一元二次方程根的判别式教学设计

第一篇：一元二次方程根的判别式教学设计

《一元二次方程的根的判别式》教学设计

涧口乡初级中学

吉小芳

〖教学目标〗

知识与技能：了解一元二次方程根的判别式，理解为什么能根据它判断方程根的情况；能用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实数根以及两个实数根是否相等。

过程与方法：经历一元二次方程根的判别式的意义及作用的探究过程，体会分类讨论和转化的思想方法，感受数学思想的严密性与方法的灵活性。

情感态度与价值观：通过对根的判别式的意义及作用的探究，培养对科学的探索精神和严谨的治学态度。

〖重点难点〗

本节内容的教学重点是用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等；教学难点是弄懂为什么可以用判别式判别一元二次方程根的情况；突破难点的关键在于结合平方根的性质理解求根公式。

〖教学准备〗

教具准备：多媒体课件。

学生准备：复习一元二次方程的解法，预习本节内容。

〖教学流程〗

一、创设情境，提出问题

1、你能说出我们共学过哪几种解一元二次方程的方法吗？

2、能力展示：分组比赛用公式法解方程（1）x2+4=4x ；（2）x2+2x=3 ；（3）x2-x+2=0。

（待学生做完后，教师点评)（1）x1= x2 = 2 ；（2）x1 = 1，x2 =-3 ；（3）无实数根。

3、发现问题

观察上面三个方程的根的情况，你有什么发现？(1)方程根的情况？（2）与b2-4ac的值，有什么关系？

4、提出问题

对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，何时有两个相等的实数根？何时有两个不相等的实数根？它何时没有实数根？方程的根的情况是由什么决定的？

二、探究新知

1、一元二次方程的根的判别式 活动1 学生自学，初步感悟

请学生带着上面的问题，自学第31页课文至倒数第四行，并注意分类讨论的思想方法的使用。

教师巡视，并注意收集问题，为下一步集中释疑做准备。活动2 合作交流，深入探究

请学生结合自己的理解，就上述问题的答案在小组内进行讨论、探究，然后教师组织全班进行交流，关键让学生讲清每个结论的理由。

活动3 师生合作，归纳提升（屏幕显示）：

由上面的讨论可见，一元二次方 程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况由b2-4ac来决定。因此，我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式。通常用符号“Δ”（希腊字母）来表示，读做“得尔塔”，即Δ=b2-4ac。在今后的数学学习中还会遇到：用一个简单的符号来表示一个数学式子的情况，同学们要逐渐适应这一点，它体现了数学的简洁美。（书写标题）

2、一元二次方程的根的判别方法

思考：你能说出一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况具体有哪几种，又是如何判别的吗？ 学生思考，师生共同得出：

定理 一般地，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)当Δ＞0时，有两个不相等的实数根； 当Δ＝0时，有两个相等的实数根； 当Δ＜0时，没有实数根。

这个结论告诉我们，只要算出一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式的值，就可以由它的符号直接判别方程根的情况。活动4 应用迁移，发展能力

例题1 不解方程，判别下列方程根的情况：（1）5x2-3x=2（2）25y2+4=20y（3）2x2+3x+2=0 本例先让学生思考，分析解题思路，然后请学生口述第（1）小题的解法，教师板书，以进一步明确思路，强调解题方法及格式。

解（1）原方程可变形为 5x2-3x-2=0，因为Δ＝（-3）2-4×5×（-2）＞0，所以，原方程有两个不相等的实数根。

请学生回顾上面的解题过程，总结判别一元二次方程的根的情况的一般步骤：

一化（将一元二次方程化为一般形式）； 二算（确定a、b、c的值，算出Δ的值）； 三判断（根据定理判别方程根的情况）。（2）、（3）小题由学生完成。练习反馈：课本第32页练习1。

3、逆定理

活动5 逆向思考，拓展延伸

上面的定理中共有三个命题，你能分别说出它们的逆命题吗？（屏幕显示定理）

学生思考、交流并回答，教师指出：这三个命题也是真命题，从而得到：

逆定理 对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当方程有两个不相等的实数根时，Δ＞0； 当方程有两个相等的实数根时，Δ＝0； 当方程没有实数根时，Δ＜0。

