数学计算课程教案（共5篇）

第一篇：数学计算课程教案

第一讲：简便计算技巧

一、知识概要

1、熟悉运算规律交换律（+、—）、结合律（+、—）、同级选择律。

2、掌握分配律的运用和逆用。（）在除号后面没有分配律

3、掌握好2x5=10、25x4=100、125x8=1000，包括小数和分数

4、！！！！！！！！学会观察算式结构、多退少补、灵活处理！！！！！！！！！！！！！

二、活学活用

175－75÷25

68＋35×13

725－（125＋237）

（114＋166）÷35

432÷（9×8）

189－60＋40

216＋305/5

47＋236＋64

5+25×44

102×99

8+2×125

645-180-245

382×101-382

4×60×50×8

35×8+35×6-4×35

0.175÷0.25×4

0.175÷0.25÷0.4

200÷［（172－72÷25］

630×［840÷（240－212）］

800÷25

2000÷125

25×63×4

9000÷125

99×11

794－198

68×25

428×(3080－1980)－7426756－193－207

72×125

97×360＋3×360

124×25－25×24

2800÷ 100＋789

75÷〔138÷（100-54）〕

85×(95－1440÷24)

240×78÷（154-115）

80400－(4300＋870÷15)

1437×27＋27×563

[75-（12+18）]÷15

(6.8-6.8×0.55)÷8.5

7.2÷0.8-1.2×5

864÷[（27－23）×12

（45＋38－16）×24

500－（240＋38×6）

[64－（87－42）] ×15

（845－15×3）÷1612×[（49－28）÷7]

450÷[（84－48]）÷12

（58+37）÷（64-9×5）

0.12× 4.8÷0.12×4.8

95÷（64-45）

6.5×（4.8-1.2×4）

（284+16）×（512-8208÷18）

178-145÷5×6+42

812-700÷（9+31×11）

120-36×4÷18+35

32.52-（6+9.728÷3.2）×2.5

(3.2×1.5+2.5)÷1.6

5.8×(3.87-0.13)+4.2×3.74

(6.8-6.8×0.55)÷3.66+7.85-5.37

[（7.1-5.6）×0.9-1.15] ÷2.5

85+14×（14+208÷26）

（58+37）÷（64-9×5）

2800÷ 100＋789（947－599）＋76×64 36×(913－276÷23)

(93＋25×21)×9 507÷13×63＋498(39－21)×(396÷6)

723－(521＋504)÷25 384÷12＋23×371 848－640÷16×12

57×12－560÷35 [ 192－（54＋38）]×67 138×25×4 1500－32×45(13×125)×(3×8)(12+24+80)×50

704×25-509 25×32×125 32×(25+125)

178×101－178 84×36+64×84 98×199 75×99+2×75 83×102－83×2 25×（24+16）178×99+178 79

123×18－123×3+85×123

7300÷25÷4 810075×27+19×2 5 31×870+13×310 138×25×4(13×125)×(3×8)

(12+24+80)×50 25×32×125

102×76 58×98 75×99+2×75

84×36+64×84 98×199 85

50×(34×4)×3 25×（24+16）

79×42+79+79×57 7300÷25÷4

50×(34×4)×3 ×42+79+79×57 ÷4÷75 ×(25×65+25×28)

32×(25+125)178×101－178 83×102－83×2 ×(95－1440÷24)178×99+178

三、方程式计算（70题）2x+8=16

x÷5=10

x+7x=8

9x-3x=6

6x-8=4

5x+x=9

x+7x=8

x÷5=10

x-8=6x

9x-3x=6

4÷5x=20

7x+7=14

2x-8=10

3x+7=28

x56116

4÷5x=20 6x-8=4

2x-6=12

6x-6=0

3x-7=26

126x3

2x-6=12

5x+x=9

x-5÷6=7

5x+6=11

9x-x=16

2x+8=16

x-8=6x

1÷2x-8=4

24x+x=50 x25310

513161x

x

x1

637377

311143x

x1

x

x57117

x2719

38x19

x27313

4535x12

x12119

x53316

x59113

94x38512

53x35

x23711

35x112

x5112172

x

x

59x16

x235320

x59116

x215310

1512x13

7967x14

x512116

x56119

312x118

x7121118

510x58114

5317x314

112x23

512x124

x23918

12155131xx

x5

1326261218

下面各题怎样算简便就怎样算。

6.9＋4.8＋3.1 0.456＋6.22＋3.78 15.89＋(6.75－5.89)

4.02＋5.4＋0.98 5.17－1.8－3.2 13.75－(3.75＋6.48)

3.68＋7.56－2.68 7.85＋2.34－0.85＋4.66 35.6－1.8－15.6－7.2

3.82＋2.9＋0.18＋9.1 9.6＋4.8－3.6 7.14－0.53－2.47

5.27＋2.86－0.66＋1.63 13.35－4.68＋2.65 73.8－1.64－13.8－5.36

47.8－7.45+8.8 0.398+0.36+3.64 15.75+3.59－0.59+14.25

66.86－8.66－1.34 0.25×16.2×4(1.25－0.125)×8

3.6×102 3.72×3.5＋6.28×3.5 36.8－3.9－6.1

15.6×13.1－15.6－15.6×2.1 4.8×7.8＋78×0.52 32＋4.9－0.9

4.8×100.1 56.5×9.9＋56.5 7.09×10.8－0.8×7.09

25.48－(9.4－0.52)4.2

18.76×9.9＋18.76 3.52

5.6÷3.5 9.6

17.8÷(1.78×4)0.49

15.2÷0.25÷4 0.89

3.83×4.56＋3.83×5.44 4.36

27.5×3.7－7.5×3.7 8.54÷0.2 ÷0.5 320÷2.5÷0.4 3.9÷0.8÷0.4 4.2÷0.049÷10 1.25×100.1 146.5×12.5×8 9.7÷2.5÷0.4 3.2÷1.25÷8 －4.1＋6.1－5.9 ×99＋4.2 ×2.5×32 －(23＋46.5)×99＋9.7 ×0.25×12.5

(45.9－32.7)÷8÷0.125 3.14×0.68＋31.4×0.032 5.6÷1.25÷0.8÷2.5÷0.4

7.2×0.2＋2.4×1.4 33

3.9×2.7＋3.9×7.3 18

21×（9.3－3.7）－5.6 15.02-6.8-1.02 5.4

2.3×16+2.3×23+2.3 9.43-

46×57＋23×86 13.7

101×0.87-0.91×87 10.7

4.8+8.63+5.2+0.37 5.93+0.19+2.81 1.76+0.195+3.24

×66+33×34 7.74×（2.8－1.3）＋1.5×2.26 －1.8÷0.125÷0.8 12.7×9.9＋1.27 ×11-5.4（6.28-1.57）3.65×4.7－36.5×0.37 ×0.25－3.7÷4 2.22×9.9+6.66×6.7 ×16.1-15.1×10.7 0.79×199-0.79×99

2.35+1.713+0.287+7.65 1.57+0.245+7.43 6.02+3.6+1.98

0.134+2.66+0.866 1.27+3.9+0.73+16.1 7.5

3.07－0.38－1.62 1.29

3.25＋1.79－0.59＋1.75 23.4

3.2＋0.36＋4.8＋1.64 1.23

12.7－（3.7＋0.84）36.54

7.6×0.8＋0.2×7.6

＋3.7＋2.71＋6.3 8－0.8－13.4－7.2 125＋3.4－0.23＋6.6 0.25－1.76－4.54 0.25（105+88）+95 0.25＋4.9－6.5 －2.45－1.55 ×64 ×16 ×0.73×4 ×8.5×4

1.28×8.6＋0.72×8.6 12.5×0.96×0.8 10.4－9.6×0.35

0.8×（4.3×1.25）12

0.86×15.7－0.86×14.7 103+72+97+28 2.31

14－7.32－2.68 2.64

（2.5－0.25）×0.4 9.16

96.5 ÷2.5÷0.4 63-

63.4÷2.5÷0.4 63

32.4×0.9＋0.1×32.4 15＋3.12×99 28.6＋8.67＋7.36＋11.33 70×1.5－0.5×9.16 3.6（83-32）930÷2÷5 3.9÷（0.25×0.4）0.35×101－28.6 ×1.2×0.5 ÷280 －3.6×0.5 ÷0.6÷5 ÷（1.3×5）×1.25×2×0.8

第二篇：数学计算能力

如何提高数学计算能力

班莫完小 赵源丽

计算能力是学生学习数学所必备的基本能力，是学习数学的基础，培养和提高学生的计算能力是小学数学的主要任务之一。计算的准确率和速度如何，将直接影响学生学习的质量。很多同学总以为计算式的题比分析、解决问题容易得多，因而在计算时或过于自信，或注意力不能集中，结果错误百出。因此，计算教学不容忽视。如何提高学生的计算能力，让学生“正确、迅速、灵活、合理”地进行计算呢？在教学工作中，我做了探讨和研究，取得了一些好的效果，总结几点心得如下:

一、发现问题，改变学生认识。

为了让学生认识到计算的重要性，我首先在学生中开展了一项活动：让学生自己搜集计算中经常犯的错误，可以每位同学自己进行，也可以通过小组合作一起找，找出出错原因，看谁找的认真，错因找的准。学生的积极性被调动起来了，也就把问题抖落了出来：

（1）题目看错抄错，书写潦草。6与0，1和7写得模棱两可；

（2）列竖式时数位没对齐等;（3）计算时不打草稿;（4）一位数加、减计算错误导致整题错;（5）做作业时思想不集中.”

从一些学生的计算错误来看，“粗心”的原因有两个方面：一是由于他们的生理、心理发展尚不够成熟，另一方面则是由于没有养成良好的学习习惯。第一方面是个自然成长过程，第二方面则可以采取相应方法进行培养，所以在引导学生分析原因的同时，要把培养学生良好的学习习惯突出出来，这是提高计算能力的关键，也是素质教育的基本要求。

二、培养学生良好的计算习惯

做题计算中出现的错误，大多数是粗心大意、马虎、字迹潦草等不良习惯造成的。因此，良好的计算习惯是提高计算能力的保证。在计算训练时，我经常要求学生一定做到一看、二想、三算、四查。

1、看：就是认真对数。题目都抄错了，结果又怎么能正确呢？所以，要求学生在抄题和每步计算时，都应当及时与原题或上一步算式进行核对，以免抄错数或运算符号。要做到三点：①抄好题后与原题核对；②竖式上数字与横式上的数字核对；③横式上的得数与竖式上的得数核对。

2、想：就是认真审题。引导学生在做计算题时，不应拿起笔来就下手算，必须先审题，弄清这道题应该先算什么，后算什么，有没有简便的计算方法，然后才能动笔算。另外，我们班的学生在做计算时我的要求是必须先求准，再求快。

3、算：就是认真书写、计算。作业、练习、甚至在草稿纸上做的演算，我都要求他们书写工整，不能潦草，格式也一定要规范，对题目中的数字、运算符号的书写尤其要符合规范，数字间有适当的间隔，草稿上的竖式也要数位对齐、条理清楚，计算时精力集中，不急不抢。

4、查：就是认真演算。计算完，首先要检查计算方法是不是合理；其次，检查数字、符号会不会抄错；再次，在计算连加、连减或加减混合计算时，对计算中途得到的每一个得数和最后的结果都要进行检查和演算。因此，培养良好的学习习惯是防止计算错误，提高计算能力的重要途径。

