高三一轮复习：函数的单调性

第一篇：高三一轮复习：函数的单调性

高三一轮复习：函数的单调性教学设计

一、【教学目标】

【知识目标】：使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，学会利用函数图像理解和研究函数的性质，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法．

【能力目标】通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合数学思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力．

【德育目标】通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程．

二、【教学重点】

函数单调性的概念、判断、证明及应用．

函数的单调性是函数的最重要的性质之一，它在今后解决初等函数的性质、求函数的值域、不等式及比较两个数的大小等方面有广泛的实际应用，三、【教学难点】

归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义或导数证明函数的单调性．

由于判断或证明函数的单调性，常常要综合运用一些知识（如不等式、因式分解、配方及数形结合的思想方法等）所以判断或证明函数的单调性是本节课的难点.【教材分析】函数的单调性是函数的重要性质之一，它把自变量的变化方向和函数值的变化方向定性的联系在一起，所以本节课在教材中的作用如下

（1）函数的单调性一节中的知识是它和后面的函数奇偶性，合称为函数的简单性质，是今后研究指数函数、对数函数、幂函数、三角函数及其他函数单调性的理论基础。

（2）函数的单调性是培养学生数学能力的良好题材，同时还要综合利用前面的知识解决函数单调性的一些问题，有利于学生数学能力的提高。

（3）函数的单调性有着广泛的实际应用。在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等具体问题中均需用到函数的单调性；利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个数学教学。

因此“函数的单调性”在中学数学内容里占有十分重要的地位。它体现了函数的变化趋势和变化特点，在利用函数观点解决问题中起着十分重要的作用，为培养创新意识和实践能力提供了重要方式和途径。

四、【学情分析】

从学生的知识上看，学生已经学过一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等简单函数，能画出这些简单函数的图像，从图像的直观变化，进一步巩固函数的单调性。

从学生现有的学习能力看，通过初中、高中对函数的认识与实验，学生已具备了一定的观察事物的能力，积累了一些研究问题的经验，在一定程度上具备了抽象、概括的能力和语言转换能力。

从学生的心理学习心理上看，学生头脑中虽有一些函数性质的实物实例，但并没有上升为“概念”的水平，如何“定性”“定量”地描述函数性质是学生关注的问题，也是学习的重点问题。函数的单调性是学生从已经学习的函数中比较容易发现的一个性质，学生也容易产生共鸣，通过对比产生顿悟，渴望获得这种学习的积极心向是学生学好本节课的情感基础。

五、【教学方法】教师是教学的主体、学生是学习的主体，通过双主体的教学模式方法：

启发式教学法——以设问和疑问层层引导，激发学生，启发学生积极思考，逐步从常识走向科学，将感性认识提升到理性认识，培养和发展学生的抽象思维能力。

探究教学法——引导学生去疑；鼓励学生去探； 激励学生去思，培养学生的创造性思维和批判精神。

合作学习——通过组织小组讨论达到探究、归纳的目的。

六、【教学手段】计算机、投影仪．

七、【教学过程】

（一）基础知识梳理: 1.函数的单调性定义：

2.单调区间：

3.一些基本函数的单调性（1）一次函数ykxb（2）反比例函数yk x2（3）二次函数yaxbxc（4）指数函数yaxa0,a1

（5）对数函数ylogaxa0,a1

（二）基础能力强化：

（，0）1.下列函数中，在内是减函数的是（）

A.y1x

2B.yx22x

C.y2.f(x)x在（）1x（，1）（1，）（，1）（1，）A.上是增函数

B.是减函数

（，1）和（1，）（，1）和（1，）C.是增函数

D.是减函数

（1，）3.函数y2x2(a1)x3在区间，在内递增，则a的值是（）1内递减，A.1

B.3

C.5

D.-1 4.函数f(x)4x2mx5在区间2，上是增函数，在区间，2上是减函数，则f(1)=（）

A.-7

B.1

C.17

D.25

x1y

D.2x1x（，4]上是减函数，5.函数f(x)x2(a1)x2在区间那么实数a的取值范围是（）

a

3B.a3

C.a

5D.a3

2（2a1）xb是R上的增函数，则有（）6.设函数f(x)A.a111B.a

C.a

D.a 2222ax(x0)f(x1)f(x2)0成7.已知函数f(x)，满足对任意x1x2，都有

x1x2(a3)x4a(x0)立，则a的取值范围是（）

1

D.（0,1）（0,3）A.0,

B.C.，4411

（三）课堂互动讲练：

考点

一、函数单调性的证明方法：

（1）定义法：（2）求导法：

（3）定义的两种等价形式： 例1:证明：函数f(x)=

例2：求函数fx-x6x-9xm的单调区间.32x21x在定义域上是减函数.例3：试讨论函数f(x)=x

a(a0)的单调性.x

考点

二、复合函数的单调性：

例1：求下列函数的单调区间，并指出其增减性。

（1）ylog1(4xx2)

