药剂学中运用公式归纳

第一篇：药剂学中运用公式归纳

药剂学中运用公式归纳 1.Noyes-Whitney dc/dt=K·S·Cs溶出原理（K为溶出常数，S为药物与溶出介质的接触面积，Cs是药物的溶解度）方程说明了药物溶出的规律，所以增加溶解速度的方法有：

１）升高温度，增加药物分子的扩散系数D；

２）搅拌，可减少扩散层的厚度δ；

３）减小药物粒径，增加药物与溶出介质接触的表面积S。

• dc/dt=DS /v ×(Cs-C),K=D /v 

•dc/dt—药物的溶出速度

• D—药物的扩散系数

• V－溶出介质的量 －扩散边界层厚

• K－溶出速度常数

• Cs－药物的溶解度

• C－介质中药物的浓度

• S－溶出界面面积（表面积S将会极大的增加，溶出速率显著加快，运用于固体分

散体的速释原理，药物高度分散状态）

• 在漏槽条件下，Cs》C，dc/dt=KSCs

1、S，粉碎，P109图4-4

2、K ，搅拌，介质的粘度

3、CS，改变晶型、固体分散体——药物高能状态。在固体分散体中，药物以无定

型或亚稳态的晶型存在，处于高能状态（即这些药物分子的扩散能量很高），所以溶出很快。

缓控释制剂设计中的运用

根据Noyes-Whitney溶出速度公式，通过减少药物的溶解度，增大药物粒径，以降低药物的溶出速度达到长效作用，具体方法有：



1、制成溶解度小的盐或酯，如青霉素普鲁卡因盐、睾丸素丙酯。



2、与高分子化合物生成难溶性盐，如鞣酸与生物碱类药物可形成难溶性盐。

3、控制粒子大小，药物的表面积减小，溶出速度减慢。



4、药物包藏于溶蚀性骨架中

2.液体的流动符合Poiseuile公式V=Pπr4t/8ηl（V——液体的滤过体积，P——滤过时的操作压力差，r——毛细管的半径，l——滤层的厚度，η——滤液的粘度，t——滤过的时间）

滤过的影响因素滤过的压力、药液的粘度、滤过介质的孔径、滤饼中的毛细管半径与长度等

提高过滤速度的措施

１）改变压力采用加压或减压的方法２）降低药液粘度趁热滤过

３）加入助滤剂减少滤材的毛细孔堵塞。常用的助滤剂有活性炭、纸浆、硅藻土等。４）更换滤材或动态滤过减小滤渣的阻力

５）先粗滤再精滤滤过时先用孔径大的滤过介质（如滤纸、棉、绸布、尼龙布、涤纶布、砂滤棒等）滤过，再用孔径小的滤过介质（如垂熔玻璃、微孔薄膜等）滤过

3.stoke’s定律：V=2r2(ρ1-ρ2)g/9η

增加混悬剂的稳定性措施

1.2.减少微粒与分散介质之间的密度差

3.增大分散介质的粘度

4.fick’s 定律：扩散第二定律

扩散过程尚未达到稳定状态前，物质浓度随时间和位置（只考虑方向）而变化的关系，服从偏微分式。对于具体的扩散过程，要利用其特定的起始条件和边界条件求解此式，得出的具体函数。该定律是处理各种扩散传质过程理论的有力工具。关于药剂学上的应用：控缓释制剂的应用，浸出制剂的浸出因素

缓控释药原理：

以扩散为主的缓、控制剂，药物首先溶解成溶液后再从制剂中扩散出来进入体液，其释药受扩散速率控制。

第二篇：平方差公式的运用

浅谈平方差公式在初中数学中的运用

提要：平方差公式(ab)(ab)a2b2是初中阶段的一个重要的公式，应用也十分广泛，必须引起教师的高度重视。

关键词：平方差

整式乘法

因式分解

无理数

平方差公式在初中数学上占据了重要位置，在近几年的中考和期末测试中经常出现，所以要求学生掌握并运用好平方差公式。

一、平方差公式乘法中的运用

平方差公式：(ab)(ab)a2b2，其形式是：两项之和与这两项的差的乘积等于这个项的平方差，其中的a、b可以是具体数，也可以是单项式、多项式。可用公式的都有两个共同特点：前一个因式与后一个因式中各有一项是相同，剩下的两项是互为相反数。有些形式上不符合公式，但只要符合这个特点，可以根据公式的特点，应用加法加换律、结合律进行灵活变形，或者用提负号的方法把题转化成平方差公式。

（一）、整式乘法中的运用 例1.(2x3)(2x3)

分析：本题是整式乘法中的最简单的，是这两个项的和与这两个项的差的积等于这两项的平方差，可直接用公式进行计算。

(2x3)(2x3)(2x)2324x29例2．(3a2b)(3a2b)

分析：本类题是属于两个多项项式的乘积，这类题形首先要观察是否符合公式特点，看出前一个因式中与后一个因式中都是-2b，剩下的一个是-3a，一个3a，它们互为相反数，可以用公式。计算本题有两种方法（1）是利用加法加换律调整位置，把它转化为一般式；（2）提一个负号转化成一般式，再用公式计算。

解法

1、加法加换律进行调整其位置

解法

2、提取负号

(3a2b)(3a2b)

(3a2b)(3a2b)

2b3a(2b3a)

(3a2b)(3a2b)

(9a24b2)

