高中数学 等差数列(32)教案 苏教版必修55篇

第一篇：高中数学 等差数列(32)教案 苏教版必修5

等差数列（3）

【三维目标】：

一、知识与技能

1.掌握等差数列前n项和的公式以及推导该公式的数学思想方法，并能运用公式解决简单的问题；

2.探索活动中培养学生观察、分析的能力，培养学生由特殊到一般的归纳能力。

二、过程与方法

1.通过对历史有名的高斯求和的介绍，引导学生发现等差数列的第k项与倒数第k项的和等于首项与末项的和这个规律；由学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简单的问题，进行等差数列通项公式应用的实践操作并在操作过程中，通过类比函数概念、性质、表达式得到对等差数列相应问题的研究。

2.通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题，解决问题的一般思路和方法；通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平.三、情感、态度与价值观

1.通过公式的推导过程，获得发现的成就感，逐步养成科学严谨的学习态度，提高代数推理的能力。

2.培养学生利用学过的知识解决与现实有关的问题的能力。【教学重点与难点】：

重点：等差数列n项和公式的理解、推导及应用 难点：等差数列前n项和公式推导思路的获得，灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题，体会等差数列的前n项和与二次函数之间的联系。【学法与教学用具】：

1.学法：讲练结合

2.教学用具：多媒体、实物投影仪.【授课类型】：新授课 【课时安排】：1课时 【教学思路】：

一、创设情景，揭示课题

“小故事”：著名的数学家高斯（德国 1777-1855）十岁时计算1+2+3+„+100的故事：高斯是伟大的数学家，天文学家，高斯十岁时,有一次老师出了一道题目,老师说: “现在给大家出道题目:“1+2+„100=?”

过了两分钟,正当大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10„算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说：“1+2+3+„+100=5050。教师问：“你是如何算出答案的？高斯回答说：因为1+100=101；2+99=101；„50+51=101，所以101×50=5050”

故事结束：归纳为 1．这是求等差数列1，2，3，„，100前100项和 2．高斯的解法是：前100项和S100

n(a1an)100(1100)，即Sn

二、研探新知

1.等差数列的求和公式（1）求和公式

（一）：Snn(a1an)（倒序相加法）2思考：受高斯的启示，我们这里可以用什么方法去求和呢？

思考后知道，也可以用“倒序相加法”进行求和。我们用两种方法表示Sn：

证明：Sna1a2a3an1an ① Snanan1an2a2a1 ②

①+②：2Sn(a1an)(a2an1)(a3an2)(anan)∵a1ana2an1a3an2 ∴2Snn(a1an)由此得：Snn(a1an)2n(a1an)2 由此得到等差数列{an}的前n项和的公式Sn注意：用上述公式要求Sn必须具备三个条件：n,a1,an（2）求和公式

（二）：按等差数列定义

当然，对于等差数列求和公式的推导，也可以有其他的推导途径。例如：

Sna1a2a3...an=a1(a1d)(a12d)...[a1(n1)d]

n(n1)d 2n(a1an)这两个公式是可以相互转化的。把ana1(n1)d代入Sn中，就可以得

2n(n1)到Snna1d

2=na1[d2d...(n1)d]=na1[12...(n1)]d=na1注意：此公式要求Sn必须具备三个条件：n,a1,d（有时比较有用）公式二又可化成式子：Snd2dn(a1)n，当d0，是一个常数项为零的二次式，22有关前n项和得最值问题可由此公式解决

总之：两个公式都表明要求Sn必须已知n,a1,d,an中三个

说明：（1）等差数列的前n和等于首末两项和的一半的n倍；

（2）在等差数列前n项和公式及通项公式中有a1，an，n，d，Sn五个量，已知其中三个可以求出另外两个。

引导学生思考这两个公式的结构特征得到：第一个公式反映了等差数列的任意的第k项与倒数第k项的和等于首项与末项的和这个内在性质。第二个公式反映了等差数列的前n项和与它的首项、公差之间的关系，而且是关于n的“二次函数”，可以与二次函数进行比较。这两个公式的共同点都是知道a1和n，不同点是第一个公式还需知道an，而第二个公式是要知道d，解题时还需要根据已知条件决定选用哪个公式。

