课堂讲解一次函数知识点教案

第一篇：课堂讲解一次函数知识点教案

一、常量与变量的概念：

常量：在某一变化过程中,始终保持不变的量． 变量：在某一变化过程中,可以取不同数值的量．

二、自变量、函数的概念

设在某一变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y总有唯一的值与它对应，我们就说x是自变量，y是x的函数。

三、正比例函数解析式与图象特征之间的规律：（性质）

正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图象是一条经过原点的直线．•当x>0时，图象经过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；当k<0时，•图象经过二、四象限，从左向右下降，即随x增大y反而减小．

正比例函数图像的作法

1.在x允许的范围内取一个值，根据解析式求出y值

2.根据第一步求的x、y的值描出点

3.做过第二步描出的点和原点的直线 例：y=2x

和

y=-2x 四、一次函数y＝kx＋b（k≠0，k、b均为常数）是一条直线，当b＝0时称y为x的正比例函数，正比例函数是一次函数中的特殊情况。可表示为y=kx。

一次函数的性质

当 k>0,b>0, 这时此函数的图象经过第一、二、三象限。

当 k>0,b<0, 这时此函数的图象经过第一、三、四象限。

当 k<0,b>0, 这时此函数的图象经过第一、二、四象限。

当 k<0,b<0, 这时此函数的图象经过第二、三、四象限。

当b＞0时，直线必通过第一、二象限；

当b＜0时，直线必通过第三、四象限。

特别地，当b=0时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。

特殊位置关系

当平面直角坐标系中两直线平行时，其函数解析式中K值（即一次项系数）相等

当平面直角坐标系中两直线垂直时，其函数解析式中K值互为负倒数

例：y=x+2 五、一次函数与一元一次方程的关系

例子：（1）方程2x+20=0

（２）．函数y=2x+20

从数上看：方程2x+20=0的解，是函数y=2x+20的值为0时，对应自变量的值

从形上看：函数y=2x+20与x轴交点的横坐标即为方程2x+20=0的解

关系：

由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的形式．所以解一元一次方程可以转化为：当一次函数值为0时，求相应的自变量的值 从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值．

也就是说：一次函数 与x轴交点的横坐标就是方程 的解。

在一次函数 中，y如果等于某一个确定值，求自变量x的值就要解一元一次方程。六、一次函数与一元一次不等式

求一元一次不等式的解,可以看成某一个一次函数当自变量取何值时,函数的值大于零或等于零。七、一次函数与二元一次方程组

一次函数与二元一次方程(组)的联系.一般地,每个二元一次方程组都对应两个一次函数,于是也对应两条直线.从“数”的角度看, 解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等,以及这个函数值是何值;从“形”的角度看, 解方程组相当于确定两条直线交点的坐标.

第二篇：一次函数知识点总结

八年级数学上册

一次函数知识点总结

基本概念

1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。

2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对

应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。

*判断Y是否为X的函数，只要看X取值确定的时候，Y是否有唯一确定的值与之对应

3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。

4、确定函数定义域的方法：

（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；

（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；

（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。

5、函数的图像．

6、函数解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。

7、描点法画函数图形的一般步骤

第一步：列表、第二步：描点、第三步：连线

8、函数的表示方法

列表法、解析式法、图象法。

9、正比例函数及性质（思考）

(1)解析式、必过点、走向、增减性、倾斜度：

10、一次函数及性质（思考）

（1）解析式：（2）必过点（3）走向（4）增减性（5）倾斜度（6）图像的平移

11、一次函数y=kx＋b的图象的画法.12、正比例函数与一次函数图象之间的关系

13、直线y=k1x+b1与y=k2x+b2的位置关系

（1）两直线平行：k1=k2且b1 b2（2）两直线相交：k1k2（3）两直线重合：k1=k2且b1=b214、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：

（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；（2）将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；（3）解方程得出未知系数的值；（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.15、一元一次方程与一次函数的关系

任何一元一次方程到可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值.从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值.16、一次函数与一元一次不等式的关系

