高中数学必修5高中数学必修5《2.2等差数列(二)》教案

第一篇：高中数学必修5高中数学必修5《2.2等差数列(二)》教案

2.2等差数列

（二）一、教学目标

1、掌握＂判断数列是否为等差数列＂常用的方法；

2、进一步熟练掌握等差数列的通项公式、性质及应用．

3、进一步熟练掌握等差数列的通项公式、性质及应用．

二、教学重点、难点

重点：等差数列的通项公式、性质及应用．

难点：灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题．

三、教学过程

（一）、复习

1．等差数列的定义． 2．等差数列的通项公式：

ana1(n1)d

(anam(nm)d或 an=pn+q(p、q是常数))3．有几种方法可以计算公差d: ① d=an－an

1② d=

ana1aam

③ d=n

nmn14.{an}是首项a1=1, 公差d=3的等差数列, 若an =2005,则n =()

A.667

B.668

C.669

D.670 5.在3与27之间插入7个数, 使它们成为等差数列,则插入的7个数的第四个数是()

A.18

B.9

C.12

D.15

二、新课

1．性质：在等差数列{an}中,若m + n=p + q, 则am + an = ap + aq

特别地,若m+n=2p, 则am+an=2ap 例1.在等差数列{an}中

(1)若a5=a, a10=b, 求a15;

(2)若a3+a8=m, 求a5+a6;

(3)若a5=6, a8=15, 求a14;

(4)若a1+a2+…+a5=30, a6+a7+…+a10=80,求a11+a12+…+a15.解:(1)2a10=a5+a15,即2b=a+a15 , ∴a15=2b﹣a;(2)∵5+6=3+8=11,∴a5+a6=a3+a=m(3)a8=a5+(8﹣3)d, 即15=6+3d, ∴d=3，从而a14=a5+(14-5)d=6+9×3=33(4)66111, 77122,2a6a1a11, 2a7a2a12从而(a11a12a15)(a1a2a5)2(a6a7a10)a11a12a152(a6a7a10)(a1a2a5)28030130.2．判断数列是否为等差数列的常用方法：（1）定义法: 证明an-an-1=d(常数)例2.已知数列{an}的前n项和为Sn=3n2-2n, 求证数列{an}成等差数列,并求其首项、公差、通项公式.解: 当n=1时,a1=S1=3﹣2=1;

当n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1=3n2﹣2n﹣ [3(n﹣1)2﹣2(n﹣1)]=6n﹣5;

∵n=1时a1满足an=6n﹣5,∴an=6n﹣5

首项a1=1,an﹣an﹣1=6(常数)

∴数列{an}成等差数列且公差为6.（2）中项法: 利用中项公式, 若2b=a+c,则a, b, c成等差数列.（3）通项公式法: 等差数列的通项公式是关于n的一次函数.例3.已知数列{an}的通项公式为anpnq,其中p、q为常数，且p≠0，那么这个数列一定是等差数列吗？

分析：判定{an}是不是等差数列，可以利用等差数列的定义，也就是看anan1（n＞1）是不是一个与n无关的常数。

解：取数列{an}中的任意相邻两项an与an1（n＞1），求差得 anan1(pnq)[p{n1)q]pnq(pnpq]p

它是一个与n无关的数.所以{an}是等差数列。

课本左边“旁注”：这个等差数列的首项与公差分别是多少？

这个数列的首项a1pq,公差dp。由此我们可以知道对于通项公式是形如anpnq的数列，一定是等差数列，一次项系数p就是这个等差数列的公差，首项是p+q.如果一个数列的通项公式是关于正整数n的一次型函数，那么这个数列必定是等差数列。[探究] 引导学生动手画图研究完成以下探究：

⑴在直角坐标系中，画出通项公式为an3n5的数列的图象。这个图象有什么特点？ ⑵在同一个直角坐标系中，画出函数y=3x-5的图象，你发现了什么？据此说一说等差数列anpnq与一次函数y=px+q的图象之间有什么关系。