三、质疑答辩，排难解惑，发展思维 例1（教材P40例1）在等差数列an中，（1）已知a13，a50101，求S50；（2）已知a13，dn；

1，求S10。21315例2（教材P40例2）（1）在等差数列an中，已知d，an,Sn，求a1及

222（2）在等差数列an中，d1，n37，Sn629，求a1及an 33a1215n(1)1解：（1）由题意，得2 由（2）得：a1n2 代入（1）2213(2)a1(n1)22得n27n300，∴n10,n3（舍去），∴a13

137(371)3629(1)a11137a1（2）由题意，得 解得：  2a23n1(2)ana1(371)3例3（教材P40例3）在等差数列an中，已知第项到第10项的和为310，第11项到第20项的和为910，求第21项到第30项的和。

S10310解：设等差数列的首项为a1，公差为d，由题意，得

SS910201010910ad310a1412即： 解得：

d6201920ad31091012∴ a214206124，∴a21a22a301012410961510 2-345-

第二篇：高中数学 等差数列教案 苏教版必修5

等差数列（2）

一、创设情景，揭示课题

1．复习等差数列的定义、通项公式（1）等差数列定义

（2）等差数列的通项公式：ana1(n1)d(anam(nm)d或andnp(p是常数))（3）公差d的求法：① dan-an1 ②d2．等差数列的性质：

（1）在等差数列an中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；（2）在等差数列an中，相隔等距离的项组成的数列是AP

如：a1，a3，a5，a7，……；a3，a8，a13，a18，……；

ana1aam ③dn n1nmanam(mn)；

nm（4）在等差数列an中，若m，n，p，qN且mnpq，则amanapaq（3）在等差数列an中，对任意m，nN，anam(nm)d，d3．问题：（1）已知a1,a2,a3,an,an1,,a2n是公差为d的等差数列。①an,an1,,a2,a1也成等差数列吗？如果是，公差是多少？ ②a2,a4,a6,a2n也成等差数列吗？如果是，公差是多少？（2）已知等差数列an的首项为a1，公差为d。

①将数列an中的每一项都乘以常数a，所得的新数列仍是等差数列吗？如果是，公差是多少？

②由数列an中的所有奇数项按原来的顺序组成的新数列cn是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？

（3）已知数列an是等差数列，当mnpq时，是否一定有amanapaq？（4）如果在a与b中间插入一个数A，使得a，A，b成等差数列，那么A应满足什么条件？

二、研探新知

1.等差中项的概念：

如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。其中A a，A，b成等差数列A2.一个有用的公式：

（1）已知数列{an}是等差数列

①2a5a3a7是否成立？2a5a1a9呢？为什么？ ②2anan1an1(n1)是否成立？据此你能得到什么结论？ ③2anankank(nk0)是否成立？？你又能得到什么结论？ 求证：①amanapaq ②apaq(pq)d 证明：①设首项为a1，则（2）在等差数列an中，d为公差，若m,n,p,qN且mnpq

ab 2ab． 2amana1(m1)da1(n1)d2a1(mn2)dapaqa1(p1)da1(q1)d2a1(pq2)d

∵ mnpq ∴amanapaq

五、归纳整理，整体认识

本节课学习了以下内容：

aba,A,b,成等差数列，等差中项的有关性质意义 22．在等差数列中，mnpqamanapaq（m，n，p，qN）1．A3．等差数列性质的应用；掌握证明等差数列的方法。

六、承上启下，留下悬念

1.在等差数列{an}中, 已知a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450, 求a2＋a8及前9项和S9.解：由等差中项公式：a3＋a7＝2a5，a4＋a6＝2a5由条件a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450, 得5a5＝450, a5＝90, ∴a2＋a8＝2a5＝180.S9＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8＋a9