（2）y21x22x3 练习：

x1.函数y()1222x3的单调递减区间是；函数ylog1(32xx2)的单调递增区间是

32.已知yloga(2ax)在0,1上是减函数，则实数a的取值范围是（）

 A.0,1

B.1,2

C.0,2

D.2，考点

三、函数单调性的应用：

（，）1.函数f(x)在上是增函数，且a为实数，则有（）

222A.f(a)f(2a)

B.f(a)f(a)

C.f(aa)f(a)

D.f(a1)f(a)2.已知函数f(x)ax22ax4(a0)，若x1x2,x1x20，则（）

A.f(x1)f(x2)

B.f(x1)f(x2)

C.f(x1)f(x2)

D.f(x1)与f(x2)的大小不能确定

上是减函数，试比较f()与f(a2a1)的大小。3.已知函数yf(x)在0，24.如果函数f(x)xbxc，对任意实数t都有f(2t)f(2t)，试比较f(1),f(2),f(4)

34的大小。

2（1,1）5.若f(x)是定义在上的减函数，解不等式f(1a)f(a1)0.6.定义正实数集上的函数f(x)满足以下三条：

（1）f(4)1；（2）f(xy)f(x)f(y)；（3）xy时，f(x)f(y).求满足f(a)f(a6)2的实数a的取值范围。

7.函数f(x)对任意的a,bR，都有f(ab)f(a)f(b)1，并且当x0时，f(x)1（1）求证：f(x)是R上的增函数（2）若f(4)5，解不等式f(3m2m2)3。

第二篇：函数单调性

函数单调性概念教学的三个关键点 ──兼谈《函数单调性》的教学设计

北京教育学院宣武分院 彭 林

函数单调性是学生进入高中后较早接触到的一个完全形式化的抽象定义，对于仍然处于经验型逻辑思维发展阶段的高一学生来讲，有较大的学习难度。一直以来，这节课也都是老师教学的难点。最近，在我区“青年教师评优课”上，听了多名教师对这节课不同风格的课堂教学，通过对他们教学案例的研究和思考，笔者认为，在函数单调性概念的教学中，关键是把握住如下三个关键点。

关键点1。学生 学习函数单调性的认知基础是什么？

在这个内容之前，已经教学过一次函数、二次函数、反比例函数等简单函数，函数的变量定义和映射定义，以及函数的表示。对函数是一个刻画某些运动变化数量关系的数学概念，也已经形成初步认识。接踵而来的任务是对函数应该继续研究什么。在数学研究中，建立一个数学概念的意义就是揭示它的本质特征，即共同属性或不变属性。对各种函数模型而言，就是研究它们所描述的运动关系的变化规律，也就是这些运动关系在变化之中的共同属性或不变属性，即“变中不变”的性质。按照这种科学研究的思维方式，使得当前来讨论函数的一些性质，就成为顺理成章的、必要的和有意义的数学活动。至于在多种函数性质中，选择这个时机来讨论函数的单调性而不是其他性质，是因为函数的单调性是学生从已经学习的函数中比较容易发现的一个性质。

就中小学生与单调性相关的经历而言，学生认识函数单调性可以分为四个阶段： 第一阶段，经验感知阶段（小学阶段），知道一个量随另一个量的变化而变化的具体情境，如“随着年龄的增长，我的个子越来越高”，“我认识的字越多，我的知识就越多”等。

第二阶段，形象描述阶段（初中阶段），能用抽象的语言描述一个量随另一个量变化的趋势，如“y随着x的增大而减少”。

第三阶段，抽象概括阶段（高中必修1），能进行脱离具体和直观对象的抽象化、符号化的概括，并通过具体函数，初步体会单调性在研究函数变化中的作用。

第四阶段，认识提升阶段（高中选修系列1、2），要求学生能初步认识导数与单调性的联系。

基于上述认识，函数单调性教学的引入应该从学生的已有认知出发，建立在学生初中已学的一次函数、二次函数以及反比例函数的基础上，即从学生熟悉的常见函数的图象出发，直观感知函数的单调性，完成对函数单调性定义的第一次认识.。

让学生分别作出函数数值有什么变化规律？ 的图象，并且观察自变量变化时，函在学生画图的基础上，引导学生观察图象，获得信息：第一个图象从左向右逐渐上升，y随x的增大而增大；第二个图象从左向右逐渐下降，y随x的增大而减小.然后让学生明确，对于自变量变化时，函数值具有这两种变化规律的函数，我们分别称为增函数和减函数.第三个函数图象的上升与下降要分段说明，通过讨论使学生明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的．

在此基础上，教师引导学生用自己的语言描述增函数的定义： 如果函数在某个区间上的图象从左向右逐渐上升，或者如果函数

在某个区间上随自变量x的增大，y也越来越大，我们说函数在该区间上为增函数．

关键点2。为什么要用数学的符号语言定义函数的单调性概念？

对于函数单调性概念的教学而言，有一个很重要的问题，即为什么要进一步形式化。学生在初中已经接触过一次函数、反比例函数、二次函数，对函数的增减性已有初步的认识：随x增大y增大是增函数，随x增大y 减小是减函数。这个观念对他们而言是易于接受的，很形象，他们会觉得这样的定义很好，为什么还要费神去进行符号化呢？如果教师能通过教学设计，让学生感受到进一步符号化、形式化的必要性，造成认知冲突，则学生研究的兴趣就会大大提高，主动性也会更强。其实，数学概念就是一系列常识不断精微化的结果，之所以要进一步形式化，完全是数学精确性、严密性的要求，因为只有达到这种符号化、形式化的程度，才可以进行准确的计算，进行推理论证。