22=2b3a

例

3、2xyz2xyz 4b29a9a4b

分析：本类题每一个因式中都是三个或三个以上的项，所以先利用加法结合律，把一个因式中的多项式转化成两个式子的和差形式，再观察是否符合公式特点。前一个因式中的2xyz结合成[(2xy)z]，后一个因式2xyz结合成[(2xy)z]，(2xy)与(2xy)为相等，z与-z互为相反数，可用公式进行计算。

2xyz2xyz

2xyz2xyz 2xyz2xyz

2xyz2 24x24xyy2z2

小结：注意平方差进行乘法运算时，经常出现的的误区有（1）对因式中各项的系数，符号要仔细观察、比较，不能误用公式，如(3a2b)(2a3b)、如（2）公式中的字母是多种形式(3a2b)(3a2b)，此类题目不能运用平方差公式；的，所以当这个字母表示一个负数、或分数、或单项式与多项式，应加上括号，避免出现只把字母平方，而系数忘了平方的错误。

二、因式分解中的应用

因式分解我们一般采用的方法是：一提（提取公因式）、二套（套用公式）、三分组，其中套用平方差公式，也就是整式乘法中(ab)(ab)a2b2的逆用：a2b2(ab)(ab)，其题可以是二项式，也可以是多项式。能用公式的共同特点：题目中都可以转化成一项或一式的平方减去一项或一式的平方。如有这种形式的都能用平方差公式进行了分解因式。分解因式时，要求掌握好逆用幂的运算法则，弄清楚多项式中可转化哪几个数组成平方差，清楚题形中的a、b各代表什么式。

例

1、分解因式x2y2

分析：本题与公式是一样的，可直接套用公式。

x2y2(xy)(xy)

例

2、分解因式x4y16y

分析：此题先提公因式y，所剩下的x416转化成(x2)242，其中a为x2、b为4，本题用平方差公式到各因式不能再分解为止。

x4y16yy(x416)

y(x24)(x24)

y(x24)(x2)(x2)例

3、因式分解x22xyy29

分析：本题我们先要进行分组成能转化成平方差公式，前三项分在一组里，最后一项为一组，把x22xyy2转化成(xy)2，从而形成(xy)232

x22xyy29(xy)232(xy3)(xy3)

小结：因式分解中的平方差公式的运用是必要的，有些题目只有用平方差公式才能分解因式，它的作用更大于整式乘法中的应用，整式乘法中如果不会用公式，也可以用一般的多项式乘以多项式的方法来计算，只是复杂而已。分解因式中时常的错误有：（1）各项没有转化为平方就用公式，如4x2y2(4xy)(4xy)；（2）误用公式，如x2y2(xy)(xy)

三、平方差公式在一些特殊题中的运用

（一）、简便运算中的运用

如某两数的乘积，如果这两个数与另一个数都要都相差相同的一个数时，就可以把这两数的乘积转化成另外一个数与相同数的和与差的乘积，从而做到转化成平方差公式。

例1、98×102

分析：98与102都与100相差2，98转化成100-2，102转化成100+2。98×102 =（100-2）（100+2）=100222 =9996 例2、2563255256257

分析：本题的技巧在于三个连续的整数，我们可以将第一个数转化成中间数减1，第三个数可以转化中间数加1。

(3)2563255256257256325625612561 2563256(256212)25632563256256例3、10029929829722212

分析：本题中每两组都要可以转化成平方差公式，计算后会发现它是一个等差数列。

10029929829722212(10099)(10099)(9897)(9897)(21)(21)10099989721100(1001)25050小结：有关复杂的数字计算中，如能抓住数字特点，巧用平方差公式，可简化运算过程，提高运算效率，培养良好的数学素养。数字中的平方差公式的运算会出现错识有：98×102=（100-2）（100+2）=100222982

（二）、二次根式计算及分母有理化中的运用

用平方差公式进行二次根式计算及分母有理化，是初三二次根式计算和化简中的重点。它的方法在于分子分母同时乘以一个式子，使其分母转化成一平方差公式，从而做到分母去根号（有理化）的效果。

例1：(62)(62)

分析：本类题是二次根式的计算，是这两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，用公式6为a，2为b进行计算。

(62)(62)(6)2(2)2624

例2化简 452

分析：观察此题分母中含有二次根式，要进行有理化，分母本身是52，分子分母同时乘以52，使分母转化成平方差公式。

4524(52)(52)(52)45424542223(5)(2)

小结：这种类型题分母有理化中要抓住分母的特点，想办法使其转化为平方差公式，做题时切记，如果是单用完全平方去分母是起不到有理化的效果，所以要用平方差公式进行有理化。例如：

除了初中价段的应用外，以后的数学学科都有其有关的知识，可见平方差公式在数学领域中应用及其广泛，值得一提的是这个公式从初中到大学都有不同程度的应用，教学上初中至关重要，因此我们应该从不同的角度去掌握并运用平方差公式。

44216 252(52)52102

浅谈平方差公式在初中数学中的运用

玉龙县鲁甸中学

和祺剑

提要：平方差公式(ab)(ab)a2b2是初中阶段的一个重要的公式，应用也十分广泛，必须引起教师的高度重视。

关键词：平方差

整式乘法

因式分解

无理数

平方差公式在初中数学上占据了重要位置，在近几年的中考和期末测试中经常出现，所以要求学生掌握并运用好平方差公式。

一、平方差公式乘法中的运用

平方差公式：(ab)(ab)a2b2，其形式是：两项之和与这两项的差的乘积等于这个项的平方差，其中的a、b可以是具体数，也可以是单项式、多项式。可用公式的都有两个共同特点：前一个因式与后一个因式中各有一项是相同，剩下的两项是互为相反数。有些形式上不符合公式，但只要符合这个特点，可以根据公式的特点，应用加法加换律、结合律进行灵活变形，或者用提负号的方法把题转化成平方差公式。