任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围.17、一次函数与二元一次方程组

（1）以二元一次方程ax+by=c的解为坐标的点组成的图象与一次函数y= acx的图象相同.bb

和y=a1xb1yc1a1c（2）二元一次方程组的解可以看作是两个一次函数y=x1

b1b1a2xb2yc2

a2cx2b2b2的图象交点.1常州优胜佳教育

第三篇：一次函数主要知识点总结

一次函数知识点总结

一、常量与变量

在一个变化过程中，数值保持不变的量叫常量，数值发生改变的量叫变量。实际上，常量就是具体的数，变量就是表示数的字母。（注意“π”是常量）

二、自变量与函数 在一个变化过程中，有两个变量x和y，如果x每取一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么，把x叫自变量，y叫x的函数。

判断两个变量是否有函数关系就是“看对于自变量的每一个确定的值，函数值是否有唯一确定的值和它对应。”

三、函数值

如果x=a时，y=b，那么把“y=b叫做x=a时的函数值”。

四、表示函数的方法

解析式法、列表法、图像法

五、自变量取值范围的求法

在一个变化过程中，自变量允许取值的区域，叫自变量的取值范围

1、当解析式是整式。自变量取一切实数。

2、当自变量在分母。取使分母不等于0的实数。

3、当自变量在根号内：在自变量取一切实数。

4、在一个函数解析式中，同时有分式和根式时，自变量的取值范围应是分式和根式都有意义条件的公共部分

例：求函数

解：要使

。所以中自变量x的取值范围。有意义，必须且即内，取被开方数为非负数的实数。在内，中自变量x的取值范围是。

5、对于实际问题，自变量的取值要符合实际意义。

六、函数图象的画法步骤

1、列表。

2、描点。以对应的x、y作为点（x，y），把每个点描在平面直角坐标系中。

3、连线。把描出的点按照自变量由小到大的顺序，用平滑的线连结起来。．．．．

七、正比例函数

1、定义：形如（k是常数，）的函数叫做正比例函数。

2、图象：是经过（0,0）与（1，k）的直线。

3、性质：（1）

（2）

八、一次函数

（一）定义：

形如

b的函数叫做一次函数。

因为当b=0时，y=kx，所以“正比例函数是特殊的一次函数”。

（二）图象：

是经过（，0）与（0，b）两点的直线。因此一次函数y=kx＋b的图

象也称为直线y=kx＋b.其中，（，0）是直线与x轴的交点坐标，（0，b）是直线与y轴的交点

坐标。这两点也是求直线与坐标轴围成的三角形面积时要用到的两点

（三）性质：（如下图）1、2、3、4、5、6、（四）l1：y=k1x+b1与l2：y=k2x+b2的关系

1、k1=k

2从

l12 ；说明：当k1=k2，b1=b2时，l1与l2重合。

（1）b>0,向上平移，（2）b<0,向下平移。

反之，从

2、k

1l1与l2相交；特别当k1

（1）b>0,向下平移，（2）b<0,向上平移。

2=－1

时，l1l2。

3、求l1与l2的交点坐标就是解关于x、y的二元一次方程组

（五）一次函数与二元一次方程组的关系

因为二元一次方程组中的两个二元一次方程都可以化为两个一次函数解析式，所以两个一次函数图象的交点坐标就是原二元一次方程组的解。因此，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．可以通过两个一次函数图象交点坐标求出二元一次方程组的解。

（六）一次函数与一元一次方程的关系

因为

与x轴相交于一点，此时y=0，得到，这

是个一元一次方程。所以一元一次方程的解，就是对应的一次函数图象与x轴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．交点的横坐标。即可以通过画一次函数的图象求出对应的一元一次方程的解。．．．．．．

（七）一次函数与一元一次不等式的关系

因为一次函数的图象与x轴相交于一点，在x轴上方的部分，直线上的点对应的函数值y

是正数，即;在x轴下方的部分，直线上的点对应的函数值y是负数，即，所以由一次函数的图象在轴上方或下方．．．．．．．．．x．．．．．．．部分对应的的范围就是对应的一元一次不等式的解集。．．．．．x．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