例题2 已知关于x的方程x2－3x + k = 0，问k取何值时，这

个方程有两个相等的实数根? 学生思考、分析，并与同伴交流与讨论，然后请同学说出自己的想法。

解：∵方程有两个相等的实数根，∴Δ= 0，即(－3)2－4k = 0, 解得k= ∴ k= 9494

时，方程有两个相等的实数根。

变式：已知关于x的方程x2－3x + k = 0，问k取何值时，这个方程有两个实数根? 学生思考、分析，并与同伴交流与讨论，师生共同得到正确解题思路。

解：∵方程有两个实数根，∴Δ≥0，即(－3)2－4k ≥ 0, 解得k ≤

三、当堂检测

1.一元二次方程3x2-2x+1=0的根的判别式的值为______ ,所以方程根的情况是_______________.2.若一元二次方程x2-ax+1=0的两实根相等，则a的值是（）A.a=0 B.a =2或a =-2 C.a =2 D.a =2或a =0 3.若关于x的一元二次方程(m-1)x2-2mx+m=0有两个实数根，则m的取值范围是（）

A.m ﹥0 B.m ≥ 0 C.m ﹥ 0 且m≠1 D.m≥0且m≠1

94方程有两个相等的实数根。

四、小结与评价

1、通过本节课的学习，你有哪些收获？ 本节课的主要内容：

（1）、一元二次方程根的判别式的意义；

（2）、由根的判别式的符号判断一元二次方程根的情况的定理和逆定理

2、本节课你对自己的表现满意吗？对同学呢？能给老师一个评价吗？

五、作业设计 课本第33页习题18.3 必做题：第1,3题； 选做题：第2,4,5题.板书设计：

一元二次方程根的判别式

1、定义

例题解（1）

学生板演处

2、定理逆定理

3、一化二算三判断

第二篇：17.3 一元二次方程根的判别式教学反思

17.3一元二次方程根的判别式教学反思

甘

通过本节课教学，主要是让学生理解一元二次方程根的判别式，并能用判别式判别根的情况。本着“以学生发展为本”的教育理念，同时也为了使学生都能积极地参与到课堂教学中，发挥学生的主观能动性，本节课主要采用了学生自学教师引导、讲练结合的教学方法，按照“实践——认识——实践”的认知规律设计，以增加学生参与教学过程的机会和体验获取知识过程的时间，从而有效地调动了学生学习数学的积极性。

学生已经学过一元二次方程的四种解法，并对Δ=b2-4ac的作用已经有所了解，在此基础上来进一步研究Δ=b2-4ac作用，它是前面知识的深化与总结。从思想方法上来说，学生对分类讨论、归纳总结的数学思想已经有所接触。所以课堂上通过让学生动手、动脑来培养学生探索精神和观察、分析、归纳的能力，以及逻辑思维能力、推理论证能力。

课堂上先让学生通过自学阅读课本内容解决相关的老师提出的问题，从而了解到了本节课的学习目标，通过模仿课本例题的解题格式进一步理解了根的判别式的意义，从而调动了学生学习的积极性，又很自然地进入本课所研究的重点内容。在整个课堂学习中，学生口、脑、手并用，小组讨论交流，整体合作，解决问题，既提高了学生的自学能力，又提高了学生分析问题、解决问题的能力。同时，学生通过自己自学、讨论、合作解决问题，体会到探索的乐趣和成功的欢乐，进一步培养了学生热爱数学的思想。整节课的实施过程很顺利，部分学生对本课的知识掌握程度不错，能很好地达到本课的教学目的。

在教学过程中，每节课总会有这有那的一些不尽人意的地方，本课也是一样，在分层教学方面体现少，“让每位学生都有收获”达不到，所以在教学设计方面还有待改进。在往后的教学中，课堂练习要设计不同层次的题目，让优生做有难度的题目，让他们多多思考，提高思含量。对于学习有困难的学生，降低学习要求，努力达到基本要求。

第三篇：《一元二次方程的根的判别式》教学反思（本站推荐）

篇一：《一元二次方程的根的判别式》教学反思

本学期第三周天荣中学的数学老师来我们学校进行课堂教学的交流，很荣幸地是，在这次交流活动中我上了题为《九年级数学——一元二次方程根的判别式》的公开课供大家一起交流探讨。在这次交流探讨中我获益良多，对如何更好地开展本课的有效教学有了更多的体会和认识。

一、课后的总结与思考：

“一堂成功的数学课，往往给人以自然，和谐，舒服的享受。每一位教师在教材处理，教学方法，学法指导等诸方面都有自己的独特设计，在教学过程会出现闪光点。”，这是我在一本数学杂志上看到的一段话，我很赞同作者的观点，一堂成功的数学课，往往给教师自己本身和听课的学生以自然，和谐，舒服的享受。