（一）、整式乘法中的运用 例1.(2x3)(2x3)

分析：本题是整式乘法中的最简单的，是这两个项的和与这两个项的差的积等于这两项的平方差，可直接用公式进行计算。

(2x3)(2x3)(2x)2324x29例2．(3a2b)(3a2b)

分析：本类题是属于两个多项项式的乘积，这类题形首先要观察是否符合公式特点，看出前一个因式中与后一个因式中都是-2b，剩下的一个是-3a，一个3a，它们互为相反数，可以用公式。计算本题有两种方法（1）是利用加法加换律调整位置，把它转化为一般式；（2）提一个负号转化成一般式，再用公式计算。

解法

1、加法加换律进行调整其位置

解法

2、提取负号

(3a2b)(3a2b)

(3a2b)(3a2b)

2b3a(2b3a)

(3a2b)(3a2b)

(9a24b2)

22=2b3a

例

3、2xyz2xyz 4b29a9a4b

分析：本类题每一个因式中都是三个或三个以上的项，所以先利用加法结合律，把一个因式中的多项式转化成两个式子的和差形式，再观察是否符合公式特点。前一个因式中的2xyz结合成[(2xy)z]，后一个因式2xyz结合成[(2xy)z]，(2xy)与(2xy)为相等，z与-z互为相反数，可用公式进行计算。

2xyz2xyz

2xyz2xyz

2xyz2xyz

2xyz2 24x24xyy2z2

小结：注意平方差进行乘法运算时，经常出现的的误区有（1）对因式中各项的系数，符号要仔细观察、比较，不能误用公式，如(3a2b)(2a3b)、如（2）公式中的字母是多种形式(3a2b)(3a2b)，此类题目不能运用平方差公式；的，所以当这个字母表示一个负数、或分数、或单项式与多项式，应加上括号，避免出现只把字母平方，而系数忘了平方的错误。

二、因式分解中的应用

因式分解我们一般采用的方法是：一提（提取公因式）、二套（套用公式）、三分组，其中套用平方差公式，也就是整式乘法中(ab)(ab)a2b2的逆用：a2b2(ab)(ab)，其题可以是二项式，也可以是多项式。能用公式的共同特点：题目中都可以转化成一项或一式的平方减去一项或一式的平方。如有这种形式的都能用平方差公式进行了分解因式。分解因式时，要求掌握好逆用幂的运算法则，弄清楚多项式中可转化哪几个数组成平方差，清楚题形中的a、b各代表什么式。

例

1、分解因式x2y2

分析：本题与公式是一样的，可直接套用公式。

x2y2(xy)(xy)

例

2、分解因式x4y16y

分析：此题先提公因式y，所剩下的x416转化成(x2)242，其中a为x2、b为4，本题用平方差公式到各因式不能再分解为止。

x4y16yy(x416)

y(x24)(x24)

y(x24)(x2)(x2)例

3、因式分解x22xyy29

分析：本题我们先要进行分组成能转化成平方差公式，前三项分在一组里，最后一项为一组，把x22xyy2转化成(xy)2，从而形成(xy)232

x22xyy29(xy)232(xy3)(xy3)

小结：因式分解中的平方差公式的运用是必要的，有些题目只有用平方差公式才能分解因式，它的作用更大于整式乘法中的应用，整式乘法中如果不会用公式，也可以用一般的多项式乘以多项式的方法来计算，只是复杂而已。分解因式中时常的错误有：（1）各项没有转化为平方就用公式，如4x2y2(4xy)(4xy)；（2）误用公式，如x2y2(xy)(xy)

三、平方差公式在一些特殊题中的运用

（一）、简便运算中的运用

如某两数的乘积，如果这两个数与另一个数都要都相差相同的一个数时，就可以把这两数的乘积转化成另外一个数与相同数的和与差的乘积，从而做到转化成平方差公式。

例1、98×102

分析：98与102都与100相差2，98转化成100-2，102转化成100+2。98×102 =（100-2）（100+2）=100222 =9996 例2、2563255256257

分析：本题的技巧在于三个连续的整数，我们可以将第一个数转化成中间数减1，第三个数可以转化中间数加1。

(3)2563255256257256325625612561 2563256(256212)25632563256256例3、10029929829722212

分析：本题中每两组都要可以转化成平方差公式，计算后会发现它是一个等差数列。

10029929829722212(10099)(10099)(9897)(9897)(21)(21)10099989721100(1001)25050小结：有关复杂的数字计算中，如能抓住数字特点，巧用平方差公式，可简化运算过程，提高运算效率，培养良好的数学素养。数字中的平方差公式的运算会出现错识有：98×102=（100-2）（100+2）=100222982

（二）、二次根式计算及分母有理化中的运用

用平方差公式进行二次根式计算及分母有理化，是初三二次根式计算和化简中的重点。它的方法在于分子分母同时乘以一个式子，使其分母转化成一平方差公式，从而做到分母去根号（有理化）的效果。

例1：(62)(62)

分析：本类题是二次根式的计算，是这两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，用公式6为a，2为b进行计算。

(62)(62)(6)2(2)2624

例2化简 452

分析：观察此题分母中含有二次根式，要进行有理化，分母本身是52，分子分母同时乘以52，使分母转化成平方差公式。

4524(52)(52)(52)45424542223(5)(2)