三、培养学生口算能力，切实打好基础

口算主要靠思维、记忆，直接算出得数的计算方式，它是计算能力的重要组成部分，所以，要提高学生的计算能力必须打好口算的基础。

1、为了提高学生口算的准确率和速度，我根据学生知识结构，有意识地让学生记一些特殊数学的组合，如：和是整

十、整百的两个数（73和27，98和2等）。这些计算结果的记忆，不但对提高学生的计算准确率有很大的帮助，而且大大地提高了学生的计算速度。

2、每堂课上安排练习。每节数学课视教学内容和学生实际，选择适当的时间，安排3～5分钟的口算练习，这样长期进行，持之以恒，也能收到良好的效果。

3、多种形式变换练。例如：视算训练（出示几张列有横式的算式卡片）、听算训练（老师说算式，学生说得数）、抢答口算、“对抗赛”、“接力赛”等等，提高学生的应变能力。

四、加强估算教学

估算可以培养学生的“数感”，可以引导学生深入理解“运算”，可以帮助学生检查计算的结果正确与否，运用估算的方法可以对计算的结果做预先定位，快速地确定计算结果的取值范围，通过计算前的估算和计算后的检查，可以避免由于粗心大意造成的错误。可以让学生看计算结果的末一位，如个位是3和8，结果的个位相加就肯定是1，相乘就一定是4，等等。

五、收集错题类型，做到对症下药

一般地说，学生在练习时产生的错误，都具有相通性，又具有普遍性，在我们老师的指导下，有些比较容易纠正和克服，有些则纠正起来就比较困难，特别是这种错误在头脑中已经生根。所以我在平日教学中注意及时了解、收集笔算中存在的问题，有预见性、有针对性地选择常见的典型错例。（例如，笔算两位数的退位减法，学生列竖式计算时，往往容易忘记从前一位退一，也就是忘记在前一位数字头上“打点”，算到十位的时候就出错；笔算两位数的加法时，又爱犯“忘记进一”的错误）。这些典型，我都与学生一起分析、交流，通过集体“会诊”，达到既“治病”又“防病”的目的；对于那些形近而易错的试题，则组织对比练习，克服思维定势的消极作用，培养学生比较鉴别的能力。

纠错题型上的练习我通常这样设计对学生的要求：判断对错→找出错误处→分析错误原因→改正→总结出预防同类错误的方法。在练习形式上既可做单项练习，也可以做综合练习。

总之，培养学生的运算能力，应该贯彻在整个小学数学教学的全过程，既要加强对学生基本技能的训练，同时也要注重对学生的针对性训练。只要认真钻研，工作中不断进行总结和完善，认真挖掘计算题中的能力因素，学生的计算能力一定能得到提高。

第三篇：计算教案

计算：区分左右 活动目标：（以自身为中心区分左右）

1．以自身为中心区分自己身体的左右，分清自己的左边和右边； 2．发展幼儿的空间方位知觉和判断力。

活动准备：手环人手一个。

活动过程：

1．猜谜激趣。

“一棵小树五个杈，不长树叶不开花。从早到晚不讲话，写字画画不离它。”

2．区别自己身体的左右。

（1）区别左右手。

①请小朋友举起拿笔的那只手，招招手。

②交流做哪些事情需要用到右手？

③伸出左手摇一摇。

④出示手环，请把手环戴在右手。

⑤小结：戴手环的这只是右手。摇摇手的是左手。

（2）区别左右脚。

①我们的身上除了左手、右手，还有什么也分左右的？

②区分左右脚、左右眼睛、左右耳朵。

③小结：左手的这边是左边，右手的这边是右边。

3．感知左、右边。

（1）请小朋友看看自己身边，请问你的左边是谁？右边是谁？

（2）改变方位，区分左右。（在教室里你的左边有什么？你的右边有什么？）

4．游戏：我说你做

（1）举起你的右手；举起你的左手

（2）抬起你的右脚；抬起你的左脚

（3）用你的右手拉你的右耳朵；用你的左手拉你的左耳朵

（4）用你的右手摸你的左眼睛；用你的左手摸你的右眼睛

5． 竞赛游戏：我说你做

（1）按手环颜色分组进行比赛

（2）比赛中用五角星进行评价

6．评出冠军组。

大班数学教案：正方体与长方体 活动目标：

1、通过活动，能正确地认识正方体与长方体的名称及特征。

2、能在活动中培养自己的观察力以及初步的空间想象力。

3、使在探索活动中提高对认识立体图体的兴趣。

活动准备：

正方体、长方体制作材料纸若干张，正方体、长方体积木若干块。

活动过程：

1、集体活动。

观察两张制作材料，讲述异同。“小朋友看老师带来了两张纸，请你仔细观察它们有什么相同的地方和不同的地方？（相同点：都有6个图形组成。不同点：一张纸上都是一样大的正方形组成。还有一张纸上有正方形和长方形组成。）

2、幼儿操作活动。

“今天老师就要请小朋友用这两张纸来变魔术，怎么做呢？”

（1）介绍制作形体的方法。

出示示意图，教师简单讲述制作方法。

（2）制作后讲述异同，介绍形体名称。（正方体、长方体。）

“你们做的两件东西像什么？“（积木、盒子）“它们一样吗？”（不一样）“怎么不一样？”（有的上面都是正方形，有的上面有正方形还有长方形。

老师手指正方体的一面，这就叫面。我们一起数数它有几个面。（6个）“这6个面都是怎样的？”（同样大小的正方形。）由6个大小相同的正方形围成的形体它的名字就叫正方体。“请你把你做的正方体找出来，说说它是什么样的？”现在请你们拿出 你制作的另一个形体，数数上面有几个面？每个面一样吗？（不一样。）怎么不一样？（6个面里有正方形和长方形。）它也有名字，叫长方体。

归纳小结：正方体的6个面是一样大小的正方形。长方体的6个面，有的都是长方形（面对面的一样大）；有的4个面是长方形（面对面的一样大），2 个面是正方形。

3、按特征标记将正方体与长方体分类。

出示贴有正方体与长方体标记的两个篮子。“这里有两个篮子，篮子上分别贴有什么样的标记？”（正方体、长方体。）请你们把桌子上的各种形体送进带有特征标记的篮子，并说说你送的是什么形体。

4、搭积木游戏

数一数我用了几块积木来搭，数的时候要考虑到看不到的积木，提高观察能力与空间知觉能力。

身体上的单双数

【活动目标】

1、通过圈画数数活动学习区分单双数。

2、能正确判断、区分单双数。【活动准备】

1、图片十张，1—10的数字卡一套，笔一支。

2、箱子一个，小布袋若干。（里面各种物品，数量1—10 不等）

【活动过程】

一、教师组织教学，用说梦引起课题，引起幼儿的兴趣。

二、1、教师展示十张图片，集体点数每张图片上的图画，并贴上相应的数字卡片。

2、请几名幼儿上来给图画圈，要求两个两个圈在一起，重点让幼儿会两个两个圈在一起，边圈边让幼儿数数。

3、引导幼儿观察已画过的图片，是不是每张图片上的画都被圈起来了？那几张图片是全圈完的？让幼儿说一说是哪几个数字？没有圈完的是那几张图片？是哪几个数字？

4、请几名幼儿回答后，那几个是全圈完的，那几个是没圈完的，全圈完的2、4、6、8、10、是双数，没圈完的1、3、5、7、9、是单数。

教师小结：两个两个全部数完的是双数，2、4、6、8、10是双数；1、3、5、7、9是单数。请幼儿说一说1—10数字中的双数有哪些，单数有哪些？

三、幼儿一起做游戏：摸宝

1、教师讲解游戏的规则：幼儿从箱中摸出宝贝后，打开数数里面有几个，是单数还是双数。并提问为什么是单数、双数。

2、一起做游戏1—2遍。

四、复习巩固延伸寻找身体上和活动室内的单双数。

1、身体上找一找那些东西是单数，那些是双数。例：一个头是单数，两只手是双数，鼻子是单数等

2、请幼儿寻找活动室内什么东西是单？什么东西是双数？

【活动延伸】让幼儿回家后，继续寻找家里的东西什么是单数，什么东西是双数，并记录下来，明天来幼儿园后交给老师。

计算：二等分 活动目标：

1、尝试探索多种二等份的方法，感知整体和部分的关系。

2、体会二等分给我们生活带来的便捷、美化作用。（培养幼儿的比较和判断能力）活动材料；

教具：小蚂蚁两个、蛋糕一块、二等份图卡10张

学具：长方形纸、剪刀、尺、毛线、包装纸；吸管、圆片、三角形、正方形；硬币、蚕豆、雪花片、纽扣、小碗；量杯6个、天平、蛋糕、番茄、豆腐干、刀子、菜板、橡皮泥等。活动过程：

1、幼儿将长方形纸进行二等份。

(1)班上请来了两位小客人，看看是谁？它们还带来了最喜欢吃的蛋糕，可是只有一块蛋糕，两人都想吃，怎么办？

(2)请一位幼儿动手试一试，有什么办法知道这两块一样大呢？（重叠）

(3)教师小结：把蛋糕分成一样大的两份，这种方法叫二等份。想想蛋糕除了这样分，还有不一样的分法吗？每位小朋友面前都有一张像蛋糕一样的长方形纸，请你想出和别人不同的方法进行二等份？(4)幼儿动手操作，展示幼儿分法。（边与边对折、对角折）请幼儿比较一下，分出来的图形和原来的图形有什么变化？

(5)教师小结：小朋友用了对折、对角折对长方形纸进行了二等份，把它分成了两份一样大的图形。

2、幼儿分组操作，尝试用多种方法进行二等份。

(1)小蚂蚁邀请你们到蚂蚁王国去参观，愿意吗？参观时小朋友应不推不挤，有秩序地参观，看看乐园里有什么？教师介绍各种材料，请小朋友帮忙把里面的东西进行二等份。(2)幼儿>自由操作，教师重点指导天平秤量、实物分法等。第一组：圆形、三角形、正方形、剪刀。第二组：毛线、彩带、吸管、尺、剪刀。第三组：硬币、蚕豆、雪花片等。第四组：量杯、水。

第五组：天平、橡皮泥、蛋糕、番茄、豆腐干、刀、菜板。

3、幼儿讲述操作过程、方法。

(1)小朋友分过很多东西，请你想一想你分了什么？怎样分的？

(2)幼儿讲述各种分法，教师引导幼儿联系生活想想在什么时候用过目测、数数法----(3)教师小结：小朋友在乐园里用了目测法、折叠法、计量法、数数法等对乐园里的东西进行了二等份。

4、游戏“看谁说得对”

小蚂蚁想和你们做游戏，请你看图形说说它是不是二等份？比一比谁说得又对又快？

5、延伸

在生活中，除了进行过二等份，还可以分成几份？以后我们还会继续试试四等份、五等份......计算：简单规律有趣的排序 活动目标

1、引导幼儿通过观察发现事物间的简单规律(自然现象及特定的规律)。（1、尝试和发现不同的排序规律，并体验排序活动的乐趣；

2、了解排序与我们的生活密切相关。）

2、培养幼儿细致观察、勤于动手的好习惯。

3、体验思维训练的乐趣。活动准备

1、教具准备：三种排列规律的范例条各一(○□○□○□；○□□○□□○□□；○□△○□△○□△)；“奇妙的书”课件(封面是彩虹，从第一页到第七页依次是一颗红色的草莓、两只橙色的橘子、三根黄色的香蕉、四只绿色的西瓜、五只青色的苹果、六颗蓝色的梅子、七串紫色的葡萄：图片几组(从儿童到少年到成人再到老年人；从树芽到小树再到大树；从鸡蛋到小鸡再到母鸡，等等)。