分析：⑴n为正整数，当n取1，2，3，„„时，对应的an可以利用通项公式求出。经过描点知道该图象是均匀分布的一群孤立点；

⑵画出函数y=3x-5的图象一条直线后发现数列的图象（点）在直线上，数列的图象是改一次函数当x在正整数范围内取值时相应的点的集合。于是可以得出结论：等差数列anpnq的图象是一次函数y=px+q的图象的一个子集，是y=px+q定义在正整数集上对应的点的集合。该处还可以引导学生从等差数列anpnq中的p的几何意义去探究。

三、课堂小结：

1.等差数列的性质；

2.判断数列是否为等差数列常用的方法．

四、课外作业

1.阅读教材第110～114页；

2.教材第39页练习第4、5题． 作业：《习案》作业十二

第二篇：高中数学必修5高中数学必修5《等差数列复习》教案

等差数列复习

知识归纳

1.等差数列这单元学习了哪些内容？

定等差数列通义项前n项和主要性质

2.等差数列的定义、用途及使用时需注意的问题: n≥2，an －an－1＝d(常数)3.等差数列的通项公式如何？结构有什么特点？ an＝a1＋(n－1)d

an＝An＋B(d＝A∈R)4.等差数列图象有什么特点？单调性如何确定？

d＜0annannd＞05.用什么方法推导等差数列前n项和公式的?公式内容? 使用时需注意的问题? 前n 项和公式结构有什么特点? n(a1an)n(n1)d na122SnSn＝An2＋Bn(A∈R)注意: d＝2A!6.你知道等差数列的哪些性质? 等差数列{an}中，(m、n、p、q∈N+): ①an＝am＋(n－m)d ；

②若 m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq ； ③由项数成等差数列的项组成的数列仍是等差数列；

④ 每n项和Sn , S2n－Sn ，S3n－S2n …组成的数列仍是等差数列.知识运用 1.下列说法:(1)若{an}为等差数列,则{an2}也为等差数列(2)若{an} 为等差数列,则{an＋an＋1}也为等差数列(3)若an＝1－3n,则{an}为等差数列.(4)若{an}的前n和Sn＝n2＋2n＋1, 则{an}为等差数列.其中正确的有（(2)(3))2.等差数列{an}前三项分别为a－1,a＋2，2a＋3, 则an＝ 3n－2.3.等差数列{an}中, a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33, 则a3＋a6＋a9＝27.4.等差数列{an}中, a5＝10, a10＝5, a15＝0.5.等差数列{an}, a1－a5＋a9－a13＋a17＝10，a3＋a15＝ 20.6.等差数列{an}, S15＝90, a8＝.7.等差数列{an}, a1= －5, 前11项平均值为5, 从中抽去一项,余下的平均值为4, 则抽取的项为

（A)

A.a11

B.a10

C.a9

D.a8 8.等差数列{an}，Sn＝3n－2n2, 则(B)A.na1＜Sn＜nan

B.nan＜Sn ＜na1

C.nan＜na1＜Sn

D.Sn＜nan＜na1 能力提高

1.等差数列{an}中, S10＝100, S100＝10, 求 S110.2.等差数列{an}中, a1＞0, S12＞0, S13＜0, S1、S2、… S12哪一个最大？

课后作业《习案》作业十九.

第三篇：高中数学 等差数列教案 苏教版必修5

等差数列（2）

一、创设情景，揭示课题

1．复习等差数列的定义、通项公式（1）等差数列定义

（2）等差数列的通项公式：ana1(n1)d(anam(nm)d或andnp(p是常数))（3）公差d的求法：① dan-an1 ②d2．等差数列的性质：

（1）在等差数列an中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；（2）在等差数列an中，相隔等距离的项组成的数列是AP

如：a1，a3，a5，a7，……；a3，a8，a13，a18，……；

ana1aam ③dn n1nmanam(mn)；

nm（4）在等差数列an中，若m，n，p，qN且mnpq，则amanapaq（3）在等差数列an中，对任意m，nN，anam(nm)d，d3．问题：（1）已知a1,a2,a3,an,an1,,a2n是公差为d的等差数列。①an,an1,,a2,a1也成等差数列吗？如果是，公差是多少？ ②a2,a4,a6,a2n也成等差数列吗？如果是，公差是多少？（2）已知等差数列an的首项为a1，公差为d。

