高中数学 《余弦定理》教案1 苏教版必修5（模版）

第一篇：高中数学 《余弦定理》教案1 苏教版必修5（模版）

第 3 课时：§1.2余弦定理（1）

【三维目标】：

一、知识与技能

1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。

2.能够运用余弦定理理解解决一些与测量和几何计算有关的实际问题

3.通过三角函数、余弦定理、向量数量积等多处知识间联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一.二、过程与方法

利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题

三、情感、态度与价值观

1.培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；

2.通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。

【教学重点与难点】：

重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；

难点：向量方法证明余弦定理.【学法与教学用具】：

1.学法：

2.教学用具：多媒体、实物投影仪.【授课类型】：新授课

【课时安排】：1课时

【教学思路】：

一、创设情景，揭示课题

1.正弦定理的内容？

2.由正弦定理可解决哪几类斜三角形的问题？

二、研探新知

1．余弦定理的向量证明：

方法1：如图，在ABC中，AB、BC、CA的长分别为c、a、b．∵ACABBC，

∴ACAC(ABBC)(ABBC)AB22ABBCBC

2BAB22|AB||BC|cos(1800B)+BC2222c22accosBa2 即bca2accosB；

同理可证：abc2bccosA，cab2abcosC． 222222

方法2：建立直角坐标系，则A(0,0),B(ccosA,csinA),C(b,0)．所以

a2(ccosAb)2(csinA)2c2cos2Ac2sin2A2bccosAb2b2c22bccosA，同理可证

1b2c2a22accosB，c2a2b22abcosC

注意：此法的优点在于不必对A是锐角、直角、钝角进行分类讨论．

于是得到以下定理

余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即

b2c2a

2abc2bccosAcosA 2bc222

c2a2b2

bca2accosBcosB 2ca222

a2b2c2

cab2abcosCcosC 2ab222

思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？

语言叙述：三角形任何一边的平方等于其它两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。用符号语言表示：a2b2c22bccosA，„等；

2.理解定理

注意：（1）熟悉定理的结构，注意“平方”“夹角”“余弦”等

（2）余弦定理的应用：①已知三边，求三个角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角

（3）当夹角为90时，即三角形为直角三角形时即为勾股定理（特例）

b2c2a2a2c2b2a2b2c2

（4）变形：cosAcosBcosC 2bc2ac2ac

思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？

（由学生总结）若ABC中，C=900，则cosC0，这时c2a2b2，由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。

