc)

当多项式的各项含有公因式时，通常先提出这个公因式，然后再进一步分解因式。2222知识点2 用完全平方公式分解因式

乘法公式中形如a2abb的多项式分解因式的方法，即a22abb2(ab)2，我们称它为分解因式的完全平方公式，即两数的平方和加上（或减去）它们积的2倍，等于这两个数和（或差）的平方。

[例题3] 将下列各式分解因式。

（1）x14x49

(2)(mn)26(mn)9 222

[例题4] 将下列各式分解因式

(1)3ax26axy3ay2

[针对性训练3]

把下列各式分解因式

（1）x212xy36y2

（3）14m23mn9n2

[针对性训练4]

（1）2xyx2y2

(2)x24y24xy

（2）16a424a2b29b4

（4）x610x325

（2）412(xy)9(xy)2

第四篇：运用公式法分解因式教案

8.4.2

因式分解

2)36a²81= m²-9² =(m + 9)(m25b²=(6a)²-(5b)²=(6a+5b)(6a-5b)2．填空：

（1）4a2=（）2（2）b2=（）2（3）0.16a4=（）2（4）1.21a2b2=（）2（5）2x4=（）2（6）5x4y2=（）2

3、下列多项式能转化成（）２－（）２的形式吗？如果能，请将其转化成（）２－（）２的形式。(1)m2 －1 =(2)4m2 －9=(3)4m2+9 =(4)x2 －25y 2(5)－x2 －25y2(6)－x2+25y2

例1.把下列各式分解因式

（1）16a²-1 =(2)4x²-m²n²= 2(3)–9x² + m 考考你

144949a  b (a  b)a  b)

(x+z)225(a4a 4)(x + y + z)²b² =(a+b)(a-b)中的字母 a , b可以是数，也可以是单项式或多项式，要注意“整体”“换元”思想的运用。

3.当要分解的多项式是两个多项式的平方时，分解成的两个因式要进行去括号化简，若有同类项，要进行合并，直至分解到不能再分解为止。

（五）小结与评价

你的收获是什么？

你还有什么疑惑？

六、作业布置

练习P76 1、2习题8.4

第2题（3）题，第4题（2）（4）题

第5题（1）（2）题

七、板书设计：

运用公式法

——平方差公式分解因式 a2-b2＝(a＋b)(a-b)例1 练习1 练习3

例2 练习2 练习4

八、教学反思 本节课的教学设计借助于学生已有的整式乘法运算的基础，给学生留有充分探索与交流的时间和空间，让他们经历从整式乘法到分解因式的转换过程并能用符号合理的表示出分解因式的关系式，同时感受到这种互逆变形的过程和数学知识的整体性。有意识的培养学生逆向思考问题的习惯，并且保证基本的运算技能的训练，避免复杂的题型训练。不足之处在于没有把握好学生自主探究与讲解的时间安排，导致学生训练的时间有所减少。

第五篇：运用公式法——平方差公式教案

运用公式法——平方差公式教案

教学目标

（一）知识认知要求

1.使学生了解运用公式法分解因式的意义； 2.使学生掌握用平方差公式分解因式.3.使学生了解，提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解因式.（二）能力训练要求

1.通过对平方差公式特点的辨析，培养学生的观察能力.2.训练学生对平方差公式的运用能力.（三）情感与价值观要求

在引导学生逆用乘法公式的过程中，培养学生逆向思维的意识，同时让学生了解换元的思想方法.教学重点

让学生掌握运用平方差公式分解因式.教学难点

将单项式化为平方形式，再用平方差公式分解因式；培养学生多步骤分解因式的能力.教学过程

一、创设问题情境,引入新课

在前两节课中我们学习了因式分解的定义，即把一个多项式分解成几个整式的积的形式，还学习了提公因式法分解因式，即在一个多项式中，若各项都含有相同的因式，即公因式，就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成几个因式乘积的形式.如果一个多项式的各项，不具备相同的因式，是否就不能分解因式了呢？当然不是，只要我们记住因式分解是多项式乘法的相反过程，就能利用这种关系找到新的因式分解的方法，本节课我们就来学习另外的一种因式分解的方法——公式法.二、新课讲解