①将数列an中的每一项都乘以常数a，所得的新数列仍是等差数列吗？如果是，公差是多少？

②由数列an中的所有奇数项按原来的顺序组成的新数列cn是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？

（3）已知数列an是等差数列，当mnpq时，是否一定有amanapaq？（4）如果在a与b中间插入一个数A，使得a，A，b成等差数列，那么A应满足什么条件？

二、研探新知

1.等差中项的概念：

如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。其中A a，A，b成等差数列A2.一个有用的公式：

（1）已知数列{an}是等差数列

①2a5a3a7是否成立？2a5a1a9呢？为什么？ ②2anan1an1(n1)是否成立？据此你能得到什么结论？ ③2anankank(nk0)是否成立？？你又能得到什么结论？ 求证：①amanapaq ②apaq(pq)d 证明：①设首项为a1，则（2）在等差数列an中，d为公差，若m,n,p,qN且mnpq

ab 2ab． 2amana1(m1)da1(n1)d2a1(mn2)dapaqa1(p1)da1(q1)d2a1(pq2)d

∵ mnpq ∴amanapaq

五、归纳整理，整体认识

本节课学习了以下内容：

aba,A,b,成等差数列，等差中项的有关性质意义 22．在等差数列中，mnpqamanapaq（m，n，p，qN）1．A3．等差数列性质的应用；掌握证明等差数列的方法。

六、承上启下，留下悬念

1.在等差数列{an}中, 已知a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450, 求a2＋a8及前9项和S9.解：由等差中项公式：a3＋a7＝2a5，a4＋a6＝2a5由条件a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450, 得5a5＝450, a5＝90, ∴a2＋a8＝2a5＝180.S9＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8＋a9

＝(a1＋a9)＋(a2＋a8)＋(a3＋a7)＋(a4＋a6)＋a5＝9a5＝810.七、板书设计（略）

八、课后记：

判断一个数列是否成等差数列的常用方法 1．定义法：即证明 anan1d(常数)

例：已知数列an的前n项和Sn3n22n，求证数列an成等差数列，并求其首项、公差、通项公式。解：

n2a1S1321 当时

anSnSn13n22n[3(n1)22(n1)]6n5

n1时 亦满足

∴ an6n5

首项a11

anan16n5[6(n1)5]6(常数)

∴an成AP且公差为6 2．中项法： 即利用中项公式，若2bac 则a,b,c成AP。

111bccaab 例：已知，成AP，求证，也成AP。

abcabc111211 证明： ∵，成AP ∴ 化简得：2acb(ac)

abcbacbcabbcc2a2abb(ac)a2c22aca2c2

acacacac(ac)2(ac)2acbccaab= ∴，也成AP 2b(ac)acbabc2 3．通项公式法：利用等差数列得通项公式是关于n的一次函数这一性质。

例：设数列an其前n项和Snn22n3，问这个数列成AP吗？

解：n1时 a1S12

n2时 anSnSn12n3,a1不满足an2n3

n12 ∴ an

∴ 数列an不成AP 但从第2项起成AP。

n22n3

第四篇：高中数学 等差数列教案 苏教版必修5

等差数列（4）

一、创设情景，揭示课题，研探新知

1.等差数列的定义：（1）等差数列的通项公式；（2）等差数列的求和公式。2.等差数列的性质：

已知数列{an}是等差数列，则

（1）对任意m，nN，anam(nm)d，danam(mn)；

nm（2）若m，n，p，qN且mnpq，则amanapaq

n(a1an)n(n1)或Snna1d 22dd注意：①等差数列前n项和公式又可化成式子：Snn2(a1)n，当d0，此

22dd式可看作二次项系数为，一次项系数为a1，常数项为零的二次式；②当d0时，Sn22dd有最小值；当d0时，Sn有最大值；③图象：抛物线yx2(a1)x上的一群独立