2、学具准备：操作纸、记号笔、三角形、圆形、正方形各若干。活动过程

一、开始部分

谈话导人：小朋友有没有发现，今天我们座位排列的顺序有什么特别的地方?(一个男孩、一个女孩)有一组图形宝宝排列的顺序和我们很相似，我们一起来看看它们是谁。

二、基本部分

1、依次出示三种排列规律的范例条，请幼儿读一读每张范例条上的图形是什么，发现了什么规律。

(1)出示范例条○□○□○□，提问：有哪些图形宝宝在排队呀?它们的队伍是怎么排列的?它们的队伍后面还可以怎么排呢?它们的队伍排列得很整齐，我们用字母来表示可以看得更清楚，用A表示圆形，用B表示正方形，它们的排列规律是怎样的呢?(引导幼儿AB AB AB分组，教师在范例条的下方记录，帮助幼儿小结规律。)

(2)出示范例条○□□○□□○□□，提问：看看它们是谁?都是怎么排的?它们的队伍后面应该怎么排列呢?它们的排列规律是怎样的呢?(引导幼儿ABB ABB ABB分组，教师在范例条下方记录，帮助幼儿小结规律。)

(3)同样，出示范例条○□△○□△○□△，引导幼儿小结ABC ABC ABC排列的规律。

2、播放课件，引导幼儿观察“奇妙的书”，找出书中的规律。

(1)引导幼儿观察“奇妙的书”从封面到第三页。

封面是彩虹，颜色依次为红、橙、黄、绿、青、蓝、紫；第一页上是一颗红草莓；第二页上是两只橙色的橘子；第三页上是三根黄香蕉。请幼儿依次猜猜后面几页上有什么，是怎么猜的。(按照页码猜水果的个数，按照彩虹的颜色来猜水果的颜色。)教师肯定幼儿的猜测，再引导幼儿完整地阅读大书，发现书中的规律。(水果的个数跟书页数一样都是从少到多；水果的颜色跟彩虹颜色排列的规律一样，都是从红色到紫色。)

(2)引导幼儿说一说生活中有哪些有规律的现象。

在我们的生活中还有许多有规律的现象和事情，比如说人的生长规律(出示图片)都是从小慢慢长大，最后变老。植物也是这样(出示图片)，树从树芽到小树苗慢慢长大，最后变成大树……鼓励幼儿将自己知道的事物的规律和现象与同伴进行交流。

3、幼儿操作活动(自由选择操作材料)。

(1)看图形找规律，用字母表示出来。(2)按照排列规律粘贴图形。(3)按照动物生长的规律，排列图片。(4)按照植物生长的规律，排列图片。

幼儿展示操作结果，教师进行评价。

三、结束部分

教师小结：今天我们学习了几种简单的规律，这些简单的规律在生活中随处可见，只要我们稍加注意就能发现，让我们一起到外面找一找在我们的身边还有哪些规律，好吗?

计算：感知10以内的序数 活动目的：

1、初步理解序数的含义，能用序数词正确表示10以内物体排列的次序。

2、感知上下、左右、前后等不同方位，以及从不同的方向积极探索周围环境中物体所处的位置。活动

（一）：感知5以内的序数 活动准备： 活动过程：

1、教师出示火车车厢，引导幼儿观察：

（1）火车有几节车厢，邀请小动物坐上火车。

（2）从前后不同的方位说一说：小动物坐第几节车厢？

2、幼儿操作：按教师指令的要求，邀请小动物坐火车郊游。

3、游戏：开火车：听指令，请乘客下车。

3、幼儿跑组活动：

（1）、小树排队：提供5棵高矮不一的小树排队，并用数字卡片标上序号。（2）、串珠子：提供5粒不同颜色的珠子，幼儿串好珠子后记录珠子的序号。（3）送小动物住新房：根据卡片的要求，把动物送回家。活动

（二）：感知10以内的序数 活动过程：

1、出示“动物旅馆”的挂图，提问：

（1）动物旅馆有几层，每层有几个房间？

（2）小兔、小猫、小狗分别住在第几层的第几间？（从不同的方向判断动物所在的位置）

2、游戏：猜一猜，它住哪里？

规则：按教师的指令把动物准确送回家。

3、幼儿跑组活动：

（1）找座位：幼儿两两玩找座位游戏，甲幼儿拿电影票，由乙幼儿随意抽出一张，并把电影票插入座位中。再由甲幼儿检查是否正确，游戏交换进行。

（2）跳格子：5个幼儿共同玩，比一比谁跳得最远，并说一说“我跳的是第几行的第几格？”（1）练一练：提供10以内粗细、宽窄不同的物体，幼儿按顺序排列并放上相应的数字卡片。（4）看谁飞得远：提供纸飞机，幼儿站在同一起点线上飞，飞机落地后，说“我的飞机落在第几行的第几格？”

学目标：

1、认识1"10 的序数，学习确定物体在序列中的位置。

2、掌握序数词，会用第几准确地表示物体在序列中的位置。

认真听清楚各项活动的规则，用过的物品能归还原处。材料准备：

1、幼儿人手一本《幼儿园课程指导.数学》。

2、小黑板一块，粉笔若干。投影仪 活动过程

1、发放《幼儿园课程指导.数学》，幼儿人手一本。

2、集体活动（1）按数拍手。“我们来听数拍手，我报几你们就拍几下。”

（2）认识序数。老师在投影仪上出示书画面。“有几张小椅子，椅子上有几个小朋友？第几张椅子是空着的？我们按顺序说说空着的小椅子的位置。”教师手指第三张空椅子。“这是第几张空椅子？谁会用一个数字来表示这张小椅子的位置？”“你在这里写上„3‟表示什么意思呢？”“我们平时还可以用„3‟来表示什么？”“现在你知道数字有几个用处了吗？”（表示物体的位置，表示物体的数量。）

“能在每张空椅子上都写上一个数字来表示它们的位置吗？”老师盖着第三第六第九张空椅子。“谁能说说，哪几张椅子不见了？你又是怎么发现的呢？谁帮助你一看就知道第几张椅子不见了？”

3、分组活动。数数第几张椅子是空的。“说说范样上每张椅子的位置，看看第几张椅子没人来，是空的，请你把能表示空椅子位置的数字写在书上，边做边讲，第几张椅子是空的，做完后说说哪几张椅子是 空的。”教师巡回

大班综合活动：钟老头买钟

活动目标：

1、理解故事内容，初步了解时间的流逝性；

2、树立时间观念，培养幼儿养成有规律的作息，和珍惜时间的良好行为习惯。活动准备：

1、绘本故事书《钟老头买钟》、故事CD；

2、时钟一个；

3、视频片段《蓝猫的星期天》。活动过程：

一、创设情境，导入故事

1、听一听（课件演示：钟表的滴嗒声）

2、猜一猜：这是什么声音？（钟表）

3、说一说：钟表的作用？

小结：钟可以让我们知道准确的时间，才能正确有序地安排时间。

二、出示绘本故事封面《钟老头买钟》理解故事

1、第一次听故事

（1）钟老头家里有没有钟，在哪里呢？（2）为什么钟老头还要去买钟呢？

（3）为什么钟表店的老板用自己的小钟一对，又全是准的呢？到底是钟老头的钟不准，还是什么原因？

2、第二次听故事

（1）钟表店老板检查钟表有问题吗？（2）那为什么钟老头在卧室看的时间和客厅里的有不一样呢？ 讨论：钟老头在跑上跑下的过程中时间正在悄悄地过去，所以看到的每一个时间都是不一样的。

三、感知、体验

1、倾听时钟走动的声音，时间会停住吗？

小结：时间匆匆过去，永远不回头，我们应该珍惜自己的时间。

2、讨论：应该怎样珍惜时间？

小结：时间是宝贵的，我们要珍惜时间，爱惜时间，在有限的时间里做更多有意义的事情，学会合理安排学习和生活。

3、模仿秀：快乐星期天，《蓝猫的星期天》。电视机前的小朋友，你们想和我一起过一个星期天吗？下面就跟我来吧。

几时起床？（6时）穿衣服洗脸吃早饭，看几时了（7时）骑自行车，到了公园，大约几点（大约8时）进了公园，先跑步，再打羽毛球，休息一下，几时啦（9时）到了读英语的时间，拿出一本英语书。咕噜咕噜肚子饿了，一看大约几时了？（大约11时）吃饭了。吃好饭，划着小船荡啊荡，慢慢睡着了，一觉醒来几时了？（大约2时）拿起画笔画啊画，画好了，太阳下山啦，几时啦？（4时）你马上背上东西骑上自行车回家。到家一看几时啦？（6时）为什么有两个六时？让学生讨论得出，一天有早上的六时和晚上的六时，时针在钟面上走2圈。

延伸活动

大班艺术活动：钟老头买钟

活动目标：

1、感受和理解故事的角色特征；

2、乐意参与表演游戏，并通过语言及动作进行创造性的表演。活动准备：

1、立体教具：座钟、闹钟、挂钟、小钟；

2、头饰：钟老头、钟表店老板若干；

3、故事及音乐磁带、录音机。活动过程：

一、回忆故事，导入活动

1、教师播放故事，请幼儿仔细听。

2、引导幼儿熟悉故事场景（场景一：客厅 场景二：卧室

场景三：厨房

场景四：钟表店

场景五：钟老头的家)

3、引导幼儿学习故事对话

重点引导幼儿学习钟老头与钟表店老板的对话。

二、情景表演

1、创编人物行为动作及脸部表情。（1）讨论：钟老头怎样走路。（如：弯腰、手扶拐杖、慢慢等）（2）创编钟老头的动作及表情，幼儿表演

2、创编钟老头与钟表店老板的谈话与动作。

3、幼儿集体表演故事内容。

小结：由于钟老头年纪大了，走路慢了，才会闹出这样有趣的故事。

三、欣赏、学唱歌曲。

1、欣赏歌曲《我爷爷走得慢》。

2、学唱歌曲。

附歌曲：

1=G 4/4

我爷爷走得慢

汪爱丽

译配

1—2—|3—1—|2—1—|7—5—|1—2—|3—5—| ．．爷

爷

弯

腰

手

扶

拐 杖，慢

慢

慢

慢

5—6—|5—0 0|5—4—|3—5 5|4—3—|2—4 4| 走

啊

走。

“等 等

我，我的小

家

伙！”他说

3—1—|6—2—|1—7—|1—0 0|| ．．“我 太

老，我走 不

快。”

附场景：

（1）场景一：客厅（钟老头买了一套大大的新房子，心想：我得先有一只钟。他就买了一只座钟，放在客厅里

大班数学活动：争分夺秒

活动目标:

1、努力探索时针、分针、秒针之间的运转关系，会读整点时间。

2、知道一分钟时间可以做很多事情，懂得珍惜时间。活动准备：

可操作大钟表一个，可操作小钟表若干个。活动过程：

一、猜谜导入，激发兴趣

1、师：先让大家猜个谜语。（课件出示谜语：有个好朋友，会跑没有腿，会响没有嘴。它会告诉我，什么时候起，什么时候睡。请你猜猜看，好朋友是谁？）

2、揭示谜底：钟表。（出示自制钟表教具。）

二、认识钟面，感悟体验

1、教师发给每组幼儿操作材料：闹钟，请幼儿观察探索。

2、幼儿观察：

（1）1—12数字是怎样排列的?（2）观察钟面上的三根针有什么不同？

3、教师操作三根针，请幼儿观察三根针的运动情况，并试说哪根针跑得最快，哪根针跑的最慢？ 小结：长度最短、跑得最慢的是时针，长度最长，跑得最快的是秒针，剩下的不快不慢，不长不短的是分针。