＝(a1＋a9)＋(a2＋a8)＋(a3＋a7)＋(a4＋a6)＋a5＝9a5＝810.七、板书设计（略）

八、课后记：

判断一个数列是否成等差数列的常用方法 1．定义法：即证明 anan1d(常数)

例：已知数列an的前n项和Sn3n22n，求证数列an成等差数列，并求其首项、公差、通项公式。解：

n2a1S1321 当时

anSnSn13n22n[3(n1)22(n1)]6n5

n1时 亦满足

∴ an6n5

首项a11

anan16n5[6(n1)5]6(常数)

∴an成AP且公差为6 2．中项法： 即利用中项公式，若2bac 则a,b,c成AP。

111bccaab 例：已知，成AP，求证，也成AP。

abcabc111211 证明： ∵，成AP ∴ 化简得：2acb(ac)

abcbacbcabbcc2a2abb(ac)a2c22aca2c2

acacacac(ac)2(ac)2acbccaab= ∴，也成AP 2b(ac)acbabc2 3．通项公式法：利用等差数列得通项公式是关于n的一次函数这一性质。

例：设数列an其前n项和Snn22n3，问这个数列成AP吗？

解：n1时 a1S12

n2时 anSnSn12n3,a1不满足an2n3

n12 ∴ an

∴ 数列an不成AP 但从第2项起成AP。

n22n3

第三篇：高中数学必修5高中数学必修5《等差数列复习》教案

等差数列复习

知识归纳

1.等差数列这单元学习了哪些内容？

定等差数列通义项前n项和主要性质

2.等差数列的定义、用途及使用时需注意的问题: n≥2，an －an－1＝d(常数)3.等差数列的通项公式如何？结构有什么特点？ an＝a1＋(n－1)d

an＝An＋B(d＝A∈R)4.等差数列图象有什么特点？单调性如何确定？

d＜0annannd＞05.用什么方法推导等差数列前n项和公式的?公式内容? 使用时需注意的问题? 前n 项和公式结构有什么特点? n(a1an)n(n1)d na122SnSn＝An2＋Bn(A∈R)注意: d＝2A!6.你知道等差数列的哪些性质? 等差数列{an}中，(m、n、p、q∈N+): ①an＝am＋(n－m)d ；

②若 m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq ； ③由项数成等差数列的项组成的数列仍是等差数列；

④ 每n项和Sn , S2n－Sn ，S3n－S2n …组成的数列仍是等差数列.知识运用 1.下列说法:(1)若{an}为等差数列,则{an2}也为等差数列(2)若{an} 为等差数列,则{an＋an＋1}也为等差数列(3)若an＝1－3n,则{an}为等差数列.(4)若{an}的前n和Sn＝n2＋2n＋1, 则{an}为等差数列.其中正确的有（(2)(3))2.等差数列{an}前三项分别为a－1,a＋2，2a＋3, 则an＝ 3n－2.3.等差数列{an}中, a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33, 则a3＋a6＋a9＝27.4.等差数列{an}中, a5＝10, a10＝5, a15＝0.5.等差数列{an}, a1－a5＋a9－a13＋a17＝10，a3＋a15＝ 20.6.等差数列{an}, S15＝90, a8＝.7.等差数列{an}, a1= －5, 前11项平均值为5, 从中抽去一项,余下的平均值为4, 则抽取的项为

（A)

A.a11

B.a10

C.a9

D.a8 8.等差数列{an}，Sn＝3n－2n2, 则(B)A.na1＜Sn＜nan

B.nan＜Sn ＜na1

C.nan＜na1＜Sn

D.Sn＜nan＜na1 能力提高

1.等差数列{an}中, S10＝100, S100＝10, 求 S110.2.等差数列{an}中, a1＞0, S12＞0, S13＜0, S1、S2、… S12哪一个最大？

课后作业《习案》作业十九.