22（3）等差数列前n项和公式：Sn点。

（4）利用an与Sn的关系：an(n1)S1

SnSn1(n2)

二、质疑答辩，排难解惑，发展思维

例1 在等差数列an中，S10100，S10010，求S110？

109109a10ad10011012解法一：设该等差数列首项a1，公差d，则，所100a10099d10d1125以，S110110a1110109d110． 2解法二：在等差数列中，S10, S20－S10, S30－S20, ……, S100－S90, S110－S100, 成等差数列，∴ 新数列的前10项和＝原数列的前100项和，10S10＋

109·D＝S100＝10, 解得D＝－222 ∴ S110－S100＝S10＋10×D＝－120, ∴ S110＝－110.拓展练习1：在等差数列中，Spq，Sqp，则Spq(pq)．

拓展练习2：已知数列an,是等差数列，若Smn，求Smn Snm，Sn是其前n项和，拓展练习3：已知等差数列前n项和为a，前2n项和为b，求前3n项的和。（介绍依次k项成等差）例2 已知等差数列{an}的项数为奇数，且奇数的和为44，偶数项的和为33，求此数列的中间项及项数。

解：设项数为2k1，奇数项和记为S奇，偶数项和记为S偶，由题意，(a1a2k1)(k1)44 ① 2(aa2k)S偶a2a4a2k2k33 ②

2k144①②得，解得k3，∴ 项数为7项，又S奇11ak144，∴ k33S奇a1a3a2k1ak111，即中间项为11．

说明：设数列{an}是等差数列，且公差为d，（1）若项数为偶数，设共有2n项，则①S奇S偶nd；②

S奇an； S偶an1S奇n． S偶n1（2）若项数为奇数，设共有2n1项，则①S奇S偶ana中；②例3 在等差数列中，a1023，a2522，（1）该数列第几项开始为负？（2）前多少项和最大？

（3）求an前n项和？

解：设等差数列an中，公差为d，由题意得：a25a1015d45a501 d323a1(101)(3)53，所以从第18项开始3为（1）设第n项开始为负，an503(n1)533n0，n为负。（2）（法

一）

设

前

n项和

Sn，则n(n1)31033103231032(3)n2n(n)()，2222626

所以，当n17时，前17项和最大。Sn50n（法二）an0533n05053，则，n，所以n17．

3503n03an10

（3）an533n'533n,0n17，3n53,n17∴Sna1a2a3ana1a2a17(a18a19an)，当

3103，S'nn2n2231033103S'n(n2n)2S17n2n884，2222n17时，当

n17时，32103nn(n17)22'所以，Sn．

31033103(n2n)2S17n2n884(n17)2222说明：（1）a10，d0时，Sn有最大值；a10，d0时，Sn有最小值；

（2）Sn最值的求法：①若已知Sn，可用二次函数最值的求法（nN）；

an0an0②若已知an，则Sn最值时n的值（nN）可如下确定或．

a0a0n1n1

例4 已知数列an的前n项和为（1）Sn2nn；（2）Snnn1，求数列an22的通项公式。

例5（教材P42例5）某种卷筒卫生纸绕在盘上，空盘时盘芯直径40mm，满盘时直径120mm，已知卫生纸的厚度为0.1mm，问：满盘时卫生纸的总长度大约是多少米（精确到0.1m）? 解：卫生纸的厚度为0.1mm，可以把绕在盘上的卫生纸近似地看作是一组同心圆，然后分别计算各圆的周长，再求总和。

由内向外各圈的半径分别为 20.05,20.15,,59.9

5因此各圈的周长分别为 40.1,40.3,,119.9

∵各圈半径组成首项为20.05，公差为0.1的等差数列，设圈数为n，则 59.9520.05(n1)0.1，∴n400

∴各圈的周长组成一个首项为40.1，公差为0.2，项数为40的等差数列，Sn40040.1400(4001)0.232000(mm)