所以，在教学中提出类似如下的问题是非常必要的：

右图是函数函数吗？ 的图象,能说出这个函数分别在哪个区间为增函数和减

对于这个问题，学生的困难是难以确定分界点的确切位置．通过讨论，使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观，但有时不够精确，需要结合解析式进行严密化、精确化的研究,使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性，从而将函数的单调性研究从研究函数图象过渡到研究函数的解析式.关键点3：如何用形式化的语言定义函数的单调性？

从数学学科这个整体来看，数学的高度抽象性造成了数学的难懂、难教、难学，解决这一问题的基本途径是顺应学习者的认知规律：在需要和可能的情况下，尽量做到从直观入手，从具体开始，逐步抽象，即数学的思考方式。恰当运用图形语言、自然语言和符号化的形式语言，并进行三者之间必要的转化，可以说，这是学习数学的基本思考方式。而函数单调性这一内容正是体现数学基本思考方式的一个良好载体，教学中应该充分关注到这一点。长此以往，便可使学生在学习知识的同时，学到比知识更重要的东西—学会如何思考？如何进行数学的思考？

一般说，对函数单调性的建构有两个重要过程，一是建构函数单调性的意义，二是通过思维构造把这个意义用数学的形式化语言加以描述。对函数单调性的意义，学生通过对若干函数图象的观察并不难认识，因此，前一过程的建构学习相对比较容易进行。后一过程的进行则有相当的难度，其难就难在用数学的符合语言来描述函数单调性的定义时，如何才能最大限度地通过学生自己的思维活动来完成。这其中有两个难点：

（1）“x增大”如何用符号表示；同样，“f(x)增大”如何用符号表示。（2）“‘随着’x增大，函数f(x)‘也’增大”，如何用符号表示。

用数学符号描述这两种数学意义的最大要害之处，在于要用数学的符号来描述动态的数学对象。

在初中数学中，除了学习函数的初级概念，用y=f(x)表示函数y随着自变量x的变化而变化时，接触到一点动态数学对象的数学符号表示以外，绝大多数都是用数学符号表示静态的数学对象。因此，从用静态的数学符号描述静态的数学对象，到用静态的符号语言刻画动态数学对象，在思维能力层次上存在重大差异，对刚刚由初中进入高中学习的学生而言，无疑是一个很大的挑战！

因此，在教学中可以提出如下问题2： 如何从解析式的角度说明

在上为增函数？

这个问题是形成函数单调性概念的关键。在教学中，教师可以组织学生先分组探究，然后全班交流，相互补充，并及时对学生的发言进行反馈、评价，对普遍出现的问题组织学生讨论，在辨析中达成共识.对于问题2，学生错误的回答主要有两种：

①在给定区间内取两个数，例如1和2，因为函数． ,所以

在上为增②可以用0，1，2，3，4，5验证： 在所以函数上是增函数。

对于这两种错误，教师要引导学生进一步展开思考。例如，指出回答②试图用自然数列来验证结论，而且引入了不等式表示不等关系，但是，只是对有限几个自然数验证不行，只有当所有的比较结果都是一样的：自变量大时，函数值也大，才可以证明它是增函数，那么怎么办？如果有的学生提出：引入非负实数a，只要证明

就可以了，这就把验证的范围由有限扩大到了无限。教师应适时指出这种验证也有局限性，然后再让学生思考怎样做才能实现“任意性”就有坚实的基础了。也就是，从给定的区间内任意取两个自变量,然后求差比较函数值的大小，从而得到正确的回答: 任意取在,有为增函数． ,即，所以这种回答既揭示了单调性的本质，也让学生领悟到两点：(1)两自变量的取值具有任意性；(2)求差比较它们函数值的大小。至此，学生对函数单调性有了理性的认识.在前面研究的基础上，引导学生归纳、抽象出函数单调性的定义，使学生经历从特殊到一般，从具体到抽象的认知过程。

教学中，教师引导学生用严格的数学符号语言归纳、抽象增函数的定义，并让学生类比得到减函数的定义.然后指导学生认真阅读教材中有关单调性的概念,对定义中关键的地方进行强调.同时设计了一组判断题：

判断题：

①②若函数③若函数满足f(2)

和(2,3)上均为增函数，则函数在(1,3)上为增函数．④因为函数减函数.在上都是减函数，所以在上是通过对判断题的讨论，强调三点：

①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性． ②有的函数在整个定义域内单调(如一次函数)，有的函数只在定义域内的某些区间单调(如二次函数)，有的函数根本没有单调区间(如常函数)．

③函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在上是增（或减）函数．

从而加深学生对定义的理解

北京4中常规备课

【教学目标】

1．使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法．

2．通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合数学思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力．