（八）判定点是否在函数图象上（或函数图象是否经过点）的方法

将这个点的横坐标代入函数解析式，得到的函数值如果等于点的纵坐标，这个点就在函数的图象上，如果不满相等，这个点就不在其函数的图象上．

（九）点在函数图象上（或函数图象经过点）的意思是“把点的横坐标x和纵

坐标y代入函数解析式中，等号成立”。

（十）、一次函数的应用

在实际生活中，应用函数知识解决实际问题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，再利用方程（组）或不等式（组）或函数性质进行求解.九、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：

（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；

（2）将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程（组）；（3）解方程得出未知系数的值；

（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.十、函数的思想、数形结合的思想，分类讨论的思想。

第四篇：一次函数图象翻转课堂教案

一次函数图象翻转课堂教案

一．教材分析

1.教材的地位和作用

本节课主要是在学生学习了函数图象的基础上，通过动手操作接受一次函数图象是直线这一事实，在实践中体会“两点法”的简便，向学生渗透数形结合的数学思想，以使学生借助直观的数学图形，生动形象的变化来发现两个一次函数图象在直角坐标系中的位置关系。培养学生主动学习、主动探索、合作学习的能力。2.教学目标 知识与能力：

（1）能用“两点法”画出一次函数的图象。（2）结合图象，理解直线y=kx+b(k,b是常数，k≠0)常数k和b的取值对于直线的位置的影响。

过程与方法：

通过动手操作，观察探索一次函数的特征，体验数学研究和发现的过程，逐步培养学生在教学活动中的主动探索的意识和合作交流的习惯。情感态度与价值观

学生能够结合具体情境体会数形结合的数学思想。3.教学重难点

（1）重点：用“两点法”画出一次函数的图象。（2）难点：理解直线y=kx+b(k,b是常数，k≠0)常数k和b的取值对于直线的位置的影响。二．教学过程

（一）课下知识传授

1．明确目标——准备教学视频（1）明确教学目标

课下自主学习阶段的教学目标：能够利用电子设备进行一次函数图像与性质相关知识的学习，在动手操作中逐步体会一次函数图象特征，提高对信息技术环境中新教学模式的认识，在课下自主探究过程中体验数学的乐趣。课上协作内化阶段的教学目标：通过自主探究，小组协作交流深入研究一次函数的图象特征，加深对一次函数y=kx+b(k,b是常数，k≠0)中不同的k和b函数图象的关系的进一步理解，对一次函数系数的各种情况下的图象有一个整体的掌握。在生生互动与师生互动中，激发学生数学学习兴趣，培养学生数学探究精神，提高学生自主学习和协作学习能力。（3）创建教学视频 视频内容包括：①举例通过列表描点连线的步骤画出一个一次函数的图象。②讨论一次函数的图象都是一条直线吗？③找出画一次函数的简便方法（两点法）。④请同学们自己画出所要求的八个一次函数的图象，然后仔细观察分析一次函数图象特征。2.自主学习——记忆领会概念内容

（1）观看教学视频

在教师的引导下，学生观看教学视频实现对一次函数图象的感知与记忆。与以往在课堂中听课不同的是，学生在观看教学视频时可以根据自己的学习情况，自行安排学习进度，多次暂停、回放并随时做笔记完成课前练习。（3）完成练习

完成教学视频中的相关练习，在掌握两点法画一次函数图象的基础上，进一步观察一次函数的图像特征。

（二）课上知识内化

1.协作探索——发现一次函数图像特征（1）确定问题

首先一次函数的图像可以用“两点法”画出，那么一般选用哪两点比较容易？学生根据一次函数图象的两点法画法画出习题中的一次函数图象，观察对于k和b的正负对函数图像的影响，进一步试着总结不同的k和b所对应的图形大致的位置。（2）自主探索