三、认识整点，幼儿操作

1、教师引导幼儿认识整点，学会看钟表。（先看时针，再看分针，最后看秒针）

2、教师操作，将时间拨到1点、6点、9点等，并请幼儿读时间。

3、教师请幼儿操作整点时间，教师指导检查。四、一分钟有多长

1、第一次体验

（1）幼儿观察钟表上运转一分钟；

小结：秒针走一圈，滴答滴答60下就是一分钟。（2）幼儿感受钟表的运转，并跟着秒针的节奏拍手。

2、第二次体验

（1）教师组织幼儿讨论一分钟内能做哪些事？（2）体验活动：“送你一分钟”

给幼儿一分钟，让幼儿去做自己想做的事。

小结：一分钟的时间虽然不长，但可以做很多事情，所以我们要珍惜每一分钟。活动延伸：

游戏——争分夺秒

教师预先设置好5个任务在各个区角。请幼儿在规定的5分钟时间内完成任务。每完成一项任务就在记录表格的对应项内打“√”。比赛结束，请幼儿来介绍自己的任务完成情况，评出完成任务最多的幼儿。提示：任务可有班级根据幼儿情况来安排，比如：拍乒乓球50下、将图书排列在书架上等。

大班语言活动：小溪邮递员 塘下镇中心幼儿园

张丹

活动目标：

1、欣赏散文诗，感受散文诗的优美语句。

2、尝试仿编诗句，增进热爱大自然的情怀。

活动准备：课前谈话：四季的特征（形容词的组织）；背景图、大山、娃娃图、蜡笔、纸；背景音乐。

活动过程：

一、谈话引出课题

1、小朋友们，你们知道邮递员吗？邮递员都干些什么的呢？

2、多神气的邮递员呀，今天小溪也当邮递员了。（出示小溪图片）一条小溪怎么会变成邮递员呢？你们知道这是怎么回事吗？（快）我们来仔细听一首散文诗，可能你会找到答案！

二、欣赏散文诗内容，感受散文诗的优美语句。

1、教师第一次完整朗诵散文诗。（停留几秒，师：我的散文诗朗诵完了。）⑴散文诗的题目是什么？（出示字卡《小溪邮递员》）

⑵散文诗里的邮递员是谁啊？为什么是小溪邮递员？你喜欢散文诗里的哪些优美的语句呢？

2、教师再次完整朗诵散文诗。（那接下来，我们配上优美的音乐，再来听一次，你还听到了什么？）

⑴春天来了，大山要给谁寄信呢？（出示大山、娃娃图片）小溪怎么说怎么做的？（出示红艳艳的花瓣）（我们一起来学一学）春天来了，大山为什么要寄红艳艳地花瓣给山外的娃娃呢？（因为，在春天里，大山会开满红艳艳地花瓣儿。）

⑵秋天来了，大山要给谁寄信呢？小溪怎么说怎么做的？（出示金灿灿的落叶）。（散文诗里有一个好听的词叫做“金灿灿的落叶”，我们一起来学一学）秋天来了，大山为什么要寄金灿灿的落叶给山外的娃娃？（小结）

3、配乐，请幼儿欣赏感受。（原来小溪是这样当邮递员的呀！现在呢，你就是一位小溪邮递员，我们来感受一下小溪是怎样送信的，小朋友也可以轻轻地念一念）欣赏

欣赏后提问：⑴小溪日日夜夜地跑，你们觉得他累吗？你是怎么知道的？你是从哪一句听出来的？（一个个酒窝装甜甜的笑）⑵你们看，小溪帮助了别人，自己得到了快乐。那你们有帮助过别人吗？你们觉得快乐吗？ 小结：小溪帮助了别人，所以一个个酒窝装甜甜的笑。咦，小朋友知道酒窝是长在哪里的吗？（脸上）对了，有的小朋友微笑的时候脸颊上就会有小酒窝，只有微笑才能将小酒窝露出来。（看，小朋友咧开小嘴巴露出甜甜的笑呢）

⑶来，让我们一起来用甜甜的声音来把这首散文诗念一念。

三、幼儿尝试仿编。

（一）1、你们看，春天来了，小溪除了会送红艳艳的花瓣儿，还会送什么信呢？补充提问：春天的大山会有什么？（幼儿说，师画，创编）好听的词。

2、那秋天来了，小溪除了会送金灿灿的落叶，还会送什么信呢？补充提问：秋天的大山会有什么？（幼儿说，师画创编）

3、放入整首散文诗念一念。

（二）幼儿作画

1、那我们也来当当小溪邮递员，（1）要先想好你想在哪个季节送信（2）送什么信？把自己要

寄的信用蜡笔画下来。（3）贴在相应的季节里。（4）并用诗歌里好听的话来说一说。也可以和旁边的小朋友分享一下你编的诗歌。

2、个别讲述。（放入整首散文诗）

四、延伸活动

1、一年四季除了春天和秋天，还有哪几个季节呢？

3、那夏天来了，小溪会给山外的娃娃送什么信呢？冬天来了，小溪会给山外的娃娃送什么信呢？（幼儿简单说）总结：夏天，小溪邮递员会给山外的娃娃送

信，冬天，小溪邮递员会给山外的娃娃送

信，嗯，大山的一年四季都很美，我们可以回到教室，把你编的散文诗念给你的好朋友听一听。

大班语言活动：小溪邮递员

塘下镇中心幼儿园

张丹

活动目标：

1、欣赏散文诗，感受散文诗的语言美。

2、尝试仿编诗句，增进热爱大自然的情怀。活动准备：

课前谈话：四季的特征；背景图、小溪、大山、娃娃图、蜡笔、纸、背景音乐。活动过程：

一、谈话：邮递员，引出课题。

二、欣赏散文诗《小溪邮递员》

1、教师第一次完整朗诵散文诗。

⑴散文诗的题目是什么？

⑵散文诗里的邮递员是谁？为什么小溪是邮递员？你喜欢散文诗里的哪些优美的句子？

2、教师再次完整朗诵散文诗。

⑴春天来了，大山要给谁寄信呢？小溪怎么说怎么做？ 为什么要寄红艳艳地花瓣儿呢？

⑵秋天来了，大山又要给谁寄信呢？小溪又是怎么说怎么做？为什么要寄金灿灿的落叶？

3、感受散文诗

小溪日日夜夜的跑，你们觉得他累吗？

小溪帮助了别人，自己得到了快乐。小朋友帮助过别人吗？你们觉得快乐吗？

4、配乐，幼儿朗诵散文诗

三、幼儿尝试仿编。

（一）编一编

（二）画一画

（三）念一念

四、活动延伸

谈话：以夏天、冬天作为延伸。

中班健康活动：好玩的海洋球（详案）

塘下镇中心幼儿园

张丹

活动目标：

1、尝试运用身体的各个部位夹、运海洋球，提高身体动作的协调性；

2、体验与同伴合作玩的乐趣。活动准备：

1、音乐《QQ智慧星》、背景音乐，；

2、海洋球200个，大篮筐5只；

3、太阳、月亮图片、红旗即时贴；

4、场地布置：终点、起点，独木桥（平衡木）两座。活动过程：

1、热身运动（播放音乐1）

（拿着球进场）每人拿着两个海洋球随音乐《QQ智慧星》做律动。（海洋球律动中有敲击身体各部位、两两合作等动作，目的是让幼儿熟悉自己身体的各个部位，既为下一个活动环节作铺垫，又借此激发幼儿的积极性。）

2、探索用身体各部位夹球的方法（1）捉迷藏

师：（将两个海洋球分别夹在左右两个胳肢窝）我的海洋球哪儿去了？

师：原来胳肢窝可以夹住海洋球，大家试试看。（2）尝试夹球

师：我们的身体还有哪些地方可以夹住球？大家站起来找一个空的位置试试看。

①幼儿尝试（引导你这里试一下，能不能夹住，你走一下会不会掉）（提示用其他部位，特殊的大家一起来试一试，你们会吗？试试看）

②集中交流（坐下来）：你发现身体的什么部位也可以夹住球？（个别幼儿交流示范，大家来试试看）挑选难度大一点的动作。

小结：海洋球真有趣，不用双手也能玩。脖子下面夹一夹，胳肢窝里夹一夹，手臂弯曲夹一夹，双腿中间夹一夹，双脚中间夹一夹。

③怎样让你的球夹得牢又不掉下来。（幼儿尝试夹着球走一走）。（教师指导）

3、探索夹得多的方法 第一次探索

（1）师：如果我们把身体能夹住球的地方全用上，那最多能夹住几个球？我们也来试一试，但是我有一个要求：在夹的时候要数一数你夹了几个海洋球，注意不能让球掉下来。

（2）（播放音乐2）幼儿尝试，教师指导。（指导语：你夹住了几个球？你是用哪个地方夹的？）（3）（坐）师：你夹住了几个球？你是怎么夹的？（请夹得多的幼儿示范）

（3）师小结：原来下巴、脖子、胳肢窝、手臂、腿、脚等部位都可以夹住球，把海洋球夹到这些地方才能夹得多。（为什么地上有这么多球？找原因）（拎出来讲：刚才我发现有些小朋友用手托住球（教师示范）这个是夹吗？ 第二次探索（验证）

（1）师：那我们再来试一试能不能夹到更多的海洋球呢，但是这一次要加大难度了：①我们要用身体夹住更多的球，②有一点非常重要，听仔细了，就是我们夹着球走的时候不能用手托住球，掉下来的球也不能伸手捡，你能做到吗？我们比一比看最后谁夹的海洋球最多。

（2）《示范》（播放音乐2）教师带领幼儿探索，走一走：走走走走走，扭扭你的小屁股。（指导语：这个是夹吗？教师示范，幼儿纠正，我用手指戳一戳）并对个别幼儿进行指导。（3）交流

师：好，停，赶紧数一数，看看你现在身上还有几个海洋球？ 师：身体上的哪些部位夹的球多又不容易掉下来？

小结：原来用手臂、胳肢窝、腿这些地方夹球夹的球多，又不容易掉。

4、运球比赛（播放音乐3）

幼儿分成太阳队、月亮队，排成两列纵队用身体各部位夹满球，按顺序越过障碍物，将球运送到对面的篮筐里，比一比哪队运的球多，并记录在黑板上。（比赛共进行两次。第一次是走独木桥，第一次游戏结束后讨论：为什么那队运的球多，因为他们用身体上夹球多的地方运球。第二次增加了跳过小河的内容，以提高运球难度，锻炼幼儿身体各部位的协调性和控制能力。）

要求：帮助幼儿分组太阳队、月亮队，师：这里是起点，前面的线是终点。小朋友要用身体的各个部位夹满球，然后小心地走过独木桥，将球运送到对面的篮筐里，注意回来的时候要从两边过。但是要求我们夹着球走的时候不能用手碰球，掉下来的球也不能伸手捡，听好音乐，音乐停了，小朋友就停止运球，你能做到吗？我们比一比看最后哪一队，夹的海洋球最多。