3．通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程．

【教学重点】 函数单调性的概念、判断及证明．

【教学难点】 归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性． 【教学方法】 教师启发讲授，学生探究学习． 【教学手段】 计算机、投影仪． 【教学过程】

一、创设情境，引入课题 课前布置任务：

(1)由于某种原因，2008年北京奥运会开幕式时间由原定的7月25日推迟到8月8日，请查阅资料说明做出这个决定的主要原因.(2)通过查阅历史资料研究北京奥运会开幕式当天气温变化情况.课上通过交流，可以了解到开幕式推迟主要是天气的原因，北京的天气到8月中旬，平均气温、平均降雨量和平均降雨天数等均开始下降，比较适宜大型国际体育赛事.下图是北京市今年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图.引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考． 问题：观察图形，能得到什么信息？

预案：(1)当天的最高温度、最低温度以及何时达到；(2)在某时刻的温度；

(3)某些时段温度升高，某些时段温度降低.在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的．

问题：还能举出生活中其他的数据变化情况吗？ 预案：水位高低、燃油价格、股票价格等．

归纳：用函数观点看，其实就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小． 〖设计意图〗由生活情境引入新课，激发兴趣．

二、归纳探索，形成概念

对于自变量变化时，函数值是变大还是变小，初中同学们就有了一定的认识，但是没有严格的定义，今天我们的任务首先就是建立函数单调性的严格定义.1．借助图象，直观感知

问题1：

分别作出函数数值有什么变化规律？ 的图象，并且观察自变量变化时，函

预案：(1)函数

在整个定义域内 y随x的增大而增大；函数

在整个定义域内 y随x的增大而减小．

(2)函数在上 y随x的增大而增大，在上y随x的增大而减小．

(3)函数 在上 y随x的增大而减小，在上y随x的增大而减小．

引导学生进行分类描述(增函数、减函数)．同时明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质．

问题2：能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数? 预案：如果函数

在某个区间上随自变量x的增大，y也越来越大，我们说函数

在某个区间上随自变量x的增大，y越来越小，我们在该区间上为增函数；如果函数说函数在该区间上为减函数．

教师指出：这种认识是从图象的角度得到的，是对函数单调性的直观，描述性的认识． 【设计意图】从图象直观感知函数单调性，完成对函数单调性的第一次认识． 2．探究规律，理性认识

问题1：下图是函数和减函数吗？ 的图象,能说出这个函数分别在哪个区间为增函数

学生的困难是难以确定分界点的确切位置．

通过讨论，使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观，但有时不够精确，需要结合解析式进行严密化、精确化的研究．

〖设计意图〗使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性． 问题2：如何从解析式的角度说明

在为增函数？

22预案：(1)在给定区间内取两个数，例如1和2，因为1<2,所以为增函数．

(2)仿(1)，取很多组验证均满足，所以(3)任取，所以

在,因为

为增函数．

在为增函数．

在,即对于学生错误的回答，引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析,使学生认识到问题的根源在于自变量不可能被穷举，从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量．

【设计意图】把对单调性的认识由感性上升到理性认识的高度,完成对概念的第二次认识．事实上也给出了证明单调性的方法，为证明单调性做好铺垫.3．抽象思维，形成概念

问题：你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗?

师生共同探究，得出增函数严格的定义，然后学生类比得出减函数的定义．(1)板书定义(2)巩固概念 判断题：

①．

②若函数

③若函数 在区间

和(2,3)上均为增函数，则函数

在区间(1,3)上为增函

．

④因为函数在区间上是减函数.上都是减函数，所以在

通过判断题，强调三点：

①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性． ②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)．

③函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在上是增（或减）函数．

思考：如何说明一个函数在某个区间上不是单调函数? 【设计意图】让学生由特殊到一般，从具体到抽象归纳出单调性的定义，通过对判断题的辨析，加深学生对定义的理解，完成对概念的第三次认识.三、掌握证法，适当延展

例 证明函数

在上是增函数．

1．分析解决问题

针对学生可能出现的问题，组织学生讨论、交流．

证明：任取 ，设元

求差

变形，断号

∴

∴

即

∴函数

2．归纳解题步骤

在上是增函数．

定论

引导学生归纳证明函数单调性的步骤：设元、作差、变形、断号、定论．

练习：证明函数

问题：要证明函数

在区间

上是增函数，除了用定义来证，如果可以证得对

在上是增函数．

任意的，且有可以吗? 引导学生分析这种叙述与定义的等价性．让学生尝试用这种等价形式证明函数在

〖设计意图〗初步掌握根据定义证明函数单调性的方法和步骤．等价形式进一步发展可以得到导数法，为用导数方法研究函数单调性埋下伏笔．

四、归纳小结，提高认识

学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结．

1．小结

(1)概念探究过程：直观到抽象、特殊到一般、感性到理性．(2)证明方法和步骤：设元、作差、变形、断号、定论．(3)数学思想方法和思维方法：数形结合，等价转化，类比等． 2．作业