第四篇：高中数学 等差数列教案 苏教版必修5

等差数列（4）

一、创设情景，揭示课题，研探新知

1.等差数列的定义：（1）等差数列的通项公式；（2）等差数列的求和公式。2.等差数列的性质：

已知数列{an}是等差数列，则

（1）对任意m，nN，anam(nm)d，danam(mn)；

nm（2）若m，n，p，qN且mnpq，则amanapaq

n(a1an)n(n1)或Snna1d 22dd注意：①等差数列前n项和公式又可化成式子：Snn2(a1)n，当d0，此

22dd式可看作二次项系数为，一次项系数为a1，常数项为零的二次式；②当d0时，Sn22dd有最小值；当d0时，Sn有最大值；③图象：抛物线yx2(a1)x上的一群独立

22（3）等差数列前n项和公式：Sn点。

（4）利用an与Sn的关系：an(n1)S1

SnSn1(n2)

二、质疑答辩，排难解惑，发展思维

例1 在等差数列an中，S10100，S10010，求S110？

109109a10ad10011012解法一：设该等差数列首项a1，公差d，则，所100a10099d10d1125以，S110110a1110109d110． 2解法二：在等差数列中，S10, S20－S10, S30－S20, ……, S100－S90, S110－S100, 成等差数列，∴ 新数列的前10项和＝原数列的前100项和，10S10＋

109·D＝S100＝10, 解得D＝－222 ∴ S110－S100＝S10＋10×D＝－120, ∴ S110＝－110.拓展练习1：在等差数列中，Spq，Sqp，则Spq(pq)．

拓展练习2：已知数列an,是等差数列，若Smn，求Smn Snm，Sn是其前n项和，拓展练习3：已知等差数列前n项和为a，前2n项和为b，求前3n项的和。（介绍依次k项成等差）例2 已知等差数列{an}的项数为奇数，且奇数的和为44，偶数项的和为33，求此数列的中间项及项数。

解：设项数为2k1，奇数项和记为S奇，偶数项和记为S偶，由题意，(a1a2k1)(k1)44 ① 2(aa2k)S偶a2a4a2k2k33 ②

2k144①②得，解得k3，∴ 项数为7项，又S奇11ak144，∴ k33S奇a1a3a2k1ak111，即中间项为11．

说明：设数列{an}是等差数列，且公差为d，（1）若项数为偶数，设共有2n项，则①S奇S偶nd；②

S奇an； S偶an1S奇n． S偶n1（2）若项数为奇数，设共有2n1项，则①S奇S偶ana中；②例3 在等差数列中，a1023，a2522，（1）该数列第几项开始为负？（2）前多少项和最大？

（3）求an前n项和？

解：设等差数列an中，公差为d，由题意得：a25a1015d45a501 d323a1(101)(3)53，所以从第18项开始3为（1）设第n项开始为负，an503(n1)533n0，n为负。（2）（法

一）

设

前

n项和

Sn，则n(n1)31033103231032(3)n2n(n)()，2222626

所以，当n17时，前17项和最大。Sn50n（法二）an0533n05053，则，n，所以n17．

3503n03an10

（3）an533n'533n,0n17，3n53,n17∴Sna1a2a3ana1a2a17(a18a19an)，当

3103，S'nn2n2231033103S'n(n2n)2S17n2n884，2222n17时，当

n17时，32103nn(n17)22'所以，Sn．

31033103(n2n)2S17n2n884(n17)2222说明：（1）a10，d0时，Sn有最大值；a10，d0时，Sn有最小值；

（2）Sn最值的求法：①若已知Sn，可用二次函数最值的求法（nN）；

an0an0②若已知an，则Sn最值时n的值（nN）可如下确定或．

a0a0n1n1

例4 已知数列an的前n项和为（1）Sn2nn；（2）Snnn1，求数列an22的通项公式。

例5（教材P42例5）某种卷筒卫生纸绕在盘上，空盘时盘芯直径40mm，满盘时直径120mm，已知卫生纸的厚度为0.1mm，问：满盘时卫生纸的总长度大约是多少米（精确到0.1m）? 解：卫生纸的厚度为0.1mm，可以把绕在盘上的卫生纸近似地看作是一组同心圆，然后分别计算各圆的周长，再求总和。