5、放松活动，整理。（播放音乐4）

有 趣 的 图 形

活动目标：

1、感知和了解正方形、三角形、长方形、圆形在生活中的应用。

2、愿意和同伴共同探索。

3、喜欢并乐意参加数学活动 活动准备：

1、电线人手一根，多媒体课件〈一〉〈二〉，泡沫板一块（上附若干粘钩）；

2、幼儿操作垫四块，背景图一张。活动过程：

（一）出示电线，激发幼儿的兴趣和想象

1、幼儿自由玩电线，引导幼儿变出不同的图形

（1）这是一根神奇的电线，它能变出许多不同的图形，今天就请你们来当小小魔术师，看看都能变出哪些图形？？（请幼儿每人拿一根电线）

（2）你变出的是什么图形？那就请变出圆形的小朋友举起来看看。（引导幼儿依次变出三角形、正方形、长方形、圆形）

2、展示图形，及时发现、引导幼儿没变出的图形

（1）师：看看，这些图形妈妈想找到自己的孩子，那请我们的小朋友帮手里的图形宝宝送回去吧。教师提要求：在图形妈妈下面已经给大家准备了粘钩，找到后把它挂在上面。（教师及时引导幼儿没变出的图形）

（2）请幼儿数数分别有几个正方形、三角形、长方形、圆形。

3、鼓励幼儿大胆想象、讲述生活中类似图形的东西

师：想想看生活中的哪些东西是圆形、三角形、正方形、长方形的？

4、教师演示课件〈一〉，引导幼儿感知和了解生活中的图形应用（1）老师去外面拍到了很多有图形的东西,想看看吗？（2）（配班教师演示）看完之后请小朋友来说说自己的发现？

师：你想看哪个图形中的东西？——教师根据幼儿想看的图形，依次观看三角形、正方形、长方形、圆形中的事物。

5、小组合作图形拼图

（1）提问：那如果几个图形朋友拼在一起，会变成什么呢？（幼儿自由想象回答）（2）四人一组合作拼搭（如果不够的话还可以来老师这来拿）

（3）讲述：你们拼的是什么？拼了几个---图形，几个---图形（由小组中的一人代表）

6、感知生活中的许多东西由不同的图形组成。

（1）这些图形真调皮，它们经常呆在一起变成许多好看的图片。（2）（教师演示〈二〉）这是什么？你都看到有什么图形拼成？

7、整体构图

请幼儿合作将已经完成的作品端到到背景图上，给画面起一个好听的名字。

总结：其实，我们生活中的许多东西都是由图形组成的，除了这些图形还有许多种图形，在生活中图形无处不在。我们再到外面看看还有什么东西是由图形组成的，好吗？

第四篇：数学史话校本课程教案

数 学 史 话

教 案

长乐二中

郑艳阳

陈云珍

第1章 数学史话概述

课时：2课时

教学目标：了解数学发展的背景，理解重要数学事件对数学尿的意义。教学方式：阅读史料、讨论思考、感悟总结 主题：

数学发展的显著变化

知识理解：

数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的科学。简单地说，就是研究数和形的科学。

由于生活和劳动上的需求，即使是最原始的民族，也知道简单的计数，并由用手指或实物计数发展到用数字计数。在中国，最迟在商代，即已出现用十进制数字表示大数的方法；至秦汉之际，即已出现完满的十进位制。在 不晚于公元一世纪的《九章算术》中，已载了只有位值制才有可能进行的开平方、开立方的计算法则，并载有分数的各种运算以及解线性联立方程组的方法，还引入了负数概念。

刘徽在他注解的《九章算术》中，还提出过用十进制小数表示无理数平方根的奇零部分，但直至唐宋时期(欧洲则在16世纪斯蒂文以后)十进制小数才获通用。在这本著作中，刘徽又用圆内接正多边形的周长逼近圆周长，成为后世求圆周率 的一般方法。

虽然中国从来没有过无理数或实数的一般概念，但在实质上，那时中国已完成了实数系统的一切运算法则与方法，这不仅在应用上不可缺，也为数学初期教育所不可少。至于继承了巴比伦、埃及、希腊文化的欧洲地区，则偏重于数的性质及这些性质间的逻辑关系的研究。早在欧几里得的《几何原本》中，即有素数的概念和素数个数无穷及整数惟一分解等论断。古希腊发现了有非分数的数，即现称的无理数。16世纪以来，由于解高次方程又出现了复数。在近代，数的概念更进一步抽象化，并依据数的不同运算规律，对一般的数系统进行了独立的理论探讨，形成数学中的若干不同分支。开平方和开立方是解最简单的高次方程所必须用到的运算。在《九章算术》中，已出现解某种特殊形式的二次方程。发展至宋元时代，引进了“天元”(即未知数)的明确观念，出现了求高次方程数值解与求多至四个未知数的高次代数联立方程组的解的方法，通称为天元术与四元术。与之相伴出现的多项式的表达、运算法则以及消去方法，已接近于近世的代数学。

在中国以外，九世纪阿拉伯的花拉米子的著作阐述了二次方程的解法，通常被视为代数学的鼻祖，其解法实质上与中国古代依赖于切割术的几何方法具有同一风格。中国古代数学致力于方程的具体求解，而源于古希腊、2 埃及传统的欧洲数学则不同，一般致力于探究方程解的性质。

16世纪时，韦达以文字代替方程系数，引入了代数的符号演算。对代数方程解的性质进行探讨，是从线性方程组引出的行列式、矩阵、线性空间、线性变换等概念与理论的出现；从代数方程导致复数、对称函数等概念的引入以至伽罗华理论与群论的创立。而近代极为活跃的代数几何，则无非是高次联立代数方程组解所构成的集合的理论研究。

早在欧几里得的《几何原本》中，即有素数的概念和素数个数无穷及整数惟一分解等论断。古希腊发现了有非分数的数，即现称的无理数。16世纪以来，由于解高次方程又出现了复数。在近代，数的概念更进一步抽象化，并依据数的不同运算规律，对一般的数系统进行了独立的理论探讨，形成数学中的若干不同分支。

开平方和开立方是解最简单的高次方程所必须用到的运算。在《九章算术》中，已出现解某种特殊形式的二次方程。发展至宋元时代，引进了“天元”(即未知数)的明确观念，出现了求高次方程数值解与求多至四个未知数的高次代数联立方程组的解的方法，通称为天元术与四元术。与之相伴出现的多项式的表达、运算法则以及消去方法，已接近于近世的代数学。

在中国以外，九世纪阿拉伯的花拉米子的著作阐述了二次方程的解法，通常被视为代数学的鼻祖，其解法实质上与中国古代依赖于切割术的几何方法具有同一风

第2章 中国数学史

课时：2课时

教学目标：了解解析数学发展的背景，理解重要数学事件的意义。教学方式：阅读史料、讨论思考、感悟总结 主题：

中国数学显著变化

过程：数学是中国古代科学中一门重要的学科，根据中国古代数学发展的特点，可以分为五个时期：萌芽；体系的形成；发展；繁荣和中西方数学的融合。

中国古代数学的萌芽

原始公社末期，私有制和货物交换产生以后，数与形的概念有了进一步的发展，仰韶文化时期出土的陶器，上面已刻有表示1234的符号。到原始公社末期，已开始用文字符号取代结绳记事了。

西安半坡出土的陶器有用1～8个圆点组成的等边三角形和分正方形为100个小正方形的图案，半坡遗址的房屋基址都是圆形和方形。为了画圆作方，确定平直，人们还创造了规、矩、准、绳等作图与测量工具。据《史记·夏本纪》记载，夏禹治水时已使用了这些工具。

商代中期，在甲骨文中已产生一套十进制数字和记数法，其中最大的数字为三万；与此同时，殷人用十个天干和十二个地支组成甲子、乙丑、丙寅、丁卯等60个名称来记60天的日期；在周 代，又把以前用阴、阳符号构成的八卦表示八种事物发展为六十四卦，表示64种事物。

公元前一世纪的《周髀算经》提到西周初期用矩测量高、深、广、远的方法，并举出勾股形的勾

三、股

四、弦五以及环矩可以为圆等例子。《礼记·内则》篇提到西周贵族子弟从九岁开始便要学习数目和记数方法，他们要受礼、乐、射、驭、书、数的训练，作为“六艺”之一的数已经开始成为专门的课程。

春秋战国之际，筹算已得到普遍的应用，筹算记数法已使用十进位值制，这种记数法对世界数学的发展是有划时代意义的。这个时期的测量数学在生产上有了广泛应用，在数学上亦有相应的提高。

战国时期的百家争鸣也促进了数学的发展，尤其是对于正名和一些命题的争论直接与数学有关。名家认为经过抽象以后的名词概念与它们原来的实体不同，他们提出“矩不方，规不可以为圆”，把“大一”(无穷大)定义为“至大无外”，“小一”(无穷小)定义为“至小无内”。还提出了“一尺之棰，日取其半，万世不竭”等命题.而墨家则认为名来源于物，名可以从不同方面和不同深度反映物。墨家给出一些数学定义。例如圆、方、平、直、次(相切)、端(点)等等。

墨家不同意“一尺之棰”的命题，提出一个“非半”的命题来进行反驳：将一线段按一半一半地无限分割下去，就必将出现一个不能再分割的“非半”，这个“非半”就是点。

名家的命题论述了有限长度可分割成一个无穷序列，墨家的命题则指出了这种无限分割的变化和结果。名家和墨家的数学定义和数学命题的讨论，对中国古代数学理论的发展是很有意义的。

中国古代数学体系的形成

第3章 古希腊数学

课时：2课时

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希腊数学显著变化

3．古 希 腊 数 学

古希腊的地理范围，除了现在的希腊半岛外，还包括整个爱琴海区域和北面的马其顿和色雷斯、意大利半岛和小亚细亚等地。公元前5、6世纪，特别是希、波战争以后，雅典取得希腊城邦的领导地位，经济生活高度繁荣，生产力显著提高，在这个基础上产生了光辉灿烂的希腊文化，对后世有深远的影响。

希腊数学的发展历史可以分为三个时期。第一期从伊奥尼亚学派到柏拉图学派为止，约为公元前七世纪中叶到公元前三世纪；第二期是亚历山大前期，从欧几里得起到公元前146年，希腊陷于罗马为止；第三期是亚历山大后期，是罗马人统治下的时期，结束于641年亚历山大被阿拉伯人占领。

从古代埃及、巴比伦的衰亡，到希腊文化的昌盛，这过渡时期留下来的数学史料很少。不过希腊数学的兴起和希腊商人通过旅行交往接触到古代东方的文化有密切关系。

伊奥尼亚位于小亚细亚西岸，它比希腊其他地区更容易吸收巴比伦、埃及等古国积累下来的经验和文化。在伊奥尼亚，氏族贵族政治为商人的统治所代替，商人具有强烈的活动性，有利于思想自由而大胆地发展。城邦内部的斗争，帮助摆脱传统信念在希腊没有特殊的祭司阶层，也没有必须遵守的教条，因此有相当程度的思想自由。这大大有助于科学和哲学从宗教分离开来。

米利都是伊奥尼亚的最大城市，也是泰勒斯的故乡，泰勒斯是公认的希腊哲学鼻祖。早年是一个商人，曾游访巴比伦、埃及等地，很快就学会古代流传下来的知识，并加以发扬。以后创立伊奥尼亚哲学学派，摆脱宗教，从自然现象中去寻找真理，以水为万物的根源。

当时天文、数学和哲学是不可分的，泰勒斯同时也研究天文和数学。他曾预测一次日食，促使米太(在今黑海、里海之南)、吕底亚(今土耳其西部)两国停止战争，多数学者认为该次日食发生在公元前585年5月28日。他在埃及时曾利用日影及比例关系算出金字塔的高，使法老大为惊讶。