书面作业：课本第60页习题2.3 第4，5，6题． 课后探究：(1)证明：函数

在区间

上是增函数的充要条件是对任意的上是增函数．，且

有．

(2)研究函数的单调性，并结合描点法画出函数的草图．

《函数的单调性》教学设计说明

一、教学内容的分析

函数的单调性是学生在了解函数概念后学习的函数的第一个性质，是函数学习中第一个用数学符号语言刻画的概念，为进一步学习函数其它性质提供了方法依据． 对于函数单调性，学生的认知困难主要在两个方面：（1）要求用准确的数学符号语言去刻画图象的上升与下降，这种由形到数的翻译，从直观到抽象的转变对高一的学生是比较困难的；（2）单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容，而学生在代数方面的推理论证能力是比较薄弱的．根据以上的分析和教学大纲的要求，确定了本节课的重点和难点．

二、教学目标的确定

根据本课教材的特点、教学大纲对本节课的教学要求以及学生的认知水平，从三个不同的方面确定了教学目标，重视单调性概念的形成过程和对概念本质的认识；强调判断、证明函数单调性的方法的落实以及数形结合思想的渗透；突出语言表达能力、推理论证能力的培养和良好思维习惯的养成．

三、教学过程的设计

为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，教学上采取了以下的措施：（1）在探索概念阶段, 让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，完成对单调性定义的三次认识,使得学生对概念的认识不断深入．

（2）在应用概念阶段,通过对证明过程的分析，帮助学生掌握用定义证明函数单调性的方法和步骤．

（3）考虑到我校学生数学基础较好、思维较为活跃的特点，对判断方法进行适当的延展，加深对定义的理解，同时也为用导数研究单调性埋下伏笔．

第三篇：函数的单调性

函数的单调性说课稿(市级一等奖)函数单调性说课稿 《函数的单调性》说课稿(市级一等奖)旬阳县神河中学 詹进根

我说课的课题是《普通高中课程标准实验教科书 必修1》第二章第三节——函数的单调性。我将根据新课标的理念和高一学生的认知特点设计本节课的教学。我从下面三个方面阐述我对这节课的理解和教学设计。

一、教材分析

1、教材内容

本节课是北师大版(必修一)第二章函数第三节——函数的单调性，本节课内容教材主要学习函数的单调性的概念，依据函数图象判断函数的单调性和应用定义证明函数的单调性。

2、教材的地位和作用

函数是本章的核心概念，也是中学数学中的基本概念，函数贯穿整个高中数学课程。在历年的考题中常考，函数的思想也是我们学习数学中的重要思想。在这一节中利用函数图象研究函数性质的数形结合思想将贯穿于整个高中数学教学。

函数的基本性质包括单调性、奇偶性、周期性、对称性、有界性。而我们今天学习的内容就是函数基本性质中的一种——单调性。函数的单调性是用代数方法研究函数图象局部变化趋势的。函数的单调性是学生初中学习了一次函数、二次函数、反比例函数图象的基础上对增减性有一个初步的感性认识，是函数概念的延续和拓展，又是后续研究指数函数、对数函数等内容的基础，对进一步探索、研究函数的其他性质有着示范性的作用，对解决各种数学问题有着广泛作用。此外在比较数的大小、极限、导数以及相关的数学综合问题中也有广泛的应用，它是整个高中数学中起着承上启下作用的核心知识之一。通过对本节课的学习，让学生领会函数单调性的概念、掌握证明函数单调性的步骤，并能运用单调性知识解决一些简单的实际问题。通过上述活动，加深对函数本质的认识。更主要本节教学过程中还渗透了探索发现、数形结合、归纳转化等数学思想方法，这对培养学生的创新意识、发展学生的思维能力，掌握数学的思想方法具有重大意义。

根据函数单调性在整个教材内容中的地位和作用，并结合学生的认知水平，本节课教学应实现如下教学目标。

3、教学目标

知识与技能:理解函数单调性和单调函数的意义;会判断和证明简单函数的单调性。

过程与方法:培养从概念出发，进一步研究其性质的意识及能力;体会感悟数形结合、分类讨论的数学思想。

情感态度与价值观:领会用运动的观点去观察分析事物的方法，培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯;由合适的例子引发学生探求数学知识的欲望，突出学生的主观能动性，激发学生学习的兴趣。

4(教学的重点和难点 教学重点: 函数单调性的概念，判断并证明函数的单调性;1 函数单调性说课稿 教学难点: 根据定义证明函数的单调性和利用函数图像证明单调性。

二、教法与学法 1(教学方法 本节课是函数单调性的起始课，根据教学内容、教学目标和学生的认知水平，本节课主要采用“创设情景、问题探究、合作交流、归纳总结、联系巩固”的教学方式，这样既增加了教师与学生、学生与学生之间的交流，又能激发学生的求知欲，调动学生积极性，使他们思路更加开阔，思维更加敏捷。