232000(mm)100(m)

答：满盘时卫生纸的总长度约是100米．说明：各圈的半径为该层纸的中心线至盘芯中心的距离。

第五篇：高中数学《等差数列》教案2 苏教版必修5

第 4 课时：§2.2等差数列（2）

【三维目标】：

一、知识与技能

1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式，掌握等差数列的特殊性质及应用；掌握证明等差数列的方法；

2.明确等差中项的概念和性质；会求两个数的等差中项；

3.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题；

4.能通过通项公式与图像认识等差数列的性质，体会等差数列是用来刻画一类离散现象的重要数学模型，体会等差数列与一次函数的关系；能用图像与通项公式的关系解决某些问题。

二、过程与方法

通过等差数列的图像的应用，进一步渗透数形结合思想、函数思想；通过等差数列通项公式的运用，渗透方程思想。

三、情感、态度与价值观

通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点。

【教学重点与难点】：

重点：等差中项的概念及等差数列性质的应用。难点：等差中项的概念及等差数列性质的应用。【学法与教学用具】：

1.学法：

2.教学用具：多媒体、实物投影仪.【授课类型】：新授课 【课时安排】：1课时 【教学思路】：

一、创设情景，揭示课题 1．复习等差数列的定义、通项公式 ；（1）等差数列定义

（2）等差数列的通项公式：ana1(n1)d(anam(nm)d或andnp(p是常数))

ana1n

1anamnm

（3）公差d的求法：① dan-an1②d2．等差数列的性质：

③d

（1）在等差数列an中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；（2）在等差数列an中，相隔等距离的项组成的数列是AP如：a1，a3，a5，a7，……；a3，a8，a13，a18，……；

（3）在等差数列an中，对任意m，nN，anam(nm)d，d

anamnm

(mn)；

（4）在等差数列an中，若m，n，p，qN且mnpq，则amanapaq

用心爱心专心

3．问题：（1）已知a1,a2,a3,an,an1,,a2n是公差为d的等差数列。①an,an1,,a2,a1也成等差数列吗？如果是，公差是多少？ ②a2,a4,a6,a2n也成等差数列吗？如果是，公差是多少？（2）已知等差数列an的首项为a1，公差为d。

①将数列an中的每一项都乘以常数a，所得的新数列仍是等差数列吗？如果是，公差是多少？ ②由数列an中的所有奇数项按原来的顺序组成的新数列cn是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？

（3）已知数列an是等差数列，当mnpq时，是否一定有amanapaq？

（4）如果在a与b中间插入一个数A，使得a，A，b成等差数列，那么A应满足什么条件？

二、研探新知

1.等差中项的概念：

如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。其中Aa，A，b成等差数列A

2.一个有用的公式：

（1）已知数列{an}是等差数列

①2a5a3a7是否成立？2a5a1a9呢？为什么？ ②2anan1an1(n1)是否成立？据此你能得到什么结论？ ③2anankank(nk0)是否成立？？你又能得到什么结论？（2）在等差数列an中，d为公差，若m,n,p,qN且mnpq 求证：①amanapaq②apaq(pq)d

amana1(m1)da1(n1)d2a1(mn2)dapaqa1(p1)da1(q1)d2a1(pq2)d

ab

2ab2

．

证明：①设首项为a1，则

∵ mnpq∴amanapaq

② ∵apa1(p1)daq(pq)da1(q1)d(pq)da1(p1)d ∴ apaq(pq)d

探究：等差数列与一次函数的关系

注意：（1）由此可以证明一个结论：设{an}成AP，则与首末两项距离相等的两项和相等，即：

a1ana2an1a3an2，同样：若mn2p 则 aman2ap

（2）表示等差数列的各个点在一条直线上，这条直线的斜率是公差d

三、质疑答辩，排难解惑，发展思维

例1（教材P37例3）已知等差数列an的通项公式是an2n1，求首项 a1和公差d。

解：a12111,a22213，∴da2a12或dan1an2(n1)1(2n

1)2，等差数列an的通项公式是an2n1，是关于n的一次式，从图象上看，表示这个数列的各

点(n,an)均在直线y2x1上（如图）

例2 ①在等差数列an中，a2a7a8a136，求a6a9．②在等差数列an中，a1a4a8a12a152，求a3a13的值。解：①由条件：a6a9a7a8a2a133；