泰勒斯在数学方面的贡献是开始了命题的证明，它标志着人们对客观事物的认识从感性上升到理性，这在数学史上是一个不寻常的飞跃。伊奥尼亚学派的著名学者还有阿纳克西曼德和阿纳克西米尼等。他们对后来的毕达哥拉斯有很大的影响。

毕达哥拉斯公元前580年左右生于萨摩斯，为了摆脱暴政，移居意大利半岛南部的克罗顿。在那里组织一个政治、宗教、哲学、数学合一的秘密团体。后来在政治斗争中遭到破坏，毕达哥拉斯被杀害，但他的学派还继续存在两个世纪之久。

毕达哥拉斯学派企图用数来解释一切，不仅仅认为万物都包含数，而且说万物都是数。他们以发现勾股定理(西方叫做毕达哥拉斯定理)闻名于世，又由此导致不可通约量的发现。

这个学派还有一个特点，就是将算术和几何紧密联系起来。他们找到用三个正整数表示直角三角形三边长的一种公式，又注意到从 1起连续的奇数和必为平方数等等，这既是算术问题，又和几何有关，他们还发现五种正多面体。

伊奥尼亚学派和毕达哥拉斯学派有显著的不同。前者研习数学并不单纯为了哲学的兴趣，同时也为了实用。而后者却不注重实际应用，将数学和宗教联系起来，想通过数学去探索永恒的真理。

公元前五世纪，雅典成为人文荟萃的中心，人们崇尚公开的精神。在公开的讨论或辩论中，必须具有雄辩、修辞、哲学及数学等知识，于是“智人学派”应运而生。他们以教授文法、逻辑、数学、天文、修辞、雄辩等科目为业。在数学上，他们提出“三大问题”：三等分任意角；倍立方，求作一立方体，使其体积是已知立方体的二 5 倍；化圆为方，求作一正方形，使其面积等于一已知圆。这些问题的难处，是作图只许用直尺(没有刻度的尺)和圆规。

希腊人的兴趣并不在于图形的实际作出，而是在尺规的限制下从理论上去解决这些问题，这是几何学从实际应用向系统理论过渡所迈出的重要的一步。

这个学派的安提丰提出用“穷竭法”去解决化圆为方问题，这是近代极限理论的雏形。先作圆内接正方形，以后每次边数加倍，得8、16、32、„边形。安提丰深信“最后”的多边形与圆的“差”必会“穷竭”。这提供了求圆面积的近似方法，和中国的刘徽的割圆术思想不谋而合。

公元前三世纪，柏拉图在雅典建立学派，创办学园。他非常重视数学，但片面强调数学在训练智力方面的作用，而忽视其实用价值。他主张通过几何的学习培养逻辑思维能力，因为几何能给人以强烈的直观印象，将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中。

这个学派培养出不少数学家，如欧多克索斯就曾就学于柏拉图，他创立了比例论，是欧几里得的前驱。柏拉图的学生亚里士多德也是古代的大哲学家，是形式逻辑的奠基者。他的逻辑思想为日后将几何学整理在严密的逻辑体系之中开辟了道路。

这个时期的希腊数学中心还有以芝诺为代表的埃利亚学派，他提出四个悖论，给学术界以极大的震动。这四个悖论是：

二分说，一物从甲地到乙地，永远不能到达。因为想从甲到乙，首先要通过道路的一半，但要通过这一半，必须先通过一半的一半，这样分下去，永无止境。结论是此物的运动被道路的无限分割阻碍着，根本不能前进一步；阿基琉斯(善跑英雄)追龟说，阿基琉斯追乌龟，永远追不上。因为当他追到乌龟的出发点时，龟已向前爬行了一段，他再追完这一段，龟又向前爬了一小段。这样永远重复下去，总也追不上；飞箭静止说，每一瞬间箭总在一个确定的位置上，因此它是不动的；运动场问题，芝诺论证了时间和它的一半相等。

以德谟克利特为代表的原子论学派，认为线段、面积和立体，是由许多不可再分的原子所构成。计算面积和体积，等于将这些原子集合起来。这种不甚严格的推理方法却是古代数学家发现新结果的重要线索。

第4章 埃及数学

课时：2课时

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埃及数学显著变化

4、埃及古代数学

埃及是世界上文化发达最早的几个地区之一，位于尼罗河两岸，公元前3200年 6 左右，形成一个统一的国家。尼罗河定期泛滥，淹没全部谷地，水退后，要重新丈量居民的耕地面积。由于这种需要，多年积累起来的测地知识便逐渐发展成为几何学。

公元前2900年以后，埃及人建造了许多金字塔，作为法老的坟墓。从金字塔的结构，可知当时埃及人已懂得不少天文和几何的知识。

例如基底直角的误差与底面正方形两边同正北的偏差都非常小。现今对古埃及数学的认识，主要根据两卷用僧侣文写成的纸草书；一卷藏在伦敦，叫做莱因德纸草书，一卷藏在莫斯科。

埃及最古老的文字是象形文字，后来演变成一种较简单的书写体，通常叫僧侣文。除了这两卷纸草书外，还有一些写在羊皮上或用象形文字刻在石碑上和木头上的史料，藏于世界各地。两卷纸草书的年代在公元前1850～前1650年之间，相当于中国的夏代。

埃及很早就用十进记数法，但却不知道位值制，每一个较高的单位是用特殊的符号来表示的。例如111，象形文字写成三个不同的字符，而不是将 1重复三次。埃及算术主要是加法，而乘法是加法的重复。他们能解决一些一元一次方程的问题，并有等差、等比数列的初步知识。占特别重要地位的是分数算法，即把所有分数都化成单位分数(即分子是1的分数)的和。莱因德纸草书用很大的篇幅来记载2/N(N从5到101)型的分数分解成单位分数的结果。为什么要这样分解以及用什么方法去分解，到现在还是一个谜。这种繁杂的分数算法实际上阻碍了算术的进一步发展。

纸草书还给出圆面积的计算方法：将直径减去它的1/9之后再平方。计算的结果相当于用3.1605作为圆周率，不过他们并没有圆周率这个概念。根据莫斯科纸草书，推测他们也许知道正四棱台体积的计算方法。总之，古代埃及人积累了一定的实践经验，但还没有上升为系统的理论。

第5章 中世纪欧洲数学

课时：2课时

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中世纪欧洲数学显著变化

5．欧洲中世纪数学

中世纪开始于公元476年西罗马帝国灭亡，约结束于15世纪。这一千年的历史大致可以分为两段。十一世纪之前常称为黑暗时代，这时西欧在基督教神学和烦琐哲学的教条统治下，人们失去了思想自由，生产墨守成规，技术进步缓慢，数学停滞不 7 前。十一世纪以后情况稍有好转。

希腊文化通过罗马人传到中世纪的很少，这大部分体现在博伊西斯(约480～524)的著作中。他的《算术原理》大体上是新毕达哥拉斯学派数学家尼科马霍斯《算术入门》的译本，但若干精采的命题均被删去。博伊西斯的《几何》取材于欧几里得《几何原本》，但却完全没有证明，因为他认为证明是多余的。

公元529年，东罗马帝国皇帝查士丁尼勒令关闭雅典的学校，严禁研究和传播数学。数学发展再一次受到沉重的打击。此后数百年，值得称道的数学家屈指可数，而且多是神职人员。

号称博学多才的比德是英国的僧侣学者，终生在修道院度过。他的本领是会算复活节(每年过春分月圆后的第一个星期日)的日期，和用手指来计算。稍后的阿尔昆也是著名的英国神学家。781年左右，接受查理曼大帝的聘请，到法兰克王国担任宫廷教师和顾问。他所编的算术书，现在看来是相当粗浅的。热尔贝原是兰斯的大主教，后被选为教皇，改名西尔威斯特二世。他热心提倡学术，对推动“四艺”(音乐、几何、算术、天文)的学习有一定的功劳。十字军远征(1096～1291)使欧洲人接触到阿拉伯国家所保有古代文化宝藏。

他们将大量的阿拉伯文书籍译成拉丁文。于是希腊、印度和阿拉伯人创造的文化，还有中国的四大发明便传到了欧洲。意大利地处东西方交通的要冲，逐渐成为新的经济和文化中心。12、13世纪欧洲数学界的代表人物是斐波那契，他向欧洲人介绍了印度-阿拉伯数码和位值制记数法，以及各种算法在商业上的应用。

中国的盈不足术和《孙子算经》的不定方程解法也出现在斐波那契的书中。此外他还有很多独创性的工作。

14世纪的法国主教奥尔斯姆引入了分指数记法和坐标制的思想，后者是从天文、地理的 经纬度到近代坐标几何的过渡。英国大主教布雷德沃丁的算术、几何、力学的著作影响也很大。欧洲第一本系统的三角学作者是雷格蒙塔努斯。

文艺复兴以后，人类摆脱了中世纪束缚思想的精神枷锁，迎接了一个新时代的到来。

6、十六、十七世纪数学 16、17世纪的欧洲，漫长的中世纪已经结束，文艺复兴带来了人们的觉醒，束缚人们思想自由发展的烦琐哲学和神学的教条权威逐步被摧毁了。封建社会开始解体，代之而起的是资本主义社会，生产力大大解放。资本主义工场手工业的繁荣和向机器生产的过渡，促使技术科学和数学急速发展。

例如在航海方面，为了确定船只的位置，要求更加精密的天文观测。军事方面，弹道学成为研究的中心课题。准确时计的制造，运河的开凿，堤坝的修筑，行星的椭圆轨道理论等等，也都需要很多复杂的计算。古希腊以来的初等数学，已渐渐不能满足当时的需要了。

在科学史上，这一时期出现了许多重大的事件，向数学提出新的课题。首先是哥白尼提出地动说，使神学的重要理论支柱的地心说发生了根本的动摇。他的弟子雷蒂库斯见到当时天文观测日益精密，推算详细的三角函数表已成为刻不容缓的事，于是开始制作每隔10"的正弦、正切及正割表。当时全凭手算，雷蒂库斯和他的助手勤奋 8 工作达12年之久，直到死后才由他的弟子奥托完成。

16世纪下半叶，丹麦天文学家第谷进行了大量精密的天文观测，在这个基础上，德国天文学家开普勒总结出行星运动的三大定律，导致后来牛顿万有引力的发现。

开普勒的《酒桶的新立体几何》将酒桶看作由无数的圆薄片累积而成，从而求出其体积。这是积分学的前驱工作。

意大利科学家伽利略主张自然科学研究必须进行系统的观察与实验，充分利用数学工具去探索大自然的奥秘。这些观点对科学(特别是物理和数学)的发展有巨大的影响。他的学生卡瓦列里创立了“不可分原理”。依靠这个原理他解决了许多现在可以用更严格的积分法解决的问题。“不可分”的思想萌芽于1620年，深受开普勒和伽利略的影响，是希腊欧多克索斯的穷竭法到牛顿、莱布尼茨微积分的过渡。

第6章 解析几何的诞生

课时：2课时

教学目标：了解解析几何发展的背景，理解重要数学事件对解析几何的意义。

教学方式：阅读史料、讨论思考、感悟总结 主题：

解析几何发展的显著变化

知识理解： 线索问题： 斐波那契的主要数学贡献及其意义是什么？ 2在三四次方程求解方面哪些数学家作出了贡献？ 3 代数符号化的发展过程是怎样的及有哪些代表人物？ 4 欧洲三角学的发展过程中哪些主要人物作出了贡献？ 5 射影几何的发展过程及其代表人物是什么？ 6 对数的发明及其代表人物是什么？ 7 解析几何的诞生及其意义？ 概述：