小结：这种类型题分母有理化中要抓住分母的特点，想办法使其转化为平方差公式，做题时切记，如果是单用完全平方去分母是起不到有理化的效果，所以要用平方差公式进行有理化。例如：

除了初中价段的应用外，以后的数学学科都有其有关的知识，可见平方差公式在数学领域中应用及其广泛，值得一提的是这个公式从初中到大学都有不同程度的应用，教学上初中至关重要，因此我们应该从不同的角度去掌握并运用平方差公式。

44216 252(52)52102

第三篇：《EXCEL中函数公式的运用》教学设计

张宝玉

[教 材] 海南出版社、三环出版社出版的《信息技术》七年级下册第二章第四节中第三个知识点的内容 [课 型] 新授课 [课 时] 1课时 [教材分析] [学生分析] [教学目标]

1、知识与能力目标: 掌握公式输入的格式与计算、sum求和函数的使用 2．过程与方法目标：

[重点] 公式输入格式与计算、sum求和函数的使用 [难点] 公式输入格式与计算、sum求和函数的使用 [教 法] “任务驱动”教学法、演示法等。

硬件准备：计算机网络教室。

素材准备：课件、视频、图片等素材。

[教学过程]

教学环节

教 师 活 动

学生活动

设计意图

情

景

创

设

激

发

兴

趣

教师展示一段视频提问学生：你们知道发生了什么事情吗？

师：这些是2014年7月18日台风“威马逊”横扫翁田时留下的痕迹，然而灾难无情，人间有情，社会各界人士纷纷伸出了缓手。一车车的物资运到了翁田中学的校园。下面是所赠物资部分的清单，我们一起来看一看。师：大家能否在1分钟之内算出各项物资的总量是多少？有人说，他能在20秒内把结果算出来，大家相信吗？

学生欣赏视频回答问题

学生表达自己的想法

激发学生的学习兴趣

自

主

探

究

合作

学习

展示威马逊救灾捐赠物资表

任务一：输入公式计算大米的总量 教师讲解什么是公式以及公式的格式

提问：在数学课堂中接触到的运算符有哪些？

教师讲解：计算机的数学运算符加+ 减-乘* 除/ 任务分析：

打开“威马逊救灾物资捐赠表”，观察各项目情况，然后思考应该如何求出大米的问题

在学生探究的过程中，教师进行巡视指导

教师总结：那么我们一起来回顾一下公式计算的步骤： 1）选择放答案的单元格 2）输入“=”

3）输入表达式（b3+b4+b5+b6+b7+b8）4）回车

教师讲解自动填充工具

教师提问：为什么要用单元格地址而不是用数值计算？

任务二：自学sum函数求大米总量

教师查看学生的自学情况，适时给予必在的指导 教师提问自动填充是否有变化？教师演示其过程

任务三：求文昌地区捐赠大米总量

教师巡视并适时进行指导

教师讲解sum函数对不连续数据进行求和的方法

学生回顾单元格地址相关知识

学生思考回答

学生在键盘上找到加+ 减-乘* 除/的运算符

学生参考学案，找到输入公式求出大米总量的方法。选出代表，利用电子教室软件“学生演示”功能先向全体学生机上展示，再具体操作一遍。

师生互动探讨总结

学生思考比较

学生自p39-40的内容或参考学案，用sum函数求出大米的总量

请一位学生上台演示

学生自学学案，对不连续的数据进行求和，学生自学后，请一位同学演示

温顾而知新，让学生复习单元格地址的知识，为后面的学生做好准备

使学生了解到如何在计算机中输入运算符，为以后的课堂做好铺垫

培养学生的自学能力，自主探究能力

让学生体验成功的乐趣。

学生利用充足的时间操作，深入体会计算机数据计算的多种方法

巩固 练习

比一比谁用最快最准的方法求和（1）教师出示学习任务（2）

学生自己选择求和方法进行求和

梳

理

总

结

师：请同学来回顾一下我们这节课都学会了哪些内容？

学生归纳，总结本节课所学习的内容

培养学生的归纳、概括、总结能力

巡视指导（3）评比

拓

展

延

伸

1、average函数、公式等多种方法求平均值

2、提出问题，计算“一年用水量”列，公式为“一年用水量”=“平均每月用水量”ד12”

教

学

反

思

尊敬的各位评委、各位老师： ★教材分析 ★学情分析

★教学目标及重难点(一)教学目标

由于本节课内容实用性和操作性较强，依据教材分析和大纲要求制定如下教学目标：

1、知识与能力目标: 掌握公式输入的格式与计算、sum求和函数的使用 2．过程与方法目标：(二)教学重点

公式输入格式与计算、sum求和函数的使用(三)教学难点

公式输入格式与计算、sum求和函数的使用 ★教法

为了达到本节课的教学目标，在教法上以任务作为驱动，教师当好学生的引导者、合作的伙伴，充分体现学生的主体地位，引导学生由易到难，由感性到理性，循序渐进地完成一系列“任务”，既而培养学生分析问题、解决问题以及利用计算机处理数据的能力，我主要采用以下教学方法：任务驱动法、演示讲解法 ★教学过程

美国著名心理学家布鲁姆指出：“有效教学始于准确地知道需要达到的教学目标”，为此我在上课开始，展示一段台风威马逊横扫翁田后的视频，把学生的注意力一下子集中到课堂上来。因为威马逊，社会各界爱心人士纷纷伸出了援助之手，为灾区人民捐赠物资。然后然后出示物资捐赠表，提问学生能不能在2分钟之内把各项物资的总量求出来？从而激发学生的学生兴趣。引发学生思考，形成学习动机，进而顺利地进行新课学习。这时老师适时的出示今天的第一个任务：运用公式求出威马逊救灾物资捐赠表中大米的总量。