三、质疑答辩，排难解惑，发展思维

例1（教材P在ABC中，（1）已知b3,c1,A600，求a；（2）已知a4,b5,c6，14例1）

求A

7，8的三角形中，求最大角与最小角的和 例2 边长为5，例3 在ABC中，最大角A为最小角C的2倍，且三边a、b、c为三个连续整数，求a、b、c的值

例4 在ABC中，a、b是方程x23x20的两根，又2cos(AB)1，求：（1）角C的度数；（2）求AB的长；（3）ABC的面积

四、巩固深化，反馈矫正

1．在ABC中，sinA:sinB:sinC3:5:7，那么这个三角形的最大角是_____

22.在ABC中，(ac)(ac)b(bc)，则A______

在ABC中，Sa2b2c2

3.4，则角C的度数是______

4.在ABC中，已知a7,b8,cosC1

314，则最大角的余弦值是______

5.已知锐角三角形的边长分别是1、3、a，则a的取值范围是_______

6.用余弦定理证明：在ABC中，当C为锐角时，a2b2c2；当C为钝角时，a2b2c2．

五、归纳整理，整体认识

1.余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；

2.余弦定理的应用范围：①已知三边求三角；②已知两边及它们的夹角，求第三边。

六、承上启下，留下悬念

1．书面作业

七、板书设计（略）

八、课后记：

第二篇：高中数学《余弦定理》教案1 苏教版必修5

1.2余弦定理 第1课时

知识网络

三角形中的向量关系→余弦定理 学习要求

1． 掌握余弦定理及其证明； 2． 体会向量的工具性；

3． 能初步运用余弦定理解斜三角形． 【课堂互动】

自学评价

1．余弦定理：

(1)a2b2c22bccosA，______________________，______________________.(2)变形：cosA

b

2c

2a

2，2bc

___________________，___________________.2．利用余弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问题：

（１）_______________________________；（２）_______________________________． 【精典范例】

【例1】在ABC中，（1）已知b3，c1，A600，求a；（2）已知a4，b5，c6，求A（精确到0.10）． 【解】

点评: 利用余弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问题：（１）已知三边，求三个

用心爱心角；（２）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．

【例2】A,B两地之间隔着一个水塘，听课随笔

择另一点C，测CA182m,CB126m,ACB630，求A,B两地之间的距离确到1m）．

【解】

【例3】用余弦定理证明：在ABCC为锐角时，a2b2c2；当Ca2b2c2

．

【证】

点评:余弦定理可以看做是勾股定理的推广． 追踪训练一

１．在△ＡＢＣ中，求a；

（２）已知a＝７，ｂ＝５，ｃ＝３，２．若三条线段的长为５，６，７，则用这

三条线段（）Ａ．能组成直角三角形 Ｂ．能组成锐角三角形 Ｃ．能组成钝角三角形

专心

Ｄ．不能组成三角形

３．在△ＡＢＣ中，已知a2b2abc2，试求∠Ｃ的大小．

４．两游艇自某地同时出发，一艇以１０ｋｍ／ｈ的速度向正北行驶，另一艇以７ｋｍ／ｈ的速度向北偏东４５°的方向行驶，问：经过４０ｍｉｎ，两艇相距多远？

【选修延伸】

【例4】在△ABC中，BC=a，AC=b，且a，b是方程x2

23x20的两根，2cosAB1。

（1）求角C的度数；

（2）求AB的长；（3）求△ABC的面积。【解】

用心爱心

【例5】在△ABC中，角A、B、C听课随笔

分别为a，b，c，证明： a

2b2

AB。

c

2

sinsinC

追踪训练二

1．在△ABC中，已知b2，c1，B=450则a（）A2B

62C

62

622

D2

2．在△ABC中，已知AB=5，AC=6，BC=31则A=（）

A2

B

3C6D

43．在△ABC中，若b10，c15，C=

6则此三角形有解。

4、△ABC中，若a2

c2

bcb2，则A=_______.专心

【师生互动】

用心爱心 专心3

第三篇：高中数学《余弦定理》素材1 苏教版必修5

1.1～1.2正弦定理、余弦定理要点解读

一、正弦定理

1．正弦定理及其证明

abc． sinAsinBsinC

课本利用三角形中的正弦函数的定义和向量的数量积两种方法证明了正弦定理，同学们可以思考一下有没有别的方法呢？答案是肯定的．证明如下：

当△ABC为锐角三角形时（如图所示），过点A作单位向量i垂直于AB，因为ACABBC，所以·iAC·i(ABBC)·iAB·iBC，bcos(90°A)0acos(90°B)，在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

ab． sinAsinB

当△ABC为钝角或直角三角形时也可类似证明．

2．正弦定理常见变形公式 即bsinAasinB，得

bsinAcsinAcsinBasinBasinCbsinC，b，c； sinBsinCsinCsinAsinAsinB

（2）a:b:csinA:sinB:sinC；

（3）a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC（R为△ABC外接圆的半径）；（1）a

（4）sinA（5）abc，sinB，sinC； 2R2R2Rabcabc． sinAsinBsinCsinAsinBsinC

注：这些常见的变形公式应熟练掌握，在具体解题时，可根据不同的题设条件选择不同的变形公式．

3．正弦定理的运用

利用正弦定理，可以解决以下两类有关解三角形的问题：

①已知两角和任意一边，求其他两边和另一角；

②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角．

二、余弦定理

1．余弦定理及表达式

三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．

a2b2c22b2c2a22bcco；s Acao；s Bc2a2b22acbo．s C注：余弦定理反映了a，b，c，A，B，C元素间的动态结构，揭示了任意三角形的边、角关系．

2．余弦定理的另一种表达形式

b2c2coAs2bc

c2a2coBs2aca2； b2；

用心爱心专心

a2b2c2

coC； s2ab

注：若已知三边求角时，应用余弦定理的此表达形式简单易行．

3．余弦定理的运用

利用余弦定理，可以解决以下两类有关解三角形的问题：

（1）已知三边，求三个角；

（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．

注：这两类问题在有解时都只有一个解．

4．勾股定理和余弦定理的区别与联系

勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系．由余弦定理及余弦函数的性质可知，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角．因此，勾股定理可以看作是余弦定理的特殊情况，余弦定理可以看作是勾股定理的推广．

用心爱心专心

第四篇：高中数学《余弦定理》教案2 苏教版必修5

第2课时余弦定理

【学习导航】

知识网络

余弦定理航运问题中的应用



判断三角形的形状

学习要求

1．能把一些简单的实际问题转化为数学问题；

2．余弦定理的教学要达到“记熟公式”和“运算正确”这两个目标；

3．初步利用定理判断三角形的形状。【课堂互动】

自学评价

1．余弦定理：

(1)_______________________，_______________________，_______________________.(2)变形：____________________，_____________________，_____________________.2．利用余弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问题：（１）_______________________________；（２）______________________________． 【精典范例】