1.请看乘法公式（a+b）（a－b）=a2－b2

（1）

左边是整式乘法，右边是一个多项式，把这个等式反过来就是 a2－b2=（a+b）（a－b）

（2）

左边是一个多项式，右边是整式的乘积.大家判断一下，第二个式子从左边到右边是否是因式分解？

符合因式分解的定义，因此是因式分解.对，是利用平方差公式进行的因式分解.第（1）个等式可以看作是整式乘法中的平方差公式，第（2）个等式可以看作是因式分解中的平方差公式.2.公式讲解

请大家观察式子a2－b2,找出它的特点.公式的特点

下面按公式分类，一一进行阐述．(1)平方差公式：

a2b2(ab)(ab)这里a，b可以表示数、单项式、多项式． 公式的特点是： ①左侧为两项； ②两项都是平方项； ③两项的符号相反．

（是一个二项式，每项都可以化成整式的平方，整体来看是两个整式的平方差.如果一个二项式，它能够化成两个整式的平方差，就可以用平方差公式分解因式，分解成两个整式的和与差的积.）

如x2－16=（x）2－42=（x+4）（x－4）.9 m 2－4n2=（3 m）2－（2n）2 =（3 m +2n）（3 m －2n）3.例题讲解

例1 ： 把下列各式分解因式：

（1）25－16x2;

（2）9a2－解：（1）25－16x2=52－（4x）2 =（5+4x）（5－4x）;

2b.4121b=（3a）2－（b）2 4211=（3a+b）（3a－b）.22（2）9a2－例2 ： 把下列各式分解因式:（1）9（m+n）2－（m－n）2;（2）2x3－8x.解：（1）9（m +n）2－（m－n）2 =［3（m +n）］2－（m－n）2 =［3（m +n）+（m－n）］［3（m +n）－（m－n）］ =（3 m +3n+ m－n）（3 m +3n－m +n）=（4 m +2n）（2 m +4n）=4（2 m +n）（m +2n）（2）2x3－8x=2x（x2－4）=2x（x+2）（x－2）

说明：例1是把一个多项式的两项都化成两个单项式的平方，利用平方差公式分解因式；例2的（1）是把一个二项式化成两个多项式的平方差，然后用平方差公式分解因式，例2的（2）是先提公因式，然后再用平方差公式分解因式，由此可知，当一个题中既要用提公因式法，又要用公式法分解因式时，首先要考虑提公因式法，再考虑公式法.补充例题3：判断下列分解因式是否正确.（1）（a+b）2－c2=a2+2ab+b2－c2.（2）a4－1=（a2）2－1=（a2+1）·（a2－1）.解：（1）不正确.本题错在对分解因式的概念不清，左边是多项式的形式，右边应是整式乘积的形式，但（1）中还是多项式的形式，因此，最终结果是未对所给多项式进行因式分解.（2）不正确.错误原因是因式分解不到底，因为a2－1还能继续分解成（a+1）（a－1）.应为a4－1=（a2+1）（a2－1）=（a2+1）（a+1）（a－1）.例4 ： 把下列各式分解因式：

22（1）9ab；

（2）4nm；

2212a9b2；

（4）16a225b2c4； 16122（5）xy0.09。

4（3）思路分析

（这是平方差公式的特征）

通过变形，二项都是完全平方形式，且符号相反。解：（1）9a2b2(3a)2b2(3ab)(3ab)；

（2）4n2m2m2(2n)2

（加法交换律）

=(m+2n)(m－2n)；

1a（3）a29b2(3b)2

164aa3b3b； 44（比较两种分解方法）

或

2121a9b2(a2144b2)16161[a2(12b)2] 161(a12b)(a12b)； 16（与aa3b3b相等吗？）44224222（4）16a25bc(4a)(5bc)（注意变形）