接着回顾单元格地址相关知识和认识计算机的数学运算符后，分析求和公式：大米的总量=海口椰树集团+海口金华公司+文昌红十字会+文昌林业局+海口龙泉+文昌维嘉酒店

紧接着回放学生的运算结果，充分体现了以教师为主导，学生为主体的教学模式。接着教师讲解自动填充工具，进行对比点评，强调注意事项，就使公式这一知识点在学生的自主学习中得到领悟。

课上到这，让学生回顾一下公式的运算进行一次归纳和总结，清理一下思路。瑞士教育学家裴斯泰洛齐认为：“教学的主要任务，不是积累知识，而是发展思维。我们注重的是教学的过程而不是教学的结果”。为此，依据这一理论，我以“任务二”——“用sum求和函数求和大米的总量”作为驱。，我先由前面表格数据提出问题：“这时用如果对一千个一万个数求和怎么办？公式求和麻不麻烦？”接着由公式运算的弊端引出函数讲解，过渡自然。学生自学教材或者参考学案，用不同的方法求出大米的总量，同时思考后面各项的物资总量能不能使用自动填充工具来完成？让学生在完成任务的同时，也培养了学生的逻辑思维能力、自学探究的能力。

建构主义认为，学习者要想完成对所学知识的意义建构，最好的办法是让学生在现实世界的真实环境中去感受、去体验。为此，最后进行知识巩固——打开“家庭用水一览表”，求出各家庭每季度用水量，不连续月份用水量，交给学生自己去完成。最后有时间再让学生再求出第一季度平均每月用水量和一年总用水量。这时老师巡回辅导，解决学生认知过程当中还存在的一些潜在问题。然后，再次转播回放几个学生的操作结果，进行评价，达到正确认知。至此，新课内容已全部结束，对本节课知识进行总结，让学生懂得数据计算在日常生活的重要性，并能运用其解决一些实际问题，提高应用能力，对以后从事数据管理工作起到一定的帮助作用。★板书设计

板书是内容和形式统一，为了让学生在课堂感知美，体验美，创造美，本着“求实、求新、求精”的设计原则我设计了如下板书。★自我评价

对于整个教学过程，我认为自己的特色在于：

1．为学生创设了一个有趣的学习情境，激发学生的学习兴趣

2．对教材进行了高度概括与提炼，内容精简，以点带面，层层深入，符合学生的认知规律。3．以多媒体教学系统为辅助，全过程以“任务”驱动，以问题贯穿始终，以讨论、探究、练习等多种形式，触发学生的积极思维，成为课堂的主体，充分体现了创新教育的开放性和探索性。

4．课堂练习设计典型，巩固所学的知识，又贴近生活，增强了学生运用信息技术解决实际问题的意识和能力，所学即所用。

第四篇：运用平方差公式因式分解求值

运用平方差公式因式分解求值

【知识点】

①

利用平方差公式分解因式

②

整体代入求值

③

联立方程组，解方程组

【练习题】

1.已知，则

2.已知，则

3.已知，则

4.已知，则

5.已知，则

6.已知，则

7.已知，则，8.已知，则，9.已知，则，10.已知，则，11.已知，则，12.已知，则，13.已知，则

14.已知，则

15.已知，则

16.已知，则

17.已知，则

答案

1.2

2.3

3.4

4.2

5.4

6.3

7.2；

8.5；1

9.5；

10.4；

11.-1；2

12.2；1

13.21

14.7

15.2

16.4

17.4

第五篇：Excel数组公式及运用

第一部分：了解数组公式

在开始讲数组公式之前，我们先来认识几个必要的概念。

1、数组

什么是数组？仁者见仁，智者见智。

我个人的感觉是：数组是具有某种联系的多个元素的组合。某班级里有50个学生，这里，如果班级是数组，50个学生就是数组里的50个元素。当然，班级里的元素是可变的，可以是20个，可以是30个，也可以是60个。放到Excel里，班级就相当于工作表，而学生就相当于工作表里的单元格数值。所以，Excel里的数组，我还把它理解是为多个单元格数值的组合。

2、公式

如果你在使用Excel，如果你说你还没听过“公式”这个名词，我只能说：“你太OUT了！” 什么是公式？我的理解是：在Excel里，凡是以半角符号“=”开始的、具有计算功能的单元格内容就是所谓的Excel公式。如：=SUM(B2:D2)，=B2+C2+D2这些都是公式。

3、数组公式

数组公式是相对于普通公式而言的。普通公式（如上面的=SUM(B2:D2)，=B2+C2+D2等），只占用一个单元格，只返回一个结果。

而数组公式可以占用一个单元格，也可以占用多个单元格。它对一组数或多组数进行多重计算，并返回一个或多个结果。

集合在教室外面的学生，老师把他们叫进教室。老师说：“第一组第一桌的同学进教室。”于是第一组第一桌的同学走进教室。老师接着叫：“第一组第二桌的同学进教室。”然后是第二桌的同学进教室。老师再叫：“第一组第三桌的同学进教室。”然后第三桌的同学走进教室。接着是第四桌，第五桌……，就这样一个学生一个学生的叫，这就是普通公式的做法，学生回到座位，就像数值回到工作表的单元格里，一个座位叫一次，就像一个单元格输入一个公式。