学生是课堂教学实施之本，课堂实施是否成功还要看课堂教学是否让不同的学生得到不同的发展。因此，在准备本课的教学时我充分考虑了任教班级学生的特点。本课任教的班级是初三（8）班，这是一个平行班，在年级的平行班中处于中等水平，学生原有的数学底子较为薄弱，学生课后的学习习惯差，但是在课堂上，有老师的督促，大部分学生在课堂上还是较为自觉地学习数学。

针对班级的实际情况，我决定在本课教学实施的过程中没有采取小组讨论的问题讨论模式开展本课的课堂教学，而是比较传统地，让学生先练后讲再练这样的讲练结合的模式开展教学。

1、为了让学生能自主地体会“方程的解与什么有关系？”，让学生能把新知识当旧知识来理解，在学习新知前，先让学生解方程，通过练习来复习用公式法解方程，并把结果填写在预先设计的表格，通过表格直观自然地体会方程的解与b?4ac的值有关。从而很自然地进入本课所研究的重点内容。

附录一：

（一）解方程并讨论方程的解与什么有关系？

（1）、用公式法解：

1）x?3x?1?0

2）4x?4x?1?0

3）x?x?1?0

（2）、根据上述结果填写下表：

思考：从上述解题中你发现什么规律？方程是否有根与什么有关系？

2、师生共同小结本课学习的知识要点：

（1）b2?4ac叫做一元二次方程ax2?bx?c?0根的判别式，通常用“△” 表示；

（2）一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)的根的情况：

3、师提出问题，学习根的判别式对于我们有什么作用？借助根的判别式又可以帮我们解决一些什么样的数学问题？

（1）利用根的判别式可以使我们“不解方程也能判别方程的根的情况”；

例

1、不解方程，判别方程2x?4x?35?0的根的情况

（2）利用根的判别式求出一些方程中待定系数的取值范围。

例

2、已知关于x的方程3x?2kx?k?3k?0，当k取什么值时方程有两个相等的实数根？

4、让同学们根据本课所学的内容进行有关的分层练习，让不同层次的学生完成不同层次的练习。

5、小结本课所学内容和讲评纠正一些练习中出现的问题。

整节课的实施过程很顺利，学生对本课的知识掌握程度不错，因为作为一个处于年级中下水平的平行班来说，大部分同学能较好地完成练习的B组题，有些同学还能做C组题，那说明同学们对本课的知识掌握还很不错，能很好地达到本课的教学目的。

在教学过程中，每节课总会有这有那的一些不尽人意的地方，本课也是一样，尽管本节课学生完成习题的情况看，都很尽人意，还有点意外的是，竟然那么多学生能完成B组题，如果C组题不是学生理解题意存在较大的问题外，部分的优生还能完成一道C组题。情况看起来真是形势大好，但是换个角度想，本节课我这样安排是否太低估了学生的能力？我是否对新知的探索部分有太多的包办代替了，我应该更大胆地让学生自主去探索去归纳问题呢？当我在后期的迅堂批改中就感觉到的。而很幸运的，在后来的交流和探讨中，果真有老师给我提出了同样的建议。那样就更肯定了我的想法。

二、课后的交流和探索。

听课教师A：觉得本课的课堂流程过度很顺利，学生不象是年级中下的水平，无论是上课听课的情况还是做题的情况来看，学生对本课的知识掌握得不错。

听课教师B：也有同样的感觉，学生能按老师例题的格式去做，做题的书写等都不错，但是如果换成是我的话，我可能会先让学生先尝试做了分层练习，体会根的判别式的作用，才与学生一起归纳根的判别式的作用。不知大家觉得如何？

我的回应：其实，在准备这节课时，我也是希望在引入新课前，让学生自主用公式法解方程、填表后，再通过小组讨论：“从上述解题中你发现什么规律？方程是否有根与什么有关系？”；然后在进行对“根的判别式的作用”中，也是让学生先练，再小组讨论，共同归纳结果，在纠正学生解题过程中的一些不足。但是又担心，这个班的学生原来没有很多地训练小组讨论，然后好象学生的能力也不怎样，给他们讨论不知道能不能讨论得起来，于是后来就保守点，还是想先老师说，学生在模仿做，这样稳妥点。但不过真的，我在本课实施的后期也发现我真的是太低估学生的能力了，大部分学生能把中档的题目做完、做好，那说明本课的知识，学生不难理解。无论是从学生的能力看，还有就是课堂时间的安排下，都允许学生能进行充分地讨论。