2(教学手段

教学中使用多媒体辅助教学，目的是充分发挥其快捷、生动、形象的特点，为学生提供直观感性的材料，有助于学生对问题的理解和认识。

3(学法

高一学生知识上已经掌握了一次函数、二次函数、反比例函数的图象和基本性质等内容，但对知识的理解和方法的掌握上不完备，反应在解题中就是思维不严密，过程不完整;能力上具备了一定的观察、类比、分析、归纳能力，但知识整合和主动迁移的能力较弱，数形结合的意识和思维的深刻性还需进一步培养和加强，所以应从下面两方面来提高学生的水平。

(1)让学生利用图形直观感受;(2)让学生“设问、尝试、归纳、总结、运用”，重视学生的主动参与，注重信息反馈，通过引导学生多思、多说、多练，使认识得到深化。

三、教学过程

本节课的教学过程包括:创设情境，引入课题;归纳探索，形成概念;巩固提高，深化概念;归纳小结，提高认识.具体过程如下:(一)创设情境，引入课题

我们知道，函数是刻画事物变化的工具。在2003年抗击非典型肺炎时，卫生部门对疫情进行了通报。如下图是北京从4月21日到5月19日期间每日新增病例的变化统计图。

思考如何用数学语言刻画疫情变化, [设计意图]:通过实际生活中的例子让学生对图像的上升和下降有一个初步感性认识，为下一步对概念的理性认识作好铺垫。同时通过多媒体展示，能够提高学生的兴趣，增强直观性，拉近数学与实际的距离，感受数学源于生活,让学生学会用数学的眼光去关注生活。函数单调性说课稿(二)归纳探索，形成概念

在本阶段的教学中，为使学生充分感受数学概念的形成与发展过程和数形结合的数学思想，加深对函数单调性的本质的认识，我设计了几个环节,引导学生分别完成对单调性定义的认识.1、提出问题，观察变化

12问题:分别做出函数的图像，指出上面四yxyxyxy,，，，，2,1， x 个函数图象在哪个区间是上升的，在哪个区间是下降的, 8 688 86466 44422 22-10-5510-10-5510-10-5510-10-5510-2-2-2-2-4-4-4-6-4-6-6-8-6-8-8-8 12 yx,，2yx，，1yx,y,x 通过学生熟悉的图像，及时引导学生观察，函数图像上A点的运动情况，引导学生能用自然语言描述出，随着增大时图像变化规律。让学生大胆的去说，x 老师逐步修正、完善学生的说法，最后给出正确答案。

【设计意图】 新课标十分注重初中与高中的衔接，注重通过函数的图像，研究函数的基本性质。以学生们熟悉的函数为切入点，尽量做到从直观入手，顺应同学们的认知规律。第三个、第四个函数图像的上升与下降要分段说明，通过讨论使学生明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质（2、步步深化，形成概念 2观察函数y=x随自变量x 变化的情况，设置启发式问题:(1)在y轴的右侧部分图象具有什么特点,(2)如果在y轴右侧部分取两个点(x，y)，(x，y)，当x

【设计意图】通过启发式提问，实现学生从“图形语言”到 “文字语言”到 “符号语言”认识函数的单调性，实现“形”到“数”的转换。另外，对“任意性”的理解，我特设计了问题(2)、(3)，达到步步深入，从而突破难点，突出重点的目的。通过对以上问题的分析，从正、反两方面领会函数单调性。师生共同总结出单调增函数的定义，并解读定义中的关键词，如:区间内，任意，当<时，xx12都有<。f(x)f(x)12 仿照单调增函数定义，由学生说出单调减函数的定义。3 函数单调性说课稿

教师总结归纳单调性和单调区间的定义。

注意强调:函数的单调性是函数在定义域某个区间上的局部性质，也就是说，一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性。

【设计意图】通过问题的分解，引导学生步步深入，直至找到最准确的数学语言来描述定义。体现从简单到复杂、具体到抽象的认知过程。在课堂教学中教师引导学生探索获得知识、技能的途径和方法。通过探索，培养学生的观察能力和运动变化的观点，同时充分利用图形的直观性，渗透了数形结合的思想，学生在探索的过程中品尝到了自己劳作后的甘甜，感受到耕耘后的丰收喜悦，更激起了学生的探索创新意识。

3(巩固提高，深化概念

本环节在前面研究的基础上，加深学生进一步理解函数单调性定义本质，完成对概念的再一次认识.练习1:如下图给出的函数，你能说出它的函数值随自变量值的变化情yx况吗?

怎样用数学语言表达函数值的增减变化呢? 1f(x),例1 说出函数的单调区间，并指明在该区间上的单调性.x 练习2:判断下列说法是否正确

(1)定义在R上的函数满足，则函数是R上的增函数。f(x)f(2),f(1)(2)定义在R上的函数满足，则函数是R上不是减函数。f(x)f(2),f(1)1(3)已知函数，因为是增函数。所以函数fx()y,ff(1)(2)，，x，，(4)定义在R上的函数在，,0,上是增函数，在0,，,上也是增函数，f(x)则函数是R上的增函数。

(5)函数在上都是减函数，所以在

上是减函数。

例2 画出函数的图像，判断它的单调性，并加以证明。f(x),3x，2 通过对上述几题讨论，加深学生对定义的理解。强调以下三点，完成本阶段的教学: ?单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性。函数单调性说课稿