如果老师说：“第一组的全部进教室。”学生听到命令后，第一桌的同学走进去，然后是第二桌，第三桌……，老师不用再下第二个命令，这是数组公式的处理方法。

4、数组公式的标志

在Excel中数组公式的显示是用大括号对“{}”来括住以区分普通Excel公式。如图：

（1）数组公式：

（2）普通公式：

输入数组公式：用Ctrl+Shift+Enter结束公式的输入。

特别提醒：这是最关键的，这相当于用户告诉Excel：“我不是一般人，爷我是数组公式，你得对我特别关照。”于是，Excel明白了，不能用常规的逻辑来对待这位大爷。当你按下三键后，Excel会自动给公式加上“{}”以和普通公式区别开来，不用用户输入“{}”，但如是是想在公式里直接表示一个数组，就需要输入“{}”来把数组的元素括起来。如：

=IF({1,0},D2:D8,C2:C8)这个公式里的数组{1,0}的括号就是用户自己输入的。

5、数组的维数

“维数”是数组里的又一个重要概念。数组有一维数组，二维数组，三维数组，四维数组…… 在公式里，我们更多接触到的只是一维数组和二维数组。

一维数组我们可以简单地看成是一行的单元格数据集合，比如A1:F1。一维数组的各个元素间用英文的逗号“,”隔开(如果是单独的一列时，用英文分号“;”隔开）。

{1,2,3,4,5,6}，这就是一个有6个元素的一维数组，或者说，只有一行的数组。数组的各个元素间用逗号“,”分隔。如果想把这个数组输入到工作表的单元格里，同时选中同一行里相领的六个单元格，输入：={1,2,3,4,5,6}后，三键结束公式，你就可以看到这个一维数组被输入到工作表的单元格里了。自己动手试一试。

二维数组可以看成是一个多行多列的单元各数据集合，也可以看成是多个一维数组的组合。如单元格A1:D3，就是一个三行四列的二维数组。我们可以把它看成是A1:D1、A2:D2与A3:D3这三个一维数组的组合。二维数组里同行的元素间用逗号“,”分隔，不同的行用分号“;”分隔。我们可以用上面的方法，在A1:D3区域输入数据，并引用地址，按F9来查看。

可以看到在数组里，换行的时候，元素间的分隔符是“;”，所以，要判断一个数组是几行几列的数组，只需要看里面的逗号和分号就知道了。

如果需要把数把数组返回到单元格区域里，首先得看数组是几行几列，然后再选择相应的单元格区域，输入数组，三键结束。

对了，是哪三键你还不要忘记了：Ctrl+Shift+Enter 记住：

（1）一维数组是单独的一行或一列。二维数组是多行多列。

（2）数组里的元素，同一行内的各元素用英文逗号“,”分开，用英文分号“;”将各行分开。（3）二维数组的元素按先行后列的顺序排列。总是这样：{第一行的第一个,第一行的第二个,第一行的第三个……;第二行的第一个，第二行的第二个，第二行的第三个……;第三行的第一个……}

第二部分：数组公式的初步认识

在对数组公式有了一个简单的了解之后，这贴我们将通过一些简单的例子来进一步认识数组公式。问题1：在D2:D4求出商品的销售金额。

现在你解决这个问题会用什么办法呢？

我知道很小儿科，千万不要在心里骂我拿这种简单的问题来考你。是的，很简单，在D2单元格输入公式“=B2*C2”，下拉公式即可。

在这里，D2:D4三个单元格输入了三个普通公式，分别返回了三个值在三个单元格里。这就是老师在点学生进教室，第一组第一桌的同学进教室入座，第一组第二桌的同学进教室入座„„

我们试着用数组公式来解决这个问题，老师嗓子不好，让他叫一次我们就乖乖进教室去得了。

选中D2:D4输入公式“=B2:B4*C2:C4”，三键结束输入数组公式，即可得到同样的结果。

这就是一个多单元格的数组公式，多单元格数组公式是进行批量计算，可节省计算的时间，同时，它还有一个特点。当你输入完数组公式后，请你尝试修改公式区域里其中一个单元格的公式，看看会有什么结果。

是的，你已经发现了，会弹出一个对话框，提醒你：不能修改数组的某一部分。

这就是多单元格数组公式的一个重要的特点：保证公式集合的完整性不被修改。这可以防止用户在操作时无意间修改到表格的公式。这是不是会安全得多？

当然，如果你要修改公式的话，必须得选中公式所在的所有单元格。

问题2：在F1求出商品的销售总金额

这一题如果你用普通公式又怎么解决呢？我想象中可能有两种方法： A、插入辅助列，先求出各商品的销售额，然后再求总和。

B、直接在F1输入公式“=SUM(B2*C2,B3*C3,B4*C4)”，这样看上去不错，可是，如果有100行数据，一千行号数据呢？先不考虑单元格能容纳多少字符的问题，就光输入公式，累也得把你累趴下，显然是行不通的。

这时候就需要用数组公式来完成了。

选中F1单元格，输入公式“=SUM(B2:B4*C2:C4)”，三键确认输入即可。

这是一个单个单元格的数组公式，B2:B4*C2:C4是两个一维数组相乘，返回一个新的一维数组，最后用SUM函数对返回的数组进行了求和。这里，用一个数组公式代替了多个公式的方式来完成了数据的计算。