听课教师C：没错，我也赞同这样的处理，如果本课的知识点，知识的应用都是由学生自己探索、体会、总结出来，必定让学生对这节课的知识掌握得更好。还有，对于平行班的学生来说，自己能这样学习数学问题，学习的自信心一定会得到很大的加强。

三、反思自己的教学是否真正达到了教学目标。

课上完了，交流探讨也告一段落，我对本课的教学有做了进一步的反思，反思自己的教学是否真的达到了教学目标。新的课程标准明确指出，我们要让学生学习有用的数学，让不同的学生在数学上得到了不同的发展。因此我觉得，本课的教学目的不仅仅是完成了本课的教学任务，学生掌握了教学内容没有，还要关注学生是否在本节数学上得到了不同的发展。

回响本课的教学，我还是过多地注重地要求每一位学生都应该掌握哪些知识，尽管在分层练习中设计了不同层次的题目，让优生做有难度的题目，让他们多多思考，提高思含量。对于学习有困难的学生，降低学习要求，努力达到基本要求。但是在课堂内容的呈现过程和内容探索过程中没有注重学生间的交流。其实学生才是学生最好的老师，在他们的交流中，可以硬性要求，先让小组中学习最薄弱的同学发言，再到能力较强的同学发言，这样，即可以使薄弱的同学有一种压力，一定要多思多想。还可以通过组间交流，完善自己的想法。

还有，学生的潜力是无穷的，看老师怎么发掘而已，不要太主观地一味过高或过低地估计学生，给学生一个机会，学生会还我们一个奇迹。

四、本棵教学的重新实施情况。

经过对本课的反思，我又在另外的一个水平相当的班级进行实验，就是:

1、让学生自主用公式法解方程、填表后，再通过小组讨论：“从上述解题中你发现什么规律？方程是否有根与什么有关系？”；

2、然后在进行对“根的判别式的作用”中，也是让学生先练，再小组讨论，共同归纳 “根的判别式的作用”；

3、纠正学生解题过程中的一些不足。

学生发言活跃，做题的情况是，大部分完成B组的两道题，学生的答题书写不是很规范，但是从学生最后的自我归纳：“本课你学习的什么内容，有什么收获？”的回答中发现，学生对根的判别式的理解清晰，对它的作用也很清晰。而对解答过程书写不是很规范的问题完全可以在后续的练习课中得到纠正和完善。

苏霍姆林斯基在给《教师的建议》里说：“任何时候都不会给孩子不及格的分数，扼杀孩子的学习机会”，其用意是希望教师任何时候都要保护学生的自尊心，给学生予以学习的机会和希望。

什么样的教法才能真正能完成教学目标呢？

《数学课程标准》明确了义务教育阶段数学课程的总目标，提出从知识与技能，数学思考，解决问题，情感与态度等四个方面来进一步对每节课进行要求。

教师应给了足够的思考空间给学生，通过验证进而概括，使学生体验到成功的喜悦，使学生全身心的投入到学习活动中。教师应该帮助学生理解和掌握知识，培养了学生学习数学的兴趣使学生获得了真正的发展。

通过这次的活动和反思，我更觉得，人无完人，我们只有在教学工作中，多多反思，记录教育教学过程中的所得、所失、所感，为不断创新，不断地完善自己，为不断提高教育教学水平。

附：《一元二次方程的根的判别式》教学设计

一、教学目标目标

（一）知识教学点：

1.了解根的判别式的概念，2.能用判别式判别根的情况。

（二）能力训练点：

1.培养学生从具体到抽象的观察、分析、归纳的能力。

2.进一步考察学生思维的全面性。

（三）德育渗透点：

1.通过了解知识之间的内在联系，培养学生的探索精神。

2.进一步渗透转化和分类的思想方法。

二、教学重点：会用判别式判定根的情况。

三、教学步骤：

篇二：《一元二次方程根的判别式》教学反思

1．成功之处

本节课的教学坚持从学生实际出发，以学生为主体，注重对新理念的贯彻和教学方法的使用；在突破难点时，多种方法并用，注意培养自学能力；坚持当堂训练，例题、练习的设计针对性强，重点突出，对方法的总结言简意赅；学生能够积极、主动的参与，充分经历了知识的形成、发展与应用的过程，在这个过程中掌握了知识，形成了技能，发展了思维；教学效果很好！