本章概括介绍在向近代数学过渡时期的历史背景和几个领域的数学发展，重点介绍了在代数、射影几何、对数和解析几何等方面的发展。

主要内容： 一 中世纪欧洲数学

中世纪的欧洲，公元5世纪－11世纪，天主教会成为欧洲社会的绝对势力，欧洲文明在整个中世纪处于停滞状态。

12世纪，欧洲是翻译的时代，因此数学开始复苏。斐波那契（1170－1250）：《算经》，斐波那契数列。

数学的发展与科学的革新紧密结合在一起，直到15、16世纪文艺复兴的高潮中，数学才真正复苏。

二 文艺复兴时期的欧洲数学的发展

（一）代数学：三次、四次方程的求解与符号代数是两个主要的成就。1 三、四次方程的求解和有关代数方程理论的探索（1）三次方程的根式解：

费罗（1465－1520）1515年发现那形如x3mxn(m,n0)的三次方程的代数解法；

塔塔尼亚发现形如x3mx2n(m,n0)的解法。

卡尔丹（1501－1576）将塔氏方法推广到一般情形的三次方程，并补充了几何证明。（1545年出版《大法》（Ars Magna））

费拉里（卡尔丹学生）解决那一般的四次方程ax4bx3cx2dxe0求解，不久也被写入《大法》中。

（2）复数引进：卡尔丹遇“不可约”，邦贝利引进虚数。（3）代数基本定理：吉拉德推断，18C高斯最早证明（4）根与系数的关系：卡尔丹、韦达、牛顿、格列高里（5）因式分解定理：韦达 2 符号化的发展

过程：韦达引进，吉拉德、奥特雷德继承、韦达改进

意义：韦达系统地引入数学符号，数学符号体现了数学学科的高度抽象与简练，从而导致了代数性质上产生重大变革。他把符号代数称作“类的算术”，代数成为研究一般类型的形式和方程的学问，因其抽象而应用广泛。

（二）三角学的发展 1 精确正弦表：波伊尔巴赫

2将三角学独立天文学：雷格蒙塔努斯

3 系统化：韦达

（三）射影几何的发展 透视学：阿尔贝蒂《论绘画》（1511），数学透视法； 射影几何：德沙格（1591－1661），从数学上直接给予解答的第一个人，包含投影变换下的交比不变性质，从对合点问题出发首次讨论了调和点组的理论。帕斯卡（1623－1662），投射与取景法，帕斯卡定理。

计算技术与对数：苏格兰数学家纳皮尔（1550－1617），发现了对数方法。瑞士工匠比尔吉（1552－1632）1600年耶独立地发明了对数方法简化天文计算。

解析几何：近代数学本质上可以说是变量数学。16世纪，对运动与变化的研究已变成自然科学的中心问题。变量数学的第一个里程碑就是解析几何的发明，其基本思想是在平面上引进“坐标”运算，点与实数对对应，方程与曲线对应，将几何问题化为代数问题。解析几何的前驱是法国数学家奥雷斯姆（1323－1382），《论形态幅度》，解析几何的真正发明者还要归功于法国另外两位数学家笛卡儿合费马，他们出发点不同，但殊途同归。

笛卡儿（1596－1650）：1637发明解析几何，出发点是一个著名的希腊问题——帕波斯问题。笛卡儿提出了一系列新颖想法，和方法论原则，提出“通用数学的思路”：任何问题——数学问题——代数问题——方程求解。

费马：费马的出发点是竭力恢复失传的阿波罗尼奥斯的著作，《论平面轨迹》。

第7章 十八世纪的数学

课时：2课时

教学目标：了解解析十八世纪的数学的背景，理解重要数学事件对解析几何的意义。

教学方式：阅读史料、讨论思考、感悟总结 主题：十八世纪的数学

7、十八世纪的数学

将微积分学深入发展，是十八世纪数学的主流。这种发展是与广泛的应用紧密交织在一起的，并且刺激和推动了许多新分支的产生，使数学分析形成了在观念和方法上都具有鲜明特点的独立的数学领域。在十八世纪特别是后期，数学研究活动和数学教育方式也发生了变革。这一切使十八世纪成为向现代数学过渡的重要时期。

微积分学的发展

在十八世纪，无限小算法的推广，在英国和欧洲大陆国家是循着不同的路线进行 11 的。不列颠数学家们在剑桥、牛津、伦敦、爱丁堡等著名的大学里传授和研究牛顿的流数术，代表人有科茨、泰勒、麦克劳林、棣莫弗和斯特林等。

泰勒发现的著名公式使人们有可能通过幂级数展开来研究函数；马克劳林的《流数论》可以说是对微积分最早的系统处理，该书是为反驳伯克利主教《分析学家》一文而作，后者出于宗教的动机，对牛顿流数论中存在的无限小概念混乱提出了尖锐批评，引起了关于微积分基础的论战。

泰勒、马克劳林之后，英国数学陷入了长期停滞、僵化的状态。十八世纪初即已爆发的微积分发明权的争论，滋长了不列颠数学家们浓厚的民族保守情绪，他们囿于牛顿的传统，难以摆脱其迂回的几何手法等弱点的束缚。与此相对照，在海峡的另一边，新分析却在莱布尼茨的后继者们的推动下蓬勃发展起来。

推广莱布尼茨学说的任务，主要由他的学生、瑞士巴塞尔的雅各布第一·伯努利和约翰第一·伯努利两兄弟担当，而这方面最重大的进步则是由欧拉作出的。

欧拉于1748年出版了《无穷小分析引论》，这部巨著与他随后发表的《微分学》、《积分学》标志着微积分历史上的一个转折：以往的数学家们都以曲线作为微积分的主要研究对象，而欧拉则第一次把函数放到了中心的 地位，并且是建立在函数的微分的基础之上。函数概念本身正是由于欧拉等人的研究而大大丰富了。数学家们开始明确区分代数函数与超越函数、隐函数与显函数、单值函数与多值函数等；通过一些困难积分问题的求解，诸如B函数、椭圆不定积分等一系列新的超越函数被纳入函数的范畴；已有的对数、指数和三角函数的研究不仅进一步系统化，而且被推广到复数领域。

在十八世纪，数学家们对于函数、导数、微分、连续性和级数收敛性等概念还没有形成统一的见解，他们往往不顾基础问题的薄弱而大胆前进。尽管如此，许多人对建立微积分的严格基础仍作出了重要的尝试。除了欧拉的函数理论外，另一位天才的分析大师拉格朗日采取了所谓“代数的途径”。他在1797年出版的《解析函数论》一书中，主张用泰勒级数来定义导数，并以此作为整个微分、积分理论之出发点。

达朗贝尔则发展了牛顿的“首末比方法”，但用极限的概念代替了含糊的“最初与最终比”的说法。如果说欧拉和拉格朗日的著作引入了分析的形式化趋势，那么，达朗贝尔则为微积分的严格表述提供了合理的内核。19世纪的严格化运动，正是这些不同方向融会发展的结果。

数学与力学开始结合

数学同力学的有机结合，是十八世纪数学的另一个鲜明特征。这种结合，其紧密的程度为数学史上任何时期所不能比拟。几乎所有的数学家都以巨大的热情，致力于运用微积分新工具去解决各种物理、力学问题。

欧拉的名字同流体力学和刚体运动的基本方程联系着；拉格朗日最享盛名的著作《分析力学》，“将力学变成了分析的一个分支”；拉普拉斯则把数学看作是研究力学天文学的工具，他的许多重要数学成果正是包含在他的五大卷《天体力学》中。

这种广泛的应用成为新的数学思想的源泉，而使数学本身的发展大大受惠。一系列新的数学分支在十八世纪成长起来。

达朗贝尔关于弦振动的著名研究，导出了弦振动方程及其最早的解，成为偏微分 12 方程论的发端。另一类重要的偏微分方程——位势方程，主要通过对引力问题的进一步探讨而获得。与偏微分方程相联系的一些较为深入的理论问题也开始受到注意。

拉格朗日发展了解一阶偏微分方程的一般理论；对不同类型的二阶方程的研究还促使欧拉、达朗贝尔等具备了将函数展为三角级数的概念。

常微分方程的研究进展更为迅速。三体问题、摆的运动及弹性理论等的数学描述，引出了一系列的常微分方程，其中以三体问题最为重要，二阶常微分方程在其中扮演了中心角色。

数学家起先是采用各种特殊的技巧对付不同的方程，但渐渐地开始寻找带普遍性的方法。这样，欧拉推广了约翰第一·伯努利的积分因子和常数变易法；黎卡提在以他的名字命名的非线性方程的研究中，首创了后来成为处理高阶方程主要手段的降阶法；泰勒最先引起人们对奇异解存在性的注意；欧拉在1750年解出了一般的常系数

线性方程，他还引进超几何级数作为解二阶线性方程的基础；对全微分方程的研究亦由欧拉、拉格朗日和蒙日等开展起来。变分法起源于最速降曲线问题和相类似的一些问题，它的奠基人是欧拉。所谓“最速降曲线”问题，是要求出两点间的一条曲线，使质点在重力作用下，沿着它由一点至另一点的降落最快。这问题在1696年被约翰第一·伯努利提出来向其他人挑战，牛顿、洛必达和伯努利兄弟不久都分别获得了正确的解答。

第8章 十九世纪的数学

课时：2课时

教学目标：了解解析十九世纪的数学的背景，理解重要数学事件对解析几何的意义。

教学方式：阅读史料、讨论思考、感悟总结 主题：十九世纪的数学

8、十九世纪的数学

十九世纪是数学史上创造精神和严格精神高度发扬的时代。复变函数论的创立和数学分析的严格化，非欧几何的问世和射影几何的完善，群论和非交换代数的诞生，是这一世纪典型的数学成就。它们所蕴含的新思想，深刻地影响着二十世纪的数学。

十九世纪数学发展的概貌

十八世纪数学发展的主流是微积分学的扩展，它与力学和天文学的问题紧密相联。微积分的运用使这些自然科学领域迅猛发展，至十八世纪末，它们达到了一种相对完美的程度。

然而，将数学和这些自然科学基本上视为一体的观念，使当时一些著名的数学家，如拉格朗日、欧拉、达朗贝尔等对数学的前途产生了悲观情绪，他们觉得数学泉源已近枯竭。

而实际上，此时的数学正处于兴旺发达的前夜：18世纪的数学家忙于获取微积分的成果与应用，较少顾及其概念与方法的严密性，到十八世纪末，为微积分奠基的工作已紧迫地摆在数学家面前；另一方面，处于数学中心课题之外的数学分支已积累了 13 一批重要问题，如复数的意义、欧式几何中平行公设的地位，高次代数方程根式解的可能性等，它们大都是从数学内部提出的课题；再者，自十八世纪后期开始，自然科学出现众多新的研究领域，如热力学、流体力学、电学、磁学、测地学等等，从数学外部给予数学以新的推动力。上述因素促成了十九世纪数学充满活力的创新与发展。

十九世纪欧洲的社会环境也为数学发展提供了适宜的舞台，法国资产阶级大革命所造成的民主精神和重视数学教育的风尚，鼓励大批有才干的青年步入数学教育和研究领地。法国在十九世纪一直是最活跃的数学中心之一，涌现出一批优秀人才，如傅里叶、泊松、彭赛列、柯西、刘维尔、伽罗华、埃尔米特、若尔当、达布、庞加莱、阿达马。他们在几乎所有的数学分支中都作出了卓越贡献。法国革命的影响波及欧洲各国，使整个学术界思想十分活跃，突破了一切禁区。