做了这个问题，总结一下，什么时候会用到数组公式？

是的，当运算中存在着一些只有通过复杂的中间运算过程才会等到结果的时候，就需要使用数组公式了。这一贴的内容非常简单，记住几点：（1）三键输入数组公式。

（2）数组公式同时进行多个计算，可返回一个或多个结果。

（3）多单元格数组公式需选区多个单元格进行输入，多单元格数组公式具有保护公式的作用。（4）数组公式可以完成复杂的中间运算得到最终想要的运算结果

v

第三部分：数组公式的计算

学习继续，在对数组有了基本的认识后，这贴我们将通过一些例子来讲一讲数组公式是怎么计算的。

1、行列数相同数组的运算

数组1+数组2，这是一个多单元格的数组公式，第一个数组的第一个元素与第二个数组的第一个元素相加，结果作为数组公式结果的第一个元素，然后第一个数组的第二个元素与第二个数组的第二个元素相加，结果作为数组公式结果的第二个元素，接着是第三个元素„„直到第N个。

这是横向的一维数组的计算，原理同上。

这是二维数组与二维数组进行计算，生成一个新的二维数组的多单元格数组公式。同样的计算过程，第一个数组的第一行的第一个元素与第二个数组的第一行的第一个元素相乘，结果为数组公式的结果的数组的第一行的第一个元素，接着是第二个，第三个„„直到第N个。

规律很简单：两个同行同列的数组计算是对应元素间进行运算，并返回同样大小的数组。正如穿鞋要穿合脚的才走得了路一样，在公式或函数中使用数组时，运算对象或参数的数组维数要匹配，否则计算会出错。教室里，第一排的有8个同学，第二排有9个同学，老师说：“第一排和第二排的同学交换作业，互相检查。”第二排的第9个同学和谁交换？这就是数组的不匹配。数组不匹配时，工作就不能完成了。你可以试着改一改数组的参数试试。

2、数组与单一的数据的运算

这相当于在E42单元格输入公式=A42*$C$42，然后下拉复制公式实现。

等同于在B56输入公式“=B52+$B$54”，然后右拉复制公式实现。

等同于在C67单元格输入公式“=A60+$E$60”然后右拉下拉复制公式实现。

不难看出：一个数组与一个单一的数据进行运算，是将数组的每一元素均与那个单一数据进行计算，并返回同样大小的数组。

3、单列数组与单行数组的计算

两个数组相加，查看结果是几行几列：在任意单元格输入公式“=A80:A83+B87:E87”，抹黑公式，按F9键，可看到公式的计算结果为数组“{110,210,310,410;120,220,320,420;130,230,330,430;140,240,340,440}”通看看分号与逗号，我们知道这是一个四行四列的数组，选择一个四行四列的单元格，输入公式“=A80:A83+B87:E87”，三键结束，可看到返回的结果为：

相当于在E80输入公式“=$A80+B$87”右拉下拉复制公式的结果。单列数组与单行数组的计算：

A、计算结果返回一个多行列的数组；

B、返回数组的行数同单列数组的行数相同、列数同单行数组的列数相同。

C、返回数组中第R行第C列的元素是单列数组的第R个元素和单行数组的第C个元素运算的结果。

4、行数（或列数）相同的单列（或单行）数组与多行多列数组的计算（1）单列数组的行数与多行多列数组的行数相同时：

（2）单行数组的列数与多行多列数组的列数相同时：

计算规律同单行单列的数组计算的规律大同小异： A、计算结果返回一个多行列的数组；

B、返回数组的行、列数与多行多列数组的行列数相同；

C、单列数组与多行多列数组计算时，返回的数组的第R行第C列的数据等于单列数组的第R行的数据与多行多列数组的第R行第C列的数据的计算结果；

D、单行数组与多行多列数组计算时，返回的数组的第R行第C列的数据等于单行数组的第C列的数据与多行多列数组的第R行第C列的数据的计算结果。

＝＝＝＝＝＝＝留给你的思考题＝＝＝＝＝＝＝

讲到这里，我们可以暂停一下进度。课间休息，插播一段广告： 你可以喝杯水，听听音乐，然后我们来看几个例子：

图1：

图2：

图3：

上面的三张图，第一个公式是我们前面讲的例子，第二个公式是在第一个公式的基础上对参与计算的数组区域进行了修改，但是，两个不同参数的公式，返回的结果却都是一样的。这里我只是举了三个例子，你可以把前面我们讲过的公式里的数组参数都修改修改，什么情况下，会返回相同的结果呢？它们又有什么共同的地方？知识总是光顾那些善于总结和发现的人。否则，踩着别人的脚印走，想要看到别人没看到的风景，你要等到猴年马月？

好了，我也仿小学老师的口气问问大家：“为什么两个不同的公式，返回的结果都是一样的呢？从上面的图，你发现了什么？把你的发现说给你的伙伴听一听。” 这就是你今天的作业，如果你是真心想想学数组公式的，记得跟贴回复！

5、行、列数不相等的数组计算

（1）行数不相等的单列数组与与多行列数组的计算

（2）列数不相等的单行数组与多行多列数组的计算

（3）行、列数不相同的两个多行多列数组的计算

有了对前面例子的分析，再来看这三个例子就相对简单了。它们的计算规则和前面都是一样的，不难看出：

A、公式返回一个多行多列数组；

B、返回数组的行数与参与计算的两个数组中行数较大的数组的行数相同，列数与较大的列数的数组相同；

C、返回数组的大于较小行数数组行数、大于较大列数数组列数的区域的元素均为#N/A。有效元素为两个数组中对应数组的计算结果。

需要提醒一点的是，对会返回#N/A的数组，在进行再计算和处理时，考虑对#N/A值作相应的处理！

比如我们想对上面数组与数组2相加后的结果进行求和：

正确的公式（数组）：=SUM(IF(ISNA(A213:B216+D213:F215),0,A213:B216+D213:F215))通过ISNA函数对返回的数组里的各个元素进行了判断和处理，把把有的#N/A值替换成数值0，最后再用SUM函数对所有数值进行求和。