2．不足之处

当然，每堂课总有不尽如人意的地方，比如在利用配方法推导公式上稍微多花了几分钟，探索部分我比较多的包办代替了，这点上考虑不足，且大部分学生对于字母的认识仍然不熟练，过多的在公式推导上花时间反而会把学生弄糊涂．与其利用公式来分析根的情况，不如直接利用几道方程来归纳可能更加直观．但是要通过方程根来归纳根与什么有关系，可能要列举相当多的方程，考虑到题量与课时有限的关系，所以本节课还是采用了比较抽象的方式进行归纳，但是这一缺点在进行习题演练时可以弥补．

此外在“利用根的判别式求出一些方程中待定系数的取值范围”这部分训练时，没有给予学生之间交流的机会，尤其是分析第三组题型时，有的时候学生才是学生最好的老师，在交流讨论中才能发现真知，而且这样一来课堂的气氛也会比较活跃，也会激发学生多思多想的热情。学生的潜力是无穷的，看老师怎么发掘而已，不要太主观地一味过高或过低地估计学生，给学生一个机会，学生会还我们一个奇迹．

第四篇：《一元二次方程根的分布》教学设计

《一元二次方程根的分布》教学设计

曹勇

一元二次方程是高中数学中极其重要的内容，这段内容与一元二次不等式，二次函数等内容有着直接而密切的联系。讲解一元二次方程不能不涉及其根的分布。尽管在新教材中，并没有这部分的内容，根据我校学生的实际情况，我决定不仅要讲解这段内容，而且希望达到一定的深度，使学生对这段内容有一个较为全面透彻的理解。

一、对学生已有知识的估计

在初中时，一元二次方程就是数学中的重点和难点内容，学生已经知道了方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c∈R)的求解方法。知道了判别式△=b2-4ac与方程是否存在实数根的关系，也掌握了一元二次方程根的分布最简单的情况，如判别式△和系数a,b,c满足什么条件时，方程有两个正根，两个负根，一正根一负根等。

二、一元二次方程的根的分布的教学设计

在第一课时主要是帮助学生回忆、复习初中所学的相关内容，并进行总结归纳，给出一般性的结论。同时，进行变化略作提高。今天第二课时的教学就是要在第一课时的基础上，进行引伸、提高。考虑到课堂的时间与所讲内容难度，我决定找一个能一题多用的例题，以便提高效率，为此，我先给出了如下一个例题。例题讲解：

例1． 求实数m的范围，使关于x的方程x+2(m-1)x+2m+6=0(1)有两个实根，且一个比2大，一个比2小；(2)有两个实根，且都比1大；

(3)有两个实根α、β，且满足0<α<1<β<4;(4)至少有一个正根。

2选题分析：

第（1）题由学生思考并回答。灵活运用初中所学知识，可以解决此问题。设x1 x2是方程的两实根，则(x12)(x22)0即x1x22(x1x2)40。但此题又存在一种更具特色的解法。设f(x)=x2+2(m-1)x+2m+6,则这是一条开口向上的抛物线，由题意，抛物线与直线x=2的交点在x轴的下方，于是f(2)<0。即22 +2(m-1)2+2m+6<0。第二种方法比起第一种方法，在思维上是一种飞跃，它是将抛物线的有关知识运用到一元二次方程上来，需要很好地掌握两方面的知识，学生初次接触这种方法，部分学生在理解上会产生一定的困难。作为教师要注意到这一点，事先有足够的准备，要作重点讲解。

第（2）、（3）、（4）题都是在第（1）题的基础上，难度逐个递增的小题，这三个小题仅用初中所学知识是不够的，必须把的相应问题转化为二次函数问题来解决。也即二次函数的图象与x轴的交点的位置的分布。学生在解决这类问题时，容易出现的错误是思考不周，少考虑了一些必须考虑的因素，特别有区间时，区间的端点常常成为盲点，从而使得到的条件组的条件不足。这是教学时特别要注意的。

关于教学方法，我认为用师生共同讨论的方法较好。如第（3）题，在令f(x)=x2+2(m-1)x+2x+6之后，让学生想想，图该怎样画？由这张图，你能得到怎样的条件组？与已知条件等价吗？这三个小题都有一定的难度，尤其是第4小题，更加困难一些，因此一个学生的回答可能会有缺陷，需要有其他学生补充、纠正，必要时教师应适时引导。