(4a5bc2)(4a5bc2)；

11（5）x2y20.09(0.3)2xy

42（加法交换律）

2110.3xy0.3xy。

22 点评：平方差公式的特征。

①公式左边的多项式形式上是二项式，且两项的符号相反； ②第一项都可化成某个数或某式的平方的形式；

③右边是这两个数或两个式子的和与它们的差的积，相当于分解为两个一次二项式的积；

④公式中所说的两个数或两个式子是指a、b，不是a，b，其中a、b可以是数字，是字母，也可以是单项式、多项式。

应用平方差公式分解多项式关键是把多项式构建成符合公式特征的形式，然后明确多项 式和公式中的字母如何对应。例5 ： 把下列各式分解因式：

（1）(mn)21；

（2）(a1)29(a2)2；（3）(ab)2(ab)2；

（4）4x2(xy)2；（5）116x；

思路分析

通过观察，都符合平方差公式的特征。

解：（1）(mn)21(mn)21（把m－n看做一个整体）

=(m－n+1)(m－n－1)；

（2）(a1)9(a2)[3(a2)](a1)

（加法交换律）

=[3(a－2)+(a+1)][3(a－2)－(a+1)]

=(3a－6+a+1)(3a－6－a－1)

（必须化简）=(4a－5)(2a－7)；

（不要跳步，以免出错）

（3）(ab)(ab)(ab)(ab)

=[(a－b)+(a+b)][(a－b)－(a+b)] =2a·(－2b)

（不要跳步）=－4ab；

（4）4x(xy)(2x)(xy)

=(2x+x－y)(2x－x+y)=(3x－y)(x+y)。

（5）116x16x1 ***22(4x2)21

(4x21)(4x21)

（4x21符合平方差公式，还能再分解）(4x21)(2x1)(2x1)； 例6： 计算：（1）11111； 11122222341001111111 2232421002解：（1）1111111111111 223310010031425310199 ***1101； 2100200例7

若(2481)可以被60与70之间的两个数整除，求这两个数． 点悟：将(2481)分解成几个整数的积的形式，然后分析对照条件即得． 解：2481(2241)(2241)

(2241)(2121)(2121)(2241)(2121)(261)(261)，∵

2165,2163，∴

这两个数分别为65和63．

三、课堂练习

（一）随堂练习1.判断正误

（1）x2+y2=（x+y）（x－y）;

（3）－x2+y2=（－x+y）（－x－y）;

2.把下列各式分解因式

解：（1）a2b2－m2（2）（m－a）2－（n+b）2（3）x2－（a+b－c）2（4）－16x4+81y4

（二）补充练习：把下列各式分解因式（1）36（x+y）2－49（x－y）2;（2）（x－1）+b2（1－x）;（3）（x2+x+1）2－1.66（2）x2－y2=（x+y）（x－y）;

（4）－x2－y2=－（x+y）（x－y）.四.课时小结

我们已学习过的因式分解方法有提公因式法和运用平方差公式法.如果多项式各项含有公因式，则第一步是提公因式，然后看是否符合平方差公式的结构特点，若符合则继续进行.第一步分解因式以后，所含的多项式还可以继续分解，则需要进一步分解因式，直到每个多项式都不能分解为止.五.课后作业

习题2.4 六.活动与探究

把（a+b+c）（bc+ca+ab）－abc分解因式 解：（a+b+c）（bc+ca+ab）－abc =［a+（b+c）］［bc+a（b+c）］－abc

2=abc+a（b+c）+bc（b+c）+a（b+c）2－abc=a2（b+c）+bc（b+c）+a（b+c）2 =（b+c）［a2+bc+a（b+c）］ =（b+c）［a2+bc+ab+ac］ =（b+c）［a（a+b）+c（a+b）］ =（b+c）（a+b）（a+c）

七、板书设计

运用公式法——平方差公式

一、1.由整式乘法中的平方差公式推导因式分解中的平方差公式.2.公式讲解 3.例题讲解

补充例题