我们说，数组计算时，得注意行列数的匹配，其实如果了解了数组的计算原理后，能正确处理那些返回的#N/A值的话，很多时候，并不会出错的 第四部分：数组扩充

这一贴的内容相对比较简单，主要是对第三部分，数组的计算里提出的思考问题作出回复。昔日关云长温酒斩华雄的故事听过吧？如果你已认真读了前面的贴子，且用心总结了下，再来看此贴，相信你也会有“云长提华雄之头，掷于地上，其酒尚温”的豪气。

呵呵„„嫌我唐僧了吧？那端上一杯热茶，快快进入主题，当读完贴后，你的茶是否喝完？

读完上一贴，了解了数组公式的计算规律后，我们知道，数组与数组计算，返回一个新的数组。返回的数组的行数与参与计算的数组中行数较大的数组的行数相同，列数与列烽较大的数组的列数相同。

但“为什么两个不同的公式，返回的结果却相同呢？”，这就是我们今天要讲的一个新概念——数组扩充。

数组计算时，参与计算的两个数组得具有相同的维数，也就是得注意行列数的匹配。

对于行列数不匹配的数组，在计算时Excel会将数组对象进行扩展，以符合计算需要的维数。每一个参与计算的数组的行数必须与行数最大的数组的行数相同，列数必须与列数最大的数组的列数相同。

例1：

公式：=SUM({10,20,30,40}*10)里，第一个参数{10,20,30,40}是一行四列的数组，第二个参数不是数组，只是一个数值，为了让第二个数值能与第一个数组进行专题片，这时，Excel会自动将第二参数的10扩充成一个一行四列的数组{10，10，10，10}与第一参数匹配。所以，SUM({10,20,30,40}*10)最后是使用SUM({10,20,30,40}*{10,10,10,10})进行计算，得到的结果是10*10，20*10，30*10，40*10的和。

例2：

公式：={10;20;30;40}+{100,200}的第一个参数{10;20;30;40}是一个四行一列的数组，{100,200}是一个一行二列的数组，在计算时，Excel会将第一个数组自动扩充为一个四行二列的数组{10,10;20,20;30,30;40,40}，也会将第二个数组扩充为一个四行二列的数组{100,200;100,200;100,200;100,200}，所以={10;20;30;40}+{100,200}这个公式最后是使用公式={10,10;20,20;30,30;40,40}+{100,200;100,200;100,200;100,200}进行计算。公式最后返回的数组也是一个四行二列的数组，数组的第R行第C列的元素等于扩充后的两个数组的第R行第C列的元素的计算的结果。

好了，在这一贴要讲的已经讲完了。“数组扩充”这个华雄是否已被你斩于马下？也不知道你手里的茶喝完了没？我希望听到你回答的是：“华雄已斩，茶没喝完，还温着呢。”有兴趣，记得跟贴告诉我一声。呵呵„„

继续喝茶，休息。顺便听我再给你唠叨几句。

班里有50个学生，为了让每个学生都有座位，需要预备50套课桌椅。如果只有30套课桌椅，那最后进教室的20个同学将没有座位，如果有60套课桌椅，将会有10套课桌椅空在教室里而别的班级需要课桌椅的同学又不能使用。浪费啊„„

学生就像数组里的元素，输入数组公式返回数组的元素就像叫学生进教室，我们得给他们准备好合适的座位。所以输入多单元格数组公式时，应先选中需要返回数据的单元格区域，选中的单元格区域的行、列数应与返回数组的行、列数相同。否则，如果选中的区域小于数组返回的行列数，站在教室里，我们只能看到占了座位的这群学生。如果选择的区域大于数组返回的行列数，那超出的区域将会没有学生去坐而返回#N/A值。

第五部分：公式的解读

有人说，不喜欢数组公式。原因是太复杂，看不懂。

所以，先讲一讲公式的解读，对初学的人来说，应该是很有必要的。对于公式的解读，论坛上已经有很多的例子了，所以，我也没有什么新的东西可以跟大家讲。在这里，我把前辈们的经验总结一下，和大家分享。

1、利用F9键

这好像是大家在解读公式的时候用得最多的一个功能了。想知道某段公式的运行结果是什么？在编辑里，用鼠标选中需要进行计算的某段公式，将其抹黑，然后按F9键，就得到了公式的计算结果。这个功能我们在前面讲数组维数的时候已经用到了，这里不再多讲。需要提醒的是：当你对公式按F9键进行求值后，返回的时候记得按Esc键，或者点编辑栏左侧的“取消”按钮。否则公式就变成你求值后的样子了。

2、利用公式求值

要看懂复杂的公式，公式审核的的帮助是很大的。选择需要公式求值的单元格，点击“工具—>公式审核—>公式求值”，调出公式求值对话框。

点击“求值”铵钮，可以逐步对公式进行计算，将公式每一步的运算结果展示出来。

3、利用插入函数

对于复杂公式的结构分析、分段理解，使用插入函数功能是很方便的。

点鼠标左键，将光标定位到编辑栏里公式的某个地方。点击“插入——>函数”菜单命令：

这时，弹出函数参数的对话框，它会对我们的公式进行分段解析。

当然，你也可以直接点击编辑栏左边的插入函数命令按钮来调出对话框。