例题2 在下列条件下，分别求出m的取值范围

（1）方程x2-mx+4=0在[-1，1 ]有解：

（2）函数f(x)=x2-3x+4-m的图象与横轴 x在[-1，1 ]上有交点。设计例题2，是希望能让学生见识一下其它情形的一元二次方程的根的分布，拓展视野；同时也体会一下分类讨论思想在这类问题中是如何运用的；例题2也是在例题1的基础上的再提高。这个例题的主要解答过程也是由学生回答。

三、教学后的反思

这节课按照设想完成了。效果如何呢？我布置了如下的几道作业题：

1.关于x的方程2kx2-2x-3k-2=0的两个实根一个小于1，另一个大于1，求实数k的取值范围。

2.已知关于x的方程kx2+2kx+k-2=0有两个实根，其中一根在(0，1)之间，另一根在(-1，0)之间，求实数k的取值范围。

3.关于x的方程2x2-3x-3+2m=0的两根均在[-1，1]之间，求m的范围。

4.集合A={（x,y）|y＝x2+mx+2},B={(x,y)|x-y+1=0且0≤x≤2}，若A∩B≠Ф，求实数m的取值范围。

题1和题2和例1中第（1）、（3）题相似，差不多都做对了。第3题与两道例题略有差别，约三分之二的学生做对。第4题需要一定的灵活性才能解决，约三分之一的学生做对。从整个情况看，作业做得不错，基本上实现了教学目的。我认为，在生源比较好的学校，按照上述要求上课，学生是能够接受的。

我了解我的学生，我相信他们的实力。在整个一节课上，基本上是学生讲为主，我讲为辅。像例2这样较为困难的问题，我也鼓励学生大胆思考，不怕困难，一个人完不成，讲不透，第二个人、第三个人补充，直到完成整个例题。这样上课气氛非常活跃，学生之间常会因为某个观点的不同而争论，作为教师可能比较辛苦。一方面要控制好整节课的节奏，另一方面又要察言观色，适时地对某些观点作出判断，或与学生一同讨论。我想，如果以后再讲到这一段，这节课会有很大的参考价值。

第五篇：配方法的应用、一元二次方程根的判别式

配方法的应用、一元二次方程根的判别式

例

1、选取二次三项式ax2bxc(a0)中的两项，配成完全平方式的过程叫配方． 例如：①选取二次项和一次项配方：x24x2(x2)22；②选取二次项和常数项配

方：x24x2(x2

4)x，或x24x2(x24)x；

③选取一次项和一次项配方：x24x22x2．

根据上述材料，解决下面问题：（１）写出x8x4的两种不同形式的配方；

（２）已知x2y2xy3y30，求x的值．

变式１：若x、y为任意有理数，比较6xy与x29y2的大小．

22变式２、已知a2b2ab2b10，则a2b= ．

变式３、①若关于x的方程25x2(k1)x10的左边可以写成一个完全平方式，则k=②若关于x的方程x23(m1)x90的左边可以写成一个完全平方式，则m= 例

2、用配方法证明：无论x去何实数值，代数式xx1的值总是负数，并求它的最值．

222变式

1、若x4x9(xm)n，则mnxx4x9取

得最（填“大”或“小”）值，最值为．

变式

2、不论x、y取任何实数，式子x2y22x4y9的值（）

A、总小于9B、总不小于4C、可为任何实数D、可能为负实数

变式

3、代数式2xx3的值（）

A、总为正B、总为负C、可能为0D、都有可能

变式

3、已知a是一元二次方程x4x10的两个实数根中较小的根，2(1)求a4a2014的值；（22y2221． a

222变式

4、若a,b,c是ABC的三边，且abc506a8b10c，判断这个三角形的形状。

一元二次方程ax2bxc0(a0)的求根公式为

一元二次方程ax2bxc0(a0)根的判别式为

判别式的值与一元二次方程根的情况分为以下几种情形：

（1）

（2）

（3）

例

1、已知一元二次方程axbxc0的系数满足ac0，判别方程根的情况，并说明

理由。

变形

1、已知关于x的方程kx2(1k)x10，下列说法正确的是（）

A、当k0时，方程无解B、当k1时方程有一个实数解

C、当k1时，方程有两个相等实数解 D、当k0时，方程有两个不相等实数解变形

2、已知关于x的方程x(m2)x(2m1)0，（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；

（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求出以此两根为边长的直角三

角形的周长。

例

2、已知关于x的一元二次方程x2(2k1)xk2k0，（1）求证：方程有两个不相等的实数根；

（2）若ABC的两边AB、AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当

ABC是等腰三角形，求k的值。