在课堂上，教师基于探究性问题为学生创建个性化学习环境，使学生自主探究，教师则通过“1对1”教学方式，帮助学生解决在理解教学内容及完成作业中所遇到的困惑，开展高质量的有效课堂学习来完成知识内化的过程。（3）小组讨论

基于问题，学生以学习小组为单位进行讨论，小组成员人数通常控制在5人以内。正对上面提出的问题，组内采用对话、商讨、辩论等形式对问题进行探究。学生在组内发表个人看法，与成员进行交流，总结一次函数图像的特征。2.交流展示——综合评价形成体系（1）成果展示

经过自主探究、协作学习之后，学生把自己或小组在学习活动中得出的一次函数图像特征的相关结论进行展示。个人或组间通过多种方式在班级进行表达、交流最后互相补充，归纳总结出一次函数图象特征：一次函数y=kx+b(k,b是常数，k≠0)其中k决定了函数图象是上升的还是下降的，具体的说：当k＞0时，图像呈上升趋势；当k＜0时，函数呈下降趋势。其中的b决定了函数图象与y轴的交点（0，b）,当b＞0时,函数图象与y轴交于正半轴；当b＜0时, 函数图象与y轴交于负半轴；当k=0时，函数图像过原点。（2）反馈评价

通过学生的展示，纠正其中的错误的描述，补充遗漏点，最终将学生得出的结论与学生一起制成表格，在此过程中回顾已得出的结论，加深对一次函数图象特征的理解，通过进一步的总结，将一次函数图象特征全面掌握。

第五篇：一次函数的图象和性质知识点和典型例题讲解

一次函数的图象和性质

一、知识要点：

1、一次函数：形如y=kx+b(k≠0, k, b为常数)的函数。注意：（1）k≠0,否则自变量x的最高次项的系数不为1；

（2）当b=0时，y=kx，y叫x的正比例函数。

2、图象：一次函数的图象是一条直线，（1）两个常有的特殊点：与y轴交于（0，b）；与x轴交于（-，0）

（2）由图象可以知道，直线y=kx+b与直线y=kx平行，例如直线：y=2x+3与直线y=2x-5都与直线y=2x平行。

3、性质：

(1)图象的位置:

(2)增减性

k>0时，y随x增大而增大

k<0时，y随x增大而减小 4．求一次函数解析式的方法

求函数解析式的方法主要有三种

(1)由已知函数推导或推证

(2)由实际问题列出二元方程，再转化为函数解析式，此类题一般在没有写出函数解析式前无法（或不易）判断两个变量之间具有什么样的函数关系。

(3)用待定系数法求函数解析式。

“待定系数法”的基本思想就是方程思想，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程（组）来解决，题目的已知恒等式中含有几个等待确定的系数，一般就需列出几个含有待定系数的方程，本单元构造方程一般有下列几种情况：

①利用一次函数的定义

构造方程组。

②利用一次函数y=kx+b中常数项b恰为函数图象与y轴交点的纵坐标，即由b来定点；直线y=kx+b平行于y=kx，即由k来定方向。

③利用函数图象上的点的横、纵坐标满足此函数解析式构造方程。

④利用题目已知条件直接构造方程。

二、例题举例：

例1．已知y=，其中

=

(k≠0的常数)，与

成正比例，求证y与x也成

正比例。

证明：∵

设

∵y=

∴y=与=a成正比例，(a≠0的常数), , ·a=

(k≠0的常数), =akx，其中ak≠0的常数，∴y与x也成正比例。

例2．已知一次函数=(3-)

=(n-2)x+

-n-3的图象与y轴交点的纵坐标为-1，判断是什么函数，写出两个函数的解析式，并指出两个函数在直角坐标系中的位置及增减性。

解：依题意，得

解得 n=-1，∴=-3x-1，

=(3-)x, 是正比例函数；

随x的增大而减小； 随x的增大而增大。=-3x-1的图象经过第二、三、四象限，=(3-)x的图象经过第一、三象限，说明：由于一次函数的解析式含有待定系数n，故求解析式的关键是构造关于n的方程，此题利用“一次函数解析式的常数项就是图象与y轴交点纵坐标”来构造方程。