②由条件：∵2a8a1a15a4a12∴a82∴a3a132a84． 例3若 a1a2a530a6a7a1080 求a11a12a15解：∵ 6+6=11+1, 7+7=12+2……∴ 2a6a1a11,2a7a2a12……从而

(a11a12a15)+(a1a2a5)2(a6a7a10)

∴a11a12a15=2(a6a7a10)(a1a2a5)=2×8030=130一般的：若{an}成等差数列那么Sn、S2nSn、S3nS2n、…也成等差数列

例4 如图，三个正方形的边AB,BC,CD的长组成等差数列，且AD21cm，这三个正方形的面积之和是179cm。（1）求AB,BC,CD的长；（2）以AB,BC,CD的长为等差

数列的前三项，以第10项为边长的正方形的面积是多少？

解：（1）设公差为d(d0)，BCx则ABxd,CDxd

A

B

C

D

(xd)x(xd)21x7x7

由题意得：解得： 或（舍去）22

2d4d4(xd)x(xd)179

∴AB3(cm),BC7(cm),CD11(cm)

（2）正方形的边长组成已3为首项，公差为4的等差数列an，∴a103(101)439，∴a103921521(cm)2所求正方形的面积是1521(cm)2。

四、巩固深化，反馈矫正1.教材P37练习

2.在等差数列an中, 若 a56a815 求a1

4解：a8a5(85)d即 1563d ∴ d3从而 a14a5(145)d69333 变题：在等差数列an中，（1）若a5a，a10b 求a15；（2）若a3a8m 求 a5a6 解：（1）2a10a5a15 即2baa15∴ a152ba；（2）a5a6=a3a8m

五、归纳整理，整体认识本节课学习了以下内容： 1．A

ab

2a,A,b,成等差数列，等差中项的有关性质意义

2．在等差数列中，mnpqamanapaq（m，n，p，qN）3．等差数列性质的应用；掌握证明等差数列的方法。

六、承上启下，留下悬念

1.在等差数列{an}中, 已知a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450, 求a2＋a8及前9项和S9.解：由等差中项公式：a3＋a7＝2a5，a4＋a6＝2a5由条件a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450, 得5a5＝450, a5＝90,∴a2＋a8＝2a5＝180.S9＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8＋a9

＝(a1＋a9)＋(a2＋a8)＋(a3＋a7)＋(a4＋a6)＋a5＝9a5＝810.七、板书设计（略）

八、课后记：

判断一个数列是否成等差数列的常用方法

1．定义法：即证明 anan1d(常数)

例：已知数列an的前n项和Sn3n22n，求证数列an成等差数列，并求其首项、公差、通项公式。

解：a1S1321当n2时anSnSn13n22n[3(n1)22(n1)]6n5

n1时 亦满足∴ an6n5首项a11anan16n5[6(n1)5]6(常数)

∴an成AP且公差为6

2．中项法： 即利用中项公式，若2bac 则a,b,c成AP。例：已知1caba，1b，1c成AP，求证

ba，cb，ac

也成AP。

证明： ∵

111成AP∴

21a，b，c

b

1a

c

化简得：2acb(ac)

bc2

a2

c

aca2c

a



abaab

b(ac)c



bccac



ac



2ac

=

(ac)c)



acbcabac



(ab(ac)

2b

∴a，cab，c

也成AP

3．通项公式法：利用等差数列得通项公式是关于n的一次函数这一性质。

例：设数列a2

n其前n项和Snn2n3，问这个数列成AP吗？

解：n1时 a1S12n2时 anSnSn12n3,a1不满足an2n3∴ a21n

a2n3

nn2

∴ 数列n不成AP但从第2项起成AP。