【例1】在长江某渡口处，江水以5km/h的速度向东流，一渡船在江南岸的A码头出发，预定要在0.1h后到达江北岸B码头，

设AN为正北方向，已知B码头在A码头的北偏东150，并与A码头相距1.2km．该渡船应按什么方向航行？速度是多少（角度

精确到0.10，速度精确到0.1km/h）？

【解】

用心爱心 听课随笔

【例2】在ABC中，已知

sinA2sinBcosC，试判断该三角形的形状． 【解】

【例3】如图，AM是ABC中BC

中线，求证：

AM

．

【证明】

追踪训练一

1.在△ＡＢＣ中，如果sinA:sinB:sinC＝２∶３∶４，那么ｃｏｓＣ等于（Ａ．Ｂ．2 Ｃ．1 Ｄ．13

2.如图，长７ｍ的梯子ＢＣ靠在斜壁上，梯脚与壁基相距１．５ｍ，梯顶在沿着壁向上

专心

６ｍ的地方，求壁面和地面所成的角α（精确到０.１°）．

3.在△ＡＢＣ中，已知ａ＝２，ｂ＝３，Ｃ＝６０°，试证明此三角形为锐角三角形．

【选修延伸】

3【例4】在△ABC中，设

ab3c3

abc

c2，且sinAsinB34，请判断三角形的形状。

【解】

用心爱心听课随笔

专心

第五篇：2014年高中数学 1.1.2余弦定理教案 新人教A版必修5

1.1.2余弦定理 教材分析

三维目标

知识与技能：掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。

过程与方法：利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题

情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。

教学重点

余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；

教学难点

勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。

教学建议

课本在引入余弦定理内容时，首先提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题”．这样，用联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，使学生能够形成良好的知识结构．设置这样的问题，是为了更好地加强数学思想方法的教学．比如对于余弦定理的证明，常用的方法是借助于三角的方法，需要对三角形进行讨论，方法不够简洁，通过向量知识给予证明,引起学生对向量知识的学习兴趣,同时感受向量法证明余弦定理的简便之处.教科书就是用了向量的方法，发挥了向量方法在解决问题中的威力．

在证明了余弦定理及其推论以后，教科书从余弦定理与勾股定理的比较中，提出了一个思考问题“勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？”并进而指出，“从余弦定理以及余弦函数的性质可知，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角.由上可知，余弦定理是勾股定理的推广”．还要启发引导学生注意余弦定理的各种变形式,并总结余弦定理的适用题型的特点,在解题时正确选用余弦定理达到求解、求证目的 启发学生在证明余弦定理时能与向量数量积的知识产生联系,在应用向量知识的同时,注意使学生体会三角函数、正弦定理、向量数量积等多处知识之间的联系.导入一

提问1：上节课，我们学习了正弦定理，解决了有关三角形的两类问题：已知两角和任意一边；②已知两边和其中一边的对角.三角形中还有怎样的问题没有解决？

已知两边和夹角；已知三边.首先分析最特殊的三角形——直角.如图1.已知两边a,b及夹角C90，能否求第三边？

勾股定理c2a2b

2提问2：在斜三角形中边和角有怎样的关系？

在△ABC中，当C90时，有c2a2b2．

实验：若a,b边的长短不变，C的大小变化,c2与a2b2有怎样的大小关系呢？

如图2，若C90时，由于b边与a边的长度不变，所以c边的长度变短，即c2a2b2.如图3，若C90时，由于b边与a边的长度不变，所以c边的长度变长，即c2a2b2.当C90时，c2a2b2，那么c2与a2b2到底相差多少呢？与怎样的角有关呢？显然应与∠C的大小有关.图1 图2 图

3导入新课二

师 上一节,我们一起研究了正弦定理及其应用,在体会向量应用的同时,解决了在三角形已知两角、一边和已知两边与其中一边对角这两类解三角形问题.当时对于已知两边夹角求第三边问题未能解决,下面我们来看如图(1)，在直角三角形中,根据两直角边及直角可表示斜边,即勾股定理,那么对于任意三角形,能否根据已知两边及夹角来表示第三边呢?下面我们根据初中所学的平面几何的有关知识来研究这一问题

在△ABC中,设BC=A,AC=B,AB=C,试根据B、C、A来表示

A

师 由于初中平面几何所接触的是解直角三角形问题，所以应添加辅助线构成直角三角形，在直角三角形内通过边角关系作进一步的转化工作，故作CD垂直于AB于D，那么在Rt△BDC中，边A可利用勾股定理用CD、DB表示,而CD可在Rt△ADC中利用边角关系表示,DB可利用AB-AD转化为AD,进而在Rt△ADC内求解

解：过C作CD⊥AB,垂足为D,则在Rt△CDB中,根据勾股定理可得

A2=CD2+BD

∵在Rt△ADC中,CD2=B2-AD

又∵BD2=(C-AD)2=C2-2C·AD+AD

∴A2=B2-AD2+C2-2C·AD+AD2=B2+C2-2C·AD.又∵在Rt△ADC中,AD=B·COs

A

∴a2=b2+c2-2abcosA

.类似地可以证明b2=c2+a2-2cacosB

c2=a2+b2-2abcos

C

另外,当A为钝角时也可证得上述结论,当A为直角时，a2+b2=c2也符合上述结论,这也正是我们这一节将要研究的余弦定理,下面我们给出余弦定理的具体内容.