?有的函数在整个定义域内单调(如一次函数)，有的函数只在定义域内的某些区间单调(如二次函数)，有的函数根本没有单调区间(如常函数)。

?函数在定义域内的两个区间A,B上都是增(或减)函数，一般不能认为函数在上是增(或减)函数。

【设计意图】函数单调性定义产生是本节课的难点，难在:如何使学生从描述性语言过渡到严谨的数学语言。而对严谨的数学语言的准确理解及正确应用更是学生薄弱环节，这里通过问题研讨体现了以学生为主体，师生互动合作的教学新理念。例1主要是从图形上判断函数的单调性;例2主要对数形结合，定义法证明函数的单调性的只是巩固与应用.(四)归纳小结，提高认识

归纳小结是巩固新知识不可或缺的环节之一，本节课我采用组织和指导学生自己谈学习收获的方式对所学知识进行归纳，深化对数学思想方法的认识，为后续学习打好基础(1(本节小结

函数单调性定义，判断函数单调性的方法(图像、定义)在方法层面上，引导学生回顾判断，证明函数单调性的方法和步骤;引导学生体会探究过程中用到的思想方法和思维方法，如数形结合，等价转化，类比等。

2(布置作业

课后作业实施分层设置，书面作业、课后思考.作业布置:教材第38页的第2，3，5题 思考交流:问题 如果可以证明对任意的，且，有xxab,(,),xx,1212fxfx()(),21，能断定函数在上是增函数吗? fx()(,)ab,0xx,21 【设计意图】:目的是加深学生对定义的理解，让学生体会这种叙述与定义的等价性，而且这种方法进一步发展可以得到导数法，为今后用导数方法研究函数单调性埋下伏笔。

以上各个环节，环环相扣，层层深入，注意调动学生自主探究与合作交流，努力实现教学目标，也使新课标理念能够得到很好的落实。

各位评委，本节课我在概念教学上进行了一些尝试.在教学过程中，我努力创设一个探索数学的学习环境,通过设计一系列问题,使学生在探究问题的过程中，亲身经历数学概念的发生与发展过程，从而逐步把握概念的实质内涵,深入理解概念。函数单调性说课稿 附一:板书设计 函数的单调性

一、函数单调性的概念

三、例题讲解

四、课堂练习

二、证明函数单调性的步骤 例1:

五、布置作业 例2: 小结和作业在多媒体上展示，这样的板书简明清楚，重点突出，加深学生对重点知识的理解和掌握，同时便于记忆，有利于提高教学效果.6 函数单调性说课稿 7

第四篇：《函数单调性》复习课教学反思

《函数单调性》复习课教学反思

函数单调性是高中数学最重要的知识点之一，学习起来并不容易，在教学时不能贪图进度和难度，要给学生一定的时间去体会去理解。对于这节课：单调函数的概念是重点，函数单调性的判断与证明是难点。教学时主要使用启发式，好处是学生在教师的引导下可以很快基本掌握函数单调性这一知识点。

在高一时我的教学过程是：按照大纲要求，将概念引入、讲解、重点分析、举例巩固、课后练习。这堂课无论是自己或者学生都反映良好，概念清晰，学生在完成课后作业的时候也准确率较高。但是，在期末复习的时候，问题还是暴露出来，学生对于单调性的概念由于时间关系已经模糊了，产生了类似于自变量大，函数值大，即可以得到函数是增函数的错误结论。已经忽略了自变量取值的任意性这一基本要求，概念不清；更有甚者，连“对于任意的x1