由内向外各圈的半径分别为 20.05,20.15,,59.9

5因此各圈的周长分别为 40.1,40.3,,119.9

∵各圈半径组成首项为20.05，公差为0.1的等差数列，设圈数为n，则 59.9520.05(n1)0.1，∴n400

∴各圈的周长组成一个首项为40.1，公差为0.2，项数为40的等差数列，Sn40040.1400(4001)0.232000(mm)

232000(mm)100(m)

答：满盘时卫生纸的总长度约是100米．说明：各圈的半径为该层纸的中心线至盘芯中心的距离。

第五篇：高中数学 2.2《等差数列》教案 新人教A数学必修5

2.2等 差 数 列(1)教学目标 1．明确等差数列的定义．

2．掌握等差数列的通项公式，解决知道an,a1,d,n中的三个，求另外一个的问题

3．培养学生观察、归纳能力． 教学重点 1.等差数列的概念； 2.等差数列的通项公式

教学难点

等差数列“等差”特点的理解、把握和应用 教学方法 :启发式数学,归纳法.一.知识导入

1.观察下列数列,写出它的一个通项公式和递推公式,并说出它们的特点.1)2，4，6，8，10 … 2）15，14，13，12，11 … 3）2，5，8，11，14 … 2.课本41页的三个实际问题

【归纳】共同特点:每一个数列，从第二项起与前一项的差相同。二．等差数列

1.定义: 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。以上三个例子的公差d分别为2,-1,3.定义说明:1)同一个常数的含义.2)公差d的取值范围.2.等差数列的通项公式: 设数列{an}是首项为a1,公差为d的等差数列.由定义有:思路1: a2a1a3a2anan1d

a2a1d

a3a2da12d

a4a3da13d……………

anan1da1(n1)d,nN*

思路2: a2a1d a3a2d

a4a3d

……………

an1an2d

anan1d

两端相加:

ana1(n1)d nN故等差数列的通项公式为:

*

ana1(n1)d nN其中:

*

an为第n项,a1为首项,d为公差.(共有四个量,知三求一)利用等差数列的通项公式验证三个引例.广义通项公式: anam(nm)d

3.等差数列的递推公式: an1and,nN*

三.例题分析

1.(1)求等差数列8,5,2,…的第20项.(2)-401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？

2.在等差数列{an}中,已知a510,a1231求首项a1与公差d

3.已知数列{an}的前n项和公式(1)求数列{an}的通项公式.(2)证明

Snn2n

2{an}是等差数列.m1,m3,m9 4.已知等差数列的前三项分别为(1)求m的值.(2)求该数列的第10项.5.梯子最高一级宽33cm，最低一级宽为110cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度。

解设an表示梯子自上而上各级宽度所成的等差数列，由已知条件，可知： a1=33, a12=110，n=12 ∴a12a1(121)d,即时10=33+11d

解之得：d7

因此，a233740,a340747,a454,a561,a668,a775,a882,a989,a1096,a11103, 答：梯子中间各级的宽度从上到下依次是40cm，47cm，54cm，61cm，68cm，75cm，82cm，89cm，96cm，103cm.四.小结 五.作业

1.已知下列等差数列,求通项公式(1)1,4,7,10…

(2)32, 26, 20, 14…(3)127, , … 35152.已知等差数列{an}中(1)a34,a716,求a1,d ,11a,d求a5(2)232(3)

an

a32,d4,an30求n

2S2n4n 3.数列{an}中,前n项和n(1)求通项公式an

(2)证明{an}是等差数列

【探究】设{an}是首项为m公差为d的等差数列，从中选取数列的第*kN（）构成一个新的数列{bn}，你能求出{bn}的通项公式吗？

4k1项，