例3．直线y=kx+b与直线y=5-4x平行，且与直线y=-3(x-6)相交，交点在y轴上，求此直线解析式。

分析：直线y=kx+b的位置由系数k、b来决定：由k来定方向，由b来定与y轴的交点，若两直线平行，则解析式的一次项系数k相等。例 y=2x,y=2x+3的图象平行。

解：∵y=kx+b与y=5-4x平行，∴k=-4，∵y=kx+b与y=-3(x-6)=-3x+18相交于y轴，∴b=18，∴y=-4x+18。

说明：一次函数y=kx+b图象的位置由系数k、b来决定：由k来定方向，由b来定点，即函数图象平行于直线y=kx，经过(0, b)点，反之亦成立，即由函数图象方向定k，由与y轴交点定b。

例4．直线与x轴交于点A（-4，0），与y轴交于点B，若点B到x轴的距离为2，求直线的解析式。

解：∵点B到x轴的距离为2，∴点B的坐标为（0，±2），设直线的解析式为y=kx±2，∵直线过点A（-4，0），∴0=-4k±2，解得：k=±，x+2或y=-x-2.∴直线AB的解析式为y=

说明：此例看起来很简单，但实际上隐含了很多推理过程，而这些推理是求一次函数解析式必备的。

（2）此例需要把条件（面积）转化为点B的坐标。这个转化实质含有两步：一是利用面积公式AO·BD=6（过点B作BD⊥AO于D）计算出线段长BD=2，再利用|

|=BD及点B在第三象限计算出=-2。若去掉第三象限的条件，想一想点B的位置有几种可能，结果会有什么变化？（答：有两种可能，点B可能在第二象限（-2，2），结果增加一组y=-x, y=(x+3).例6．已知正比例函数y=kx(k<0)图象上的一点与原点的距离等于13，过这点向x轴作垂线，这点到垂足间的线段和x轴及该图象围成的图形的面积等于30，求这个正比例函数的解析式。

分析：画草图如下：

则OA=13，=30，则列方程求出点A的坐标即可。

解法1：设图象上一点A（x, y）满足

解得：；；；

代入y=kx(k<0)得k=-

∴y=-x或y=-, k=-.x。

解法2：设图象上一点A（a, ka）满足

由（2）得=-,)·(-)=

.代入（1），得(1+

整理，得60

解得 k=-

∴ y=-+169k+60=0.或k=-.x.x或y=-

说明：由于题目已经给定含有待定系数的结构式y=kx，其中k为待定系数，故解此例的关键是构造关于k的方程。此例给出的两个解法代表两种不同的思路：解法1是把已知条件先转化为求函数图象上一点的坐标，构造方程解出，再求k；解法2是引进辅助未知数a，利用勾股定理、三角形面积公式直接构造关于a、k的方程组，解题时消去a，求出k值。

例7．在直角坐标系x0y中，一次函数y=

x+的图象与x轴，y轴，分别交于A、B两点，点C坐标为（1，0），点D在x轴上，且∠BCD=∠ABD，求图象经过B、D两点的一次函数的解析式。

分析：由已知可得A点坐标（-3，0），B点坐标（0，），点C是确定的点（1，0），解题的关键是确定点D的坐标，由点D在x轴上，以∠BCD=∠ABD的条件，结合画草图可知∠BCD的边BC确定，顶点C确定，但边CD可以有两个方向，即点D可以在C点右侧，也可以在C点左侧，因此解此题要分类讨论。

解：∵点A、B分别是直线y=

x+

与x轴和y轴交点，∴A（-3，0），B（0，），AB=，∵点C坐标（1，0）由勾股定理得BC=

设点D的坐标为（x, 0），（1）当点D在C点右侧，即x>1时，--78-