现在总复习了，如何完成教学任务已不足以满足我的要求，我思考的是如何利用有限的课堂教学时间，使学生在准确理解“函数的单调性”的有关概念的基础上，掌握数形结合的思想方法，加深对概念的认识，为进一步的转化为程序性知识做铺垫。前两次的教学我采用的都是利用课本的引例，即利用二次函数和三次函数的图象，让学生直观地看到“单调递增”或“单调递减”的现象，然后就单刀直入地提出了“函数的单调性”这个概念，解释一下要点“任意”、“都有”、“定义域”、“区间”，就结束了，直接进入应用概念的阶段。好处是节约时间，直接明了，条理清楚；缺点是学生对于概念的本质认识模糊，很容易随着时间的流逝将其遗忘，特别是在处理一些概念性较强的证明题时尤为明显。为了让学生对概念理解的更透彻，后续学习更加顺利，我在这一次的教授过程中做了适当的调整。引入部分还是采用了二次函数，还加入了一次函数和反比例函数。这两个特例，前者是课本证明题例２；后者既是例３又承担着概念辨析的重要职责。这样的安排，一方面是考虑到学生实际情况（直观现象容易为其所接受），一方面也是尽最大可能地利用课本承前启后。学生在描述上述三个函数图象的时候较为顺利，此时我引导学生观察一次函数的图象，描述其的特征：从左往右图象上升。然后顺势提出让学生观察其余两个函数的图象，是否有类似的现象。学生１：二次函数图象上升；学生２：二次函数图象下降；学生３：二次函数图象下降后上升。学生１和学生２在学生３回答后感觉自己似乎错了，但又说不请理由。此时，教师指出：在同一个观察任务中必须按照一定的标准，观察的顺序应沿x轴的正方向即“从左向右”，即可得到正确答案。学生在理解错误原因过程中亦得到了正确的研究方法。通过观察，大家发现了上述三个函数存在从左往右看图象上升或下降的现象，及时提出课题“函数的单调性”，并指出以上函数的单调性及增减函数的名词。直观上承认这一性质以后，我放弃了以前直奔主题的做法，结合学生常常接触上下楼为情景。由学生仿照刚才的分析，解释图象的“单调”特征。继而提出：图象特征如何转化为数学语言？经过思考，通过图象直观的影响，教师的启发，学生归纳总结函数单调性的定义。到此，学生通过自身的探索终于接近目的地，自己给出了“增函数”的定义。我让学生打开书本，与书上的定义进行比较，肯定他们的成果，并提示采用书本更为精确的用语。这个定义的给出，与以往我生硬地将课本定义直接给出大相径庭，由学生容易接受的直观图象开始，先形成“单调性”是函数的一种现象、“增（减）函数”是什么样的这样的印象，由学生自主探索接近、得到定义，学生对此印象深刻，理解深入，而且激发了学生的自信心：原来自己也可以写数学定义。兴奋点启动以后，后续的学习就顺利多了，“减函数”，“单调区间”的定义很快给出。最后指出“函数的单调性”本质上反映了函数随自变量的变化函数值相应地发生变化的性质。这个结论的提出，在一定的高度上对“函数的单调性”作出了最本质的概括，学生深受触发。本节课留给学生较多的活动机会，可总结为四给：

（一）给学生以看的机会；

（二）给学生以想的机会；

（三）给学生以说的机会；

（四）给学生以练的机会。这样，既调动了学生的积极性，又培养学生的观察,归纳,抽象的能力,同时渗透数形结合,从特殊到一般的数学思想。课后的教学反馈效果良好，当然也存在一些不足之处，我会在下一课时的教学中加以补充，力争达到一个最好的教学效果。

第五篇：高三数学单元练习题：函数的单调性

高三数学单元练习题：函数的单调性

【说明】本试卷满分100分，考试时间90分钟.一、选择题（每小题6分，共42分）

1.下列函数中，在区间（0，2）上为增函数的是（）A.y=-x+1 B.y=C.y=x-4x+5 D.y=答案：B 解析：A、C、D函数在（0，2）均为减函数.2.设函数f(x)在(-∞,+∞)上是减函数，则下列不等式正确的是（）A.f(2a)

222

x 2x

12)+2

34>0，∴a+1>a.又f(x)在R上递减，故f(a+1)12 B.k-D.k<-

答案：D 解析：2k+1<0k<-4.函数f(x)=A.01212ax1x212.在区间（-2，+∞）上为增函数，那么实数a的取值范围为（）B.a<-1或a>

D.a>-2 答案：C 解析：∵f(x)=a+12ax2在(-2,+∞)递增，∴1-2a<0,即a>

12.5.(2010四川成都一模，4)已知f(x)是R上的增函数，若令F（x）=f(1-x)-f(1+x)，则F（x）是R上的（）

A.增函数 B.减函数

C.先减后增的函数 D.先增后减的函数 答案：B 解析：取f(x)=x,则F(x)=(1-x)-(1+x)=-2x为减函数，选B.6.已知f(x)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数，且f(x)在［0，+∞）上是减函数，则下列关系式中正确的是（）

A.f(5)>f(-5)

B.f(4)>f(3)

C.f(-2)>f(2)D.f(-8)

①对于任意的x∈［0，1］，总有f(x)≥0;②f(1)=1;③若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1, 则有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2).(1)求f(0)的值；

（2）求f(x)的最大值.解析：(1)对于条件③，令x1=x2=0得f(0)≤0，又由条件①知f(0)≥0，故f(0)=0.(2)设0≤x1b>0)上是减函数且f(-b)>0,判断F（x）=［f(x)］2在［b,a］上的单调性并证明你的结论.解析：设b≤x1-x2≥-a.∵f(x)在［-a,-b］上是减函数,∴0

22-1)2+（nx-1)2的定义域为［m,n)且1≤m

（2）证明：对任意x1、x2∈［m,n］,不等式|f(x1)-f(x2)|<1恒成立.（1）解析：解法一：∵f(x)=（xm-1)+（2nx-1)=

2xm22nx222xm22nx+2, ∴f′(x)=2xm22nx322m2nx22mx23·(x4-m2n2-mx3+m2nx)=

mx23(x2-mx+mn)(x+mn)(x-mn).∵1≤m≤x0,x2-mx+mn=x(x-m)+mn>0,x+mn>0.令f′(x)=0,得x=mn，①当x∈［m,mn］时，f′(x)<0;②当x∈［mn，n］时，f′(x)>0.∴f(x)在［m,mn］内为减函数，在［mn，n）为内增函数.解法二：由题设可得 f(x)=（xmnx-1）2-2nm+1.