英国新一代数学家克服近一个世纪以来以牛顿为偶像的固步自封局面，成立了向欧洲大陆数学学习的“分析学会”，使英国进入世界数学发展的潮流。皮科克、格林、哈密顿、西尔维斯特、凯莱、布尔等英国数学界的杰出人物，在代数学、代数几何、数学物理方面的成就尤为突出。

德国在1870年统一之前，资本主义发展比较缓慢，但从十八世纪下半叶起，它一直是思想意识领域十分活跃的地区，特别是思辨哲学强调事物内部矛盾促进事物发展的思想，对纯粹数学的发展产生了有益的影响。

从高斯登上数学舞台至十九世纪下半叶，德国逐渐发展成为与法国并驾齐驱的又一个世界数学中心，除高斯外，施陶特、普吕克、雅可比、狄利克雷、格拉斯曼、库默尔、魏尔斯特拉斯、克罗内克、黎曼、戴德金、康托尔、克莱因、希尔伯特都无愧为十九世纪最重要的数学家。

处于数学中心之外的国家和地区，也出现不少优秀学者，最突出的有挪威的阿贝尔和李，捷克的波尔查诺、俄国的罗巴切夫斯基、切比雪夫和柯瓦列夫斯卡娅，匈牙利的波尔约，意大利的贝尔特拉米和里奇等。这种人才辈出的局面在数学史上是空前的。

十九世纪数学突破分析学独占主导地位的局面，几何、代数、分析各分支出现如雨后春笋般的竟相发展。仅在十九世纪的前30多年中，一批二三十岁的年轻数学家就在数论、射影几何、复变函数、微分几何、非欧几何、群论等领域作出开创性的成绩。

随着众多新研究方向的开拓和证明严格化的要求，越来越多的学者开始埋头于较窄的领域作精细的研究。如阿贝尔主要从事分析与代数学研究，彭赛列专攻射影几何，伽罗瓦关心代数方程的可解性。只有高斯和柯西仍然关心科学与数学中几乎所有的问题。

在十九世纪下半叶，一些数学家注意了各分支间的联系，最著名的有克莱因的埃尔朗根纲领，在几何中引进群的观点，取得很大成功，但专门化的研究方式尚处于方兴未艾的阶段。从十九世纪晚期开始的将数学各分支奠基于公理体系之上的运动，又推进了各分支的细分，这种倾向一直延续到二十世纪。

十九世纪数学家的工作方式呈现出全新的、不同于十八世纪的特色。数学成为一项得到全社会承认的职业，数学家主要在大量培养人才的新型大学教书，研究与教学 14 有机地联系在一起。法国的巴黎综合工科学校、巴黎高等师范大学，德国的柏林大学、格丁根大学是当时最重要的数学研究与教学中心。

由于数学家人数与成果的剧增交流思想与成果的渠道增多了，数学杂志成了重要的传播媒介。法国的热尔岗编辑出版了《纯粹与应用数学年刊》，是最早的专门数学期刊。之后，高水平的数学杂志相继问世，最著名的有克雷尔创办的德文的《纯粹与应用数学杂志》，刘维尔创办的法文的《纯粹与应用数学杂志》。

到十九世纪后半叶，随着各国数学会的问世，各种会刊及专门杂志显著增加。这些数学会还在推动本国数学发展和促进国际学术交流方面发挥积极作用。最早成立的是伦敦数学会，之后创建的有法国数学会、美国数学会和德国数学会。在接近世纪之末，由各国数学会发起在瑞士苏黎世召开了第一届国际数学家大会，后成为一项定期举行的国际学术活动。

十九世纪数学的发展错综复杂，粗略地可以分为四个阶段。

第9章 数学对现代社会的影响及展望

课时：2课时

教学目标：了解解析新的数学的背景，理解重要数学事件对解析几何的意义。

教学方式：阅读史料、讨论思考、感悟总结 主题：新世纪的数学

分析的严格化以皮亚诺的自然数公理体系的建立而告一段落。这种公理化的倾向也同样在其他数学分支蔓延。弗雷格提出了逻辑公理体系，帕施得到了射影几何的公理体系。最著名的是希尔伯特于1899年在《几何基础》中阐述的欧几里得几何的公理系统。他考虑了公理系统的独立性、相容性和完备性，并证明欧几里得几何的相容性可归结为算术的相容性。

希尔伯特的工作掀起了公理化的热潮：一方面，数学家为各数学分支建立公理体系；另一方面，通过略去否定或其他方式改变所论体系的公理来探索新体系、新问题。公理化运动并没有限制新思想的萌生和对各种具体课题的研究，后者始终是数学发展中最活跃的因素。群论的应用在这一时期特别引人瞩目，1872年，克莱因受聘任埃尔朗根大学教授时，发表题为《关于近代几何研究的比较考察》的讲演(即著名的埃尔朗根纲领)，他指出每种几何可由特定的变换群来刻画，各种几何的研究内容是在相应的变换群下的不变量，一种几何的子几何则是研究原变换群的子群的不变量。根据变换群的观点，克莱因对几何进行了系统分类，揭示了群的概念在几何中的统一作用(不包括一般的黎曼几何和代数几何)开拓了研究几何的一种有效的方法。克莱因的工作体现了数学专门化趋势中蕴含的统一因素。

1874年，挪威数学家李在研究常微分方程与保持这些方程的解不变的变换群之间的关系时，创建了连续变换群理论(现称李群)以及相应的代数(现称李代数)。有了对具体的群的广泛研究，抽象群论获得了新生。1882年，德国数学家迪克受凯莱工作的 15 鼓舞，引进用生成元和生成元之间关系来定义群的抽象观点，开始抽象群论的系统研究。与此相伴的是分析与经典代数方法对群论的应用，即群的表示理论应运而生。

组合拓扑学作为一门学科在十九世纪末登上了数学舞台。庞加莱是这一领域的主要奠基者。庞加莱是当时领头的数学家之一，兴趣广泛，研究涉及众多数学分支以至天体力学和物理科学。在探讨描述行星运动的微分方程周期解时，他采用了拓扑观点分析奇点及积分曲线的结构，开创了微分方程定性理论。在研究一般”维图形的结构时，引进了一套系统的组合方法，为组合拓扑奠定了基础。拓扑和抽象代数的观点和方法成为二十世纪最有影响的研究手段。

与庞加莱齐名的另一位著名数学家是希尔伯特。他不仅积极创导了公理化方法，而且特别重视数学中单个重大问题的研究，认为这是数学活力之所在。他本人就通过解决一系列具体问题，得到许多重要方法。十九世纪末，他发表了两个报告。《数论报告》系统总结了代数数论的全部成果，开辟了类域论的研究方向。

1900年，在第二届国际数学家大会上，希尔伯特作了影响深远的题为《数学问题》的报告，成为迎接二十世纪挑战的宣言。

在数学分成几十个分支各自独立发展的形势下，希尔伯特坚信数学科学是一个不可分割的有机整体，它的生命力正是在于各部分之间的联系。在十九世纪末，领头数学家对数学前途充满了信心，与十八世纪末的情景形成鲜明对照。庞加莱和希尔伯特的业绩展示了二十世纪数学大发展的曙光。

第五篇：六年级总复习数学简便计算教案

小学六年级简便运算复习教学设计

教学内容：六年级下册第六单元数学运算之简便计算。教学目标:

1．通过复习，牢记所有公式。

2．通过复习，发现学生以前知识中的问题，及时改正。

3．通过复习，建立知识之间的联系和区别，形成知识网络。教学重点和难点: 通过复习发现学生以前知识中的问题，及时帮助学生纠正，加深记忆教学目标

教学方法：讲、练结合 教学准备：多媒体课件

教学过程：

引入课题：简算是运用一定的手段，改变原有算式的运算顺序或数的形式，使计算变得简单。小学阶段我们主要掌握应用定律和性质进行简算。下面我们先来复习运算定律和性质。一．复习公式。

师：想一想你都学习过哪些运算定律和性质？（教师结合学生的回答课件一步一步地出示以下内容）1.加法交换律：a+b=b+a 两个加数交换位置，和不变，这叫做加法交换律。2.加法结合律；（a+b）+c=a+（b+c）

先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变，这叫做加法结合律。3.乘法交换律：a×b=b×a

交换两个因数的位置，积不变，这叫做乘法交换律。

4.乘法结合律：（a×b）×c=a×（b×c）或a×b×c=a×（b×c）

先把前两个数相乘或者先把后两个数相乘，积不变，这叫做和乘法结合律。5.乘法分配律：（a+b）×c=a×c+b×c或（a-b）×c=a×c-b×c 乘法分配律的逆运用：a×c+a×b=（a+b）×c或a×c-b×c=（a-b）×c 两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加，这叫做乘法分配律。

6.减法不变性质：一个数减去两个数，等于第一个数减去后两个数的和。a-b-c=a-（b+c）

7.除法的性质:一个数除以两个数，等于第一个数除以后两个数的积。a÷b÷c=a÷(b×c）（b、c≠0）

8、带符号搬家:a+b－c=a－c+b a×b÷c=a÷c×b（c≠0）去括号：a+（b-c）= a+b-c a×（b÷c）= a×b÷c a-（b-c）= a-b+c a-（b+c）= a-b-c a÷（b÷c）= a÷b×c a÷（b×c）= a÷b÷c 加括号：a+b-c = a+（b-c）a×b÷c = a×（b÷c）a-b+c = a-（b-c）a-b-c = a-（b+c）a÷b×c = a÷（b÷c）a÷b÷c = a÷（b×c）二 总结：这些定律和性质，大都可以推广，加法交换律结合律：推广到多个数相加。乘法交换律结合律：推广到多个数相乘。

乘法分配律：推广到几个数的和或差乘以(或除以)一个数。请同学们再记一下公式。三．做计算题的良好习惯： ①首先要使自己静下来。

②做题目前不管题目有没有要求简算，都要先看看能不能简算，第一步不能简算的，下面的步骤也要有意识地看看能否简算。在做题时合理地简算可以减轻自己的计算负担，提高正确率。

③每一步都要检查。检查时先看看有没有抄错，再看看有没有算错。

④书写速度合理，认真写好每个字，草稿本要像作业本一样讲究格式正确，书写工整清秀。

⑤选用适当的方式检查。四．巩固练习

1．用简便方法计算，并说说题中用了什么运算定律？

25(1)4×+4×(2)34×0.25×4 77(3)25×125×4×8（4）1.25×（8+10）2．计算，并说说是怎样简便的？

(1)17.15－8.47－1.53（2）4000÷125÷8

3.用简便方法计算，并用字母表示出来。

38×75—38×55

a×b—a×c=

1000÷（125÷16）

a÷（b÷c）=

9123－（123+8.8）

17.15－(3.5 －2.85)

五.课堂练习

1.基本联系：用简便方法计算:

4.7+56+5.3+44

0.125×4×2.5

400÷125÷8

125-99

3.4×101

2.综合练习：能简便的用简便方法计算：

11×125× ×8

25+75-75+25

18÷9

425

1.5× 45 +6.5×0.8+2×45

3.小测试：25×8×0.4×1.25

578－298

56÷（7+8）

87×

386

4.38－1.56+0.62－0.44

125×8.8 219× 8171925＋ 25 ÷ 2

187.7×11－187.7